FORMELSAMMLUNG
ARITHMETIK
by Marcel Laube
ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK EINFÜHRUNG......................................................................................................................... 2 DIE OPERATIONS-STUFEN ....................................................................................................... 2 OPERATIONE 1. STUFE: ADDITION UND SUBTRAKTION ........................................ 2 BEZEICHNUNGEN..................................................................................................................... 2 VORZEICHENREGEL ................................................................................................................. 3 RECHENOPERATION 2. STUFE......................................................................................... 3 MULTIPLIKATION: ................................................................................................................... 3 Bezeichnungen.................................................................................................................... 3 Vorzeichenregel.................................................................................................................. 4 BINOMISCHE FORMELN: .......................................................................................................... 4 DIVISION: ................................................................................................................................ 4 Bezeichnungen.................................................................................................................... 4 Vorzeichenregel.................................................................................................................. 5 Division einer Summe durch eine Summe: Partialdivision................................................ 5 RECHENOPERATION 3. STUFE......................................................................................... 5 POTENZIEREN .......................................................................................................................... 5 Bezeichnungen.................................................................................................................... 5 Vorzeichenregel.................................................................................................................. 6 Addieren und subtrahieren von Potenzen .......................................................................... 6 Multiplizieren von Potenzen............................................................................................... 6 Dividieren von Potenzen .................................................................................................... 7 Potenzieren von Potenzen: ................................................................................................. 7 Potenzieren von Binomen................................................................................................... 8 RADIZIEREN ............................................................................................................................ 8 Bezeichnungen.................................................................................................................... 8 Wurzeln als Potenzen darstellen ........................................................................................ 9 Addieren und subtrahieren von Wurzeln............................................................................ 9 Radizieren von Produkten .................................................................................................. 9 Radizieren von Brüchen ..................................................................................................... 9 Entfernen der Wurzel aus dem Nenner .............................................................................. 9 Radizieren von Potenzen .................................................................................................. 10 Multiplizieren und dividieren von ungleichnamigen Wurzeln ......................................... 10 Radizieren von Wurzeln (Doppelwurzeln) ....................................................................... 10 LOGARITHMIEREN ................................................................................................................. 10 Bezeichnungen / Definition .............................................................................................. 10 Logarithmengesetze.......................................................................................................... 11 Übergang von einem Logarithmensystem zu einem anderen........................................... 12 IMAGINÄRE ZAHLEN.............................................................................................................. 12 FOLGEN UND REIHEN....................................................................................................... 13 SUMME DER ARITHMETISCHEN REIHE:.................................................................................. 13 ARITHMETISCHE INTERPOLATION.......................................................................................... 14 GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN .................................................................................. 14 ZINSESZINSRECHNUNGEN ............................................................................................. 14
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK
Einführung Die Teilgebiete der Mathematik: Mathematik Arithmetik
Geometrie
(Lehre von den Zahlen)
(Lehre von den Raumgrössen)
Algebra und Funktionslehre (Lehre von den Gleichungen)
Planimetrie
Trigonometrie
Stereometrie
(Lehre von den ebenen Flächen)
(Dreiecksberechnungen)
(Lehre von den Körpern)
Die Operations-Stufen Operation 1. Stufe:
Addition Subtraktion
Operation 2. Stufe:
Multiplikation Division
Operation 3. Stufe:
Potenzieren Radizieren Logarithmieren
Operatione 1. Stufe: Addition und Subtraktion Bezeichnungen Summanden
a +b = c
Summenwert
Summe
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Minuend
Subtrahend
c -b = a
Wert der Differenz (Ergebnis)
Differenz
Vorzeichenregel
a + (+ b ) = a + b a - (- b ) = a + b a + (- b ) = a - b a - (+ b ) = a - b
Rechenoperation 2. Stufe Multiplikation: Bezeichnungen Summanden
Faktoren
a + a + a + a = 4* a Summe
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Produkt
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Vorzeichenregel
( + a ) * ( + b ) = ab ( - a ) * ( - b ) = ab ( + a ) * ( - b ) = - ab ( - a ) * ( + b ) = - ab
Binomische Formeln: 1. binomische Formel:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. binomische Formel:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. binomische Formel:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
Division: Bezeichnungen Zähler od. Dividend
a :b = Quotient
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a =c b Divisor
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Vorzeichenregel
(+ (+ (((+ (((+
a b a b a b a b
) ) ) ) ) ) ) )
a b a = b =
a b a = b = -
Die Vorzeichen von Zähler und Nenner können demzufolge vertauscht werden. Division einer Summe durch eine Summe: Partialdivision (6 x 3 + 29 x 2 + 38 x + 35) : (2 x + 7) = 3x 2 + 4 x + 5 6x3 = 3 x 2 ; 3x 2 * (2 x + 7) = 6 x 3 + 21x 2 2x 8 x 2 + 38 x + 35 8x 2 8 x 2 + 28 x = 4 x; 4 x(2 x + 7) = 2x 10 x + 35 10 x = 5; 5(2 x + 7) = 10 x + 35 2x 0
Rechenoperation 3. Stufe Potenzieren Bezeichnungen Basis
Exponent
an = b
Potenzwert
Potenz
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Vorzeichenregel Eine Potenz ist POSITIV, wenn: Die Basis positiv ist
an=b;
34=81
Oder mit negativer Basis, wenn der Exponent eine grade Zahl ist
(-a)2n=a2n; (-3)4=81
Eine Potenz ist NEGATIV, wenn: Die Basis negativ ist und der Exponent eine ungerade Zahl ist
(-a)2n-1= -a2n-1;(-3)5= -243
Addieren und subtrahieren von Potenzen Es könne nur Potenzen mit gleichen Exponenten UND gleichen Basen addiert oder subtrahiert werden. Es werden nur die Beizahlen addiert/subtrahiert 5a3-2a2+7b3-2a3+b3=3a3-2a2+8b3 Multiplizieren von Potenzen Potenzen können multipliziert werden, wenn: Die Basen gleich sind ODER, die Exponenten gleich sind Gleiche Basen:
am * an = am+n Gleiche Exponenten:
an *bn = (ab)
n
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Dividieren von Potenzen Potenzen könne dividiert werden, wenn: Die Basen gleich sind ODER, die Exponenten gleich sind. Gleiche Basen:
am = a m-n n a Gleiche Exponenten:
an æ a ö =ç ÷ bn è b ø
n
Sonderfälle bei der Division von Potenzen:
a -b =
1 ab
a3 = 1 weil a 3-3 = a 0 = 1 3 a
Potenzieren von Potenzen: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis mit diesem Produkt potenziert.
(a )
m n
= a m*n
deshalb könne auch die Exponenten vertauscht werden:
(a )
m n
( )
= a mn = a n
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m
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Potenzieren von Binomen (a±b)0
1 1 1 1 1 1
2 3
4 5
(a±b)1
1
(a±b)2
1 3
6 10 10
(a±b)3
1 4
(a±b)4
1 5
1
etc.
(a±b)5 etc.
Regel zum Ordnen der Potenzen: a5 a4 a3 a2 a b b2 b3 b4 b5 Vorzeichenregel: (a+b)n: + + + + + + ... (a-b)n: + - + - + - + ... Beispiel: (a+b)3:
1
3
3
a3
a2
a
1
b b2 b3 2 2 a + 3a b+ 3ab + b3 3
Radizieren Bezeichnungen Wurzelexponent
n
a =x
Radikant TS-Zürich
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Weil Radizieren eine Umkehrung des Potenzierens ist gilt:
( a) n
n
=a
Wurzeln als Potenzen darstellen
n
m
a =a
m n
Addieren und subtrahieren von Wurzeln Es können nur Wurzeln mit gleichem Exponent UND Radikant addiert/subtrahiert werden. Es werden nur die Beizahlen subtrahiert/addiert Beispiel: 33 8 + 23 8 - 33 8 + 23 2 = (3 + 2 - 3)3 8 + 23 2 = 23 8 + 23 2 = 4 + 23 2 Radizieren von Produkten n
ab = n a * n b
an b = n anb Radizieren von Brüchen
n
a na = b nb
Entfernen der Wurzel aus dem Nenner 3 3* 7 3* 7 3 7 = = = 7 7 7 7* 7
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x x* x = = x x x* x
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Radizieren von Potenzen n
ax =
( a)
x
n
oder mit Hilfe des Potenzierens: n
1 m n
( )
m
a = a
=a
m n
Man kann also den Wurzel- und Basisexponent mit der gleichen Zahl multiplizieren oder dividieren: nx mx
a = n am
Multiplizieren und dividieren von ungleichnamigen Wurzeln 7
6 1 + 6
3
5 2 * 5 = 3*2 5 2*2 * 3*2 53 = 6 5 4 * 53 = 6 57 = 5 6 = 5 6
3
12 3*2 12 2 6 12 2 6 144 6 = = = = 18 3*2 3 23 8 2 2
= 56 5
Radizieren von Wurzeln (Doppelwurzeln) mn
a = mn a
Logarithmieren Bezeichnungen / Definition Logarithmus Numerus
x = loga b Basis Der Logarithmus von b zur Basis a ist x. TS-Zürich
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Um bei der Gleichung a x = b die Variable x zu bestimmen, benötigt man die oben erwähnte „Logarithmus-Gleichung“. Ist b
lg b
Binäre Logarithmen:
Basis 2
log2b
->
lb b
Natürliche Logarithmen:
Basis e
logeb
->
ln b
Logarithmengesetze Produkt:
log a (u * v ) = log a u + log a v Bruch: log a
u = log a u - log a v v
Potenz: log a b n = n * log a b
deshalb auch: log a v b u =
u * log a b v
Beispiel: Der Logarithmus des Produktes 4,56*1,84*0,0365= lg(4,56 *1,84 * 0,0365) = lg 4,56 * lg1,84 * lg 0,0365 = 0,659 + 0,2648" (-1,437) = -0,5132 Numerus zu –0,5132 ist 0.306
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Übergang von einem Logarithmensystem zu einem anderen Vom allgemeinen zum Zehnerlogarithmus:
log b a =
lg a lg b
Vom natürlichen zum Zehnerlogarithmus:
ln x =
lg x lg e
Imaginäre Zahlen
i = -1 i 2 = -1 - i 2 = -1 Die zwei Lösungen für die Gleichung x2=-4 sind also:
x = ± 4*i2 x1 = 2i ; x2 = -2i Es gilt auch:
- 4 * - 9 = i 4 * i 9 = i 2 4 * 9 = -6 - a * - b = i a * i b = i 2 ab = - ab
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK
Folgen und Reihen Eine Folge ist eine nach einem bestimmten Gesetz aufeinanderfolgende Anzahl von Zahlen. z. Bsp:
4
8
12
16
20
24
....
Wenn die einzelnen Glieder einer Folge addiert werden, so erhält man eine arithmetische Reihe. z. Bsp:
4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24
....
Allgemein gelten folgende Bezeichnungen: Das erste Glied (Anfangsglied):
a1
Das zweite Glied:
a2
Das allgemeine Glied (k-te Glied):
ak
Das letzte Glied:
an
Die konstante Differenz:
d
Demzufolge: Das vierte Glied:
a4=a1+3d
Das k-te Glied:
ak=a1+(k-1)*d
Das letzte Glied:
an=a1+(n-1)*d
Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist gleich dem arithmetischen Mittel seiner zwei benachbarten Glieder. Summe der Arithmetischen Reihe: n S = (a1 + a n ) 2
oder S=
n [2a1 + (n - 1)d ] 2
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ZUSAMMENFASSUNG ARITHMETIK Arithmetische Interpolation Um zwischen zwei Zahlen a und b, m weitere Zahlen einzuschieben, sodass eine arithmetische Folge entsteht, so gilt folgende Formel zur Berechnung der Differenz: di =
a b m di
b-a m +1
= = = =
Anfangsglied Endglied Anzahl der eingeschobenen Glieder Differenz der entstandenen arithmetischen Folge
Geometrische Folgen und Reihen Seite 86-91
Zinseszinsrechnungen Seite 92
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