Mengen

• Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.B. Halmos 1976). • Mengen k¨onnen verschiedene Typen von Elementen enthalten: Zahlen, Symbole, andere Mengen, etc.

Formale Sprachen und Automaten

• Mengen kann man dadurch charakterisieren, dass man ihre Elemente aufz¨ahlt. Menge1 = {1, 3, 4, 6} Menge2 = {Moses, Josua, Ruth, Samuel} • Die Elemente einer Menge haben nicht notwendigerweise etwas gemein.

Mathematisches Ru ¨stzeug

Menge3 = {1, 4, Josua, Ruth} • Reihenfolge und Dopplung der Elemente sind egal. {1, 3, 4, 6} = {3, 6, 4, 1} {1, 3, 4, 6} = {6, 6, 1, 3, 4, 6, 4}

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Mengen 2

Mengen 3

• ∈ bezeichnet die Elementbeziehung, 6∈ die negierte Form davon. 1 ∈ {1, 3, 4, 6} 5 6∈ {1, 3, 4, 6} • A ist eine Teilmenge von B (A ⊆ B), genau dann, wenn (gdw). fu ¨r alle x gilt: wenn x ∈ A, dann x ∈ B. A = B gdw. A ⊆ B und B ⊆ A • A ist eine echte Teilmenge von B (A ⊂ B), gdw. A 6= B und A ⊆ B • Es gibt eine Menge ohne Element: die leeren Menge. Man schreibt { } oder ∅. • Es gibt eine Menge, die alle Elemente enth¨alt: die universale Menge (manchmal als U geschrieben). – Typeset by FoilTEX –

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• Wenn Mengen sehr groß sind, ist es umst¨andlich, ihre Elemente aufzuz¨ahlen. Wenn Mengen unendlich sind, ist dies praktisch sogar unm¨oglich. • Man greift daher auf zwei alternative Darstellungen zuru ¨ck. 1. Entweder, man deutet mit . . . an, wie die Elementfolge fortgefu ¨hrt werden ko¨nnte: Menge der natu ¨rlichen Zahlen (N ) = {1, 2, 3, . . .} 2. Man abstrahiert von einer Eigenschaft, die alle Elemente der Menge haben: Menge der Primzahlen = {x|x ist nur durch 1 und durch sich selbst teilbar} • (Darstellung 1. vertraut darauf, dass der Leser die Abstraktion selber durchfu ¨hrt).

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Mengenoperationen

Mengenoperationen 2

• Es gelten folgende bin¨are Operationen auf Mengen:

• Das Komplement einer Menge A (A) ist definiert als: A¯ = U − A

1. Vereinigung: A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} 2. Schnitt: A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} 3. Komplementbildung: A − B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B} • Vereinigung und Schnitt k¨onnen generalisiert werden auf eine beliebige Zahl von Mengen. Sei S eine Menge von Mengen S S = {x|x ∈ S1 ∪ S2 ∪ . . . ∪ Sn ∧ S1, . . . , Sn ∈ S} T S = {x|x ∈ S1 ∩ S2 ∩ . . . ∩ Sn ∧ S1, . . . , Sn ∈ S}

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• Komplementgesetze: 1. 2. 3. 4.

A∪A=U (A) = A A∩A=∅ A−B =A∩B

• DeMorgans Gesetze: 1. (A ∪ B) = A ∩ B 2. (A ∩ B) = A ∪ B

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Mengenoperationen 3

Folgen

• Es gibt wenigstens zwei bin¨are Operationen auf Mengen.

• Eine Folge ist eine geordnete Liste von Elementen.

• Die Kardinalit¨ at einer Menge A (|A|) bezeichnet die Anzahl der Elemente von A (As M¨achtigkeit). |A| = Σx∈A

Folge1: (1,2,3,4,5) Folge2: (Moses, Josua, Ruth, Samuel) Folge3: (1, Moses, 2, Josua, 3, Ruth) • Folgen sind geordnet, doppelte Elemente sind nicht redundant.

• Die Potenzmenge von A (2A oder P(A)) ist die Menge aller Teilmengen von A.

(1,2,3,4,5) 6= (3,1,2,5,4) (1,2,3,4,5) 6= (1,1,2,3,4,4,4,5)

P(A) = {x|x ⊆ A} • Folgen k¨onnen endlich oder unendlich sein. Eine endliche Folge nennt man ein Tupel. Ein Tupel mit k Elementen nennt man ein k-Tupel.

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Folgen 2

Relationen

• Wenn A und B Mengen sind, dann ist das Kartesische Produkt (oder Kreuzprodukt) aus A und B (A × B) definiert als die Menge aller 2-Tupel deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist.

• Eine Relation R zwischen den Mengen A und B ist eine Teilmenge von A × B.

A × B = {(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B} • Das Kartesische Produkt kann auf n Stellen generalisiert werden. A1 × . . . × An = {(x1, . . . , xn)|xi ∈ Ai, 1 ≤ i ≤ n} • Ist eines der Ai leer, so ist auch das Produkt die leere Menge. • Das n-fache Kartesische Produkt, bei dem alle Ai gleich A sind, schreibt man auch als An.

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• Beispiel: Sei A = {a, b, c} und B = {1, 2, 3}, dann ist R1 = {(a, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 3)} eine Relation zwischen A und B. • R1 ist bin¨ar. Relationen k¨onnen k-stellig sein. Sie sind dann Teilmengen des Kartesischen Produkts A1 × . . . × Ak . • Das Inverse einer Relation R ⊆ A × B, bezeichnet als R−1 ⊆ B × A, ist definiert als R−1 = {(b, a)|(a, b) ∈ A × B} • Ein Pfad in einer bin¨aren Relation R ist eine Folge (a1, . . . , an) mit n ≥ 1, so dass (ai, ai+1) ∈ R fu ¨r i = 1, . . . , n − 1. – Typeset by FoilTEX –

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Eigenschaften von Relationen

Funktionen

• Eine Relation R ⊆ A × A ist 1. reflexiv gdw.: (a, a) ∈ R fu ¨r jedes a 2. transitiv gdw.: (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R 3. symmetrisch gdw.: (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R 4. asymmetrisch gdw.: (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) 6∈ R 5. antisymmetrisch gdw.: (a, b) ∈ R ∧ a 6= b ⇒ (b, a) 6∈ R

• Eine Funktion von einer Menge A nach einer Menge B ist eine bin¨are Relation R zwischen A und B mit folgender Eigenschaft: fu ¨r jedes a ∈ A gibt es genau ein b ∈ B, so dass (a, b) ∈ R. R1 = {(x, y)|x ist ein Vater und y ist ein Kind} R2 = {(y, x)|x ist ein Vater und y ist ein Kind} • R2 ist eine Funktion, R1 nicht.

• Eine Relation die reflexiv, symmetrisch und transitiv ¨ ist, nennt man Aquivalenzrelation.

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Funktionen 2

Arten von Funktionen

• Man schreibt eine Funktion f von A nach B oft als f : A 7→ B. 1. A ist die Dom¨ ane von f . 2. B ist der Zielbereich von f . 3. f (a) ist das Abbild von a unter f . • Das Abbild einer Menge A unter f wird geschrieben als f [A].

• Eine Funktion f : A 7→ B heißt 1. injektiv, gdw. fu ¨r jedes b ∈ B existiert h¨ochstens ein a ∈ A, so dass f (a) = b. 2. surjektiv, gdw. fu ¨r jedes b ∈ B existiert mindestens ein a ∈ A, so dass f (a) = b. 3. bijektiv, gdw. fu ¨r jedes b ∈ B existiert genau ein a ∈ A, so dass f (a) = b (f ist bijektiv gdw. f injektiv und surjektiv ist).

f [A] = {f (a)|a ∈ A}.

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Inverse Funktionen

Funktionale Komposition

• Funktionen sind Relationen, haben also auch ein Inverses. Allerdings ist das Inverse einer Funktion nicht notwendigerweise wieder eine Funktion.

• f : A 7→ B und g : B 7→ C k¨onnen komponiert werden zu einer Funktion h : A 7→ C (oder g ◦ f ). h nimmt ein a ∈ A, macht damit das, was f damit getan h¨atte, und wendet g auf das Ergebnis von f (a) an.

• Man schreibt das Inverse einer Funktion f : A 7→ B als f −1 : B 7→ A.

• Fu ¨r jedes a ∈ A gilt: h(a) = (g ◦ f )(a) = g(f (a)) • Das Inverse einer bijektiven Funktion f ist immer eine bijektive Funktion f −1, die Umkehrfunktion von f . • Das Inverse einer nicht-bijektiven Funktion ist niemals eine Funktion.

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• In diesem Falle existiert nur (g ◦f ) aber nicht (f ◦g), weil der Wertebereich von g nicht gleich der Dom¨ane von f ist. • Wenn aber f : A 7→ A und g : A 7→ A, dann existieren sowohl (g ◦ f ) als auch (f ◦ g).

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Beweis durch Widerspruch

Endliche und unendliche Mengen

• Ein wichtiges Beweisschema ist der Beweis durch Widerspruch.

• Mengen A und B sind gleich m¨ achtig, wenn es eine Bijektion zwischen A und B gibt.

• Beweis von Hypothese H durch Widerspruch:

• Eine Menge A ist endlich, wenn es eine Bijektion zwischen A und {1, . . . , n} gibt, fu ¨r eine natu ¨rliche Zahl n ∈ N .

1. Nimm an, es gelte die Negation von H: H 0 2. Leite dann unter dieser Annahme durch logische Schlußfolgerungen einen Widerspruch ab. 3. Das einzige, was in dieser Ableitung zum Widerspruch gefu ¨hrt haben kann, ist die Annahme, dass 0 H gilt. 4. Daher muss H 0 falsch sein (H 0 kann nicht richtig sein, und eine dritte M¨oglichkeit gibt es nicht). q.e.d. 5. Wenn H 0 falsch ist, dann ist H wahr. • Das Schema beruht auf der Annahme, dass H/H 0 nicht gleichzeitig wahr und falsch sein k¨onnen.

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• Eine Menge A ist unendlich, wenn sie nicht endlich ist. • Beispiele fu ¨r unendliche Mengen: die natu ¨rlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die Primzahlen, die reellen Zahlen, . . . • Sind alle unendlichen Mengen gleich m¨achtig (d.h. kann man immer eine Bijektion zwischen solchen Mengen finden)?

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Abz¨ ahlbarkeit

¨ Uberabz ahlbare Mengen und ¨ Diagonalisierung

• Eine Menge A ist 1. abz¨ ahlbar, wenn (a) A endlich ist, oder (b) A abz¨ahlbar unendlich ist. 2. abz¨ ahlbar unendlich, wenn A gleich m¨achtig ist wie N (es gibt Bijektion zwischen A und N ). 3. u ahlbar, wenn A nicht abz¨ahlbar ist. ¨berabz¨ • Beispiele fu ¨r abz¨ahlbar unendliche Mengen: 1. die geraden Zahlen 2. die ganzen Zahlen 3. die Vereinigung zweier abz¨ahlbar unendlicher Mengen 4. . . .

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• Nicht alle unendlichen Mengen sind abz¨ahlbar. Dies kann man durch Cantors (Georg Cantor, 1845-1918; deutscher Mathematiker) Diagonalisierungsprinzip zeigen (siehe Cantor 1890). • Diagonalisierungsprinzip: Sei R ⊆ A × A eine bin¨are Relation und sei D die Diagonalisierungsmenge fu ¨r A: D = {a|(a, a) 6∈ R}. Fu ¨r jedes a ∈ A sei Ra = {b|b ∈ A ∧ (a, b) ∈ R}. Dann ist D verschieden von jedem Ra. • Das Diagonalisierungsprinzip ist anwendbar auf endliche und unendliche Mengen.

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Cantors Diagonalisierungstheorem

Vollst¨ andige Induktion

• Theorem: Die Menge 2N ist u ¨berabz¨ahlbar unendlich.

• Hypothese: Eigenschaft P gilt fu ¨r alle natu ¨rlichen Zahlen.

• Beweis durch Widerspruch:

• Beweis: erfolgt u ¨blicherweise durch das Prinzip der vollst¨andigen Induktion.

1. Angenommen 2N sei abz¨ahlbar unendlich. Dann existiert eine Bijektion von N nach 2N (d.h., man kann jedes Element von 2N mit einer natu ¨rlichen N Zahl indizieren): 2 = {R0, R1, R2, . . .}. 2. Bilde die Diagonalmenge D = {n ∈ N |n 6∈ Rn}. 3. D enth¨alt nur natu ¨rliche Zahlen, muss also in 2N sein. 4. Also muss es ein k ∈ N geben, so dass D = Rk . 5. Das kann aber nicht sein, da D 6= Rk , fu ¨r jedes k (nach Konstruktion von D). Man hat also einen Widerspruch. 6. Dann muss die Annahme, dass 2N abz¨ahlbar unendlich ist, falsch sein. q.e.d.

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• Schema der vollst¨andigen Induktion: 1. Zeige, dass P fu ¨r 0 (oder 1) gilt (Induktionsanfang). 2. Nimm an, dass P fu ¨r eine beliebige natu ¨rliche Zahl n gilt (Induktionsannahme). 3. Zeige, dass P fu ¨r n + 1 gilt (Induktionsschritt).

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Induktionsbeweis 1. Beispiel

Induktionsbeweis 1. Beispiel, 2

• Beobachtung:

• Fortsetzung

1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Induktionsschritt: Pn+1 k=1 (2k − 1) = Pn k=1 (2k − 1) + (2(n + 1) − 1) = Pn k=1 (2k − 1) + (2n + 1) = (wegen Voraussetzung)

• Zeige: Fu ¨r alle natu ¨rlichen Zahlen n ≥ 1 gilt Pn 2 k=1 (2k − 1) = n .

n2 + 2n + 1 =

• Beweis (Franciscus Maurolicus, 1494-1575): durch vollst¨andige Induktion u ¨ber n.

(n + 1)2

q.e.d.

Induktionsanfang (n = 1): P1 2 k=1 (2k − 1) = 1 = 1 Induktionsvoraussetzung: Pn Es gilt k=1(2k − 1) = n2. – Typeset by FoilTEX –

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Induktionsbeweis 2. Beispiel

Induktionsbeweis 2. Beispiel, 2

• Zeige: |P(M )| = 2n, wenn |M | = n.

• Fortsetzung Induktionsschritt:

• Beweis: durch vollst¨andige Induktion u ¨ber n. Induktionsanfang (n = 0): 1. Wenn M = ∅, dann |M | = 0. 2. Dann ist P(M ) = {∅}, denn nur die leere Menge ist Teilmenge der leeren Menge. 3. Dann ist |P(M )| = 1 = 20. Induktionsvoraussetzung: Sei |M | = n und es gelte |P(M )| = 2n.

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1. Sei |M | = n+1 und sei x ein bestimmtes Element in M . 2. Teile P(M ) auf in (a) alle A ∈ P(M), so dass x 6∈ A (b) alle B ∈ P(M), so dass x ∈ B 3. Nach Vorraussetzung ist die Anzahl der A ∈ P(M) = 2n (alle As sind Teilmengen einer Menge mit n Elementen; x fehlt!). 4. Aus allen Bs kann man x entfernen. Das ¨andert die Anzahl der Bs nicht, aber danach handelt es sich auch bei den Bs um Teilmengen einer Menge mit n Elementen. Also gilt nach Voraussetzung, dass die Anzahl aller B = 2n 5. Addiere die Anzahl der As und Bs: 2n + 2n = 2n+1 q.e.d. – Typeset by FoilTEX –

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Schubfachprinzip

Abschlusseigenschaften

• Schubfachprinzip (pigeon hole principle): Wenn A und B endliche Mengen sind, und wenn |A| > |B|, dann gibt es keine injektive Funktion f : A 7→ B.

• Eine Menge B ⊆ D heißt abgeschlossen unter einer Relation R ⊆ Dn+1 wenn fu ¨r alle b1, . . . , bn+1 gilt: Wenn b1, . . . , bn ∈ B und wenn (b1, . . . , bn, bn+1) ∈ R, dann gilt auch bn+1 ∈ B.

• Beweis: durch vollst¨andige Induktion u ¨ber |B|. Induktionsanfang (|B| = 0): Dann existiert f : A 7→ B nicht und kann auch nicht injektiv sein. Induktionvoraussetzung: Es gibt kein injektives f : A 7→ B fu ¨r |B| = n, wenn |A| > |B|. Induktionsschritt: Sei |A| > |B| und |B| = n + 1. Betrachte a ∈ A. Wenn es a0 ∈ A gibt, so dass a 6= a0 und f (a) = f (a0), dann ist f nicht injektiv. Falls kein solches a0 ∈ A existiert, betrachte g : A − {a} 7→ B − {f (a)}, wobei g sonst wie f ist. Nach Voraussetzung ist g aber nicht injektiv. Also ist f auch nicht injektiv. q.e.d.

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• Eine Eigenschaft der Form “die Menge B ist abgeschlossen unter der Relation R” nennt man eine Abschlusseigenschaft von B. • Beispiel: N ist abgeschlossen unter Addition, Multiplikation, und Quadratur, aber nicht unter Subtraktion, Division, oder dem Ziehen der Quadratwurzel. • Abschlusseigenschaften k¨onnen benutzt werden, um aus kleineren Mengen gr¨oßere zu konstruieren. • Der reflexiv transitive Abschluss (reflexiv transitive Hu ¨lle) einer Relation R ⊆ A2 ist die Relation R∗ = {(a, b)|a, b ∈ A und es gibt einen Pfad von a nach b in R}. – Typeset by FoilTEX –

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Literatur ¨ Cantor, Georg (1890): ‘Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre’, Deutsche MathematikerVereinigung 1, 75–78. Halmos, Paul (1976): Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, G¨ottingen.

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