Forma, espacio y medida Manual para el Participante
i
El Curso de Actualización Las Matemáticas y su Enseñanza en la Escuela Secundaria II. Forma, espacio y medida; fue elaborado por la Universidad de Sonora y la Sociedad Matemática Mexicana en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio de la Subsecretaría de Educación Básica, de la Secretaría de Educación Pública.
Autores: M en C. Ana Guadalupe del Castillo M en C. Martha Cristina Villalba G. M en C. Jorge Ruperto Vargas Castro
Supervisión Técnica y Pedagógica: Maestra Ma. Alma Díaz Barriga Ing. Alma Lucía Hernández Pérez
Diseño de portada Ricardo Muciño Mendoza
Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan todos los contribuyentes. Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra no podrá ser reproducido total ni parcialmente, ni almacenarse en sistemas de reproducción, ni transmitirse por medio alguno sin permiso de los titulares de los derechos correspondientes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a lo establecido.
Primera edición: 2009 D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, C.P. 06200, México D.F. ISBN en trámite.
ii
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida
ÍNDICE Presentación
1 Sesión 1
A1 Construcción de estructuras A2 Construcción de cuadriláteros dadas las medidas de sus lados A3 Construcción de triángulos dadas las medidas de sus lados A4 Construcción de estructuras 2 A5 Doblando papel; trazos notables A6 Trazo de las mediatrices, bisectrices y medianas en ángulos de un triángulo A7 Trazo de las alturas de un triángulo A8 Trazos notables con regla y compás A9 Trazo de las mediatrices y medianas en un triángulo con regla y compás A10 Explorando “Software de Geometría Dinámica”
3 3 5 7 8 10 12 14 17 19
Sesión 2 A1 Adquiriendo la noción de reflexión A2 Iniciando matematización A3 Afianzando la noción de reflexión A4 Usando vidrio reflecta para ver las propiedades de la reflexión A5 Usando software de geometría dinámica para analizar la reflexión A6 Construyendo la definición A7 Validando una conjetura A8 Usando software de geometría dinámica para generar la rotación como composición de reflexiones A9 Usando software de geometría dinámica para generar la traslación como composición de reflexiones A10 No toda reflexión es simetría ni toda simetría es reflexión A11 Nuestros materiales de trabajo
Sesión 3
A1Dibujos a escala: Identificar una buena imagen A2 Dibujos a escala: Doblar coordenadas A3 Medidas indirectas A4 ¿Otros criterios de semejanza de triángulos? A5 De las razones a las funciones trigonométricas A6 Nuestros materiales de trabajo iii
22 23 25 27 28 29 30 31 33 34 35
36 38 41 43 47 52
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida
Sesión 4 A1 ¿Qué significa medir? A2 Área de la palma de la mano A3 Explorando áreas en el geoplano A4 Triángulo y rectángulos A5 Calculando áreas A6 Un número especial A7 Estimando el área del círculo A8 Adquiriendo la noción de volumen A9 Cilindros y conos A10 Presentación de una actividad diseñada
54 55 57 58 59 63 64 65 68 69
Lecturas Lectura 1: Pensamiento geométrico y conceptos geométricos Lectura 2: El modelo de razonamiento de Van Hiele como marco para el aprendizaje comprensivo de la geometría. Un ejemplo: Los giros Lectura 3: Perspectivas en la enseñanza de la geometría para el siglo XXI
Anexo Retículas
iv
73 85 105
113
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Presentación
PRESENTACIÓN Este material se compone de una secuencia de actividades que tienen como intención, en cada una de las sesiones, llevar a cabo aproximaciones al pensamiento geométrico a través de experiencias que involucran fuertemente procesos de construcciones, no sólo de figuras o formas con el fin de reconocerlas o clasificarlas, sino de aquellas construcciones y procesos que incluyen relaciones más finas de las propiedades de los objetos geométricos estudiados. Se pretende generar articulaciones conceptuales que faciliten realmente la promoción de habilidades como observar, clasificar, describir, relacionar, trazar, medir, abstraer, calcular, argumentar, justificar, intuir, conjeturar, deducir y probar, entre otras, que distinguimos como propias de ese pensamiento geométrico el cual tenemos como responsabilidad promover en los estudiantes de este nivel. Las Actividades se encuentran agrupadas en cuatro Sesiones: En la primera se coloca al centro la construcción de trazos, figuras y estructuras en las que las acciones requeridas para llevarlas a cabo ponen en juego la utilización de estrategias que implican, a su vez, búsqueda de relaciones entre los elementos geométricos implicados. La segunda desarrolla los temas de isometrías y simetrías cuyo tratamiento propicia de especial manera acciones que implican una fuerte dosis de articulaciones entre la serie de habilidades del pensamiento geométrico antes mencionadas. La tercera aborda inicialmente el tema de semejanza a través de situaciones en las que los cuestionamientos sobre aquellos principios que utilizamos en clase de manera rutinaria, despierten la actitud crítica sobre reglas establecidas, y así, lograr determinar restricciones y alcances de las mismas debidamente justificados. Luego, haciendo una articulación con el tema de 1
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Presentación
semejanza anteriormente visto, se abordan las razones trigonométricas y se justifican como funciones. Por último, la cuarta sesión tiene como eje el tema de medición, el cual se aborda inicialmente mediante actividades que llevan implícita la reflexión sobre cuestionamientos como ¿qué significa medir?, ¿por qué son necesarias las medidas estándar?, ¿por qué son las que son?, ¿cómo sabemos qué cosa es más grande? etc. Igualmente las reflexiones están implícitas en las actividades de cálculo de áreas y volúmenes. El común denominador para las cuatro sesiones consiste en que todas conducen a llevar a cabo diferentes tipos de manipulaciones, ya sea con objetos propiamente manipulables, ya sea con trazos sobre el papel –con y sin instrumentos geométricos–, o bien simulaciones en ambiente computacional. Trabajar en equipo y socializar los diversos procesos llevados a cabo, tratando de argumentar sobre su eficacia y/o validez, consideramos que será la estrategia central para asegurar esa promoción del pensamiento geométrico que buscamos. Finalmente, no podemos dejar de lado otra importante característica común, y es la de considerar en cada sesión cómo es que lo estudiado y experimentado en ella se encuentra en los materiales que tenemos como recursos didácticos para el desarrollo de nuestras clases (textos, guías, videos, software, etc).
2
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
Sesión 1 A1 Construcción de estructuras 1 Para esta actividad se necesitarán palillos de dientes y bombones miniatura (u otro tipo de material que sirva como conector). Se trabaja en equipos de 4 personas. Su equipo tiene 10 minutos para construir la estructura más alta posible que se pueda sostener por sí sola. Al término de los 10 minutos, mida la altura de su estructura y conteste las siguientes preguntas. Altura: _____________________ 1. ¿Qué características observan en su estructura? (se mantiene rígida, se bambolea, se ladea, alcanzó poca altura, etc.)
2. ¿A qué creen que se deban esas características?
Sin destruir esta estructura, continúen con las siguientes actividades
A2 Construcción de cuadriláteros dadas las medidas de sus lados 1. Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el instructor para tratar de construir cuadriláteros con las medidas indicadas en la tabla de abajo y llene los recuadros en blanco. Si puede construir el cuadrilátero, trate de cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus lados y llene la sexta columna. En los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted mismo. 3
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
Lado A (Unidades)
Lado B (Unidades)
Lado C (Unidades)
Lado C (Unidades)
10
10
10
10
10
7
5
4
10
5
6
4
7
6
3
4
8
6
4
4
6
4
1
2
8
3
3
2
9
2
3
3
¿Se puede construir el cuadrilátero? (Si/No)
¿Se puede deformar el cuadrilátero? (Si/No)
2. Considere las longitudes de los lados de los cuadriláteros anteriores. ¿Podría unir los segmentos en un orden diferente para hacer un cuadrilátero diferente? Si es así, ¿en cuáles?
3. Escriba con sus propias palabras una regla que describa cuándo se puede construir un cuadrilátero dadas las longitudes de sus lados. Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros.
4. ¿Se pueden construir dos cuadriláteros diferentes, dadas las medidas de sus lados? Justifique su respuesta
4
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
5. En el cuadrilátero de medidas 8, 6, 4, 4, elimine uno de los lados y cierre la figura, ¿Qué observa en cuanto a la flexibilidad de la nueva figura?
A3 Construcción de triángulos dadas las medidas de sus lados 1. Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el instructor para tratar de construir triángulos con las medidas indicadas en la tabla de abajo y llene los recuadros en blanco. Si puede construir el triángulo, trate de cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus lados para llenar la quinta columna. En los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted mismo.
Lado A (Unidades)
Lado B (Unidades)
Lado C (Unidades)
8
8
8
8
7
4
5 7 6
4 3 3
2 4 2
5
¿Se puede construir el triángulo? (Si/No)
¿Se puede deformar el triángulo? (Si/No)
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
2. Si se le pide construir triángulos en los que un lado mide 16 unidades, y los otros dos se dan en la lista de abajo, ¿en qué casos cree que podría construirlo? Justifique su respuesta sin tratar de construir el triángulo.
Lado B Lado C (Unidades) (Unidades) 6
6
8
7
9
10
6
10
8
9
10
4
14
6
14
1
¿Se puede construir el triángulo?
¿Por qué?
3. ¿Qué condición considera deben cumplir las longitudes de tres segmentos para poder construir un triángulo? Escriba con sus propias palabras una regla que describa la relación entre las medidas de los lados de un triángulo.
4. Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros.
6
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
5. Suponga que se le pide construir un triángulo cuyos lados miden 14.5, 21.4 y 17.3 cms. ¿Cree que podrá hacerlo? Justifique su respuesta.
6. ¿Se pueden construir dos triángulos diferentes, dadas las tres medidas de sus lados? Justifique su respuesta ¿Es diferente construir triángulos a construir cuadriláteros? ¿En qué sentido?
7. Trate de expresar por escrito en forma resumida una conclusión que tome en cuenta los cuestionamientos hechos
A4 Construcción de estructuras 2 Para esta actividad de nuevo su equipo utilizará la estructura construida en la actividad 1. Observen su estructura y contesten las siguientes preguntas. Altura: _____________________ 1. ¿Qué tipo de figuras usaron en su estructura?
2. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más fuerte?
7
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
3. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más débil?
4. Si tuvieran la oportunidad de construir la estructura otra vez, ¿qué cambiarían?
Construyan una nueva en 10 minutos. El propósito es construir una estructura más alta que la anterior. Altura de la nueva estructura: _____________________
A5 Doblando papel; trazos notables Esta actividad se desarrolla individualmente pero comentando con sus compañeros de equipo. Usted necesita hojas transparentes para doblar. Si en el cuadernillo de actividades no se encuentran las hojas translúcidas desprendibles, su instructor le proporcionará las necesarias. Es importante que tan sólo trabaje con sus manos, la hoja que esté doblando y el lápiz con el que resaltará, en algún doblez, el trazo requerido. ¿Tiene a la mano su primera hoja para doblar? Si es así ya está usted listo(a) para realizar algunas de las construcciones geométricas más prácticas en una gran cantidad de de ámbitos: costura, arquitectura, albañilería, deporte, ingeniería, arte, cocina, etc.
8
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
1. Tome la hoja y exprese qué hacer para trazar un segmento de recta:
¡Trace el segmento en su hoja!
2. Ahora ¿Cómo encuentra exactamente el punto medio de ese segmento? Después de marcarlo en el segmento comente con su pareja cómo es que con toda seguridad puede afirmar que es exactamente el punto requerido. Escriba a continuación en forma breve su principal argumento para tal afirmación: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Coméntenlo con el resto del grupo. 3. Si ahora traza usted una línea perpendicular al segmento que pase por ese punto medio, obtendrá la mediatriz del segmento. La mediatriz tiene la propiedad de que cada uno de sus puntos equidistan de los extremos de segmento.
Trace la mediatriz y verifique la propiedad mencionada en el párrafo anterior, tomando cualquier punto de ella (menos el de intersección con el segmento).
9
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1 Describa brevemente cómo dobló el papel para obtener la mediatriz
¿Qué es lo que le permite asegurar que la línea trazada por ese punto medio es perpendicular al segmento?
Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con ellos cómo es que llevó a cabo la verificación sobre la propiedad de la mediatriz dada en el primer párrafo de este punto.
4. Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el anterior. Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté sobre o bajo el segmento, pero no alineado con él. Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una línea que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación) y que pase por ese punto. Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es perpendicular.
10
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
5. Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en las anteriores y seleccione de nuevo un punto cualquiera –con las mismas restricciones que antes – Construya una paralela al segmento que pase por el punto. Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es paralela.
A6 Trazo de las mediatrices, bisectrices y medianas en un triángulo Para esta actividad el instructor le proporcionará al menos 12 hojas de papel transparente, si no se encuentran incluidas en este folleto. 1. En primer término tome 4 hojas. Dibuje en cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente. Pueden ser parecidos a los siguientes (tal vez de mayor tamaño cada uno):
2. En cada triángulo trace las mediatrices, tomando en cuenta que:
Un triángulo tiene tres mediatrices.
La mediatriz de cada lado del triángulo es la recta perpendicular a dicho lado y que pasa por su punto medio.
Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediatriz 11
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
3. Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes. En cada uno trace las medianas, tomando en cuenta que:
Un triángulo tiene tres medianas.
Cada mediana es un segmento de línea cuyos extremos son el punto medio de un lado del triángulo y el vértice opuesto a él.
Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediana
4. Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes. En cada uno trace las bisectrices, tomando en cuenta que: •
Un triángulo tiene tres bisectrices. Cada bisectriz es un segmento de línea que biseca (divide en dos partes iguales) cada uno de sus tres ángulos, y por lo tanto parte de un vértice hasta el lado opuesto.
Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada bisectriz.
5. Responda brevemente a las siguientes cuestiones y luego compare sus respuestas con las de sus compañeros. ¿Cuál trazo se le dificultó menos?___________________ ¿Cuál se le dificultó más? ______________
¿En todos los triángulos se mantiene la misma dificultad?______________ 12
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar?
¿Qué particularidad tomarán esas características en un triángulo isósceles? Coméntelo con sus compañeros y a juicio del instructor verifique su conjetura.
A7 Trazo de las alturas en un triángulo Para esta actividad el instructor le proporcionará al menos 4 hojas de papel translúcido, si no se encuentran incluidas en este folleto. 1. Dibuje en cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente. Pueden ser parecidos a los siguientes (tal vez de mayor tamaño cada uno):
2. En cada triángulo trace las alturas, tomando en cuenta que:
Un triángulo tiene tres alturas.
•
Cada altura es un segmento de línea que parte desde un vértice hasta el lado opuesto -o su prolongación-, con una dirección perpendicular a ese lado opuesto. 13
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada altura.
3. Responda brevemente a las siguientes cuestiones y luego compare sus respuestas con las de sus compañeros. ¿En cuál triángulo el trazo de las alturas se le dificultó menos? _____________ ¿En cuál se le dificultó más? ______________
¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar?
¿Qué particularidad cree que tomarán esas características en un triángulo isósceles? Comente con sus compañeros lo que haya conjeturado y registre en sus notas lo que le parezca importante, con el propósito de verificarlo posteriormente mediante construcciones con software de geometría dinámica.
4. Observe los triángulos dibujados entre líneas paralelas de la siguiente figura y responda a las cuestiones que se plantean, sin hacer mediciones, solamente reflexionando en las propiedades de lo que se observa:
14
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
C
A
D
E
B
¿Qué características tienen en común los tres triángulos?
¿Cómo podría usted argumentar la validez de su respuesta? Escriba brevemente su argumento y luego comente con sus compañeros.
A8 Trazos notables con regla y compás Esta actividad se desarrolla individualmente pero comentando con sus compañeros de equipo. Necesitará hojas blancas para trabajar, las cuales le serán proporcionadas por el instructor. 1. Tome la hoja y trace en ella un segmento de recta. Ahora, haciendo uso únicamente de la regla no graduada y el compás ¿Cómo encuentra exactamente el punto medio de ese segmento?
15
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
¡Trace el punto medio del segmento!
Después de marcarlo en el segmento comente con sus compañeros de equipo cómo es que con toda seguridad puede afirmar que es exactamente el punto requerido. Escriba a continuación en forma breve su principal argumento para tal afirmación:
Coméntenlo con el resto del grupo. 2. Trace la mediatriz del segmento y verifique la propiedad mencionada en el punto 3 de la actividad 5, tomando un punto de ella (menos el de intersección con el segmento).
Describa brevemente los trazos necesarios para obtener la mediatriz
¿Qué es lo que le permite asegurar que la línea trazada por ese punto medio es perpendicular al segmento?
Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con ellos cómo es que llevó a cabo la verificación sobre la propiedad solicitada.
16
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
3. Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el anterior. Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté sobre o bajo el segmento, pero no alineado con él. Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una línea que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación) y pase por ese punto. Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es perpendicular.
4. Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en las anteriores y seleccione de nuevo un punto cualquiera –con las mismas restricciones que antes – Construya una paralela al segmento que pase por el punto. Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es paralela
17
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
A9 Trazo de las mediatrices, bisectrices y medianas en un triángulo con regla y compás Para esta actividad el instructor le proporcionará al menos 16 hojas de papel. 5. En primer término tome 4 hojas. Dibuje en cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente. Pueden ser parecidos a los siguientes (tal vez de mayor tamaño cada uno):
6. Utilizando regla y compás, trace en cada triángulo las tres mediatrices. Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediatriz
7. Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes. En cada uno trace las tres medianas
Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada mediana
18
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
8. Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes. En cada uno trace las bisectrices Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada bisectriz.
9. Tome otras cuatro hojas y repita el dibujo de los triángulos diferentes. En cada uno trace las bisectrices Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada bisectriz.
10. Responda brevemente a las siguientes cuestiones y luego compare sus respuestas con las de sus compañeros. ¿Cuál trazo se le dificultó menos?___________________ ¿Cuál se le dificultó más? ______________ ¿En todos los triángulos se mantiene la misma dificultad?______________ ¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar?
¿Qué particularidad tomarán esas características en un triángulo isósceles? Coméntelo con sus compañeros y a juicio del instructor verifique su conjetura.
19
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
A10 Explorando “Software de Geometría Dinámica” Con el fin de familiarizarse con los comandos del software de geometría dinámica que vamos a utilizar a lo largo de esta actividad, realice las siguientes acciones guiado por su instructor: 1. Construya un segmento de recta, determine su longitud dinámica y deslice alternativamente sus puntos extremos para observar lo que sucede. 2. Construya un ángulo, determine su medida dinámica y varíe su abertura. Observe. 3. Construya un triángulo, etiquete sus vértices y sus lados, determine las medidas de sus lados y de sus ángulos, obtenga su perímetro y su área. 4. Dado un segmento de recta y un punto exterior a él, construir una recta paralela y otra perpendicular a dicho segmento que pasen por el punto dado.
20
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
5. Construir un rectángulo arbitrario. 6. Construir un cuadrado dado un lado. 7. Construir un hexágono regular. 8. Exprese sus primeras impresiones acerca del uso de un software de este tipo. Ahora, mediante las acciones que a continuación se enumeran, se propone consolidar, y de alguna manera validar, algunas de las conjeturas surgidas en sesiones anteriores; vistas ahora con la potencialidad y recursos de este software computacional. 9. Construir un triángulo y trazarle sus mediatrices y pintarlas de color azul. Deslice cualquiera de los vértices del triángulo y analice las posibles intersecciones de las mediatrices. o ¿Se intersecan siempre las tres mediatrices en un punto? Argumente
o ¿Cuáles son las posibles posiciones del punto de intersección con respecto al triángulo? Detalle
10. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos correspondientes al punto1, pero en relación a las medianas, las cuales serán pintadas de rojo. Contestar las respectivas preguntas del punto anterior.
21
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
11. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos correspondientes al punto1, pero en relación a las bisectrices, las cuales serán pintadas de negro. Contestar las respectivas preguntas.
12. Desarrollar, en el mismo triángulo, los pasos correspondientes al punto1, pero en relación a las alturas, las cuales serán pintadas de verde. Contestar las respectivas preguntas
13. Desliza uno de los vértices hasta que el triángulo, con todas las líneas especiales trazadas, se aproxime mucho a un triángulo isósceles. Describa lo que observa.
14. Desliza uno de los vértices hasta que el triángulo, con todas las líneas especiales trazadas, se aproxime mucho a un triángulo equilátero. Describa lo que observa.
22
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 1
Tarea Lectura 1: “Pensamiento Geométrico y Conceptos Geométricos” Van de Walle, John A.
23
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
Sesión 2 A1 Adquiriendo la noción de reflexión 1. Haga movimientos de su mano o parte de ella (Por ejemplo mover los dedos) frente a uno de los pequeños espejos que se le proporcionan. Anote sus observaciones acerca de la relación que encuentra entre el objeto (La mano) y la imagen reflejada en el espejo.
2. Colóquense dos compañeros, uno frente al otro, imagínense que en medio de ellos se encuentra un gran espejo (Que a la vez transparenta), uno de los compañeros realiza algún movimiento y el otro intenta representar la imagen reflejada del compañero en el espejo imaginario, enseguida se invierten los papeles. Describa cómo tuvieron que ser los movimientos del que representaba la imagen, con respecto al que representaba el objeto y las dificultades que ello le representó.
3. Dibuje la imagen reflejada de la siguiente figura con respecto a la recta dada, como si fuera un espejo.
24
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
4. Dada una figura y una línea recta sobre una hoja de papel, obtenga la imagen reflejada de dicha figura, como si la línea fuera el espejo, utilizando papel carbón y doblez de papel. 5. Discuta con sus compañeros sus experiencias, escriba lo que concluyeron.
A2 Iniciando matematización 1. Trate de hacer un resumen tomando en cuenta las siguientes preguntas: ¿En qué forma están colocados los pares de figuras en los que una es “reflejo” de la otra?. ¿Qué características medibles tienen entre sí los objetos y sus “reflejos”?.
25
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
2. En la actividad anterior dibujó el reflejo de una figura utilizando una línea como si fuera un espejo mediante doblado de papel y papel carbón. Utilice su dibujo anterior, tome un punto (llámele P) de la figura original y siguiendo el mismo procedimiento (de trabajar con el papel carbón) encuentre su reflejo P’, una el punto P con el punto P’ por medio de un segmento de recta, analice la relación del segmento PP’ con el eje de reflexión y escriba lo que observa. Experimente para más puntos de la figura haciendo el mismo tipo de observaciones. En los renglones siguientes, escriba el resumen de sus observaciones sistemáticas.
3. Corrobore, con la ayuda de una escuadra, el tipo de ángulo que existe entre el eje de reflexión (mal llamado de simetría) y el segmento determinado por el par de puntos P y P’, así como para al menos otros dos pares de puntos en el que uno sea el reflejo del otro y escriba sus observaciones.
4. ¿Qué relación hay entre la distancia del punto P al eje de reflexión y de éste al punto P’? Comente su respuesta.
26
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
5. ¿Sucede lo mismo con los demás pares de puntos? Explique su respuesta.
6. Discuta con sus compañeros lo que en conjunto observó en esta actividad y anote sus conclusiones:
A3 Afianzando lo noción de Reflexión 1.- En cada una de las siguientes cuadrículas, decir si los pares de figuras en ellas contenidas son simétricas o no con respecto al eje que se resalta por el grosor.
2.- En cada una de las siguientes cuadrículas, dibujar la figura simétrica a la figura dada con respecto al eje indicado.
27
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
28
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
A4 Usando vidrio reflecta para ver las propiedades de la reflexión 1. Compruebe que todas las actividades realizadas con la ayuda del papel carbón y el dispositivo mecánico articulado pueden llevarse a cabo por medio del vidrio reflecta, colocando éste perpendicular a la superficie y alineado al eje de reflexión. Explique brevemente qué pasos siguió para concluir lo antes mencionado.
2. Utilizando de nuevo el vidrio reflecta, coloque una figura por un lado de él y observe su reflejo, ahora coloque otra figura de igual forma y tamaño pero de diferente color del otro lado del vidrio reflecta y obsérvelo a través del vidrio y compárelo con el reflejo del primer objeto. ¿Observa alguna propiedad de la reflexión? Enúnciela.
3. Haga un resumen de lo observado, describa las propiedades que debe cumplir una figura para ser reflejo de otra con respecto a un espejo real o virtual.
29
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
A5 Usando Software de geometría dinámica para analizar la reflexión Haciendo uso de algún software de geometría dinámica, realice las siguientes actividades: 1. Trace un punto P y un eje de reflexión, ahora refleje ese punto (Llámelo P’). 2. Trate de mover P. ¿Qué observa?
3. Una el punto P con su reflejo P’ por medio de un segmento (PP’). 4. Mida el ángulo que se forma entre el eje de reflexión y el segmento PP’. 5. ¿Qué relación existe entre esas dos líneas?
6. Ahora mida la distancia que existe entre el punto P y el eje, así mismo la distancia del eje al reflejo del punto. ¿Que observa?
7. Deslice el punto P. ¿Qué observa en cuanto a las medidas que obtuvo anteriormente?
30
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
8. Ahora haga una figura y refléjela. Tomando un punto P de ella, siga el siguiente procedimiento: a)
A ese punto P encuéntrele su reflejo (P’) y una ambos puntos por medio de un segmento.
b)
Mida el ángulo que se forma entre el eje de reflexión y el segmento PP’.
c)
Mida la distancia que existe entre el punto P y el eje, así mismo la distancia del eje al reflejo del punto.
d)
De la misma forma siga experimentando deslizando al punto P sobre la figura.
e)
Dele animación al punto P sobre la figura. Anote sus observaciones:
f)
Mueva su figura original, ya sea de forma total o parcial. ¿Qué observa? Ahora mueva su reflejo.
A6 Construyendo la definición 1. ¿Qué tan importante es para usted la perpendicularidad al hablar de reflexión?
2. Trate de enunciar todas las propiedades o condiciones que deben cumplirse para que exista reflexión (Para que una figura sea reflejo de otra). 31
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
3. Determine un conjunto mínimo de condiciones o propiedades de manera que definan una reflexión.
4. ¿Podría enunciar una definición formal de reflexión? ¡Inténtelo!
A7 Validando una conjetura 1. En la primera sesión, mediante doblez de papel, analizamos algunas líneas y algunos puntos importantes en el triángulo. Escribe a continuación un resumen de lo que sucede con cada uno de esos puntos y líneas en el caso particular de que el triángulo sea isósceles, según lo que analizamos.
2. Enunciamos a continuación una de las conjeturas surgidas en la discusión: “En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo formado por los lados iguales, es al mismo tiempo mediana, mediatriz y altura sobre el lado opuesto a dicho ángulo”. Elabora una estrategia para validar dicha 32
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
conjetura utilizando las propiedades de la reflexión (Mal llamada simetría axial) que hemos estudiado, escríbela en el espacio disponible a continuación y después compárala con la de tus compañeros. Se proporciona una imagen.
ej e de refl exión O
P'
P M
A8 Usando software de geometría dinámica para generar la rotación como composición de reflexiones Haciendo uso de software de geometría dinámica, realice las siguientes actividades: 1. Trace dos líneas no paralelas
33
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
2. Hacia la izquierda de la primera línea, tomada como eje de reflexión, llamémosla j, dibuje una figura (Por ejemplo un triángulo ABC), refléjelo con respecto al eje j, y enseguida refleje la imagen A’B’C’ pero ahora con respecto al otro eje k ¿Qué observa?
3. Gire libremente el eje k con centro de giro en el punto de intersección O de ambos ejes y describa lo que observa.
4. Fije una hoja de papel sobre el escritorio y ancle una tirita de cartulina gruesa con una “chinche”, pegando en el otro extremo un triángulo de cartulina, dibuje una vez el contorno del triángulo que está sujeta en el otro extremo correspondiente a una posición elegida y después gire el dispositivo y compare cada nueva posición del triángulo con el inicialmente contorneado. 5. ¿Qué relación encuentra entre lo observado en el punto 4 y lo observado en 3?
6. Ahora, utilizando el archivo de geometría dinámica que se proyecta, compare el ángulo que forman entre sí los ejes de reflexión con el ángulo formado por el triángulo ABC, tomando el punto O como centro de giro, y el triángulo A’’B’’C’’. ¿Que observa?
7. ¿Qué puede afirmar acerca de la composición de dos reflexiones con respecto a diferentes ejes oblicuos?
34
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
8. ¿Es cerrada la composición de dos reflexiones? Explique
9. ¿Qué pasa con la composición de dos rotaciones con respecto al mismo centro de rotación?
A9 Usando software de geometría dinámica para generar la traslación como composición de reflexiones Haciendo uso de software de geometría dinámica, realice las siguientes actividades: 1. Trace dos líneas paralelas 2. Hacia la izquierda de la línea j, tomada como eje de reflexión (Según archivo proyectado), dibuje una figura (Por ejemplo un triángulo ABC), refléjelo con respecto al eje j y enseguida refleje la imagen A’B’C’,pero ahora con respecto al eje k ¿Qué observa?
3. Deslice libremente el eje k y describa lo que observa.
4. Ahora, utilizando el archivo de geometría dinámica que se proyecta, compare la distancia entre los ejes de reflexión con la distancia entre cualquier punto P del triángulo ABC y el respectivo punto reflejado P’ en el triángulo A’B’C’. ¿Que observa?
35
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
5. ¿Qué puede afirmar acerca de la composición de dos reflexiones con respecto a diferentes ejes paralelos?
6. ¿Es cerrada la composición de dos reflexiones? Explique
7. ¿Qué puede afirmar acerca de la composición de dos traslaciones?
A10 No toda reflexión es simetría ni toda simetría es reflexión 1. Analizando el archivo de geometría dinámica en el que se presenta una circunferencia con un punto P sobre ella y sus respectivas imágenes bajo la reflexión con respecto al eje dado, decir si en todo momento la imagen de P queda en la misma circunferencia a la que pertenece. 2. Al girar el eje sobre uno de sus puntos nos preguntamos. ¿En qué momento la imagen de la circunferencia coincide con la circunferencia inicial? ¿Sucede en ese momento que cualquier punto P de la circunferencia tiene su imagen en la misma circunferencia?
3. ¿Qué se requiere para que una línea recta sea en verdad eje de simetría de una circunferencia?
36
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
4. ¿Es toda reflexión una simetría?
5. Al analizar el archivo de Power Point que se proporciona nos preguntamos: ¿Es toda reflexión una simetría? Y ¿Es toda simetría una reflexión?
6. En el sitio http://www.mcescher.com/, active la liga de Galerías y dentro de ese apartado, activar la liga de Simetría (Symmetry en Ingles) y allí podrá analizarse el uso correcto que, para fines de clasificación de obras de arte, se hace de la simetría.
A11 Nuestros Materiales de Trabajo Esta actividad se centra en la reflexión y evaluación de lo experimentado con el fin de identificar materiales apropiados para el salón de clases. Además de aprovechar las experiencias de las actividades anteriores se proporciona una lectura que sirva como guía teórica para organizar los contenidos según la taxonomía presentada por los Van Hiele. Como un trabajo adicional, para ligar con “Nuestros materiales”, se sugiere repartirse en tres equipos, según sean sus intereses por primero, segundo o tercer grado de secundaria respectivamente y localizar, tanto en el Libro del Maestro, como en el Fichero de actividades y el material de Geometría dinámica en su respectivo grado, lo relativo a simetría con el fin de analizarlo y proponer una secuencia didáctica alternativa en la que se haga uso correcto, tanto de las transformaciones geométricas como de la simetría.
37
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Pesión 2
Tarea Lectura 2: “El modelo de razonamiento de Van Hiele como marco para el aprendizaje comprensivo de la Geometría. Un ejemplo: los giros”. Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1991). En Educación Matemática Vol. 3, pp. 49-65
38
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
Sesión 3 A1 Dibujos a Escala: Identificar una buena imagen I. He aquí el dibujo de una pantera:
1. ¿Cuál de las siguientes reproducciones del dibujo le parece la “mejor”?
2. Compare su selección y los métodos utilizados para determinarla. 3. Explique brevemente en qué basa su decisión:
39
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
En matemáticas se utiliza el adjetivo “semejantes” para describir dos figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Si una se obtiene como una “copia a escala” de la otra, entonces las dos figuras son semejantes. II. Observe los dos grupos de figuras siguientes y responda lo que se le pide: 9 6
3
2
1. Marque con una cruz los rectángulos que son semejantes entre sí. 4
10
2. ¿Cómo puede asegurar que su selección es correcta? ¿Está basada solamente en los ángulos?
Establezca el o los criterios para determinar cuándo dos o más rectángulos son semejantes:
3. ¿Son estos dos triángulos semejantes? ______ 4. ¿Cómo lo puede verificar?
40
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
5. Discuta con sus compañeros bajo qué condiciones cree usted que se puede determinar la semejanza de polígonos en general y de triángulos en particular. 6. Escriba en el recuadro sus determinaciones (en las actividades que siguen a ésta tendrá oportunidad de ratificarlas o modificarlas).
A2 Dibujos a Escala: Doblar coordenadas 1. Aquí tenemos la figura de la cabeza de un gato (que en realidad es un polígono), determinada en un plano cartesiano: a)
Determine las coordenadas de cada vértice.
A B C D
b)
E F G H
Dibuje una “cabeza de gato” semejante a ésta, de tal manera que los lados tengan el doble de longitud.
41
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
Y 9 c)
A’ B’ C’ D’
Determine las coordenadas de cada uno de los nuevos vértices: E’ F’ G’ H’
8 7 7 6 5 4
d)
¿Qué relación encuentra entre las anteriores y nuevas coordenadas?
3 2
( x, y ) → ( , )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
e)
¿Qué pasa con los ángulos al pasar de una figura a otra? __________________________________
f)
¿Cuál es la razón de proporcionalidad entre ambas figuras?
g)
Si se determina otra escala para “dilatar” n veces el dibujo original ¿bajo qué regla considera usted que se podrán obtener las nuevas coordenadas?
42
X
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
h)
Si consideramos que la figura original se transformó en la segunda, ¿qué diferencia encuentra usted entre este tipo de transformación y las que se desarrollaron en la sesión anterior (rotaciones, reflexiones y traslaciones)?
2. Para generalizar que las distancias se “dilatan” en la misma proporción que sus coordenadas, trate de validarlo para una distancia arbitraria entre dos puntos dados: a)
¿Cuál es la distancia entre A y B?
b)
Si usted aplica la regla de las coordenadas para “doblar” la distancia ¿cuáles serían las respectivas coordenadas de A’ y B’?
c)
Verifique que la distancia entre A’ y B’ es el doble:
d)
Si en lugar de “doblar” las coordenadas, las multiplica por un factor n ¿la distancia entre los puntos de nuevas coordenadas también se multiplica n veces? Desarrolle la prueba.
43
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
e)
¿Qué podemos hacer para asegurar que la regla de las coordenadas para obtener polígonos semejantes es válida? Tip: recuerde que todo polígono puede descomponerse en triángulos.
A3 Medidas indirectas. 1. El truco del espejo. En esta actividad, su instructor(a) habrá dispuesto el uso de un espejo en el suelo y, bajo las indicaciones dadas, estará determinando la estatura de algunos de sus compañeros.
Observe la posición del instructor(a), el espejo y el compañero(a). ¿Por qué el instructor(a) puede calcular las estaturas de sus compañeros? Haga algún diagrama conveniente para evidenciar sus argumentos.
DIAGRAMA
44
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
Compare su diagrama con los de sus compañeros y comenten lo que les parece relevante para decidir sobre la estrategia que permite calcular las estaturas. Enseguida anote sus argumentos:
¿Le parece ésta una actividad apropiada para usarla en clase?
2. Medir y calcular. Como es sabido, los ingenieros y otros profesionales dedicados a la construcción utilizan un instrumento llamado teodolito que les sirve para hacer medidas de ángulos horizontales y verticales en los terrenos donde planean construir. En esta actividad se solicita que ustedes realicen una medida experimental fuera del aula con el fin de calcular una distancia “inalcanzable”. Se les proporcionará el material necesario para que, usando su transportador, construyan un instrumento tipo “teodolito casero” que permite medir ángulos horizontales. El instructor indicará qué distancia deberán medir y cómo podrán señalar los puntos de referencia. El cálculo de la distancia requerida ustedes la determinarán construyendo los esquemas que consideren adecuados. El instrumento deberá quedar más o menos así: Popote Cinta adhesiva
Base métrica
Alfiler Cinta adhesiva
45
La idea es que el popote pueda girar para tener a la vista puntos fijos que les permitan hacer señalizaciones y valerse de ellas para medir ángulos. Cuidar que el popote logre girar suficientemente para marcar ángulos rectos.
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
Por ejemplo, si se les requiriera medir la distancia a un árbol no muy lejano, pero inalcanzable porque existe un obstáculo como una zanja, una calle sumamente transitada, o simplemente una reja que impide llegar físicamente hasta él para medir directamente, ¿qué hacer?
Con su “teodolito” y trabajando en equipos de tres personas, pudieran fijar inicialmente una señal perfectamente alineada al árbol valiéndose de la mira (popote). Sin mover el teodolito, girar el popote para marcar un ángulo recto y señalarlo también. Luego medir una longitud que consideren apropiada en la dirección de ese ángulo recto (alineada con la señalización hecha). Volver a señalar y moverse hasta ese punto. Con el teodolito medir el ángulo entre la línea imaginaria y la que tienen en la mira dirigida al árbol.
¿Qué construcción geométrica es conveniente hacer para calcular la distancia requerida?
46
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
A4 ¿Otros Criterios de Semejanza de Triángulos? 1. En la Actividad 1 de esta sesión se le solicitó que expresara los criterios que determinan particularmente la semejanza de triángulos. ¿Qué se requiere para determinar si dos triángulos son semejantes? a. Para cada par de medidas de ángulos, trace usted un triángulo y enseguida compare sus cuatro triángulos con los de sus compañeros de equipo: 90° y 60°
45° y 45°
120° y 30°
80° y 40°
b. ¿Qué se advierte? Argumente brevemente por qué es así.
47
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
c.Enuncie,
consecuentemente a sus observaciones anteriores, el o los criterios que determinan la semejanza de triángulos únicamente en función de sus ángulos:
d. ¿Sucede lo análogo con el criterio que se refiere únicamente a la proporcionalidad de los lados? ¿por qué?
2. Exploren en equipo qué datos mínimos adicionales sobre los lados se requieren para construir triángulos semejantes cuando se conoce solamente un ángulo.
Recordar que la notación usada para etiquetar vértices y lados en los triángulos se conviene como sigue: Vértices con mayúscula, siguiendo las manecillas del reloj. Lados con la minúscula que corresponde al vértice B opuesto.
a c A
C b 48
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
a. Por ejemplo, dado un par de triángulos con las siguientes características: en un triángulo, uno de sus lados mide 6 cm y uno de sus ángulos 60° ; en el otro triángulo, el lado y el ángulo correspondientes miden 3 cm y 60° respectivamente ¿Se trata indiscutiblemente de triángulos semejantes? Argumente acerca de la suficiencia o insuficiencia para asegurar la semejanza antes de hacer los trazos. Luego realice los trazos y verifique con sus compañeros lo antes argumentado.
b. O bien, si dado un par de triángulos cuyas características son: a=3, b=2, ∠BAC = 35° y su correspondiente a’= 6, b’=4 y ∠B' A' C' = 35° ¿qué pasa? ¿de qué criterio estamos hablando? ¿es suficiente para validar la semejanza?
c. Y si se conservan las medidas de los lados del caso anterior, pero el ángulo que se mantiene fijo es el ∠CBA = 35°
49
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
d.
Enuncie el criterio o los criterios que determinan la semejanza de triángulos en función de un ángulo y dos lados.
3. Ejercicio para responder argumentando oralmente su respuesta: Determine si en las situaciones que se describen a continuación se trata necesariamente de figuras semejantes
a) Dos triángulos cualesquiera b) Dos triángulos isósceles ABC, A’B’C’ en los que el ángulo formado por los lados iguales mide 45°. c) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’ en los que un cateto de ABC es el doble de un cateto de A’B’C’ d) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C en que un ángulo agudo de ABC es congruente con el ángulo agudo de A’B’C’ correspondiente. e) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’ en los que la hipotenusa y un cateto son proporcionales f) Dos rectángulos cualesquiera g) Dos rectángulos ABCD y A’B’C’D’ en los que un lado de ABCD es la mitad de un lado A’B’C’D’ h) Dos cuadrados cualesquiera Propongan en el grupo situaciones de polígonos en general para explorar condiciones de semejanza. Ejercicio para establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes de los triángulos semejantes (a) ΔABC ≈ ΔDEF (b) ΔABD ≈ ΔBCD (c) ΔABC ≈ ΔBDE B
A9
12
15
16
A 8
6
E
7
E
21 16
12
D
10 8
C
24
D
B B 50
D
16 20
A
30
C
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
A5 De las razones a las funciones trigonométricas 1. En esta actividad trabajará inicialmente según avance una presentación que contiene construcciones hechas con geometría dinámica. a. Antes de iniciar el llenado de la tabla comente con sus compañeros de grupo por qué a los valores de 180° y 360° les corresponden respectivamente π πradianes y 2π radianes . b. En la siguiente tabla llene primero la columna referida a radianes y verifique con sus compañeros dichos valores. c. Luego, según se muestre en la presentación con geometría dinámica que dirigirá el instructor, registre las medidas solicitadas en las columnas correspondientes.
Ángulo α
Cateto
grados radianes
Adyacente al ángulo α
0
Cateto Opuesto al ángulo α
0
30 60 90 120 150
51
op hip
ady hip
op ady
Signos de las razones
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3 180
π
210 240 270 300 330 360
2π
d. Compare los valores de las razones obtenidas, con las que proporciona la calculadora cuando se pide el valor seno, coseno o tangente de los ángulos en referencia. Anote su observación al respecto:
e. Observe en la presentación lo que sucede con los valores de la hipotenusa, los catetos y los valores de las razones registradas en la circunferencia anterior cuando el radio de ésta se reduce o aumenta. Particularmente, ¿qué medidas le corresponden a los diferentes triángulos rectángulos cuyo ángulo agudo α es de 30°? En la tabla que sigue registre algunos datos. Ángulo α =30° Radio de la circunferencia
Cateto Hipotenusa
0.5 0.2 3 5
52
Adyacente al ángulo α
Cateto Opuesto al ángulo α
op hip
ady hip
op ady
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
f. ¿Por qué el valor de las razones indicadas permanece constante en cada uno de los casos presentados?
g. Explore qué sucede para otros ángulos. Seleccione algunos y registre en la tabla lo que sucede en la presentación dinámica. Ángulo α = Radio de la circunferencia
Cateto Hipotenusa
Adyacente al ángulo α
Cateto Opuesto al ángulo α
op hip
ady hip
op ady
0.5 0.2 3 5
Comenten los resultados obtenidos.
h. ¿Con qué nombre se identifica cada una de las razones consideradas en los triángulos rectángulos observados?
Tome nota del papel que juega la semejanza de triángulos rectángulos para establecer que el valor de cada una de las razones trigonométricas referidas a un ángulo agudo permanece constante. Esto lo utilizamos como una herramienta poderosa en situaciones en las que el cálculo de medidas que interesan pueda representarse geométricamente mediante triángulos rectángulos. 2. ¿Cómo utilizaría esta herramienta de cálculo en el caso de la medida solicitada en la el punto 2 de la Actividad 3 (la del “teodolito”)? Haga el cálculo apropiado y comente con sus compañeros la diferencia entre las estrategias de solución utilizadas respectivamente en ésta y la Actividad 3 mencionada.
53
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
Algunos ejercicios:
a. Encuentre, valiéndose del triángulo equilátero de la figura a, los valores de :
i. ii. iii. iv.
sen 30 ° ___________ cos 30 ° ___________ tan 30 ° ___________ sen 60 ° ___________
2
v. cos 60 ° ___________ vi. tan 60 ° ___________
2
2 Figura a
b. Ahora, haciendo los trazos convenientes en el cuadrado de la figura b, determine el valor de: 1. sen 45 ° ___________ 1 2. cos 45 ° ___________ 3. tan 45° ___________ Figura b
54
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
3. Para cualquier triángulo rectángulo ABC (con el ángulo recto en C), explique por qué sucede que sen A = cos B B
C
A
4. Como hemos visto, cuando se determina el valor de una razón trigonométrica para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ésta permanece ________________ para cualquier otro triángulo rectángulo semejante. a. En consecuencia, ¿Qué se requiere variar para obtener diferentes valores de cada una de las razones consideradas?
b. ¿Hay algún valor de
α al que le correspondan dos o más valores de la
razón sen(α)? Comente.
Como hemos visto, el valor de la razón trigonométrica sen (α) es única para cada valor de α . Por lo tanto, podemos establecer lo siguiente: esta relación que a cada valor del ángulo α le asigna un y sólo un valor de la razón seno, es una función* De la misma manera, a las otras dos razones trigonométricas, cos(α) y tan(α) se les puede llamar “funciones”. Genéricamente a estas relaciones se les llama funciones trigonométricas.
55
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3 * ¿Qué es una función? Comenten en grupo.
5. El trazo de las gráficas correspondientes: El instructor mostrará la construcción de las gráficas correspondientes a cada uno de los valores seno, coseno y tangente, conforme varía el ángulo (α). Es decir construirá la gráfica de las funciones .
Conforme avanza la construcción tome en cuenta el período de cada función, el rango de valores que le es posible tomar, qué sucede con la gráfica de la tangente en los valores en que no está definida la razón correspondiente, etc.
A6 Nuestros materiales de trabajo En esta actividad se propone que realicen, en equipos integrados por los compañeros que trabajen en el mismo grado escolar, el análisis de algunas situaciones que se proponen en su libro de texto. Primeramente deben seleccionar las situaciones correspondientes al grado en el que desempeñan su trabajo, de acuerdo a un tema de su interés que esté relacionado con el sentido numérico o el pensamiento algebraico. Con el propósito de que esta actividad se desarrolle de acuerdo a lo antes declarado es necesario que ustedes tengan disponibles, además de su libro de texto, los Planes y Programas de Matemáticas.
56
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
Con base en el Programa, seleccionen una lección de su Libro de Texto de Matemáticas del grado en el que trabajan, relacionada con los temas mencionados y analícenla de acuerdo a lo siguiente: a)
Nombre de la lección:
b)
Grado:
c)
Contenidos que se tratan en la lección:
d)
Habilidades que, en su opinión, se pueden desarrollar:
e)
Grado de dificultad que, en su opinión, presenta la lección (analicen las actividades y expliquen).
f)
¿Qué modificaciones o variantes propondrían ustedes a esta lección para enriquecerla?
g)
Relacionen la actividad seleccionada con otras actividades que traten el mismo tema en su Libro de Texto.
Tarea Lectura 3: “Perspectivas en la Enseñanza de la Geometría para el Siglo XXI” Mammana, C. y Villani, V. (1998)
57
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Sesión 3
58
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
Sesión 4 A1 ¿Qué significa medir? Esta actividad se desarrolla en equipos de dos a cuatro personas, pero se recomienda trabajar primero individualmente y después comentar con los compañeros de trabajo. Usted necesitará tres triángulos para medir, los cuales le serán proporcionados por su instructor. 1. Utilice los tres triángulos para cubrir exactamente las siguientes figuras:
2. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura tiene mayor área? Justifique su respuesta.
59
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
3. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura tiene menor perímetro? ¿Cuál tiene mayor perímetro? Justifique su respuesta.
4. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ordene los polígonos de menor a mayor, según su perímetro. Explique cómo lo hace.
5. Explique por qué utilizamos medidas estándar si podemos medir sin ellas.
A2 Área de la palma de la mano 1. Trace el contorno de su mano en una de las retículas que le proporcionará el instructor, de modo que obtenga una figura cerrada. Piense en cómo puede determinar el área de esa figura. ¿Cuál puede ser la unidad de medida?
60
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
2. ¿Qué características debe tener una unidad de medida de superficie?
3. ¿Qué tipo de polígonos regulares tienen estas propiedades, y por lo tanto, podrían ser utilizados como unidades de medida?
4. ¿Cuál es el comúnmente utilizado?
5. Explique por qué utilizamos medidas estándar si podemos medir sin ellas.
6. Utilice el cm2 para estimar el área de la huella de su mano.
7. Repita el ejercicio anterior utilizando el mm2.
8. ¿Cómo podría obtener mejores aproximaciones?
9. Se estima que la palma de la mano representa el 1% de la superficie total del cuerpo. Use este dato para aproximar el área total de la piel de su cuerpo.
61
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
A3 Explorando áreas en el geoplano Para esta actividad necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar los puntos marcados en esta hoja de trabajo, o bien, puede utilizar un geoplano simulado con un software de geometría dinámica. 1. La unidad de área en el geoplano será la del cuadrado más pequeño que pueda obtenerse al unir cuatro clavos. A esta unidad la llamaremos unidad cuadrada. 2. En el geoplano, la unidad de longitud será la distancia vertical u horizontal entre dos clavos consecutivos. 3. Utilice el geoplano y ligas de colores, o una de las alternativas mencionadas, para reproducir las siguientes figuras y encuentre el área de cada una en unidades cuadradas:
4. Ahora, construya las siguientes figuras: a. Un cuadrado con área de cuatro unidades cuadradas. b. Un triángulo isósceles con área de cuatro unidades cuadradas. c. Un cuadrado con área de dos unidades cuadradas.
62
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
A4 Triángulos y rectángulos Para esta actividad necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar los puntos marcados en esta hoja de trabajo, o bien, puede utilizar un geoplano simulado con un software de geometría dinámica. 1. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de los siguientes triángulos.
2. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de las siguientes figuras.
.
63
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
3. Construya las formas siguientes: a. Un triángulo con un área de 3 unidades cuadradas b. Un triángulo y un cuadrado con áreas iguales (¿Cuál tiene el perímetro más pequeño?) c. Triángulos con áreas de 5, 6, y 7 unidades cuadradas, respectivamente.
A5 Calculando áreas 1. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un rectángulo en el geoplano.
2. Si llamamos b a la base del rectángulo y h a su altura, escriba y explique la fórmula para obtener el área del rectángulo.
3. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un triángulo rectángulo en el geoplano.
4. Si llamamos b a la base del triángulo rectángulo y h a su altura, escriba y explique la fórmula para obtener el área del triángulo rectángulo.
64
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
5. ¿La fórmula anterior sirve para calcular el área de cualquier triángulo? Para responder esta pregunta, primero observemos lo siguiente:
Tenemos un paralelogramo de base b y altura a, y un rectángulo de base b y altura a. Compare las áreas de las dos figuras. ¿Cuál es la fórmula para el área de un paralelogramo? 6. Recorte dos triángulos congruentes. Puede seguir el siguiente procedimiento: Doble una hoja de papel y dibuje un triángulo arbitrario. Marque su base y su altura. Recorte el triángulo sobre el papel doblado, de modo que obtendrá dos triángulos congruentes. Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo con la misma base y la misma altura del triángulo. a. ¿Cómo se relaciona el área del triángulo con la del paralelogramo?
b. Escriba la fórmula para el área de un triángulo arbitrario, de base b y altura h.
7. Recorte dos trapecios congruentes. Puede usar el procedimiento descrito en el punto anterior. Marque en cada trapecio, su base mayor B, su base menor b y su altura h. Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo.
a. ¿Cuál es el área de este paralelogramo? Escriba la fórmula.
b. ¿Cómo se relaciona el área del trapecio con la del paralelogramo?
65
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
c. Escriba la fórmula para el área del trapecio.
8. Encuentre el área de los triángulos marcados en los siguientes polígonos regulares. Suponga que la medida de cada lado de los polígonos es de 2 unidades.
a. Utilice la información para encontrar el área de los polígonos.
b. ¿Cómo relaciona estos resultados con la fórmula que usted conoce para encontrar el área de un polígono regular?
9. Complete la siguiente tabla que relaciona la medida de la apotema sobre la medida del lado para cada polígono regular indicado.
66
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
No. de lados
Medida del lado
3
2
4
2
5
2
5
3
6
2
6
4
7
2
7
5
8
2
8
6
Medida de la apotema
Cociente indicado
a. ¿Qué observa en la relación de variación del cociente conforme cambiamos el número de lados del polígono?
10. Utilice software de geometría dinámica para explorar la variación del cociente de la apotema sobre la medida del lado al variar la longitud del lado para un polígono de un número determinado de lados (preferentemente mayor que 4). a. Al observar la tabla construida en el punto 9 y la exploración gráfica dinámica que se acaba de realizar, explique y justifique lo que sucede.
A6 67
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
Un número especial Utilice los círculos que le entregará el instructor para completar la tabla mostrada. 1. Para medir su circunferencia, coloque el círculo de modo que el punto marcado esté sobre una tira extendida de papel milimétrico de por lo menos medio metro de largo. Marque el punto sobre el papel. Ruede el círculo de modo que el punto marcado complete una vuelta exacta y vuelva a marcar el punto correspondiente sobre el papel. Mida la distancia entre las dos marcas sobre el papel. Diámetro d
Circunferencia C
Razón de C sobre d
2. Analice la tabla. ¿Qué puede decir acerca de la razón de la circunferencia sobre el diámetro de la misma?
3. Basándose en la información anterior, ¿cuál es la relación que existe entre la circunferencia y el diámetro de un círculo?
4. Escriba la fórmula para el perímetro de un círculo en términos de su diámetro. Justifíquela en términos de la información anterior.
5. Escriba la fórmula para el perímetro de un círculo en términos de su radio.
68
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
A7 Estimando el área del círculo Utilice las piezas que le entregará el instructor para formar varios círculos. Para cada uno de ellos, utilice piezas del mismo tamaño. 1. ¿Cuánto mide el radio de los círculos?
2. Calcule el perímetro del círculo.
3. Seleccione el círculo con el menor número de piezas. Reacomode las piezas de la siguiente manera:
4. ¿Cómo se relaciona el área de la figura con el área del círculo?
5. La figura obtenida asemeja, burdamente, un paralelogramo, ¿cuál sería su altura?
6. ¿Cuánto mide la base ondulada de este “paralelogramo”?
7. Reacomode las piezas de los demás círculos de manera similar. ¿Qué sucede con el “paralelogramo” conforme aumenta el número de piezas del círculo?
69
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
8. ¿Cuál es su altura? ______________ ¿Cuál es __________ ¿Cuál es su área? ________________
su
base?
9. Si consideramos que el radio del círculo es r, ¿cuál sería la altura y la base del “paralelogramo”? 10. Escriba la fórmula para el área de un círculo en términos de su radio r. ¿Cómo ayuda la construcción anterior a entender esta fórmula?
A8 Adquiriendo la noción de volumen Para esta actividad se requerirá un semiespejo, unos cubitos, una barrita de plastilina, una cajita y vasos cilíndricos de distintos diámetros. 1. Coloque la cajita hacia un lado del semiespejo y, del otro lado, el arreglo de cubitos que se le sugiere. Traslade y rote la cajita, sin levantarla del suelo, hasta que parezca que la imagen de la cajita coincide exactamente con el arreglo de cubitos. Ahora deshaga el arreglo de cubitos y cuéntelos uno por uno. Basados en esta experiencia, conteste a las siguientes preguntas: a. ¿Qué es el volumen de la cajita?
b. ¿Qué operación aritmética le permite determinar la cantidad de cubitos, sin tener que contarlos uno por uno?
c. ¿Cómo explicar el hecho de que el volumen de una caja de dimensiones enteras (paralelepípedo rectangular o prisma rectangular) sea el producto de las tres dimensiones (largo por alto por ancho)?
70
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
d. ¿Cómo influye la elección de la cara que se toma como base para el orden de los factores que determinan el volumen? Discutir ampliamente.
2. En el punto anterior, se habló de volumen de un prisma rectangular. resultado a prismas arbitrarios, secciones transversales paralelas y muestran a continuación?
un método para encontrar el ¿Cómo puede extenderse este a cilindros y a figuras con congruentes, como las que se
3. ¿Qué puede decir del volumen del siguiente prisma?
4. Encuentre el volumen de los siguientes sólidos, utilizando los resultados del punto 2. ¿Importa cuál cara es la base para el cálculo del volumen de cada uno de ellos?
71
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
5. Mida el diámetro interior de un vaso cilíndrico. Con la plastilina o cualquier otro material moldeable, forme una esfera del mismo diámetro del vaso. Vierta agua en el vaso de modo que al introducir la esfera en el mismo, quede completamente cubierta sin que se derrame el agua. Marque la altura del nivel del agua antes y después de introducir la esfera.
a. Encuentre el volumen del agua desplazada utilizando la fórmula del volumen del cilindro.
b. ¿Qué relación existe entre el volumen del agua desplazada y el volumen de la esfera?
c. Encuentre la razón de la altura del líquido desplazado entre el radio común de la esfera y el vaso.
d. Repita el proceso anterior con varios vasos de distintos diámetros con sus respectivas esferas y complete la siguiente tabla.
Diámetro del vaso y la esfera
Radio del vaso y la esfera
Altura del líquido desplazado
72
Razón de la altura del líquido desplazado sobre el radio
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
e. ¿Qué puede decir de la razón de la altura del líquido desplazado sobre el radio?
f. Si consideramos que el cilindro tiene radio r, al igual que la esfera, y llamamos h a la altura del líquido desplazado, encuentre la relación entre r y h, y exprese h en términos de r.
g. Con base en el inciso anterior, ¿cuál es el volumen de la esfera de radio r?
A9 Cilindros y Conos
73
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
Para la primera parte de esta actividad se requerirá un cilindro sin tapa, arroz o algún polvo liviano, un cono circular recto sin tapa de igual base y altura que el cilindro. 1. Discuta con sus compañeros cómo construir un cono circular recto sin tapa de igual base y altura que un cilindro dado.
2. Escriba la fórmula para encontrar el volumen del cilindro de radio r y altura h.
3. Llene el cono con arroz y viértalo al cilindro. Repita la operación hasta que el cilindro se llene.
a. ¿Qué relación existe entre el volumen del cilindro y el volumen del cono?
b. Con base en el resultado anterior, ¿cuál es el volumen del cono de radio r y altura h? c. ¿Este resultado puede generalizarse a la relación existente entre el volumen de un prisma y el de una pirámide de igual base y altura que el prisma? ¿Cómo podría verificarlo?
74
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
A10 Presentación de una Actividad Diseñada Para concluir este curso, cada equipo cuenta con 10 minutos para hacer la presentación del diseño de actividad solicitado. Tengan en cuenta que será motivo de valoración la claridad en su exposición, el orden en que se presenten las ideas y el apego al tiempo otorgado. Recuerden que es una exposición, no se trata de hacer un simulacro de la actividad.
Referencias Alcalde, J., Montejano, A., Mora, E. (2003) Signo. Matemáticas Grado 3. sm. México Annenberg Media. Learning math: geometry. Sitio Web visitado en 2006. Disponible en http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/geometry/index.html Briseño, L. A., Verdugo, J. (2000) Matemáticas 3. Santillana. México Chacara, M. (2004). Las nociones de isometría y simetría en el plano, estudiadas a través del modelo de Van Hiele, enriquecido con principios constructivistas. Tesis de Maestría. UNISON Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio. (2008-2009). Lineamientos de
participación de las Instituciones de Educación Superior en la conformación y desarrollo del Catálogo Nacional de Formación Continua y Superación Profesional de Maestros de Educación Básica en Servicio
Duval, R., (1995). Geometrical pictures: kinds of representation and specific proceses, in existing mental imaginery with computers. In Mathematic Education (Sutherlan & Mason Eds), Springer p. 142-157. E.U.A. Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1991). El modelo de razonamiento de Van Hiele como marco para el aprendizaje comprensivo de la Geometría. Un ejemplo: los giros. En Educación Matemática Vol. 3, pp. 49-65 Jardines, F. J., Ramones, M., Salas, M. S. (1997) Matemáticas 1. Libro del alumno. Ediciones Castillo-SEC SONORA. México
75
Forma, Espacio y Medida Geometría Sesión 4
Jardines, F. J., Ramones, M., Salas, M. S. (1997) Matemáticas 2. Libro del alumno. Ediciones Castillo-SEC SONORA. México Jardines, F. J., Ramones, M., Salas, M. S. (1997) Matemáticas 3. Libro del alumno. Ediciones Castillo-SEC SONORA. México Leñero, M. et al. (2005) Enseñanza de las matemáticas asistida por computadora. Instituto de Matemáticas, UNAM. http://puemac.matem.unam.mx/ PRONAP (1996) La enseñanza de las Matemáticas en la escuela secundaria. Lecturas. México SEP (2004). El Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal. SEP (2005). Educación Secundaria. Matemáticas. Programas de estudio. México SEP (2000). Geometría dinámica. EMAT. México SEP (2000). La enseñanza de las Matemáticas en la escuela secundaria. Guía de Estudio. México SEP (2000)Secuencia y Organización de Contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria. México SEP (1999)Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria. México Ureta R., C. (2001). El papel del maestro en la educación matemática. Grupo Editorial Iberoamérica, México. Vagn Lundsgaard, H. (1998) Everlasting Geometry. In ICMI 2000 Study. Canada. Van de Walle, J. (2001). “Thinking and Geometric Concepts”. In Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. Disponible para descarga en: http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/pdfs/session9/vand.pdf Villani, V. Mammana, V. (1998) Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. Discussion Document for an ICMI 2000 Study . Canada.
76
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
ANEXO DE LECTURAS
77
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Capítulo 17
Pensamiento Geométrico y Conceptos Geométricos Van de Walle, John A. (2001)1 El currículo de geometría en los grados 8 debería proporcionar la oportunidad de experimentar con figuras de tan variadas y diferentes formas como sea posible. Y aquí estamos hablando de incluir figuras que se construyan con bloques, con palillos o con mosaicos; dibujar figuras sobre papel o con computadora; y además figuras que se observen en el arte, en la naturaleza, y en la arquitectura. Las experiencias propias, su reflexión, e interactuar con ellas, son el corazón de las buenas actividades de geometría en los niveles elemental y medio de las escuelas. El currículo de geometría debería estar orientado hacia el desarrollo del razonamiento geométrico y el sentido espacial. Las tres Grandes Ideas que correspondan paralelamente a los tres niveles de pensamiento que caracterizan el desarrollo de los 8 años de la enseñanza básica.
Grandes Ideas 1. Figuras de dos y tres dimensiones, existen en una gran variedad. Hay muchas formas de ver y describir semejanzas y diferencias entre las figuras. Entre más formas haya de clasificar y diferenciar las figuras, más fácil será entenderlas. 2. Las figuras tienen propiedades que se pueden utilizar en su descripción y análisis. El conocimiento de estas propiedades nos ayudan a apreciar mejor las figuras o formas en nuestro mundo. Las propiedades se pueden explorar y analizar en una variedad de maneras. 3. El análisis de propiedades geométricas conduce al razonamiento deductivo en el ambiente geométrico.
TRES ACTIVIDADES EXPLORATORIAS Para proporcionar un punto de vista común sobre la naturaleza de la geometría en la enseñanza elemental y media y cómo los alumnos abordan los conceptos geométricos, aquí te ofrecemos tres actividades muy sencillas para que las realices. Las actividades proporcionarán alguna idea del 1
Traducción: Martha C. Villalba (2008). UNISON. Original en inglés disponible en http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/pdfs/session9/vand.pdf. : Van de Walle, John A. (2001). Geometric Thinking and Geometric Concepts. In Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 4th ed. Boston: Allyn and Bacon. (Session 9). Reproduced with permission from the publisher. Copyright © 2001 by
Pearson Education.
Download PDF File:
Geometric Thinking and Geometric Concepts
78
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas espíritu de la geometría informal, asimismo serán un antecedente para la discusión del pensamiento geométrico de los niños. Todo lo que necesitarás es un lápiz, varias piezas de papel, tijeras, y 15 ó 20 minutos.
Triángulos diferentes Dibuja una serie de al menos cinco triángulos. Después del primer triángulo, cada uno de los que siguen deberán ser diferentes entre si. Escribe por qué consideras que cada uno es diferente.
Figuras con los triángulos Haz algunas copias del cuadriculado isométrico de 2 cm en los patrones de línea remarcada, o simplemente coloca una hoja de papel sobre el cuadriculado. Dibuja tres o cuatro figuras diferentes siguiendo las líneas del cuadriculado. Construye cada figura de tal suerte que tenga el área de 10 triángulos. Realiza un conteo para encontrar la distancia alrededor de cada figura (el perímetro), y regístrala junto a cada dibujo. Examina qué ideas resultaron de lo que hayas observado. Explora las ideas que tengas dibujando figuras adicionales.
Un patrón de mosaicos Primero, haz al menos ocho copias de cada forma en la Figura 17.1. Una forma fácil de hacerlo es doblando una pieza de papel grande de tal suerte que haya ocho dobleces en los que quepa la figura. Traza la figura en la sección de afuera, y corta las ocho capas del papel de un solo movimiento. Piensa que cada una de las figuras que recortaste es un mosaico. La tarea consiste en utilizar los mosaicos para hacer un patrón regular de mosaicos. Un patrón de mosaicos hecho con una figura tiene dos propiedades básicas
Primero, no hay agujeros o rendijas. Los mosaicos deben ensamblar juntos sin traslaparse o encimarse y sin dejar ningún espacio.
Segundo, los mosaicos deben ir dispuestos en patrones repetitivos de tal suerte que se puedan extender indefinidamente. De forma tal que pudieras cubrir un piso que no tuviera fin con tu patrón de mosaicos, el diseño en una sección del piso sería la misma que cualquier otra sección.
Varios patrones de mosaicos son posibles para cada uno de los tres mosaicos. Experimenta y decide sobre el patrón que gustes. Date cuenta que cada una de las figuras de mosaico está hecha de triángulos y se puede dibujar en una retícula triangular isométrica de 2 cm o sobre una retícula punteada isométrica. Cuando te hayas decidido sobre un patrón de mosaicos, coloca una hoja de papel encima de una de las dos retículas, y dibuja tu patrón de mosaicos utilizando la retícula como guía. Cubre la mayor parte de la retícula con tu patrón. Finalmente, piensa que tus mosaicos vienen en dos colores. Con una pluma o un lápiz, sombrea alguno de los mosaicos para hacer un patrón regular de dos colores.
79
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Figura 17.1 Tres patrones de mosaicos
Reflexiones sobre las Actividades Las siguientes observaciones aplican a todas las actividades de Geometría en la escuela, así también a las actividades que hayas llevado a cabo.
Diferentes personas piensan acerca de ideas geométricas de diferentes maneras Compara tu respuesta de las tres actividades exploratorias con las de tus pares. ¿ encuentras diferencias cualitativas además de las diferencias objetivas? ¿ Cómo serían las aproximaciones de los niños de primaria con respecto a estas actividades comparadas con los del octavo grado? La Figura 17.2 (pag. 308) muestra cómo dos estudiantes, uno del 5° grado y otro del 8° grado, respondieron a la tarea del triángulo. La investigación indica que la edad no es el principal criterio para saber cómo piensan los estudiantes geométricamente. El tipo de experiencias que un alumno tenga pueden ser el factor de mayor significación.
Las exploraciones pueden ayudar a desarrollar las relaciones
80
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas Entre más manejes y pienses acerca de las ideas en estas actividades, en esa misma proporción se incrementa tu pensamiento alrededor de ellas. Puedes ser capaz de extender cada una de estas actividades para desarrollar las ideas más allá de lo obvio. Por ejemplo:
Para “triángulos diferentes” ¿En cuántas formas diferentes, pueden dos triángulos ser diferentes? ¿Podrías dibujar cinco o más cuadriláteros diferentes entre sí?
Para “figuras con triángulos” ¿Qué observaste en las figuras que tenían perímetros más pequeños, frente a las que tenían perímetros más grandes? Si intentas la misma actividad con rectángulos sobre un cuadriculado cuadrado, ¿cómo se verían las figuras con los perímetros más grandes y más pequeños? Y. . . ¿qué con respecto a tres cajas dimensionales? Si fueras a construir diferentes cajas con el mismo número de cubos, ¿Qué podrías decir con respecto a las superficies de las áreas?
Para “un patrón de mosaicos” ¿Cuántos patrones de mosaicos hay para esta figura? ¿Se puede trabajar cualquier figura con mosaico? ¿Puedes apreciar figuras más grandes dentro de tu patrón? Hay que saber que se lleva más de una actividad para aprender o crear una idea nueva. El mayor aprendizaje se da cuando te detienes y reflexionas en lo que hiciste y empiezas a hacer preguntas u observaciones. Como todas las matemáticas, la geometría se desarrolla mejor con el espíritu de resolución de problemas.
Actividades de Geometría y Materiales Hechos a Mano Aún los mosaicos de papel que se utilizan en un “Patrón de Mosaicos” te dan la oportunidad de explorar las relaciones espaciales y buscar patrones en forma mucho más fácil que sin ellos. Actividades sobre papel tales como un cuadriculado punteado en “Figuras con Triángulos” son la segunda mejor alternativa después de los objetos físicos reales. La actividad con la misma área y perímetro es mucho más efectiva con una colección de triángulos de cartulina que pueden colocarse de distintas maneras para formar figuras diferentes. La primera actividad es la menos atrayente de las tres, pero al menos podrías libremente dibujar cuadros. Virtualmente cada actividad que es apropiada para el 8° de geometría debería involucrar alguna forma de manipular materiales, modelos, o al menos papel (papel gráfico o papel punteado) que se presta mucho para realizar exploraciones espaciales.
81
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Amy, Grado 8 El Triángulo 2 tiene un ángulo más pequeño que el triángulo 1 El triángulo 1 tiene un ángulo de 45° El triángulo 2 tiene un ángulo de 15° El triángulo 3 tiene un ángulo más amplio que los triángulos 1 y 2 El Triángulo 4 tiene un ángulo de 90° y uno realmente pequeño
Bud, Grado 5 El triángulo 1 estaba “hacia arriba” El triángulo 2 estaba “al revés” El triángulo 3 estaba “hacia abajo” El triángulo 4 estaba “hacia la izuierda” El triángulo 5 “tiene las líneas torcidas”
GEOMETRÍA INFORMAL Y SENTIDO ESPACIAL En Principios y Estándares para Matemáticas Escolares, los autores escogieron únicamente cinco amplios estándares de contenido, uno de los cuales es Geometría. La importancia de esta rama, muy adecuadamente separada de la medición, habla de la importancia que se le debe dar al desarrollo de las ideas geométricas en todos los grados y en todos los niveles. Antes del documento de estándares de 1989, la geometría recibía una atención muy limitada en el currículo tradicional. Los estándares del Estado ahora le dan mucho énfasis a la geometría con respecto al pasado. Hay todavía una seria preocupación dado que, al hacer una comparación internacional, los estudiantes de EUA, todavía se quedan cortos en esta área.
82
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Geometría informal El término de Geometría informal se ha utilizado por muchos años para referirse a actividades geométricas apropiadas para los estudiantes de escuela primaria y secundaria. Las actividades de geometría informal les dan a los niños la oportunidad de explorar, de sentir y ver, de construir y desmontar o desmantelar, de hacer observaciones acerca de lo que es la forma(figura), en el mundo que los rodea, así también en el mundo que ellos crean con sus dibujos, modelos, y computadoras. Las actividades involucran la construcción, la visualización, comparación, transformación, y la clasificación de figuras geométricas. Las experiencias y exploraciones se pueden llevar a cabo en diferentes niveles de sofisticación: desde las figuras y sus apariencias hasta las propiedades de las figuras y las relaciones entre esas propiedades. El espíritu de la geometría informal es el de la exploración, casi siempre a través de la manipulación en una atrayente actividad.
Sentido Espacial Una buena definición del sentido de número es una intuición acerca de los números y el sentido de los números y sus relaciones, el sentido espacial puede ser definido como una intuición sobre
formas y las relaciones entre ellas. Personas con sentido espacial tienen percepciones para los aspectos geométricos de lo que les rodea y de las figuras formadas por los objetos en el entorno. Mucha gente dice que no son muy buenos con las figuras y que tienen un sentido espacial pobre. La creencia típica es que tú puedes haber nacido con el sentido espacial o no. ¡Esto sencillamente no es cierto! Conocemos experiencias ricas con las figuras y las relaciones espaciales; cuando son provistas consistentemente a través del tiempo, pueden, y de hecho desarrollan el sentido espacial. Sin experiencias geométricas, la mayoría de las personas no incrementan su sentido espacial o su razonamiento espacial. Entre 1990 y 1992, los datos de NAEP indicaban una significante mejoría en el razonamiento geométrico de los estudiantes en los tres grados revisados, 4,8 y 12 (Strutchens and Blume. 1997). Los estudiantes no se hicieron más listos. Lo que seguramente pasó es que ha habido un énfasis creciente en la geometría en todos los grados. Aún así, se necesita hacer mucho más si los niños de EUA quieren elevarse al mismo nivel que sus contrapartes europeo y asiático.
La importancia de la Geometría En el pasado, la mayoría de los profesores de los grados básicos le dedicaban poco tiempo a la geometría. Posiblemente se sentían incómodos con el tópico, o no lo consideraban importante. Los exámenes tradicionales de referencia no le daban peso al pensamiento geométrico. Gracias al creciente énfasis de la NCTM en la Geometría y su inclusión en los programas estatales de evaluación, se empezó a enseñar más geometría. Aún así es pertinente preguntar, “¿Por qué estudiar Geometría? He aquí algunas razones que vienen a la mente: 1. La Geometría puede proveer una más completa apreciación del mundo. La geometría se encuentra en la estructura del sistema solar, en las formaciones geológicas, en rocas y cristales, en plantas y flores, aún en los animales. Es también la parte mayor de nuestro sintético universo: El arte, arquitectura, los carros, maquinas, y en realidad en todo lo que los humanos crean tiene elementos de forma geométrica. 2. Las exploraciones geométricas pueden desarrollar habilidades para desarrollar problemas. El razonamiento espacial es una forma importante de resolver problemas, y la resolución de problemas es una de las mayores razones para estudiar matemáticas.
83
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas 3. La Geometría juega un papel fundamental en el estudio de otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo: Los conceptos de fracción están relacionados con los constructos geométricos de la parte al todo. Las razones y proporciones están directamente relacionadas con el concepto geométrico de semejanza. La medición y la Geometría están claramente relacionadas. 4. La Geometría es utilizada diariamente por muchas personas. Los científicos de todas las áreas, arquitectos y artistas, ingenieros, desarrolladores urbanos son sólo una muestra de las profesiones que utilizan la geometría regularmente. En la casa, la Geometría ayuda a construir un cerco, construir la casa del perro, planear un jardín o hacerle arreglos a la estancia. 5. La Geometría se disfruta. Si la geometría incrementa el que los estudiantes se sientan más cómodos con la matemática en general, vale la pena todo el esfuerzo
EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO GOEMÉTRICO Hasta muy recientemente, el currículo de Geometría en los EUA estaba pobremente definido. Los profesores y los desarrolladores de currículos le habían dado poca orientación a lo que es importante. Sin embargo, el trabajo de dos educadores holandeses Pierre van Hiele and DINA van Hiele-Geldof, ha empezado a tener un impacto en el diseño e instrucción del currículo de Geometría.
Los niveles de pensamiento geométrico de van Hiele El trabajo de van Hiele empezó en 1959 e inmediatamente atrajo mucho la atención en la Unión Soviética, pero cerca de dos décadas en EUA tuvo muy poca atención (Hoffer, 1983; Hoffer & Hoffer, 1992). Pero hoy, la teoría de van Hiele se ha vuelto la influencia mas importante en el currículo de Geometría americano. La característica más importante del modelo es la jerarquía de cinco niveles de maneras de entender las ideas espaciales. Cada uno de los cinco niveles describe el proceso de pensamiento utilizado en contextos geométricos. Los niveles describen cómo se piensa y en qué tipo de ideas geométricas se piensa, más que en la cantidad de conocimiento tiene la persona. En la medida que una persona sube al nivel siguiente, el objeto de su pensamiento geométrico cambia.
Nivel 0: Visualización Los objetos de pensamiento en el nivel 0 son figuras de acuerdo a “su apariencia” Los estudiantes reconocen y nombran las figuras con base en las características visuales de la figura —-tal como lo plantea la gestalt. Los estudiantes que trabajan en este nivel son capaces de hacer mediciones y aún hablar de las propiedades de las figuras, pero no se piensa explícitamente sobre estas propiedades. Es la apariencia de la figura lo que la define frente al estudiante. Un cuadrado es un cuadrado “porque se ve como un cuadrado”. Porque la apariencia es lo dominante en este nivel, las apariencias pueden darle fuerza a las propiedades de la figura. Por ejemplo: Un cuadrado al que se le da vuelta del tal suerte que todos sus lados están en un ángulo de 45° a la vertical puede no parecer cuadrado para alguien del nivel 0. Los estudiantes en este nivel apartarán y clasificarán las figuras basándose en sus apariencias—“puse estos juntos porque todos se parecen.”
84
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas Los productos de pensamiento en el nivel 0 son clases o agrupaciones de figuras que “se parecen”
Nivel 1: Análisis Los objetos de pensamiento en el nivel 1, son tipos, clases de figuras más que figuras individuales. Los estudiantes en el nivel de análisis son capaces de considerar todas las figuras dentro de una clase, antes que una figura singular. En lugar de hablar acerca de este rectángulo, es más probable que hablen de todos los rectángulos. Al enfocarse a un tipo de figuras, los estudiantes son capaces de pensar acerca de lo que hace que un rectángulo sea un rectángulo (cuatro lados, los lados opuestos paralelos, los lados opuestos tienen la misma longitud, cuatro ángulos rectos, diagonales congruentes, etc.). Las características irrelevantes (por ejemplo el tamaño o la orientación) se desvanecen en el contexto. En este nivel, los estudiantes empiezan a apreciar que las figuras de una colección van en el mismo grupo, juntas, debido a sus propiedades. Las ideas acerca de una figura individual se pueden ahora generalizar a todas las figuras que encajan en esa clase. Si una forma pertenece a una clase particular como los cubos, tiene las propiedades correspondientes a esa clase. “todos los cubos tienen seis caras congruentes, y cada una de esas caras es cuadrada”. Estas propiedades estaban únicamente implícitas en el nivel 0. Los estudiantes que operan en el nivel 1 pueden ser capaces de hacer una lista de todas las propiedades de los cuadrados, rectángulos, y paralelogramos pero no ven que son subclases uno de otro, que todos los cuadrados son rectángulos y que todos los rectángulos son paralelogramos. Para la definición de una figura, los alumnos en el nivel 1, probablemente enlisten tantas propiedades de la figura como las que conozcan. Los productos de pensamiento o reflexión en el nivel 1 son propiedades de las figuras.
Nivel 2: Deducción Informal Los objetos de pensamiento en el nivel 2 son las propiedades de las formas. En tanto que los estudiantes empiezan a ser capaces de pensar sobre las propiedades de los objetos geométricos sin las restricciones de un objeto particular, son también capaces de desarrollar relaciones por medio de las propiedades, y entre estas propiedades. “Si los cuatro ángulos son rectos, la figura debe ser un rectángulo. Si es un cuadrado, todos los ángulos son ángulos rectos. Si es un cuadrado, debe de ser un rectángulo.” Con habilidad creciente para manejar el razonamiento de “si-entonces”. Las figuras pueden clasificarse utilizando un mínimo de características. Por ejemplo, cuatro lados congruentes y al menos un ángulo recto pueden ser suficiente para definir un cuadrado. Los rectángulos son paralelogramos con un ángulo recto. Las observaciones van más allá de las propiedades mismas y se empieza a enfocar en argumentos lógicos acerca de las propiedades. Los estudiantes en el nivel 2 serán capaces de seguir y apreciar un argumento deductivo informal en relación con figuras y sus propiedades. “Las pruebas” deben ser más intuitivas que rigurosamente deductivas. Sin embargo, hay una apreciación de que un argumento lógico es obligado. Una apreciación de una estructura axiomática de un sistema deductivo formal, sin embargo, permanece debajo de la superficie. Los productos del pensamiento en el nivel 2 son relaciones entre propiedades y objetos geométricos.
85
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Nivel 3: Deducción Los objetos de pensamiento en el nivel 3 son relaciones entre propiedades de objetos geométricos.
En el nivel 3, los estudiantes son capaces de examinar más allá de lo que son las propiedades de las figuras. Su pensamiento primero ha producido conjeturas respecto a las relaciones entre las propiedades. ¿Son correctas estas conjeturas? ¿Son verdaderas? Conforme se da el análisis de argumentos informales, la estructura de un sistema completo con axiomas, definiciones, teoremas, corolarios, y postulados empieza a desarrollarse y puede ser apreciado así como también los recursos necesarios para establecer la verdad geométrica. En este nivel, los estudiantes empiezan a apreciar la necesidad de un sistema de lógica que descanse en un mínimo cuerpo de asunciones y de las cuales otras verdades se pueden derivar. El estudiante en este nivel es capaz de trabajar con proposiciones abstractas acerca de propiedades geométricas y hacer conclusiones basadas más en la lógica que en la intuición. Este es el nivel de un curso de Geometría en el nivel de preparatoria. Un estudiante que se desenvuelve en el nivel 3 puede observar claramente que las diagonales de un rectángulo se dividen en dos partes iguales, de la misma manera que lo observa un estudiante de un nivel menor de pensamiento. Sin embargo, en el nivel 3, hay una apreciación de la necesidad de probar esto partiendo de una serie de argumentos deductivos. El pensador del nivel 2, en contraste, sigue el argumento pero falla al apreciar la necesidad. Los productos de pensamiento en el nivel 3 son sistemas deductivos axiomáticos para la Geometría
Nivel 4: Rigor
Los objetos de pensamiento en el nivel 4 son sistemas deductivos axiomáticos para la Geometría. En el nivel más alto en la jerarquía de van Hiele, el objeto de atención son los sistemas axiomáticos mismos, no las deducciones dentro del sistema. Hay una apreciación de las distinciones y las relaciones entre diferentes sistemas axiomáticos. Este es generalmente el nivel de estudios posteriores al nivel de preparatoria, es el nivel de alguien que estudia geometría como una rama de la ciencia matemática. Los productos de pensamiento en el nivel 4 son comparaciones y contrastes entre diferentes sistemas axiomáticos de la Geometría
Las Características de los niveles de van Hiele 86
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas Sin duda tú has notado que los productos de pensamiento de cada nivel son los mismos que los objetos de pensamiento del siguiente. Esta relación objeto-producto entre los niveles en la teoría de van Hiele se ilustra en la figura 17.3. Los objetos (ideas) deben de crearse en un nivel de tal suerte que las relaciones entre estos objetos se puedan volver el foco del siguiente nivel. Además de este concepto fundamental de la teoría, cuatro características relacionadas con los niveles de pensamiento merecen atención especial. 1. Los niveles son secuenciados. Para llegar a cualquier nivel por encima del nivel 0, los estudiantes deben pasar por todos los niveles anteriores. Pasar de nivel significa que se ha experimentado el pensamiento geométrico apropiado para ese nivel y que se ha creado en la propia mente los tipos de objetos o las relaciones que son el foco del pensamiento en el siguiente nivel. Saltarse un nivel rara vez ocurre. 2. Los niveles no dependen de la edad en el sentido de las etapas de desarrollo de Piaget. Un estudiante del tercer grado de secundaria o uno de preparatoria podrían estar en el nivel 0, y en verdad algunos estudiantes y personas adultas permanecen en el nivel 0 para siempre, y un número bastante significativo de adultos nunca llegan al nivel 2. Pero la edad ciertamente está relacionada a la cantidad y los tipos de experiencias geométricas que tenemos. Por lo tanto, es razonable que todos los niños del tercer ciclo de primaria logren alcanzar el nivel 0, de la misma manera la mayoría de los niños que están en 3° y 4° de primaria. 3. La experiencia geométrica es factor especial y el de más grande influencia en el avance a través de los distintos niveles. Las actividades que les permitan a los niños explorar, hablar acerca de ellas, e interactuar con contenidos del siguiente nivel, mientras aumentan o hacen crecer sus experiencias en el nivel en el que están, tienen la mejor oportunidad de avanzar de nivel de pensamiento. 4. Cuando la instrucción y el lenguaje están en un nivel más alto del que tiene el alumno, habrá falta de comunicación. Los estudiantes tienen que luchar con objetos de pensamiento que no se han construido en niveles anteriores y se esfuerzan en aprender de memoria lo cual deviene en que el éxito sea temporal y superficial. Un estudiante puede, por ejemplo, memorizar que todos los cuadrados son rectángulos sin haber construido esa relación. Un estudiante puede memorizar una prueba geométrica pero fallar al crear los pasos o entender las razones involucradas (Fuys, Geddes, &Tischler, 19988; Geddes & Fortunato, 1993).
Figura 17.3
En cada nivel de pensamiento geométrico, las ideas creadas se transforman en el foco u objeto de atención en el siguiente nivel.
Implicaciones para la Instrucción 87
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas La teoría de van Heile proporciona al maestro cuidadoso un marco de trabajo para conducir las actividades de geometría. La teoría no especifica el contenido ni el currículo pero puede aplicarse a la mayoría de las actividades. Muchas de las actividades pueden diseñarse para empezar con la asunción de un nivel particular y luego se puede subir o bajar a través de los tipos de problemas y la guía que proporciona el maestro.
Metas instruccionales: Contenido y niveles de pensamiento El estándar de Geometría en Principles & Standars se enfoca en el proceso y en el contenido. Verbos tales como describir, comparar, relacionar, representar, investigar, clasificar, razonar, analizar, predecir, examinar (conjeturas), y criticar (argumentos), todos se utilizan en la descripción del estándar (Currículo de Geometría). Los objetivos son más amplios que una colección de hechos y fragmentos de conocimiento acerca de ideas geométricas. El término sentido espacial resume el estándar de geometría. La teoría de van Hiele asienta muy bien con la mirada que tiene Principles & Standars de la Geometría. Enfoca nuestra atención en cómo los estudiantes piensan en contextos geométricos y el objeto de su pensamiento: figuras → propiedades → lógica informal → principios deductivos. Si la teoría de van Heile es correcta —y existe mucha evidencia para sostenerla— entonces un objetivo más ambicioso del currículo de secundaria podrá ser un buen avance para el nivel de pensamiento geométrico de los estudiantes. Si los estudiantes son debida y adecuadamente preparados para el currículo de Geometría deductiva en la preparatoria, su pensamiento debe avanzar al menos al nivel 2. Esto no quiere decir que el contenido de conocimiento no es importante. El sentido espacial claramente se mejora a través del entendimiento de las figuras o formas, cómo se ven, y aun cómo se les nombra. Los conceptos de simetría, congruencia, y similitud contribuyen al entendimiento de nuestro mundo geométrico. Y la interacción con la medición que nos permite analizar medidas de ángulos y las relaciones entre entidades geométricas es también de mucho valor. Pero todo esto no debe desarrollarse en el contexto de “cuestiones para dominar” sino más bien como maneras de conocer y entender el mundo geométrico.
La enseñanza en el nivel de pensamiento de los alumnos
Un enfoque que tienda al desarrollo en la instrucción demanda que escuchemos a los niños y empezar donde los encontremos. La teoría de van Hiele subraya la necesidad de enseñar de acuerdo al nivel de los niños. Si embargo, casi ninguna actividad se puede modificar para extender dos niveles de pensamiento, aún en el mismo salón de clases. Podemos respetar las respuestas y observaciones que hacen los niños las cuales sugieren un nivel más bajo de pensamiento mientras los animamos y les despertamos el reto para trabajar en el siguiente nivel. Recordemos que es el tipo de pensamiento que los niños necesitan tener lo que hace la diferencia en el aprendizaje, no un contenido específico. Las siguientes son algunas características de instrucción apropiadas para los tres primeros niveles de van Hiele:
Características de actividades del nivel 0
Involucra mucha clasificación, identificación, y la descripción de varias figuras o formas.
Utiliza muchos modelos físicos que los alumnos puedan manipular.
88
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas Incluye muchos, diferentes y variados ejemplos de figuras de tal suerte que las características irrelevantes no se vuelvan importantes. (Muchos estudiantes, por ejemplo, creen que únicamente los triángulos equiláteros son realmente triángulos o que los cuadrados girados 45° ya no son cuadrados). Proporciona oportunidades para construir, hacer, dibujar, juntar, y desmontar o desmantelar figuras.
Características de actividades de nivel 1
Empieza por enfocarse más a las propiedades de las figuras que a la simple identificación.
Define, mide, observa, y cambia las propiedades con el uso de modelos.
Utiliza contextos de solución de problemas en los cuales las propiedades de las figuras son los componentes importantes.
Continúa con el uso de modelos, pero incluye modelos que permitan la exploración de varias propiedades de figuras.
Clasifica figuras basadas en propiedades de figuras así como también en los nombres de las figuras. Por ejemplo, encuentra propiedades diferentes de triángulos que unos sean parecidos y otros diferentes.
Características de actividades de nivel 2
Continúa utilizando modelos, enfocándose sobre definición de propiedades.
Hacer una lista de propiedades, y discutir cuáles propiedades son necesarias y cuáles son las condiciones suficientes para una figura específica o concepto.
Incluir lenguaje de naturaleza deductiva informal: todo, alguno, ninguno, sientonces, qué si, y como.
Investigar lo opuesto de ciertas relaciones para la validez. Por ejemplo, lo contrario de “si es un cuadrado, debe tener cuatro ángulos rectos” es “si tiene cuatro ángulos rectos, debe ser un cuadrado”
Utilizar modelos y dibujos como herramientas para pensar, y empezar a buscar generalizaciones y contraejemplos.
Dar mucha importancia a la realización y prueba de hipótesis.
La mayor parte del contenido del currículo de secundaria se puede adaptar a cualquiera de estos tres niveles. Una excepción puede ser la atención inapropiada a los conceptos abstractos tales como el punto, línea, rayo, y el plano como elementos básicos de las formas geométricas. Estas ideas abstractas no son apropiadas aún para el nivel 2 Escucha a tus estudiantes durante una actividad de geometría. Compara sus comentarios y observaciones con la descripciones de los dos primeros niveles de van Hiele. Asegúrate de que las actividades que planeas no requieran que los estudiantes razonen por encima de su nivel de pensamiento. Las actividades sugeridas en el resto de este capítulo están agrupadas de acuerdo a los tres primeros niveles de van Heile. Éstas son simplemente sugerencias para empezar. Muchas actividades tienen el potencial de ser dirigidas a niveles ligeramente más bajos o más altos.
89
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas El propósito aquí es ilustrar la amplia variedad de cosas que se pueden hacer. Encuentra las ideas que te gusten, y desarróllalas a plenitud. Busca libros de recursos adicionales que te apoyen.
90
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
El modelo de razonamiento de Van Hiele como marco para el aprendizaje comprensivo de la Geometría. Un ejemplo: Los Giros2 A lo largo de este artículo queremos ofrecer una visión general que sirva de toma de contacto con el" Modelo de Razonamiento geométrico de Van Hiele " .Como indica su nombre, esta teoría de aprendizaje describe las formas de razonamiento de los estudiantes de Geometría. Aunque puede pensarse que el tipo de razonamiento es el mismo en cualquier parte de las Matemáticas, esto no es del todo cierto, pues las características propias de las distintas áreas (Aritmética, Álgebra, Geometría, etc.) marcan notables diferencias; de hecho, ha habido intentos de aplicar el Modelo de Van Hiele fuera de la Geometría, pero en general han tenido escaso éxito. El objetivo principal de estas páginas es acercar esta teoría a los profesores de Matemáticas ya su práctica cotidiana, con el fin de que les pueda servir como orientación en el diseño de las actuaciones (suyas y de sus alumnos) en las clases de Geometría a lo largo del curso. En la primera sección haremos una descripción de las principales características del Modelo de Van Hiele y después ofreceremos un ejemplo de su aplicación a una unidad de enseñanza concreta. Es interesante conocer su origen. Sus autores son los esposos Pierre M. Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof, que en los años 50 eran profesores de Geometría de enseñanza secundaria en Holanda. A partir de su experiencia docente y de las dificultades de compresión que observaban en sus alumnos. elaboraron un modelo que explica, por una parte, cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes Y. por otra parte,' cómo puede un profesor ayudar a sus alumnos para que mejoren la calidad de su razonamiento. Esta teoría la exponen por primera vez en sus tesis doctorales, leídas en 1957 y dirigidas por el recientemente fallecido H . Freudenthal (Hiele. 1990 y Hiele-Geldof, 1984).
El Modelo de Van Hiele atrajo enseguida la atención de los educadores soviéticos. que se hallaban inmersos en un proyecto de reforma curricular. Tras unos años de intensas investigaciones y experimentaciones, se incorpora el
2
Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1991). En Educación Matemática Vol. 3, pp. 49-65. Con permiso para su reproducción en La enseñanza de las Matemáticas en la escuela secundaria. Lecturas PRONAP (1996).
91
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Modelo de Van Hiele como base teórica de la elaboración del nuevo curriculum de enseñanza de la Geometría en la U.R.S.S., cuya implantación definitiva se produce en 1964. Un ejemplo de los resultados soviéticos lo tenemos en Pyskalo (1968). Por el contrario, en los países occiden- tales (con excepción de Holanda) se siguió ignorando el Modelo de Van Hiele hasta que I. Wirszup da una conferencia en la reunión anual del N.C.T.M. (Wirszup, 1976) en la que hace una descripción del curriculum soviético y del Modelo de Van Hiele y alerta a los profesores estadounidenses ante el hecho de queetcurricu1um de Geometría soviético es más eficaz que el suyo. La reacción provocada hace que en los años siguientes se realicen diversas investigaciones en EE.UU. en torno al Modelo de Van Hiele y que éste sea objeto de un interés creciente en todo el mundo, tanto desde el punto de vista de la investigación educativa como del de la práctica docente. Empezaremos describiendo el Modelo de Van Hiele. Está formado por dos partes: La primera es la descripción de los distintos tipos de razonamiento geométrico de los estudiantes a lo largo de su formación matemática, que van desde el razonamiento visual de los niños de preescolar hasta el formal y abstracto de los estudiantes de las facultades de Ciencias; estos tipos de razonamiento se denominan los niveles de razonamiento. La segunda parte es una descripción de cómo puede un profesor organizar la actividad en sus clases para que los alumnos sean capaces de acceder al nivel de razonamiento superior al que tienen actualmente; se trata de las fases de aprendizaje. En esta exposición abordaremos ambas componentes: En primer lugar nos ocuparemos de los niveles de razonamiento, que forman la base teórica del Modelo, y después nos centraremos en las fases de aprendizaje y en la aplicación del Modelo al diseño de series de actividades para temas concretos en clase. En la bibliografía existente (en Gutiérrez, Jaime (1989) ofrecemos una recopilación comentada) se pueden encontrar listas muy completas de características de los distintos niveles de Van Hiele. En dichas publicaciones se utilizan dos numeraciones de los cinco niveles, empezando en O y empezando en 1; nosotros preferimos la segunda, para mantener las etiquetas de los niveles de acuerdo con sus ordinales. Las siguientes son las propiedades más importantes que permiten caracterizar con claridad cada nivel y diferenciarlo de sus adyacentes: Nivel 1 (reconocimiento): El estudiante de este nivel • • •
Percibe los objetos en su totalidad y como unidades. .Describe los objetos por su aspecto físico y los diferencia o Clasifica con base a semejanzas o diferencias físicas globales entre ellos. No reconoce explícitamente las componentes y propiedades de los objetos.
92
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Nivel 2 (análisis): El estudiante de este nivel • • •
Percibe los objetos como formados por partes y dotados de propiedades, aunque no identifica las relaciones entre ellas. Puede describir los objetos de manera informal mediante el reconocimiento de sus componentes y propiedades, pero no es capaz de hacer clasificaciones lógicas. Deduce nuevas relaciones entre componentes o nuevas pro- piedades de manera informal a partir de la experimentación.
Nivel 3 (clasificación): El estudiante de este nivel • • • •
Realiza clasificaciones lógicas de los objetos y descubre nuevas propiedades con base en propiedades o relaciones ya conoci- das y por medio de razonamiento informal. Describe las figuras de manera formal, es decir que comprende el papel de las definiciones y los requisitos de una definición correcta. Comprende los pasos individuales de un razonamiento lógico de forma aislada, pero no comprende el encadenamiento de estos pasos ni la estructura de una demostración. No es capaz de realizar razonamientos lógicos formales, ni siente su necesidad. Por este motivo, tampoco comprende la estructura axiomática de las Matemáticas.
Nivel 4 (deducción): El estudiante de este nivel • • •
Es capaz de realizar razonamientos lógicos formales. Comprende la estructura axiomática de las Matemáticas. Acepta la posibilidad de llegar al mismo resultado desde distintas premisas (definiciones equivalentes, etc.).
En la descripción inicial del Modelo (Hiele, 1986) se señala la existencia de un quinto nivel, cuya característica básica es la capacidad para manejar, analizar y comparar diferentes Geometrías. Desde el primer momento, las investigaciones han mostrado una inconsistencia de este nivel con los cuatro anteriores. Por otra parte, la presencia de este nivel apenas aporta nada, desde un punto de vista práctico al Modelo, ya que sólo se encontraría al alcance de los matemáticos profesionales y de algunos estudiantes adelantados de las facultades de Matemáticas. Por este motivo, en adelante vamos a considerar solamente los
93
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
niveles 1 al 4, que sí podemos encontrar en nuestros alumnos de los diferentes niveles educativos si reciben una enseñanza adecuada. Después de esta descripción global, y por lo tanto abstracta, de las características de los niveles de razonamiento de Van Hiele, vamos a centrarnos en un ejemplo concreto de particularización de dicha descripción. Hemos recurrido a los cuadriláteros porque esta familia de polígonos constituye una parte de las Matemáticas y presenta una estructura muy rica en relaciones. Veamos las características que identifican la forma de trabajar con cuadriláteros de alumnos situados en los diferentes niveles de razonamiento. Nivel 1: El estudiante d este nivel •
• •
Identifica cuadrados, rombos, rectángulos, etc. por su aspecto físico y su posición. Por ejemplo, F es un cuadrado pero, después de girarlo, es un rombo . Considera cada clase de cuadriláteros diferente (disjunta) de las demás. También considera como pertenecientes a diferentes clases algunos polígonos con formas muy diferenciadas. Puede dibujar, recortar, etc. los diferentes tipos de cuadriláteros, así como reconocerlos en diferentes contextos.
Nivel 2: El estudiante de este nivel •
• •
Identifica, por ejemplo, un rectángulo como un polígono dotado de un número de propiedades matemáticas: tiene 4 lados paralelos dos a dos, con 4 ángulos rectos, con diagonales iguales, que se cortan en el punto medio, etc., pero no se da cuenta de que unas propiedades están relacionadas con las otras (se deducen de ellas). No es capaz de dar una definición de rectángulo, es decir, un conjunto mínimo de propiedades que lo caracterice. No es capaz de relacionar inclusivamente los diferentes tipos de cuadriláteros, sino que los sigue percibiendo como clases disjuntas. Por ejemplo, dirá que " un cuadrado no puede ser un rectángulo porque los cuadrados tienen todos los lados iguales y en los rectángulos dos lados miden más que los otros dos ".
Nivel 3. El estudiante de este nivel •
Clasifica los cuadriláteros a partir de sus propiedades: Ya reconoce que cualquier cuadrado es un rectángulo pero que no todos los rectángulos son cuadrados, etc.
94
•
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Puede deducir, basado en argumentos informales, unas propiedades a partir de otras. Por ejemplo, paralelismo J igualdad de lados, perpendicularidad J paralelismo de lados opuestos, etc.
Nivel 4. El estudiante de este nivel •
•
Maneja las propiedades de los cuadriláteros y la relaciona dentro de un contexto formal. Por ejemplo, puede demostrar formalmente cualquiera de los teoremas que ya ha utilizado en el nivel 3, o propiedades nuevas, como que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360° Puede comprender la existencia de diferentes definiciones de una figura, analizarlas y relacionarlas, por ejemplo:
− Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene los ángulos rectos. − Un rectángulo es un cuadrilátero cuyas diagonales son iguales y se cortan en sus puntos medios. − Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos y un ángulo recto. La descripción anterior de los niveles de razonamiento pone de relieve diversas propiedades del Modelo de Van Hiele. cuya importancia práctica radica en que muestran las líneas básicas que debe seguir un profesor que desee fundamentar sus clases en este modelo de enseñanza. Estas propiedades. de las cuales damos una descripción más detallada en Jaime. Gutiérrez (1990). son:
Recursividad: Los elementos implícitos en el razonamiento del nivel N se hacen explícitos en el razonamiento del nivel N + 1. Por ejemplo, un niño de pre-escolar puede diferenciar círculos, triángulos y rectángulos por la "forma" de las figuras (nivel 1); no obstante es evidente que el niño se fija en la existencia y la forma (o cantidad) de los vértices para esa clasificación, aunque no sea consciente de ello. Más adelante, cuando el niño haya alcanzado el nivel 2, sí será consciente de que los vértices, como elementos diferenciados, son la clave de la clasificación. La tabla siguiente resume esta característica: Niv. 1
Elementos explícitos Objetos geométricos
Elementos implícitos Propiedades matemáticas de los objetos.
95
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Niv. 2
Prop. Mat. de los objetos
Relaciones entre propiedades y/o elementos de los objetos
Niv. 3
Relac. entre prop. y/o elem.
Niv. 4
Deduc. formal de relaciones
Deducción formal de relaciones
En este contexto, el trabajo central del profesor es conseguir que sus alumnos lleguen a ser conscientes del uso que están haciendo de esos elementos implícitos de su razonamiento y aprendan a utilizarlos de manera voluntaria. Este uso voluntario y correcto es lo que les permitirá alcanzar el nivel de razonamiento superior. Secuencialidad: No es posible alterar el orden de adquisición de los niveles, es decir que no se puede alcanzar un nivel de razonamiento sin antes haber superado, de forma ordenada, todos los niveles inferiores. Un peligro del aprendizaje memorístico es el que los estudiantes aparentan un nivel de razonamiento superior al que realmente tienen porque han aprendido vocabulario y formas de trabajo propios del nivel superior, aunque realmente no los comprenden ni los saben utilizar correctamente. Un ejemplo muy frecuente lo tenemos en los estudiantes de Enseñanza Secundaria cuando los profesores les enseñan matemáticas formales y les piden que repitan las demostraciones o que resuelvan formalmente mas; esta práctica se traduce en que, con el paso del tiempo, estudiantes han aprendido mecánicamente ciertas formas de actuar y de contestar los ejercicios propias del lenguaje matemático formalizado, con las que dan la impresión de encontrarse en el 4° nivel, cuando en realidad están muy lejos de este tipo de razonamiento. Especificidad del lenguaje: Cada nivel lleva asociado un tipo de lenguaje para comunicarse y un significado específico del vocabulario matemático, de forma que dos personas que utilicen lenguaje de diferentes niveles no podrán entenderse. Por ejemplo, la palabra “demostrar" tiene significados diferentes 2, 3 y 4, pues para demostrar una propiedad: Un estudiante del nivel 2 verificará que se cumple en uno o varios ejemplos y ello bastará para convencerle; un estudiante del nivel 3 sabe que debe dar justificaciones generales, pero éstas se basarán en algún ejemplo o en manipulaciones físicas de los cuerpos. Un estudiante del nivel 4 hará una demostración formal. Son evidentes las implicaciones de esta propiedad en la forma de comportarse los profesores en las aulas. Con esto, Van Hiele nos avisa de que si queremos que nuestros alumnos nos en tiendan realmente, debemos situarnos en su nivel, en vez de pretender que ellos se sitúen en el nuestro.
96
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Continuidad: Nuestra experiencia personal nos dice que el tránsito entre los niveles de Van Hiele se produce de forma continua y pausada, pudiendo durar varios años en el caso de los niveles 3 y 4. Dado que las características de cada nivel de razonamiento son múltiples, es necesario preguntarse cómo hay que tratar a los estudiantes que presentan indicios de haber adquirido algunas características de un nivel y también de no haber adquirido otras. Localidad: Por lo general, un estudiante no se encuentra en el mismo nivel de razonamiento en cualquier área de la Geometría, pues el aprendizaje previo y los conocimientos que tenga son un elemento básico en su habilidad de razonamiento. Los que hemos estudiado Matemáticas superiores sabemos que, al enfrentarnos con una nueva área de estudio, lo usual es empezar tomando contacto con los elementos más importantes, después con sus propiedades básicas, a continuación relacionar unos elementos o propiedades con otros, etc. En otras palabras, lo usual es recorrer (posiblemente de forma muy rápida) los niveles de Van Hiele desde el 1 en adelante. Por lo tanto, creemos que los niveles de razonamiento son de carácter local y que la "localidad" es más acusada cuanto más bajo es el nivel, pues a menor nivel de razonamiento menor es la capacidad de los alumnos para globalizar sus conocimientos y abarcar un área amplia de la Geometría. El Modelo de Van Hiele propone a los profesores una secuencia cíclica de cinco fases de aprendizaje para ayudar a los estudiantes a progresar desde un nivel de pensamiento al siguiente. Básicamente, estas cinco fases constituyen un esquema para organizar la enseñanza. Su carácter cíclico viene dado por el hecho de que cuando los estudiantes, tras recorrer las cinco fases, consiguen alcanzar un nivel de razonamiento superior al que tenían, deben iniciar un nuevo recorrido por las cinco fases para conseguir llegar al nivel superior actual. Naturalmente, aunque las fases son las mismas para todos los niveles, los contenidos matemáticos, el lenguaje empleado y la forma de resolver los problemas son diferentes para cada nivel; lo que permanece es la metodología de trabajo, pero cambia su contenido concreto. Las fases del Modelo de Van Hiele son las siguientes: Información: Al empezar a estudiar un tema nuevo, el profesor informar a los estudiantes sobre cuál es el campo de investigación en el que van a trabajar y cuáles van a ser los problemas que van a tratar de resolver. Esta fase sirve también para que el profesor averigüe los conocimientos previos de sus alumnos sobre ese tema y, en caso de que tengan algunos conocimientos organizados, cuál es su calidad y en qué nivel de razonamiento son capaces de desenvolverse los estudiantes. En todo caso, no hay que despreciar los conocimientos que puedan haber adquirido los estudiantes de forma extra-académica, pues si son adecuados deben servir como punto de partida y si son erróneos, el profesor debe empezar por modificar esos errores.
97
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Orientación dirigida: En la segunda fase los estudiantes exploran el campo de investigación por medio del material que les ha suministrado el profesor. Este material suele estar formado por bloques de actividades dirigidos al descubrimiento y aprendizaje de los conceptos y propiedades fundamentales del área de estudio en cuestión. Estas actividades deben estar claramente orientadas hacia sus objetivos, por ejemplo mediante ciertas cuestiones o directrices dadas por el profesor (como doblar, medir, buscar una simetría, etc), de tal forma que las estructuras características se le presenten a los estudiantes de forma progresiva. Explicitación: La tercera fase, que es fundamentalmente de diálogo entre los estudiantes, con intervenciones del profesor cuando sea necesario, tiene varios objetivos. Uno es conseguir que las experiencias adquiridas se unan a los símbolos lingüísticos precisos y que los estudiantes aprendan a expresarse con precisión (dentro de las características de su nivel de razonamiento) en el transcurso de discusiones que tienen lugar en el aula. Otro objetivo es hacer que los estudiantes reflexionen "en voz alta” sobre el trabajo que han estado haciendo, sus soluciones, dificultades, métodos, etc. Este debate entre los compañeros enriquecerá notablemente el conocimiento de cada estudiante, pues les obliga a organizar sus ideas y expresarlas con rigor, pone de relieve los métodos y resultados incorrectos y afianza los correctos. Así, en el transcurso de la tercera fase se forma parcialmente la nueva red de relaciones entre los conceptos propios del área de estudio. Orientación libre: Ahora los estudiantes tendrán que aplicar sus nuevos conocimientos a investigaciones posteriores sobre el tema de estudio. Este es en gran parte conocido, pero el alumno todavía debe afianzar y completar sus conocimientos del mismo. Esto se consigue mediante la asignación por el profesor de tareas que, preferiblemente, puedan desarrollarse de diversas formas o que puedan llevar a diferentes soluciones. Se trata de actividades y problemas menos dirigidos que los que se plantean en la segunda fase, pues en aquel momento los problemas estaban dirigidos a enseñar unos conocimientos concretos, mientras que en la fase de orientación libre la finalidad de las actividades de los , estudiantes es conseguir que profundicen en dichos conocimientos, que se afiancen en su uso, que relacionen unos con otros y que descubran y aprendan algunas propiedades que por su complejidad no pueden ser estudiadas antes. Integración: A lo largo de las fases anteriores, los estudiante han adquirido nuevos conocimientos y habilidades de razonamiento, pero todavía les falta adquirir una visión general de los conceptos y métodos que tienen a su disposición. En esta fase el profesor debe tratar de resumir en un todo el campo que han explorado los estudiantes y lograr que integren lo que acaban de aprender en la red de conocimientos relacionados con este campo que pudieran tener con antelación. El profesor puede fomentar este trabajo proporcionando
98
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
comprensiones globales, pero es importante que estas comprensiones no le aporten ninguna novedad al estudiante: Solamente deben ser una acumulación de las cosas que ya conoce. Es fácil darse cuenta de que las fases de aprendizaje tienen, por los objetivos de cada una, una secuenciación lógica que no se puede alterar. La única excepción es la tercera fase, de explicitación; esta fase no debe consistir en un período de tiempo entre las fases segunda y cuarta dedicado a que los estudiantes dialoguen, sino que hay que entenderla como una dinámica continua, a lo largo de todas las clases, de diálogo y de reflexión común después de cualquier tipo de actividad, sea de la fase que sea. De esta manera, la fase de explicitación estaría sobrevolando las otras cuatro fases y entremezclada con cada una de ellas. Asimismo, si el profesor y los alumnos han estado trabajando juntos un tema con anterioridad, puede que la fase 1 de un determinado nivel no requiera actividades específicas, pues el profesor ya sabe qué conocimientos y nivel de razonamiento tienen sus alumnos y es suficiente hacer algunos comentarios o preguntas para retomar el tema y comenzar con las actividades de la fase 2.
Para completar esta presentación del Modelo de Razonamiento Geométrico de Van Hiele, vamos a dar un ejemplo de su aplicación al diseño de una unidad de enseñanza de los giros del plano (esta unidad es parte de un proyecto más amplio cuyo objetivo es el diseño de unidades para la enseñanza de las isometrías del plano). Antes de iniciar el diseño de una unidad de enseñanza para un tema concreto de Geometría, hay que particularizar el significado general de los niveles de Van Hiele, que hemos visto al principio del artículo, definiendo características de cada nivel de razonamiento en términos del tema en cuestión. En nuestro caso, las características de los niveles de razonamiento particularizadas a los giros del plano son: Nivel 1 (reconocimiento): estudiante de este nivel • •
Reconoce, utiliza y describe los giros por sus características visuales globales. Utiliza la disposición en forma de círculo, la equidistancia al centro y la variación en la inclinación, pero lo hace de una forma global, es decir, según el aspecto general de la figura que ve.
Nivel 2 (análisis): El estudiante de este nivel
99
•
•
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Reconoce y utiliza los giros a partir de sus dos características básicas: Centro y ángulo de giro. La visión global del primer nivel ha dado paso a una consideración de los elementos. Por ejemplo: Para colocar la imagen de una figura, el estudiante tiene en cuenta la equidistancia al centro de varios de sus puntos (generalmente trazando circunferencias) y reconoce la necesidad de utilizar más de un punto. Descubre experimentalmente y utiliza propiedades de los giros, como la igualdad del ángulo recorrido por distintos puntos de una figura, las particularidades de los giros de 180°, la equivalencia de giros, el resultado del producto de giros con el mismo centro.
Nivel 3 (clasificación): El estudiante de este nivel •
•
Establece relaciones entre propiedades descubiertas anteriormente, lo cual le permite realizar demostraciones informales y descubrir propiedades nuevas. Por ejemplo: - Obtiene y justifica el procedimiento de cálculo del centro de giro mediante el corte de dos mediatrices. - Descubre la relación entre el ángulo de giro y la inclinación de la figura imagen respecto de la original (fig. 1) y la utiliza para justificar el resultado del producto de giros de distinto centro. - Relaciona traslaciones o simetrías con giros. Comprende la definición formal de giro y reconoce y utiliza conjuntos mínimos de condiciones necesarias y suficientes para definir un giro. Nivel 4 (deducción): estudiante de este nivel •
•
•
100
El
Comprende y utiliza los métodos formales de razonamiento: Es capaz de emplear y enunciar las propiedades en términos de hipótesis y tesis y encadenar lógicamente los pasos seguidos en el razonamiento. Puede realizar demostraciones formales de las propiedades conocidas o de otras nuevas. Consigue una integración
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
de la estructura global de las isometrías del plano. Utiliza la estructura algebraica de dicho conjunto. Un desarrollo completo de este nivel de razonamiento en los giros requiere la integración de las otras isometrías (al menos de las simples: Traslaciones y simetrías. No es necesario haber desarrollado la simetría en deslizamiento), pues al efectuar productos, estos movimientos se encuentran estrechamente vinculados. Por ello, a partir del nivel 3 de razonamiento en giros consideramos necesario que los alumnos hayan desarrollado una instrucción semejante en traslaciones y simetrías. Esto se refleja en la secuencia de actividades que proponemos, pues a partir del nivel 3 aparecen situaciones en las que traslaciones y simetrías se relacionan con los giros. Una vez caracterizados los niveles en términos de giros, podemos empezar el diseño de la unidad de enseñanza. Por limitaciones de espacio, no haremos una exposición completa de las actividades a realizar en cada nivel, sino que indicaremos tipos de actividades integrados en esta unidad de enseñanza, a lo largo de las diferentes fases y niveles de razonamiento. Por otra parte, de acuerdo con la interpretación que dimos más arriba de la fase 3, como una actitud continua de diálogo durante las demás fases, no hemos diseñado actividades específicas para esta fase en ninguno de los niveles. Desde el punto de vista metodológico, es necesario resaltar que hay que contemplar las actividades dentro del contexto de la secuencia concreta en la que se encuentran, pues una actividad aislada puede utilizarse en distintas fases, e incluso distintos niveles. Su situación concreta dentro del conjunto es lo que marca sus objetivos. Por ejemplo, ante una actividad dirigida a que los estudiantes descubran una propiedad si en una secuencia se sitúa como actividad de la fase 2, su objetivo será el descubrimiento directo de la propiedad, mientras que si la pretensión es que la actividad corresponda a la fase 4, deberá surgir como aplicación de otras ya conocidas por los estudiantes. La unidad de enseñanza que presentamos está dirigida estudiantes de Enseñanza Primaria y comienzo de la Enseñanza Secundaria (grados 3 a 11, con edades entre 9 y 16 años aproximadamente) ya a estudiantes de la Escuela de Magisterio (futuro profesores de Enseñanza Primaria). El material que utilizamos para las actividades está formado por los elementos usuales de dibujo (regla, compás y transportado) por discos de plástico transparente y por pequeñas figuras de papel de varias formas (cuadrados, rectángulos, triángulos y rombos), con un dibujo en su interior (fig.2); los alumnos disponen de cantidad suficiente de estas figuras, bien para realizar físicamente los movimientos, bien para pegarlas en la posición de la imagen por el giro. Con ello pretendemos evitar posibles errores ocasionados por un mal dibujo. También se agiliza de esa manera el trabajo, pues siempre es más rápido pegar una figura que dibujarla. De todas maneras, los estudiantes a veces prefieren prescindir de las figuras de papel y dibujarlas. 101
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Actividades del Nivel 1 Fase 1 1a) Cada estudiante "gira" sobre sí mismo. Hacer un dibujo en una hoja de papel, pinchar la hoja con un alfiler y darle vueltas. Colocar una figura de papel (cuadrado, triángulo, ...) sobre una hoja en blanco, pincharla con un alfiler y darle vueltas. Pegar una figura sobre un disco de plástico, pincharlo por su centro y darle vueltas. Fase 2 1b) El profesor da algunos ejemplos y pide a los alumnos, otros de movimientos en el mundo real que son giros y de otros que no lo son. Repetir los dos últimos ejercicios de la fase 1, pero pegando varias figuras a lo largo del recorrido de giro. 1c) Sobre el resultado de alguno de los ejercicios de 1b), trazar, sin herramientas de dibujo, el recorrido seguido por un punto de un figura a lo largo del giro. Emplear un disco transparente4 para comprobar la respuesta (perforando el disco en el punto correspondiente para poder atravesarlo con el bolígrafo y dibujar en forma automática el recorrido del punto). Identificar posibles recorridos de giros entre un conjunto de líneas dadas (incluir circunferencias, casi circunferencias, cuadrados, etc.) Fase 4 1d) Se da a los estudiantes una hoja con varias figuras. Los alumnos deben reconocer las que se corresponden mediante un giro. Pueden usar una figura y
102
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
moverla antes de contestar. El alumno deberá justificar sus respuestas haciendo explícita la equidistancia al centro del giro (de manera global), la variación de la inclinación de la figura y el recorrido circular de los puntos. 1e) Identificación de giros sobre un mosaico. Fase 5 Resumen por parte del profesor: En qué consiste un giro. Cómo se colocan las figuras. Qué trayectoria sigue un punto. A qué distancia del centro se coloca la imagen. Relación con otros conceptos. El profesor diseñará las actividades que considere oportuno. según los conocimientos de los alumnos.
Comentarios. Con las actividades de la fase 1 se pone en contacto a los niños con los giros. Por eso, simplemente dan vueltas a distintos dibujos o sobre si mismos. En la fase 2 ya se centra la atención en la transformación que experimenta una figura al girarla. Al colocar varias figuras a lo largo del recorrido del giro se facilitan las ideas del movimiento circular de los giros, la equidistancia al centro de giro y la variación en la inclinación de la figura durante el desplazamiento. Dedicamos una actividad expresamente a poner de relieve la idea de que el giro es un movimiento circular porque, aunque pueda parecernos algo muy elemental, no lo es para los estudiantes que tienen que realizar su progreso completo a lo largo del nivel 1. Por ejemplo, la figura 3 es la respuesta de un niño de tercer grado (8 años) al cual le pedimos que dibujase el recorrido seguido por el punto A. En las actividades de la fase 4 se utilizan los elementos estudiados en la fase 2 para reconocer figuras giradas.
Actividades del Nivel 2 Fase 1 El profesor deberá informarse sobre los conocimientos de sus alumnos sobre los giros, en particular en relación con el concepto de ángulo y su medida. En caso de ser necesario, deberá desarrollar una unidad de enseñanza complementaria al respecto. Fase 2
103
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
2a) Identificar las figuras que corresponden mediante un giro. Se deberá inducir a los estudiantes a medir la distancia desde el centro de giro a varios puntos de las figuras. También se les hará ver la necesidad de comprobar más de un punto cuando el centro de giro no está en la figura. 2b) Calcular la posición de la imagen de una figura (obteniendo la posición de varios puntos). Inducir en los estudiantes la necesidad de utilizar más de un punto cuando el centro de giro no está en la figura. 2c) Aplicar a un punto un giro concreto (indicando el centro y el ángulo de giro). 2d) Dadas una figura, su imagen por un giro y el centro de giro, medir el ángulo girado por varios puntos de la figura 2e) Aplicarle a una figura un giro utilizando el compás y el transportador {si los alumnos son niños pequeños y tienen dificultades en su manejo, se pueden usar discos y sectores angulares de ciertos valores concretos, como 30°,60° y 90°). Inducir en los estudiantes la necesidad de obtener la imagen de más de un punto cuando el centro de giro es exterior a la figura. 2f) Aplicar giros de 180°, observando sus características especiales en la posición de la figura imagen. Calcular imágenes mediante giros de 180° utilizando sólo la regla (sin compás). Fase 4 2g) Determinar giros equivalentes. Obtener la condición que han de cumplir dos giros para ser equivalentes. 2h) Componer giros del mismo centro. Generalizar el resultado. Descubrir la conmutatividad. Construir rosetones generados por un giro (figura 4). Tras la realización de algunos rosetones, los alumnos deben prever la cantidad máxima de figuras que se pueden colocar en un rosetón, conocida la figura que hay que girar. 2i) Dados los puntos P y P' y varios puntos más, encontrar los que sirven como centros de giro que transforman p en P'. Generalizar el resultado describiendo el lugar donde pueden estar otros centros de giros no dados. Fase 5 Resumen por parte del profesor centrado en: ¿Qué es un giro? ¿ Cómo se aplica un giro a una figura? Si obtienes con el compás la imagen de un punto de una figura, ¿cómo colocas la imagen de la figura completa ? ¿ Es suficiente con la 104
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
imagen de un punto para colocar bien la imagen de la figura completa ? ¿ Cuál es el resultado del producto de giros con el mismo centro? Comentarios: Las actividades de la fase 2 comienzan con la consideración puntual, analítica, de la equidistancia, que se utilizaba visual y globalmente en el nivel 1: Ahora la equidistancia se comprueba midiendo en varios puntos de una figura. El alumno llegará a ser consciente de que no basta con asegurar sólo la equidistancia entre un punto y su imagen, pues se puede colocar la figura imagen con distintas inclinaciones {actividad 2a). La actividad 2b aplica esa idea. En varias actividades de la fase 2 se van presentando los distintos elementos básicos del concepto de giro: Centro y ángulo de giro, igualdad del ángulo recorrido por los distintos puntos de una figura y equidistancia al centro de cualquier punto y su imagen. Estas actividades son las que permiten obtener de manera consciente, es decir no como un simple algoritmo, la imagen mediante un giro de una figura por el método usual de determinar la imagen de varios puntos con el compás (actividad 2e), sino sabiendo por qué se puede obtener así la imagen de una figura. Las actividades de la fase 2 se completan con la 2f dedicada a estudiar las propiedades peculiares de los giros de 180°. El conocimiento de los elementos característicos de los giros y la explicitación de sus propiedades más destacadas realizados en la fase 2, les permiten a los alumnos descubrir por sí mismos, en la fase 4, otras propiedades interesantes de los giros, como las que se proponen en las actividades 2g a 2i. Señalaremos que el objetivo de la actividad 2i no es utilizar el concepto matemático de mediatriz, sino el descubrimiento experimental de la situación en que se encuentran los posibles centros de giro. Actividades del nivel 3 Fase 1 Debido a la relación entre giros, traslaciones y simetrías que se plantea a partir de este nivel, el profesor debe obtener información sobre el nivel de los alumnos en estos movimientos. Fase 2 3a) Justificar por qué la mediatriz del segmento PP' es el lugar geométrico de los posibles centros de giros que transforman p en P'. Determinar el centro del giro que transforma una figura en otra (mediante el corte de mediatrices) y obtener el ángulo girado. 3b) Aplicar a una figura varios giros con distintos centros pero igual ángulo (En la fig. 1 presentamos un ejemplo). Generalizar el resultado y relacionarlo con las traslaciones (al aplicar giros con el mismo ángulo sobre una figura las imágenes son trasladadas entre si). 105
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
3c) Utilizar el resultado obtenido en 3b) para aplicar a figuras giros cuyo centro está fuera de las figuras. (Este método de trabajo es especialmente eficaz cuando hay que realizar un producto de giros equivalente a otro giro). 3d) Dadas varias propiedades o condiciones, seleccionar un conjunto mínimo de manera que definan un giro. Seleccionar otro conjunto mínimo diferente del anterior. 3e) Enunciar una definición formal de giro. Expresar el significado de esa definición usándola para girar una figura. Mostrar a los alumnos una o varias demostraciones formales sencillas en las que haya que aplicar la definición de giro (por ejemplo, demostrar que el producto de giros del mismo centro es otro giro con el mismo centro y ángulo la suma de los ángulos de los factores). Fase 4 3f) Hacer que los alumnos completen o justifiquen formalmente alguno de los pasos de una demostración sencilla (por ejemplo, que el producto de dos simetrías cuyos ejes se cortan es un giro cuyo centro es el punto de corte y cuyo ángulo es el doble del formado por los ejes). Hacer que los alumnos repitan, razonándola, alguna demostración realizada anteriormente por el profesor, en la que varíe alguno de los datos (por ejemplo, si el profesor ha empleado en la demostración de la propiedad enunciada en 3e)dos ángulos con el mismo sentido, hacer que los alumnos utilicen dos ángulos de sentidos opuestos). 3g) Realizar productos de giros de distinto centro. Generalizar el resultado y justificarlo. Obtener la imagen de una figura tras un producto de este tipo por dos métodos: Aplicando el producto a dos puntos y mediante el método introducido en 3c). 3h) Determinar alguno de los giros que forman parte de un producto, conocida la isometría equivalente. Por ejemplo, dada una figura y su imagen por un producto de dos giros, se sabe que el primer giro aplicado ha sido G (O, 70°); determinar el segundo giro que ha intervenido en el producto (ver figura 4). Plantear el mismo ejercicio de forma general: ¿Cómo se obtiene el centro y el ángulo de un giro que ha intervenido en un producto de dos giros, cuando se conocen la figura inicial, la final y el otro giro? Plantear la descomposición de un giro en producto de dos giros de distinto centro. Comenzar con un caso concreto: ¿Cuántas soluciones hay? ¿Por qué? ¿Cómo se obtienen? Después, generalizar el resultado.
106
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
3i) Realizar el producto de giros con traslaciones (se pueden desarrollar puntos análogos a los indicados en 3g). Fase 5 Igual que en los niveles anteriores, se hace un resumen de las propiedades y métodos desarrollados a lo largo de las fases anteriores de este nivel. En este resumen se incluye la necesidad de utilizar métodos de justificación propios de este nivel. Comentarios: Una de las características del nivel 3 es el comienzo del razonamiento formal. El establecimiento de relaciones entre propiedades lo podríamos considerar como el prólogo. Las actividades 3a a 3c corresponden a ese momento y por eso las hemos incluido en la fase 2: A través de la experimentación y generalizan- do o justificando posteriormente se dirige a los alumnos para que, a partir de relaciones entre propiedades, se obtienen propiedades nuevas. Otro de los elementos propios del nivel 3 es el relacionado con la definición. En las actividades 3d y 3e se desarrolla ese aspecto. Se trata de ejercicios dirigidos, tanto a la construcción de la definición como a su interpretación ante situaciones concretas, Los hemos incluido en la fase 2 porque al alumno se le orienta en cada momento sobre lo que ha de hacer. La fase 4 en relación con la definición se presenta en algunas de las demostraciones de ejercicios sugeridos para esta fase, como el 3f. Decimos que en este caso el trabajo del alumno en relación con la definición corresponden a la fase 4 porque tienen que aplicarla a situaciones nuevas. Las actividades 3f a 3i pensamos que corresponden a la fase 4 porque en ellas los alumnos utilizan los conocimientos adquiridos en la fase 2 para organizar alguna demostración o planteamiento de la solución de algún ejercicio, determinar algún movimiento o completar una demostración. No se trata de que el profesor guíe a los alumnos en todo momento (ello corresponde a la fase 2), pues los alumnos ya disponen de las herramientas necesarias para desarrollar actividades y deben ser capaces de resolverlas con alguna ligera indicación. Actividades del Nivel 4 Fase 1 Al igual que sucede en los niveles anteriores, pensamos que los alumnos ya han superado la fase 1 de toma de contacto si han seguido la secuencia de actividades propuestas para los niveles anteriores. De todas formas, se pueden plantear algunas actividades que suponen una toma de contacto con el formalismo propio del nivel 4.
107
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
4a) Enunciar la hipótesis y la tesis que hay que tener en cuenta para demostrar que el producto de giros de distinto centro es una traslación cuando el valor de la suma de los ángulos de los giros factores es múltiplo de 360°. 4b) Enunciar la hipótesis y la tesis que hay que tener en cuenta para demostrar que los giros son isometrías (es decir, que conservan las longitudes). Fase 2 4c) Realizar las demostraciones de las dos propiedades señaladas en los apartados anteriores 4a) y 4b). 4d) Demostrar que la composición de dos simetrías cuyos ejes se cortan es un giro. Caracterizar dicho giro. Fase 4 Comprendidas las demostraciones anteriores, en las que el elemento básico es la asimilación de la descomposición de manera adecuada de giros en el producto de simetrías, queda todo un campo abierto para demostrar formalmente otro tipo de composiciones. A modo de ejemplo presentamos algunos de los múltiples ejercicios que se pueden plantear. 4e) Demostrar que el producto de dos giros de distinto centro es un giro cuando el valor de la suma de los ángulos de los giros factores no es múltiplo de 360°. Demostrar cuál es el resultado de la composición de un giro y una traslación. 4f) Demostrar que toda isometría del plano se puede expresar como producto de como máximo tres simetrías. Una forma más elemental (apropiada para el nivel3) de estudiar esta propiedad sería la siguiente: Dadas dos figuras congruentes del plano, − si son directas, siempre se puede pasar de una a otra mediante una traslación o un giro. − si son inversas, si no hay una simetría que convierta una en la otra, siempre se puede encontrar la composición de una simetría y un movimiento directo, traslación o giro {si se ha estudiado la simetría en deslizamiento, este caso se reduce a ese movimiento). Fase 5 En esta fase la visión de los alumnos de las isometrías del plano ya debe ser global, en cuanto que se consideran todos los movimientos relacionados estrechamente entre sí. La labor de resumen en esta fase consiste en destacar tales relaciones. Además si los alumnos han estudiado los movimientos desde otro
108
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
punto de vista, por ejemplo, el matricial, en esta fase conviene establecer los vínculos correspondientes. Comentarios: Las actividades propuestas en la fase 1 son una iniciación al planteamiento formal y a la estructura de los teoremas. En el nivel 3 proponíamos estas actividades para afianzar la definición de giro, realizar justificaciones informales de los resultados y repetir, con alguna variación, las demostraciones realizadas por el profesor. Ahora el objetivo es que el alumno enuncie en términos formales las hipótesis y las tesis de dichas propiedades, como paso previo a la organización de sus demostraciones forma- les. Las actividades propuestas en la fase 2 tienen como objetivo guiar al estudiante en la realización de una demostración formal completa. La correspondiente a la actividad 4d), junto con una propiedad semejante que relaciona simetrías y traslaciones (el producto de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación) son dos pilares básicos en los que se apoyan muchas demostraciones formales de composiciones de movimientos y la estructura algebraica. Con los conocimientos adquiridos en la fase 2, en las actividades de la fase 4 los alumnos pueden desarrollar razonamientos formales para demostrar otras propiedades.
Referencias bibliográficas Gutiérrez, A., Jaime, A., Bibliografía sobre el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele, en Enseñanzas de las Ciencias 7, 1, 1989. Hiele, P.M., Structure and insight. A theory of mathematics education, Academic Press, Londres, 1986. , Hiele, P.M., El problema de la comprensión, en conexión con la comprensión de los escolares en el aprendizaje de la Geometría (De problematiek van het inzicht, gademonstreed aan het inzicht van schoolkinderen in meetkunde -leerstof), Universidad de Utrecht, Utrecht, Holanda, 1990. Hiele- Geldof, D. "The didactics of geometry in the lower class of secundary school" (De didaktiek van de meetkunde in de eerste klas van het V.H.M.O.), en Fuys; Geddes, Tischler, 1984, Selected writings of Dina Van Hiele-Geldolf and Pierre M. Van Hiele, Broklyn College, C.U.N.Y., Nueva York. Jaime, A.; Gutiérrez, A., "Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: El modelo de Van Hiele", en Linares Sánchez, Teoría y práctica en educación matemática, Alfar, Sevilla, 1990.
109
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
Perspectivas en la Enseñanza de la Geometría para el Siglo XXI Mammana, C. y Villani, V. (1998) Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century . Discussion Document for an ICMI Study. Canada3. 1. Porqué un estudio en Geometría La Geometría considerada como una herramienta para el entendimiento, la descripción e interacción con el espacio en el cual vivimos, es tal vez la parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte, la geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso de formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de 2000 años en niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad. En años recientes la investigación en geometría ha sido estimulada gratamente por nuevas ideas tanto desde el interior de las matemáticas como desde otras disciplinas, incluyendo la ciencia de la computación. En el presente las enormes posibilidades de las gráficas por computadoras tienen influencia en muchos aspectos de nuestras vidas; con el fin de usar estas posibilidades se hace necesaria una adecuada educación visual. Entre matemáticos y educadores de matemáticas hay un acuerdo muy difundido que, debido a la diversidad de aspectos de geometría, su enseñanza puede empezar en una edad temprana y continuar en formas apropiadas a través de todo el currículo matemático. De cualquier modo, tan pronto como uno trata de entrar en detalles, las opiniones divergen en cómo llevar a cabo la tarea. En el pasado han habido (y aún ahora persisten) fuertes desacuerdos acerca de los propósitos, contenidos y métodos para la enseñanza de la geometría en los diversos niveles, desde la escuela primaria hasta la universidad. Tal vez una de las razones principales de esta situación es que la geometría tiene muchos aspectos, y en consecuencia no ha sido encontrada - y tal vez ni siquiera exista - una vía simple, limpia, lineal, "jerárquica" desde los primeros comienzos hasta las realizaciones más avanzadas de la geometría. A diferencia de lo que sucede en aritmética y álgebra, aún los conceptos básicos en geometría, tales como las nociones de ángulo y distancia, deben ser reconsideradas en diferentes etapas desde diferentes puntos de vista. Otro punto problemático concierne al rol de las demostraciones en geometría: relaciones entre intuición, demostraciones inductivas y deductivas, edad ala que las demostraciones pueden ser presentadas a los estudiantes y los diferentes niveles de rigor y abstracción. Así la enseñanza de la geometría no es de ninguna manera una tarea fácil. Pero en lugar de tratar de enfrentar y superar los obstáculos que emergen en la enseñanza de la 3
Documento de discusión para un estudio ICMI. Traducción: Hernández, Víctor y Villalba, Martha. PMME-UNISON. Febrero. 2001, para fines estrictamente académicos, tomado de ICMI Study: Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21th Century. Capítulo 5. pp 159-192. (Edit). Kluwer Academic Publishers. 1998. Publicada con permiso del autor en http://fractus.uson.mx/CMS@Fractus/weblinks.php?cat_id=1&weblink_id=54
110
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas geometría las prácticas escolares actuales en muchos países simplemente omiten estos obstáculos excluyendo las partes más demandantes, y con frecuencia sin nada que las reemplace. Por ejemplo, la geometría tridimensional casi ha desaparecido o ha sido confinada a un rol marginal en el currículo de la mayoría de los países. Empezando desde el análisis, y considerando específicamente las discrepancias entre la creciente importancia de la geometría para sí misma, tanto como en investigación y en la sociedad, y la falta de atención de su papel en el currículo escolar, ICMI siente que hay una urgente necesidad de un estudio internacional cuyos propósitos principales son: •
Discutir las metas de la enseñanza de la geometría para los diferentes niveles escolares y de acuerdo a los diferentes ambientes y tradiciones culturales.
•
Identificar retos importantes y tendencias emergentes para el futuro y analizar sus impactos didácticos potenciales.
•
Aprovechar y aplicar nuevos métodos de enseñanza
2. Aspectos de la geometría La notable importancia histórica de la geometría en el pasado, en particular como un prototipo de una teoría axiomática, es de tal manera reconocida universalmente que no requiere más comentarios. Sobre ello, en el siglo pasado y específicamente durante las últimas décadas como aseveró Jean Dieudonné en el ICME 4 (Berkeley, 1980), la geometría "exclamando desde sus estrechos confines tradicionales ha revelado sus poderes ocultos y su extraordinaria versatilidad y adaptabilidad, transformándose así en una de las herramientas más universales y útiles en todas las partes de las matemáticas" (J. Dieudonné: The Universal Domination of Geometry, ZDM 13 (1), p. 5-7 (1981)). En la actualidad, la geometría incluye tal diversidad de aspectos, que no hay esperanza de escribir una lista completa de ellos (y menos aún de usarla). Aquí mencionaremos solamente aquellos aspectos que en nuestra opinión son particularmente relevantes en vista de sus implicaciones didácticas: •
La Geometría como la ciencia del espacio. Desde sus raíces como una herramienta para describir y medir figuras, la geometría ha crecido hacia una teoría de ideas y métodos mediante las cuales podemos construir y estudiar modelos idealizados tanto del mundo físico como también de otros fenómenos del mundo real. De acuerdo a diferentes puntos de vista, tenemos geometría euclideana, afin, descriptiva y proyectiva, así como también topología o geometrías no euclideanas y combinatorias.
•
La Geometría como un método para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias; por ejemplo gráficas y teoría de gráficas, diagramas de varias clases, histogramas.
•
La Geometría como un punto de encuentro entre matemáticas como una teoría y matemáticas como una fuente de modelos.
•
La Geometría como una manera de pensar y entender y, en un nivel más alto, como una teoría formal.
•
La Geometría como un ejemplo paradigmático para la enseñanza del razonamiento deductivo.
•
La Geometría como una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como innovativas. Estas últimas incluyen por ejemplo, gráficas por computadora,
111
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas procesamiento y manipulación de imágenes, reconocimiento de patrones, robótica, investigación de operaciones. Otra distinción podría ser hecha respecto a diversas aproximaciones de acuerdo a lo que uno puede resolver con geometría. En términos generales, son posibles las aproximaciones: Manipulativas Intuitivas Deductivas Analíticas También se puede distinguir entre una geometría que enfatice las propiedades "estáticas" de los objetos geométricos y una geometría donde los objetos cambian respecto a los diferentes tipos de transformaciones en el espacio al ser considerados en una presentación "dinámica".
3. ¿Existe una crisis en la enseñanza de la geometría? Durante la segunda mitad de este siglo, la geometría parece tener una pérdida progresiva de su posición formativa central en la enseñanza de las matemáticas de la mayoría de los países. Este decaimiento ha sido tanto cualitativo como cuantitativo. Síntomas de esta reducción se encuentran por ejemplo, en los recientes encuestas nacionales e internacionales sobre el conocimiento matemático de los estudiantes. Con frecuencia la geometría es totalmente ignorada en ellas, o solamente se incluyen muy pocos items de geometría. En último caso, las preguntas tienden a ser confinadas a algunos "hechos" elementales sobre figuras simples y sus propiedades, y se reporta un desempeño relativamente pobre. ¿Cuáles son las principales causas de esta situación? En el período desde aproximadamente 1960 hasta 1980, se dio una presión general en el currículo matemático contra tópicos tradicionales, debido a la introducción de otros nuevos (por ejemplo: probabilidad, estadística, ciencias computacionales, matemáticas discretas). Al mismo tiempo el número de horas escolares dedicadas a las matemáticas se fue abajo. El "movimiento de las matemáticas modernas" ha contribuido - al menos indirectamente para disminuir el rol de la geometría euclideana favoreciendo otros aspectos de la matemática y otros puntos de vista para su enseñanza (por ejemplo: teoría de conjuntos, lógica, estructuras abstractas). La declinación ha involucrado en particular el rol de los aspectos visuales de la geometría tanto la tridimensional como la bidimensional, y todas aquellas partes que no encajaron dentro de la teoría de los espacios lineales como, por ejemplo, el estudio de las secciones cónicas y de otras curvas notables. En años más recientes ha habido un retorno hacia contenidos más tradicionales en matemáticas, con un énfasis específico sobre actividades de planteamiento y solución de problemas. De cualquier manera, los intentos de restablecer la geometría euclideana clásica - la que al principio y en muchas partes del mundo fue la materia principal en la geometría escolar - no han sido muy exitosos. El punto es que en los cursos tradicionales de geometría euclideana el material es usualmente presentado a los estudiantes como el producto final y ya hecho de la actividad matemática. Así, esta presentación, no encaja dentro del currículo actual donde se espera que los alumnos tomen una parte activa en el desarrollo de su conocimiento matemático. En la mayoría de los países el porcentaje de gente joven que atiende al nivel medio superior se ha incrementado muy rápido durante las últimas décadas. Así, la forma
112
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas tradicional de enseñar geometría abstracta a una selecta minoría ha resultado más difícil e inapropiada para las expectativas de la mayoría de estudiantes de las nuevas generaciones. Al mismo tiempo, la necesidad de más profesores ha causado, en promedio, una disminución en su preparación universitaria, especialmente en lo que respecta a las partes más demandantes de las matemáticas, en particular la geometría. Desde que profesores más jóvenes han aprendido matemáticas bajo curricula que han descuidado la geometría, les hacen falta buenos antecedentes en este campo, lo cual genera en ellos la tendencia a descuidar la enseñanza de la geometría a sus alumnos. La situación es aún más dramática en aquellos países donde hay poca tradición escolar. En algunos casos la geometría está completamente ausente en sus currícula matemáticos. La brecha entre la concepción de la geometría como un área de investigación y como una materia a ser enseñada en las escuelas parece estar incrementándose; pero no parece encontrarse consenso en cómo superar esta brecha, ni aún si pudiera (o debiera) ser superada a través de la introducción de más tópicos avanzados en los grados inferiores del currículo escolar. 4. La Geometría en Educación En las secciones anteriores hemos considerado a la geometría principalmente como una teoría matemática y hemos analizado algunos aspectos de su enseñanza. Dado que el aprendizaje es incuestionablemente el otro polo esencial de cualquier proyecto educativo, es apropiado poner la debida atención a las principales variables que intervienen en un proceso coherente de enseñanza - aprendizaje. Consecuentemente, diferentes aspectos o "dimensiones" (consideradas en su más amplio significado) deben ser tomados en cuenta: La dimensión social, con dos polos: •
El polo cultural, i.e. la construcción de antecedentes comunes (conocimiento y lenguaje) para toda la gente que comparte una misma civilización.
•
El polo educativo, i.e. el desarrollo de criterios, internos para cada individuo, para su auto consistencia y responsabilidad.
La dimensión cognitiva, i.e. los procesos con los cuales, partiendo de la realidad, se conduce gradualmente hacia una percepción más refinada del espacio. La dimensión epistemológica, i.e. la habilidad para explorar el interjuego entre la realidad y la teoría a través del modelado (hacer previsiones, evaluar sus efectos, reconsiderar selecciones). Es así que la axiomatización permite liberarse de la realidad; de esta manera puede ser vista como un recurso que facilita futuras conceptualizaciones. La dimensión didáctica, i.e. la relación entre la enseñanza y el aprendizaje. En esta dimensión se encuentran muchos aspectos que merecen consideración. Como un ejemplo, listamos tres de ellos: •
Hacer que interactúen varios campos (tanto al interior de la matemática como entre las matemáticas y otras ciencias).
•
Asegurar que los puntos de vista de los profesores y los estudiantes sean consistentes en un estudio dado. Por ejemplo, tener en cuenta que distintas escalas de distancia pueden involucrar diferentes concepciones y procesos adoptados por los estudiantes aún cuando la situación matemática sea la misma: En un "espacio de objetos pequeños", la percepción visual puede ayudar para hacer conjeturas y para identificar propiedades geométricas; cuando se está tratando con
113
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas el espacio donde usualmente nos movemos (por ejemplo, el salón de clases) todavía resulta fácil obtener información local, pero puede dificultarse lograr una visión global; en un "espacio a gran escala" (como es el caso de la geografía o de la astronomía) las representaciones simbólicas son necesarias a fin de analizar sus propiedades. •
Dar la debida consideración a la influencia de las herramientas disponibles en situaciones de enseñanza y de aprendizaje (desde la regla y compás tanto como otros materiales concretos, hasta calculadoras graficadoras, computadoras y software específico)
No se necesita decir que todas estas dimensiones están interrelacionadas unas con otras y que también debieran relacionarse apropiadamente a las diferentes edades y niveles escolares: pre-primaria, primaria, secundaria, medio superior (en donde se empiezan a diferenciar las vocaciones académicas y técnicas), universitario incluyendo la formación de profesores. 5. Nuevas Tecnologías y Herramientas para la Enseñanza de la Geometría Hay una larga tradición de matemáticos que hacen uso de herramientas tecnológicas y recíprocamente, el uso de estas herramientas ha hecho surgir nuevos retos en problemas matemáticos (por ejemplo, la regla y el compás para las construcciones geométricas, los logaritmos y los instrumentos mecánicos para los cómputos numéricos). En años recientes la nueva tecnología, y en particular las computadoras han afectado dramáticamente todos los aspectos de nuestra sociedad. Muchas actividades tradicionales se han vuelto obsoletas mientras que nuevas profesiones y nuevos retos emergen. Por ejemplo, el dibujo técnico ya no se hace a mano. En su lugar uno usa software comercial, plotters y otros accesorios tecnológicos. CAD-CAM y software para álgebra simbólica están ampliamente disponibles. Las computadoras también han hecho posible la construcción de "realidades virtuales" y la generación de animaciones interactivas o cuadros maravillosos (por ejemplo, imágenes fractales). Más aún, los accesorios electrónicos pueden ser usados para lograr experiencias que en la vida cotidiana son inaccesibles, o accesibles solamente a través de trabajo sumamente tediosoy que generalmente consume muchísimo tiempo. Por supuesto, en todas estas actividades la geometría está profundamente involucrada tanto para promover la habilidad de usar herramientas tecnológicas apropiadamente, como para interpretar y entender el significado de las imágenes producidas. Las computadoras pueden también ser usadas para obtener un entendimiento más profundo de las estructuras geométricas gracias al software específicamente diseñado para fines didácticos. Los ejemplos incluyen la posibilidad de simular las construcciones tradicionales con regla y compás, o la posibilidad de mover los elementos básicos de una configuración sobre la pantalla mientras se mantienen fijas las relaciones geométricas existentes, lo cual puede conducir a una presentación dinámica de objetos geométricos y favorecer la identificación de sus invariantes. Hasta ahora, la práctica escolar ha sido sólo marginalmente influida por estas innovaciones. Pero en el futuro cercano es posible que al menos algunos de estos tópicos encontrarán su camino dentro de las currícula. Esto implicaría en grandes términos los siguientes cuestionamientos: •
¿Cómo afectará el uso de las computadoras la enseñanza de la geometría, sus propósitos, sus contenidos y sus métodos?
•
¿Serán preservados los valores culturales de la geometría clásica, o éstos evolucionarán, y cómo?
114
•
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas En países en los que las restricciones financieras no permiten la introducción masiva de computadoras a las escuelas en un futuro cercano, ¿aún así será posible reestructurar la currícula de geometría a fin de enfrentar los principales retos originados por estos recursos tecnológicos?
6. Aspectos Clave y Retos para el Futuro En esta sección listamos explícitamente algunas de las preguntas más relevantes desprendidas de las consideraciones delineadas en las secciones precedentes. Creemos que una clarificación de estos aspectos podría contribuir a una promoción significativa en la enseñanza de la geometría. Por supuesto no afirmamos que todos los problemas bosquejados son solubles y menos aún, que las soluciones son únicas y tienen una validez universal. Por el contrario, las soluciones pueden variar según los diferentes niveles escolares, los diferentes tipos de escuelas y los diferentes ambientes culturales. 6.1. PROPÓSITOS ¿Porqué es aconsejable y/o necesaria la enseñanza de la geometría? ¿Cuáles de los siguientes pueden ser considerados como los propósitos más relevantes de la enseñanza de la geometría? Describir, entender e interpretar el mundo real y sus fenómenos. Proporcionar un ejemplo de una teoría axiomática. Proporcionar una rica y variada colección de problemas y ejercicios para la actividad individual de los estudiantes. Entrenar a los aprendices a hacer estimaciones, establecer conjeturas, construir demostraciones y determinar ejemplos y contraejemplos. Servir como una herramienta para otras áreas de la matemática. Enriquecer la percepción pública de las matemáticas. 6.2. CONTENIDOS ¿Qué se debería enseñar? ¿En la enseñanza de la geometría es preferible un estudio "extenso" o "profundo"? ¿Es posible / aconsejable identificar un tronco curricular común? En el caso de una respuesta afirmativa a la segunda cuestión indicada arriba, ¿qué tópicos debieran ser incluidos en el temario correspondiente a los diferentes niveles escolares? En el caso de una respuesta negativa, ¿porqué se piensa que los profesores o las autoridades locales debieran ser dejadas en libertad de elegir los contenidos de geometría de acuerdo a sus gustos personales (este punto de vista es común a otras materias de matemáticas o, es algo peculiar de la geometría)? ¿La geometría debiera ser enseñada como una materia específica y aparte o, debiera surgir de los cursos de matemáticas generales? Parece haber un acuerdo muy difundido de que la enseñanza de la geometría debe reflejar las necesidades actuales y potenciales de la sociedad. En particular, en todos los niveles escolares debiera ponerse énfasis en la geometría del espacio tridimensional tanto como las relaciones de ésta con la geometría bidimensional. ¿Cómo podría y debería modificarse la situación actual (en la que sólo es favorecida la geometría bidimensional)?
115
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas ¿De qué maneras el estudio del álgebra lineal puede potenciar el entendimiento de la geometría? ¿En qué etapa debieran ser introducidas las estructuras "abstractas" de los espacios vectoriales? y ¿Cuáles son las metas?. ¿Sería posible y aconsejable el incluir también en el currículo algunos elementos de geometrías no euclideanas? 6.3. MÉTODOS ¿Cómo debiéramos enseñar geometría? Cualquier tópico en geometría puede ser localizado en alguna parte entre los extremos de una aproximación "intuitiva" y una aproximación "formal" o "axiomática". ¿Sólo una de estas dos aproximaciones debiera ser privilegiada en cada nivel escolar o, debiera haber un interjuego dialéctico entre ellas, o aún más debiera darse un cambio gradual de la primera a la segunda conforme se incrementa la edad y el nivel escolar de los estudiantes? ¿Cuál es el papel de la axiomática en la enseñanza de la geometría? ¿Debiera establecerse un conjunto completo de axiomas desde el principio (y, si es así, a qué edad y nivel escolar) o es aconsejable la introducción gradual de la axiomática, por ejemplo mediante un método de "deducciones locales"? Tradicionalmente, la geometría es la materia donde "uno demuestra teoremas". ¿La "demostración de teoremas" debiera estar restringida a la geometría? ¿Nos gustaría exponer a los estudiantes a diferentes niveles de rigor en las demostraciones (conforme progresan su edad y nivel escolar)? ¿Las demostraciones deberían ser herramientas para el entendimiento personal, para convencer a otros, o para explicar, clarificar, verificar? ¿Empezando desde cierto nivel escolar debiera ser probado cada estatuto geométrico o, deberían seleccionarse para demostración sólo algunos teoremas? En el último caso, ¿Debiera uno elegir estos teoremas por su importancia al interior de un marco de trabajo teórico, o por el grado de dificultad de la demostración? y ¿Debieran ser privilegiadas las afirmaciones intuitivas o las contraintuitivas? Parece ser que hay una creciente tendencia internacional hacia la enseñanza de los métodos analíticos en los grados más tempranos, a expensas de otros (sintético) aspectos de la geometría. Se supone que la geometría analítica presenta los modelos algebraicos para las situaciones geométricas. Pero, tan pronto como los estudiantes son introducidos a estos métodos nuevos, son empujados repentinamente a un mundo de cálculos y símbolos en los que se rompen las ligas entre las situaciones geométricas y sus modelos algebraicos y con frecuencia son omitidas las interpretaciones geométricas de los cálculos numéricos. Consecuentemente, ¿a qué edad y nivel escolar debiera iniciarse la enseñanza de la geometría analítica? ¿Cuáles actividades, métodos y marcos de trabajo pueden ser usados para restablecer los enlaces entre las representaciones algebraicas del espacio y las situaciones geométricas que estas simbolizan? ¿Cómo podemos potenciar de mejor manera la habilidad de los estudiantes para elegir las herramientas adecuadas (conceptuales, manipulativas, tecnológicas) para resolver problemas geométricos específicos? 6.4. LIBROS, COMPUTADORASY OTROS RECURSOS DE ENSEÑANZA ¿Son los libros de texto tradicionales tan apropiados como quisiéramos que fueran para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría? ¿Cómo es que en realidad usamos los estudiantes y los profesores los libros de texto y otros recursos? ¿Cómo quisiéramos que los usaran los estudiantes?
116
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas ¿Qué cambios pueden y deben ser hechos en la enseñanza y aprendizaje de la geometría en la perspectiva de incrementar el acceso a software, videos, materiales concretos y otros artefactos tecnológicos? ¿Cuáles son las ventajas que se desprenden del uso de tales herramientas, desde un punto de vista educativo y geométrico? ¿Cuáles problemas y limitaciones pueden surgir del uso de tales herramientas y cómo podrían ser superados? ¿Qué tanto puede extenderse y transferirse el conocimiento adquirido en un ambiente computarizado a otros ambientes? 6.5. MEDICIÓN Las formas de medir y evaluar a los estudiantes influyen fuertemente en las estrategias seguidas para la enseñanza y el aprendizaje. ¿Cómo deberíamos establecer los objetivos y propósitos y cómo debiéramos construir nuestras técnicas de medición de manera consistente con estos objetivos y propósitos? ¿Existen aspectos de la evaluación peculiares de la enseñanza y el aprendizaje de la geometría? ¿Cómo pueden influir el uso de las calculadoras, computadoras y software específico en el análisis de los contenidos, organización y criterios de evaluación de las respuestas de los estudiantes? ¿Los procedimientos de medición debieran estar fundamentados principalmente en exámenes escritos (cómo parece acostumbrarse en muchos países) o también debieran estarlo en el papel de la comunicación oral, del dibujo técnico y del trabajo con la computadora? ¿Qué es exactamente lo que debiera ser evaluado y considerado para una calificación: La solución? ¿El proceso de solución? ¿Las formas de pensamiento? ¿Las construcciones geométricas? 6.6. PREPARACIÓN DE LOS PROFESORES Una de las componentes esenciales de un proceso eficiente de enseñanza - aprendizaje, es la buena preparación de los profesores, en lo que concierne tanto a competencias disciplinares y educativas, epistemológicas, tecnológicas y aspectos sociales. En consecuencia, ¿Qué preparación específica (y realmente alcanzable) se requiere para los profesores prospectos y practicantes? Es bien sabido que los profesores tienden a reproducir en su profesión los mismos modelos que ellos experimentaron cuando fueron estudiantes, a pesar de que posteriormente han sido expuestos a diferentes puntos de vista. ¿Cómo es entonces posible motivar la necesidad de cambios en la perspectiva de enseñanza de la geometría (tanto del punto de vista de los contenidos como el metodológico)? ¿Cuáles recursos para la enseñanza (libros, videos, software, ...) debieran estar disponibles para la capacitación de profesores en servicio, con el fin de favorecer una aproximación flexible y de amplio criteriopara la enseñanza de la geometría? 6.7 EVALUACIÓN DE EFECTOS A LARGO PLAZO Con mucha frecuencia el éxito (o fracaso) de una reforma curricular y/o innovación metodológica para un cierto sistema escolar es valorada sobre la base de sólo un corto periodo de observación de sus resultados. Más aún, usualmente no hay estudios comparativos sobre los posibles efectos laterales de cambio de contenidos o métodos. Recíprocamente, sería necesario el dar una mirada también a qué ocurre en el largo plazo. Por ejemplo:
117
•
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas ¿La educación visual desde una edad temprana tiene un impacto sobre el pensamiento geométrico en edades posteriores?
•
¿Cómo influye en la intuición visual de los estudiantes una introducción temprana de los métodos analíticos en la enseñanza de la geometría? Cuando los estudiantes son ya profesionistas ¿se apoyan más en la intuición o en los aspectos racionales de la enseñanza de la geometría a la que han sido expuestos?
•
¿Cuál es el impacto del uso generalizado de tecnológicas en el aprendizaje de la geometría?
herramientas
6.8. REALIZACIÓN En el ICME 5 (Adelaide, 1984) J. Kilpatrick lanzó una pregunta provocadora: ¿Qué sabemos acerca de la educación matemática en 1984 que no sabíamos en 1980?. El mismo asunto ha sido retomado recientemente en el estudio del ICMI: "Qué se investiga en educación matemática, y cuáles son sus resultados". Como para la geometría, la posibilidad de apoyarse en resultados de investigación podría ser extremadamente útil con el fin de evitar el replanteamiento en el futuro de formas de proceder que han probado ser infructuosas, y recíprocamente, con el fin de beneficiarse de soluciones exitosas. Y, para las preguntas relevantes aún no establecidas, nos gustaría investigar para hacernos de información útil con el fin de clarificar las ventajas y desventajas de posibles alternativas. En consecuencia, una pregunta clave podría ser: ¿Qué es lo que ya sabemos de la investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de la geometría y qué querríamos aclarar con la investigación futura? 7. Convocatoria para Artículos El estudio ICMI "Perspectivas sobre la Enseñanza de la Geometría para el siglo XXI" consistirá de un Congreso de Estudio y una Publicación que aparecerá en la serie estudios ICMI, basada en las contribuciones y en los resultados del congreso. El Congreso está programado para Septiembre de 1995 en Catania (Italia). El International Program Committee (IPC) para el estudio invita por este medio a los individuos y a los grupos a someter sus ideas, sugerencias y contribuciones sobre los aspectos tocados en este documento de discusión en una fecha no más allá del 15 de febrero de 1995. Aún cuando la participación en el congreso requiere una invitación del IPC, los "expertos" y "recién llegados" interesados en contribuir y participar en el congreso son invitados a contactar a la dirección del IPC. Desafortunadamente, la invitación no implica el soporte financiero de los organizadores para su asistencia. Los artículos y las sugerencias concernientes a los contenidos del programa del congreso de estudio deberán ser enviados a: Prof. Vinicio VILLANI .Dipartimento di Matemática. Università di Pisa. Via Bounarroti 2 .I - 56127 PISA, ITALY . e-mail: <
[email protected] > Joseph MALKEVITCH (Math., York College, CUNY, Jamaica, N.Y., USA), Iman OSTA (American Univ. Los miembros del IPC son: Vinicio VILLANI (Director del IPC). Carmelo MAMMANA (Director del Local Organizing Committee, Dipartimento di Matemática, Viale A. Doria 6, Città Universitaria, I-95125 Catania, Italy, email: <
[email protected] >), Régine DOUADY (IREM, Univ. Paris VII, France), Vagn Lundsgaard HANSEN (Mat. Inst., Technical Univ. of Denmark, Lyngby, Denmark), Rina HERSHKOWITZ (Dept. of Science Teaching, the Weizmann Inst. Of Science, Rehovot, Israel), of Beirut, Lebanon), Mogens NISS (Member ex officio, IMFUFA, Roskilde Univ., Denmark).
118
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Lecturas
119
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Retículas
ANEXO DE RETÍCULAS
120
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Retículas
121
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Retículas
122
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Retículas
123
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Retículas
124
Curso: Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II Forma, Espacio y Medida Anexo de Retículas
125
