Aktien Ökonomische Grundlagen ¨ Graphische Darstellung von Aktienkursverläufen ¨ Aktienkurs und Aktienindex ¨ Die Rendite einer Aktie ¨ Statistik der Aktienmärkte ¨ Random- Walk- Modell ¨
Aktiengesellschaft
Eine Aktiengesellschaft ist eine juristische Person, mit eigener Rechtspersönlichkeit, deren Grundkapital in Aktien zerlegt ist. Sie besteht aus drei Organen: Vorstand, Aufsichtsrat und Hauptversammlung.
Aktienkurs Der Aktienkurs bzw. Preis einer Aktie (AK) wird bei gegebener Summe aller Käufer k(x) zu einem bestimmten Preis x und bei gegebener Summe aller Verkäufer v(x) zu einem bestimmten Preis x gemäß der folgenden Formel bestimmt: AK = max{min{k(x),v(x)}}
Preis einer Aktie
Aktienindex
Für die Berechnung eines Aktienindexes I2 zum Zeitpunkt t2 bei gegebenem Aktienindex I1 zur Zeit t1 und Gesamtwerten des Aktienkorbes G1 zur Zeit t1 und G2 zur Zeit t2 gilt: I2= G2/G1 * I1
Kursindex
Performanceindex
Rendite einer Aktie Die einfache Rendite
Sb & S a E = Sa
Die logarithmische Rendite
! $ S b b La = ln# & " Sa %
b a
Rendite einer Aktie
Rendite von Anlageformen
Statistik der Aktienmärkte
Drift und Volatilität ¨ Statistische Verteilungen von Aktienrenditen ¨ Korrelationsanalyse ¨
Drift und Volatilität
L10 + L21 + ... + Lnn)1 ¨ Drift: Das arithmetische Mittel L = n
¨
Volatilität: Die empirische Standardabweichung s=
1 0
(L
2
2 1
2
n n&1
& L + L & L + ... + L & L
) (
)
n
(
)
2
Beispiel
Statistische Verteilung von Aktienrenditen
Statistische Verteilung von Aktienrenditen
Korrelationsanalyse
Random- Walk- Modell ¨
¨
¨
M1: Die betrachtete Zeit der Dauer T wird in n Perioden der Länge T/n unterteilt. Der Aktienkurs ändert sich nur am Ende einer Periode. M2: Nach jeder Kursänderung kann der Kurs S nur jeweils zwei Werte annehmen: Er ist entweder auf u*S gestiegen oder auf d*S gesunken.
M3: In jedem Teilintervall steigt bzw. sinkt der Aktienkurs unabhängig vom bisherigen Kursverlauf.
Kursentwicklung im Random-Walk-Modell
Modelle
Wiener- Prozess ¨ Black-Scholes-Modell ¨
OPTIONEN
Was sind Optionen? Vertrag zwischen zwei Parteien ¨ Käufer zahlt Optionsprämie ¨ Option wird ausgeübt oder verfällt ¨
¨
Unterscheidung - Call- oder Put-Option - amerikanische oder europäische Option
Wozu dienen Optionen? ¨
¨
zur Absicherung gegen Preisschwankungen ( = Hedging) Erzielung von Spekulationsgewinnen - Hebelwirkung
Pay-Off-Diagramm
Gewinn-Verlust-Diagramm
Einflussfaktoren des Optionspreises
Erwartungswertprinzip
Optionspreis sollte unabhängig von p sein ¨ jeder vom fairen Preis abweichende Preis würde zu risikolosem Gewinn führen ( = Arbitrage) ¨
Erwartungswertprinzip
No-Arbitrage-Prinzip ¨
¨
Arbitragemöglichkeiten existieren nur kurzfristig - für Modell gilt die Annahme, dass es keine Arbitragemöglichkeiten gibt aus No-Arbitrage-Prinzip folgt folgendes Prinzip
Satz Haben zwei Portfolios (Kombinationen aus verschiedenen Finanzgütern) morgen den gleichen Wert, so haben sie auch heute den gleichen Wert, unabhängig davon, wie sich der Markt von heute auf morgen entwickelt.
Beweis ¨
Annahme: beide Portfolios haben heute einen unterschiedlichen Wert
Beweis ¨
Annahme: beide Portfolios haben heute einen unterschiedlichen Wert - das teurere Portfolio A wird heute mit Wert a verkauft - das billigere Portfolio B wird heute mit Wert b gekauft
Beweis ¨
Annahme: beide Portfolios haben heute einen unterschiedlichen Wert - das teurere Portfolio A wird heute mit Wert a verkauft - das billigere Portfolio B wird heute mit Wert b gekauft
à Gewinn a-b > 0
Beweis ¨
Morgen haben l.V. beide Portfolios den gleichen Wert
Beweis ¨
Morgen haben l.V. beide Portfolios den gleichen Wert - Portfolio B verkauft - Portfolio A rückgekauft
Beweis ¨
Morgen haben l.V. beide Portfolios den gleichen Wert - Portfolio B verkauft - Portfolio A rückgekauft
à kostenneutrale Aktion stellt Ausgangslage wieder her
Beweis ¨
es bleibt risikoloser Gewinn a-b (= Arbitrage) à Widerspruch zum No-Arbitrage-Prinzip
Binomialmodell Es ist zu jedem Zeitpunkt und bei jedem Aktienkurs möglich, ein Portfolio aus Aktien und Geld zusammenzustellen, das die gleiche Wertentwicklung wie die Option aufweist.
Äquivalenzportfolio ¨
¨
Portfolio, dessen Wert zu t = T mit CT übereinstimmt nach No-Arbitrage-Prinzip stimmen auch zu t = 0 Wert des Portfolios mit C0 überein
Black-Scholes-Modell ¨
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Binomialmodell: Zeit in Perioden à Optionspreis ändert sich am Ende einer Periode Black-Scholes-Modell: Zeit als stetige Größe à Börsengeschehen realistischer dargestellt
