Fermionische Molekulardynamik mit Konfigurationsmischungen und realistischen Wechselwirkungen
Diplomarbeit
Thomas Neff Institut für Kernphysik Technische Universität Darmstadt
7. Juli 1998
All of modern physics is governed by that magnificent and thoroughly confusing discipline called quantum mechanics . . . It has survived all tests and there is no reason to believe that there is any flaw in it . . . We all know how to use it and how to apply it to problems; and so we have learned to live with the fact that nobody can understand it. Murray Gell-Mann
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung und Zusammenfassung
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2. Fermionische Molekulardynamik
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2.1. Versuchszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2. Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3. Matrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4. Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4.1. Dichteoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4.2. Kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung . . . . . . . . . . . . . .
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2.4.3. Radien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.5. Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.6. Multikonfigurationszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Wechselwirkungen
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3.1. Unitärer Korrelator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1.1. Bestimmung des Korrelators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2. Teilchenzahlentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2.1. Cluster-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3. Korrelierte Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3.1. Zentralpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3.2. Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3.3. Spin- und isospinabhängige Korrelatoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3.4. Ausblick: Tensor- und Spin-Bahn-Korrelationen . . . . . . . . . . . . .
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v
Inhaltsverzeichnis
4. Grundzustände 4.0.1. Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.0.2. Drehimpuls, Parität und Zeitumkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1. Malfliet-Tjon V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1.1. Kernstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2. Afnan-Tang S3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2.1. Kernstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2.2. Halo-Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2.3. Grundzustände in der Multikonfigurations-FMD . . . . . . . . . . . . .
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5. Reaktionen
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5.1. Zeitentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.2. Ereignisensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.3. Malfliet-Tjon V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.4. Afnan-Tang S3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.5. Spinfreiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.6. Ausblick: Quantenverzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A. Matrixelemente
vi
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A.1. Überlappmatrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.1.1. Isospinüberlapp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.1.2. Spinüberlapp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.1.3. Ortsüberlapp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.2.1. Isospinmatrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.2.2. Spinmatrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.2.3. Ortsraummatrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.3. Faktorisierungsnäherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.3.1. Coulomb-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.3.2. Nukleare Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A.4. Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
A.4.1. Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
A.4.2. Radien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
B. Potentiale im Orts- und Impulsraum
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C. Wechselwirkungen
89
C.1. Malfliet-Tjon V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
C.2. Afnan-Tang S3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
C.3. Volkov V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
D. Benchmarks Literaturverzeichnis
99 103
vii
1. Einführung und Zusammenfassung Die Fermionische Molekulardynamik (FMD) ist ein molekulardynamisches Modell zur Behandlung des Vielteilchenproblems in der Kern- und Schwerionenphysik. Der Zustand eines Systems von A Nukleonen wird in der Fermionischen Molekulardynamik durch eine korrelierte Slaterde terminante Q(t) von lokalisierten Einteilchenzuständen qi (t) Q(t) Q(t) = CA q1 (t) ⊗ . . . ⊗ qA (t) ˆ =C (1.1) ∼ ∼∼ beschrieben. Hierbei stellt C einen Korrelations- und A den Antisymmetrisierungsoperator dar. ∼ ∼ Durch die Antisymmetrisierung ist das Pauli-Prinzip explizit berücksichtigt. Die Zeitentwicklung des Zustandes wird aus dem zeitabhängigen Variationsprinzip
ˆ ˆ i d − H Q(t) Z Q(t) ∼
dt =0 δ dt ˆ Q(t) ˆ Q(t)
(1.2)
abgeleitet. Der Grundzustand des A-Nukleonensystems ergibt sich hierbei konsistent aus dem Variationsprinzip
Qˆ Qˆ H ∼ (1.3) δ =0. Qˆ Qˆ Für eine sinnvolle Beschreibung der zu untersuchenden physikalischen Systeme ist die Wahl einer geeigneten Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung im Hamiltonoperator H und eines dazu pas∼ ˆ senden Versuchszustandes Q(t) notwendig. ˆ Bei der Parametrisierung der Zustände Q(t) ist anzustreben, den für die zu untersuchenden physikalischen Phänomene relevanten Teil des Hilbert-Raums möglichst gut zu repräsentieren. Zur Beschreibung von Kernreaktionen ist die Verwendung lokalisierter gaußförmiger Wellenpakete vorteilhaft, da sie es wegen der Übervollständigkeit der von ihnen gebildeten Basis erlauben, alle Bereiche des Phasenraums für beliebige Orte und Impulse abzudecken. Auch für Grundzustände stellen die Gaußpakete eine geeignete Einteilchenbasis dar, da sich die SchalenmodellWellenfunktionen als Linearkombinationen von Gaußpaketen darstellen lassen. Da Slaterdeterminanten invariant unter unitären Transformationen ihrer Einteilchenzustände sind, ist eine Basis aus entsprechenden Gaußpaketen daher äquivalent zu einer Schalenmodellbasis. Es hat sich gezeigt, daß verschiedene effektive Wechselwirkungen, die die Grundzustände gleichermaßen gut beschreiben, in der Dynamik von Kern-Kern-Stößen ganz unterschiedliche Ergebnisse liefern können. Um diese Unbestimmtheiten zu vermeiden, will man realistische NukleonNukleon-Wechselwirkungen in die FMD integrieren. Die Darstellung der Nukleon-NukleonWechselwirkung in Form eines nichtrelativistischen Potentials ist in der Kernphysik jedoch nicht
1
1.
Einführung und Zusammenfassung
trivial. Beschränkt man sich auf Zweiteilchenkräfte, so kann man Potentiale finden, die die Streudaten und die Eigenschaften des Deuterons mit hoher Genauigkeit wiedergeben. Solche Potentiale sind zum Beispiel das Bonn-Potential [Mac89], das Paris-Potential [LLR+ 80], das Argonne-Potential [WSA84] oder das Nijmegen-Potential [SKTS94]. Für die Beschreibung von Mehrnukleonensystemen und Kernmaterie werden oft noch Dreiteilchenkräfte hinzugenommen. Diese sind jedoch nicht vollständig aus den Streudaten und gebundenen Zuständen zu gewinnen. Darüber hinaus ist die Zuordnung zwischen Zweiteilchen- und Dreiteilchenanteilen der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung nicht eindeutig möglich. Es besteht außerdem eine Korrelation zwischen der Stärke der nichtlokalen Anteile der Zweiteilchenwechselwirkung und der Stärke der Dreiteilchenwechselwirkung [GWH+ 96]. In dieser Arbeit werden keine Dreiteilchenkräfte berücksichtigt. Der Grund für diese Schwierigkeiten, wie auch die Komplexität der Zweiteilchenpotentiale mit Nichtlokalitäten, Spin-Bahn- und Tensorkräften, liegt letztlich in dem Versuch begründet, die Hadronen mit ihrer inneren QCD-Struktur durch elementare punktförmige Objekte zu ersetzen und die Wechselwirkung zwischen ihnen durch Potentiale zu nähern. Allen realistischen NukleonNukleon-Wechselwirkungen ist jedoch ein kurzreichweitiger abstoßender Core gemeinsam, der die direkte Verwendung dieser Wechselwirkungen in den Slaterdeterminanten der Fermionischen Molekulardynamik verbietet. Um dennoch realistische Wechselwirkungen verwenden zu können, ohne von einer einzelnen Slaterdeterminante als Versuchszustand abrücken zu müssen, wurde die Methode der unitären Korrelatoren entwickelt [Sch96, Rot97, FNRS98]. Der Korrelationsoperator sorgt für eine Unterdrückung der Relativwellenfunktion zweier Nukleonen im Bereich des abstoßenden Cores. Die Unitarität des Korrelationsoperators C erlaubt es, einen korrelierten ∼ † ˆ Hamiltonoperator H =C HC zu definieren, der in der Fermionischen Molekulardynamik ver∼ ∼ ∼∼ wendet werden kann. Die Eigenschaften des abstoßenden Cores spiegeln sich in der korrelierten Wechselwirkung in einer starken Impulsabhängigkeit wider, die unter anderem zur Sättigung der Bindungsenergien bei schweren Kernen beiträgt. Im Rahmen dieser Arbeit wird ein komplett neuer FMD-Code entwickelt. Der neue Code ist modular aufgebaut, sowohl hinsichtlich der zu verwendenden Wechselwirkungen als auch der möglichen Parametrisierungen der Zustände. Impulsabhängige Komponenten der Wechselwirkungen wie sie sich durch Korrelation mit dem unitären Korrelator ergeben oder in realistischen Potentialen enthalten sind werden zum ersten mal exakt berechnet. Ebenso werden die Matrixelemente für Spin-Bahn- und Tensorwechselwirkungen ausgearbeitet und in den Code integriert. Auch für die besonders aufwendigen partiellen Ableitungen der Matrixelemente nach den Parametern, die in den generalisierten Kräften auftreten, werden analytische Ausdrücke abgeleitet. Dies ist hinsichtlich der numerischen Stabilität und der Geschwindigkeit des Codes von großer Bedeutung. Der neue Code erlaubt auch die Superposition mehrerer Gaußpakete pro Einteilchenzustand. Hierduch kann die Oberfläche von Kernen besser beschrieben werden. Dies ist insbesondere für die korrekte Behandlung von Halo-Kernen wichtig. Erste Rechnungen zeigen, daß die Energieminimierung die Parameter von zwei bis drei Wellenpaketen pro Einteilchenzustand so einstellt, daß sich ausgeprägte Neutronenhalos mit exponentiell abfallender Dichte ergeben. Eine konzeptionelle Erweiterung der FMD wird in dieser Arbeit mit Multikonfigurationsrechnun-
2
gen vorgestellt. Durch die kohärente Überlagerung vieler Slaterdeterminanten wird der Anwendungsbereich des Modells im Bereich der Kernstruktur erheblich ausgeweitet. Die dazu benötigten außerdiagonalen Matrixelemente des Hamiltonoperators werden ausgearbeitet und ebenfalls in den Code integriert. Man erwartet durch die Mulitkonfigurationszustände Korrelationen mittlerer Reichweite, die in einem Mean-Field-Bild nicht enthalten sind, beschreiben zu können. Anhand der Lösung des Eigenwertproblems im Raum der gedrehten intrinsischen Zustände des 12 C wird die Multikonfigurationsmischung nicht orthogonaler Vielteilchenzustände vorgeführt. Die Methode der unitären Korrelatoren wird in dieser Arbeit und der Arbeit von Robert Roth [Rot97] zunächst auf das Malfliet-Tjon-Potential [MT69] angewendet. An dieser reinen Zentralwechselwirkung wird die Eignung des Konzepts untersucht. Wie auch beim Afnan-Tang-S3Potential [AT68], für das ein spin- und isospinabhängiger Korrelator eingeführt wird, bewährt sich das Konzept für die Berechnung von Grundzuständen. In der Dynamik zeigt sich mit den oben genannten Zentralpotentialen jedoch kein befriedigendes Ergebnis. Die Kerne sind bei Stößen entweder transparent oder fusionieren zu stark. Die in früheren Arbeiten [Sch96, FS97b] verwendeten zentralen Potentiale, die die Korrelationen nur phänomenologisch behandeln, weisen dieses Verhalten nicht auf. Bei der Anwendung eines realistischen Potentials, wie des Nijmegen-Potentials [SKTS94], sind zusätzlich Spin-Bahn- und Tensor-Wechselwirkung zu berücksichtigen. Hierbei zeigt sich, daß radiale Korrelationen allein diesen Wechselwirkungskomponenten nicht gerecht werden. Die Konstruktion von Tensor- und Spin-Bahn-Korrelatoren, die abhängig von den Orientierungen der Spins wirken müssen, ist noch nicht durchgeführt. Unabhängig von den Details kann man jedoch sagen, daß der korrelierte Hamiltonoperator die Effekte des Tensoranteils im S = 1 Kanal des Zentralteils berücksichtigt. Die Erwartungswerte des Tensoroperators wie des Spin-Bahn-Operators sind für die Slaterdeterminanten der FMD in jedem Fall sehr klein. Der neue FMD-Code zeichnet sich neben der stark erweiterten Flexibilität bezüglich der Parametrisierung der Zustände und der Wechselwirkungen auch durch eine Geschwindigkeitssteigerung um mehr als eine Größenordnung und eine Reduktion des Hauptspeicherbedarfs um ebenfalls eine Größenordnung aus.
3
4
2. Fermionische Molekulardynamik Die Fermionische Molekulardynamik ist ein molekulardynamisches Modell zur Beschreibung der Kernstruktur sowie niederenergetischer Kernreaktionen bis etwa 100 MeV pro Nukleon. Die relevanten Freiheitsgrade für diese Probleme sind die Nukleonen. Mesonen und Resonanzen werden erst bei höheren Energien bedeutend. Ebenso ist es bei diesen Energien nicht notwendig, eine relativistische Behandlung des Vielteilchenproblems vorzunehmen. Die zentralen Eigenschaften der Fermionischen Molekulardynamik kommen schon in ihrem Namen zum Ausdruck: Der fermionischen Natur der Nukleonen wird durch Antisymmetrisierung explizit Rechnung getragen. Die Parametrisierung der Einteilchenwellenfunktionen durch eine oder auch mehrere lokalisierte Gaußfunktionen (molekular) erlaubt sowohl die Beschreibung der Kernstruktur als auch die Beschreibung von Kernreaktionen. Die Bewegungsgleichungen in der Fermionischen Molekulardynamik werden aus dem zeitabhängigen Variationsprinzip abgeleitet. Dies garantiert die Gültigkeit der Erhaltungssätze. Die Grundzustände der Kerne ergeben sich konsistent aus dem (zeitunabhängigen) Variationsprinzip und Grundzustände sind stationär im Sinne der verwendeten Dynamik. Die Qualität eines Modells wie der FMD für die Beschreibung von Kernstruktur und Schwerionenreaktionen hängt wesentlich von zwei Faktoren ab – der Wahl der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung und der Freiheitsgrade des Versuchszustandes. Idealerweise würde man realistische Wechselwirkungen verwenden. Diese Wechselwirkungen, zu nennen sind hier z.B. das Paris- [LLR+ 80], das Argonne- [WSA84], das Bonn- [Mac89] oder das Nijmegen-Potential [SKTS94], basieren auf Bosonenaustauschmodellen und sind an die bekannten Nukleon-Nukleon-Daten mit hoher Präzision angepaßt. Kennzeichnend für diese realistischen Wechselwirkungen sind neben Tensor- und Spin-Bahn-Beiträgen vor allem ein stark ausgeprägter Core bei kurzen Reichweiten. Dieser Core erschwert die direkte Anwendung dieser Wechselwirkungen bei der Behandlung des Vielteilchenproblems außerordentlich, da die verwendeten Slaterdeterminanten die benötigte Unterdrückung der Relativwellenfunktion zweier Nukleonen bei kleinen Abständen nicht leisten können. Aufgrund dieser Schwierigkeiten wurden und werden in der Kernphysik effektive Wechselwirkungen wie z.B. das Volkov V2 Potential [Vol65] angewandt. Sie sind so angepaßt, daß sie, obwohl auf den kurzreichweitigen Core und die Tensorwechselwirkung verzichtet wird, eine näherungsweise Beschreibung der Kernstruktur erlauben – Bindungsenergien und Radien lassen sich jedoch nur in einem begrenzten Anwendungsbereich reproduzieren. Naturgemäß können solche Wechselwirkungen die Auswirkungen des Cores auf Kerne und Kernreaktionen nicht beschreiben. Die Wellenfunktionen besitzen nicht die entsprechenden Komponenten bei hohen Impulsen, und bei Kernreaktionen macht sich das Fehlen des Cores durch das Ausbleiben großer
5
2.
Fermionische Molekulardynamik
Impulsüberträge, sogenannten harten Stößen, zwischen den Nukleonen bemerkbar. Die Parametrisierung des Versuchszustandes muß auf die verwendete Wechselwirkung Rücksicht nehmen. Natürlich ist es erstrebenswert, einen möglichst großen Teil des physikalischen HilbertRaumes abzudecken. Aus Gründen der praktischen Handhabbarkeit ist man hier jedoch stark eingeschränkt. Für Kernstruktur und vor allem Kernreaktionen wird man sich möglichst auf eine einzelne Slaterdeterminante beschränken wollen. Bei der Verwendung von realistischen Wechselwirkungen bedeutet dies, daß die Effekte des kurzreichweitigen Cores durch kurzreichweitige Korrelationen beschrieben werden müssen. Dies kann z.B. mit Jastrow-Korrelationen geschehen [Jas55, Wir91]. Für Kernstrukturrechnungen ist diese Methode jedoch nur bei geringen Teilchenzahlen und für Kernreaktionen überhaupt nicht praktikabel. Die Idee kurzreichweitiger Korrelationen soll auf die FMD übertragen werden. Einen entscheidenden Vorteil bringt hierbei die Verwendung eines unitären Korrelationsoperators. Dieses Konzept des unitären Korrelators wird an den Beispielen des Malfliet-Tjon- und des Afnan-TangPotentials, einfachen zentrale Wechselwirkungen, die einen abstoßenden Core aufweisen, illustriert. Sie wurden für viele Rechnungen verwendet und erlauben somit einen Vergleich der FMD-Resultate mit denen anderer Modelle. Die Eigenschaften und die Bestimmung des unitären Korrelators werden im nächsten Kapitel erläutert. In diesem Kapitel wird das Modell der Fermionischen Molekulardynamik [Fel90, FBS95] unter Einbeziehung des Korrelators [Rot97, FNRS98] zusammengefaßt.
2.1. Versuchszustand Wie schon erwähnt hängt die Qualität des Modells neben der verwendeten Wechselwirkung ˆ von den Freiheiten des Versuchszustandes ab. Der Versuchszustand Q(t) der FMD eines A-Teilchenzustandes ist eine korrelierte Slaterdeterminante mit den Einteilchenzuständen qk (t) Q(t) Q(t) ˆ =C ∼ q1 (t) ⊗ . . . ⊗ qA (t) =C A ∼∼
(2.1)
und dem Antisymmetrisierungsoperator A ∼ q1 (t) ⊗ . . . ⊗ qA (t) = 1 A ∼
(−1)P A! ∑ P
qP (1) (t) ⊗ · · · ⊗ qP (A) (t) .
(2.2)
C ist der zustandsunabhängige unitäre Korrelationsoperator. Er ist für jede Wechselwirkung neu ∼ zu bestimmen, um seiner Aufgabe, der Erzeugung der gewünschten kurzreichweitigen Korrelationen, gerecht werden zu können. Die nähere Struktur des Korrelationsoperators wird im nächsten Kapitel behandelt. Eine wichtige Eigenschaft des Korrelationsoperators ist seine Unitarität. Damit kann die Wirkung des Korrelationsoperators bei der Berechnung von Matrixelementen von den Zuständen auf die
6
2.1.
Operatoren übergewälzt werden
ˆ B Qˆ 0 (t) = Q(t) C† B C Q0 (t) Q(t) ∼ ∼ ∼ ∼ † 0
= Q(t) C BC Q (t) ∼ ∼ 0∼
= Q(t) ∼ Bˆ Q (t) .
Versuchszustand
(2.3)
ˆ Je nach Anwendung kann es vorteilhaft sein, mit korrelierten Zuständen Q(t) und unkorrelierten Operatoren ∼ B oder unkorrelierten Zuständen Q(t) und korrelierten Operatoren ∼ Bˆ zu arbeiten. Die Einteilchenzustände qk (t) der Slaterdeterminante sind jeweils durch N komplexe1 Variablen qk, j (t) parametrisiert qk (t) = qk, j (t) j = 1, . . . , N . (2.4)
Bei den Einteilchenzuständen besteht nun wieder die Freiheit verschiedener Parametrisierungen. Eine Beschreibung mit gaußförmigen Wellenfunktion hat sich für dieses Anwendungsgebiet bewährt. Zunächst besitzen sie den großen rechentechnischen Vorteil, daß Matrixelemente mit entsprechend parametrisierten Wechselwirkungen analytisch bestimmbar sind. Zudem eignen sie sich sowohl für die Beschreibung der Kernstruktur, hier können aus Linearkombinationen von Gaußpaketen auch die Schalenmodellwellenfunktionen gebildet werden, als auch für die Beschreibung von Kernreaktionen. In dieser Arbeit werden die folgenden Parametrisierungen verwendet: qk (t) = ak (t),~bk (t) ⊗ χ k ⊗ ξ k , qk (t) = ak (t),~bk (t) ⊗ χ ↑ (t), χ ↓ (t) ⊗ ξ k , k k qk (t) = ∑ c j (t) a j (t),~b j (t) ⊗ χ j ⊗ ξ k . k k k k
(2.5) (2.6) (2.7)
j
Die erste Parametrisierung (2.5) legt die Spinkomponente entlang einer Quantisierungsrichtung fest. Bei der zweiten Parametrisierung (2.6) kann der Spin des Einteilchenzustandes eine beliebige Orientierung einnehmen. Bei der dritten Form (2.7) handelt es sich um eine Superposition mehrerer Zustände, die unterschiedliche aber feste Spinkomponenten besitzen. Der Isospin ist bei allen Parametrisierungen festgelegt. Eine Änderung des Isospins im Verlauf der Zeitentwicklung ist damit nicht möglich. Der Ortsanteil des Einteilchenzustands ist ein gaußförmiges Wellenpaket 2
(~x −~b(t))2 ~ ~x a(t), b(t) = exp − . 2a(t)
(2.8)
1 In
dieser Arbeit wird im Gegensatz zu früheren Arbeiten [Bie91, Sch93, Sch96] eine komplexe Parametrisierung verwendet. Dies hat für die Physik keine Auswirkungen, da die reelle und komplexe Parametrisierung äquivalent sind. Allerdings sind komplexe Parameter im Rahmen der FMD die natürlichere Wahl. 2 Sowohl die Einteilchenzustände als auch die daraus konstruierten Vielteilchenzustände sind nicht normiert. Da in der FMD mit nicht orthogonalen Einteilchenzuständen gearbeitet wird, brächte eine Normierung der Einteilchenzustände keinen Vorteil.
7
2.
Fermionische Molekulardynamik
Diese Parametrisierung ist bis auf Phase und Norm äquivalent zu einer Parametrisierung mit den reellen Größen~r(t) und ~p(t), wobei ~b(t) =~r(t) + ia(t)~p(t)
(~x −~r(t))2 ~ ~x a(t), b(t) ∝ exp − + i~x ·~p(t) . 2a(t)
(2.9)
~r(t) und ~p(t) sind hierbei gerade die Erwartungswerte des Orts- ~∼x bzw. Impulsoperators ~∼k: a(t),~b(t) ~∼x a(t),~b(t) ~r(t) =
, a(t),~b(t) a(t),~b(t)
a(t),~b(t) ~∼k a(t),~b(t) ~p(t) =
. a(t),~b(t) a(t),~b(t)
(2.10)
Da die Varianzen der Orts- und Impulsverteilungen sich zu
2 a(t),~b(t) (~∼x −~r(t))2 a(t),~b(t) 3 a(t) =
2 Re{a(t)} a(t),~b(t) a(t),~b(t)
a(t),~b(t) (~∼k − ~p(t))2 a(t),~b(t) 3 1 =
2 Re{a(t)} a(t),~b(t) a(t),~b(t)
(2.11)
(2.12)
ergeben, handelt sich also um im Phasenraum um~r(t) und ~p(t) lokalisierte gaußförmige Wellenpakete. Die Breite der Wellenpakete ist durch den Parameter a(t) bestimmt. Verschwindet der Imaginärteil der Breite, so handelt es sich um ein Paket minimaler Unschärfe. In der FMD ist der Parameter der Breite a(t) im Gegensatz zu anderen Modellen, wie z.B. der AMD [OHMO92], eine komplexe und zeitlich veränderliche Größe. Durch diese zusätzliche Freiheit sind insbesondere schwächer gebundene Nukleonen im Rahmen der FMD besser beschreibbar als in der AMD. Bei Kernreaktionen ist es im Gegensatz zur AMD in der FMD möglich, daß einzelne Nukleonen durch “Breitlaufen” den Kern verlassen können. In der AMD müßte das einzelne Nukleon die Lokalisierungsenergie von 10-15 MeV mit sich tragen. Die variable Breite a(t) ist zudem nötig, um die Zeitentwicklung in Abwesenheit einer nuklearen Wechselwirkung exakt beschreiben zu können [Sch93]. Insbesondere um sehr schwach gebundene Nukleonen in Halo-Kernen beschreiben zu können, wird die dritte Parametrisierung verwendet. Die Halo-Nukleonen besitzen exponentiell abfallende Wellenfunktionen – um diesen Abfall modellieren zu können, bietet sich die Superposition mehrerer Gaußpakete an. Hierbei können die bereits ausgearbeiteten Matrixelemente beibehalten werden. Für formale Zwecke ist es bequem, die Gesamtheit der Parameter Q(t) durchzunumerieren. Dazu werden griechische Indizes verwendet Q(t) = qν (t) ν = 1, . . . , NA
(2.13)
Der Korrelationsoperator C wird ebenfalls parametrisiert. Die Gesamtheit der Einteilchenpara∼ meter Q(t) und der Korrelatorparameter C wird mit Qˆ bezeichnet.
8
2.2.
Bewegungsgleichungen
2.2. Bewegungsgleichungen Die zeitliche Entwicklung des FMD-Versuchszustands wird durch Bewegungsgleichungen bestimmt. Diese werden aus dem zeitabhängigen Variationsprinzip [KS82]
δS = δ
Z t2 t1
d Φ(t) Φ(t) i − H ∼
dt =0 dt Φ(t) Φ(t)
(2.14)
mit den Randbedingungen δ Φ(t1 ) = δ Φ(t2 ) = 0 abgeleitet. Erlaubt man die volle Variation des Versuchszustandes Φ(t) , so liefert das Variationsprinzip die Schrödinger-Gleichung, i
d Φ(t) , Φ(t) = H ∼ dt
(2.15)
also die exakte quantenmechanische Lösung. In der FMD sind die Zustände auf eine Teilmenge des A-Teilchen-Hilbertraums beschränkt. Die ˆ Zustände Q(t) aus diesen nichtlinearen Teilmenge des Hilbertraums sind, wie im vorangegangenen Abschnitt angegeben, durch einen Satz von komplexen Parametern qν (t) bestimmt. Die ˆ dualen Zustände Q(t) hängen von den komplex konjugierten Parametern q?ν (t) ab. Aus dem Variationsprinzip (2.14) folgen nun die Bewegungsgleichungen für die Parameter qν (t) und q?ν (t), wobei qν (t) und q?ν (t) unabhängig voneinander variiert werden. Das Variationsverfahren liefert hierbei diejenige Lösung innerhalb der durch die Parametrisierung vorgegebenen Teilmenge des Hilbertraums, die der exakten quantenmechanischen Zeitentwicklung am nächsten kommt. ? ˙ ˙? ? Man definiert die Lagrangefunktion L3 (Q, Q , Q, Q ;C) und die Hamiltonfunktion H (Q, Q ;C) als Erwartungswerte im Zustand Qˆ .
d Qˆ i Qˆ Qˆ H Qˆ ? ˙ ˙? − ∼ L (Q, Q , Q, Q ;C) := dt Qˆ Qˆ Qˆ Qˆ ∂ ˆ ˆ i ∑ν Q Q q˙ν Qˆ H Qˆ ∂qν
= − ∼ ˆ ˆ Q Q Qˆ Qˆ ˙ Q˙ ? ) − H (Q, Q? ;C) =: L0 (Q, Q? , Q,
(2.16)
Da C nicht zeitabhängig sind und da wegen der Unitarität des Korrelators Korrelatorparameter
die
Qˆ Qˆ = Q Q gilt, ist der Anteil L0 der Lagrangefunktion nur eine Funktion der Zustandsparameter Q aber nicht der Korrelatorparameter C. Zeitabhängigkeit der Parameter Q(t) und der Zustände Qˆ (t) wird im folgenden nicht mehr explizit ausgeschrieben.
3 Die
9
2.
Fermionische Molekulardynamik
Die Durchführung der Variation ergibt Euler-Lagrange-Gleichungen für die Parameter qν (t) bzw. die komplex konjugierten Parameter q?ν (t) d ∂L ∂L − =0, dt ∂ q˙?µ ∂q?µ d ∂L ∂L − =0. dt ∂ q˙µ ∂qµ
(2.17) (2.18)
Dies sind im Gegensatz zur klassischen Mechanik lineare Differentialgleichungen in den generalisierten Geschwindigkeiten q˙ν und q˙?ν . Mit der oben definierten Lagrangefunktion L bzw. Hamiltonfunktion H erhält man die Bewegungsgleichungen ∂H ∂q?µ ν ∂H −i ∑ Cµ?ν q˙?ν = ∂qµ ν i ∑ Cµν q˙ν =
(2.19) (2.20)
mit der hermiteschen C -Matrix Cµν
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ Qˆ Qˆ ? ∂qµ Q Q ∂qν Q Q
− = Qˆ Qˆ Qˆ Qˆ Qˆ Qˆ
∂ ∂ ∂ ∂ = ? ln Qˆ Qˆ = ? ln Q Q . ∂qµ ∂qν ∂qµ ∂qν ∂ ∂ ∂q?µ ∂qν
Jeder Observablen ∼ B läßt sich eine Funktion der Parameter B(Q, Q? ;C) zuordnen.
Qˆ B Qˆ B(Q, Q? ;C) = ∼ . Qˆ Qˆ Die zeitliche Änderung dieses Erwartungswerts ist bestimmt durch
Qˆ ∼ B Qˆ d
B˙ = dt Qˆ Qˆ ∂B ∂B = ∑ q˙ν + q˙?ν ? ∂qν ∂qν ν 1 ∂H −1 ∂B ∂H ? −1 ∂B = ∑ Cµν C − i µ,ν ∂q?µ µν ∂qν ∂qµ ∂q?ν 1 ∂H −1 ∂B ∂H −1 ∂B = ∑ C − C i µ,ν ∂q?µ µν ∂qν ∂qν µν ∂q?µ =: {H , B} ,
(2.21)
(2.22)
(2.23) (2.24) (2.25) (2.26) (2.27)
wobei die verallgemeinerte Poisson-Klammer {·, ·} eingeführt wurde.4 wird vorausgesetzt, daß die C -Matrix invertierbar ist. Dies gilt jedoch nicht für alle Parametersätze. Auf diese Problematik wird später noch näher eingegangen.
4 Hierbei
10
2.3.
Matrixelemente
Das zeitabhängige Variationsverfahren liefert also eine Abbildung vom quantenmechanischen Hilbertraum in einen Phasenraum, dessen Struktur durch C bestimmt ist. Formal entsprechen die so gewonnenen Bewegungsgleichungen denen der klassischen Mechanik. Dabei ist jedoch die C -Matrix nicht einfach die Einheitsmatrix – qν und q?ν sind damit keine Paare konjugierter Variablen. Dennoch kann der ganze Apparat der Hamiltonschen Mechanik auf die FMD angewendet werden.
2.3. Matrixelemente In der FMD müssen Erwartungswerte und Ableitungen von Erwartungswerten für die korrelierten ˆ Slaterdeterminanten Q berechnet werden. Für die Norm des Zustandes Qˆ gilt
† Qˆ Qˆ = q1 ⊗ . . . ⊗ qA A (2.28) C CA q1 ⊗ . . . ⊗ qA . ∼∼ ∼∼ † Wegen der Unitarität des Korrelationsoperators C C = ∼1 vereinfacht sich dieser Ausdruck zu ∼ ∼
1 Qˆ Qˆ = Q Q = det n A!
(2.29)
mit der Überlappmatrix
nkl = qk ql .
(2.30)
Die Formeln für die Einteilchenüberlapps sind im Anhang angegeben. Für die Berechnung von Matrixelementen erweist sich die inverse Überlappmatrix o o = n−1
als sehr nützlich.
(2.31)
5
Erwartungswerte von Operatoren werden mit den korrelierten Operatoren ∼ Bˆ † Bˆ = C BC ∼ ∼∼
(2.33)
∼
in den Slaterdeterminanten Q berechnet
Qˆ ∼ B Qˆ Q ∼ Bˆ Q .
= Q Q Qˆ Qˆ 5 Für
die Inverse der Matrix A gilt a11 a21 a12 a22 A= . . a1n a2n
... ... ... ...
an1 an2 , . ann
A11 1 A12 −1 A = det A . A1n
(2.34)
A21 A22 . A2n
... ... ... ...
An1 An2 . Ann
(2.32)
mit den Adjunkten Aik zum Element aik
11
2.
Fermionische Molekulardynamik
Die Bestimmung des korrelierten Operators wird im Abschnitt 3.2 beschrieben. In dieser Arbeit werden nur Beiträge bis einschließlich des Zweiteilchenanteils der Teilchenzahlentwicklung berücksichtigt, so daß auch auch nur Ein- und Zweiteilchenmatrixelemente bestimmt werden müssen. Für den Erwartungswert des Einteilchenanteils eines Operators ∼ Bˆ erhält man unter Verwendung von (2.32)
[1] Q ∼ Bˆ Q
= ∑ qk Bˆ [1] ql olk . (2.35) ∼ Q Q kl
Der Zweiteilchenanteil ∼ Bˆ[2] ergibt sich analog zu
[2] Q ∼ Bˆ Q
1
= ∑ a qk , ql Bˆ [2] qm , qn a omk onl ∼ 2 Q Q klmn
(2.36)
qk , ql = qk ⊗ ql
(2.37)
[2]
1 Bˆ qm , qn omk onl − onk oml = ∑ qk , ql ∼ 2 klmn mit den Produktzuständen
und den antisymmetrischen Zuständen qk , ql = √1 qk ⊗ ql − ql ⊗ qk . a 2
(2.38)
Für die Ableitungen der Überlappmatrixelemente folgt aus (2.29) mit µ = (m, i) und ν = (n, j)
∂ ∂q?µ Q Q ∂
=∑ qm ql olm (2.39) ∂q?µ Q Q l
∂ ∂ ∂qν Q Q
=∑ qk qn onk . (2.40) ∂qν Q Q k Zur Bestimmung der Ableitungen der inversen Überlappmatrix geht man von
∑ q p qr ork = δ pk
(2.41)
r
aus. Nun leitet man nach q?µ ab, multipliziert mit ol p und summiert über p
∂ ∂ ∑p ol p ∑r ∂q?µ q p qr ork + ∑p ol p ∑r q p qr ∂q?µ ork = 0. Damit folgt
∑p ol p ∑r δ pm
12
∂ ∂ qm qr ork + ∑ δ lr ork = 0 ∂q?µ ∂q?µ r
(2.42)
(2.43)
2.4.
und schließlich
Observablen
∂ ∂ qm qr ork . olk = −olm ∑ ∂q?µ ∂q?µ r
Als Ergebnis für die C -Matrix erhält man somit
∂ ∂ ∂ ∂ ∂qν Q Q Cµν = ? = ? ∑ qk qn onk ∂qµ ∂qµ k ∂qν Q Q ∂ ∂ ∂ ∂ = q q q q − q q o onm . m n m r rs s n ∑ ? ∂q?µ ∂qν ∂qν rs ∂qµ Für die generalisierten Kräfte
(2.44)
(2.45)
∂ ∂q?µ H
werden die Ableitungen der Matrixelemente der Einteilˆ benötigt. Man erhält für chen- und Zweiteilchenanteile des korrelierten Hamiltonoperators H ∼ den Einteilchenanteil
[1] ∂ ∂ [1] ˆ ql olk H = ? ∑ qk H ∼ ∂q?µ ∂qµ kl (2.46)
[1] ∂ ˆ [1] ∂ ˆ =∑ ql − ∑ ql olm qm H qm qr ors qs H ? ? ∼ ∼ rs ∂qµ l ∂qµ und ∂ H ∂q?µ
[2]
[2]
∂ 1 = ? ∑ qm , qn H∼ˆ qk , ql okm oln − olm okn ∂qµ 2 klmn [2] ∂
ˆ qk , ql − =∑ qm , qn H ? ∼ kln ∂qµ [2]
∂ ˆ q H q q q o , q , q okm oln − olm okn m r rs s n ∼ k l ∑ ? rs ∂qµ
(2.47)
für den Zweiteilchenanteil.
2.4. Observablen In diesem Abschnitt wird die Berechnung einiger Observablen erläutert. Die Formeln sind sowohl für den unkorrelierten als auch für den korrelierten Fall im Sinne der Teilchenzahlentwicklung (siehe Abschnitt 3.2) anwendbar.
2.4.1. Dichteoperatoren Von besonderem Interesse sind die diagonalen Ein- und Zweiteilchendichteoperatoren im Orts(1)
† ρ χ ξ (~x) = Ψ (~x)Ψ (~x) ∼ χ ,ξ ∼ χ ,ξ
(2.48)
† † ρ χ ξ ,χ 0 ξ 0 (~x,~x0 ) = Ψ (~x)Ψ (~x0 )Ψ (~x0 )Ψ (~x) ∼ χ ,ξ ∼ χ 0 ,ξ 0 ∼ χ 0 ,ξ 0 ∼ χ ,ξ
(2.49)
∼
(2)
∼
13
2.
Fermionische Molekulardynamik
und im Impulsraum (1)
ρ χ ξ (~k) = ∼ a†χ ,ξ (~k)a (~k) ∼χ ,ξ
(2.50)
† ρ χ ξ ,χ 0 ,ξ 0 (~k,~k0 ) = ∼ a†χ ,ξ (~k)a (~k0 )a (~k0 )a (~k) . ∼χ 0 ,ξ 0 ∼χ 0 ,ξ 0 ∼χ ,ξ
(2.51)
∼
(2)
∼
† Die Operatoren Ψ (~x) und ∼aχ† ,ξ (~k) sind hierbei die Erzeuger zu den entsprechenden Quanten∼ χ ,ξ zahlen, Ψ (~x) und a (~k) die Vernichter. ∼ χ ,ξ
∼χ ,ξ
Durch Summation über die Spinindizes ergeben sich die Dichteoperatoren für Protonen bzw. Neutronen ρ p (~x) = ∑ ρ χ p (~x)
(2.52)
ρ n (~x) = ∑ ρ χ n (~x) .
(2.53)
(1)
(1)
∼
χ ∼
(1)
(1)
∼
χ ∼
Wird außerdem über die Isospinindizes summiert, erhält man die Nukleonendichte ρ (1) (~x) = ∑ ρ χ ξ (~x) . (1)
∼
χξ
(2.54)
∼
Die Zweiteilchen-Ortsraumdichte ergibt sich durch Summation über alle Spin- und Isospinindizes
∑
ρ (2) (~x,~x0 ) = ∼
χ ξ ,χ 0 ξ
(2)
ρ χ ξ ,χ 0 ξ 0 (~x,~x0 ) .
0∼
(2.55)
Unter Verwendung der Antikommutatorrelationen der Erzeuger und Vernichter erkennt man, daß das Produkt zweier Einteilchendichten einen Ein- und einen Zweiteilchenanteil enthält ρ (1) (~x)ρ (1) (~x0 ) = δ (~x −~x0 )ρ (1) (~x) − ρ (2) (~x,~x0 ) . ∼
∼
∼
∼
(2.56)
Analoge Beziehungen gelten im Impulsraum. Die Matrixelemente des Dichteoperators für unkorrelierte Zustände sind im Anhang A.4.1 zu finden. Die Berechnung der Matrixelemente in korrelierten Zuständen erweist sich als sehr aufwendig.
2.4.2. Kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung Da in den Slaterdeterminanten der FMD der Schwerpunkt nicht absepariert werden kann,
muß zur Bestimmung der Bindungsenergie die kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung T ∼ cm abgezogen werden. Es gilt mit dem Impuls der Schwerpunktsbewegung ~ = K ∼
14
Z
d 3 k ρ (1) (~k)~k, ∼
(2.57)
2.4.
Observablen
wobei ρ (1) (~k) die Impulsraumdichte in einem A Teilchen-System bezeichnet, für die intrinsische ∼
kinetische Energie T = ∼ int
Z
d 3 k ρ (1) (~k) ∼
1 ~ 1 ~ 2 . k − K ∼ 2m N ∼
(2.58)
Der Erwartungswert der intrinsischen kinetischen Energie in einem A-Teilchenzustand ergibt sich damit zu
Z 3 1 (1) 2
2 ~k) ~k − 1 K ~ T = d k ρ ( int ∼ ∼ ∼ 2m 2Am (2.59)
= T − T . cm ∼ ∼ Die kinetische Energie des Schwerpunkts zerfällt in einen Ein- und einen Zweiteilchenanteil
Z Z Z
1 1 d 3 k ρ (1) (~k) ~k2 − d 3 k d 3 k0 ρ (2) (~k,~k0 ) ~k ·~k0 ∼ ∼ 2Am 2Am
[1] [2] + T . =: T ∼ cm ∼ cm
T = cm ∼
(2.60)
Da der Korrelator nur auf die Relativkoordinaten wirkt, wird die Bewegung des Schwerpunktes nicht durch den Korrelator beeinflußt. T vertauscht somit mit dem Korrelator C , so daß ∼ cm ∼ †
Qˆ = Q C T cmC Q = Q T cm Q . Qˆ T ∼ cm ∼ ∼ ∼ ∼
(2.61)
2.4.3. Radien Da der Schwerpunkt des Kerns in FMD nicht absepariert werden kann, muß bei der Berechnung der Kernradien die Schwerpunktsverteilung des Kerns berücksichtigt werden. Der Schwerpunktsoperator für ein System mit A Teilchen lautet analog zu (2.57) ~X = 1 ∼ A
Z
d 3 x ρ (1) (~x)~x . ∼
(2.62)
Damit ergibt sich für den quadratischen Massenradius eines A-Teilchenzustands unter Verwendung der Dichteoperatoren ρ (1) (~x) ∼
R 3 (1) 2 d x ρ (~x)(~x − ~X ) ∼ ∼
R2rms = R d 3 x ρ (1) (~x) ∼
Z Z Z
1 1 = d 3 x ρ (1) (~x) ~x2 − 2 d 3 x d 3 x0 ρ (1) (~x)ρ (1) (~x0 ) ~x ·~x0 ∼ ∼ ∼ A A Z Z Z Z
1 1 = d 3 x ρ (1) (~x) ~x2 − 2 d 3 x ρ (1) (~x) ~x2 − d 3 x d 3 x0 ρ (2) (~x,~x0 ) ~x ·~x0 ∼ ∼ ∼ A A Z Z Z
1 1 1 = d 3 x ρ (1) (~x) ~x2 + 2 d 3 x d 3 x0 ρ (2) (~x,~x0 ) ~x ·~x0 . − 2 ∼ ∼ A A A (2.63)
15
2.
Fermionische Molekulardynamik
Zur Bestimmung des Ladungsradius wird über die Protonendichteverteilung integriert. In einem Zustand mit A Nukleonen und Z Protonen gilt dann R2p,rms =
R 3 (1) d x ρ p (~x)(~x − ~X )2 ∼ R
Z
∼
(1) d 3 x ρ p (~x) ∼
Z Z
(1) 2 (1) d 3 x ρ p (~x) x2 − d 3 x d 3 x0 ρ p (~x)ρ (1) (~x0 ) ~x ·~x0 + ∼ ∼ ∼ A Z Z
Z d 3 x0 d 3 x00 ρ (1) (~x0 )ρ (1) (~x00 ) ~x0 ·~x00 ∼ ∼ A2 Z
(1) 1 2 1 = d 3 x ρ p (~x) x2 − + 2 ∼ Z AZ A Z Z
2 (2) + d 3 x d 3 x0 ∑ ρ χ p,χ 0 ξ 0 (~x,~x0 ) ~x ·~x0 ∼ AZ χ ,χ 0 ξ 0
1 = Z
1 − 2 A
Z
Z
3
d x
(2.64)
d 3 x0 ρ (2) (~x,~x0 ) ~x ·~x0 . ∼
2.5. Erhaltungssätze Da die Bewegungsgleichungen der FMD aus dem Variationsprinzip hergeleitet werden, folgt für jede kontinuierliche Transformation der Parameter, die die Lagrangefunktion L invariant läßt, nach dem Noether-Theorem die Existenz einer Erhaltungsgröße [Sch94]. Läßt sich diese Transformation mit einem unitären Symmetrieoperator T und dessen hermite∼ schen Generator ∼ B ausdrücken, iε ∼ B
T =e ∼
(2.65)
so gilt, falls T die Menge der (korrelierten) FMD-Zustände in sich selbst überführt [Sch93] ∼
, B Qˆ Qˆ H d ∼ ∼
. B=i dt Qˆ Qˆ
(2.66)
Die Größe B bleibt also in der FMD-Zeitentwicklung exakt erhalten, falls der Generator ∼ B mit dem Hamiltonoperator H vertauscht und T die Menge der FMD-Zustände in sich selbst überführt. ∼ ∼ Translationen, Galilei-Transformationen und Rotationen in Orts- und Spinraum vertauschen mit dem Korrelator C . Diese Forderungen werden schon bei der Konstruktion des Korrelators be∼ rücksichtigt. Ein Korrelator, der diesen Bedingungen nicht genügte, wäre aus genau diesem Grund wenig sinnvoll. Ist die erste Bedingung für den unkorrelierten Fall erfüllt [Sch93], so gilt dies somit automatisch auch für den korrelierten Fall. Somit gelten bei Berücksichtigung der Korrelationen die gleichen Erhaltungssätze für Impuls, Schwerpunkt und Drehimpuls wie im unkorrelierten Fall.
16
2.6.
Multikonfigurationszustände
ˆ In der Praxis wird nicht mit dem vollständig korrelierten Hamiltonoperator H ∼
ˆ , Bˆ Q , B Qˆ Q H Qˆ H d ∼ ∼ ∼ ∼
, =i B=i dt Q Q Qˆ Qˆ
(2.67)
ˆ [1] + Hˆ [2] gerechnet (siehe sondern mit dem im Sinne der Teilchenzahl-Entwicklung bestimmten H ∼ ∼ Abschnitt 3.2). Da der Korrelator die globalen Symmetrien des Systems nicht verletzen soll, gilt Bˆ = ∼ B ∼
[1]
[1] Hˆ + Hˆ [2] , B Q ˆ + Hˆ [2] , Bˆ Q Q Q H d ∼ ∼
∼ ∼
∼ ∼ =i B=i dt Q Q Q Q
(2.68)
Wegen der Vertauschbarkeit des Korrelators C mit den Symmetrieoperatoren besitzt auch der ∼ korrelierte Hamiltonoperator in jeder Teilchenzahlordnung die gleichen Symmetrien wie der unkorrelierte Hamiltonoperator. Deshalb sind alle globalen Erhaltungssätze auch im korrelierten Fall erfüllt. Die Erhaltung der approximierten Hamiltonfunktion läßt sich direkt aus der Poissonklammer (2.27) ableiten. Da die Bewegungsgleichungen aus dem Variationsverfahren hergeleitet werden, ist die Energie unabhängig von der Wahl des Hamiltonoperators H immer erhalten. ∼
2.6. Multikonfigurationszustände In den bisherigen Untersuchungen haben sich die FMD-Zustände als erste Näherung für die Beschreibung von Kernstruktur und Reaktionsdynamik bewährt. Für eine verfeinerte Darstellung ist ein einzelner FMD-Zustand jedoch bei speziellen Fragestellungen nicht ausreichend. Ein anschauliches Beispiel sind hierbei deformierte Zustände, die ähnlich wie in der Hartree-Fock Näherung als Grundzustände der FMD auftreten. Zustände mit guten Quantenzahlen bezüglich Parität und Drehimpuls können aus solch einem intrinsischen FMD-Zustand durch Projektion auf die entsprechenden Quantenzahlen gewonnen werden, siehe hierzu Abschnitt 4.0.2. Eine andere äquivalente Möglichkeit ergibt sich durch die Erweiterung des Zustandsraums auf eine Menge mehrerer gedrehter FMD-Zustände. Durch Diagonalisierung in dem durch diese Zustände aufgespannten Raum ergeben sich die Rotationsspektren und Zustände mit korrekten Symmetrien. Erweitert man den Zustandsraum um angeregte FMD-Zustände, können auch Aussagen über andere angeregte Zustände getroffen werden. Mit einer Basis aus vielen FMD-Zuständen Qˆ i i = 1, . . . , N kann ein größerer Bereich des Hilbertraums abgedeckt werden. Da die FMD-Zustände eine übervollständige, nicht orthogonale Vielteilchenbasis darstellen, ist zu erwarten, daß eine geschickte Auswahl den physikalisch relevanten Teil des Hilbertraums gut abdeckt. Die Zustände Qˆ i spannen einen Teilraum H Q des Hilbertraums auf. Sie sind jedoch weder normiert noch orthogonal, es wird im folgenden aber deren lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt.
17
2.
Fermionische Molekulardynamik
Mit der Überlappmatrix N
Ni j = Qˆ i Qˆ j
(2.69)
ist in H Q der Einsoperator durch 1Q = ∼
N
∑ Qˆ i
i, j=1
N−1 i j Qˆ j
(2.70)
gegeben. Zur Lösung des Eigenwertproblems des Hamiltonoperators im Unterraum H Q α = Eα α H ∼
(2.71)
ist α durch α = ∑ cαi Qˆ i
(2.72)
i
darzustellen. Dies führt auf ein verallgemeinertes Eigenwertproblem
∑ Qˆ i H∼ Qˆ j cαj = E α ∑ Qˆ i Qˆ j cαj . j
(2.73)
j
In Matrixschreibweise lautet es H · cα = E α N · cα .
(2.74)
Die Überlappmatrix N ist hermitesch und positiv definit. Es existiert damit eine Zerlegung
1
1
N = U · D2 · U† = U · D · U† · U · D · U† = N 2 · N 2
(2.75) 1
mit der unitären Matrix U und der reellen Diagonalmatrix D. Die Matrix N 2 ist wiederum hermitesch und positiv definit. Es gilt N− 2 = U · D−1 · U† , 1
N 2 · N− 2 = 1 . 1
1
(2.76)
Das generalisierte Eigenwertproblem (2.73) läßt sich somit auf ein gewöhnliches hermitesches Eigenwertproblem ¯ · c¯α = E α c¯α H
(2.77)
mit ¯ = N− 2 · H · N− 2 , H 1
18
1
c¯α = N 2 · cα 1
(2.78)
2.6.
Multikonfigurationszustände
umschreiben. Dies entspricht der Transformation der Basis Qˆ i auf die orthonormale Basis i Q¯ i Q¯ = ∑ Qˆ j N− 12 , ji
(2.79)
α = ∑ cα Qˆ i = ∑ c¯α Q¯ i . i i
(2.80)
j
so daß
i
i
Für die Berechnung von Matrixelementen werden die Einteilchenüberlappmatrizen ni j
j ij nkl = qik ql
(2.81)
und die zugehörigen inversen Überlappmatrizen oi j = ni j
−1
(2.82)
benötigt. Die Überlappmatrixelemente sind durch die Determinanten der Einteilchenüberlappmatrizen bestimmt
i j i j Qˆ Qˆ = Q Q = det ni j . (2.83) Für die Matrixelemente von Ein- und Zweiteilchenoperatoren folgt dann (siehe Abschnitt 2.3) 6
i [1] j Q Bˆ Q
i [1] j Bˆ Q = ∼i j Q ∼ Qi Q j Q Q (2.84)
i [1] j i j ij ˆ = ∑ qk ∼ B ql olk det n kl
und
i [2] j Q Bˆ Q Qi ∼ Bˆ [2] Q j = ∼i j Qi Q j Q Q
i i [2] j j i j i j 1 ij ij ˆ = B qm , qn omk onl − onk oml det ni j . qk , ql ∼ ∑ 2 klmn
(2.85)
orthogonale Zustände Qˆ i und Qˆ j sind die Formeln wegen des verschwindenden Überlapps nicht direkt ij anwendbar. Es muß dann mit den Adjunkten von nkl gerechnet werden.
6 Für
19
20
3. Wechselwirkungen
In der FMD wurden bisher nur effektive Wechselwirkungen verwendet. Realistische Wechselwirkungen, d.h. Wechselwirkungen, die am Deuteron und an den Streuphasen der Nukleon-NukleonStreuung fixiert wurden, besitzen einen kurzreichweitigen Core. Die direkte Verwendung von Matrixelementen einer solchen Wechselwirkung in den unkorrelierten Slaterdeterminanten der FMD ist wegen der Beiträge des Cores nicht möglich. Sollen realistische Wechselwirkungen verwendet werden, so muß die Relativwellenfunktion zweier Nukleonen im Bereich des Cores unterdrückt werden. Dies läßt sich z.B. mit Jastrow-Korrelationen [Jas55] erreichen. Die Jastrow-Methode läßt sich jedoch nicht sinnvoll auf ein dynamisches Problem anwenden, da die Normierung des Zustandes in jedem Zeitschritt neu berechnet werden müßte. Für die FMD wurde daher das Konzept des unitären Korrelators [Rot97, FNRS98] eingeführt. Dieses gestattet es, die kurzreichweitigen Korrelationen des durch eine Slaterdeterminante gegebenen Zustandes mit Hilfe eines unitären Korrelators C auszudrücken. Die durch die Unitarität ∼ bedingten großen rechentechnischen Vorteile wurden schon im vorigen Kapitel deutlich. Der Korrelationsoperator kann von den Zuständen auf die Operatoren übergewälzt werden, so daß formal mit einer effektiven oder korrelierten Wechselwirkung und den unkorrelierten Slaterdeterminanten der FMD gerechnet werden kann.
3.1. Unitärer Korrelator Die Grundidee des unitären Korrelators ist es, die Relativwellenfunktion zweier Nukleonen im Bereich des kurzreichweitigen abstoßenden Teil der Wechselwirkung zu unterdrücken. Dies soll im Gegensatz zur Jastrow-Methode, die die Wellenfunktion durch Multiplikation mit einer Korrelationsfunktion im Bereich des Cores unterdrückt, durch die Anwendung eines unitären Korrelationsoperators C bewirkt werden. ∼ Die Unitarität des Korrelationsoperators C wird durch die Definition mittels eines hermiteschen ∼ Generators ∼S garantiert C = exp{−iS }. ∼ ∼
(3.1)
S ist ein Zweiteilchenoperator, dessen anschauliche Bedeutung am besten in der Weyl-Darstel-
∼
21
3.
Wechselwirkungen
lung zu erkennen ist: S=
Z
∼
Z
Z
Z
d x1 d x2 d k1 d 3 k2 O(~x12 ;~k12 ) × 3
3
3
Z
1
Z
~
~
d u1 d 3 u2 eik1 ·~u1 eik2 ·~u2 × 3
(2π )6
∑
χ χ 0 ,ξ ξ 0
† Ψ (~x + ∼χξ 1
(3.2)
~u1 † ~u2 ~u2 ~u1 x2 + )Ψ x2 − )Ψ x1 − ) . )Ψ 0 ξ 0 (~ χ 0 ξ 0 (~ χ ξ (~ χ ∼ ∼ ∼ 2 2 2 2
Die dritte Zeile stellt dabei den über Spin- und Isospin summierten Zweiteilchen-Wigner-Operator dar. Bei reellem O(~x;~k) ist die Hermitizität von ∼S sichergestellt. Der Korrelator C soll eine vom Abstand abhängige Translation in der Relativkoordinate bewirken, ∼ so daß kleine Relativabstände zwischen den Nukleonen unterdrückt werden. Außerdem soll er translations- und Galilei-invariant sein. Dies wird durch den Ansatz ~x O(~x;~k) =~s(~x) ·~k = s(x) ·~k x
(3.3)
erreicht. Mit dieser Definition kann ∼S nun deutlich vereinfacht werden. Nach Einführung von Relativ- und Schwerpunktkoordinaten ~X = 1 (~x1 +~x2 ) 2 ~ =~k1 +~k2 K
~x = ~x1 −~x2 ~k = 1 (~k1 −~k2 ) 2
~ = 1 (~u1 +~u2 ) U 2
~u = ~u1 −~u2
(3.4) (3.5) (3.6)
~ integriert werden. Partielle Integration über ~u ist im Hilbertraum lokalisierter Zukann über U stände möglich, was auf S= ∼
Z
Z
Z
d 3 x d 3 k ~s(~x) ·
∑
1
Z
~
d 3 u eik·~u × 3 (2 π ) χ χ 0 ,ξ ξ 0 ← − − → ~x ~u † ~ ~x ~u 1 ∂ ~x ~u ~x ~u ∂ † ~ ~ ~ Ψ ( X + ( X − 0 0 ( X − ( X + + )Ψ − ) − Ψ + )Ψ − ) 0 0 ∼χξ 2 4 ∼χ ξ 2 4 2i ∂~x ∂~x ∼ χ ξ 2 4 ∼χξ 2 4 (3.7) d3X
führt und schließlich nach Integration über ~k und ~u S= ∼
∑
χ χ 0 ,ξ ξ 0
Z
Z
d3X
d 3 x~s(~x) ·
← − − → ~x † ~ ~x 1 ∂ ~x ~x ∂ ~ ~ ~ Ψ (X + )Ψ (X + ) (3.8) ) − Ψ 0 0 (X − )Ψ 0 0 (X − ∼χξ 2 ∼χ ξ 2 2i ∂~x ∂~x ∼ χ ξ 2 ∼χξ 2 †
22
3.2.
Teilchenzahlentwicklung
ergibt. Im Hilbertraum lokalisierter Zustände und unter der Bedingung, daß ∇s(x) keine Singularität im Ursprung aufweist, kann die nach links wirkende Ableitung nach rechts gebracht werden: S=i ∼
∑
χ χ 0 ,ξ
Z
Z
d3X ξ
d3x ×
0
~x † ~ ~x 1 ∂s(x) s(x) ∂ ~ ~ ~x χ ξ (~X + ~x ) . (3.9) Ψ (X + )Ψ ) + + s(x) Ψ 0 ξ 0 (X − χ 0 ξ 0 (X − )Ψ χ ∼χξ ∼ ∼ 2 2 2 ∂x x ∂x 2 ∼ 2 †
Die Wirkung des Korrelators auf einen Zweiteilchenzustand Φ ist damit
~X,~x e−iS∼ Φ = exp − 1 s0 (x) − s(x) − s(x) ∂ ~X,~x Φ . 2 x ∂x
(3.10)
3.1.1. Bestimmung des Korrelators Der Korrelator ist von der verwendeten Wechselwirkung abhängig. Seine wesentliche Aufgabe ist es, die Relativwellenfunktion zweier Nukleonen im Bereich des kurzreichweitigen abstoßenden Cores der Wechselwirkung zu unterdrücken. Die Kriterien für die Bestimmung des Korrelators sollen hier kurz skizziert werden. Für eine ausführliche Diskussion sei auf [Rot97] und [FNRS98] verwiesen. Zur Bestimmung des Korrelators wird zunächst das Zweiteilchenproblem betrachtet. Bei der Wahl des Korrelators ist jedoch auch zu berücksichtigen, daß er später auf die Versuchswellenfunktionen der FMD angewendet werden soll. Mit einem einfachen Ansatz für die Relativwellenfunktion, gaußförmig wie in der FMD, oder gaußförmig bei kleinen Abständen und exponentiell abfallend im äußeren Bereich, kann nach einem Korrelator gesucht werden, der zu maximaler Bindung führt. Da der Korrelator nicht nur auf Zweiteilchen-, sondern vor allem auch auf Vielteilchenprobleme angewendet und genuine Drei- und Mehrteilchenkorrelationen nicht berücksichtigt werden sollen, ist die Forderung nach Kurzreichweitigkeit des Korrelators essentiell und muß in die optimale Wahl des Korrelators beim Zweiteilchenproblem eingehen.
3.2. Teilchenzahlentwicklung Die Berechnung von Matrixelementen eines Operators ∼ B in den korrelierten Zuständen Qˆ = Q erfolgt sinnvollerweise nicht durch Korrelation der Zustände, sondern durch die AuswerC ∼ tung des korrelierten Operators Bˆ = C† BC in den unkorrelierten Zuständen Q . ∼
∼ ∼∼
0 † 0 Qˆ ∼ B Qˆ = Q C BC Q ∼ ∼∼
0 = Q ∼ Bˆ Q
(3.11)
23
3.
Wechselwirkungen −iS ∼
Der Korrelator C =e ∼
wird durch Exponentiation des Zweiteilchenoperators ∼ S gebildet. C ∼
ist damit zwar teilchenzahlerhaltend, aber ein Einteilchenoperator ∼ B=∼ B[1] , der korreliert wird, besitzt neben dem Einteilchenanteil auch Komponenten höherer Ordnung in der Teilchenzahl Bˆ = ∼ Bˆ [1] + ∼ Bˆ [2] + ∼ Bˆ[3] + . . . .
∼
(3.12)
Entsprechend gilt für einen Zweiteilchenoperator ∼ B=∼ B[2] Bˆ = ∼ Bˆ [2] + ∼ Bˆ [3] + . . . .
∼
(3.13)
Die Zerlegung eines korrelierten Operators in seine Komponenten verschiedener Ordnung in der Teilchenzahl wird als Teilchenzahlentwicklung bezeichnet. Für die Teilchenzahlentwicklung in einer orthonormalen Einteilchenbasis k gilt
ˆ [1] = ∑ k C† BC k0 a† a 0 = ∑ k B k0 a† a 0 B (3.14) ∼ ∼ ∼ k∼ k ∼k ∼k ∼ ∼∼ k,k0
k,k0
†
† † 1 Bˆ [2] = ∑ a k1 , k2 C BC −∼ Bˆ[1] k10 , k20 a ∼ ak1∼ ak2∼ak0 ∼ak0 ∼ ∼ ∼ 2 1 4 k1 ,k2
(3.15)
∼
k10 ,k20
.. . Bˆ [n] = ∼
n−1 †
1 C k Bˆ [i] k10 , k20 , . . . , kn0 a ∼a†k1∼ , k , . . . , k B C − a†k2 · · · ∼ a†kn ∼ak0 · · · ∼ak0 ∼ak0 . a 1 2 n ∑ ∑ 2 ∼ ∼ ∼ ∼ n 2 1 (n!) k1 ,k2 ,... ,kn i=1 k10 ,k20 ,... ,kn0
(3.16) Es werden also in einer bestimmten Ordnung in der Teilchenzahl die Beiträge aller niedrigeren Ordnungen abgezogen, um den irreduziblen Anteil zu erhalten. Für die Zwecke der FMD wird die Teilchenzahlentwicklung nach der zweiten Ordnung abgebrochen1 . Für einen Hamiltonoperator mit Zweiteilchenwechselwirkung [1] [2] H =H +H =T +V ∼ ∼ ∼ ∼ ∼
(3.17)
ˆ [2] = Tˆ [2] + Vˆ [2] , H ∼ ∼ ∼
(3.18)
gilt damit ˆ [1] = T , H ∼ ∼
ˆ ≈ Hˆ [1] + Hˆ [2] . H ∼ ∼ ∼
3.2.1. Cluster-Zerlegung Eine sehr wichtige Eigenschaft jeder Teilchenzahlentwicklung sollte sein, daß räumlich separierte Systeme durch die Entwicklung keinen Einfluß aufeinander ausüben. Diese Eigenschaft, die man als Cluster-Zerlegungs-Eigenschaft (cluster decomposition property) bezeichnet, darf weder 1 Eine
24
Abschätzung der Dreiteilchenbeiträge ist in [Rot97] zu finden
3.3.
Korrelierte Wechselwirkung
durch den Korrelator C noch durch den Abbruch der Teilchenzahlentwicklung nach der zweiten ∼ Ordnung zerstört werden. Entscheidend ist hierbei die Kurzreichweitigkeit des Korrelators C . Dadurch verschwinden die ∼ Matrixelemente zwischen räumlich separierten Zuständen für die Differenz zwischen korrelierten und unkorrelierten Operatoren. Da die Korrelationen nur über die Matrixelemente wirken und in der Teilchenzahlentwicklung keine Entwicklungen von Normierungsnennern vorgenommen werden, übertragen sich diese Eigenschaften der Cluster-Zerlegung auch auf die einzelnen Terme der Teilchenzahlentwicklung. Damit sind der Korrelator C und die genäherten korrelierten ∼ Operatoren invariant unter der Cluster-Zerlegung.
3.3. Korrelierte Wechselwirkung Durch den Abbruch der Clusterentwicklung kann die Berechnung aller Erwartungswerte auf die Bestimmung von Ein- und Zweiteilchenmatrixelementen zurückgeführt werden.
Korrelation als Koordinatentransformation Der Korrelator C wurde bisher mittels des Generators ∼S bzw. durch die sie bestimmende Funk∼ tion s(x) definiert. Eine alternative aber dazu äquivalente Definition des Korrelators ist mit den Korrelationsfunktionen R+ und R− möglich [Rot97, FNRS98]. Die Korrelationsfunktionen sind dabei wie folgt definiert: Z R− (x) dt x
s(t)
= −1 ,
Z R+ (x) dt x
s(t)
= +1 .
(3.19)
Die Korrelationsfunktionen R+ und R− sind zueinander invers R± (R∓ (x)) = x ,
(3.20)
woraus sich auch die Eigenschaft R0± (x) =
1 R0∓ (R± (x))
(3.21)
der Ableitungen herleiten läßt. Die korrelierte Zweiteilchenwellenfunktion läßt sich nun mit den Korrelationsfunktionen R+ oder R− ausdrücken p R (x) R0+ (x) ~x
~X,~x C Φ = + ~X, R+ (x) Φ (3.22) ∼ x x p R (x) R0− (x) ~x
~X,~x C Φ = − ~X, R− (x) Φ . (3.23) ∼ x x
25
3.
Wechselwirkungen
Parametrisierung des Korrelators Die Korrelationsfunktion kann prinzipiell frei gewählt werden. Es hat sich jedoch eine Parametrisierung der Korrelationsfunktion mit wenigen Parametern bewährt. In der Parametrisierung R+ (r) = r + α (r/β )η exp{− exp(r/β )}
(3.24)
sind die essentiellen Forderungen an den Korrelator berücksichtigt. Der Kurzreichweitigkeit der Korrelation wird durch den doppelt exponentiellen Abfall Rechnung getragen, so daß asymptor→∞ tisch R+ (r) −→ r gilt. In Abbildung 3.1 ist beispielhaft die Korrelationsfunktion für das Malfliet V-Potential dargestellt. 0.15
R+ (r) − r
0.125
[fm]
0.1 0.075 0.05 0.025 0 0
0.5
1
1.5 r [fm]
2
2.5
3
Abbildung 3.1.: Korrelationsfunktion R+ für das Malfliet V-Potential
3.3.1. Zentralpotential 0 0
~X ,~x = δ (~X − ~X 0 )δ (~x −~x0 )V (x) gilt im Für Matrixelemente eines lokalen Potentials ~X,~x V ∼ Zweiteilchenraum
† Ψ C VC Φ = ∼ ∼∼ Z Z
† 3 ~X,~x V (x) ~X,~x C Φ = d X d3x Ψ C ∼ ∼ (3.25) Z Z q
~x R− (x) R− (x) q 0 ~x = d 3 X d 3 x Ψ ~X, R− (x) R0− (x)V (x) R− (x) ~X, R− (x) Φ . x x x x Durch die Substition ~x ~r = R− (x) (3.26) x ergibt sich
† Z 3 Z 3
Φ = d X d r Ψ ~X ,~r V (R+ (r)) ~X,~r Φ . Ψ C V C (3.27) ∼ ∼∼ Für das korrelierte Potential in zweiter Teilchenzahlordnung gilt damit
~X,~x Vˆ ~X 0 ,~x0 = δ (~X − ~X 0 )δ (~x −~x0 )Vˆ [2] (x) = δ (~X − ~X 0 )δ (~x −~x0 )V (R+ (x)) . ∼
26
(3.28)
3.3.
Korrelierte Wechselwirkung
3.3.2. Kinetische Energie Die korrelierte kinetische Energie im Zweiteilchenraum zerfällt in einen Ein- und einen Zweiteilchenanteil:
† [2] [1] ˆ Φ + Ψ Tˆ Φ Ψ C TC Φ = Ψ T ∼ ∼ ∼ ∼∼
† Φ + Ψ T Φ . = Ψ C T C − T ∼ ∼ ∼ ∼∼
(3.29)
Für den Zweiteilchenanteil benutzt man Schwerpunkt- und Relativkoordinaten.
2 2 [2] Z 3 Z 3 †
1 ∂ 1 ∂ ~X,~x C Φ − ˆ Φ = d X d x Ψ C ~X,~x Ψ T − 2 − 2 ∼ ∼ ∼ 2m 2 ∂~X 2 ∂~x Z Z 2 2
1 ∂ 1 ∂ d 3 X d 3 x Ψ ~X,~x − 2 2 ~X,~x Φ − 2m 2 ∂~X 2 ∂~x
(3.30)
Da der Korrelator nur auf die Relativwellenfunktion wirkt, heben sich die Beiträge des Schwerpunktimpulses für die korrelierten und die unkorrelierten Zustände weg. Durch partielle Integration ergibt sich
− − → [2] Z 3 Z 3 † ← ∂ 1 ∂ ~ ~ ˆ Ψ T Φ = d X d x Ψ C X,~x Φ − X,~x C ∼ ∼ ∼ ∂~x m ∂~x − − → Z Z
← ∂ 1 ∂ ~ d 3 X d 3 x Ψ ~X,~x X,~x Φ . ∂~x m ∂~x
(3.31)
Im ersten Integral wird nun auf die Koordinate ~r ~x = r x
r = R− (x),
(3.32)
transformiert. Dabei gilt
R+ (r) 2 0 d x = dΩ dx x 7→ dΩ dr r R+ (r) , r ∂ r ∂ 1 ~r ∂ 7→ + , ∂~x R+ (r) ∂Ω R0+ (r) r ∂r
r ~X,~x C Φ 7→ ~X,~r Φ . p 0 ∼ R+ (r) R+ (r) 3
2
2
(3.33) (3.34) (3.35)
27
3.
Wechselwirkungen
Somit ist
[2] Ψ Tˆ Φ = =
Z
∼
Z
3
d X
Z
dΩ
dr r
2
R+ (r) r
2
R0+ (r)
← − → −
r r ∂ 1 1 1 ∂ ~X,~r Φ p p × R+ (r) R0+ (r) ∂r R0+ (r) m R0+ (r) ∂r R+ (r) R0+ (r) (3.36) −→
←− ∂ r 1 r ∂ ~X,~r Φ + Ψ ~X,~r ∂Ω R+ (r) m R+ (r) ∂Ω −→ − − → ←− Z Z
← ∂ 1 ∂ ~ ~ ∂ 1 ∂ ~ 3 3 ~ − d X d x Ψ X,~x X,~x Φ + Ψ X,~x X,~x Φ . ∂x m ∂x ∂Ω mx2 ∂Ω Ψ ~X,~r
~l = ~x × 1 ∂ ergibt sich Mit dem Operator des Relativdrehimpulses ∼ i ∂~x ∼
[2] ˆ Φ = Ψ T ∼
Z
∼
−− →
← 1 1 ~X,~x ∂ ∂ ~X,~x Φ + d3X d3x − 1 Ψ 0 m R+ (x)2 ∂x ∂x 2
1
x − 1 Ψ ~X,~x ~∼l 2 ~∼l ~X ,~x Φ + 2 R+ (x) x 000 00 R00+ (x) ~ ~ 1 1 R+ (x) 5 R+ (x) 2 + 2 − Ψ X,~ x X,~ x Φ . R0+ (x)2 2 R0+ (x) 4 R0+ (x) xR0+ (x) (3.37) Z
Der Zweiteilchenanteil der korrelierten kinetischen Energie läßt sich somit als − ~ ~0 0 −→
← ~X ,~x Tˆ [2] ~X 0 ,~x0 = ∂ δ (X − X )δ (~x −~x ) ∂ ∼ ∂x 2µr (x) ∂x0 δ (~ X − ~X 0 )δ (~x −~x0 )~ 0 l + δ (~X − ~X 0 )δ (~x −~x0 ))Uˆ [2] (x) + ~∼l ∼ 2µ(x)x2 schreiben, wobei µr (x) und µ(x) ortsabhängige effektive Massen 1 1 1 1 1 x2 −1 , −1 = = 2µr (x) m R0+ (x)2 2µ(x) m R+ (x)2 und Uˆ [2] (x) den Potentialbeitrag 1 1 Uˆ [2] (x) = 0 m R+ (x)2
1 R000 5 + (x) − 0 2 R+ (x) 4
R00+ (x) R0+ (x)
2
R00 (x) + 2 +0 xR+ (x)
(3.38)
(3.39)
(3.40)
bezeichnen. Für die Berechnung von Matrixelementen in der FMD sind kartesische Koordinaten gegenüber Polarkoordinaten vorteilhaft. Es ergibt sich die Zerlegung ˆ [2] = Tˆ [2] ˆ [2] + Tˆ [2] T +T ∼ ∼r ∼~r ∼ pot
28
(3.41)
3.3.
Korrelierte Wechselwirkung
mit
− −→ 0 0 ← ∂ δ (~X − ~X 0 )δ (~x −~x0 ) ∂ ~ ~X,~x Tˆ [2] X ,~x = , ∼r ∂x 2µ?r (x) ∂x0 − ~ ~0 0 −→
← ~X ,~x Tˆ [2] ~X,~x = ∂ δ (X − X )δ (~x −~x ) ∂ ∼~r ∂~x 2µ(x) ∂~x0
(3.42) (3.43)
und
0 0 ~X ,~x = δ (~X − ~X 0)δ (~x −~x0 )Uˆ [2] (x) ~X,~x Tˆ [2] ∼ pot
(3.44)
mit der radialen reduzierten Masse µ?r : 1 x2 1 1 . − = 2µ?r (x) m R0+ (x)2 R+ (x)2
(3.45)
Die Korrelationsfunktion R+ und die einzelnen Beiträge zur korrelierten Wechselwirkung sind am Beispiel des Malfliet V-Potentials (siehe auch Anhang C.1) in Abbildung 3.2 illustriert. Die Korrelationsfunktion R+ (siehe Abbildung 3.1) besitzt eine Reichweite von etwa 1.5 fm. 200
100
V(r) Vˆ [2] (r)
150
0
[MeV]
[MeV]
100 50
-100 -200
0 -50
-300
-100
-400
ˆ [2] (r) U
0
0.5
1
1.5 2 r [fm]
2.5
3
3.5
0
1
30
1
1.5 2 r [fm]
2.5
3
3.5
0
2µ?r (r)
25
-10
20
[MeV fm2 ]
[MeV fm2 ]
0.5
15
-20
-30
10 5
1
-40 0
0.5
1
1.5 2 r [fm]
2.5
3
3.5
2µ(r)
0
0.5
1
1.5 2 r [fm]
2.5
3
3.5
Abbildung 3.2.: Korreliertes Vˆ [2] (r) und unkorreliertes Potential V (r), Potentialbeitrag Uˆ [2] (r) und reduzierte Massen µ?r (r) und µ(r) der korrelierten kinetischen Energie.
29
3.
Wechselwirkungen
3.3.3. Spin- und isospinabhängige Korrelatoren Das Malfliet V-Potential ist ein reines Wigner-Potential und weist damit keine Abhängigkeit von Spin- und Isospin auf. Will man das Konzept des unitären Korrelators auch auf andere (zentrale) Wechselwirkungen anwenden, die in den verschiedenen Spin-Isospin-Kanälen unterschiedlich wirken, so ist für jeden Spin- und Isospinkanal ein eigener Korrelator zu bestimmen. Der Generator ∼ S für den Korrelator zerfällt dann in vier Beiträge. Mit den Projektoren ΠST auf die Singulett- und Triplettkanäle für Spin und Isospin S = 0, 1 und T = 0, 1 ergibt sich unter Ausnutzung der Projektoreigenschaften C = exp −i ∑ Π S ∼ ST ∼ST ∼ ST
= ∑Π . exp −iS ST ST ∼ ∼
(3.46)
ST
Die Bestimmung der einzelnen Korrelationsfunktionen erfolgt nach den gleichen Kriterien wie bei einem Wigner-Potential.
3.3.4. Ausblick: Tensor- und Spin-Bahn-Korrelationen Realistische Wechselwirkungen, wie das Argonne- [WSA84], das Paris- [LLR+80], das BonnPotential [Mac89] oder das Nijmegen-Potential [SKTS94] bauen auf Mesonenaustauschmodellen auf. Dementsprechend besitzen diese Wechselwirkungen auch Tensor- und Spin-Bahn-Komponenten. Insbesondere der Tensor-Anteil liefert einen beträchtlichen Beitrag zur Bindung. Werden bei einem realistischen Potential wie dem Argonne-Potential nur die durch den kurzreichweitigen abstoßenden Teil der Wechselwirkung induzierten Korrelationen aber keine Tensorkorrelationen berücksichtigt, so ergeben sich mit den FMD-Zuständen keine gebundenen Zustände. Der Erwartungswert des Tensors verschwindet für abgeschlossene Schalen, da die Zustände nicht die notwendigen Korrelationen zwischen Ort und Spin beinhalten. −iS
Um die Tensor-Korrelationen durch einen entsprechenden Korrelator C = e ∼ darstellen zu kön∼ nen, muß der Generator S(~∼r ,~∼k, ~σ∼ 1 , ~σ∼ 2 ) in geeigneter Weise von den Spins der Teilchen abhängen. Die genaue Form wird Gegenstand zukünftiger Untersuchungen sein. Es ist jedoch schon anzumerken, daß die anziehenden Tensorkorrelationen langreichweitiger als die kurzreichweitigen abstoßenden Korrelationen sind, so daß möglicherweise die Dreiteilchenanteile des korrelierten Operators nicht mehr vernachlässigbar sind. Ähnliches gilt für die Spin-Bahn-Wechselwirkung.
30
4. Grundzustände
Die stationären Zustände eines Kerns sind in der FMD durch das zeitunabhängige Variationsprinzip
Qˆ Qˆ H ∼ δ =0 Qˆ Qˆ
(4.1)
definiert. Der Grundzustand ist somit durch das absolute Minimum der Hamiltonfunktion (2.16) im Raum der Parameter qν gegeben. Lokale Minima entsprechen im Rahmen der genäherten Bewegungsgleichungen der FMD stationären Zuständen und können als angeregte Zustände interpretiert werden. Die Bestimmung eines FMD-Zustandes ist somit technisch als Minimierungsproblem im hochdimensionalen Parameterraum zu betrachten. Zur Lösung dieses Minimierungsproblems hat sich ein Quasi-Newton-Verfahren[LN89] bewährt. Es werden im allgemeinen alle Parameter frei variiert. Etwaige Symmetrien des Kerns werden also nicht von außen aufgezwungen, sondern ergeben sich direkt als Resultat der Minimierung der Hamiltonfunktion. Bei kleinen Kernen wird damit ausgehend von zufällig gewählten Ausgangszuständen sehr schnell und zuverlässig das Minimum gefunden. Abbildung 4.1 zeigt anhand von Dichteschnitten durch 16 O die Konvergenz des Verfahrens. Ausgehend von einem zufällig gewählten Ausgangszustand findet der Kern über eine α -Cluster Struktur in den Iterationsschritten 6 bis 8 in den energetisch deutlich niedriger liegenden schalenmodellartigen Grundzustand. Bei größeren Kernen ist das Verfahren problematischer. Es ist hier sehr leicht möglich, Ausgangszustände zu wählen, die eine fast singuläre Überlappmatrix besitzen. In der Folge werden im Laufe der Minimierung oftmals einzelne Nukleonen aus dem Kernverbund ausgestoßen. Dies entspricht dem Verhalten von angeregten Kernen in der Natur, die überschüssige Anregungsenergie durch Teilchenemission abgeben. Für kritische Fälle bietet sich eine Vorminimierung mit dem “frictional cooling”-Verfahren an. Hierbei wird eine Zeitentwicklung mit komplexen Zeitschritten durchgeführt, so daß dem Kern in jedem Zeitschritt Energie entzogen wird und er abkühlt. Man kann dieses Verfahren auch benutzen, um in einer dynamischen Rechnung zwei kleine Kerne zu fusionieren und dabei gleichzeitig zu kühlen. Die Fusion zweier 20 Ne-Kerne zu 40 Ca ist in Abbildung 4.2 dargestellt. Der numerische Hauptaufwand für die Minimierung liegt in der Berechnung der Gradienten der Hamiltonfunktion, die die Ableitungen der Matrixelemente (siehe Anhang) voraussetzen.
31
4.
Grundzustände
6
0: H-Tcm = 300.6 MeV
8: H-Tcm = -82.5 MeV
16: H-Tcm = -103.8 MeV
2: H-Tcm = 177.9 MeV
10: H-Tcm = -92.4 MeV
18: H-Tcm = -104.3 MeV
4: H-Tcm = 21.4 MeV
12: H-Tcm = -99.8 MeV
20: H-Tcm = -104.7 MeV
6: H-Tcm = -59.4 MeV
14: H-Tcm = -101.2 MeV
22: H-Tcm = -105.3 MeV
4
y [fm]
2 0 -2 -4 -6 6 4
y [fm]
2 0 -2 -4 -6 6 4
y [fm]
2 0 -2 -4 -6 6 4
y [fm]
2 0 -2 -4 -6 -6
-4
-2
0 x [fm]
2
4
6
-6
-4
-2
0 x [fm]
2
4
6
-6
-4
-2
0 x [fm]
2
4
6
Abbildung 4.1.: Minimierung von 16 O aus einem zufällig gewählten Ausgangszustand für die ATS3M-Wechselwirkung. Gezeigt ist jeweils die über die z-Achse integrierte Ortsraumdichte ρ (1) (~x). Die Minimierung endet nach 52 Iterationen mit einer Bindungsenergie EB = −107.3 MeV
32
10
1: H-Tcm = 691.8 MeV
13: H-Tcm = 58.9 MeV
25: H-Tcm = -164.9 MeV
4: H-Tcm = 459.3 MeV
16: H-Tcm = -21.4 MeV
28: H-Tcm = -188.9 MeV
7: H-Tcm = 288.9 MeV
19: H-Tcm = -83.2 MeV
31: H-Tcm = -204.5 MeV
10: H-Tcm = 160.0 MeV
22: H-Tcm = -130.3 MeV
34: H-Tcm = -214.6 MeV
y [fm]
5
0
-5
-10 10
y [fm]
5
0
-5
-10 10
y [fm]
5
0
-5
-10 10
y [fm]
5
0
-5
-10 -10
-5
0 x [fm]
5
10 -10
-5
0 x [fm]
5
10 -10
-5
0 x [fm]
5
10
Abbildung 4.2.: Vorminimierung eines 40 Ca durch Fusion zweier 20 Ne-Kerne mit komplexen Zeitschritten. Gezeigt ist jeweils die über die z-Achse integrierte Ortsraumdichte ρ (1) (~x).
33
4.
Grundzustände
4.0.1. Schwerpunkt Der Versuchszustand der FMD ist ein antisymmetrisierter Produktzustand. Es ist damit im allgemeinen nicht möglich, die Schwerpunktsbewegung abzuseparieren. Die Verwendung von Jakobi-Koordinaten, die invariant unter Translationen und damit unabhängig vom Schwerpunkt sind [VS95], ist für Nukleonenzahlen größer etwa 8 oder für dynamische Rechnungen nicht praktikabel. Kiderlen und Danielewicz haben in [KD96] eine Breitenmatrix akl benutzt, die im Sinne eines verallgemeinerten gaußschen Ansatzes
1 −1 ~x1 , . . . ,~xA Ψ = exp a kl (~xk −~bk )(~xl −~bl ) ⊗ Spin ⊗ Isospin 2
(4.2)
alle Teilchenkoordinaten miteinander verknüpft. Da alle Variablen bilinear vorkommen, läßt sich die Schwerpunktskoordinate abseparieren. Ein solcher Zustand kann jedoch nicht mehr durch ein einzelnes Produkt von Einteilchenzuständen dargestellt werden. Die Antisymmetrisierung ist damit praktisch nicht durchführbar. Die einfachste Möglichkeit, die im Versuchszustand enthaltene Schwerpunktsenergie zu berücksichtigen, besteht darin, zur Bestimmung der intrinsischen Bindungsenergie vom Hamiltonoperator H den Operator ∼ T = ∼ cm
1 ~2 K 2Am ∼
(4.3)
der kinetischen Energie des Schwerpunkts abzuziehen. Der Abzug der kinetischen Energie des Schwerpunkts kann vor oder nach dem Minimieren erfolgen:
EB = H − T . ∼ ∼ cm
(4.4)
Im ersten Fall erhält man im allgemeinen stärkere Bindung aber auch instationäre Grundzustände, bei denen es bei der Zeitentwicklung mit dem vollen Hamiltonoperator H zu Oszillationen ∼ zwischen der intrinsischen Energie und der Energie der Schwerpunktsbewegung kommt. Bei Zeitentwicklung mit H −T ist dies nicht der Fall, aber wenn mehrere Kerne oder Fragmente ∼ ∼ cm vorkommen, müßten die Schwerpunktsenergien der einzelnen Systeme abgezogen werden. Wegen der Ununterscheidbarkeit der Nukleonen ist dies jedoch nicht möglich, die kinetische Energie des Schwerpunkts T kann bei räumlich überlappenden Kernen nur für das Gesamtsystem sinn∼ cm voll definiert werden.
4.0.2. Drehimpuls, Parität und Zeitumkehr Die Grundzustände der FMD sind im allgemeinen intrinsisch deformiert und besitzen somit keinen definierten Drehimpuls und kein definiertes Verhalten bezüglich Parität und Zeitumkehr.
34
Zustände mit den gewünschten Quantenzahlen können durch Projektion gewonnen werden. Bei Parität und Zeitumkehr ist dies problemlos möglich. Die Projektion auf festen Drehimpuls erfordert jedoch größeren numerischen Aufwand, da über die Raumwinkel mit den entsprechend gedrehten Zuständen integriert werden muß. Im betrachteten Koordinatensystem sei der Kern im Ursprung lokalisiert und in Ruhe. Es gelte also
~X = 0, ~ =0. K (4.5) ∼ ∼ Die Projektionsoperatoren auf Zustände definierter Parität sind damit über ± 1 ± ˆ Qˆ ˆ Q = =Π (1 ± π ) 2 ∼ ∼ Q ∼
(4.6)
mit dem Operator π∼ der Punktspiegelung am Ursprung verknüpft. Der Projektionsoperator auf Zustände mit definiertem Verhalten unter Zeitumkehr ist entsprechend durch ± Θ = 12 (1 ±θ ) ∼ ∼ ∼
(4.7)
mit dem Zeitumkehroperator θ∼ gegeben. Die Projektion auf Zustände definierten Drehimpulses Z Z JM Z Qˆ Qˆ =∼ PJM Qˆ = d α d(cos β ) d γ DJM (α , β , γ )R ( α , β , γ ) ∼
(4.8)
erfolgte mit den Drehmatrizen DJM und dem Rotationsoperator [Sak94] −iα ∼ J z −iβ ∼J y −iγ ∼ Jz
R(α , β , γ ) = e
∼
e
e
.
(4.9)
Die Paritätsoperation π∼ angewendet auf einen Einteilchen-FMD-Zustand ergibt a,~b ⊗ χ ⊗ ξ = a, −~b ⊗ χ ⊗ ξ . π ∼
(4.10)
Der Zeitumkehroperator θ∼ angewendet auf einen FMD-Einteilchenzustand ergibt ? ? ↓ = a ,~b ⊗ iχ , −iχ ↑ ⊗ ξ . θ∼ a,~b ⊗ χ ↑ , χ ↓ ⊗ ξ
(4.11)
Die Rotation eines FMD-Zustandes erfolgt schließlich durch R(α , β , γ ) a,~b ⊗ χ ↑ , χ ↓ ⊗ ξ = a, R(α , β , γ )~b ⊗ R(1/2) (α , β , γ ) χ ↑ , χ ↓ ⊗ ξ . ∼ (4.12) Hierbei ist R(α , β , γ ) die gewöhnliche Drehmatrix und R(1/2) (α , β , γ ) die halbzahlige Darstellung der Drehmatrix [Sak94]. Da der Hamiltonoperator mit den Symmetrieoperatoren für Parität, Zeitumkehr und Rotation ± ± JM vertauscht, gilt unter Ausnutzung der Projektoreigenschaft von R = Π ,Θ ,∼ P ∼ ∼ ∼
R Qˆ H R Qˆ Qˆ R Qˆ H
∼∼∼ ∼ ∼ = . H = (4.13) ∼ Qˆ R R Qˆ Qˆ R Qˆ ∼ ∼
∼
35
4.
Grundzustände
Zur Berechnung der Erwartungswerte greift man auf die Formeln (2.83, 2.84, 2.85) zurück. Als Alternative zur Projektion auf die gewünschten Quantenzahlen bietet sich die Behandlung in der Multikonfigurations-FMD an, siehe hierzu Abschnitt 2.6. Wie sich durch die Diagonalisierung des Hamiltonoperators in einer Basis aus rotierten FMD-Zuständen Drehimpulseigenzustände bestimmen lassen wird in Abschnitt 4.2.3 demonstriert.
4.1. Malfliet-Tjon V Von Malfliet und Tjon wurden eine Reihe von effektiven Potentialen zur Beschreibung des Tritons entwickelt. Das sogenannte MTV-Potential [MT69] besitzt nur einen Wigner-Term und einen kurzreichweitigen Core. Wegen seiner Einfachheit dient es in der Literatur als Benchmark für verschiedene Vielteilchen-Methoden. Zum Vergleich mit der FMD werden hier die Ergebnisse der Stochastic Variational Method (SVM) [VS95] und des Variational Monte Carlo (VMC) Verfahrens [Wir92] herangezogen. Wenn auch die MTV-Wechselwirkung die Kerne nicht richtig beschreibt, so zeigt doch der Vergleich mit diesen “exakten” Rechnungen, daß die Bindungsenergien, berechnet mit dem korrelierten Hamiltonoperator bereits in der Zweiteilchen-Cluster-Näherung für diese Wechselwirkung sehr gut übereinstimmen. Abschätzungen der Dreiteilchenbeiträge [Rot97, FNRS98] ergeben, daß deren Beiträge gering sind. Dies gilt sogar für 16 O, das eine etwa achtfach zu große zentrale Dichte aufweist. Das MTV-Potential überbindet hier, wie bei allen Kernen mit A größer 5, sehr stark. Die Wirkung des Korrelators läßt sich an den in Tabelle 4.1 dargestellten Resultaten erkennen. Neben der Bindungsenergie EB sind die Erwartungswerte der korrelierten kinetischen Energie
[2]
[2] ˆ ˆ T und der korrelierten potentiellen Energie V für den Grundzustand angegeben. Ver∼ int ∼ gleicht man diese mit den Erwartungswerten der unkorrelierten Wechselwirkung, so erkennt man
[2] ˆ eine deutliche Zunahme der korrelierten kinetischen Energie T gegenüber der unkorrelierten ∼ int
T int , dies wird jedoch durch die mehr als doppelt so starke Bindung des korrelierten Potentials
∼ [2]
ˆ V gegenüber dem unkorrelierten V mehr als ausgeglichen. Ohne Berücksichtigung der ∼ ∼ Korrelationen wären die Grundzustände im Rahmen der Versuchszustände der FMD nicht einmal gebunden.
4.1.1. Kernstruktur In den Abbildungen 4.3 und 4.4 sind Dichteschnitte in Orts- und Impulsraum für die FMDGrundzustände dargestellt. Die fehlenden Sättigungseigenschaften des MTV-Potentials zeigen sich in der mit der Nukleonenzahl immer weiter zunehmenden zentralen Dichte. Dies ist erwartungsgemäß von einer entsprechend breiten Impulsraumdichte begleitet. Im Gegensatz zu den im nächsten Kapitel vorgestellten ATS3M-Grundzuständen zeigt sich auch in keinem der Kerne α -Struktur.
36
3
4
3
He
-4
0
0.
1
-1
0.0
-2
01
-4 -3 2
4
4
4
-3
-4
-2
0 x [fm]
2
4
0.
00
1 0
1
-1
0 1 kx [fm-1]
0
He
0.0
1
1 0
01
-1
1 0.01
3
0.001
2
0.
2
6
1
-2
-4
-2
3
He
0.0
2
0.0 01
-2
4
-3
0.1
0.
-1
4
6
He
1
ky [fm-1]
3
0 1.51.0.5
1.5
2
0.
1.00.5
0. 1 0. 01
-2
0 1 kx [fm-1]
2 01
0
-1
3
He
0.
2
-2
ky [fm-1]
0 x [fm]
y [fm]
-2
-3
0.2
-4
y [fm]
1
1
01
1
00
-2
ky [fm-1]
1.5
ky [fm-1]
0.5
0. 0. 5 1 0.0 1
-2
0.
-1
1 0.0 1
1
0
He
0.00
0.
0. 01
5
2
1.0
0.
0
3
He
0.0
2
1 0.2 0.1
y [fm]
4
y [fm]
1
2
-2
5
He
2
0.0
0
3
0.0 1 0.0 01
-2
-4 -3 -4
-2
0 x [fm]
2
4
-3 -3
-2
-1
0 1 kx [fm-1]
2
3
-4
-2
0 x [fm]
2
4
-3
-2
-1
0 1 kx [fm-1]
2
3
4.1.
37
Malfliet-Tjon V
Abbildung 4.3.: Dichteplots für Grundzustände des MTV-Potentials. Links sind jeweils Schnitte der Ortsraumdichte ρ (~x)/ρ 0 in der x-y–Ebene dargestellt. Die Konturlinien liegen bei 0.01, 0.1, 0.5, 1.0 und 1.5. Rechts sind jeweils die Impulsraumdichten ρ (~k)/A, also die Dichte dividiert durch die Nukleonenzahl gezeigt. Die Konturlinien liegen bei 0.001, 0.01, 0.1, 0.2 und 0.4 fm3 .
3
7
0 -1
0.
-2
0.0
0 0..1 01
-2
01
-4
0
2
4
-2
-1
01
-4
0 .0 1
-2
0 x [fm]
2
0
2 y [fm]
0 0.
-2
0.0
0 x [fm]
2
4
-2
-1
0.0
1
-4 0 1 kx [fm-1]
2
3
-4
-2
0 x [fm]
O
0.01
0
0.0
-3 -3
3
2
4
-3
-2
01
-1
0 1 kx [fm-1]
2
3
Abbildung 4.4.: Dichteplots für Grundzustände des MTV-Potentials. Links sind jeweils Schnitte der Ortsraumdichte ρ (~x)/ρ 0 in der x-y–Ebene dargestellt. Die Konturlinien liegen bei 0.01, 0.1, 1.0, 4.0 und 8.0. Rechts sind jeweils die Impulsraumdichten ρ (~k)/A, also die Dichte dividiert durch die Nukleonenzahl gezeigt. Die Konturlinien liegen bei 0.001, 0.01, 0.1, 0.2 und 0.4 fm3 . 38
Grundzustände 4.
-2
2
-1
0.0 1
-3 -4
0 1 kx [fm-1]
1
-2
01
-4
0 -2
01
-1
16
2
0.0
-2
3
O
4
1
-1
-3
16
Be
1 .00
4
8.0 4.0 0 1. 0.1
ky [fm-1]
1
0.0
0 1. .1 0
y [fm]
3
1
0 -2
2
8
2 2
0 1 kx [fm-1]
3
Be
1
-3 -3
8
4
0.0 0.0
0.0
0 x [fm]
0
-4
ky [fm-1]
-2
1
-1
-3 -4
C
1
-2
01
0.0
0.001
-2
2
0.
01
ky [fm-1]
1. 0 0 0.0.1 1
1
4.0.0 1
y [fm]
1
0
0.0
1
12
1 00
2
0.1
0.0
2
C
4
0.001
2
3
12
Li
0.001
ky [fm-1]
Li
y [fm]
7
4
4.2.
3H 4
He 5 He 6 He 6 Li 7 Li 8 Be 12 C 16 O
ˆ [2] T ∼ int
35.13 75.60 127.62 193.56 198.46 290.96 392.63 942.50 1673.30
FMD korreliert
[2] Vˆ ∼
-41.62 -106.09 -170.07 -259.55 -264.52 -395.34 -551.11 -1500.01 -2952.07
EB
-6.49 -30.49 -42.45 -65.99 -66.06 -104.38 -158.48 -557.51 -1278.77
FMD unkorreliert
T V ∼ int ∼
30.04 60.34 103.95 156.78 161.53 235.04 312.26 698.02 1154.30
-23.56 -50.34 -86.65 -132.36 -137.76 -208.35 -284.12 -688.12 -1202.54
EB
6.48 10.00 17.30 24.42 23.76 26.69 28.14 9.90 -48.24
Afnan-Tang S3M
SVM E
VMC E
-8.25 -31.36 -43.48 -66.30
-8.27 -31.3 -42.98 -66.34
-83.40
-1194
Tabelle 4.1.: Grundzustände des MTV-Potentials. Alle Energien in MeV. Für die FMD-Werte wurde die Bindungsenergie EB (4.4) mit dem korrelierten Potential minimiert. Zum Vergleich sind die Erwartungswerte für das unkorrelierte Potential in den so gewonnen Zuständen ebenfalls berechnet worden. Für die Vergleichsrechnungen siehe [VS95](SVM) und [Wir92] (VMC).
39
4.
Grundzustände
4.2. Afnan-Tang S3M Das Afnan-Tang S3 Potential (ATS3)[AT68] mit Spin- und Isospinabhängigkeit wurde zur Untersuchung des Tritons entwickelt. Es überbindet für größere Massenzahlen ebenfalls sehr stark. Deshalb wurde ein modifiziertes ATS3 mit repulsivem Beitrag in den im Spin und Isospin symmetrischen Kanälen (S = 0, T = 0) und (S = 1, T = 1) vorgeschlagen [GFMP81]. Dieses modifizierte ATS3 (ATS3M) saturiert auch bei größeren Nukleonenzahlen und eignet sich somit auch für Rechnungen an größeren Kernen. Als Vergleich zu den FMD-Ergebnissen wurden Variationsrechnungen mit Jastrow-Korrelationen (VJ) [GFMP81], Fermi-Hypernetted-Chain Rechnungen (FHNC) [CFFL92] und Rechnungen mit korrelierten Basisfunktionen (CBF) [CFFS96] herangezogen. Hier liegen jedoch meist nur Ergebnisse für doppelt-magische Kerne vor. Die erzielten Bindungsenergien liegen mit etwa 8 MeV pro Nukleon in einem realistischen Bereich. Beim Vergleich mit den Ergebnissen von FHNC und CBF ist zu berücksichtigen, daß etwa beim 16 O zwischen den “exakten” Methoden Differenzen von etwa 10 % auftreten. Auch die Ergebnisse der FMD liegen in dieser Bandbreite. Im Falle des 12 C liegt die korrelierte FMD Energie wesentlich tiefer als die mit der CBF-Methode ermittelte. Hier zeigt sich die Flexibilität der FMD Zustände, die für 12 C eine stark ausgeprägte α -Struktur bevorzugen (siehe Abb. 4.5). Diese Struktur ist im Variationsraum der CBF hingegen nur ungenügend enthalten. Wie schon bei den MTV-Ergebnissen läßt sich auch in Tabelle 4.2 sehr deutlich die Wirkung des Korrelators erkennen, der, wie die Wechselwirkung, eine Spin-Isospin-Abhängigkeit aufweist.
[2] ˆ Der erhöhten kinetischen Energie T steht die noch sehr viel stärkere Bindung durch das ∼ int
[2] ˆ Potential V gegenüber. Auch mit der unkorrelierten ATS3M-Wechselwirkung gäbe es für ∼ einzelne Slaterdeterminanten keine gebundenen Zustände.
4 He 6 He 7 Li 12 C 16 O 20 Ne 28 Si 40 Ca 48 Ca
ˆ [2] T ∼ int
FMD korreliert
[2] Vˆ
78.5 88.9 124.8 268.5 381.0 502.5 705.4 1108.7 1298.4
∼
-106.4 -100.9 -145.9 -329.8 -488.9 -630.0 -896.1 -1443.6 -1636.1
EB
-27.9 -12.0 -21.1 -61.3 -107.9 -127.5 -190.7 -334.9 -337.7
FMD unkorreliert
T V EB ∼ int ∼
59.6 73.0 101.2 212.2 296.7 391.4 549.3 848.5 1007.4
-54.1 -59.6 -85.3 -181.9 -266.7 -341.6 -494.6 -778.7 -896.4
5.5 13.4 17.0 30.3 29.1 49.8 54.8 69.8 111.0
VJ EB
FHNC EB
CBF EB
-107.7
-105.3
-25.8 -96.3
-335.6
-350.0
-24.2
-346.0 -363.4
Tabelle 4.2.: Grundzustände des ATS3M-Potentials. Alle Energien in MeV. Zur Bestimmung der Grundzustände wurde die Bindungsenergie EB für die korrelierte Wechselwirkung minimiert. Es sind ebenfalls die Erwartungswerte für die unkorrelierte Wechselwirkung in den Grundzuständen angegeben. Zum Vergleich Resultate von VJ [GFMP81], der FHNC [CFFL92] und CBF [CFFS96].
40
4.2.
Afnan-Tang S3M
4.2.1. Kernstruktur Ein sehr großer Vorteil der hier benutzten Versuchszustände liegt in der Variabilität der zugrundeliegenden Einteilchenbasis begründet. Die Gaußpakete der FMD besitzen nicht nur eine variable Breite, die es erlaubt, mehr oder weniger stark gebundene Nukleonen zu beschreiben, sondern vor allem auch die Freiheit, im Orts- und im Impulsraum beliebig verschoben werden zu können. Durch diese Freiheiten ist es möglich, mit einer relativ geringen Zahl von Parametern einen großen Teil des Hilbertraums abdecken zu können. Wie sich dieser prinzipielle Vorteil der FMD in den ATS3M-Grundzuständen manifestiert, ist in den Abbildungen 4.5 und 4.6 zu erkennen. Gezeigt werden Schnitte durch die Orts- und Impulsraumdichten für die jeweiligen Grundzustände. α -Struktur. Im Rahmen der FMD-Parametrisierung sind diese aus im Raum lokalisierten α -Teilchen zusammengesetzt. Daneben gibt es auch andere intrinsisch deformierte Grundzustände wie 7 Li und 28 Si, die keine eindeutige α -Struktur aufweisen.
12 C und 20 Ne zeigen eine deutliche
Besonders bemerkenswert sind jedoch 16 O und 40 Ca. Diese Kerne sind vollkommen radialsymmetrisch und besitzen keinerlei α -Struktur. Die Minimierung der Grundzustandsenergie ergibt breite, im Ursprung lokalisierte Gaußpakete, die im Impulsraum leicht verschoben sind. Durch Linearkombination dieser FMD-Einteilchenzustände erhält man eine Schalenmodellbasis [Sch93, FBS95]. Da eine Slaterdeterminante invariant unter unitären Transformationen der besetzten Einteilchenzustände ist, kann eine nichtorthogonale Gaußsche Basis den gleichen antisymmetrischen Vielteilchenzustand erzeugen wie eine orthogonale Einteilchenbasis.
41
0.01
1
2
-2
0.01
-4
-3
-6
0 x [fm]
2
4
-3
-2
-1
0 1 kx [fm-1]
2
3
-2
-1
0 1 kx [fm-1]
2
ky [fm-1]
3
3
16
O
2
0.1
0
-2
-3
0.5 0. 1 0.0 1
1 0 0.
-1
0.00
1
1
-2 -3
-6
-4
-2
0 2 x [fm]
4
6
-3
-2
-1
0 1 kx [fm-1]
2
3
Abbildung 4.5.: Dichteplots für Grundzustände des ATS3M-Potentials. Links sind jeweils Schnitte der Ortsraumdichte ρ (~x)/ρ 0 in der x-y–Ebene dargestellt. Die Konturlinien liegen bei 0.01, 0.1, 0.5, 1.0 und 1.5. Rechts sind jeweils die Impulsraumdichten ρ (~k)/A, also die Dichte dividiert durch die Nukleonenzahl gezeigt. Die Konturlinien liegen bei 0.001, 0.01, 0.1, 0.2 und 0.4 fm3 . 42
4.
Grundzustände
-4
6
O
01
0.01
-4
4
16
-2
0.0
-1
01
0 2 x [fm]
1 0.0
ky [fm-1]
2
0.
-2
6
Li
4
0
-4
01
1.0
7
-6
1.0
y [fm]
3
0.2
0.5
0. 1
-2
2
0.0
0.1
0
0 1 kx [fm-1]
y [fm]
Li
2
-1
3
7
4
-2
01
-3
-6 -3
0.0
-2
ky [fm-1]
4
1.0
y [fm]
ky [fm-1] 2
0 -1
0.1 0.01
-4
0.1
0 x [fm]
0
1.
1
01
-2
-2
C
2
0.2 0.1 1 0.0
-1
0
1.00.5
1.5
1
0. 01 0.0 01
12
0.0
00
0
-3 -2
01 0. 0.1
2
-4 -4
C
0.
1
3
12
4
1
0. 1 0. 01
-2
He
0.
1.00.5
0
6
4
2
0. 01
2 y [fm]
3
He
0.2
4
4
-3 -4
-2
0 2 x [fm]
4
6
6
-3
Si
0.01
-3
-2
-1
0 1 kx [fm-1]
2
3
ky [fm-1]
0.01
1.0
48
0.
1
-4
-2
3
Ca
00
1
0 0. 0 0. 1 00 1
ky [fm-1]
-1 -2
0.1 0.0 1
-6
2
1
-6
0 1 kx [fm-1]
0.
6
-3
-1
2 1
4
-4
-2
3
Ca
0.5
-2
-3
0.5
1
0.
0
6
0
0 2 x [fm]
4
48
-2
0.0
0 2 x [fm]
6
2
0
-2
1.0
1
01
-2
-4
0 0. .1 0 0.01 01
-3
1.
-4
-2
1.5
-6
0.1 0.0 1
4
-1
-6
-4
-6
Si
1
5 0.
-4
0. 0.0 1 1
28
0.1 1 0.0
-2
-1
3
0.00
0
2
2 0.
5
2
0 1 kx [fm-1]
0
1 0.5.0
0.0
0.1
-1
3
28
4
-2
Ca
0. 00 1
1
-2
1
-6
0
-6
y [fm]
y [fm]
ky [fm-1]
-2
-6
y [fm]
01
0. 00 1
0.01
1
-1
0.5
1.5
0. 0.
-4
1
0.5 0.1 0.0 1
-2
0
40
2
2
00
0.5
1.0
0
1
3
Ca
ky [fm-1]
0.1
0.1
01
2
2
40
4 0.
0
6
Ne
0.
.01
20
y [fm]
4
3
Ne
0.1
20
0.0
6
-3 0 2 x [fm]
4
6
-3
-2
-1
0 1 kx [fm-1]
2
3
4.2.
43
Afnan-Tang S3M
Abbildung 4.6.: Dichteplots für Grundzustände des ATS3M-Potentials. Links sind jeweils Schnitte der Ortsraumdichte ρ (~x)/ρ 0 in der x-y–Ebene dargestellt. Die Konturlinien liegen bei 0.01, 0.1, 0.5, 1.0 und 1.5. Rechts sind jeweils die Impulsraumdichten ρ (~k)/A, also die Dichte dividiert durch die Nukleonenzahl gezeigt. Die Konturlinien liegen bei 0.001, 0.01, 0.1, 0.2 und 0.4 fm3 .
4.
Grundzustände
4.2.2. Halo-Kerne Bisher wurden in der FMD, wie auch in den vorangegangenen Abschnitten, immer nur Einteilchenwellenfunktionen verwendet, deren Ortsanteil aus einem einzigen gaußförmigen Wellenpa ket a,~b besteht: q = a,~b ⊗ χ ⊗ ξ .
(2.5)
Insbesondere bei Halo-Kernen, die einzelne nur schwach gebundene Nukleonen aufweisen, ist diese Parametrisierung der Einteilchenwellenfunktion ungenügend. Mit nur einem einzelnen Gaußpaket ist es nicht möglich, den exponentiellen Abfall der Wellenfunktion und damit der Nukleonendichte bei großen Radien zu beschreiben. Anstatt nun von der Gaußform abzuweichen und z.B. exponentiell abfallende Einteilchenwellenfunktionen zu benutzen, werden für die Einteilchenzustände Superpositionen von Gaußpaketen q = ∑ c j a j ,~b j ⊗ χ ⊗ ξ (2.7) j=1,2
verwendet. Diese Parametrisierung erfolgt für alle Nukleonen gleichermaßen, und die Parameter unterliegen auch sonst keinerlei Einschränkungen. Die vorhandene “Infrastruktur” in Form der Matrixelemente kann dann direkt weiterverwendet werden. Die Eignung dieses Ansatzes soll in diesem Abschnitt an den He-Isotopen untersucht werden. Da die verwendete ATS3M-Wechselwirkung immer noch sehr weit von einem realistischen Potential entfernt ist, kann man eine Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen von vornherein nicht erwarten. Insbesondere fehlen Spin-Bahn- und Tensor-Wechselwirkungsbeiträge. Es kann jedoch gezeigt werden, daß die so erweiterte FMD-Basis einen in der Dichte exponentiell abfallenden Halo für einen Grundzustand ergibt. In Tabelle 4.3 sind die berechneten Bindungsenergien unter Verwendung von einem respektive zweier Gaußpakete pro Einteilchenwellenfunktion angegeben. In den Abbildungen 4.7-4.9 sind Schnitte durch die Ortsraumdichten und die radialen Dichteverteilungen für die jeweiligen Isotope dargestellt. Erwartungsgemäß sind bei 4 He die geringsten Effekte der erweiterten Einteilchenbasiszustände zu beobachten. Es ist eine etwa 0.4 MeV stärkere Bindung und ein exponentieller Abfall in der Dichteverteilung bei großen Radien feststellbar, ansonsten bleibt die Struktur jedoch unverändert. Wesentlich dramatischer stellen sich die Effekte bei den schwereren Isotopen dar. 5 He ist bei einem Gaußpaket pro Einteilchenwellenfunktion im Rahmen der FMD überhaupt nicht gebunden. Bei zwei Gaußpaketen existiert hingegen ein gebundener Zustand. Aus der Dichteverteilung läßt sich bei Vergleich mit 4 He erkennen, daß in der Kernoberfläche ein einzelnes nur sehr schwach gebundenes Neutron sitzt. Es ist auch gut zu erkennen, wie mit nur zwei Gaußpaketen ein praktisch exponentieller Abfall der Nukleonendichte reproduziert werden kann. Bei 6 He existiert bei einem Gaußpaket pro Einteilchenzustand zwar ein gebundener Zustand, durch die Erweiterung der Einteilchenbasis ergibt sich jedoch eine 3.5 MeV stärkere Bindung. Auffällig ist auch die damit verbundene Strukturveränderung. Bei zwei Gaußpaketen pro Einteilchenzustand bildet
44
4.2.
Afnan-Tang S3M
sich wieder ein α -Core mit gleichem Verlauf der Protonen- und Neutronendichte im Inneren des Kerns heraus. Bei nur einem Gaußpaket pro Einteilchenzustand besitzt der Versuchszustand anscheinend nicht genügend Freiheiten, um bei Anwesenheit zweier zusätzlicher Neutronen dem Pauli-Prinzip anders als durch die Reduzierung der zentralen Neutronendichte gerecht zu werden. Bei 7 He und 8 He lassen sich ähnliche Effekte beobachten. Die beträchtlichen Gewinne in der Bindungsenergie sind jedoch nicht mit solch drastischen Änderungen in der Kernstruktur verbunden wie beim 6 He. Um auch die experimentell beobachteten Paarkorrelationen zwischen den Haloneutronen beschreiben zu können, müssen in einem nächsten Schritt Konfigurationsmischungen von mehreren Slaterdeterminanten betrachtet werden.
FMD - 1 Gauß/Nukleon
[2] [2] Vˆ EB Tˆ int
FMD - 2 Gäuße/Nukleon
[2]
[2] Tˆ int Vˆ EB
37.64 78.55
-43.05 -106.44
-5.41 -27.89
94.29 96.69 106.13
-106.33 -103.24 -111.27
-12.05 -6.55 -5.14
36.26 76.99 81.41 96.60 97.01 103.34
∼
3 He 4 He
∼
5 He 6 He 7 He 8
He
∼
∼
-42.12 -105.18 -103.33 -112.15 -108.74 -111.95
-5.87 -28.19 -21.92 -15.55 -11.72 -8.60
Experiment EB -7.72 -28.30 -27.41 -29.27 -28.82 -31.41
Tabelle 4.3.: He-Isotope mit ein und zwei Gaußpaketen pro Nukleon. Energien sind in MeV angegeben. Zur Orientierung sind die experimentell ermittelten Bindungsenergien angegeben, die zeigen, daß die Isospin-Abhängigkeit des ATS3M-Potentials unrealistisch ist.
45
10 -2
0 x [fm]
2
4
3
4
0
He
-2
total neutron proton 1
2
5
0.0
1
-4 3 r [fm]
4
5
10 -4
-2
0 x [fm]
4
10-1
-2
0 x [fm]
2
4
0
total neutron proton 1
2
1.3 0.
-2
0.0
5
4
5
10-4 -4
-2
0 x [fm]
2
3 r [fm]
4
5
4
He
10-2 10-3
1
-4 3 r [fm]
2
4
0
total neutron proton 1
2
3 r [fm]
4
5
Abbildung 4.7.: Dichteplots für die Grundzustände des ATS3M-Potentials. Oben sind jeweils die Ergebnisse bei Verwendung von einem Gaußpaket pro Einteilchenzustand, unten die Resultate bei Verwendung von zwei Gaußpaketen pro Einteilchenzustand. Links ist jeweils ein Schnitt durch die Dichte ρ (~x) in Einheiten der Kernmateriedichte ρ 0 gegeben. Rechts ist die winkelgemittelte radiale Dichteverteilung dargestellt.
46
4.
Grundzustände
-4
0
1
10-1
1
10-4
01
0.
10-3
-4
y [fm]
ρ(r) [ρ0]
1.0 5
0. 1 0.0 1
-2
10-2
total neutron proton
1
0.
2
-4
0
He
1.0
0.
y [fm]
0
4
4
He
0.01
2
2
3
1
10-2 10-3
1
-4
0. 0.
10-3
-4
y [fm]
ρ(r) [ρ0]
y [fm]
5 0. 0.1 0. 01
He
10-1
1
0
4
1
0.0
2
10-2
He
1.0
0
-4
4
10-1
2
-2
He
ρ(r) [ρ0]
0.01
4
3
1
ρ(r) [ρ0]
He
1.3
3
4
6
4
He
6
He
1
0.01
0.1
ρ(r) [ρ0]
0
0
10-1
1.
y [fm]
2
0.
5
0.1
-2
10-2 10-3
0.0
1
10-4
-4 -4
He
4
10-1
-4
-4
10 -4
-2
0 x [fm]
2
4
0
1
2
0.1 0.0 1
4
5
10-3 10
-4
-2
0 x [fm]
2
3 r [fm]
4
5
6
He
10-2
-4
-4 3 r [fm]
2
10-1
1.0 1.3
y [fm]
0
1
1
1
-2
total neutron proton
He
0.
5
ρ(r) [ρ0]
1.3
y [fm]
10-2 10-3
0.01
2
0.
1.0
-2
0. 5 0.1
0
0.01
0.01
0
4
6
5
1
2
2
ρ(r) [ρ0]
He
0 x [fm]
0.01
5
4
-2
total neutron proton
4
0
total neutron proton 1
2
3 r [fm]
4
5
4.2.
47
Afnan-Tang S3M
Abbildung 4.8.: Dichteplots für die Grundzustände des ATS3M-Potentials. Oben sind jeweils die Ergebnisse bei Verwendung von einem Gaußpaket pro Einteilchenzustand, unten die Resultate bei Verwendung von zwei Gaußpaketen pro Einteilchenzustand dargestellt. Links ist jeweils ein Schnitt durch die Dichte ρ (~x) in Einheiten der Kernmateriedichte ρ 0 gegeben. Rechts ist die winkelgemittelte radiale Dichteverteilung dargestellt. Für 5 He existiert bei einem Gaußpaket pro Einteilchenzustand kein gebundener Grundzustand.
4 1
5
0.
10-3 -4
10
1
-2
0 x [fm]
2
4
7
4
0
He
y [fm]
0
1
2
10-2 10-3
0.1
-4 3 r [fm]
4
5
10
0.0
1
-4
-2
0 x [fm]
2
4
8
7
He
1
He
10-1
-2
total neutron proton
8
1
0.1
5 0.
ρ(r) [ρ0]
0.01
10-2
0.1
0.0
2
He
0.0
1 0.0
10-1
-2
-4
He
0.1
0
-4
8
7
1
0.01
2 y [fm]
He
ρ(r) [ρ0]
7
4
4
-4
0
He
total neutron proton 1
2
3 r [fm]
4
5
8
He
1
-2
0 x [fm]
2
4
0
1
2
10-2
1 0.0
10-3
-2
total neutron proton
10-1 ρ(r) [ρ0]
ρ(r) [ρ0]
y [fm]
0.
1.0
y [fm]
0.1
-4 3 r [fm]
4
5
10
0.01
-4
-2
0 x [fm]
2
4
-4
0
total neutron proton 1
2
3 r [fm]
4
5
Abbildung 4.9.: Dichteplots für die Grundzustände des ATS3M-Potentials. Oben sind jeweils die Ergebnisse bei Verwendung von einem Gaußpaket pro Einteilchenzustand, unten die Resultate bei Verwendung von zwei Gaußpaketen pro Einteilchenzustand dargestellt. Links ist jeweils ein Schnitt durch die Dichte ρ (~x) in Einheiten der Kernmateriedichte ρ 0 gegeben. Rechts ist die winkelgemittelte radiale Dichteverteilung dargestellt. 48
Grundzustände
-4
4.
10
5
-4
0.01
0 0.
5
0.
-4
10-2 10-3
0.1
2
1
1
0 -2
10-1
0.0
0.1 0.0
2
01
0.1
4.2.
Afnan-Tang S3M
4.2.3. Grundzustände in der Multikonfigurations-FMD In der gewöhnlichen FMD ist der Versuchszustand auf eine einzige Slaterdeterminante beschränkt. Diese Einschränkung bedingt unter anderem, daß der Minimierungsprozeß der FMD für einen bestimmten Kern einen intrinsisch deformierten Grundzustand liefern kann, während der “wahre” Grundzustand Eigenzustand des Drehimpulses ist. Es ist nun möglich, durch Projektion auf die Quantenzahlen des gesuchten Zustandes dem “wahren” Zustand näherzukommen (siehe hierzu Abschnitt 4.0.2). Ein anderer, alternativer Zugang besteht darin, den deformierten FMD-Grundzustand als Ausgangspunkt für die Diagonalisierung des Hamiltonoperators in einer Basis aus “gedrehten” FMDZuständen zu nehmen. Der Grundzustand in diesem Schema ergibt sich dann als der Eigenzustand zum niedrigsten Energieeigenwert. Neben dem Grundzustand erhält man auch weitere, angeregte Zustände aus den Rotationsbanden des betreffenden Kerns. Wenn man sich bei der Basis auf gedrehte Zustände beschränkt, kann man nicht erwarten, das volle Spektrum der möglichen Anregungen eines Kerns abdecken zu können. Hierzu müßten weitere Deformationen des Kerns berücksichtigt werden. Es soll das Vorgehen am Beispiel einer Basis aus gedrehten Grundzuständen des 12 C bei Verwendung des ATS3M-Potentials demonstriert werden. Der FMD-Grundzustand des 12 C besitzt eine ausgeprägte α -Struktur (siehe Abb. 4.5) und ist keineswegs “rund”. Der gesuchte Grundzustand des 12 C besitzt jedoch den Drehimpuls 0+ . Um diesen Grundzustand zu bestimmen, wird der Hamiltonoperator in einer Basis aus zufällig rotierten FMD-Grundzuständen diagonalisiert (zum technischen Vorgehen siehe Abschnitt 2.6). Das Resultat ist in Abb. 4.10 dargestellt. In Abhängigkeit von der Zahl der rotierten Zustände sind die niedrigsten Eigenwerte des Hamiltonoperators dargestellt. Es ist ein isolierter Grundzustand zu erkennen, dessen Energie mit der Zahl der Basiszustände vom FMD-Ergebnis von -61.3 MeV bis auf -74.3 MeV abnimmt (Experiment -92.2 MeV). Oberhalb des Grundzustandes bilden sich mit zunehmender Mächtigkeit der Basis deutlich abgetrennte und entartete angeregte Zustände heraus. Die zunächst noch sehr breit verteilten Eigenwerte konvergieren mit größer werdender Basis zu einem 5-fach entarteten Zustand positiver Parität mit der Energie -71.4 MeV. Bei -63.3 MeV liegt ein weiterer 7-fach entarteter Zustand negativer Parität. Knapp darüber bei -63.1 MeV ein 9-fach entarteter Zustand mit positiver Parität. Durch die Diagonalisierung ist es somit gelungen, neben einem deutlich abgesenkten Grundzustand mit dem gewünschten Drehimpuls 0+ zwei angeregte Zustände mit den Drehimpulsen 2+ und 4+ als Teil der Rotationsbande und einen angeregten 3− -Zustand zu identifizieren. Vergleicht man mit den experimentellen Ergebnissen, so können diese Zustände im Spektrum wiedergefunden werden. Die 2+ - und 4+ -Zustände der Rotationsbande liegen bei 2.9 MeV und 10.8 MeV statt der experimentell beobachteten 4.4 MeV und 14.1 MeV oberhalb des Grundzustandes. Das Spektrum ist für die ATS3M Wechselwirkung im Vergleich etwas gestaucht, was einem zu großen Trägheitsmoment entspricht. Der 3− -Zustand liegt mit 11.0 MeV etwa 1.5 MeV zu hoch. Die Multikonfigurations-FMD sollte sich nicht nur zur Behandlung von intrinsisch deformierten Kernen verwenden lassen. Statt einer Basis aus rotierten FMD-Zuständen kann eine Basis aus
49
4.
Grundzustände
“deformierten” Zuständen gewählt werden. Bei der Wahl der Basiszustände ist hier jedoch ein größerer Aufwand zu treiben. Um die Numerik nicht zu überfordern, muß eine hinreichende lineare Unabhängigkeit der einzelnen Basiszustände gewährleistet sein. Zudem sollte sich mit jedem hinzugenommenen Basiszustand eine bessere Abdeckung des für den jeweiligen Kern relevanten Teil des Hilbert-Raums ergeben. Um diese Ziele zu erreichen, müßte beim Aufbau der Basis ein durch Zufallsparameter bestimmter Zustand auf die lineare Abhängigkeit mit den bereits gefundenen Basiszuständen geprüft werden. Zudem sollte getestet werden, ob durch diesen zusätzlichen Zustand eine stärkere Bindung erreicht werden kann.
-50
-60
E [MeV]
4+ 3−
-70
2+ 0+
-80
1
10
100 Zahl rotierter Zustände
Abbildung 4.10.: Grundzustandsenergie für siszustände.
50
12 C
1000
in Abhängigkeit von der Zahl der rotierten Ba-
5. Reaktionen
Schwerionenreaktionen bilden neben der Untersuchung von Grundzuständen von Kernen ein Anwendungsgebiet der FMD. Betrachtet wird hierbei ein Energiebereich bis etwa 100 MeV/Nukleon, so daß relativistische Effekte und insbesondere Teilchenproduktion vernachlässigt werden können. Die gewählte Einteilchenbasis aus Gaußpaketen ist für die Beschreibung dynamischer Prozesse besonders geeignet, da sie es erlaubt, das klassische Molekulardynamikbild in natürlicher Weise auf die Quantenmechanik zu übertragen. Die gaußförmigen Wellenpakete übernehmen die Rolle der klassischen Phasenraumpunkte. Gleichzeitig wird den quantenmechanischen Eigenschaften der Ununterscheidbarkeit und der Unschärferelation genüge getan. Die grundsätzliche Eignung der FMD zur Beschreibung von Fusion, Fragmentation und Multifragmentation wurde bereits früher gezeigt [FS97a, FS97b]. Ein besonderes Problem bei solchen Untersuchungen stellt immer die Wahl der verwendeten Wechselwirkung dar. Die früheren Untersuchungen haben bereits ergeben, daß die genaue Gestalt der Wechselwirkung einen erheblichen Einfluß auf das Fusions- und Fragmentationsverhalten der Kerne aufweist. Auch Wechselwirkungen, die sehr ähnliche Grundzustandseigenschaften aufweisen, können in ihren Auswirkungen auf das dynamische Verhalten stark differieren. Insbesondere effektive Wechselwirkungen ohne ausgeprägten Core wie z.B. Volkov V2 zeigen kaum die experimentell beobachteten Fragmentationsraten. In der Arbeit von Jürgen Schnack [Sch96] wurden deshalb Wechselwirkungen mit Impulsabhängigkeiten untersucht. Diese Impulsabhängigkeiten wurden dabei als Näherungen eines unitär korrelierten Cores der Wechselwirkung abgeleitet. Mit diesen Wechselwirkungen gelang es, deutlich größere Fragmentationsraten zu erzielen. Bei genauerer Betrachtung der Fragmentation und insbesondere der Multifragmentation sollte natürlich auch die experimentell beobachtete Isotopenverteilung reproduziert werden können. Es ist je nach verwendeter Wechselwirkung jedoch z.B. sehr leicht möglich, fast nur α -strukturierte Fragmente zu erzeugen, wenn diese energetisch bevorzugt sind. In diesem Kapitel wird untersucht, inwiefern sich die MTV- und die ATS3M-Wechselwirkung zur Beschreibung von Schwerionenreaktionen eignen. Dabei wird insbesondere der Einfluß des impulsabhängigen Anteils der korrelierten Wechselwirkung zu beachten sein. Weiterhin wird der Einfluß zusätzlicher Freiheiten im Einteilchenspin auf das dynamische Verhalten untersucht. Dies ist im Hinblick auf die Verwendung von realistischeren Wechselwirkungen mit Spin-Bahn- und Tensorbeiträgen von Belang. Es zeigt sich, daß zumindest ohne entsprechende explizite Spin-Bahn- und Tensorkorrelationen im Versuchszustand, kaum Beiträge dieser Wechselwirkungskomponenten zur Bindung und damit auch kein Einfluß auf das dynamischen Verhalten festzustellen sind.
51
5.
Reaktionen
5.1. Zeitentwicklung Zur Simulation einer Schwerionenreaktion in der FMD wird zunächst aus den jeweiligen Grundzuständen der Reaktionspartner ein Anfangszustand mit den gewünschten Parametern wie Stoßparameter, Energie und Entfernung erzeugt. Für die Einteilchenzustände werden bei den dynamische Rechnungen die Parametrisierungen qk (t) = ak (t),~bk (t) ⊗ χ k ⊗ ξ k (2.5) mit einer zeitunabhängigen festgelegten Spinkomponente, beziehungsweise qk (t) = ak (t),~bk (t) ⊗ χ ↑ (t), χ ↓ (t) ⊗ ξ k k k
(2.6)
für eine dynamische Beschreibung des Spins verwendet. Die Zeitentwicklung des Anfangszustandes erfolgt durch die numerische Integration der Bewegungsgleichungen i ∑ Cµν q˙ν = ν
∂H . ∂q?µ
(2.19)
Die Bewegungsgleichungen bilden ein implizites System von nichtlinearen Differentialgleichungen. Im Falle der Parametrisierung (2.5) kann dieses System in ein explizites System von Differentialgleichungen i q˙ν = ∑ C −1 µ
νµ
∂H ∂q?µ
(5.1)
überführt werden. Die Inversion der C -Matrix Cµν =
∂ ∂ ln Q Q ∂q?µ ∂qν
(2.21)
ist in diesem Fall für alle physikalischen, d.h. nicht das Pauli-Prinzip verletzenden Parametersätze Q möglich. Dies numerische Integration dieses expliziten Differentialgleichungssystems erfolgt dann mit Prediktor-Korrektor-Methoden [Hin83] oder einem Runge-Kutta-Verfahren. Schwieriger stellt sich die Integration bei Verwendung der Parametrisierung (2.6) dar. Durch die Freiheit der Einteilchenspins treten hier für S = 0-Zustände Singularitäten in der C -Matrix auf. Besitzen zwei Einteilchenzustände identische Ortswellenfunktionen und identischen Isospin, so ist durch die Antisymmetrisierung der physikalische Zustand unabhängig von der Orientierung der Einteilchenspins auf den antisymmetrischen Spinzustand S = 0 festgelegt. Die Zahl der Parameter ist in diesem Fall größer als die Zahl der physikalischen Freiheitsgrade. Überdies besitzen die Einteilchenzustände einen zusätzlichen komplexen Parameter, der Norm und Phase des Einteilchenzustandes festlegt, für den physikalischen Vielteilchenzustand jedoch ebenfalls irrelevant ist. Diese “überflüssigen” Parameter manifestieren sich dann als Singularitäten in der C -Matrix.
52
5.2.
Ereignisensemble
Sie machen sich jedoch in gleicher Weise auf der rechten Seite der Differentialgleichung bei den Kräften bemerkbar, so daß die Bewegungsgleichungen (2.19) im Prinzip dennoch lösbar sind. Die Integration des Differential-Algebraischen Systems (2.19) ist mit den üblichen Methoden, die auf iterativen Verfahren beruhen, aufgrund der Kostspieligkeit der Funktionsauswertungen nicht praktikabel. Es ist jedoch möglich, durch eine Singulärwertzerlegung [ST88] die Pseudoinverse der C-Matrix zu bilden. Numerisch werden dann die Komponenten der Geschwindigkeitsvektoren q˙ν zu Eigenwerten von Cµν , die kleiner als ein bestimmter Schwellenwert sind, Null gesetzt. Damit bleiben die entsprechenden Linearkombinationen der Parameter qν während der Passage der Singularität zeitlich konstant. Dies ist erwünscht, entsprechen doch Änderungen der Parameter qν in Bereichen, in denen Cµν singulär ist, keiner Änderung des physikalischen Zustandes. Nach diesem Hilfsgriff kann das Differentialgleichungssystem dann wieder mit den üblichen Methoden integriert werden. Auf die im Vielteilchenfall auftauchenden Probleme der Spinparametrisierung wurde auch in [CPY91] hingewiesen. Für den Zweiteilchenfall werden dort Bewegungsgleichungen durch die Einführung von Parametern für die Zweiteilchenspinfunktion bestimmt. Geht man jedoch über zwei Teilchen hinaus, ist diese Vorgehensweise kaum mehr praktikabel.
5.2. Ereignisensemble Die Untersuchung einer Kernreaktion ist im Experiment wie in der Theorie mit einer großen Zahl von “runs” verbunden. Der Anfangszustand einer Kernreaktion wird durch die jeweiligen Grundzustände gebildet. Die Grundzustände der FMD sind im allgemeinen jedoch intrinsisch deformiert und besitzen somit keine definierten Quantenzahlen. Diese müssen wie in Abschnitt 4.0.2 dargestellt, durch Projektion gewonnen werden. Der Anfangszustand Ψ(t0 ) einer Kernreaktion ist damit eine Superposition der entsprechend gedrehten Grundzustände. Konkret bedeutet dies, daß z.B. bei einer 12 C-12 C-Reaktion alle möglichen Orientierungen für Projektil- und Target-Kern im Anfangszustand zeitentwickelt werden müssen. Im Gegensatz zur exakten unitären Zeitentwicklung verlieren bei der Zeitenwicklung der semiklassischen FMD-Bewegungsgleichungen Zustände mit anfangs großem Überlapp diesen im Laufe der Reaktion sehr schnell [Fel90]. Durch die Näherung bedingt, findet also eine Dekohärenz der Phasen der exakten Lösung statt. Da der Anfangszustand einer Kernreaktion kein Eigenzustand des Hamiltonoperators ist, kommt es auch schon bei einer exakten Zeitentwicklung zu
Phasendekohärenzen bei der Berechnung von Observablen im Sinne von Φexakt (t) ∼ B Φexakt (t) . Es ist deswegen zulässig, die Zeitentwicklung für die einzelnen Komponenten des Anfangszustands unabhängig voneinander zu betrachten und die Endzustände nach der Zeitentwicklung im Sinne eines Ensembles inkohärent zu superponieren.
53
5.
Reaktionen
5.3. Malfliet-Tjon V Das MTV -Potential besitzt die Eigenschaft, größere Kerne sehr stark zu überbinden. Dies schlägt sich bei den Reaktionen in einer sehr großen Fusionswahrscheinlichkeit nieder. Größere Kerne wie 12 C fusionieren bei nicht allzu großen Energien (E . 50 A MeV) und nicht allzu großen Stoßparametern (b . 2 fm) unter Evaporation einzelner Nukleonen praktisch immer. Beispielhaft ist dieses Verhalten in Abbildung 5.2 zu erkennen. Die Fusion zweier 12 C-Kerne erfolgt hier unter Emission eines einzelnen Nukleons. Zurück bleibt ein stark angeregtes Fusionsprodukt. Die Dynamik wird offensichtlich durch den anziehenden Teil der Wechselwirkung dominiert. Ansätze zur Fragmentation ergeben sich allein durch den langreichweitigen Anteil der Wechselwirkung. Auswirkungen des kurzreichweitiges Cores sind in den betrachteten Reaktionen nicht auszumachen. Betrachtet man im Verlauf der Reaktion die energetischen Beiträge der Wechselwirkungskomponenten in Abbildung 5.1, so fällt sofort der große Gewinn an Bindungsenergie bei Annäherung der beiden Kerne auf. Dieser Gewinn an Bindung wird natürlich durch eine entsprechende Zunahme der kinetischen Energie begleitet. Zunächst laufen die beiden Kerne zweimal durcheinander hindurch, im weiteren Verlauf der Reaktion wird die Energie auf die inneren Freiheitsgrade des nun fusionierten Kerns übertragen.
[2] Zu erkennen ist auch, daß die Zweiteilˆ chenbeiträge der korrelierten kinetischen Energie T immer deutlich geringer ausfallen, als ∼
[2] ˆ die des korrelierten Potentials V . ∼
E [MeV]
5000
Tˆ [1]
∼ [2] Tˆ
∼ Hˆ
0
∼
-5000
-10000
0
50
100
150
ˆ [2] V ∼
200
t [fm/c]
Abbildung 5.1.: 12 C-12 C mit Elab = 35 AMeV und b = 1.0 fm. Verwendet wurde die MTV-Wechselwirkung. Dargestellt ist die Entwicklung der verschiedenen Energiebeiträge über den Reaktionsverlauf hinweg.
54
5.3.
Malfliet-Tjon V
10
0 fm/c
80 fm/c
160 fm/c
20 fm/c
100 fm/c
180 fm/c
40 fm/c
120 fm/c
200 fm/c
60 fm/c
140 fm/c
220 fm/c
y [fm]
5
0
-5
-10 10
y [fm]
5
0
-5
-10 10
y [fm]
5
0
-5
-10 10
y [fm]
5
0
-5
-10 -10
-5
0 x [fm]
5
10 -10
-5
0 x [fm]
5
10 -10
-5
0 x [fm]
5
10
Abbildung 5.2.: 12 C-12 C mit Elab = 35 A MeV und b = 1.0 fm. Verwendet wurde die MTV-Wechselwirkung. Dargestellt ist die über die z-Achse integrierte Ortsraumdichte.
55
5.
Reaktionen
5.4. Afnan-Tang S3M Bei Verwendung der ATS3M-Wechselwirkung zeigt sich nicht die ausgeprägte Fusionsneigung der MTV-Rechnungen. Die Kerne erscheinen im Gegenteil sehr transparent. Eine typische Reaktion ist in Abbildung 5.3 dargestellt. Fragmentation ist praktisch nur bei sehr peripheren Reaktionen und Kernen mit bereits vorgeformten Fragmenten wie dem 12 C wie in Abbildung 5.4 zu beobachten. Entsprechende Kerne können durch zentrifugale Effekte auseinandergerissen werden. Da die ATS3M- im Vergleich zu der MTV-Wechselwirkung nicht diese starke Tendenz zum Überbinden zeigt, ist das durch den anziehenden Teil der Wechselwirkung bewirkte dynamische Verhalten entsprechend weniger deutlich ausgeprägt. Bei zentralen Stößen kommt es lediglich zu Anregungen der inneren Freiheitsgrade der Kerne, beim 12 C schwingen die α ’s gegeneinander, beim 16 O kommt es zu Deformationsschwingungen. In globalen Eigenschaften der Kollisionen, wie Streuwinkel, Energieverlust, Fusionswahrscheinlichkeit und ähnlichem sind sind etwaige Effekte des kurzreichweitigen Hardcore-Teils der Wechselwirkung nicht festzustellen. Im Vergleich mit den MTV-Reaktionen machen sich wegen der deutlich schwächeren attraktiven Komponenten der Wechselwirkung auch die abstoßenden Beiträge der korrelierten kinetischen Energie entsprechend geringer bemerkbar.
56
5.4.
Afnan-Tang S3M
15
0 fm/c
40 fm/c
80 fm/c
10 fm/c
50 fm/c
90 fm/c
20 fm/c
60 fm/c
100 fm/c
30 fm/c
70 fm/c
110 fm/c
10
y [fm]
5 0 -5 -10 -15 15 10
y [fm]
5 0 -5 -10 -15 15 10
y [fm]
5 0 -5 -10 -15 15 10
y [fm]
5 0 -5 -10 -15 -15
-10
-5
0 x [fm]
5
10
15 -15
-10
-5
0 x [fm]
5
10
15 -15
-10
-5
0 x [fm]
5
10
15
Abbildung 5.3.: 12 C-12 C mit Elab = 50 A MeV und b = 1.0 fm und ATS3M-Wechselwirkung. Dargestellt ist die über die z-Achse integrierte Ortsraumdichte.
57
5.
Reaktionen
15
0 fm/c
80 fm/c
160 fm/c
20 fm/c
100 fm/c
180 fm/c
40 fm/c
120 fm/c
200 fm/c
60 fm/c
140 fm/c
220 fm/c
10
y [fm]
5 0 -5 -10 -15 15 10
y [fm]
5 0 -5 -10 -15 15 10
y [fm]
5 0 -5 -10 -15 15 10
y [fm]
5 0 -5 -10 -15 -15
-10
-5
0 x [fm]
5
10
15 -15
-10
-5
0 x [fm]
5
10
15 -15
-10
-5
0 x [fm]
5
10
15
Abbildung 5.4.: 12 C-16 O mit Elab = 35 A MeV und b = 4.0 fm und ATS3M-Wechselwirkung. Dargestellt ist die über die z-Achse integrierte Ortsraumdichte.
58
5.5.
Spinfreiheitsgrade
5.5. Spinfreiheitsgrade Der Einfluß zusätzlicher Spinfreiheitsgrade bei Verwendung der Einteilchenzustände (2.6) wurde mit einem um einen Zweiteilchen-Spin-Bahn-Term (G3RS) ergänzten Volkov V1-Potential [DHKE97] untersucht. Schon bei Betrachtung der Grundzustände fällt auf, daß die Spin-Bahn-Wechselwirkung kaum nennenswerte Beiträge zur Bindungsenergie liefert, diese liegen maximal im Bereich von etwa 0.1 MeV – auch bei Kernen mit ungerader Nukleonenzahl. Fixiert man den Spinfreiheitsgrad mit der üblichen Parametrisierung (2.5), so ergeben sich praktisch dieselben Bindungsenergien wie mit freiem Spin. Bei dynamischen Rechnungen machen sich die zusätzlichen Freiheitsgrade ebenfalls nicht bemerkbar. Reaktionen verlaufen fast identisch, ob mit oder ohne dynamischen Spin gerechnet. Betrachtet man den geringen Beitrag der Spin-Bahn-Wechselwirkung zur Bindung, sind natürlich in der Dynamik die Kräfte und damit die Auswirkungen entsprechend klein. Bei der Diskussion über den geringen Beitrag der Spin-Bahn-Wechselwirkung ist zunächst festzustellen, daß die meisten Nukleonen zu Spin 0 gepaart sind, hier ist somit auch kein Effekt zu erwarten. Für einzelne ungepaarte Nukleonen ist die Freiheit der Spinorientierung mit der gegebenen Parametrisierung immer noch stark eingeschränkt. Über den gesamten Ausdehnungsbereich der Einteilchenwellenfunktion ist durch den Produktansatz (2.6) die Spinorientierung konstant. Da die Wellenpakete aber bei kleinen Kernen nicht in der Oberfläche (hier hätte die Spin-BahnWechselwirkung den größten Beitrag) lokalisierbar sind, kann sich der Spin auch nicht als Funktion des Orts optimal ausrichten. Um den spinabhängigen Anteilen der Wechselwirkung gerecht zu werden, muß man dem Spin die Möglichkeit zu einer ortsabhängigen Orientierung geben. Dies erfordert in der einfachsten Erweiterung unabhängige Ortswellenfunktionen für die beiden Spinkomponenten. Entsprechende Untersuchungen mit dem für diese Arbeit neu entwickelten FMD-Code sind im Gange. Betrachtet man nur Grundzustände, so können die im Versuchszustand fehlenden Freiheitsgrade auch durch entsprechende Spin-Bahn-Korrelatoren beschrieben werden. Auf solche Weise konstruierte effektive Wechselwirkungen werden die spinsensitiven Teile der Wechselwirkung dann in die zentralen Wechselwirkungsanteile integrieren und damit wahrscheinlich für eine Beschreibung der Spindynamik nur eingeschränkt zu gebrauchen sein. Die gleichen Überlegungen und Beobachtungen gelten auch für die Tensorwechselwirkung. Auch hier wirken die Tensorbeiträge der Wechselwirkungen kaum in den Zuständen der FMD, ob mit oder ohne dynamischen Spinfreiheitsgrade.
5.6. Ausblick: Quantenverzweigung Die Betrachtungen in den vorausgegangen Abschnitten haben ergeben, daß die langreichweitigen Teile der MTV- und ATS3M-Wechselwirkungen die Reaktionen in der FMD dominieren. Die Abstoßung auf kleiner Abstandsskala durch den impulsabhängigen Zweiteilchenanteil der
59
5.
Reaktionen
korrelierten kinetischen Energie, der den kurzreichweitigen Core der Wechselwirkung ersetzt, beschreibt zwar in hervorragender Weise die Grundzustände, in der Dynamik jedoch mittelt der eingeschränkte Versuchszustand zu stark. Möglicherweise sieht die Situation bei anderen Wechselwirkungen mit einem härteren Core etwas günstiger aus, doch scheint hier eine einzelne Slaterdeterminante für die Dynamik nicht genügend Freiheiten zur Beschreibung der Effekte auf diesen kurzen Längenskalen zu besitzen. Die Einteilchenpakete sind im Vergleich zu den Dimensionen des Cores zu ausgedehnt und erlauben vor allem nicht, daß sich die entsprechenden “harten” Komponenten unabhängig vom Rest des Pakets entwickeln. Die durch die einzelne Slaterdeterminante bedingte “Mean-Field”-Charakteristik der FMD ist noch zu stark ausgeprägt. Wo liegen nun die Möglichkeiten, um zukünftig eine bessere Beschreibung von Kernreaktionen zu ermöglichen? In anderen Modellen [OH96, OR97] wurden vielfältige Arten von “Stoßtermen” integriert. Die Zeitentwicklung folgt nicht mehr allein den deterministischen Bewegungsgleichungen des zugrundeliegenden Molekulardynamikmodells, sondern wird durch zufällige Fluktuationen in den generalisierten Kräften ergänzt. Vor- und Nachteil zugleich ist bei diesen Methoden die große Zahl an zusätzlichen Parametern, die man dabei gewinnt. Im Sinne der FMD wird man versuchen, eine Erweiterung der bisherigen dynamischen Beschreibung zu finden, die aus einem Variationsverfahren (2.14) hergeleitet ist und keine willkürlichen Parameter enthält. Da dem Versuchszustand offensichtlich Freiheitsgrade fehlen, die nicht in ausreichender Weise durch einen zeitunabhängigen Korrelator beschrieben werden können, wird man eine Superposition vieler Slaterdeterminante Q = ∑ ci (t) Qi (t) (5.2) i
anstatt einer einzigen ansetzen müssen. Es ist nun numerisch nicht möglich, die Bewegungsgleichungen (2.19) für hunderte von ci (t) und Qi (t) simultan zu lösen. Deshalb wird man unter Zuhilfenahme statistischer Eigenschaften und der Dekohärenz der Phasen für Zeiten größer als Qi die Memoryzeit versuchen müssen, Quantenverzweigungen von einer Slaterdeterminanten in viele andere Q j zu erlauben. Die Übergangsamplituden ergeben sich aus dem Variationsverfahren und sind durch die außerdiagonalen Matrixelemente
∂ ˆ Qi (t) Q j (t) i ∑ q˙µ −H ∼ ∂qµ µ
(5.3)
bestimmt. Diese Vorgehensweise besitzt im Gegensatz zur Beschreibung von Fluktuationen in der AMD [OH96] verschwinden, wie i und QMD [OR97] den Vorteil, daß die Fluktuationen in dem Maße Q (t) bereits die exakte Dynamik enthält. Ist dies der Fall, so erfüllt Qi (t) die Bewegungsgleichung i
d i ∂ i ˆ Qi (t) Q (t) = H Q (t) = i ∑ q˙µ ∼ dt ∂qµ µ
exakt, und das Matrixelement (5.3) verschwindet.
60
(5.4)
5.6.
Ausblick: Quantenverzweigung
In die Wahl der Quantenverzweigungen werden Energie-Impuls-Erhaltung, Memoryzeit und das “Off-shell”-Verhalten als wichtige Elemente eingehen. Die für die Quantenverzweigungen benötigten Matrixelemente ∂ j i Q Q ∂qµ
und
i ˆ Q Qj H ∼
(5.5)
wurden im Rahmen dieser Diplomarbeit bereits ausgearbeitet.
61
62
A. Matrixelemente In diesem Anhang werden die für den FMD-Code benötigten Matrixelemente aufgeführt. Die angegebenen Matrixelemente entsprechen den im Code verwendeten. Sie wurden so gewählt, daß die Zahl der algebraischen Operationen möglichst gering gehalten werden konnte. Die Einteilchenzustände setzen sich aus Orts-, Spin- und Isospinanteil zusammen. qk = ak ,~bk ⊗ χ k ⊗ ξ k
(A.1)
Oftmals werden nur die Matrixelemente eines Operators im Ortsraum, Spin- oder Isospinraum angegeben. Beim Matrixelement der kinetischen Energie T =T ⊗T ⊗ TIsospin = T ⊗1⊗1 ∼ ∼ Ort ∼ Spin ∼ Ort ∼ ∼ gilt z.B. für das volle Matrixelement
ql = ak~bk T Ort al~bl χ k 1 χ l ξ k 1 ξ l . qk T ∼ ∼ ∼ ∼
al~bl angegeben. In diesem Anhang ist nur der Anteil im Ortsraum ak~bk T ∼ Ort Entsprechend ist das Matrixelement einer Wechselwirkung der Form
~X,~x V τ ~X,~x = (~τ ·~τ )V (x) ∼ ∼ ∼ als
(A.2)
(A.3)
(A.4)
qm , qn = ak~bk , al~bl V am~bm , an~bn χ k , χ l 1 χ m , χ n ξ k , ξ l ~τ ·~τ ξ m , ξ n qk , ql V τ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ (A.5)
zu berechnen.
A.1.
Überlappmatrixelemente
Der Überlapp zweier Einteilchenzustände ist das Produkt des Isospin-, Spin- und Ortsüberlapps
nkl = qk ql = ak~bk al~bl χ k χ l ξ k ξ l = Rkl Skl Tkl . (A.6) Wird der Einteilchenzustand von mehreren Gaußpaketen gebildet, ergeben sich die Einteilchenüberlapps zu
? nkl = qk ql = ∑ ck i cl j Rk il j Sk il j Tk il j . (A.7) i, j
63
A. Matrixelemente
A.1.1. Isospinüberlapp Der Isospin wird durch die 3-Komponente ξ bestimmt, die die Werte +1 und −1 annehmen kann. Damit ist der Isospinüberlapp
Tkl = ξ k ξ l = 12 (1 + ξ k ξ l ) .
(A.8)
A.1.2. Spinüberlapp χ mit Der Spin eines Einteilchenzustandes wird entweder die festgelegte 3-Komponente durch ↑ ↓ χ = ±1 oder durch den kompletten Zweierspinor χ = χ , χ parametrisiert. Dies ergibt den Spinüberlapp
Skl = χ k χ l = 12 (1 + χ k χ l )
(A.9)
? ? Skl = χ k↑ , χ k↓ χ l↑ , χ l↓ = χ k↑ χ l↑ + χ k↓ χ l↓
(A.10)
für den Spezialfall χ = ±1 bzw.
für den allgemeinen Fall. Im allgemeinen Fall sind die Ableitungen des Spinüberlapps nach den Spinorkomponenten ∂
↑?
Skl = χ l↑ ,
∂χk ∂ ? S = χ k↑ , ↑ kl ∂χl
∂
↓ ? Skl = χ l , ∂ χ k↓ ∂ ? S = χ k↓ , ↓ kl ∂χl
(A.11) (A.12)
und ∂
∂ S =1, ↑ kl ∂χk ∂χl ∂ ∂ S =0, ? ↑ kl ∂ χ k↓ ∂ χ l ↑?
∂ S =0, ↓ kl ∂χk ∂χl ∂ ∂ S =1 ? ↓ kl ∂ χ k↓ ∂ χ l ∂
↑?
(A.13) (A.14)
zu berücksichtigen.
A.1.3. Ortsüberlapp Bei Matrixelementen im Ortsraum (oder Impulsraum) treten immer wieder ähnliche Ausdrücke auf. Die geschickte Definition geeigneter Größen macht sich bei Überlapp- und vor allem Wechselwirkungsmatrixelementen bezahlt. Vergleiche hierzu die in dieser Arbeit angegebenen Matrix-
64
A.1. Überlappmatrixelemente
elemente mit denen in [Fel90, Sch96] λ kl =
1 a?k + al
,
a?k al = λ kl a?k al , a?k + al ~b? −~bl ~π kl = i k? = i λ kl (~b?k −~bl ) , ak + al a ~b? + a?k~bl ~ρ kl = l k? = λ kl (al~b?k + a?k~bl ) . ak + al α kl =
Die Größen ~ρ kl und ~π kl
qk ~∼k ql = ~π kl qk ql ,
qk ~∼x ql = ~ρ kl qk ql
(A.15) (A.16) (A.17) (A.18)
(A.19) (A.20)
besitzen eine anschauliche physikalische Bedeutung als Einteilchenmatrixelemente für Ort- und Impuls (bis auf den herausgezogenen Überlapp).
Der Ortsüberlapp ergibt sich durch Integration über die Gaußpakete ~x ak ,~bk und ~x al ,~bl mit den oben definierten Größen zu
Rkl = ak ,~bk al ,~bl = ~? ~ 2 2 (A.21) ~π kl a?k al 3/2 (bk − bl ) 3/2 = 2π ? . exp − ? = (2π α kl ) exp ak + al 2(ak + al ) 2λ kl Die einfachen Ableitungen der Ortsüberlapps sind (~b?k −~bl )2 ∂ 1 3 3 1 3 2 Rkl = Rkl = − + − 3λ kl − ~π kl Rkl , ∂a?k 2 a?k a?k + al (a?k + al )2 2 a?k (~b?k −~bl )2 ∂ 1 3 3 1 3 2 ~ Rkl = Rkl = − + − 3λ kl − π kl Rkl , ∂al 2 al a?k + al (a?k + al )2 2 al ~b? −~bl ∂ Rkl = − k? Rkl = i~π kl Rkl , ak + al ∂~b?k ~b? −~bl ∂ Rkl = k? Rkl = −i~π kl Rkl , ak + al ∂~bl
die zweifachen Ableitungen (~b?k −~bl )2 (~b?k −~bl )2 ∂ ∂ 3 1 3 3 3 + R = − + − + kl ∂a?k ∂al 4 a?k a?k + al (a?k + al )2 al a?k + al (a?k + al )2 (~b?k −~bl )2 1 3 1 Rkl − a?k + al 2 a?k + al (a?k + al )2 3 3 1 3 2 2 2 ~ ~ ~ + Rkl , = − 3 λ − π − 3 λ − π λ λ + π kl kl kl kl kl kl kl 4 a?k al 2
(A.22) (A.23) (A.24) (A.25)
(A.26)
65
A. Matrixelemente (~b?k −~bl )2 ~b?k −~bl ∂ ∂ 1 3 5 Rkl = − + Rkl ∂a?k ∂~bl 2 a?k a?k + al (a?k + al )2 a?k + al i 3 2 ~ ~ =− − 5λ kl − π kl π kl Rkl , 2 a?k
(A.27)
(~b?k −~bl )2 ~b?k −~bl ∂ ∂ 1 3 5 Rkl = − − + Rkl 2 al a?k + al (a?k + al )2 a?k + al ∂~b?k ∂al i 3 2 = − 5λ kl − ~π kl ~π kl Rkl , 2 a?k
(A.28)
∂ ∂ Rkl = ? ~ ~ ∂ bk,i ∂ bl, j
δi j
a?k + al
−
(~b?k,i −~bl,i )(~b?k, j −~bl, j ) (a?k + al )2
Rkl
(A.29)
= (λ kl δ i j + ~π kl,i~π kl, j )Rkl .
A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente A.2.1. Isospinmatrixelemente Im Isospinraum sind alle verwendeten Wechselwirkungen bis auf die Coulomb-Wechselwirkung skalar, es treten nur der Eins- und der ~∼ τ ·~∼ τ -Operator mit den Matrixelementen
1 ξ m , ξ n = Tkm Tln ξ k , ξ l ∼
ξ k , ξ l ~∼ τ ·~∼ τ ξ m , ξ n = 14 (1 − ξ k ξ m )(1 − ξ l ξ n ) + 12 (ξ k ξ n + ξ l ξ m )
(A.30) (A.31)
auf. Für die Berechnung der Coulombwechselwirkung und der Dichten werden die Projektoren auf Protonen und Neutronen benötigt:
p 1 Pklp = ξ k ∼ P ξ l = 4 (1 + ξ k )(1 + ξ l ) ,
Pkln = ξ k ∼ Pn ξ l = 14 (1 − ξ k )(1 − ξ l ) .
(A.32) (A.33)
A.2.2. Spinmatrixelemente Im Spinraum wirken neben dem Eins- und dem ~σ∼ ·~σ∼ -Operator für realistische Wechselwirkungen noch Tensoroperator ∼S12 und Spin-Bahn-Operator ~∼ L ·~∼ S. Da die FMD-Zustände keine Eigenzustände des Drehimpulses sind, werden die Operatoren nicht in den Drehimpulseigenzuständen
66
A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente sondern direkt ausgewertet. Hierzu wird der Erwartungswert des Spinoperators ~σ∼ benötigt. Für den Spezialfall χ = ±1 gilt
~σ kl = χ k ~σ χ l = ∼
1
2 (1 − χ k χ l ) i (χ l − χ k ) 2 1 2 (χ k + χ l )
(A.34)
und für den allgemeinen Fall ↑? ↓ ↓? ↑ χ χ + χ χ k l k l
~σ kl = χ k↑ , χ k↓ ~σ χ l↑ , χ l↓ = i(χ k↓ ? χ l↑ − χ k↑ ? χ l↓ ) . ∼ ? ? χ k↑ χ l↑ − χ k↓ χ l↓
(A.35)
Für die Ableitungen des Spinmatrixelements findet man im zweiten Fall
χ l↓ ∂ ~σ = −iχ l↓ ↑ ? kl ∂χk χ l↑
χ l↑ ∂ ~σ = iχ l↑ . ↓ ? kl ∂χk −χ l↓
(A.36)
A.2.3. Ortsraummatrixelemente Für die Ortsraummatrixelemente erweisen sich die folgenden Hilfsgrößen α klmn = α km + α ln , ? β klmn = i (ak − am )λ km + (a?l − an )λ ln ,
(A.37)
λ klmn = λ km + λ ln , ? (ak λ km + a?l λ ln )(am λ km + an λ ln )
(A.39)
θ klmn =
,
~ρ klmn = ~ρ km − ~ρ ln , ~π klmn =
1 ~ ~ 2 (π km − π ln )
(A.38) (A.40) (A.41) (A.42)
als nützlich. Den Größen ~ρ klmn und ~π klmn fällt wiederum eine besonders anschauliche Bedeutung zu. Sie stellen die Matrixelemente für den Relativabstand und Relativimpuls
qk , ql ~∼x ⊗ ∼1 − ∼1 ⊗~∼x qm , qn = ~ρ klmn qk qm ql qn ,
qk , ql 12 (~∼k ⊗ ∼1 − ∼1 ⊗~∼k) qm , qn = ~π klmn qk qm ql qn
(A.43) (A.44)
wiederum bis auf die Überlapps dar.
67
A. Matrixelemente
Für die Kräfte werden die Ableitungen nach den Parametern benötigt: ∂ α klmn = λ km (am − α km ) , ∂a?k ∂ 1 1 ∂ =− α klmn , ? 2 ∂ak α klmn + κ (α klmn + κ ) ∂a?k ∂ κ κ ∂ =− α klmn , ? 2 ∂ak α klmn + κ (α klmn + κ ) ∂a?k ∂ 2 , β klmn = i λ km − (a?k − am )λ km ? ∂ak ∂ 2 λ klmn = −λ km , ∂a?k
(A.45) (A.46) (A.47) (A.48) (A.49)
∂ 2 2 θ klmn = (λ km − a?k λ km )(am λ km + an λ ln ) − am λ km (a?k λ km + a?l λ ln ) , ∂a?k ∂ ∂ ~ρ klmn = λ km ~bm − ~ρ km , ~ρ klmn = am λ km , ? ~ ∂ak ∂ b?k
∂ ∂ ~π klmn = − 12 λ km~π km , ~π klmn = i 12 λ km , ? ~ ∂a?k ∂ bk ∂ 2 ∂ 2 ∂ ∂ ~ρ klmn = 2 ~ρ klmn · ? ~ρ klmn , ~ρ klmn = 2 ~ρ klmn · ~ρ klmn , ? ∂ak ∂ak ∂~b?k ∂~b?k ∂ 2 ∂ 2 ∂ ∂ ~π klmn = 2 ~π klmn · ? ~π klmn , ~π klmn = 2 ~π klmn · ~π klmn , ? ∂ak ∂ak ∂~b?k ∂~b?k ∂ ∂ ∂ ~ρ klmn · ~π klmn = ~ρ klmn · ~π klmn + ~ρ klmn · ? ~π klmn , ? ? ∂ak ∂ak ∂ak ∂ ∂ ∂ ~ρ klmn · ~π klmn = ~ρ klmn · ~π klmn + ~ρ klmn · ~π klmn . ? ? ? ~ ~ ~ ∂b ∂b ∂b k
k
(A.50) (A.51) (A.52) (A.53) (A.54) (A.55) (A.56)
k
Gaußintegral Bei den Wechselwirkungsmatrixelementen wird ausgenutzt, daß sich Gaußintegrale analytisch berechnen lassen. Die Radialabhängigkeiten der Wechselwirkungen werden deswegen geeignet durch Gaußfunktionen approximiert. Es treten dann immer Matrixelemente der Form
am~bm , an~bn Gklmn = ak~bk , al~bl G (A.57) ∼ mit
~x3 ,~x4 = ~x1 ,~x2 G ∼ δ
und
68
1 x1 +~x2 ) − 12 (~x3 +~x4 ) 2 (~
δ (~x1 −~x2 ) − (~x3 −~x4 ) G(|~x1 −~x2 |) (A.58)
(~x1 −~x2 )2 G(|~x1 −~x2 |) = exp − 2κ
(A.59)
A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente auf. G ist nur vom Betrag der Relativkoordinate ~x, nicht jedoch von der Schwerpunktkoordinate ~X ~x = ~x1 −~x2
(A.60)
~X = 1 (~x1 +~x2 ) 2
(A.61)
abhängig. Das obige Matrixelement ergibt sich dann zu
Z Z Z Z am~bm , an~bn = d 3 x1 d 3 x2 d 3 x2 d 3 x4 ak~bk , al~bl G ∼
~x3 ,~x4 ~x3 ,~x4 am~bm , an~bn (A.62) × ak~bk , al~bl ~x1 ,~x2 ~x1 ,~x2 G ∼
Nach Transformation auf Schwerpunkt- und Relativkoordinaten,
am~bm , an~bn = ak~bk , al~bl G ∼
~ 1 ~ ? 2 ~X − 1~x −~b? 2 X + 2~x − bk l 2 = d X d x exp − − 2a?k 2a?l (A.63) ~ 1 ~ 2 ~X − 1~x −~bn 2 X + 2~x − bm ~x 2 2 × exp − exp − − 2κ 2am 2an Z
3
Z
3
ergibt die Integration
am~bm , an~bn = Gklmn = ak~bk , al~bl G ∼ 3/2 2 2 ~ρ klmn ~π ln2 κ 1 ~π km 3 3/2 = (2π ) (α km α ln ) exp − + + α klmn + κ 2(α klmn + κ ) 2 λ km λ ln (A.64) 3/2 2 ~ρ klmn κ = Rkm Rln exp − α klmn + κ 2(α klmn + κ ) ˜ =: Rkm Rln Gklmn . Das Matrixelement ist somit proportional zu den Ortsüberlapps Rkm und Rln multipliziert mit einem exponentiell abfallenden Faktor G˜ klmn , in den der “Abstand” der Nukleonen ~ρ klmn und die Reichweite κ der Wechselwirkung eingehen. Die Ableitungen des Matrixelements Gklmn nach den Parametern a?k und ~b?k sind ∂ ∂ ∂ Gklmn = Rkm Rln G˜ klmn + Rkm Rln ? G˜ klmn , ? ? ∂ak ∂a ∂ak k ∂ ∂ ∂ Gklmn = Rkm Rln G˜ klmn + Rkm Rln ? G˜ klmn ? ? ~ ~ ~ ∂b ∂b ∂b k
k
(A.65) (A.66)
k
(A.67)
69
A. Matrixelemente
mit
∂ ˜ ∂ 3 1 Gklmn = − α klmn ∂a?k 2 α klmn + κ ∂a?k 1 1 ∂ 1 ∂ 2 2 ~ρ klmn G˜ klmn ~ρ − − 2(α klmn + κ ) ∂a?k klmn 2 ∂a?k α klmn + κ
und
∂ ˜ 1 ∂ 2 ~ρ G˜ klmn . Gklmn = − 2(α klmn + κ ) ∂~b?k klmn ∂~b?k
(A.68)
(A.69)
Kinetische Energie Das Matrixelement der kinetischen Energie ist durch 2
Z
al~bl al~bl = d 3 x ak~bk ~x − 1 ∂ ak~bk T ~ x ∼ 2m ∂~x2 Z (~x −~b?k )2 1 ∂ ∂ (~x −~bl )2 3 = · d x exp − exp − 2m ∂~x 2a?k ∂~x 2al
(A.70)
gegeben. Nun können die Ableitungen nach ~x auf Ableitungen nach den Parametern ~b?k und ~bl umgeschrieben werden Z
(~x −~b?k )2 ∂ ∂ (~x −~bl )2 3 al~bl = 1 ak~bk T · d x exp − exp − ∼ 2m 2a?k 2al ∂~b?k ∂~bl 1 ∂ ∂ = Rkl · 2m ∂~b?k ∂~bl (A.71) (~b?k −~bl )2 1 3 Rkl = − 2m a?k + al (a?k + al )2 1 = 3λ kl + ~π kl2 Rkl . 2m Die Ableitungen der Matrixelemente der kinetischen Energie ergeben sich zu ∂ ∂ ~ ~ 1 ∂ ∂ 2 (A.72) al bl = ak bk T Rkl 3 ? λ kl + 2~π kl · ? ~π kl Rkl + 3λ kl + ~π kl ∼ ∂a?k 2m ∂ak ∂ak ∂a?k ∂ ∂ ~ ~ 1 ∂ 2 ~π kl Rkl + 3λ kl + ~π kl (A.73) al bl = ak bk T Rkl . 2~π kl · ∼ 2m ∂~b?k ∂~b?k ∂~b?k Beim Zweiteilchenanteil der korrelierten kinetischen Energie (3.41) treten neben dem Beitrag ˆ [2] , der einem Zentralpotential entspricht, noch die impulsabhängigen Beiträge T ∼ pot
70
− − → ← ∂ 1 ∂ ~ ~X ,~x Tˆ [2] X,~x = ∼r ∂x 2µ?r (x) ∂x
(A.74)
A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente
und
− − → ← ~X,~x Tˆ [2] ~X,~x = ∂ 1 ∂ ∼~r ∂~x 2µ(x) ∂~x
(A.75)
auf. Zur Berechnung des Wechselwirkungsanteils (A.74) wird die Radialabhängigkeit der effektiven Masse durch Gaußfunktionen approximiert 1 2µ?r (x)
∼ = ∑ γ i x2 Gi (x) .
(A.76)
i
Beim zu berechnenden Matrixelement [2]
ˆ r am~bm , an~bn = ak~bk , al~bl T ∼ Z Z ∂ ~ ~ 1 ∂ ~ 3 3 ~ ~ ~ = d X d x ~x · ~x · ak bk , al bl X,~x X,~x am bm , an bn ∂~x 2µ?r (x) x2 ∂~x ~ 1 ~ ? 2 Z Z ~X − 1~x −~b? 2 X + 2~x − bk 1 ∂ l 3 3 2 = d X d x ~x · − exp − (A.77) ? ? ? ∂~x 2ak 2al 2µr (x) x2 ~ 1 ~ 2 ~X − 1~x −~bn 2 X + 2~x − bm ∂ 2 × ~x · − exp − ∂~x 2am 2an lassen sich ~x und die Ableitungen nach ~x durch Ableitung nach den Parametern der Gaußpakete ausdrücken: [2]
ˆ am~bm , an~bn = ak~bk , al~bl T ∼r Z Z 1 ∂ ∂ 3 3 ? ∂ ? ∂ ? ~? ~ = d X d x · ak ? − al ? + (bk − bl ) − 2 ∂~b?l ∂~b?k ∂~bk ∂~bl ~ 1 ~ ? 2 ~X − 1~x −~b? 2 X + 2~x − bk 1 l 2 × exp − − ? ? ? 2ak 2al 2µr (x) x2 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ~ ~ · am × − − an + (bm − bn ) 2 ∂~bn ∂~bm ∂~bm ∂~bn ~ 1 ~ 2 ~X − 1~x −~bn 2 X + 2~x − bm 2 × exp − − 2am 2an (A.78) 1 ∂ ∂ ? ∂ ? ∂ ? ~? ~ = · ak − − al + (bk − bl ) 2 ∂~b?l ∂~b?k ∂~b?k ∂~b?l 1 ∂ ∂ ∂ ∂ × · am − − an + (~bm −~bn ) 2 ∂~bn ∂~bm ∂~bm ∂~bn ~ 1 ~ ? 2 Z Z ~X − 1~x −~b? 2 X + 2~x − bk 1 l 3 3 2 × d X d x exp − − ? ? ? 2ak 2al 2µr (x) x2 ~ 1 ~ 2 ~X − 1~x −~bn 2 X + 2~x − bm 2 . × exp − − 2am 2an
71
A. Matrixelemente
Mit der Approximation der Radialabhängigkeit der effektiven Masse (A.76) und dem Gaußintegral (A.64) folgt
[2] ˆ am~bm , an~bn ∼ ak~bk , al~bl T = ∼r 1 ∂ ∂ ? ∂ ? ∂ ? ? = · ak ? − al ? + (~bk −~bl ) − 2 ∂~b?l ∂~b?k ∂~b ∂~bl k 1 ∂ ∂ ∂ ∂ × · am − − an + (~bm −~bn ) (A.79) 2 ∂~bn ∂~bm ∂~bm ∂~bn 3/2 2 ~ρ klmn κi × Rkm Rln ∑ γ i exp − . α klmn + κ i 2(α klmn + κ i) i
Die Ausführung der Ableitungen ergibt
[2] ˆ r am~bm , an~bn ∼ ak~bk , al~bl T = ∑ γi ∼
i
κi
2
α klmn + κ i
2 2 β klmn θ klmn ~ρ 4 ~ρ klmn · ~π klmn − ~ρ klmn · ~π klmn ~ρ klmn + 2(α klmn + κ i ) 4(α klmn + κ i)2 klmn α klmn κ i β klmn θ klmn 2 2 ~π klmn − ~ρ ~ρ klmn · ~π klmn + + α klmn + κ i 2(α klmn + κ i ) 4(α klmn + κ i)2 klmn 2 κi θ klmn 2 ~ρ −2 − β klmn ~ρ klmn · ~π klmn α klmn + κ i α klmn + κ i klmn 2 1 θ klmn κi α klmn κ i 2 ~ρ klmn + 3 + λ klmn − 4 α klmn + κ i α klmn + κ i α klmn + κ i 2 κi + 3θ klmn Giklmn . α klmn + κ i
×
72
(A.80)
Die Ableitungen des Matrixelements nach den Parametern lauten
A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente
73
[2] ∂ ~ ˆ r am~bm , an~bn ∼ ak bk , al~bl T = ? ∼ ∂ak 2 2 2 κi β klmn θ klmn 4 ~ ~ ~ ~ ~ ~ = ∑ γi ρ klmn · π klmn − ρ klmn · π klmn ρ klmn + ρ α klmn + κ i 2(α klmn + κ i ) 4(α klmn + κ i)2 klmn i α klmn κ i β klmn θ klmn 2 2 ~ ~ ~ ~ + π klmn − ρ klmn · π klmn + ρ α klmn + κ i 2(α klmn + κ i) 4(α klmn + κ i )2 klmn 2 κi θ klmn 2 ~ρ −2 − β klmn ~ρ klmn · ~π klmn α klmn + κ i α klmn + κ i klmn 2 2 1 ∂ i θ klmn κi α klmn κ i κi 2 ~ρ klmn + 3 + + 3θ klmn + λ klmn − G 4 α klmn + κ i α klmn + κ i α klmn + κ i α klmn + κ i ∂a?k klmn 2 2 κi ∂ κi β klmn θ klmn 4 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ρ · π − ρ · π ρ + ρ klmn klmn klmn klmn klmn α klmn + κ i ∂a?k α klmn + κ i 2(α klmn + κ i ) 4(α klmn + κ i )2 klmn 2 ∂ κi ~ρ klmn · ~π klmn + 2 ~ρ klmn · ~π klmn ? α klmn + κ i ∂ak 2 1 β klmn ∂ 1 ∂ ~ρ klmn · ~π klmn ~ρ klmn − β + klmn ? ? 2(α klmn + κ i ) ∂ak 2 ∂ak α klmn + κ i 2 ∂ 2 β klmn ∂ ~ρ klmn · ~π klmn ~ρ klmn + ~ρ klmn · ~π klmn ~ρ − 2(α klmn + κ i ) ∂a?k ∂a?k klmn 1 ∂ θ klmn 1 θ klmn ∂ 2 ∂ 4 2 ~ρ ~ρ ~ρ + θ klmn + + 4(α klmn + κ i )2 ∂a?k 2(α klmn + κ i ) ∂a?k α klmn + κ i klmn 2(α klmn + κ i)2 klmn ∂a?k klmn κi ∂ ∂ κi β klmn θ klmn 2 2 ~ ~ ~ ~ + α klmn + α klmn ? π klmn − ρ klmn · π klmn + ρ α klmn + κ i ∂a?k ∂ak α klmn + κ i 2(α klmn + κ i ) 4(α klmn + κ i)2 klmn
74 und
A. Matrixelemente
∂ 2 β klmn ∂ 1 1 ∂ ~ρ klmn · ~π klmn ~π klmn − β klmn + ? ? ? ∂ak 2(α klmn + κ i) ∂ak 2 ∂ak α klmn + κ i 1 β klmn ∂ θ klmn 1 ∂ ∂ ~ρ 2 ~ρ klmn · ~π klmn + − θ klmn + 2(α klmn + κ i ) ∂a?k 4(α klmn + κ i )2 ∂a?k 2(α klmn + κ i ) ∂a?k α klmn + κ i klmn θ klmn ∂ 2 ~ + ρ 4(α klmn + κ i )2 ∂a?k klmn κi ∂ κi θ klmn 2 ~ρ −4 − β klmn ~ρ klmn · ~π klmn α klmn + κ i ∂a?k α klmn + κ i α klmn + κ i klmn 2 1 κi ∂ ∂ 1 θ klmn ∂ 2 ~ρ 2 + ~ρ −2 θ + θ klmn klmn α klmn + κ i α klmn + κ i ∂a?k ∂a?k α klmn + κ i klmn α klmn + κ i ∂a?k klmn (A.81) ∂ ∂ − ? β klmn ~ρ klmn · ~π klmn − β klmn ? ~ρ klmn · ~π klmn ∂ak ∂ak 2 1 ∂ ∂ ∂ 1 κi α klmn κ i 1 2 ~ + λ − θ − θ ρ + 3 klmn klmn klmn klmn 4 ∂a?k α klmn + κ i ∂a?k ∂a?k α klmn + κ i α klmn + κ i α klmn + κ i 2 1 ∂ θ klmn κi κi κi ∂ 2 2 ~ρ klmn ~ρ + 2 λ klmn − + ? 4 α klmn + κ i α klmn + κ i ∂ak α klmn + κ i α klmn + κ i ∂a?k klmn κi ∂ ∂ κi +3 α + 3 α klmn klmn α klmn + κ i ∂a?k ∂a?k α klmn + κ i 2 ∂ κi κi ∂ κi i + 3 ? θ klmn Gklmn + 6θ klmn ∂ak α klmn + κ i α klmn + κ i ∂a?k α klmn + κ i
α klmn κ i + α klmn + κ i
75
A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente
[2] ∂ ~ ˆ r am~bm , an~bn ∼ ak bk , al~bl T = ∼ ∂~b?k 2 2 2 κi β klmn θ klmn 4 ~ρ klmn · ~π klmn − ~ρ ~ρ klmn · ~π klmn ~ρ klmn + = ∑ γi α klmn + κ i 2(α klmn + κ i) 4(α klmn + κ i )2 klmn i α klmn κ i β klmn θ klmn 2 2 ~π klmn − ~ρ ~ρ klmn · ~π klmn + + α klmn + κ i 2(α klmn + κ i) 4(α klmn + κ i )2 klmn 2 κi θ klmn 2 ~ρ −2 − β klmn ~ρ klmn · ~π klmn α klmn + κ i α klmn + κ i klmn 2 2 1 ∂ i θ klmn κi α klmn κ i κi 2 ~ρ klmn + 3 + + 3θ klmn λ klmn − Gklmn + 4 α klmn + κ i α klmn + κ i α klmn + κ i α klmn + κ i ∂~b?k 2 ∂ κi ~ρ klmn · ~π klmn 2 ~ρ klmn · ~π klmn (A.82) ? α klmn + κ i ∂~bk 2 ∂ 2 β klmn θ klmn ∂ 2 ∂ 2 ~ρ klmn · ~π klmn ~ρ klmn + ~ρ klmn · ~π klmn ~ρ klmn + ~ρ ~ρ − 2(α klmn + κ i) ∂~b?k 2(α klmn + κ i ) klmn ∂~b?k klmn ∂~b?k ∂ 2 α klmn κ i β klmn θ klmn ∂ ∂ 2 ~ρ klmn · ~π klmn + ~π klmn − ~ρ klmn + α klmn + κ i ∂~b? 2(α klmn + κ i ) ∂~b?k 4(α klmn + κ i ) ∂~b?k k 2 κi θ klmn ∂ 2 ∂ ~ρ −2 − β klmn ? ~ρ klmn · ~π klmn α klmn + κ i α klmn + κ i ∂~b? klmn ∂~bk k 2 1 θ klmn κi ∂ 2 i ~ρ klmn Gklmn . + λ klmn − 4 α klmn + κ i α klmn + κ i ∂~b?k
A. Matrixelemente
Zur Berechnung von Matrixelementen mit dem Wechselwirkungsanteil (A.75) wird die Radialabhängigkeit der effektiven Masse Msp (x) durch Gaußfunktionen (A.59) approximiert: 1 ∼ = γ i Gi (x) . 2µ(x) ∑ i
(A.83)
Bei der Berechnung des Matrixelements
[2] ˆ am~bm , an~bn = ak~bk , al~bl T ∼~r Z Z
1 ∂ ~ ∂ 3 3 ~X,~x am~bm , an~bn = d X d x × ak bk , al~bl ~X,~x · ∂~x 2µ(x) ∂~x ~ 1 ~ ? 2 Z Z ~X − 1~x −~b? 2 X + 2~x − bk ∂ l 3 3 2 = d X d x · − exp − ∂~x 2a?k 2a?l ~ 1 ~ 2 ~X − 1~x −~bn 2 X + 2~x − bm 1 ∂ 2 . − exp − 2µ(x) ∂~x 2am 2an
(A.84)
werden die Ableitungen nach ~x wieder auf Ableitungen nach den Parametern umgeschrieben:
[2] ˆ am~bm , an~bn = ak~bk , al~bl T ∼~r =
Z
Z
d3X
d3x
~ 1 ~ ? 2 ~X − 1~x −~b? 2 X + 2~x − bk 1 ∂ 1 ∂ l 2 × · − ? exp − − ? ? ? 2 ∂~bl ∂~bk 2ak 2al 2µ(x) ~ 1 ~ 2 ~X − 1~x −~bn 2 X + 2~x − bm 1 ∂ ∂ 2 × exp − − − 2 ∂~bn ∂~bm 2am 2an Z Z 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ = − ? · − d3X d3x ? 2 ∂~bl ∂~bk 2 ∂~bn ∂~bm ~ 1 ~ ? 2 ~X − 1~x −~b? 2 1 X + 2~x − bk l 2 × exp − − 2a?k 2a?l 2µ(x) ~ 1 ~ 2 2 ~X − 1~x −~bn X + 2~x − bm 2 × exp − . − 2am 2an
(A.85)
Mit der Approximation (A.83) und dem Gaußintegral (A.64) nimmt das Matrixelement dann die Gestalt
76
[2] 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ˆ am~bm , an~bn ∼ ak~bk , al~bl T · − − = ∼~r 2 ∂~b?l ∂~b?k 2 ∂~bn ∂~bm 3/2 2 ~ρ klmn κi × Rkm Rln ∑ γ i exp − (A.86) α klmn + κ i 2(α klmn + κ i ) i
A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente
an. Die Ausführung der Ableitungen führt auf
[2] ˆ am~bm , an~bn ∼ ak~bk , al~bl T = ~ r ∼ 2 = ∑ γ i ~π klmn − i
θ klmn
2(α klmn + κ i )
~ρ klmn · ~π klmn +
θ klmn 3 Giklmn . + λ klmn − 4 α klmn + κ i
θ klmn
4(α klmn + κ i )2
2 ~ρ klmn
(A.87)
77
∂ ~ ~bl Tˆ [2] am~bm , an~bn ∼ a b , a = k k l ∼~r ∂a?k ∂ i θ klmn θ klmn θ klmn 3 2 2 ~ ~ρ klmn · ~π klmn + = ∑ γ i ~π klmn + − ρ + λ − G klmn 2(α klmn + κ i ) 4(α klmn + κ i )2 klmn 4 α klmn + κ i ∂a?k klmn i ∂ 2 ∂ 1 ∂ θ klmn 1 1 ∂ ~ρ klmn · ~π klmn − ~ρ klmn · ~π klmn ~ π − θ + θ klmn klmn klmn ? ? ? ? ∂ak 2 ∂ak α klmn + κ i α klmn + κ i ∂ak 2(α klmn + κ i ) ∂ak (A.88) θ klmn 1 ∂ θ klmn 1 ∂ ∂ 2 2 ~ρ + + θ klmn ~ρ klmn + 2(α klmn + κ i) ∂a?k α klmn + κ i 4(α klmn + κ i)2 ∂a?k 4(α klmn + κ i ) ∂a?k klmn ∂ θ klmn ∂ 1 3 ∂ λ klmn 1 i Gklmn , + − − θ klmn ? 4 ∂a?k α klmn + κ i ∂a?k ∂ak α klmn + κ i und [2] ∂ ~ ˆ am~bm , an~bn ∼ ak bk , al~bl T = ∼~r ? ~ ∂ bk ∂ i θ klmn θ klmn θ klmn 3 2 2 ~ρ ~ρ klmn · ~π klmn + = ∑ γ i ~π klmn − + λ klmn − Gklmn + 2(α klmn + κ i ) 4(α klmn + κ i)2 klmn 4 α klmn + κ i ∂~b?k i ∂ 2 θ klmn θ klmn ∂ ∂ 2 i ~ρ klmn · ~π klmn + ~π klmn − ~ρ G . 2(α klmn + κ i ) ∂~b?k 4(α klmn + κ i ) ∂~b?k klmn klmn ∂~b?k
(A.89)
A. Matrixelemente
78
Die Ableitung nach den Parametern ergibt
A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente
Kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung Die kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung (2.60) besitzt einen Ein- und einen Zweiteil[1] [2] chenanteil T =T +T mit den Matrixelementen ∼ cm ∼ cm ∼ cm
und
[1] al~bl = 1 3λ kl + ~π kl2 Rkl ak~bk T cm ∼ 2Am
[2] am~bm , an~bn = ak~bk , al~bl T ∼ cm
(A.90)
1 ~π km · ~π ln Rkm Rln . 2Am
(A.91)
Die Ableitungen der Matrixelemente sind ∂ ∂ ~ [1] ~ 1 ∂ ∂ 2 al bl = ak bk T Rkl (A.92) 3 ? λ kl + 2~π kl · ? ~π kl Rkl + 3λ kl + ~π kl ∼ cm ∂a?k 2Am ∂ak ∂ak ∂a?k ∂ ∂ ~ [1] ~ 1 ∂ 2 ~π kl Rkl + 3λ kl + ~π kl (A.93) al bl = ak bk T Rkl 2~π kl · ∼ cm 2Am ∂~b? ∂~b? ∂~b? k
k
k
und [2] ∂ ~ am~bm , an~bn = ak bk , al~bl T cm ? ∼ ∂ak ∂ 1 ∂ ~π km · ~π ln Rkm Rln + ~π km · ~π ln Rkm Rln , 2Am ∂a?k ∂a?k
(A.94)
∂ ~ ~ ~bl T [2] ~ a b , a cm am bm , an bn = k k l ∼ ∂~b?k ∂ 1 ∂ ~π km · ~π ln Rkm Rln + ~π km · ~π ln Rkm Rln . (A.95) 2Am ∂~b? ∂~b? k
k
Zentrale Wechselwirkung Die Radialabhängigkeit der Wechselwirkung V (x) wird durch eine Summe von Gaußfunktionen approximiert
~X,~x V ~X,~x = V (x) ∼ (A.96) = ∑ γ i Gi (x) . ∼
i
Nach (A.64) ergibt sich das Wechselwirkungsmatrixelement dann zu
ak~bk , al~bl V am~bm , an~bn ∼ = ∑ γ i Gi ∼
klmn
(A.97)
i
mit den Ableitungen
und
∂ ~ ∂ i am~bm , an~bn ∼ ak bk , al~bl V γ G = i ∑ ? ∼ ∂ak ∂a?k klmn i
(A.98)
∂ ~ ∂ am~bm , an~bn ∼ ak bk , al~bl V = ∑ γ i ? Giklmn . ∼ ? ∂~b ∂~b i
(A.99)
k
k
79
A. Matrixelemente
Tensor Wechselwirkung Um bei Tensorwechselwirkung
~σ (1) ·~x ~σ (2) ·~x ∼ ∼ ~X,~x V T ~X,~x = 3 − ~σ∼ (1) · ~σ∼ (2) VT (x) ∼ x2
(A.100)
die Matrixelemente auf Ableitungen des Gaußintegrals zurückführen zu können, wird die Radialabhängigkeit hier wie folgt durch Gaußfunktionen approximiert VT (x) ∼ = ∑ γ i x2 Gi (x) .
(A.101)
i
Unter Verwendung der Spinmatrixelemente (A.34) bzw. (A.35) findet man für das Matrixelement
am~bm χ m , an~bn χ n = ak~bk χ k , al~bl χ l V T ∼ =
Z
3
d X
Z
d x 3 ~σ km ·~x ~σ ln ·~x − ~σ km · ~σ ln x2
3
VT (x)
~X,~x am~bm , an~bn . × ak~bk , al~bl ~X,~x x2
(A.102)
Auch hier werden die ~x durch Ableitungen nach den Parametern der Gaußpakete ausgedrückt am~bm χ m , an~bn χ n = ak~bk χ k , al~bl χ l V ∼T ∂ ∂ ∂ ∂ = 3~σ km · a?k ? − a?l ? + (~b?k −~b?l ) ~σ ln · am − an + (~bm −~bn ) ∂~bk ∂~bl ∂~bm ∂~bn ? ∂ ∂ ∂ ? ∂ ? ~? ~ ~ ~ ~ ~ − σ km · σ ln ak − al + (bk − bl ) · am − an + (bm − bn ) ∂~b?k ∂~b?l ∂~bm ∂~bn (A.103) ~ 1 ~ ? 2 Z Z ~X − 1~x −~b? 2 VT (x) ~ x − b X + k l 3 3 2 2 × d X d x ∑ γ i exp − − 2a?k 2a?l x2 i ~ 1 ~ 2 ~X − 1~x −~bn 2 X + 2~x − bm 2 . × exp − − 2am 2an
Nach Ausführung der Integration und der Ableitungen ergibt sich mit der Approximation (A.101) und dem Gaußintegral (A.64)
am~bm χ m , an~bn χ n ∼ ak~bk χ k , al~bl χ l V = ∼T 2 3 ~σ km · ~ρ klmn ~σ ln · ~ρ klmn − ~σ km · ~σ ln ~ρ klmn ∑ i
80
κi α klmn + κ i
2 Giklmn (A.104)
A.2. Wechselwirkungsmatrixelemente
und die Ableitungen ∂ ~ am~bm χ m , an~bn χ n ∼ ak bk χ k , al~bl χ l V = T ? ∼ ∂ak ∂ ∂ 3 ~σ km · ? ~ρ klmn ~σ ln · ~ρ klmn + 3 ~σ km · ~ρ klmn ~σ ln · ? ~ρ klmn ∂ak ∂ak 2 ∂ 2 κi ~ρ − ~σ km · ~σ ln Giklmn + ∂a?k klmn ∑ α + κ klmn i i 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 σ km · ρ klmn σ ln · ρ klmn − σ km · σ ln ρ klmn ×∑ 2 i
κi α klmn + κ i
∂ ∂a?k
κi
Giklmn +
α klmn + κ i
κi α klmn + κ i
2
(A.105) ∂ i , G ∂a?k klmn
∂ ~ am~bm χ m , an~bn χ n ∼ a b χ k , al~bl χ l V = k k ∼T ? ~ ∂ bk ∂ ∂ ~ρ klmn ~σ ln · ~ρ klmn + 3 ~σ km · ~ρ klmn ~σ ln · ~ρ klmn 3 ~σ km · ? ? ∂~bk ∂~bk 2 ∂ 2 κi ~ρ klmn ∑ − ~σ km · ~σ ln Giklmn + (A.106) ? ~ α + κ klmn i ∂ bk i 2 2 κi ∂ i 3 ~σ km · ~ρ klmn ~σ ln · ~ρ klmn − ~σ km · ~σ ln ~ρ klmn ∑ Gklmn , α klmn + κ i ∂~b?k i und ∂ ~ am~bm χ m , an~bn χ n ∼ ak bk χ k , al~bl χ l V = T ∼ ∂χk 2 2 ∂ ∂ κi ~σ km · ~ρ klmn ~σ ln · ~ρ klmn − ~σ km · ~σ ln ~ρ klmn ∑ 3 Giklmn . (A.107) ∂χk ∂χk α klmn + κ i i Spin-Bahn Wechselwirkung Die Approximation der Spin-Bahn Wechselwirkung
~X,~x V LS ~X ,~x = VLS (x) ~x × 1 ∂ · ~S ∼ i ∂~x ∼
(A.108)
durch Gaußfunktionen VLS (x) ∼ = ∑ γ i Gi (x)
(A.109)
i
81
A. Matrixelemente
ergibt für das Matrixelement
am~bm χ m , an~bn χ n = ak~bk χ k , al~bl χ l V ∼ LS
1 ∂ = d X d x ak~bk , al~bl ~X,~x VLS (x) ~x × · ~Sklmn ~X,~x am~bm , an~bn i ∂~x 1 ∂ ∂ ? ∂ ? ∂ ? ~? ~ = ak · ~Sklmn − al + (bk − bl ) × − 2i ∂~bn ∂~bm ∂~b?k ∂~b?l ~ 1 ~ ? 2 (A.110) Z Z ~X − 1~x −~b? 2 X + 2~x − bk l 3 3 2 VLS (x) × d X d x ∑ γ i exp − − 2a?k 2a?l i ~ 1 ~ 2 ~X − 1~x −~bn 2 X + 2~x − bm 2 × exp − − 2am 2an Z
Z
3
3
mit
~Sklmn = χ k , χ l 1 ~σ ⊗ 1 + 1 ⊗ ~σ χ m , χ n = 2 ∼ ∼ ∼ ∼
1 2
~σ km Sln + Skm~σ ln .
(A.111)
Nach Integration und Ausführung der Ableitungen findet man
am~bm χ m , an~bn χ n ∼ ak~bk χ k , al~bl χ l V = ∼ LS
~ρ klmn × ~π klmn · ~Sklmn ∑ γ i i
κi α klmn + κ i
Giklmn . (A.112)
Die Ableitungen des Spin-Bahn-Matrixelements sind ∂ ~ am~bm χ m , an~bn χ n ∼ ak bk χ k , al~bl χ l V = LS ? ∼ ∂ak ∂ κi ∂ ~ ~ρ klmn × ~π klmn + ~ρ klmn × ? ~π klmn · Sklmn ∑ γ i Giklmn + ∂a?k ∂ak α + κ klmn i i (A.113) ∂ ∂ i κ κi i i ~ ~ρ klmn × ~π klmn · Sklmn ∑ γ i Gklmn + , G ∂a?k α klmn + κ i α klmn + κ i ∂a?k klmn i
∂ ~ am~bm χ m , an~bn χ n ∼ a b χ k , al~bl χ l V = k k LS ∼ ∂~b?k ∂ κi ∂ ~ ~ρ klmn × ~π klmn + ~ρ klmn × ~π klmn · Sklmn ∑ γ i Giklmn + α + κ klmn i ∂~b?k ∂~b?k i ∂ κ i ~ρ klmn × ~π klmn · ~Sklmn ∑ γ i Gi ? klmn ~ α + κ klmn i ∂ b i k
82
(A.114)
A.3.
Faktorisierungsnäherungen
und ∂ ~ am~bm χ m , an~bn χ n ∼ ak bk χ k , al~bl χ l V = LS ∼ ∂χk 1 ∂ κi ~ρ klmn × ~π klmn · ~σ km Sln ∑ γ i Giklmn + 2 ∂χk α + κ klmn i i ∂ i κ i ~ρ klmn × ~π klmn · ~Sklmn ∑ γ i G . α klmn + κ i ∂~b? klmn i k
A.3.
(A.115)
Faktorisierungsnäherungen
Die Rechenzeit für die Bestimmung der Matrixelement steigt mit A4 (siehe hierzu Anhang D). Bei großen Kernen A & 100 oder vielen “runs” müssen deswegen Näherungen für die Matrixelemente gefunden werden, die den numerischen Aufwand reduzieren. Im Rahmen der FMD hat Jürgen Schnack [Sch96] Faktorisierungsnäherungen entwickelt, die den Rechenzeitbedarf deutlich reduzieren. Die Faktorisierungsnäherungen sind nur für bestimmte Wechselwirkungen geeignet. Sie eignen sich nicht für Wechselwirkungen, die schalenmodellartige Kerne bilden, und versagt sowohl im Fall eines dynamischen Spins als auch bei Zuständen, die aus mehr als einer Slaterdeterminante gebildet werden. Die Idee der Faktorisierungsnäherung ist es, die außerdiagonalen Matrixelemente nicht explizit zu berechnen. Statt dessen wird das diagonale Matrixelement mit einem multiplikativen Faktor versehen, in den die Überlapps der Einteilchenzustände eingehen. Dadurch soll der Einfluß der Antisymmetrisierung berücksichtigt werden. Für verschwindende Überlapps der Einteilchenzustände geht die Faktorisierungsnäherung in die exakten Ausdrücke über. Es gibt zwei Varianten der Faktorisierungsnäherung. Bei der ersten geht nur das direkte Matrixelement der Wechselwirkung in die Näherung ein. Diese Variante wird für die Coulomb-Wechselwirkung benutzt. Bei der zweiten Variante werden der direkte und der Austauschterm für die Näherung benutzt. Die hier dargestellten Formeln stellen eine unter dem Aspekt der Optimierung der Rechenzeit leicht modifizierte Fassung der Faktorisierungsnäherung dar. Verwendete Größen der Faktorisierungsnäherung sind
qk , ql ql , qk n n = kl lk , ω kl = ω lk =
nkk nll qk , ql qk , ql
qk , ql ql , qk ζk = ∑
qk , ql = ∑ ω kl , q , q k l l l
qk , qm qm , qk qm , ql ql , qm +
= ζ k + ζ l − 2ω kl − 2 , η kl = η lk = ∑
qk , qm qk , qm qm , ql ql , qm m6=k,l γ kl = erf 12 + η kl
(A.116) (A.117) (A.118) (A.119)
83
A. Matrixelemente
mit den Ableitungen ∂ nlk ω kl = ? ∂qk, j nkk nll
∂ nkl ∂ nkl − nkk ? ∂qk, j nkk ∂q?k, j
,
∂ ∂ ∂ ζl = ω kl + δ kl ∑ ? ? ? ω km , ∂qk, j ∂qk, j m6=l ∂qk, j ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ η kl = ζ k + ? ζ l − 2δ mk ? ω ml − 2δ ml ? ω mk , ? ? ∂qm, j ∂qm, j ∂qm, j ∂qm, j ∂qm, j 2 ∂ ∂ 2 γ kl = √ exp 12 + η kl η kl . ? ∂qm, j ∂q?m, j π
(A.120) (A.121) (A.122) (A.123)
Eine Diskussion der hier auftretenden Überlappmatrixelemente ist in [Sch96] zu finden.
A.3.1. Coulomb-Wechselwirkung In dieser Faktorisierungsnäherung wird nur das, analytisch berechenbare, diagonale Matrixelement der Coulomb-Wechselwirkung benutzt. Der Einfluß der Antisymmetrisierung wird durch eine multiplikative Korrektur genähert. In diesen Korrekturfaktor gehen die Überlapps der Einteilchenwellenfunktionen ein. Die Wirkung des Korrelationsoperators bleibt wegen der langen Reichweite der Coulomb-Wechselwirkung unberücksichtigt. Der Erwartungswert der Coulomb-Wechselwirkung in der Faktorisierungsnäherung ist
Q V
C Q 1 V C qm , qn omk onl − oml onk
∼ = q , q k l ∑ ∼ 2 k,l,m,n Q Q
(A.124) qk , ql V C qk , ql 1 ∼ ∼ (1 − γ kl ) + γ kl exp{−ω kl } = ∑
2 k6=l qk , ql qk , ql und die Kräfte ergeben sich zu
Q Q V ∂ ∼C
= ∂q?m, j Q Q
qm , ql qm , ql V C ∂ ∼ ∼
(1 − γ ml ) + γ ml exp{−ω ml } =∑ ? qm , ql qm , ql l6=m ∂qm, j
qm , ql qm , ql V ∂ C ∼ γ ml exp −ω ml −∑
ω kl (A.125) ∂q?m, j qm , ql qm , ql l6=m
qk , ql qk , ql V ∂ ∼C exp{−ω kl } − 1 +∑
γ kl ∂q?m, j qk , ql qk , ql
k6=l
84
A.3.
Faktorisierungsnäherungen
mit dem direkten Matrixelement der Coulomb-Wechselwirkung
qk , ql 2 qk , ql V ~ρ klkl p p e ∼C
= Pkk Pll √ . ~ρ klkl erf 2α klkl qk , ql qk , ql
(A.126)
Die Ableitungen des Matrixelements sind ∂ ∂a?k
qk , ql 2 qk , ql V ~ρ klkl 1 ∂ ∼C p p e erf √ ? ~ρ klkl
= −Pkk Pll ~ρ klkl 2α klkl ~ρ klkl ∂ak qk , ql qk , ql 2 2 ~ρ klkl 1 ∂ 1 ∂ 2 p p e √ exp − ~ρ klkl − √ + Pkk Pll (A.127) α klkl ~ρ klkl π 2α klkl 2α klkl ∂a?k 2α klkl ∂a?k
und
C qk , ql 2 ~ρ klkl ∂ qk , ql V 1 ∂ p p e ∼ erf √
= −Pkk Pll ~ρ klkl ~ρ klkl 2α klkl ~ρ klkl ∂~b?k qk , ql qk , ql ∂~b?k 2 2 ~ρ klkl 1 ∂ 2 p p e √ exp − ~ρ klkl . (A.128) √ + Pkk Pll ? ~ ~ρ klkl π 2α klkl 2α klkl ∂ bk
A.3.2. Nukleare Wechselwirkungen Für nukleare Wechselwirkungen wird eine andere Form der Faktorisierungsnäherung, in die das direkte und das Austauschmatrixelement eingehen, verwendet. Für den Erwartungswert der Wechselwirkung gilt nach dieser Näherung
Q Q V
1 V qm , qn omk onl − oml onk
∼ = q , q k l ∑ ∼ 2 k,l,m,n Q Q
(A.129) qk , ql a qk , ql V 1 1 ∼ ∼ exp − η kl . = ∑
2 k6=l qk , ql qk , ql a 4 Die zugehörigen Kräfte sind
Q Q V ∂ 1 ∂
∼ V qm , ql a
=∑
q , q m l ? ? ∼ ∂qm, j Q Q qm , ql qm , ql a ∂qm, j l6=m
qm , ql qm , ql V 1 ∂
∼
qm , ql qm , ql a exp − η ml − 4 qm , ql qm , ql 2a ∂q?m, j
qk , ql a qk , ql V 1 ∂ 1 ∼ exp − η kl − ∑
η kl . 4 k6=l qk , ql qk , ql a 4 ∂q?m, j (A.130)
85
A. Matrixelemente
A.4. Observablen In diesem Abschnitt werden die zur Berechnung von Dichten und Radien benötigten Matrixelemente vorgestellt.
A.4.1. Dichten Für die Matrixelemente der unkorrelierten Einteilchendichte im Ortsraum gelten unter Verwendung von
(1) (~x −~b?k )2 (~x −~bl )2 ~ ~ ak bk ρ (~x) al bl = exp − − ∼ 2a?k 2al
die folgenden Beziehungen
ak~bk χ k ξ k ρ (1) (~x) al~bl χ l ξ l = ak~bk ρ (1) (~x) al~bl Skl Tkl , ∼ ∼ (1) (1)
p ak~bk χ k ξ k ρ p (~x) al~bl χ l ξ l = ak~bk ρ (~x) al~bl Skl Pkl , ∼ ∼ (1)
ak~bk χ k ξ k ρ n (~x) al~bl χ l ξ l = ak~bk ρ (1) (~x) al~bl Skl Pkln . ∼
∼
Im Impulsraum gilt mit
ak~bk ρ (1) (~k) al~bl = (a?k al )3/2 exp − 12 (a?k + al )~k2 + i~k · (~b?k −~bl ) ∼
(A.131)
(A.132) (A.133) (A.134)
(A.135)
entsprechend
ak~bk χ k ξ k ρ (1) (~k) al~bl χ l ξ l = ak~bk ρ (1) (~k) al~bl Skl Tkl , ∼ ∼ (1) (1)
ak~bk χ k ξ k ρ p (~k) al~bl χ l ξ l = ak~bk ρ (~k) al~bl Skl Pklp , ∼ ∼ (1) (1)
~ ~ ~ ~ ak bk χ k ξ k ρ n (k) al bl χ l ξ l = ak bk ρ (~k) al~bl Skl Pkln .
∼
∼
(A.136) (A.137) (A.138)
A.4.2. Radien Zur Berechnung der Radien werden die Matrixelemente Z
d 3 x ak~bk ρ (1) (~x) al~bl ~x2 = 3α kl + ~ρ kl2 Rkl ∼
und
Z
Z 3
d x
d 3 x0 ak~bk , al~bl ρ (2) (~x,~x0 ) am~bm , an~bn ~x ·~x0 = ~ρ km · ~ρ ln Rkm Rln . ∼
(A.139)
(A.140)
benötigt. Für Protonen- und Neutronendichten sind die entsprechenden Projektoren (A.32) und (A.33) zu verwenden.
86
B. Potentiale im Orts- und Impulsraum Oftmals ist es zweckmäßiger, Wechselwirkungsmatrixelemente im Impuls- statt im Ortsraum auszuwerten. Auch sind Potentiale, die durch die Reduktion relativistischer Potentiale gegeben sind, zunächst nur im Impulsraum definiert.
~q1 ,~q2 lassen sich am sinnvollsten in Relativ- und SchwerImpulsraummatrixelemente ~q01 ,~q02 V ∼ punktimpulsen ~ = ~q1 +~q2 Q ~ 0 = ~q01 +~q02 Q
~q = 12 (~q1 −~q2 ) 0
~q =
1 0 q1 −~q02 ) 2 (~
(B.1) .
ausdrücken. Die Wechselwirkung ist unabhängig vom Schwerpunktsimpuls, so daß
0 0 ~ ,~q V Q,~ ~ q = δ (Q ~ 0 − Q)V ~ (~q0 ,~q) . Q ∼
(B.2)
(B.3)
Die Wechselwirkungsbeiträge lassen sich am geschicktesten mittels des Impulsübertrags ~k ~k = ~q0 −~q
(B.4)
~p = 12 (~q0 +~q)
(B.5)
und des mittleren Impulses ~p
ausdrücken. Die Transformation eines zentralen Potentials V (k) vom Impuls- in den Ortsraum entspricht einer Fouriertransformation. Z 1 ~ V (k) −→ V˜ (x) := d 3 kV (k) eik·~x . (B.6) (2π )3 Die nichtlokalen p2 -Terme eines p2V (k) Potentials im Impulsraum drücken sich im Ortsraum durch Gradienten aus −→ ←− 1 ∂2 1 ∂2 ˜ 2 ˜ p V (k) −→ − V (x) + V (x) 2 + ∆V˜ (x) 2 ∂x2 ∂x 4 (B.7) ← − − → ∂ ˜ ∂ 1 ˜ = V (x) − ∆V (x) . ∂~x ∂~x 4 Die Transformation eines Spin-Bahn-Potentials in den Ortsraum ergibt i(~k × ~p) ·~∼S V (k)
1 d ˜ −→ (~x × ~p) · ~∼S V (x) x dx 1 d ˜ = ~L ·~∼S V (x) . x dx
(B.8)
87
B. Potentiale im Orts- und Impulsraum
Für ein Tensorpotential gilt schließlich S (~k) ∼12
−→
1 d ˜ d2 ˜ S (~x) V (x) − 2 V (x) ∼12 x dx dx
(B.9)
wobei die Tensoroperatoren in Impuls- und Ortsraum S (~k) = 3(~σ∼ 1 ·~k)(~σ∼ 2 ·~k) − ~σ · ~σ k2 ∼1 ∼2
∼12
S (~x) = 3 ∼12 sind.
88
(~σ∼ 1 ·~x)(~σ∼ 2 ·~x) x2
− ~σ · ~σ ∼1 ∼2
(B.10) (B.11)
C. Wechselwirkungen
Im neuen FMD-Code können fast beliebige Wechselwirkungen eingesetzt werden. Effektive Wechselwirkungen wie das Volkov V2-Potential können direkt verwendet werden. Bei realistischeren Wechselwirkungen wie dem Malfliet-Tjon V- oder dem Afnan-Tang S3M-Potential muß eine korrelierte Wechselwirkung verwendet werden. Die Radialabhängigkeiten√der Wechselwirkungen müssen für den FMD-Code gaußförmig mit Stärke γ und Reichweite κ parametrisiert werden. Für die Beiträge der verschiedenen Komponenten gelten dabei mit der Gaußfunktion 2 x Gκ (x) = exp − 2κ
(A.59)
für die Beiträge der einzelnen Wechselwirkungskomponenten die folgenden Parametrisierungen V:
V (x) = γ Gκ (x)
(A.96)
VT :
VT (x) = γ x Gκ (x)
(A.101)
VLS :
VLS (x) = γ Gκ (x)
(A.109)
Tpot :
U (x) = γ Gκ (x) 1 = γ Gκ (x) 2µ(x) 1 = γ x2 Gκ (x) . ? 2µr (x)
T~r : Tr :
2
(A.96) (A.83) (A.76)
Die Wirkung im Spin- und Isospinraum wird durch obere Indizes σ , τ und σ τ angegeben, die die (σ∼ · σ∼ )-, (∼ τ ·∼ τ ) -und (σ · σ )(τ · τ )-Operatoren vertreten. ∼ ∼ ∼ ∼ Bei der Anpassung der Parameter werden die Reichweiten der verwendeten Gaußfunktionen vorgegeben und die Stärkeparameter nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate an den mit x2 gewichteten radialen Verlauf des Potentials oder der Massenterme angepaßt. Durch die Zahl und die Reichweiten der verwendeten Gaußfunktionen läßt sich die Qualität der Anpassung kontrollieren. Bei Verwendung eines fest vorgegebenen Potentials und zum Vergleich der FMD mit anderen Methoden wird man natürlich eine möglichst gute Anpassung vornehmen. Um umfangreiche Schwerionenreaktionen zu berechnen, wird man im Hinblick auf die Rechenzeit versuchen, eine Anpassung mit möglichst wenigen Gaußfunktionen zu finden. Vorteilhaft ist es bei allen Wechselwirkungskomponenten Gaußfunktionen mit gleichen Reichweiten zu verwenden. Der FMD-Code erkennt dies und kann wegen der Eigenschaften der Matrixelemente die
89
C. Wechselwirkungen
Rechenzeit entsprechend reduzieren. Es ist deswegen auch nicht sinnvoll, eigene Parametrisierungen etwa für Wigner- und Majorana-Komponenten der Wechselwirkungen einzuführen. Da im FMD-Code die Energie die Einheit fm−1 trägt, sind auch die Stärkeparameter in diesen Einheiten angegeben. In den Abbildungen wird allerdings die MeV-Skala verwendet.
C.1. Malfliet-Tjon V Das Malfliet-Tjon Potential V [MT69] wurde von Malfliet und Tjon zur Beschreibung des Tritons entwickelt. Es besitzt keine Spin- und Isospinabhängigkeit, die Radialabhängigkeit ist durch einen kurzreichweitigen abstoßenden Yukawaterm und einen mittelreichweitigen anziehenden Term gegeben. exp{−3.11 fm−1 r} exp{−1.55 fm−1 r} − 2.96 fm−1 . (C.1) r r Der Potentialverlauf ist zusammen mit dem Gaußfit in Abbildung C.1 dargestellt. Die Fitparameter sind in Tabelle C.1 zu finden. V (r) = 7.39 fm−1
80
200
exakt gefittet
60 r2 V(r) [MeV fm2 ]
V(r) [MeV]
150 100 50 0 -50
40 20 0 -20 -40
exakt gefittet
-60
-100 0
1
2
r [fm]
3
4
5
0
1
2
r [fm]
3
4
5
Abbildung C.1.: MTV-Potential und Gaußfit
V V V V V V
γ [fm−1 ]
κ [fm2 ]
34.113000 7.969230 0.774133 -0.528307 -0.165004 -0.070481
0.01 0.05 0.20 0.50 1.00 2.00
Tabelle C.1.: Gaußfit des MTV-Potentials. Für den Unitären Korrelator wurde die folgende Parametrisierung der Korrelationsfunktion R+ R+ (r) = r + α (r/β )η exp{− exp(r/β )}
90
(C.2)
C.1. Malfliet-Tjon V verwendet. Die Parameter α = 0.94 fm, β = 1.0 fm und η = 0.37 wurden von Robert Roth durch Minimierung der Deuteron Bindungsenergie bestimmt [Rot97]. 0.15
R+ (r) − r
0.125
fm
0.1 0.075 0.05 0.025 0 0
0.5
1
1.5 r [fm]
2
2.5
3
Abbildung C.2.: Korrelationsfunktion R+ (r) für das MTV-Potential Die Korrelationsfunktion ist in Abbildung C.2 dargestellt. Die sich mit diesem Korrelator ergeˆ [2] , Tˆ [2] bende effektive Wechselwirkung ist mit ihren Komponenten V und den effektiven Massen ∼ pot ∼ ? µr (r) und µ(r) in den Abbildungen C.3 zusammen mit den Gaußfits dargestellt. Die Fitparameter sind Tabelle C.2 zu entnehmen.
91
C. Wechselwirkungen
V V V V V V V V V V V
Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot
γ [fm−1 ]
κ [fm2 ]
12.0615649 6.9548944 4.5938999 1.5692365 0.0684969 0.2954898 -0.3882999 -0.2140002 -0.0513097 0.0020267 -0.0035886
0.001 0.004 0.016 0.064 0.128 0.256 0.512 1.024 2.048 3.072 4.096
γ [fm−1 ]
κ [fm2 ]
-25.1110040 -8.0591920 -2.8301404 -0.7378560 -0.9694262 -1.4223256 4.6797041 -6.8409021 5.6644282 -3.7329947 3.3334832 -2.1378830 0.7013693 -0.0466316
0.001 0.004 0.016 0.064 0.128 0.256 0.512 0.768 1.024 1.536 2.048 2.560 3.072 4.096
Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr
T~r T~r T~r T~r T~r T~r T~r
γ [fm]
κ [fm2 ]
0.0048797 4.4652639 1.0242148 0.2123215 0.4855731 0.1459136 -0.0911690 0.0423697 -0.0096523 0.0026643 -0.0001571
0.040 0.016 0.064 0.128 0.256 0.512 0.768 1.024 1.560 2.048 3.072
γ [fm3 ]
κ [fm2 ]
0.0010597 -0.0801659 0.0563154 -0.1181166 -0.0277750 0.0040732 -0.0004244
0.016 0.064 0.128 0.256 0.512 1.024 2.048
Tabelle C.2.: Gaußfit des korrelierten MTV-Potentials.
92
C.1. Malfliet-Tjon V
200
exakt gefittet
0 r2 Vˆ [2] (r) [MeV fm2 ]
150 ˆ [2] (r) [MeV] V
100 50 0
-20
-40
-50 -60
-100 0
1
2
3
4
5
0
r [fm]
1
2
3
4
5
r [fm]
100
30
r2 U(r) [MeV fm2 ]
0 U(r) [MeV]
exakt gefittet
-100 -200 -300
exakt gefittet
exakt gefittet
20 10 0 -10
-400 0
1
2
3
4
5
0
1
2
r [fm]
exakt gefittet
5
20 15 10
2µ?r (r)
[MeV fm4 ]
exakt gefittet
r2
[MeV fm2 ]
25
1
4
20
30
2µ?r (r)
3 r [fm]
15
10
5
5 0 0
1
2
3
4
5
0
1
2
r [fm]
0
5
-1
-30
2µ(r)
[MeVfm4 ]
-20
r2
[MeVfm2 ] 1
4
0
-10
2µ(r)
3 r [fm]
-2 -3 -4
exakt gefittet
-40 0
1
2
3 r [fm]
4
exakt gefittet
-5 5
0
1
2
3
4
5
r [fm]
Abbildung C.3.: Korrelierte MTV-Wechselwirkung mit Gaußfits.
93
C. Wechselwirkungen
C.2. Afnan-Tang S3M Das Afnan-Tang ATS3-Potential ist ursprünglich zur Untersuchung des Tritons entwickelt worden und wurde an die Streuphasen sowie Bindungsenergien und Kernradien für Deuteron und Triton angepaßt. Es zeigt in den im Spin und Isospin symmetrischen und antisymmetrischen Kanälen einen unterschiedlichen Verlauf. Da es für größere Kerne ebenfalls sehr stark überbindet, wurde in den symmetrischen Kanälen ein abstoßender Beitrag V C vorgeschlagen [GFMP81]. Dieses modifizierte Afnan-Tang S3-Potential wird als ATS3M bezeichnet. Da die Radialabhängigkeiten gaußförmig parametrisiert sind, ist das unkorrelierte ATS3M-Potential ohne Anpassung direkt in der FMD verwendbar. Die Parameter des Potentials sind in Tabelle C.4 angegeben, der Potentialverlauf in den einzelnen Kanälen ist in Abbildung C.4 dargestellt. 200
V01 V10 VC
r2 V(r) [MeV fm2 ]
V(r) [MeV]
150
V01 V10 VC
100
100 50 0
50 0 -50
-50 -100
-100 0
1
2
r [fm]
3
4
5
0
1
2
r [fm]
3
4
5
Abbildung C.4.: ATS3M-Potential Für jeden Kanal der ATS3M-Wechselwirkung wird ein eigener Korrelator bestimmt. Da das Potential in den symmetrischen Kanälen rein abstoßend ist, wird der Korrelator hier durch Minimierung der Energie des Zweiteilchensystems bei einer vorgegebenen Reichweite des Korrelators bestimmt [Rot97, FNRS98]. Der Korrelator wird wieder durch einen doppelt exponentiellen Abfall R+ (r) = r + α (r/β )η exp{− exp(r/β )}
(C.3)
parametrisiert. Die Korrelatorparameter sind in Tabelle C.3 angegeben. Die Korrelationsfunktionen in Abbildung C.5 dargestellt. In Abbildung C.6 sind die Beiträge der korrelierten Wechselwirkung zusammen mit den Fits dargestellt. In Tabelle C.5 sind die Parameter des Fits zusammengefaßt.
94
C.2.
R01 + R10 + RC +
0.2 R+ (r) − r [fm]
Afnan-Tang S3M
0.15 0.1 0.05 0 0
0.5
1
1.5 r [fm]
2
2.5
3
Abbildung C.5.: Korrelationsfunktionen R+ (r) für das ATS3M-Potential
α [fm]
β [fm]
η
1.81 1.43 2.30
1.07 0.95 1.10
0.67 0.78 0.80
(S, T ) = (0, 1) (S, T ) = (1, 0) (S, T ) = (0, 0), (S, T ) = (1, 1)
Tabelle C.3.: Korrelatorparameter der ATS3M-Wechselwirkung
γ [fm−1 ]
κ [fm2 ]
V V V V V
5.07054 -0.32461 -0.13587 -0.05198 -0.02029
0.16667 0.47619 0.62500 0.83333 1.25000
Vτ Vτ Vτ Vτ Vτ
0.00385 0.29102 -0.02266 0.02563 -0.00514
0.16667 0.47619 0.62500 0.83333 1.25000
γ [fm−1 ]
κ [fm2 ]
Vσ Vσ Vσ Vσ Vσ
0.00172 -0.11216 0.17112 -0.02043 0.02281
0.16667 0.47619 0.62500 0.83333 1.25000
Vστ Vστ Vστ Vστ Vστ
0.00279 0.08943 0.07423 0.00260 0.00884
0.16667 0.47619 0.62500 0.83333 1.25000
Tabelle C.4.: Parameter des ATS3M Potentials.
95
C. Wechselwirkungen 50
200
V01 V10 VC
25 r2 Vˆ [2] (r) [MeV fm2 ]
150 Vˆ [2] (r) [MeV]
100 50 0 -50
-25 -50 V01 V10 VC
-75
-100
-100 0
1
2
3
r [fm]
4
100
5
0
U01 U10 UC
1
2
3
r [fm]
4
0 -50 -100
5 U01 U10 UC
100 r2 U(r) [MeV fm2 ]
50 U(r) [MeV]
0
50
0
-150 -50 0
1
2
3
r [fm]
4
5
0
1
2
r [fm]
3
4
50
µ?r 01 µ?r 10 µ?r C
µ?r 01 µ?r 10 µ?r C
[MeV fm4 ]
50
30
r2
20
2µ?r (r)
1
2µ?r (r)
[MeV fm2 ]
40
5
40 30 20 10
10
0 0
1
2
r [fm]
3
4
5
0
0
1
2
r [fm]
3
4
0
µ01 µ10 µC
-5 -2
[MeVfm4 ]
-15
r2
-20 -25
µ01 µ10 µC
-30 -35 0
1
2
r [fm]
3
4
2µ(r)
1
2µ(r)
[MeVfm2 ]
-10
-4 -6 -8 -10
5
0
1
2
r [fm]
3
Abbildung C.6.: Korrelierte ATS3M-Wechselwirkung mit Gaußfits.
96
5
4
5
V V V V V V V V
-0.0029357 -0.0049225 -0.2089104 -0.0760462 -0.4632689 3.2254556 0.9594806 0.8155171
2.00 1.00 0.75 0.50 0.35 0.20 0.10 0.05
Vσ Vσ Vσ Vσ Vσ Vσ Vσ Vσ
0.0015628 0.0404015 0.0036147 0.1426615 -0.2985189 0.5288508 0.0224720 -0.2606686
2.00 1.00 0.75 0.50 0.35 0.20 0.10 0.05
Vτ Vτ Vτ Vτ Vτ Vτ Vτ Vτ
-0.0017851 0.0341583 -0.1045889 0.4999580 -0.3293438 0.3085573 0.1041411 -0.2174211
2.00 1.00 0.75 0.50 0.35 0.20 0.10 0.05
Vσ τ Vσ τ Vσ τ Vσ τ Vσ τ Vσ τ Vσ τ Vσ τ
-0.0001112 0.0372799 -0.0504871 0.3213098 -0.3139314 0.4187040 0.0633065 -0.2390449
2.00 1.00 0.75 0.50 0.35 0.20 0.10 0.05
γ [fm−1 ]
κ [fm2 ]
Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot Tpot
0.1158416 0.1318780 -0.7732964 -0.5044436 1.7292916 1.7566863 -0.0795525 -2.7482553 -1.4513572 -3.3503734 8.5590782 -4.8663284
0.750 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.250 0.200 0.150 0.100 0.075 0.050
σ Tpot σ Tpot σ Tpot σ Tpot σ Tpot σ Tpot σ Tpot σ Tpot σ Tpot σ Tpot σ Tpot
-0.5581406 0.5651690 1.0986365 -1.8836482 2.8097234 0.8623140 -4.5526914 6.2336099 -6.0075756 3.0104519 -0.2560336
τ Tpot τ Tpot τ Tpot τ Tpot τ Tpot τ Tpot τ Tpot τ Tpot τ Tpot τ Tpot τ Tpot τ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot στ Tpot
γ [fm]
κ [fm2 ]
γ [fm3 ]
κ [fm2 ]
T~r T~r T~r T~r T~r T~r T~r T~r T~r
-0.0082271 -0.0733833 -0.0780228 0.2141264 -0.1735748 0.0498074 -0.0994221 0.1056213 -0.1370753
0.500 0.300 0.200 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr
0.0034347 0.4716358 -0.3967991 0.4591119 -0.3828439 0.6609182 1.4397131 2.6033188 21.4219625
0.500 0.300 0.200 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
0.750 0.700 0.600 0.400 0.300 0.250 0.200 0.150 0.100 0.075 0.050
T~rσ T~rσ T~rσ T~rσ T~rσ T~rσ T~rσ T~rσ T~rσ
0.0145286 0.0034416 0.0267688 -0.0510409 0.0234100 -0.0001432 -0.0107496 0.0154212 -0.0196858
0.500 0.300 0.200 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
Trσ Trσ Trσ Trσ Trσ Trσ Trσ Trσ Trσ
-0.0134242 -0.2152635 0.3456548 -0.2515286 0.1057082 -0.0618081 -0.0142574 0.0496490 1.2280378
0.500 0.300 0.200 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
0.5129127 -0.8229817 -0.2982977 1.7051646 -0.6161632 -2.9206285 1.2564224 3.0474881 -2.9097208 3.9294926 -3.8651420 1.1486970
0.750 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.250 0.200 0.150 0.100 0.075 0.050
T~rτ T~rτ T~rτ T~rτ T~rτ T~rτ T~rτ T~rτ T~rτ
0.0018880 -0.0144841 0.1090859 -0.1299134 0.0493661 -0.0052587 -0.0066201 0.0095530 -0.0134251
0.500 0.300 0.200 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
Trτ Trτ Trτ Trτ Trτ Trτ Trτ Trτ Trτ
0.0073226 -0.0585020 -0.1295384 0.1855930 -0.0431652 0.0101528 0.0439270 0.1816626 1.6667669
0.500 0.300 0.200 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
-0.0891321 -0.0041741 0.3570129 0.1431286 -0.9779069 -0.2224863 0.7510455 -0.0597689 1.0787701 -0.6272845 -0.6688474 0.4958705
0.750 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.250 0.200 0.150 0.100 0.075 0.050
T~rσ τ T~rσ τ T~rσ τ T~rσ τ T~rσ τ T~rσ τ T~rσ τ T~rσ τ T~rσ τ
0.0082083 -0.0055213 0.0679274 -0.0904771 0.0363881 -0.0027009 -0.0086848 0.0124871 -0.0165555
0.500 0.300 0.200 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
Trσ τ Trσ τ Trσ τ Trσ τ Trσ τ Trσ τ Trσ τ Trσ τ Trσ τ
-0.0030896 -0.1364919 0.1064467 -0.0307065 0.0298981 -0.0253245 0.0142081 0.1165171 1.4464953
0.500 0.300 0.200 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
97
Tabelle C.5.: Fitparameter des korrelierten ATS3M-Potentials.
Afnan-Tang S3M
κ [fm2 ]
C.2.
γ [fm−1 ]
C. Wechselwirkungen
C.3. Volkov V2 Das Volkov V2 Potential [Vol65] ist eine effektive Wechselwirkung ohne kurzreichweitigen Core und kann in der FMD unkorreliert eingesetzt werden. Da das Potential schon mit gaußförmiger Radialabhängigkeit gegeben ist, kann es direkt in der FMD verwendet werden. In Tabelle C.6 sind die Parameter des Potentials angegeben, in Abbildung C.7 ist der Potentialverlauf projeziert auf die Spin-Isospin-Kanäle dargestellt.
V V V σ ,V τ ,V σ τ V σ ,V τ ,V σ τ
γ [fm−1 ]
κ [fm2 ]
0.077472 -0.076838 -0.046483 0.046103
0.51005 1.62000 0.51005 1.62000
Tabelle C.6.: Gauß-Koeffizienten des Volkov V2 Potentials V00 , V11 V01 , V10
10
V(r) [MeV]
0
-10
-20
0
1
2
r [fm]
3
4
Abbildung C.7.: Volkov V2-Potential
98
5
D. Benchmarks Voraussetzung für Anwendungen der FMD ist die praktische Handhabbarkeit des Modells. Ein kritischer Faktor ist hierbei natürlich die benötigte Rechenzeit. Die FMD muß dem Pauli-Prinzip ihren Tribut zollen. Durch die Antisymmetrie der Zustände und die nicht orthogonale Basis besitzt jedes Zweiteilchenmatrixelement vier freie Indizes für die Einteilchenzustände. Die Rechenzeit für die Matrixelemente skaliert damit mit der vierten Potenz der Nukleonenzahl A tMatrixelemente ∝ A4 .
(D.1)
Bei klassischen Molekulardynamikmodellen ist keine Antisymmetrisierung notwendig, so daß dort die Rechenzeit mit der Teilchenzahl nur wie A2 skaliert. In Abbildung D.1 sind die Rechenzeiten für den Erwartungswert des Hamiltonoperators und für die Kräfte in Abhängigkeit von der Teilchenzahl dargestellt. Deutlich wird der wesentlich grö10
4
H ∼
∂ ∂qµ
Rechenzeit [s]
10
10
10
10
H ∼
2
0
-2
-4
4
8
16
24
40
56
Nukleonenzahl A
Abbildung D.1.: Rechenzeit für Erwartungswerte und Gradienten der ATS3M-Wechselwirkung in Abhängigkeit von der Teilchenzahl. Die Rechenzeiten wurden auf einem Pentium Pro 200 MHz unter Linux ermittelt.
99
D. Benchmarks
ßere numerische Aufwand zur Berechnung der Gradienten. Dominiert wird die Rechenzeit des Gradienten [2] ∂ ∂
[2] Hˆ qk , ql − q H = , q m n ∑ ? ∼ ∂q?µ kln ∂qµ (2.47) [2]
∂ ˆ qk , ql qm qr ors qs , qn H okm oln − olm okn ∑ ? ∼ rs ∂qµ dabei vom ersten Summanden [2] ∂
ˆ qk , ql , qm , qn H ? ∼ ∂qµ
(D.2)
dessen Auswertung sehr aufwendig ist. Der zweite Beitrag skaliert zwar mit A5 ist jedoch in den einzelnen Summanden wesentlich weniger aufwendig auszuwerten, so daß die Gesamtrechenzeit davon kaum beeinflußt wird. Mit der Faktorisierungsnäherung A.3 skaliert der Rechenzeitbedarf nur noch mit A2 . Die Faktorisierungsnäherung wurde in früheren Arbeiten [Sch96, FS97a] insbesondere für Kernreaktionen verwendet. Allerdings ist die Faktorisierungsnäherung in ihrer bisherigen Form nur für bestimmte Wechselwirkungen geeignet. Sie erlaubt nicht die Beschreibung schalenmodellartiger Kerne und ist auf eine einzelne Slaterdeterminante mit fixiertem Spin festgelegt.
100
Vergleich mit dem alten FMD Code Der neue FMD Code ist nicht nur wesentlich flexibler im Hinblick auf die zu verwendenden Wechselwirkungen, es konnten sich auch große Optimierungen im Hinblick auf die Rechenzeit realisieren lassen. In Abbildung D.2 sind die Rechenzeiten für die Kräfte unter Verwendung der (sehr einfachen) Volkov V2 Wechselwirkung dargestellt. Erreicht wurde die Leistungssteigerung um mehr als eine Größenordnung durch eine kompaktere Form der Matrixelemente, ausgehend vom Gaußintegral (A.64), durch die stringente Anwendung komplexer Arithmetik und einer günstigeren Schleifenstruktur. Dies führte neben einer Reduzierung der Rechenzeit zusammen mit einer dynamischen Speicherverwaltung zu einer Verminderung des Hauptspeicherbedarfs um etwa eine Größenordnung.
10
4
∂ ∂qµ H ∼
∂ H ∂qµ ∼
Rechenzeit [s]
10
10
10
10
– alter Code – neuer Code
2
0
-2
-4
4
8
16 Nukleonenzahl A
24
40
56
Abbildung D.2.: Rechenzeiten für Gradienten der Volkov V2-Wechselwirkung mit dem alten und dem neuen FMD-Code. Die Rechenzeiten wurden auf einer IBM RS/6000 590 bestimmt.
101
102
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104
Danksagung Das Entstehen dieser Arbeit wäre ohne die Hilfe und Unterstützung meiner Freunde, Mitarbeiter und Verwandten nicht möglich gewesen. Insbesondere möchte ich Prof. Hans Feldmeier danken. Ihm verdanke ich nicht nur die interessante Aufgabenstellung, seine intensive Betreuung in allen fachlichen und auch persönlichen Fragen hat maßgeblich zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen. Ein besonderer Dank geht auch an meine Mitstreiter Jürgen Schnack und Robert Roth für die gleichermaßen angenehme wie fruchtbare Zusammenarbeit Der Theoriegruppe der Gesellschaft für Schwerionenforschung (GSI) unter Leitung von Prof. Wolfgang Nörenberg möchte ich für die freundliche Aufnahme und immer sehr angenehme Arbeitsatmosphäre danken. Hendrik van Hees, Christoph Appel und Wolfgang Weinhold und möchte ich für die den Alltag immer wieder bereichernden anregenden physikalischen Diskussionen und auch für die Geduld beim Korrekturlesen dieser Arbeit danken. Der GSI ist für die Bereitstellung der Rechenleistung zu danken, ohne die diese Arbeit nicht möglich gewesen wäre. Bei der Studienstiftung des deutschen Volkes möchte ich mich für die finanzielle und ideelle Unterstützung meines Studiums bedanken. Schließlich möchte ich mich bei meiner Mutter Katharina Neff für die Unterstützung meines Studiums bedanken.
