FEM isoparametrisches Konzept

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Inhaltsverzeichnis 1. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente 2. Finite-Element-Typen 3. Geometrie 4. Lagrange’sche und Hermite’sche Elementfamilie 5. Ansatzfunktion 6. Kartesische-natürliche Koordinaten 7. Isoparametrisches Konzept 8. Beispiel zum isoparametrischen Konzept

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Interpolationsfunktion für FEM Bei der Methode der finiten Elemente gilt folgendes: Die globale Funktion einer gesuchten Funktion besteht aus einer Summe von lokalen Funktionen: E Z X e=1

Ge

Nie dGe

Standard Galerkin–Verfahren: Interpolationsfunktion entspricht der Gewichtsfunktion Ritz–Verfahren: globales Variationsprinzip wird aus der Summe der lokalen Variationsprinzipien konstruiert. Universität Stuttgart

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Interpolationsfunktion für FEM Kritischer Schritt bei der FEM: Wahl geeigneter Interpolationsfunktionen, die durch die Form der finiten Elemente und die Approximationsordnung gekennzeichnet sind. Die Wahl der finiten Elemente hängt ab von der Geometrie des globalen Gebietes, der gewünschten Genauigkeit des Gebietes, der einfachen Integration über das Gebiet. Universität Stuttgart

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Finite–Element–Typen Um spezielle physikalische Probleme formulieren zu können, sind oft mehrere Elementtypen erforderlich. Sie werden unterschieden nach der Geometrie (1-D, 2-D oder 3-D), Wahl der Interpolationsfunktion (Polynome; Lagrange’sche– oder Hermite’sche Polynome), Wahl der Elementkoordinaten (Kartesische oder natürliche Koordinaten), Wahl der an den Knoten spezifizierten Variablen und Gradienten derselben (Lagrange’sche Gruppe mit lediglich Variablen oder Hermite’sche Gruppe auch mit deren Ableitungen). Universität Stuttgart

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Beispiele für Geometrien

a) Quadratische Elemente mit geraden Seitenkanten

b) Quadratische Elemente mit gekrümmten Seitenkanten

c) Kubische Elemente Universität Stuttgart

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Ansatzfunktion (1D – Lagrange) Lagrange’sche Polynome: u = a 0 + a 1 x + a 2 x2 + a 3 x3 + . . . oder mit

u = a 0 + a i xi i = 1 → lineare Veränderliche i = 2 → quadratische Veränderliche i = 3 → kubische Veränderliche

1-D-Element mit zwei Knoten:

1

2 1

⇒ Für jeweils eine Variable an zwei Knoten benötigen wir eine lineare Veränderlichkeit. Universität Stuttgart

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Lagrange’sche Polynome Lagrange’sche Interpolationsfunktionen ersparen uns eine Invertierung der Koeffizientenmatrix, die bei der Nutzung von Standard Polynomen notwendig wäre. Sie haben die folgende Form u(x) = L1 (x)u1 + L2 (x) + · · · + Ln (x)un .

wobei LN (x) so ausgewählt wird, dass

LN (xm ) = δN M . LN (x) hat die folgende Form LN (x) = cN (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xN −1 )(x − xN +1 ) . . . (x − xn ) .

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Lagrange’sche Polynome cN wird bestimmt als 1 . cN = (xN − x1 )(xN − x2 ) . . . (xN − xN −1 )(xN − xN +1 ) . . . (xN − xn ) Das Polynom ergibt sich damit wie folgt

(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xN −1 )(x − xN +1 ) . . . (x − xn ) LN (x) = . (xN − x1 )(xN − x2 ) . . . (xN − xN −1 )(xN − xN +1 ) . . . (xN − xn ) Bei einer quadratischen Näherung ergibt sich (x − x2 )(x − x3 ) L1 (x) = (x1 − x2 )(x1 − x3 )

(x − x1 )(x − x3 ) L2 (x) = (x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x − x1 )(x − x2 ) L3 (x) = . (x3 − x1 )(x3 − x2 )

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Lagrangian polynomials Für das folgende Element

−1

0

1

erhalten wir

x L1 = (x − 1), 2 L2 = 1 − x 2 , x L3 = (x + 1). 2

L1

−1 Universität Stuttgart

L3

L2

0

1

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Ansatzfunktion (1D – Hermite) Hermite’sche Polynome: Bei eindimensionalen Elementen mit 2 Knoten kann ein kubischer Ansatz mit Hilfe der Ableitungen der Funktionen realisiert werden.   ∂ uˆ 0 1 u˜(ξ) = Hj (ξ)ˆ uj + Hj (ξ) j = 1, 2 ∂ξ r = 1, 2, 3, 4 u˜(ξ) = Nr wr N1 = H10 = 1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 N2 = H20 = 3ξ 2 − 2ξ 3

N3 = H11 = ξ − 2ξ 2 + ξ 3 N4 = H21 = ξ 3 − ξ 2 Universität Stuttgart

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Ansatzfunktion (1D – Hermite) Die Funktionen sehen dann wie folgt aus. Jede Funktion bzw. deren Ableitung ist an den beiden Knoten in drei von vier Fällen null und nur in einem Fall eins. 1

0

0

H1

0.8

H2

0.6

0.4

0.2

1

H1

0

1

H2 -0.2

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0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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Natürliche Koordinaten Der generelle Ansatz stützt sich auf die Verwendung natürlicher Koordinaten, ξ. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt dabei entweder am linken Ende (obere Abbildung) oder im Zentrum des Gebiets (unteres Abbildung).

1

2

ξ=0

ξ=1

1

2

ξ=−1 Universität Stuttgart

ξ=0

ξ=1

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Natürliche Koordinaten Die Interpolationsfunktionen lauten dann für die obere Abbildung ϕ1 = 1 − ξ

ϕ2 = ξ,

für die untere Abbildung 1 ϕ1 = (1 − ξ) 2 1 ϕ2 = (1 + ξ). 2 Universität Stuttgart

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Kartesische – natürliche Koordinaten Isoparametrische Elemente Definition: Es wird die gleiche parametrische Funktion, die die Geometrie beschreibt, für die Interpolation der Variablen (Verschiebung, Wasserstand etc.) innerhalb eines Elementes benutzt. Einführung eines lokalen Koordinatensystems, da dort die Basisfunktionen für jedes Element gleich sind. 2

1 s

N1 = =

r 3

4

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N2 N3 N4

1 2

1 r 2



1 2

1 s 2

+ + 1 (1 + r)(1 + s) 4 Analog: = 14 (1 − r)(1 + s) = 14 (1 − r)(1 − s) = 14 (1 + r)(1 − s)



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Kartesische – natürliche Koordinaten Weitere Beispiele für Interpolationsfunktionen: 1. Interpolationsfunktion für ein 2-D-Element mit einer von 4 bis 9 variablen Knotenzahl s = +1

s

y

2

6

3 r = -1

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5

Knoten 1

9

8

7

4 s = -1

s=0

r=0

r

r = +1

x

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Kartesische – natürliche Koordinaten

h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9

= 14 (1 + r)(1 + s) = 14 (1 − r)(1 + s) = 14 (1 − r)(1 − s) = 14 (1 + r)(1 − s) = 12 (1 − r 2 )(1 + s) = 12 (1 − s2 )(1 − r) = 12 (1 − r 2 )(1 − s) = 12 (1 − s2 )(1 + r) = (1 − r 2 )(1 − s2 )

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i=5 − 12 h5 − 12 h5 ..... ..... ..... ..... ..... .....

i=6 ..... − 12 h6 − 12 h6 ..... ..... ..... ..... .....

i=7 i=8 i=9 ..... − 12 h8 − 14 h9 − 14 h9 − 12 h7 − 14 h9 − 12 h7 − 12 h8 − 14 h9 . . . . . . . . . . − 12 h9 . . . . . . . . . . − 12 h9 . . . . . . . . . . − 12 h9 . . . . . . . . . . − 12 h9

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Isoparametrisches Konzept y

7

s 5

Ge

T

ii

+1

i

Re +1

13

r

iii

iv

x 25

Man kann sich viel Arbeit ersparen, wenn man seine Ansatzfunktionen nicht für jedes Element neu aufstellt, sondern nur einmal für ein Referenzelement. Diese Ansatzfunktionen kann man dann durch eine geeignete Transformation auf jedes globale Element anwenden. Universität Stuttgart

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Isoparametrisches Konzept ˆ sind Bei technischen Anwendungen (z.B. Grundwasser ∇ W h) häufig Ausdrücke in kartesischen Koordinaten zu differenzieren oder zu integrieren. Da die Funktionen durch isoparametrische Koordinaten dargestellt werden, sucht man eine Transformation zwischen den beiden Koordinatensystemen, dem globalen x,y-System und dem lokalen r,s-Koordinatensystem. Dies kann mit der Kettenregel erreicht werden.        ∂ ∂ ∂r ∂ ∂s ∂s ∂r ∂  = ∂r ∂x + ∂s ∂x  ∂x  ∂x ∂x    ∂r  ·      =  ∂ ∂ ∂r ∂ ∂s ∂r ∂s ∂  = + ∂y ∂r ∂y ∂s ∂y ∂y ∂y ∂s Universität Stuttgart

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Isoparametrisches Konzept ∂r Die Berechnung von ∂x etc. ist nicht immer einfach, deshalb wird der umgekerhte Weg beschritten:

  ∂ ∂r



    = ∂ ∂s

∂x ∂r

∂y ∂r

∂x ∂s

∂y ∂s



 ·

"

∂ ∂x ∂ ∂y

#



 =J ·

∂ ∂x ∂ ∂y

  

J die Jacobi–Matrix, kann leichter bestimmt werden.

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Isoparametrisches Konzept Hierzu verwenden wir die Eigenschaft unserer Ansatzfunktionen. Wie können unsere räumliche Variable x auch durch die Ansatzfunktionen und die x-Koordinaten der Stützwerte ausdrücken. (lineare Interpolation der Koordinaten zwischen den Knoten, x= Ni x i i=1 ne = Anzahl der Knoten pro Element)     x1 y1 x  y   2  2 x = [N1 , N2 , N3 , N4 ]   y = [N1 , N2 , N3 , N4 ]    x3   y3  x4 y4 ne X

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Isoparametrisches Konzept Diese Beschreibung der x- bzw. y-Variablen können wir nun einsetzen und die konstanten Stützwerte vor den Differentialoperator ziehen, so dass wir folgenden Ausdruck erhalten.   ∂ ∂r



    = ∂ ∂s

∂N1 ∂r

∂N2 ∂r

∂N3 ∂r

∂N1 ∂s

∂N2 ∂s

∂N3 ∂s

|

 x1 x  2   x3 ∂N4 ∂s x4 ∂N4 ∂r

{z J





y1  ∂  ∂x y2     ·  y3  ∂ ∂y y4 }

Die Ansatzfunktionen Ni sind die Funktionen, die wir auf dem natürlichen Koordinatensystem definiert haben und sind entsprechend leicht differenzierbar. Universität Stuttgart

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Isoparametrisches Konzept – Beispiel Für das Element auf der linken Seite soll die Jacobimatrix berechnet werden. Dies kann auf zwei Arten gemacht werden: einmal wie auf der vorigen Seite beschriebenen oder der nun gezeigten Art. y

1 cm

1

P1 = (1|1, 25)

1 cm

P2 = (−1|0, 25)

2

x

1 cm

0.75 cm 3

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2 cm

P3 = (−1| − 0, 75)

P4 = (1| − 0, 75)

4

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Isoparametrisches Konzept – Beispiel Die globalen Koordinaten kann man also wie folgt in lokale Koordinaten transformieren. n

1X x= Ni x i = n 1 =r n 1X y= Ni y i = n 1

3 1 1 = r + s + rs 4 4 4

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1 {(1 + r)(1 + s)(1) + (1 − r)(1 + s)(−1) 4 + (1 − r)(1 − s)(−1) + (1 + r)(1 − s)(1)} 1 4



1 5 (1 + r)(1 + s) + (1 − r)(1 + s) 4 4  −3 −3 + (1 − r)(1 − s) + (1 + r)(1 − s) 4 4

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Isoparametrisches Konzept – Beispiel Diese Ausdrücke müssen nun nur noch abgeleitet werden   ∂y  J =

∂x ∂r

∂r

∂x ∂s

∂y ∂s

 .

Eingesetzt ergibt sich   ∂ ∂ 1 3 1 " # (r) ( r + s + rs) ∂r 4 4 4 1 ( 14 + 14 s)   ∂r . J = = 3 1 0 ( 4 + 4 r) ∂ ∂ 1 3 1 (r) ∂s ( 4 r + 4 s + 4 rs) ∂s

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