Fachhochschule Bochum Fachhochschule Mu¨nster Fachhochschule Su¨dwestfalen Verbundstudiengang Wirtschaftsingenieurwesen Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Pr¨ ufung: Mathematik Termin: 1. September 2012 Bearbeitungszeit: 180 Minuten Name, Vorname Aufgabe Soll

1

Matrikelnummer 2

3

4

5

6

7

P

Note

a b c a b c a b c d e a b c d a b c a b 4 6 6 4 6 3 10 3 2 5 4 6 6 8 4 8 3 10 4 12 3 117

Ist Hilfsmittel: beliebige Taschenrechner und alle schriftlichen Unterlagen; Hinweise: Vergewissern Sie sich zun¨achst, dass die Aufgabenstellung vollst¨andig ist, Sie umfasst das Deckblatt und 7 Aufgabenbl¨atter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer. F¨ ur die L¨osung ist auf den Aufgabenbl¨attern Platz vorgesehen, die R¨ uckseiten k¨onnen daf¨ ur ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf ein konkretes (Seitennummer) der von der Pr¨ ufungsaufsicht zur Verf¨ ugung gestellten Zusatzbl¨atter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf f¨ ur die L¨osungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie auf den Zusatzbl¨attern am Seitenanfang bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die folgende L¨osung/L¨osungsfortsetzung geh¨ort und beginnen Sie die L¨osung/L¨osungsfortsetzung einer weiteren Aufgabe bitte immer auf einer neuen Seite. Aus Ihren L¨osungen sollten die L¨osungswege erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner f¨ ur komplexere L¨osungsschritte verwenden, vermerken Sie dies bitte, z.B. “Nullstelle / Gleichung ... mit dem Taschenrechner bestimmt / gel¨ost”;

1

1. Herr B. spart seit 10 Jahren monatlich (nachsch¨ ussig) 500 e, um einmal ein Haus bauen zu k¨onnen. Das Sparkonto wurde/wird zu allen Zeiten mit 3% p.a. verzinst. (a) Wie hoch ist sein Guthaben jetzt? (b) Wie viel muss er in den n¨achsten 10 Jahren mtl. sparen, wenn er am Ende (nach insgesamt 20 Jahren) insgesamt 200 000 e auf dem Konto haben m¨ochte? Hinweis: Falls Sie die Aufgabe (a) nicht gel¨ost haben, gehen Sie von einem derzeitigen Guthaben von 80 000 e aus! (c) Frau B. u ¨berzeugt ihren Mann, sofort zu bauen und den zu 200 000 e fehlenden Betrag als Kredit zu nehmen. F¨ ur den Kredit m¨ usste er 5% Zinsen zahlen und k¨onnte eine monatliche (nachsch.) Annuit¨at von 1000e f¨ ur Tilgung und Zinsen aufbringen. Welche Tilgungsdauer ergibt sich, aufgerundet auf ganze Monate?

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2. In einem Unternehmen wurden in einer zweistufigen Fertigung bisher aus drei Rohteilen R1 , R2 und R3 zun¨achst die drei Zwischenprodukte Z1 , Z2 und Z3 und aus diesen die drei Endprodukte E1 , E2 und E3 hergestellt. Die St¨ ucklisten f¨ ur die in den beiden Fertigungsstufen hergestellten Zwischen- und Endprodukte sind in den folgenden beiden Tabellen zusammengestellt. Z1 Z2 Z3

E1 E2 E3

R1

2

1

4

Z1

1

3

2

R2

1

2

3

Z2

2

2

1

R3

4

3

1

Z3

4

1

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(a) Die Fertigung soll auf eine einstufige Fertigungsstruktur umgestellt werden. Stellen Sie die St¨ ucklisten f¨ ur die Endprodukte auf Basis der Rohteile auf! (b) Wie viele der Rohteile R1 , R2 und R3 m¨ ussen f¨ ur die Produktion bereitgestellt werden, wenn 20 Teile E1 , 30 Teile E2 und 20 Teile E3 gefertigt werden sollen, wobei zu ber¨ ucksichtigen ist, dass aus dem Lager von den drei Zwischenprodukten je 50 St¨ uck bereitgestellt werden k¨onnen. ur die Zwischen- und Endprodukte [in e (c) Wie hoch sind die Materialkosten f¨ /St¨ uck], wenn die Rohteile zu Preisen von 4 e (R1 ), 3 e (R2 ) und 5 e (R3 ) je St¨ uck eingekauft werden?

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3. Bestimmen Sie alle L¨osungen des linearen Gleichungssystems 3x1 − 3x2 + 2x3 = 13 4x1 − 2x3 + 2x4 = 18 4x2 − x3 = 16 und geben Sie, falls m¨oglich, eine L¨osung mit x2 = 6 an.

4

4. Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem (Produktionsplanung) mit den Restriktionen R1 bis R3 (verf¨ ugbare Mengen der Ressourcen): z = 91x1 + 96x2 + 231x3 + 126x4 −→ max 4x1 + 2x1 + 3x1 +

2x2 + 4x2 + 7x2 +

7x3 + 7x3 + 7x3 +

5x4 4x4 3x4

≤ ≤ ≤

x1 , x 2 , x 3 , x 4

≥

84 (R1) 112 (R2) 175 (R3) 0

Dabei steht die Zielfunktion f¨ ur den Erl¨os, die Koeffizienten der Zielfunktion sind Verkaufspreise in e/ME und die Variablen xj stehen f¨ ur die Produktionsmengen der Produkte Pj in ME. Bei der L¨osung des obigen LOP hat sich das folgende Simplextableau ergeben x1

x5

x4

x6

1

1 x2 −1 − 12 − 12 2 3 1 5 x7 5 − 2 2 2

14 21

x3

6 7

2 7

6 7

z

11

18

24

− 17

8

15 3192

Dabei sind x5 , ... , x7 die Schlupfvariablen der Restriktionen R1, ... , R3. (a) Wie lauten die optimale L¨osung und der optimale Zielfunktionswert? ur die beschr¨ankt (b) Welche Restriktion(en) ist/sind inaktiv und was bedeutet dies f¨ verf¨ ugbaren Ressourcen. (c) Von jeder der Ressourcen k¨onnte jeweils zum Preis von 16e/ME mehr zur Verf¨ ugung gestellt werden. F¨ ur welche der Ressourcen sollte von dieser M¨oglichkeit Gebrauch gemacht werden und wie viel sollte dort mindestens zus¨atzlich bereitgestellt werden. Welcher maximale Erl¨os ergebe sich dann und mit welcher optimalen L¨osung k¨onnte dieser realisiert werden? (jede Restriktion einzeln betrachten!) (d) In welchem Bereich d¨ urfte der Verkaufspreis von P2 (Zielfunktionskoeffizient von x2 ) variieren, ohne dass sich die optimale L¨osung ¨andert? W¨ urde sich dies auf den optimalen Zielfunktionswert auswirken? Wenn ja, wie? ¨ des Verkaufspreises von P1 (des Zielfunktionskoeffizienten von (e) Welche Anderungen x1 ) h¨atten keinen Einfluss auf die optimale L¨osung? Wie lauten die Menge der optimalen L¨osungen und der optimale Zielfunktionswert, wenn dieser Verkaufspreis auf 102e/ME steigt?

5

5. Gegeben ist die Funktion  

4x , x≤1 x2 + 1 y = f (x) =  3 x − 4x2 + 5x x > 1 (a) Geben Sie an (mit Begr¨ undung!), ob diese Funktion im gesamten Definitionsbereich Df = R stetig ist, und falls ja, ob sie in Df = R auch differenzierbar ist (ebenfalls mit Begr¨ undung!). (b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion und die zugeh¨origen Minimums/Maximumspunkte (Nachweis, dass es sich um Minimums-/Maximumspunkte handelt!). (c) In welchem Teil des Definitionsbereiches ist diese Funktion progressiv wachsend? (d) Bestimmen Sie den linearen Integralmittelwert dieser Funktion f¨ ur das Intervall [0,3]. Hinweis: Allgemein ist der Integralmittelwert y einer Funktion y = f (x) auf dem Intervall [a,b] definiert als 1 y= b−a

6

Z

b

f (x)dx . a

6. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach einer Kostenfunktion K(x) = x3 − 36x2 + 1000x + 20 000 , wobei die Produktionsmenge in ME zu 1 000 St¨ uck und die Kosten in 1 000 e angegeben werden. (a) Bestimmen Sie f¨ ur dieses Unternehmen mit Hilfe des Betriebsminimums die kurzfristige Preisuntergrenze, bei der das Unternehmen die variablen Kosten gerade noch decken kann. (b) Bestimmen Sie f¨ ur dieses Unternehmen mit Hilfe des Betriebsoptimums die langfristige Preisuntergrenzen, bei der das Unternehmen die Kosten gerade noch decken kann. Verwenden Sie daf¨ ur das Newton-Verfahren und nehmen Sie als Anfangsn¨aherung x0 = 25 ME. Beschreiben Sie die ersten beiden Iterationen ausf¨ uhrlich. Bestimmen Sie die Produktionsmenge f¨ ur das Betriebsoptimum auf 4 Nachkommastellen genau. Geben Sie an, wie viele Iterationen daf¨ ur notwendig waren, dass Sie sich sicher sein konnten, das Ergebnis mit der gew¨ unschten Genauigkeit angeben zu k¨onnen. (c) Die Kosten f¨ ur das Unternehmen betragen nach obiger Kostenfunktion bei einer Produktionsmenge von 10 000 St¨ uck 27 400 000 e. Bestimmen Sie davon ausgehend mit Hilfe des Differentials n¨aherungsweise, wie viel produziert werden kann, wenn 28 000 000 e zur Verf¨ ugung stehen.

7

7. Bei der Planung eines kostenminimalen Zugangs zu einem nichtlinear begrenztem Gebiet entstand das folgende mathematische Problem. Das Gebiet wird dargestellt durch die Menge M = {(x, y) ∈ R2 : F (x, y) = x2 y ≥ C, x > 0} . (a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren ur C = 16, p f¨ 2 welcher Punkt (x, y) dieser Menge den kleinsten Abstand d = x + y 2 zum Koordinatenursprung hat und wie groß dieser Abstand dmin ist. (Nachweis, dass es sich um ein Minimum bzgl. der gesamten Menge M handelt) (b) Geben Sie mit Hilfe des Lagrange-Multiplikators an, um wie viel sich der minimale Abstand zum Koordinatenursprung n¨aherungsweise ¨andert, wenn C auf 20 anw¨achst.

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L¨ osungen 1. (a) K10 = 69 724.00 e (b) R2 = 762.27 e (c) n = 186.097 Monate, d.h. n = 187 Monate oder 15 Jahre und 7 Monate 2. (a) ARZ · AZE = ARE : E1 E2 E3 R1 20 12 25 R2 17 10 19 R3 14 19 16  910 (b) r =  720  770 

(c) pZ = (31, 25, 30)>

pE = (201, 173, 237)>

   0 5  9     + t ·  −3  , 3. x =   20   −12  29 −22



 5  6   mit t = 1 gilt x e=  8  7



t ∈ R;

4. (a) xopt = (0, 14, 8, 0)> , zmax = 3192 (b) R3 inaktiv, von R3 sind 21 ME ungenutzt (c) 45 = 18 > 16, d.h. von R1 sollte mehr bereitgestellt werden. be1 = b1 + t = 84 + t     0 0  14   −1     22  ≥ 0 ∀t ∈ [−14, 28] ⇒ zmax = 3192 + 18t bei xf = + t · B  8    7 0 0 opt > f¨ ur t = 28 ergibt sich x = (0, 0, 16, 0) , zmax = 3696. (d) Die optimale L¨osung mit dem Zielfkt.-wert zemax = 3192 + 14t gilt ∀t ∈ [−30, 11] ¨ (e) Bei ce1 < 102 gibt es keine Anderungen bei optimaler L¨osung und opt. ZFW. Bei opt > ce1 = 102 gilt x = (0, 14, 8, 0) + t · (1, 1, − 76 , 0), t ∈ [0, 4.2] bei gleichem ZFW.

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5. (a) 4x +1 4(1 − x2 f10 (x) = (x2 + 1)2 8x(x2 − 3 f100 (x) = (x2 + 1)3 f1 (x) =

x2

f2 (x) = x3 − 4x2 + 5x f20 (x) = 3x2 − 8x + 5 f200 (x) = 6x − 8 beide Funktionen in R stetig und differenzierbar. y = f (x) in x0 = 1 (und damit u ¨berall) stetig, weil f1 (1) = f2 (1) = 2 und differenzierbar, weil f10 (1) = f20 (1) = 0 50 (b) lokale Minimumspunkte: (x1 , y1 ) = (−1, −2) und (x2 , y2 ) = ( 53 , 27 ) = (1.6, 1.851 lokaler Maximumspunkt: (x1 , y1 ) = (1, 2)

(c) f progr. wa. ∀x ∈ [−1, 0] ∪ ( 53 , ∞) ³R ´ R3 1 (d) y = 31 0 x24x+1 dx + 1 (x3 − 4x2 + 5x)dx = 2.23988 6. (a) xmin = 18 ME (18 000 St¨ uck), Kurzfristige Preisuntergrenze bei kv (18) = 676 e/St¨ uck (b) xopt = 29.4949 ME (29 495 St¨ uck), Langfristige Preisuntergrenze bei kv (29.495) = 1 486.22 e/St¨ uck 4 Iterationen notwendig, {xn } = 25, 28.94737, 29.48807, 29.49491, 29.49491 −18 x1 = 25 − 4.56 = 28.94737, x2 = 28.94737 − −1.97303 = 29.48807, 3.64905 1 1 (c) dx = K 0 (10) · dK = 580 · 600 = 1.034, d.h. ca. 1 034 St¨ uck k¨onnen mehr produziert werden. p 7. (a) d(x, y) = x2 + y 2 → min | F (x, y) = x2 y ≥ 16 p L(x, y, λ) = x2 + y 2 + λ(16 − x2 y) √ x = 2 2, y = 2, λ = 4√112 = 0.072169 Minimum, weil d → ∞, falls x → ∞ oder y → ∞.

(b) 4F = 4

⇒

4d ≈ 4λ = 0.2887 10