Fachhochschule Bochum Fachhochschule Mu¨nster Fachhochschule Su¨dwestfalen Verbundstudiengang “Technische Betriebswirtschaft” Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Teilpr¨ ufung: Mathematik 2 (Modul) Termin: 15. September 2007 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Name, Vorname Aufgabe Soll

Matrikelnummer

1 a 12

b 10

2 c 4

a 10

3 b 4

a 16

P

4 b 8

a 18

b 4

c 10

d 4

Note

100

Ist Hinweise: Lesen Sie zun¨achst alle Aufgaben durch. Vergewissern Sie sich, dass die Aufgabenstellung vollst¨andig ist, Sie umfasst das Deckblatt und 4 Aufgabenbl¨atter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer. F¨ ur die L¨osung ist auf den Aufgabenbl¨attern Platz vorgesehen, die R¨ uckseiten k¨onnen daf¨ ur ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf eine konkretes (Seitennummer) der von der Pr¨ ufungsaufsicht zur Verf¨ ugung gestellten Zusatzbl¨atter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf f¨ ur die L¨osungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie insbesondere auf Zusatzbl¨attern bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe eine L¨osung geh¨ort. Aus Ihren L¨osungen m¨ ussen die L¨osungswege erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner f¨ ur komplexere L¨osungsschritte verwenden, sollten Sie dies vermerken, z.B. “Nullstelle / Gleichung ... mit dem Taschenrechner bestimmt / gel¨ost”;

1

1. Ein Kleinunternehmen produziert 2 Produkte P1 und P2 in den Mengen x1 und x2 (in ME zu 1000 St¨ uck) und verkauft sie zu den Preisen p1 = 4.40 und p2 = 2.80 (in e/St¨ uck bzw. 1 000 e/ME). Die Kostenfunktion (in e) f¨ ur die Produktion innerhalb einer Woche lautet K(x1 , x2 ) = 3000x1 + 2000x2 + 2(x1 − 2x2 )2 + 2x21 . (a) Wie viel muss von beiden Produkten innerhalb einer Woche produziert werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen und wie groß ist dieser? Weisen Sie nach, dass die berechneten Mengen ein Gewinnmaximum realisieren! (b) Wegen der beschr¨ankten Produktionskapazit¨aten k¨onnen von beiden Produkten insgesamt h¨ochstens 500 ME je Woche produziert werden. Wie viel muss dann von den Produkten produziert werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen und wie groß ist dieser? Weisen Sie auch hier nach, dass es sich um ein ein Maximum handelt! (c) Um wie viel w¨ urde der maximale Gewinn in Aufgabe (b) n¨aherungsweise steigen, wenn die Produktionskapazit¨at um 10 ME gesteigert werden k¨onnte? Hinweis: Endergebnisse k¨ onnen sinnvoll gerundet werden, Zwischenergebnisse m¨ ussen nicht gerundet werden.

2

2. Ein monopolistisches 1-Produkt-Unternehmen hat durch eine Marktanalyse ermittelt, dass es von seinem Produkt in Abh¨angigkeit vom Preis (in e/St¨ uck) die durch die folgende Preis-Absatz-Funktion definierten Mengen (in St¨ uck) absetzen k¨onnte: ½ 10 800 − 60 p , p ∈ [100, 140] x(p) = 3 100 − 5 p p ∈ [140, 300] Bei Preisen u ¨ber 300 e gilt das Produkt als unverk¨auflich, Preise unterhalb von 100 e sind f¨ ur das Unternehmen nicht realisierbar, da es dann nicht mehr kostendeckend arbeiten kann. (a) Wie groß ist die Konsumentenrente, d.h. der dem Unternehmen durch den Festpreis entgangene potentielle Erl¨os, bei einem Preis von p0 = 130 e . (b) Wie viel Prozent dieser Konsumentenrente k¨onnte das Unternehmen als Zusatzerl¨os realisieren, wenn es gelingt, das Produkt zus¨atzlich (unter einer Designermarke) zu einem Preis von pd = 220 e am Markt einzuf¨ uhren.

3

3. In einer Teilefertigung werden aus drei Rohteilen R1 , R2 und R3 zun¨achst drei Zwischenprodukte Z1 , Z2 und Z3 und aus diesen die drei Produkte P1 , P2 und P3 gefertigt. Der spezifische Teilebedarf f¨ ur die beiden Fertigungsstufen ist in den folgenden beiden Tabellen zusammengestellt.

R1 R2 R3

Z1

Z2

Z3

5 2 3

3 1 2

4 2 7

Z1 Z2 Z3

P1

P2

P3

2 2 4

1 5 3

3 4 1

(a) Wie viele der Rohteile R1 , R2 und R3 m¨ ussen f¨ ur die Produktion bereitgestellt werden, wenn 4 000 Teile P1 , 3 000 Teile P2 und 7 000 Teile P3 gefertigt werden sollen. Dabei soll ein vorhandener Lagerbestand von 11 000 Zwischenprodukten Z2 genutzt werden? (b) Wie hoch sind die Materialkosten f¨ ur die Endprodukte [in e /St¨ uck], wenn die Rohteile zu Preisen von 3 e (R1 ), 2 e (R2 ) und 5 e (R3 ) eingekauft werden?

4

4. Gegeben ist das folgendes lineare Optimierungsproblem mit den Restriktionen R1 bis R4: z = 32x1 + 33x2 + 30x3 −→ max x1 + 2x1 + x1 +

3x2 x2 x2 x2

+ + + +

2x3 4x3 x3 x3

≤ ≤ ≤ ≤

330 230 120 160

x1 , x 2 , x 3

≥

0

(R1) (R2) (R3) (R4)

Bei der L¨osung des obigen LOP hat sich das folgende Simplextableau ergeben x1

x4

x6

1

x5 x7

−5 −1

3 0

−10 −1

20 40

x2

−1

1

−2

90

x3

2

−1

3

30

z

−5

3

24

3870

Dabei sind x4 , ... , x7 die Schlupfvariablen der Restriktionen R1, ... , R4. (a) Wie lauten die optimale L¨osung und der optimale Zielfunktionswert? ¨ (b) Welche Anderungen des Zielfunktionskoeffizienten von x3 h¨atten keinen Einfluss auf die optimale L¨osung? (c) In welchem Bereich d¨ urfte der Zielfunktionskoeffizient von x2 schwanken, ohne dass sich die optimale L¨osung ¨andert? W¨ urde sich dies auf den optimalen Zielfunktionswert auswirken? Wenn ja - wie? (d) Ist die Restriktion R2 aktiv oder inaktiv und was bedeutet dies?

5

L¨ osungen 1. (a) x1 = 450 x2 = 275 Gmax = 425 000 e (b) x1 = 315 x2 = 185 Gmax = 384 000 e (c) λ = 360 =⇒ 4Gmax ≈ 3600 e 2. (a) KR = 347 000 e (b) 4E = 180 000 e , d.h. +51.87% von KR  408 000 r =  168 000  400 000   314 (b) p =  292  [e/St¨ uck] 237

3. (a)



4. (a) xopt = (15, 105, 0 | 0, 95, 0, 55)> , zmax = 3945 ¨ solange e c3 ≤ 32.5 (b) keine Anderungen, (c) e c2 = 33 + t =⇒ zemax = 3945 + 105 · t ∀t ∈ [−1, 63] (d) R2 nicht aktiv, 95 Einheiten von R2 nicht genutzt.

6