VU Modellbildung Übungsbeispiele: Mechanische Systeme

AUTOMATION & CONTROL INSTITUTE INSTITUT FÜR AUTOMATISIERUNGS& REGELUNGSTECHNIK

Beispiel 1: Fachwerke bezeichnen eine im Bauingenieurwesen oftmals verwendete Art von Tragwerken, welche die entstehenden statischen und dynamischen Kr¨afte durch an den Enden miteinander verbundene St¨abe aufnehmen. Ein zweidimensionales Fachwerk einer Auskragung ist aus lauter gleichseitigen Dreiecken aufgebaut, wie in Abb. 1 dargestellt. Das Fachwerk wird durch zwei externe Kr¨ afte Fa und Fb belastet, welche aufgrund der Konstruktion eine Zugkraft Fw am oberen Montagepunkt auf die Wand aus¨ uben. Fw

Fa

Fb Abbildung 1: Fachwerk

a) Dieses Fachwerk ist statisch bestimmt, d.h. es besitzt keine Freiheitsgrade mehr. Stellen Sie die statischen Gleichgewichtsbedingungen auf. b) Schreiben Sie das resultierende lineare Gleichungssystem f¨ ur die Stabkr¨afte in Matrixform und zeigen Sie, dass eine eindeutige L¨ osung existiert. c) Geben Sie einen Ausdruck f¨ ur die Kraft Fw als Funktion der Kr¨afte Fa und Fb an. d) Wie groß sind die vertikalen und horizontalen Kr¨afte am unteren Montagepunkt?

1

L¨ osung F4

II

F1

F3

I

IV F8 = Fw

F5

F7

III F2

Fa

V Fb

F6

Abbildung 2: Bezeichnung der Knoten

a) Mit den Abk¨ urzungen sin(π/3) = s und cos(π/3) = c ergeben sich die Gleichungen der Knoten aus Fig. 2 zu ( s F1 = Fa Knoten I −c F1 − F2 = 0 ( s (F1 + F3 ) =0 Knoten II −F4 + c (F1 − F3 ) = 0 ( s (F3 + F5 ) = Fb Knoten III F2 + c (F3 − F5 ) − F6 = 0 ( s (F5 + F7 ) =0 Knoten IV F4 − F8 + c (F5 − F7 ) = 0 b) Kf = fe mit fe = [Fa , 0, 0, 0, Fb , 0, 0, 0]T , f = [F1 , . . . , F8 ]T und der Knotenmatrix  s 0 0 0 0 0 0 0 −c −1 0 0 0 0 0 0   s 0 s 0 0 0 0 0   c 0 −c −1 0 0 0 0  . K=  0 0 s 0 s 0 0 0   0 1 c 0 −c −1 0 0   0 0 0 0 s 0 s 0 0 0 0 1 c 0 −c −1 

c)

2 Fw = √ (2Fa + Fb ) 3

d) Am unteren Montagepunkt muss genau die umgekehrte Normalkraft des oberen Montagepunktes wirken. Vertikal wirkt genau die Summenkraft Fa + Fb .

2

Beispiel 2: Im Sportklettern wird h¨ aufig mobiles Sicherungsger¨at benutzt, wenn beispielsweise keine fest installierten Sicherungsger¨ ate zur Verf¨ ugung stehen. Ein beliebtes, modernes Utensil ist der sogenannte “Friend” bzw. “Cam”, welcher aufgrund von Haftreibung zwischen Ger¨at und Fels die Kr¨afte beim Sturz eines Kletterers auffangen kann. Die beiden Segmente (siehe Abb. 3) werden dabei durch die Last F selbst gegen den Stein gepresst, wodurch eine hohe Belastbarkeit erreicht wird. b

r(ϕ) αH r

F

F

Abbildung 3: Zwei verschiedene Friends, welche in einer Felsspalte der Breite b haften. Die Variante im linken Bild besitzt kreisf¨ormige Segmente, w¨ahrend rechts eine Bauform mit logarithmischen Segmenten dargestellt ist. a) Skizzieren Sie die auftretenden Kr¨afte und bestimmen Sie die Haftbedingung des Friends f¨ ur einen fest vorgegebenen Haltewinkel αH . b) Aufgrund der kreisf¨ ormigen Gestaltung der Segmente (siehe Abb. 3) ist der Haltewinkel von der Breite der Felsspalte abh¨ angig. Schreiben Sie die Haftbedingung in der Form µ > f (δ) mit δ = b/2r an und skizzieren Sie grob den Verlauf von f (δ) f¨ ur sinnvolle Werte von δ. Zeichnen Sie weiters f¨ ur ein bestimmtes µ die Menge der Spaltbreiten ein, f¨ ur welche der Friend haftet. Hinweis: Verwenden Sie den Zusammenhang !! r r   1 x+1 1−x tan arccos(x) = tan arccos = . 2 2 1+x c) Wie in Punkt a) berechnet, haftet der Friend nur f¨ ur bestimmte Haltewinkel αH . Zeigen Sie, dass f¨ ur Segmente in Form logarithmischer Spiralen (siehe Abb. 3 rechts) der Haltewinkel unabh¨angig von der Spaltbreite ist. Hinweis: Eine logarithmische Spirale in Polarkoordinaten hat die Form r(ϕ) = r0 exp(kϕ).

3

L¨ osung

FR FN

FR

F 2

αH

FN FN

F 2

Abbildung 4: Schnittprinzip angewendet auf die Kontaktstelle zwischen Friend und Fels (links). Zusammenhang zwischen der Normalkraft FN und der ¨außeren Lastkraft F (rechts). a) µ ≥ tan(αH ). b) r µ ≥ f (δ) =

2−δ . δ

c) Der Haltewinkel αH

    π k π 1 = − arccos √ = − arctan 2 2 k k2 + 1

h¨angt nur von der Steigung der Spirale k ab.

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Beispiel 3: Abbildung 5 zeigt einen sogenannten Quadcopter. Dieser besteht aus einem Zylinder (Radius rZ , H¨ ohe hZ , Masse mZ ) als Korpus, vier quaderf¨ormigen Verbindungsst¨ ucken (L¨ange lQ , Breite bQ , H¨ohe hQ , Masse mQ ) und vier Hohlzylindern (Außenradius r2 , Innenradius r1 , H¨ohe hHZ , Masse mHZ ), in denen sich die identischen Propeller mit dem Radius rP befinden. Die Quader setzen jeweils in der Mitte des Zylinders bzw. der Hohlzylinder an. Alle Elemente sind aus homogenen Materialien gefertigt. ωP,4 , τP,4

ωP,3 , τP,3

ω

rZ z hZ

x

ωP,1 , τP,1

lQ

0 y

r2 hQ

bQ

r1 hHZ

ωP,2 , τP,2

Abbildung 5: Skizze eines Quadcopters. Die Leistung eines Propellers i ergibt sich zu PP,i = kP τP,i ωP,i mit dem auftretenden Moment τP,i , der Winkelgeschwindigkeit ωP,i sowie der Konstanten kP > 0. Im folgenden soll ein einfaches mathematisches Modell hergeleitet werden. Bearbeiten sie hierf¨ ur folgende Punkte. (0)

a) Berechnen Sie das Massentr¨ agheitsmoment θzz des Quadcopters um die z-Achse unter Vernachl¨assigung der Propeller.
Hinweis: Volumen eines Hohlzylinders VHZ = πhHZ r22 − r12 . b) Im Folgenden wird angenommen, dass sich der Quadcopter in einer horizontalen Position befindet. Jeder Propeller i setzt hierbei die Leistung PA,i = Fz,i vh,i p um, wobei Fz,i den Schub in z-Richtung und vh,i = Fz,i /2ρ0 AL die Luftgeschwindigkeit mit der Dichte der Luft ρ0 und der durchstr¨omten Fl¨ache AL bezeichnet. Berechnen Sie die Bewegungsgleichung in z-Richtung in Abh¨angigkeit der Winkelgeschwindigkeit der Motoren ωP,i . Nehmen Sie hierf¨ ur an, dass sich der Schub in z-Richtung als lineare Funktion des Propellermoments Fz,i = kτ τP,i , kτ > 0 ergibt und vernachl¨assigen Sie die Reibung.

5

c) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen f¨ ur die Winkelgeschwindigkeiten der Propeller ωP,i auf. Ber¨ ucksichtigen Sie hierf¨ ur die Reibung in einem fluiden Medium fD = −cw AR

ρ0 2 v ev . 2

Hier bezeichnet cw den Widerstandsbeiwert, AR die Bezugsfl¨ache und v die Geschwindigkeit, an der die Reibungskraft angreift. Nehmen Sie daf¨ ur an, dass die gesamte Reibungskraft an den Spitzen der Propeller wirkt. d) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen f¨ ur die Winkelgeschwindigkeit ω des Quadcopters um die ¨ z-Achse in Abh¨ angigkeit der Winkelgeschwindigkeit der Propeller ωP,i und deren Anderungsrate ω˙ P,i auf. Hinweis: Das Schnittprinzip kann auch f¨ ur Momente angewendet werden.

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L¨ osung a) Mit den Massen mQ und mHZ folgt   Z Q HZ θzz = θzz + 4 mQ (rz + lQ/2)2 + θzz + mHZ (rz + lQ + r2 )2 + θzz Z =ρ wobei θzz

4π hZ rZ 2 ,

Q θzz =

mQ 12



 2 , θ HZ = b2Q + lQ zz

mHZ 2 2 (r2

+ r12 ).

b) m¨ z = −mg +

4 X 2ρ0 AL k 2

P

i=1

kτ2

c) θP ω˙ P,i = τP,i − cW AR

2 ωP,i

ρ0 3 2 r ω 2 P P,i

d)
2 2 2 2 θzz ω˙ = kW ωP,1 + ωP,3 − ωP,2 − ωP,4 + θP (ω˙ P,1 + ω˙ P,3 − ω˙ P,2 − ω˙ P,4 )

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Beispiel 4: Im folgenden Beispiel wird eine Trommel mit dem Radius r und dem Massentr¨agheitsmoment Θ betrachtet, siehe Abb. 6. Die Trommel dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω(t) und hat anfangs die Winkelgeschwindigkeit ω(t = 0) = ω0 . Der Drehwinkel der Trommel ist mit ϕ(t) gegeben, wobei dieser am Anfang gleich Null ist. Die Trommel soll durch einen Bremshebel der L¨ange L zum Stillstand gebracht werden. Hierbei ist der Bremshebel an der Stelle x = 0 drehbar gelagert. An der Stelle x = L wirkt eine externe Kraft F und bei x = l kommt es zu einem reibungsbehafteten Kontakt zwischen dem Hebel und der Trommel. Die Reibung an diesem Kontakt wird durch Gleitreibung mit dem Koeffizienten µ charakterisiert. Gegeben: l, L, Θ, ω0 , r, µ, F, Mext , c, d 0

x L F

l

Mext

ϕ

µ A ω

r θ

Abbildung 6: Trommel mit Bremshebel. F¨ ur die Unterpunkte 1 bis 5 gilt, dass die Trommel reibungsfrei im Punkt A gelagert ist sowie dass das externe Moment Mext gleich Null ist: a) Schneiden Sie die Trommel und den Bremshebel frei und tragen Sie alle relevanten Kr¨afte ein. Bestimmen Sie die Normalkraft FN zwischen dem Hebel und der Trommel sowie die Reibkraft FR . b) Geben Sie den Drehimpulssatz f¨ ur die Trommel an sowie die entsprechenden Anfangsbedingungen. c) L¨osen Sie die Differentialgleichung und bestimmen Sie mittels der L¨osung die Zeit ts , den Drehwinkel ϕs sowie die Anzahl an Umdrehungen ns bis zum Stillstand. d) Wie lautet die kinetische Energie T0 und TE der Trommel im Anfangszustand sowie im Endzustand (Stillstand)? e) Der Winkel ϕs bis zum Stillstand kann auch aus der Reibarbeit W berechnet werden. Die verrichtete Reibarbeit ergibt sich aus dem Arbeitssatz zu W = TE − T0 . Berechnen Sie die Anzahl der Umdrehungen ns bis zum RStillstand aus der Reibarbeit. ϕ Hinweis: Die Reibarbeit lautet W = 0 s MR dϕ, wobei MR das Reibmoment definiert.

8

F¨ ur die Unterpunkte 6 bis 7 gilt, dass im Punkt A eine Drehfeder mit der Federkonstanten c und dem entspannten Winkel ϕ = 0, eine D¨ampfung mit der Konstanten d sowie das externe Moment Mext 6= 0 wirkt. Die Feder ist im Ruhezustand entspannt: f) Welche zus¨ atzlichen Momente wirken nun an der Trommel? Geben Sie den Drehimpulssatz f¨ ur die Trommel an. g) Schreiben Sie das resultierende Gleichungssystem in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung an und bestimmen Sie die Ruhelagen.

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L¨ osung F

FR FN FN FR

Abbildung 7: Freischnittskizze der Trommel und des Bremshebels. a) L FR = µFN = µ F l b) L θϕ¨ = −rFR = −rµ F l

ϕ(0) = 0, ϕ(0) ˙ = ω0 .

c) θl ω0 rµLF θl ϕs = ω2 2rµLF 0 ϕs θl = ω2. ns = 2π 4πrµLF 0 ts =

d) T0 = 1/2θω02 und TE = 0 e) θϕ¨ + dϕ˙ + cϕ = Mext − rFR sgn(ϕ). ˙ f) Mit xT = [ϕ, ϕ] ˙ folgt die Zustandsdarstellung     0 1 0 x˙ = −c x + (M −rF sgn(ϕ)) . ˙ /θ ext R /θ −d/θ Die entsprechenden Ruhelagen lauten 1 ϕ = Mext c ϕ˙ = 0.

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(A)

Beispiel 5: In Abb. 8 ist ein drehbar gelagerter Balken (Tr¨agheitsmoment θB,zz um den Drehpunkt A, L¨ange l, Masse vernachl¨ assigbar) abgebildet auf den das Moment τ wirkt. Im betrachteten ebe(S) nen Beispiel gleitet ein W¨ urfel mit der Kantenl¨ange 2k, dem Massentr¨agheitsmoment θW,zz um den Schwerpunkt S des W¨ urfels und der Masse m reibungsfrei auf diesem Balken. Weiters greift eine parallel zum Balken wirkende St¨ orkraft Fd am Schwerpunkt des W¨ urfels an. Am rechten Ende des Balkens ist eine lineare Feder mit der Federkonstante c und der Nulll¨ange x0 angebracht.

g

A

W¨ urfel

s

ey

Fd ex

2k

τ

ϕ c h

l 2

Abbildung 8: Drehbar gelagerter Balken mit gleitendem W¨ urfel. a) Leiten Sie die Winkelgeschwindigkeit und die translatorische Geschwindigkeit des Schwerpunkts  T des W¨ urfels in Abh¨ angigkeit der generalisierten Koordinaten q = ϕ s und deren zeitlicher Ableitungen her. b) Bestimmen Sie die kinetische Energie des Systems in Abh¨angigkeit der generalisierten Koordinaten q und deren zeitlicher Ableitungen. c) Ermitteln Sie die potentielle Energie des Systems. Nehmen Sie dazu an, dass die potentielle Energie f¨ ur ϕ = 0 verschwindet. d) Schreiben Sie die Lagrange-Funktion an. e) Leiten Sie mithilfe des Euler-Lagrange-Formalismus die Bewegungsgleichungen des Systems her.

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L¨ osung a) vW

  s˙ cos(ϕ) − s sin(ϕ)ϕ˙ = s˙ sin(ϕ) + s cos(ϕ)ϕ˙

ωW = ϕ˙ b) T =


1  (A) 1 (S) θB,zz + θW,zz ϕ˙ 2 + m s˙ 2 + s2 ϕ˙ 2 2 2

c) V = 1/2c(|xF | − x0 )2 − 1/2c(h − k − x0 )2 + mg sin(ϕ) mit   k sin(ϕ) + 2l cos(ϕ) − 2l xF = h − k cos(ϕ) + 2l sin(ϕ) d) L=T −V =


1  (A) 1 (S) θB,zz + θW,zz ϕ˙ 2 + m s˙ 2 + s2 ϕ˙ 2 − mgs sin(ϕ) 2 2 1 1 2 − c(|xF | − x0 ) + c(h − k − x0 )2 2 2

e) Die Bewegungsgleichungen des Systems folgen zu    T d ∂L T ∂L − = fnp dt ∂ q˙ ∂q mit  " #   (A) (S) d ∂L T θB,zz + θW,zz + ms2 ϕ¨ + 2mss˙ ϕ˙ = dt ∂ q˙ m¨ s und  T "  T # l l ∂L −mgs cos(ϕ) − c(|xF | − x0 ) |x1F | xT F k cos(ϕ) − 2 sin(ϕ) k sin(ϕ) + 2 cos(ϕ) = . ∂q msϕ˙ 2 − mg sin(ϕ) Der Vektor der ¨ außeren Kr¨ afte fnp ergibt sich als   τ fnp = . Fd

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Beispiel 6: In Abbildung 9 sind zwei Pendel (L¨ange L1 , Masse m1 ) starr mit Hilfe eines Querstabes (L¨ange L2 , Masse m2 ) miteinander gekoppelt. Die Pendel sind durch eine lineare Drehfeder ¨ (Federkonstante c1 , entspannte Lage f¨ ur ϕ = 0) mit dem Querstab verbunden. Uber eine masselose Stange der L¨ange l wird auf eine Punktmasse mK mittels eines Elektormotors (Masse mM , fix im Schwerpunkt des Querstabes befestigt) ein externes Drehmoment τ aufgebracht. Im Weiteren sei angenommen, dass die Reibungsmomente in den Aufh¨angepunkten (horizontaler Abstand L2 ) durch drehwinkelgeschwindigkeitsproportionale Drehd¨ampfer (D¨ampferkonstante d1 ) ausgedr¨ uckt werden k¨onnen. Hinweis: Das Massentr¨ agheitsmoment eines d¨ unnen Stabes (Masse m, L¨ange l), der um eine Quer1 achse durch den Schwerpunkt rotiert, kann n¨aherungsweise mit 12 ml2 angenommen werden. ey ex d1

d1

g

L1 , m1

ϕ

L1 , m1

c1 L2 , m2 mM

c1 τ l ψ

mK

Abbildung 9: Starr gekoppelte Pendel. a) W¨ahlen Sie einen geeigneten Vektor der generalisierten Koordinaten q und stellen Sie die Ortsvektoren r2 und rK vom Ursprung des Koordinatensystems zu den Schwerpunkten des Querstabes und der Punktmasse. b) Bestimmen Sie die translatorische Geschwindigkeit der Punktmasse mK . c) Berechnen Sie die kinetische Energie des Systems in Abh¨angigkeit der generalisierten Koordinaten q und deren Zeitableitung q. ˙ d) Ermitteln Sie die potentielle Energie des Systems in Abh¨angigkeit der generalisierten Koordinaten q derart, dass V (0) = 0 gilt. e) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen des Systems mit Hilfe des Euler-Lagrange-Formalismus her.

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L¨osung: a) Durch die Kopplung der beiden Pendel verbleiben nur die zwei Freiheitsgrade ϕ und ψ, womit sich generalisierten Koordinaten zu q = [ϕ, ψ]T ergeben. Aufgrund der Geometrie folgen f¨ ur die gesuchten Ortsvektoren 1  1  L + L sin ϕ L + L sin ϕ + l sin ψ 2 1 2 1 r2 = 2 , rK = 2 . −L1 cos ϕ −L1 cos ϕ − l cos ψ b) Ableiten von rK liefert das gew¨ unschte Ergebnis     cos ϕ cos ψ ˙ vK = r˙ K = L1 ϕ˙ + lψ . sin ϕ sin ψ c) Aus dem Satz von Steiner erh¨ alt man θ1 = 1/3m1 L21 und damit die kinetische Energie 1 1 T T T = θ1 ϕ˙ 2 + (m2 + mM )vK vK + m K v K vK 2 2
1 1 ˙ = 2θ1 + (m2 + mM + mK )L21 ϕ˙ 2 + mK l2 ψ˙ 2 + mK L1 lϕ˙ ψ(cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ) 2 2 d) W¨ ahlt man V(0) = 0, ergibt sich die potentielle Energie zu V = (m1 + m2 + mM )gL1 (1 − cos ϕ) + mK g[L1 (1 − cos ϕ) + l(1 − cos ψ)] + c1 ϕ2 e) Mit der Lagrange-Funktion L = T − V folgt T

 ˙ sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ) − (m1 + m2 + mM + mK )gL1 sin ϕ − 2c1 ϕ mK L1 lϕ˙ ψ(− , = ˙ cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ) − mK gl sin ψ mK L1 lϕ˙ ψ(−
 T   ˙ ∂L 2θ1 + (m2 + mM + mK )L21 ϕ˙ + mK L1 lψ(cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ) = mK l2 ψ˙ + mK L1 lϕ(cos ˙ ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ) ∂ q˙



∂L ∂q



und schließlich  # "
  d ˙ d ∂L T 2θ1 + (m2 + mM + mK )L21 ϕ¨ + mK L1 l dt ψ(cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ) = dt ∂ q˙ mK l2 ψ¨ + mK L1 l d (ϕ(cos ˙ ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ)) dt

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