1. Extremos relativos

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Extremos e o Teste da Derivada Primeira

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

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1. Extremos relativos

Extremos e o Teste da Derivada Primeira 1.Extremos relativos

Definição de Extremos Relativos

2.O Teste da Derivada Primeira

Seja f uma função definida em c.

3.Extremos Absolutos

1. f(c) é um máximo relativo de f se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que f(x) ≤ f(c) para todo x em (a, b).

4.Aplicações de Extremos

2. f(c) é um mínimo relativo de f se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que f(x) ≥ f(c) para todo x em (a, b). Se f(c) é um extremo relativo de f, dizemos que ocorre um extremo relativo em x = c.

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1. Extremos relativos

1. Extremos relativos

Para funções contínuas, os extremos relativos devem ocorrer em pontos críticos da função, conforme mostrado na figura abaixo.

Na aula anterior, vimos como utilizar a derivada para determinar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente. Nesta aula, estudaremos os pontos em que uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa. Em tais pontos, a função tem um extremo relativo. Os extremos relativos de uma função incluem os mínimos relativos e os máximos relativos da função. Assim é que a função mostrada na figura a seguir tem dois extremos relativos – o ponto à esquerda é um máximo relativo e o ponto à direita é um mínimo relativo. 3

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1. Extremos relativos

2. O teste da derivada primeira

Ocorrência de Extremos Relativos

O Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos

Se f tem mínimo relativo ou máximo relativo quando x = c, então c é um ponto crítico de f; isto é, ou

1. No intervalo (a, b), se f ‘(x) é negativa à esquerda de x = c e positiva à direita de x = c, então f(c) é um mínimo relativo.

f ‘(c) = 0 ou f ‘(c) não é definida.

2. No intervalo (a, b), se f ‘(x) é positiva à esquerda de x = c e negativa à direita de x = c, então f(c) é um máximo relativo. 3. No intervalo (a, b), se f ‘(x) tem o mesmo sinal à esquerda e à direita de x = c, então f(c) não é 10 extremo relativo de f.

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2. O teste da derivada primeira

2. O teste da derivada primeira

O resultado anterior implica que, na pesquisa de extremos relativos de uma função contínua, basta testar os pontos críticos da função. Constatado que c é um ponto crítico de uma função f, o Teste da Derivada Primeira para extremos relativos permite-nos classificar f(c) como um mínimo relativo, um máximo relativo, ou nenhum dos dois.

A figura acima exibe uma interpretação 11 gráfica do Teste da Derivada Primeira.

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2. O teste da derivada primeira

2. O teste da derivada primeira

Exemplo 1: Ache todos os extremos relativos da função

O Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos

f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 14.

Seja f contínua no intervalo (a, b), no qual c é o único ponto crítico. Se f é diferenciável no intervalo (exceto possivelmente no próprio c), então f(c) pode ser classificada como um mínimo relativo, um máximo relativo, ou nenhum dos dois, como segue.

Comecemos determinando os pontos críticos de f. f ' ( x ) = 6 x 2 − 6 x − 36 6 x − 6 x − 36 = 0 2

6( x 2 − x − 6) = 0 6( x − 3)( x + 2) = 0 x = −2 e x = 3 9

Calculando a derivada primeira Igualando a 0 a derivada primeira Pondo em evidência o fator comum Fatorando Pontos críticos 12

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2. O teste da derivada primeira

2. O teste da derivada primeira

Como f ’(x) é definida para todo x, os únicos pontos críticos de f são x = -2 e x = 3. Com esses números, formamos os intervalos de teste (-∞, -2), (-2, 3) e (3, ∞). A tabela abaixo mostra o teste dos três intervalos. Intervalo

(-∞, -2)

(-2, 3)

(3, ∞)

Valor de teste

x = -3

x=0

x=4

Sinal de f ‘(x)

f ‘(-3) = 36 > 0

f ‘(0) = -36 < 0

f ‘(4) = 36 > 0

Conclusão

Crescente

Decrescente

Crescente

A figura anterior mostra o gráfico de f. Para achar as coordenadas y dos extremos relativos, substituímos, na função, os valores das coordenadas x. Assim é que o máximo relativo é f(-2) = 58 e o mínimo relativo é f(3) = -67. No Exemplo 1, ambos os pontos críticos originaram extremos relativos. No próximo exemplo, apenas um dos dois pontos críticos dará um extremo relativo.

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2. O teste da derivada primeira

2. O teste da derivada primeira

Exemplo 2: Ache todos os extremos relativos da função

Com auxílio do Teste da Derivada Primeira, podemos concluir que o ponto crítico -2 dá um máximo relativo [f ‘(x) muda de sinal, de positivo para negativo], e o ponto crítico 3 dá um mínimo relativo [f ‘(x) muda de sinal, de negativo para positivo], como é mostrado na figura a seguir.

f(x) = x4 – x3. Pela derivada da função,

f ‘(x) = 4x3 – 3x2 = x2(4x – 3), vemos que a função tem apenas dois pontos críticos: x = 0 e x = ¾. Estes números definem os intervalos de teste (-∞, 0), (0, ¾) e (¾, ∞), que são testados na tabela a seguir. 17

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2. O teste da derivada primeira

2. O teste da derivada primeira

(¾, ∞)

Intervalo

(-∞, 0)

(0, ¾)

Valor de teste

x = -1

x=½

x=1

Sinal de f ‘(x)

f ‘(-1) = -7 < 0

f ‘(½) = -¼ < 0

f ‘(1) = 1 > 0

Conclusão

Decrescente

Decrescente

Crescente

Pelo Teste da Derivada Primeira, vê-se que f tem mínimo relativo quando x = ¾, conforme a figura a seguir. O ponto crítico x = 0 não dá extremo relativo.

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2. O teste da derivada primeira

3. Extremos absolutos

As expressões mínimo relativo e máximo relativo descrevem o comportamento local de uma função. Para indicar o comportamento global da função em todo um intervalo, podemos aplicar as expressões máximo absoluto e mínimo absoluto.

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2. O teste da derivada primeira

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3. Extremos absolutos

Exemplo 3: Ache todos os extremos relativos da função

Definição de Extremos Absolutos

f(x) = 2x – 3x2/3.

Seja f definida em um intervalo I que contém c.

Pela derivada da função, f (x) = 2 − '

2 x

1 3

=

2( x

1 3

x

− 1)

1 3

1. f(c) é mínimo absoluto de f em I se f(c) ≤ f(x) para todo x em I.

,

2. f(c) é máximo absoluto de f em I se f(c) ≥ f(x) para todo x em I.

pode-se ver que f = 0 e que f não é definida para x = 0. Assim, a função tem dois pontos críticos, x = 1 e x = 0. Estes números definem os intervalos de teste (-∞, 0), (0, 1) e (1, ∞). ‘(1)

‘

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2. O teste da derivada primeira

O mínimo absoluto e o máximo absoluto de uma função em um intervalo são às vezes chamados simplesmente o mínimo e o máximo de f em I.

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3. Extremos absolutos

Testando estes intervalos, concluímos que f tem máximo relativo em (0, 0) e mínimo relativo em (1, -1), conforme mostra a figura a seguir.

Procure gravar a distinção entre extremos relativos e extremos absolutos. Por exemplo, na figura a seguir, a função tem um mínimo relativo que é também mínimo absoluto no intervalo [a, b]. Contudo, o máximo relativo de f não é máximo absoluto em [a, b]. O próximo teorema afirma que, se uma função contínua tem como domínio um intervalo fechado, então ela deve ter tanto um mínimo absoluto como um máximo absoluto no intervalo. Pela figura, note que eles podem ocorrer em uma extremidade do intervalo. 21

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3. Extremos absolutos

3. Extremos absolutos

Ao procurar valores extremos de uma função em um intervalo fechado, tenha em mente que é preciso considerar os valores da função não só nas extremidades como também nos pontos críticos da função. Valem as seguintes diretrizes para achar extremos em um intervalo fechado.

Teorema dos Valores Extremos Se f é contínua em [a, b], então f atinge um 25 valor mínimo como um valor máximo em [a, b].

3. Extremos absolutos

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3. Extremos absolutos

Embora uma função contínua tenha apenas um valor mínimo e um valor máximo em um intervalo fechado, qualquer um desses valores pode ocorrer para mais de um valor de x. Assim, no intervalo [-3, 3], a função

Diretrizes para Achar Intervalo Fechado

Extremos

em

um

f(x) = 9 – x2

Para achar os extremos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b], siga as etapas a seguir.

toma o valor mínimo zero quando x = -3 e quando x = 3, conforme a figura a seguir.

1. Calcule f em cada um de seus pontos críticos em (a, b). 2. Calcule f em cada extremidade, a e b.

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3. Extremos absolutos

3. O menor desses dois valores é o mínimo, e o maior deles é o máximo.

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3. Extremos absolutos

Exemplo 4: Ache os valores máximo e mínimo de

f(x) = x2 – 6x + 2 no intervalo [0, 5]. Comecemos determinando os pontos críticos da função. f ' ( x ) = 2x − 6 2x − 6 = 0 2x = 6 27

x =3

Calcular a derivada de f Igualar a derivada a zero Somar 6 a ambos os membros Resolver em relação a x 30

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3. Extremos absolutos

4. Aplicações de extremos

Por aí vemos que o único ponto crítico de f é x = 3. Como este número está no intervalo em questão, devemos testar os valores de f(x) neste número e nas extremidades do intervalo, conforme

Exemplo 5: Em aulas anteriores, estudamos o caso de uma lanchonete cuja função lucro para hambúrgueres é

mostra a tabela abaixo.

P = 2,44 x −

Valor de x

Extremo: x = 0

Ponto crítico: x = 3

Extremo: x = 5

f(x)

f(0) = 2

f(3) = -7

f(5) = -3

Conclusão

Máximo

Mínimo

x2 − 5.000, 20.000

0 ≤ x ≤ 50.000.

Ache o nível de produção que gera lucro máximo.

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4. Aplicações de extremos

3. Extremos absolutos

Pela tabela, vemos que o mínimo de f no intervalo [0, 5] é f(3) = -7. Além disso, o máximo de f no intervalo [0, 5] é f(0) = 2. Estes resultados são confirmados pelo gráfico de f na figura a seguir.

Comecemos igualando a zero o lucro marginal e resolvendo em relação a x. P ' = 2,44 −

x 10.000

x 2,44 − =0 10.000 x − = −2,44 10.000 x = 24.400 unidades

Achar o lucro marginal Igualar o lucro marginal a 0 Subtrair 2,44 de ambos os membros Ponto crítico

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4. Aplicações de extremos

4. Aplicações de extremos

Pela figura abaixo, vê-se que o ponto crítico

A determinação dos valores máximo e mínimo de uma função é uma das aplicações mais comuns do cálculo.

x = 24.400 corresponde ao nível de produção que gera lucro máximo.

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4. Aplicações de extremos

Para achar esse lucro máximo, façamos

x = 24.400 na função lucro. x2 − 5.000 20.000 (24.400)2 = 2,44(24.400) − − 5.000 20.000 = $ 24.768

P = 2,44 x −

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