IES MURILLO
Departamento de Matemáticas
EXAMEN FINAL
Junio 2009
ÁLGEBRA 1. Resuelve las inecuaciones
x2 a) ≤9 x −2
b) 3x − 4 ≤ 5
2. Resuelve las ecuaciones: a)
(
)
log 2 + log 11 − x2 =2 log(5 − x)
b) 49x − 10 ⋅ 7 x + 21 = 0
3. Resuelve las ecuaciones: a)
x 2 3 x3 − 1 − + = 2 x + 1 x − 1 2 x2 − 1
(
)
3x − 2 − x + 3 = −1
b)
4. Resuelve los sistemas de inecuaciones: a)
x2 − 6x + 8 ≤ 0
⎫⎪ ⎬ x(x − 1) ≥ x2 + 3x + 1⎪⎭
b)
x −1 > 0 ⎫ ⎬ 2x − y ≤ 3⎭
2 3 2 − 2 +1 2 −1 2x + 3y + 5z = 11 ⎫ ⎪ b) Resuelve por el método de Gauss el sistema: x + y + 2z = 4 ⎬ 3x + 4 y + 7z = 15⎪⎭ 5. a) Opera y simplifica, racionalizando en su caso:
TRIGONOMETRÍA – GEOMETRÍA 1. Si a es un ángulo del segundo cuadrante cuya tangente es – 2 y b es un ángulo del tercer cuadrante cuyo coseno es −
1 . Halla mediante fórmulas: 2
a) Las restantes razones trigonométricas de a y b. b) cos(a − b)
⎛a⎞ ⎝2⎠
c) tg⎜ ⎟ 2. Resuelve la ecuación 4sen x − 2cosec x = 2
3. Dado el triángulo de vértices A( 2, 2) , B( 8, 8) y C ( 4, 10 ) , se pide:
a) Longitud del lado AB . b) Longitud de la altura que parte del vértice C . c) Área del triángulo. 4. Calcula los metros de valla necesarios para cercar la finca representada en el siguiente dibujo, así como la superficie de dicha finca.
5.
Halla el punto simétrico del punto A(−3,0) respecto de la recta r: x + 2y − 3 = 0
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ANÁLISIS
x2 1. Dada la función f(x) = x−4
a) Estudia su continuidad y halla sus asíntotas b) Estudia su crecimiento y halla sus extremos c) Represéntala gráficamente
2. Se dispone de 100 m de alambrada. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo de mayor área que puede rodearse con ésta alambrada? 3. Calcula:
⎛ 4x2 − 1 ⎞ ⎟ a) lim ⎜ x → +∞⎜ 4x2 − 5 ⎟ ⎠ ⎝
x
b) lim
x →2
7 + x −3 x −2
4. Calcula las ecuaciones de las recta tangente y normal a la gráfica de
f(x) =
x2
x2 + 1
en el punto de abscisa x = 1 .
5. Calcula las derivadas de las funciones:
x2 + 2 a) f(x ) = ln x2 + 6
b) f(x) = e2x ⋅ arccos x
ALUMNOS CON UN BLOQUE: LOS 5 EJERCICIOS DEL MISMO. ALUMNOS CON DOS BLOQUES: LOS 4 PRIMEROS DE CADA BLOQUE. ALUMNOS CON TRES BLOQUES: LOS 3 PRIMEROS DE ÁLGEBRA Y DE TRIGONOMETRÍA-GEOMETRÍA Y LOS 4 PRIMEROS DE ANÁLISIS. TODOS LOS EJERCICIOS PUNTUAN IGUAL
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Departamento de Matemáticas SOLUCIONES
ÁLGEBRA
x2 x2 x2 − 9x + 18 −9 ≤ 0 → 1. a) ≤9 → ≤0 x −2 x −2 x −2
x2 − 9x + 18 = 0 → x =
6 3
x −2 = 0 → x = 2
Solución: (− ∞,2) U [3,6]
1⎫ 3x − 4 ≥ −5⎫ 3x ≥ −1⎫ x ≥ − ⎪ b) 3x − 4 ≤ 5 → −5 ≤ 3x − 4 ≤ 5 → 3⎬ ⎬→ ⎬→ 3x − 4 ≤ 5 ⎭ 3x ≤ 9 ⎭ x ≤ 3 ⎪⎭ ⎡ 1 ⎤ Solución: ⎢− ,3⎥ ⎣ 3 ⎦ log 2 + log 11 − x2 = 2 → log 2 + log 11 − x2 = 2 log(5 − x) 2. a) log(5 − x)
(
)
(
)
log 2(11 − x2 ) = log(5 − x)2 → 22 − 2x2 = 25 − 10x + x2 → 3x2 − 10x + 3 = 0
3 10 ± 100 − 36 10 ± 8 x= = = 1 6 6 3
Ambas soluciones son válidas
b) 49x − 10 ⋅ 7 x + 21 = 0 → 72x − 10 ⋅ 7 x + 21 = 0 → z = 7 x → z2 − 10z + 21 = 0
z = 7x = 7 → x = 1 7 10 ± 100 − 84 10 ± 4 z= = = → ln 3 3 2 2 z = 7 x = 3 → x ln 7 = ln 3 → x = ln 7 3. a)
x 2 3 x3 − 1 − + = 2 x + 1 x − 1 2 x2 − 1
(
)
m.c.m. = 2(x + 1)(x − 1)
x(x2 − 1) 2 ⋅ 2(x − 1) 3 ⋅ 2(x + 1) x3 − 1 → x3 − x − 4x + 4 + 6x + 6 = x3 − 1 − + = 2 2 2 2 2(x − 1) 2(x − 1) 2(x − 1) 2(x − 1) x + 10 = −1 → x = −11
3x − 2 − x + 3 = −1 → 3x − 2 = x + 3 − 1 → 3x − 2 = x + 3 − 2 x + 3 + 1 3x − 2 − x − 3 − 1 = −2 x + 3 → 2x − 6 = −2 x + 3 → x − 3 = − x + 3 1 2 (x − 3)2 = − x + 3 → x2 − 6x + 9 = x + 3 → x2 − 7 x + 6 = 0 ⇒ x = 6
b)
(
)
Comprobación:
x = 1 → 3 − 2 − 1 + 3 = −1 → 1 − 4 = −1 → 1 − 2 = −1 Válida x = 6 → 18 − 2 − 6 + 3 = −1 → 16 − 9 = −1 → 4 − 1 ≠ −1 No válida
4. a)
⎫⎪ (x − 2)(x − 4) ≤ 0 ⎫⎪ (x − 2)(x − 4) ≤ 0 ⎫⎪ → ⎬→ ⎬ 1⎬ 2 2 2 ⎪⎭ 0 ≥ 4x + 1 → x ≤ − ⎪ x x x 3 x 1 − ≥ + + ⎪ x(x − 1) ≥ x + 3x + 1⎭ 4⎭
x2 − 6x + 8 ≤ 0
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⎛ ⎝
Solución de la primera ecuación: (2,4 ) Solución de la segunda ecuación: ⎜ − ∞,−
1⎤ 4 ⎥⎦
Solución del sistema: φ (la intersección de ambas soluciones) b)
x −1 > 0 ⎫ ⎬ representamos las 2x − y ≤ 3⎭
rectas:
x =1
⎫ ⎬ y señalamos los y = 2x − 3⎭
semiplanos que corresponden a cada inecuación, la intersección de ambos semiplanos es la solución del sistema (en rojo, en la solución también entra el segmento correspondiente a la segunda recta)
2 3 2 − = 2 +1 2 −1
(
)
(
)
2− 2 3⋅2 + 3 2 2 2 −1 3 2 2 +1 = − = − 2 +1 2 −1 2 + 1 2 − 1 ⎛⎜ 2 2 − 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 2 − 1 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2x + 3y + 5z = 11 ⎫ ⎪ b) Resuelve por el método de Gauss el sistema: x + y + 2z = 4 ⎬ E1 ↔ E2 3x + 4 y + 7z = 15⎪⎭ x + y + 2z = 4 ⎫ x + y + 2z = 4⎫ x + y + 2z = 4 ⎫ ⎪ E2 − 2E1 ⎪ 2x + 3y + 5z = 11 ⎬ → + y + z = 3 ⎬E2 − E3 → ⎬ + y+z = 3 ⎭ E3 − 3E1 ⎪ ⎪ 3x + 4 y + 7z = 15⎭ + y+z = 3 ⎭ Sistema compatible indeterminado, llamamos t = z ⎧x = 1 + 3t ⎪ Solución: ⎨y = 3 − t dándole valores a t obtendríamos las distintas soluciones ⎪z = t ⎩ 5. a)
(
)(
) (
TRIGONOMETRÍA – GEOMETRÍA 1. Si tg a = - 2 (a ∈ II cuadrante ) y cos b = −
)(
)
1 (b ∈ III cuadrante ) . 2
a) Las restantes razones trigonométricas de a y b:
1 + tg2a =
1
2
cos a
→1+ 4 =
1
2
cos a
→ cos2 a =
sen 2 a + cos 2 a = 1 → sen 2 a = 1 −
5 1 → cos a = − 5 5
1 4 2 5 → sen2a = → sen a = 5 5 5
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1 3 3 = → sen b = − → tg b = 3 4 4 2 5 1 2 5 3 5 − 2 15 ⋅− + ⋅− = b) cos(a − b) = cos a cos b + sen a sen b = − 5 2 5 2 10 sen2b + cos2 b = 1 → sen2b = 1 −
5 1 − cos a ⎛a⎞ 5 = 5 + 5 positiva, ya que el ángulo mitad c) tg⎜ ⎟ = ± =± 1 + cos a 5− 5 5 ⎝2⎠ 1− 5 1+
de a estará en el primer cuadrante
2 = 2 → 4sen2x − 2sen x − 2 = 0 sen x 1 1± 1+8 1±3 2 2sen x − sen x − 1 = 0 → sen x = = = 1 4 4 − 2 arcsen (1) = 90 º +360º k
2. 4sen x − 2cosec x = 2 → 4sen x −
x=
⎛ 1 ⎞ 210 º +360 º k k ∈ Z arcsen⎜ − ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 330º +360º k
3. Dado el triángulo de vértices A( 2, 2) , B( 8, 8) y C ( 4, 10 ) , se pide: a) Longitud del lado AB .
d(A, B) = (8 − 2)2 + (8 − 2)2 = 72 = 6 2u b) Longitud de la altura que parte del vértice C Hallamos primero la ecuación de la altura (CP):
r r dAB = (6,6) → dCP = (−1,1) y pasa por C(4,10) x − 4 y − 10 = → x + y − 14 = 0 1 −1
el punto P será la intersección de las rectas CP y
x −2 y −2 = →x−y = 0 6 6 x−y = 0 ⎫ x=y ⎫ ⎬→ ⎬ → x = 7, y = 7 x + y − 14 = 0 ⎭ 2x − 14 = 0 ⎭
AB:
P(7,7), longitud de la altura: d(C, P) = c) Área del triángulo: A =
(7 − 4)2 + (7 − 10)2 = 18 = 3 2u
b ⋅h 6 2 ⋅3 2 = = 18u2 2 2
4. Calcula los metros de valla necesarios para cercar la finca representada en el siguiente dibujo, así como la superficie de dicha finca.
A = 42º , B = 104 º → C = 180 − 146 = 34 º a b c = = aplicamos el teorema de los senos: senA senB senC
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a 150 = → a = 179,5m sen 42º sen34º b 150 = → b = 260,275m sen104º sen34º Metros de valla: 150+179,5+260,275=589,75 Para hallar la superficie, necesitamos una altura, vamos a calcular la correspondiente al vértice B: sen 42º =
A=
h → h = 150 sen 42º = 100,37m 150
260,275 ⋅ 100,37 = 13.061,85m2 2
5. Halla el punto simétrico del punto A(−3,0) respecto de la recta r: x + 2y − 3 = 0 hallamos primero la ecuación de una recta s perpendicular a la dada y que pase por A:
r r x +3 y −0 dr = (−2,1) → ds = (1,2) → s ≡ = → 2x + 6 = y → 2x − y + 6 = 0 1 2
Ahora hallamos el punto P, intersección de ambas rectas, que será el punto medio del segmento AA’ (siendo A’ el simétrico de A, es decir, el punto pedido)
x + 2y − 3 = 0 ⎫ x + 2y − 3 = 0 ⎫ 9 12 ⎬→ ⎬ → 5x + 9 = 0 → x = − → y = 2x − y + 6 = 0 ⎭ 4x − 2y + 12 = 0 ⎭ 5 5 3 − 18 = −15 + 5x → x = − ⎛ 3 24 ⎞ ⎛ 9 12 ⎞ ⎛ − 3 + x 0 + y ⎞ 5 P⎜ − , ⎟ = ⎜ , → A' ⎜ − , ⎟→ ⎟ 24 5 5 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 5 5⎠ ⎝ 2 24 = 5y → y = 5
ANÁLISIS 1. Dada la función f(x) =
x2 x−4
Continuidad y asíntotas: f es continua en R − {4}
x2 = x→4 x − 4
Asíntota vertical: lim
x2 16 lim − = − = −∞ x→4 x − 4 0
x2 16 lim + = + = +∞ x→4 x − 4 0
x = 4 A.Vertical
x2 = ∞ no tiene x →∞ x − 4 x2 =1 Asíntota oblicua: y = mx + n → m = lim 2 x → ∞ x − 4x ⎛ x2 − x2 + 4 x ⎞ ⎞ ⎛ x2 ⎟ = lim ⎛⎜ 4x ⎞⎟ = 4 → y = x + 4 n = lim ⎜ − x ⎟ = lim ⎜ ⎟ x → ∞⎝ x − 4 ⎠ ⎟ x → ∞⎜ x → ∞⎜ x − 4 x−4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2x(x − 4) − x2 x2 − 8x Crecimiento y extremos: f' (x) = = = 0 → x(x − 8) = 0 (x − 4)2 (x − 4)2
Asíntota horizontal: lim
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x=0 x=8
Posibles extremos: x(x − 8) = 0 →
Máximo (0,0) AV x = 4 Mínimo (8,16)
2. Se dispone de 100 m de alambrada. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo de mayor área que puede rodearse con ésta alambrada? Perímetro → 2x + 2y = 100 ⇒ x + y = 50 ⇒ y = 50 − x La función que hay que maximizar es el área del rectángulo: f(x) = A = x ⋅ y
f(x) = x(50 − x) = 50x − x2 → f' (x) = 50 − 2x = 0 ⇒ x = 25 El área es máxima para
x = 25 → y = 50 − 25 = 25
Solución: El rectángulo de área máxima es un cuadrado de 25 metros de lado x
( )
⎛ 4x2 − 1 ⎞ ⎟ = 1∞ = 3. a) lim ⎜ 2 ⎜ x → +∞ 4x − 5 ⎟ ⎠ ⎝
x
x ⎞ ⎛ 4 x2 − 1 4 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ lim 1 + − 1 = lim ⎜ 1 + 2 ⎟ = x → +∞⎝ x → +∞⎜ 4x2 − 5 ⎟⎠ 4x − 5 ⎠ ⎝
4 4 x 2 −5 ⋅x⋅ 2 4 x −5 ⎞ 4
⎛ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ = lim 1 + x → +∞⎜ 4x2 − 5 ⎟ ⎟ ⎜ 4 ⎠ ⎝
=e
lim
x → +∞
4x 4 x 2 −5
= e0 = 1
7 + x −3 ⎛ 0 ⎞ ( 7 + x − 3)( 7 + x + 3) (7 + x − 9) = ⎜ ⎟ = lim = lim = x →2 x →2 (x − 2)( 7 + x + 3) x −2 ⎝ 0 ⎠ x →2 (x − 2)( 7 + x + 3) 1 1 (x − 2) = lim = lim = x →2 (x − 2)( 7 + x + 3) x →2 ( 7 + x + 3) 6
b) lim
4. Calcula las ecuaciones de las recta tangente y normal a la gráfica de
f(x) =
x2
x2 + 1
en el punto de abscisa x = 1 → f' (x) =
2x(x2 + 1) − 2x3 (x2 + 1)2
=
2x
(x2 + 1)2
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1 1 1 = (x − 1) → y = x 2 2 2 5 1 1 Recta normal: y − f(1) = − (x − 1) → y − = −2(x − 1) → y = −2x + f' (1) 2 2 Recta tangente: y − f(1) = f' (1)(x − 1) → y −
5. Calcula las derivadas de las funciones: a) f(x ) = ln
x2 + 2 → f' (x) = x2 + 6 1
f' (x) = 2
2
x +2
x2 + 6
⋅
2x(x2 + 6) − (x2 + 2)2x (x2 + 6)2 x2 + 2 x2 + 2 2 2 x2 + 6 x +6 1
⋅
1
2x3 + 12x − 2x3 − 4x 2
2
(x + 6)
=
⋅
2
(x + 2)(x2 + 6)
b) f(x) = e2x ⋅ arccos x → f' (x) = 2e2x arccos x + e2x ⎛ 1 f' (x) = e2x ⎜ 2 arccos x − ⎜ 1 − x2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
4x
−1 1 − x2
