EVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS MATH 2252 – Calculus II

Dra. Carmen Caiseda Copyright © 2015

Polinomio de Taylor en Calculadora TI-Nspire CX CAS

MSEIP – Engineering Everyday Engineering Examples

Polinomio de Taylor en Calculadora TI-Nspire CX CAS Engage: ¿Cómo

es

que

las

calculadoras

obtienen

los

valores

de

funciones

trascendentales como e2.1, sen(1.42)? Algunas calculadoras usan polinomios de Taylor para hallar la aproximación más adecuada dentro de un error tolerable. Nota que toda calculadora tiene que dar una contestación aproximada pues tiene una capacidad finita. Abre

el

documento

TI-Nspire:

Taylor_Polynomial_Examples.tns.

Explore: Es interesante explorar cómo la calculadora halla los valores de e x. En esta exploración veremos los resultados

Oprime [ctrl] y las flechas [>] para cambiar de página en el documento.

Instrucciones:

Resultado de la Operación

1. Calcula e2.1 [ctrl] [enter]

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Pasa a la página 1.2

1

Compara el valor de e2.1 dado por la calculadora y por el polinomio de Taylor de grado 2, 4, 11.

2. Halla el polinomio de Taylor de grado 2: taylor(ex, x,2) [ctrl] [enter] 3. Evalúa el polinomio de Taylor en x=2 taylor(ex, x,2)|x=2.1 [ctrl] [enter] Puedes usar [ctrl] [C] (copiar los comandos)  [ctrl] [V] (pegar ) 4. Compara el resultado de e2.1 Diferencia = en el paso 1 con el resultado del paso 3 5. Halla y evalúa el polinomio de Resultado = Taylor de grado 4, y compara el resultado con e2.1 de paso 1. taylor(ex, x,4)|x=2.1 Diferencia = 

6. Halla el grado mínimo del polinomio de Taylor que de igual al valor de e2.1

Explain: El polinomio de Taylor de grado n para una función f alrededor de un punto a, se denomina T, y es dado por n

Tn ( x ) 

 i 0

f ( i ) (a ) ( x  a )i i!

 f (a ) 

f (a) f (a) ( x  a)  ( x  a)2  1! 2!



f ( n ) (a ) ( x  a)n n!

El polinomio de Taylor, a diferencia de una Serie (infinita) tiene grado n. Se usa para aproximar el valor de una función f cerca de a. Algunas calculadoras usan el polinomio de Taylor para evaluar funciones como sin(x), e x . En este documento el polinomio de Taylor se nombra Taylorf. 𝑛!

se obtienen al expresar una función f(x)

como un polinomio Tn(x) de grado n. Se obtiene al identificar el orden o exponente del polinomio deseado (lineal n =1, cuadrático n=2, etc...) y hallar el

2

𝑓 (𝑛) (𝑎)

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Los coeficientes del polinomio

coeficiente despejando. Además nota que al derivar una potencia se obtiene el factorial: y = xn, y’ = n xn – 1 , y’’ = n(n-1) xn – 2, ….. , y(n) = n! x0 Pasa a la página 2.2. Oprime [ctrl] y las flechas [>] para cambiar de página en el documento. 1. En este ejemplo verás la gráfica de y  e con línea entrecortada y la gráfica del polinomio de Taylor de grado n (centrado en a ) con línea sólida. Usa las flechas para cambiar el grado n y el valor de a. x

a. Con a = 0, n = 1. Observa la gráfica del polinomio de Taylor de grado 1, T1 , centrado en a= 0. Describe la gráfica de y  T1( x ) . b. Usa la gráfica de y  T1( x ) y del [menu] [5. Trace] [2.Trace All] para describir la exactitud (accuracy) de la aproximación del polinomio de Taylor a la función f(x) = ex a medida que x se aleja de a = 0. c. Escoge n = 2. Describe la gráfica de y  T2 ( x ) , polinomio de Taylor de grado 2 centrado en 0. d. Escoge n = 3. Describe la gráfica y  T3 ( x ) , el polinomio de grado 3 centrado en 0. e. Considere la gráfica de otros polinomios de Taylor de grado n  4 . Describe la exactitud de la aproximación del polinomio de Taylor a medida que n aumenta.

Elaborate: Comparación

de

Hojas

de

Cómputo

(Spreadsheets)

que

muestran

numéricamente los cambios ocurridos en la gráfica. Pasa a la página 2.3. 1. En la página de Lists & Spreadsheets, puedes entrar valores para x en la columna A. Los valores para: f (x), taylorf (x), y | f ( x )  taylorf ( x ) | en las columnas B, C, y D se calculan automáticamente. Estos valores dependen de la n y a previamente seleccionados.

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2. Ajusta los valores de n , a en la página anterior 2.2 conforme se indica, y utiliza la página de Lists & Spreadsheets para contestar las siguientes preguntas.

a. Para un valor fijo de n, describe la exactitud de la aproximación del polinomio de Taylor a medida que los valores de x se alejan de a. b. Para valores fijos de a y x, describe la exactitud de la aproximación dada por el polinomio de Taylor a medida que n aumenta. Pasa a la próxima página 4.2 5. En este ejemplo la gráfica de y = sin x aparece como línea entrecortada, y la del polinomio de Taylor de grado n con línea sólida. Us alas flechas para cambiar el valor del grado n, y el valor de a. a. Para a = 0 y n = 1, describe la gráfica del polinomio de Taylor. Traza la gráfica del polinomio de Taylor y describe cuánto se aproxima a sin x para valores de x cerca de 0. b. Para a = 0, considere la gráfica del polinomio de Taylor a medida que n aumenta. Explica por qué la gráfica del polinomio de Taylor para n = 1 y n = 2 son idénticas, y para n = 3 y n = 4, etc. c. Para cada valor de a y n, describe la exactitud de la aproximación del polinomio de Taylor en valores cerca del centro x = a.

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4

Documento Taylor_Polynomial_Examples.tns

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5

What did you learn? Polinomio de Taylor

Evaluate: Antes y después de terminar la actividad los estudiantes deben contestar la siguiente pre-pos prueba:

1.

Cálculo II

¿Cuál de los siguientes es cierto sobre el error (diferencia) de aproximación del polinomio de Taylor y la función f(x)? a. Aumenta cuando aumenta el grado n del polinomio para cualquier x b. Disminuye cuando aumenta el grado del polinomio para cualquier x c. Aumenta cuando el valor de x está lejos de a d. Disminuye cuando el valor de x está lejos de a

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Actividad Polinomio de Taylor (pre-pos prueba)

Fecha _______________

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Nombre _________________________

2. La gráfica del polinomio de Taylor que mejor aproxima a la de la función f(x)= e x es: a. El polinomio de mayor grado para cualquier x b. El polinomio de menor grado para cualquier x c. El polinomio de mayor grado cerca de a d. El polinomio de menor grado cerca de a

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3. El polinomio de Taylor de grado 4 que aproxima a f(x) = sin(x) centrada en a=0 : a. Es igual al polinomio de grado 3 b. Es igual al polinomio de grado 5 c. Es mejor aproximación que el polinomio de grado 3 d. Es peor aproximación que el polinomio de grado 5