Estructuras de Materiales Compuestos

Mecánica de Laminados - Ejercicios

Ing. Gastón Bonet

-

Ing. Cristian Bottero

-

Ing. Marco Fontana

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 1 • Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que componen un laminado crossply [0/90]s sometido a un esfuerzo axil Nx=100KN/m.

Nx Nx

E1  160GPa E2  8GPa G12  4.5GPa

Espesor de lámina individual

t = 0.2mm

12  0.3 Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

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Ejercicio 1 Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente de Poisson utilizando la relación: 21  12

E2  0.015 E1

Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema principal (especialmente ortótropa)  E1 1    12 21    E Q    12 2 1  1221  0  

12 E2 1  1221 E2

1  1221 0

 0   160.72 2.41 0   0    2.41 8.04 0  GPa   0 0 4.5  G12    Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

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Ejercicio 1 El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a todas las orientaciones presentes en el laminado. En este caso solamente hay láminas 0° y 90° 160.72 2.41 0  Q   Q   Q    2.41 8.04 0  GPa   1 4  0 0 4.5 Q   Q   T  90   2 3

1

Q  R  T  90   R 

1

0  8.04 2.41   2.41 160.72 0  GPa  0 0 4.5

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Ejercicio 1 Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través de las matrices A, B y D. n

 A    hk  hk 1  Q  k k 1

h h  B    2 k 1  n

2 k

2 k 1

  Q  k 

 N     A    M   B 

0   B         D     

 hk3  hk31   D     Q  k 3 k 1   n

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Ejercicio 1 Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del plano medio del laminado

 N     A    M   0

0  0        D    

Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano medio están desacoplados

 N    A  M    D   0

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Ejercicio 1 Al no haber momentos aplicados, las curvaturas del plano medio resultan nulas  M x  0   Dxx      M  y   0   Dxy  M  0   D  xy     xs

Dxy Dyy Dys

Dxs    x    Dys    y  Dss   xy 

  x  0        y   0    0   xy   

Con la matriz A podemos determinar las deformaciones del plano medio.

 N x   Axx    N  y    Axy N   A  xy   xs

Axy Ayy Ays

Axs    x0    Ays    y0  Ass   xy0  Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

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Ejercicio 1 La matriz A se calcula a partir de la siguiente suma: 4

 A   tk Q  k k 1

 t1 Q   t2 Q   t3 Q   t4 Q  1 2 3 4

Como el espesor de todas las láminas es igual 4

 A   tk Q  k k 1







 t Q   Q   Q   Q   2t Q   Q  1 2 3 4 1 2



 160.72 2.41 0   0  8.04 2.41  A  2 * 0.0002m   2.41 8.04 0  GPa   2.41 160.72 0  GPa   0   0 0 4.5 0 4.5   67.5 1.93 0   A  1.93 67.5 0  MPa.m  0 0 3.6  Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

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Ejercicio 1 Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial   x0   N x  100  67.5 1.93 0      1.93 67.5 0  MPa.m   0  0  0 KN / m       y   0  0   0    0 0 3.6        xy 

Explícitamente 100000  67.5 *106  x0  1.93*106  y0 0  1.93*106  x0  67.5 *106  y0 0  3.6 *106  xy0

  x0   0.00148   0      0.000042  y    0    0 xy    

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Ejercicio 1 Las deformaciones de todo el laminado están determinadas por las deformaciones y curvaturas del plano medio

 x  x, y, z    x0  x, y   zk x  x, y   y  x, y, z    y0  x, y   zk y  x, y   xy  x, y, z    xy0  x, y   zk xy  x, y    x0   0.00148   0      0.000042  y    0    0   xy  

  x  0        y   0    0   xy   

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Ejercicio 1 En ausencia de curvaturas, las deformaciones de todas las láminas son iguales

 x  x, y, z   0.00148  y  x, y, z   0.000042  xy  x, y, z   0 Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de cada lámina

 

k

 Q   

k

k

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Ejercicio 1 Podemos calcular las tensiones de cada lámina, pero las deformaciones de todas las láminas son iguales, y la matriz Q de las láminas 1 y 4 son iguales

     1

4

160.72 2.41 0   0.00148  237        2.41 8.04 0  GPa 0.000042    3  MPa      0 0 4.5 0    0 

 Q   

1

1

Las matrices de rigidez de las láminas 2 y 3 son idénticas

 

2

    Q    2 3

2

0  8.04 2.41  0.00148  12        2.41 160.72 0  GPa 0.000042  3 MPa   0  0 0 4.5 0    

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Ejercicio 1 Podemos graficar las tensiones presentes en el laminado Z 237MPa

Nx

237MPa 12MPa

12MPa

12MPa

12MPa

237MPa

Nx

X 237MPa

Z 3MPa -3MPa -3MPa 3MPa

3MPa -3MPa -3MPa

Y

3MPa

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Ejercicio 1 Las tensiones en los ejes materiales de cada lámina se calculan rotando las tensiones calculadas anteriormente

 '   ' 1

4

 T (0) 

1

1 0 0  237  237         0 1 0   3    3  MPa 0 0 1   0   0 

 '   '  T (90)  2

3

2

0 1 0 12  3      1 0 0  3  12  MPa 0 0 1   0   0 

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Ejercicio 1 Las tensiones principales de cada lámina se muestran en la siguiente figura 2

1 237MPa

1y4

12MPa

1

2

2y3

Y

3MPa

-3MPa

X

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Ejercicio 2 • Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que componen un laminado [0/+45/-45]s sometido a un momento Mx=50Nm/m.

Mx

Mx

E1  160GPa E2  8GPa G12  4.5GPa

Espesor de lámina individual

t = 0.2mm

12  0.3 Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

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Ejercicio 2 Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente de Poisson utilizando la relación: 21  12

E2  0.015 E1

Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema principal (especialmente ortótropa)  E1 1    12 21    E Q    12 2 1  1221  0  

12 E2 1  1221 E2

1  1221 0

 0   160.72 2.41 0   0    2.41 8.04 0  GPa   0 0 4.5  G12    Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

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Ejercicio 2 El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a todas las orientaciones presentes en el laminado. 160.72 2.41 0  Q   Q   Q    2.41 8.04 0  GPa   1 6  0 0 4.5 Q   Q   T  45  2 5

Q   Q   T  45  3 4

1

1

Q R  T  45  R 

1

Q  R  T  45  R 

1

 47.9 38.9 38.2   38.9 47.9 38.2  GPa 38.2 38.2 41   47.9 38.9 38.2    38.9 47.9 38.2  GPa  38.2 38.2 41 

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Ejercicio 2 Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través de las matrices A, B y D. n

 A    hk  hk 1  Q  k k 1

h h  B    2 k 1  n

2 k

2 k 1

  Q  k 

 N     A    M   B 

0   B         D     

 hk3  hk31   D     Q  k 3 k 1   n

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Ejercicio 2 Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del plano medio del laminado

 N     A    M   0

0  0        D    

Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano medio están desacoplados

 N    A  M    D   0

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Ejercicio 2 Las curvaturas del plano medio estarán dadas por la matriz D y los momento aplicados  M x  50   Dxx       M y    0    Dxy M   0   D  xy     xs

Dxy Dyy Dys

Dxs    x    Dys    y  Dss   xy 

En ausencia de esfuerzos axiles o de corte, las deformaciones normales y distorsión del plano medio serán nulas  N x  0   Axx      N  y   0   Axy  N  0   A  xy     xs

Axy Ayy Ays

Axs    x0    Ays    y0  Ass   xy0 

  x0  0   0     y   0   0  0   xy   

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Ejercicio 2 La matriz D se calcula a partir de la siguiente suma: hk3  hk31 h13  h03 h33  h23 h43  h33 h53  h43 h63  h53 h23  h13 Q   Q   Q   Q   Q   Q   Q   D   k 1 2 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 3 k 1 4

Las coordenadas hk serán Z

h0 t

K

Z

Z [m]

0

-3t

-0.0006

N/A

1

-2t

-0.0004

5.06e-11

2

-t

-0.0002

1.87e-11

3

0

0

2.67e-12

4

t

0.0002

2.67e-12

5

2t

0.0004

1.87e-11

6

3t

0.0006

5.06e-11

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Ejercicio 2 Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial x   M x  50 18.3 1.9 1.2       1.9 2.9 1.2  Pa.m3    0  0 Nm / m       y    0  0     1.2 1.2 2.2        xy 

Explícitamente 50  18.3 x  1.9 y  1.2 xy 0  1.9 x  2.9 y  1.2 xy 0  1.2 x  1.2 y  2.2 xy

  x   2.95     1   y   1.64    0.72  m   xy  

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Ejercicio 2 Las deformaciones de todo el laminado estan determinadas por las deformaciones y curvaturas del plano medio:

 x  x, y, z    x0  x, y   zk x  x, y   y  x, y, z    y0  x, y   zk y  x, y   xy  x, y, z    xy0  x, y   zk xy  x, y    x0  0   0     y   0   0  0   xy   

  x   2.95     1   y   1.64    0.72  m   xy   Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

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Ejercicio 2 Debemos calcular las deformaciones de las láminas:

 x  x, y, z   2.95 z  y  x, y, z   1.64 z  xy  x, y, z   0.72 z Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de cada lámina

 

k

 Q   

k

k

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Ejercicio 2 Las tensiones dentro de cada lámina varían linealmente en el espesor. Para la lámina 1, podemos calcular las tensiones dentro de la lámina:

El dominio de la lámina está acotado por h0 y h1, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:

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Ejercicio 2 Para la lámina 2

 

2

 47.9 38.9 38.2   2.95 z   50 z   1   GPa    38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z    8.7 z  0.72 z  m 20.5 z  m 38.2 38.2 41     

El dominio de la lámina está acotado por h1 y h2, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:  0.0004  z  0.0002

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Ejercicio 2 Para la lámina 3

 

3

 47.9 38.9 38.2   2.95 z   105 z   1   GPa   38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z    63.7 z  m  m     38.2 38.2 41  0.72 z  79.6 z 

El dominio de la lámina está acotado por h2 y h3, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:  0.0002  z  0

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Ejercicio 2 Para la lámina 4

 

4

 47.9 38.9 38.2   2.95 z   105 z   1   GPa   38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z    63.7 z  m  m     38.2 38.2 41  0.72 z  79.6 z 

El dominio de la lámina está acotado por h3 y h4, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en: 0  z  0.0002

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Ejercicio 2 Para la lámina 5

 

5

 47.9 38.9 38.2   2.95 z   50 z   1   GPa  38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z    8.7 z  0.72 z  m 20.5 z  m 38.2 38.2 41     

El dominio de la lámina está acotado por h4 y h5, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en: 0.0002  z  0.0004

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Ejercicio 2 Para la lámina 6

 

6

160.72 2.41 0   2.95 z   470.2 z   1   GPa     2.41 8.04 0  GPa 1.64 z   6.076 z  m  m     0  0 4.5 0.72 z   3.24 z 

El dominio de la lámina está acotado por h5 y h6, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en: 0.0004  z  0.0006

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Ejercicio 2 Deformación normal X 0.0008

0.0006

0.0004

z [m]

0.0002

0 -0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

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32

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 2 Deformación normal Y 0.0008

0.0006

0.0004

z [m]

0.0002

0 -0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

33

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 2 Distorsión ingenieril XY 0.0008

0.0006

0.0004

z [m]

0.0002

0 -0.0005

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

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34

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 2 Tensión normal X 0.0008

0.0006

0.0004

Z [m]

0.0002

0 -0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008 [GPa]

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35

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 2 Tensión normal Y 0.0008

0.0006

0.0004

z [m]

0.0002

0 -0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008 [GPa]

Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

36

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 2 Tensión de Corte XY 0.0008

0.0006

0.0004

z [m]

0.0002

0 -0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008 [GPa]

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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 2 Para analizar la resistencia del laminado tendremos que evaluar las tensiones de cada lámina en su propio sistema de ejes principales materiales (diferente para cada lámina).

 1     2     6

k

 m2 n2 2mn   x        n2 m 2 2mn   y   mn mn m 2  n 2   xy   k  

k

Si bien se muestran en una misma gráfica en las próximas filminas, se debe recordar que las tensiones de las diferentes láminas corresponden a diferentes sistemas coordenados. Por ejemplo: la dirección 1 de la lámina 2 es +45 y la dirección 1 de la lámina 3 es -45 con respecto al eje x del laminado.

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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 2 Tensión normal 1 0.0008

0.0006

0.0004

Z [m]

0.0002

0 -0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008 [GPa]

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39

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 2 Tensión normal 2 0.0008

0.0006

0.0004

z [m]

0.0002

0 -0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008 [GPa]

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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 2 Tensión de Corte 12 0.0008

0.0006

0.0004

z [m]

0.0002

0 -0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008 [GPa]

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