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Vertretungsstunden Mathematik 32 10. Klasse: Körperberechnungen
Bergedorfer ® Unterrichtsideen
Marco Bettner/Erik Dinges
Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Vertretungsstunden Mathematik 9./10. Klasse Sofort einsetzbar – lehrplanorientiert – systematisch
Volumen der Pyramide 1 Körperberechnungen
Im Folgenden soll eine Volumenformel für eine quadratische Pyramide (VPyramide) aufgestellt werden. Dazu siehst du rechts eine Pyramide und einen Quader. Beide Körper haben die gleiche Höhe hk und die gleiche Grundseite a.
c = hk
hk a a
a a
ader. a) Notiere zunächst die bekannte Volumenformel für den Quader. VQuader = men d b) Tipp: Wie viel mal passt das Volumen derr Pyramide in de den Quader?
ormel für das Volumen olum der Pyramide. c) Notiere eine Formel VPyramide = Py h und die Grundse d) Eine Pyramide ist 20 cm hoch Grundseite a ist 15 cm lang. Wie g groß ist das Volumen derr Pyramide Pyramide??
Marco Bettner/Erik Dinges: Vertretungsstunden Mathematik 32 © Persen Verlag GmbH, Buxtehude
1
Volumen der Pyramide 2 Körperberechnungen
1. Berechne das Volumen der abgebildeten quadratischen Pyramiden. a)
b)
c)
132 dm
35 cm
10 cm
148 dm 15 cm
34 cm
2. Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide. a) a = 7 cm; hk = 5 cm
b) a = 40 ccm; hk = 33 cm
c) c a = 3,5 dm; hk = 4,1 dm
d) a = 255 mm; hk = 298 mm
e) a = 85,7 cm; c ; hk = 83,4 ccm m
f ) a = 0,53 m; hk = 0,61 m
3. Berechne die gesuchten quadratischen Pyramide. uchten Größen der d r qu e. a) a = 17 cm; m; VP = 1541,33 1541,33 cm3; gesucht: ges hk
b) hk = 4,5 cm; VP = 82,14 82, 4 cm3; gesucht: a
4. Die berühmte Cheopspyramide in Gizeh war ursprünglich ber ur 146,60 m hoch. Die quadratische Grundseite a war 230,33 m 146 adrat lang. a) Berechnee das da Volumen Volumen der de Pyramide. er rechts rechts abg bildete La b) Der abgebildete Lastwagen besitzt ein Volumen von Um das wie viel vie Fache ist das Pyramidenvolumen 48 m3. Um die des de Lastwagens? größer als die
5. Kreuze die richtige Aussage an. Wenn sich die Seitenlänge a der quadratischen Pyramide verdoppelt, verdoppelt sich auch das Volumen der Pyramide. vervierfacht sich das Volumen der Pyramide. verdreifacht sich das Volumen der Pyramide. hat dies keinen Einfluss auf das Volumen der Pyramide.
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a
hk a
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a2 · hk · 1 3
= 1500 cm3
= (15 cm)2 · 20 cm · 1 3
V = a2 · hk · 1 3
d) Eine Pyramide ist 20 cm hoch und die Grundseite a ist 15 cm lang. Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
VPyramide =
c) Notiere eine Formel für das Volumen der Pyramide.
3mal
der? b) Tipp: Wie viel mal passt das Volumen der Pyramide in den Quader?
VQuader = a · b · c = a2 · c = a2 · hk
a) Notiere zunächst die bekannte Volumenformel für den Quader.
Im Folgenden soll eine Volumenformel el für eine quadratische Pyramide (VPyramide) aufgestellt werden. Dazu siehst du rechts eine Pyramide und einen Quader. Beide Körper haben die gleiche Höhe hk und die gleiche Grundseite a.
Volumen der Pyramide 1
a
c = hk a
V = 750 cm3
1 15 cm
10 cm
b)
V = 13 486,67 cm3
34 cm
35 cm
e) V = 204 176,82 cm3
b) V = 17 600 cm3
b) a = 7,4 cm
hat dies es keinen Einfluss auf das Volumen der Pyramide.
verdreifacht Volumen der Pyramide. erd ht sich das Volu
vervierfacht sich vervierfach ich das Volu Volumen der Pyramide.
verdoppelt rdoppelt sic sich auch das Volumen der Pyramide.
5. Kreuze die richti n sich die Seitenlänge a richtige Aussage an. Wenn der quadratische quadratischen Pyramide verdoppelt,
b) Da de ist um das 54 009Das Volumen der Pyramide 009-fache größ vo men. größer als das Lastwagenvolumen.
a) V = 2 592 469,95 m3
be pyramide in Gizeh Gize war ursprünglich 4. Die berühmte Cheopspyramide 46,60 m hoch. Die quadratische adratische Grund 146,60 Grundseite a war 230,33 m la g lang.
a) hk = 16 cm
3. Berechne Größen der quadratischen Pyramide. e die gesuchten esuchten Grö
d) V = 6 459 150 m mm3
a) V = 81,67 cm33
Volumen der quadratischen Pyramide. 2. Berechne das V
a)
V = 963 776 dm3
148 dm
132 dm
f ) V = 0,06 m3
c) V = 16,74 dm3
c)
1. Berechne das Volumen der abgebildeten quadratischen Pyramiden.
Volumen der Pyramide 2
Lösungen
Körperberechnungen
3
Oberfläche der Pyramide 1 Körperberechnungen
Im Folgenden soll eine Oberflächenformel für eine quadratische Pyramide (OPyramide) aufgestellt werden. Dazu siehst du rechts das Netz einer quadratischen Pyramide.
7 cm
5 cm
a) Berechne zunächst die graue Fläche unten. e. b) Berechne die Fläche der 4 weißen Dreiecke. che der Pyramide Pyyramide ((OPyramide). c) Berechne die gesamte Oberfläche meine Fo mel für die Oberflächee der de Pyramide yramide in d) Notiere eine allgemeine Formel Abhängigkeit der Seitenlän Seitenlänge eau und der Seitenhöhe he hs.
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Oberfläche der Pyramide 2 Körperberechnungen
1. Berechne die Oberfläche der abgebildeten Pyramiden. a)
b)
c) 30 cm
50 dm
30 dm
100 mm
27 cm 109 mm
2. Berechne die Oberflächengröße der quadratischen Pyramiden. a) a = 40 cm; hs (Seitenhöhe) = 45 cm
b) a = 6 cm; hs = 7 cm
c) a = 257 mm; hs = 366 mm
3. Berechne die gesuchten Größen der Pyram Pyramide. de. a) a = 10 cm; OP = 340 cm2; gesucht: esucht: hs
b) hs = 149 cm; OP = 55 640 cm2; gesucht: a
30 cm
4. Die Oberfläche abgebildeten Pyramide berechnet Oberfläche der rechts r ramide soll b erechn werden. Neben der Länge der Grundseite Neben de undseite a ist die Länge der Seitenkante aus Seitenkan s gegeben. Berechne zunächst a us s und a die Seitenhöhe Seitenhö hs. Tipp: Pythagoras hilft ilft hier weite weiter! er! 20 cm
er rechts rechts abgebildeten abgeb 5. In der Pyramide soll ebenfalls die Oberfläche mmt werden. werd bestimmt Diesmal ist die Länge der Seitenkante a und die rhöh hk (Achtung: Diese entspricht nicht der Seitenhöhe hs) Körperhöhe gegeben. Berechne zunächst aus a und hk die Seitenhöhe hs.
35 cm
33 cm
6. Die Cheopspyramide in Ägypten ist 230,33 m lang (a). Die Körperhöhe hk beträgt 146,60 m. a) Berechne die Seitenhöhe hs. b) Ein Sportplatz hat im Schnitt eine Fläche von 7000 m2. Wie oft passt ein Standardsportplatz in die Oberfläche der Cheopspyramide?
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5 cm
7 cm
d) OPyramide = a + 2 · a · hs
2
c) Oberfläche = 25 cm2 + 70 cm2 = 95 cm2
b) Aweiß = 5 cm · 7 cm · 4 = 70 cm2 2
a) Agrau = 5 cm · 5 cm = 25 cm2
d) Notiere eine allgemeine Formel für die Oberfläche der Pyramide in n Abhängigkeit der Seitenlänge a und der Seitenhöhe hs.
c) Berechne die gesamte Oberfläche der Pyramide (OPyramide).
b) Berechne die Fläche der 4 weißen Dreiecke.
a) Berechne zunächst die graue Fläche unten.
Im Folgenden soll eine Oberflächenformel für eine quadratische Pyramide (OPyramide) aufgestellt werden. Dazu siehst du rechts das Netz einer quadratischen Pyramide.
Oberfläche der Pyramide 1
O = 3900 dm2
30 dm
50 dm
b)
O = 2349 cm2
27 cm
30 cm
b) O = 120 cm2
b) a = 130 cm
109 mm
O = 33 681 mm2
33 cm
35 cm
20 cm
30 cm
100 mm
c) O = 254 173 mm2
c)
8 mal b) 19,8
a) 1 186,43 m
yramide in Ägypten ist 230,33 m lang (a). Die Körperhöhe hk beträgt 146,60 m. 6. Die Cheops Cheopspyramide
0 = 3642,54 cm2 (hs = 38,69 cm)
5. In de en Py amide soll eb der rechts abgebildeten Pyramide ebenfalls die Oberfläche bestim Seitenk bestimmt werden. Diesmal istt die Länge der Seitenkante a und die Körpe e hk (Achtung: Diese se entspricht nicht der Se Seitenhöhe hs) Körperhöhe egeb ben. Berec Seitenhöhe hs. gegeben. Berechne zunächstt aus a und hk die Seitenh
0 = 1531,2 cm2 (hs = 28,28 ,28 cm)
4. Die Oberfläche Pyramide soll berechnet che der rechts abgebildeten ab werden. Neben ben der Länge der de Grundseite a ist die Länge der Seitenkante s gegeben. Berechne zunächst aus s und a die Ber Seitenhöhe hs. Tipp: Pytha Pythagoras hilft hier weiter!
a) hs = 12 cm
erechn die gesuchten G 3. Berechne Größen der Pyramide.
a) O = 5200 cm cm2
2. Berechne d die Oberflächengröße der quadratischen Pyramiden.
a)
1. Berechne die Oberfläche der abgebildeten Pyramiden.
Oberfläche der Pyramide 2
Lösungen
Körperberechnungen
6
Volumen der Kugel 1 Körperberechnungen
Im Folgenden soll eine Volumenformel für eine Kugel (VKugel) aufgestellt werden. Dazu siehst du rechts ein Kegel und eine Halbkugel. Beide Körper haben den gleichen Radius r bzw. die gleiche Höhe r. a) Gib zunächst die Formel für das Volumen des Kegels els (VK) in Abhäng Abhängigkeit der angegebenen Größen an.
b) Schätze: Wie oft passt das as V Volumen olumen des d dargestellten en Kegels gels in n die Halbk Halbkugel?
c) Erstelle aus dein deinen bisherigen n Ergebnissen Er nissen aus a) und b) für das Kugelvolumen VKugelel ein eine Form Formel:
ugel hat einen Ra d) Eine Kugel Radius von 4 cm. Berechne das Kugelvolumen.
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Volumen der Kugel 2 Körperberechnungen
1. Berechne das Volumen der abgebildeten Kugeln. a)
b)
c)
140 mm
547 mm
d)
6,3 cm
9 cm
2. Berechne das Volumen der Kugeln. a) d = 60 cm
b) d = 147 mm
c) d = 1,5 dm
d d) d = 3 cm 4
3. Berechne den Radius der Kugel. a) VKugel = 33,51 cm3
b) VKugel = 4 188,79 cm3 m3
4. Eine Betonkugel von 180 cm. g besitzt einen Durchmesser Du m. a) Berechne ne das Volumen Volumen der de Kugel. b) Wie sc hwer ist die Kugel, wenn 1 dm3 Beton n 2,2 kg schwer schwer ist? schwer
Ato teht in Brü 5. Das rechts abgebildete Atomium steht Brüssel und uge besitzt einen besitzt insgesamt 9 Kugeln. Jede Kugel n 18 m. Durchmesser von st das Gesam mtvolu Wie groß ist Gesamtvolumen aller Kugeln?
6. Der Radius einer Kugel verdoppelt sich. adius e Was passiert mit dem Volumen der Kugel? Kreuze an. Das Volumen verdoppelt sich. Das Volumen vervierfacht sich. Das Volumen verachtfacht sich. Das Volumen verzehnfacht sich. Das Volumen wird um 2 cm3 größer.
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VKugel = 4 · π · (4 cm)3 = 268,08 cm3 3
d) Eine Kugel hat einen Radius von 4 cm. Berechne das Kugelvolumen.
VKugel = 2 · 2· π · r3 · 1 = 4 · π · r3 3 3
volume c) Erstelle aus deinen bisherigen Ergebnissen aus a) und b) für das Kugelvolumen VKugel eine Formel:
2mal
albkugel? b) Schätze: Wie oft passt das Volumen des dargestellten Kegels in die Halbkugel?
n Abhängigkeit der d a) Gib zunächst die Formel für das Volumen des Kegels (VK) in angegebenen Größen an. VKegel = π · r2 · r · 1 = π · r3 · 1 3 3
Im Folgenden soll eine Volumenformel für eine Kugel (VKugel) aufgestellt werden. Dazu siehst du rechts ein Kegel und eine Halbkugel. Beide Körper haben den gleichen Radius r bzw. die gleiche Höhe r.
Volumen der Kugel 1
11 494 40 040,32 mm3
140 mm
b)
3053,63 cm3
9 cm
b) r = 10 cm
c) 1,77 dm3
685 568 079,43 mm3
547 mm
olumen wird um 2 cm3 größer. Das Volumen
men verzehnfa Das Volumen verzehnfacht sich.
Das Volumen verachtfacht Volu verachtfach sich.
rv Das Volumen vervierfacht sich.
Das Volumen verdoppelt sich. v
K lt sich. 6. Der Radius einer Kugel verdoppelt m dem Volumen der Kugel? Was passiert mit Kreuze an.
27 482,65 m3
D rechts abgebildete e Atomium steht in i Brüssel und 5. Das eln. Jede Kugel besitzt einen besitzt insgesamt 9 Kugeln. Du Durchmesser von 18 m. gro ist das Gesamtvolumen ume aller Kugeln? Wie groß
b) 6717,98 kg
6 cm3 a) 3 053 628,06
gel besitzt einen Durchmesser von 180 cm. 4. Eine Betonkugel
a) r = 2 cm
c)
b) 1 663 223,55 mm3
echne den Radius der Ku 3. Berechne Kugel.
a) 113 097,34 cm3 cm
2. Berechne das Volumen der Kugeln.
a)
1. Berechne das Volumen der abgebildeten Kugeln.
Volumen der Kugel 2
d)
d) 0,22 cm3
1047,39 cm3
6,3 cm
Lösungen
Körperberechnungen
9