ENSAYO SOBRE ELECTROSTATICA Y CORRIENTE CONTINUA

Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind.

PROLOGO Este texto es esencialmente una transcripción de la electrostática y corrientes continuas del Dr. José Mª Codina Vidal Catedrático de emérito de electricidad de la facultad de ciencias físicas de Barcelona. El objeto del presente escrito es expresar dichos temas del libro, adaptándolos al lenguaje que he utilizado en mi trabajo sobre álgebra y cálculo tensorial. Independientemente de la transcripción también se desarrollan algunos temas que no figuran en el libro original. Espero que este trabajo sea de utilidad. Barcelona, octubre 2003

TABLA DE CONTENIDO PROLOGO...................................................... 1 TABLA DE CONTENIDO........................................... I ELECTROSTATICA............................................... 1 A.- CAMPO ELECTRICO EN EL VACIO. ........................... 1.- Generalidades. ....................................... 2.- Densidad de carga volúmica •. ........................ 3.- Densidad de carga superficial σ. ..................... B.- MOMENTO ELECTRICO. CAMPO ELECTRICO EN EL VACÍO EN PRESENCIA DE DIELÉCTRICOS. ................................ 1.- Dipolo y momento eléctrico. ......................... 2.- Campo eléctrico en presencia de dieléctricos. ....... → 3.- Ecuaciones fundamentales del campo E . ............... → 4.- Campo irrotacional E. Superficies equipotenciales. ..

1 1 6 9

15 15 19 21 26

C.- CAMPO ELECTRICO EN PRESENCIA DE CONDUCTORES. .......... 29 1.- Conductores. ........................................ 29 2.- Equilibrio en un sistema de n conductores. .......... 35 CORRIENTES ELECTRICAS....................................... 1.- Corriente eléctrica. Generalidades. ................. 2.- Corriente estacionaria ó contínua ................... 3.- Energía en una corriente estacionaria. ..............

41 41 47 59

INDICE DE EQUACIONES........................................ 65

I

ELECTROSTATICA A.- CAMPO ELECTRICO EN EL VACIO. 1.- Generalidades. 1.01.- Supondremos conocidos los fenómenos elementales de la electrización de cuerpos materiales y de su comportamiento como conductores ó como aislantes y por ahora y de no avisar de lo contrario, consideraremos al vacío sólo como un cuerpo aislante, y a los distintos cuerpos materiales en general, como únicamente conductores ó únicamente aislantes. 1.02.- Admitiremos una magnitud escalar Q de volumen, llamada carga ó masa eléctrica, que puede tomar valores positivos ó negativos y que tiene las siguientes propiedades fundamentales: 1ª.- Dos cargas de distinto signo se atraen y dos del mismo signo se repelen. 2ª.- La suma algebraica de las cargas existentes en el espacio de un cuerpo determinado (variable o no) y eléctricamente aislado, es conservativa. Todo cambio en esta suma se entenderá que es debido a la introducción ó extracción de cargas en dicho espacio. La suma algebraica de las cargas introducidas y extraídas coincidirá con la variación en la suma algebraica de las cargas de tal espacio. 3ª.- Reciben el nombre de cargas ligadas (a materia de un cuerpo sólido), las que una vez en equilibrio sólo admiten un cambio de posición que coincida con la deformacion ó movimiento de la materia en la que se asientan. Cargas libres son las restantes. 4ª.- La introducción ó extracción de cargas positivas ó negativas en un cuerpo, ó en general cualquier cambio de posición de las mismas, constituye una corriente eléctrica. En particular, recibe el nombre de corriente eléctrica propiamente dicha, el movimiento de cargas libres efectuado en el seno de un conductor. 5ª.- El movimiento relativo entre un sistema de masas eléctricas en equilibrio y un sistema material puede originar un desequilibrio eléctrico añadido. Al cesar el movimiento, se llega a un nuevo equilibrio eléctrico con distinta distribución y cantidad de masas eléctricas positivas y negativas, pero con igual suma algebraica (fenómeno de inducción electrostática). Las cargas de distinto signo añadidas, son de suma algebraica nula, y se denominan cargas inducidas. 1

Normalmente, el nuevo equilibrio eléctrico se logra en un tiempo extraordinariamente corto. 6ª.- En el estado de equilibrio eléctrico, las cargas eléctricas de un conductor se hallan en su superficie. 7ª.- En este texto, de no indicar otra supondremos que las cargas eléctricas así como las materiales están en equilibrio y en reposo.

cosa, masas

1.03.- Ley de Coulomb. Sean las cargas puntuales Q1 y Q2, ambas situadas en el vacío, en los puntos A1 y A2 respectivamente. Demostrada experimentalmente por Coulomb para cargas en el vacío, la ley fundamental de la electrostática, ó ley de Coulomb, es la siguiente: → F =

(1)

r 1 r Q1 3 Q2 4πε0 r

___→ → → →=A localizada en A2, de la Para r __→ → 1A2, F es la magnitud F2 _ → → fuerza ejercida por Q1 sobre Q2, y para r= A1A2, F es la magnitud F 1 localizada en A1 de la fuerza ejercida por Q2 sobre Q1,

ε0 es una constante escalar llamada constante dieléctrica absoluta en el vacío, dependiente del sistema de unidades adoptado y el factor 4π se ha introducido en la fórmula solamente a efectos de facilitar su aplicación práctica. En virtud de la ley de Coulomb, siempre tendremos:

→ → F1 = -F2 1.04.eléctricas.

Campo

→ E0

creado

en

el

vacío

por

cargas

→ Llamamos intensidad Ei en un punto A del campo eléctrico creado en el vacío por una carga inductora puntual Qi en reposo, a una magnitud de punto, cuyo valor es igual al de la fuerza por unidad de masa eléctrica con que sería afectada una masa eléctrica, bajo el supuesto de estar situada en A. Aceptamos → de acuerdo con la fórmula (1), que el valor de la intensidad Ei del campo creado en el vacío por una carga → puntual Qi en reposo, en un punto A de radio → de posición r respecto a la carga, y que el valor de la fuerza Fi con que actúa sobre una carga Q situada en A son: (2)

→ Ei =

r 1 r Qi ; 4πε0 r3 2

→ → Fi = EiQ

y aceptamos también que este campo es independiente del creado por otras cargas puntuales. espacio, y intensidad A, la suma cada carga

1.05.- Con el conjunto de cargas puntuales Qi del considerandolas fijas y de campos independientes, la → E0 del campo total en el vacío será, para cada punto de las intensidades correspondientes a tal punto, por puntual considerada y la suma de fuerzas serán:

→ → → E0 = ∑ Ei; Fo = ∑Fi → La magnitud de punto E0 recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico total en el vacío, y siempre lo consideraremos finito y aplicado a cada punto A. (3)

→r-3 Sabemos por análisis tensorial que el campo de r corresponde a un vector armónico y por tanto irrotacional y solenoidal excepto en el origen ó punto de localización de → la carga inductora. En consecuencia lo mismo sucederá con cada Ei, y → en cuanto a E0 el campo será armónico excepto para los puntos con carga inductora. Es fácil ver que las fórmulas dimensionales son las siguientes: (4)

[ε0] = L-3M-1T2Q2

[E0] = LMT-2Q-1;

1.06.- Potencial eléctrico. → → Dado que los campos Ei y por tanto el E0 son armónicos, → lo que implica su irrotacionalidad, E0 corresponderá a una magnitud integral escalar U0, función de punto, tal que en cualquier punto A del vacío sin carga eléctrica se verificará: (5)

→ E0 = ∇U0

→ → → → ⇒ ∇×E0 = 0; E0dr = dU0

→ Entre los campos escalares U0 integrales de E0 (que difieren en un campo uniforme), adoptaremos aquél en que resulta U0 = 0 para un punto del vacío infinitamente alejado de las cargas del equilibrio eléctrico considerado, que por tanto se han supuesto todas a distancia finita. Para este campo decimos que la magnitud U0 se halla normalizada. Habitualmente, en vez de utilizar U0, se utiliza la magnitud V0 tambien puntual cuyo valor es el opuesto al de U0 para un mismo punto ó sea V0=-U0, y que se denomina potencial electrostático. Decimos que V0 se halla normalizado cuando está normalizado U0, es decir, cuando V0 es nulo en un punto infinitamente alejado, y supondremos que esto ocurre siempre, mientras no se indique otra cosa. Utilizando V0, las ecuaciones (5) pasan a: 3

→ → → → → E0 = -∇V0 ⇒ ∇×E0 = 0; E0dr = -dV0

(6)

Pi, el campo Para una carga Qi en el__punto → = AP→, será: originado en un punto A, con r i i V0Ai

potencial

r Ar A ri r Qi ⌠ ri r 1 Qi ⌠ 1 Qi 3 dr = = -⎮ ⎮ 3 dr = 4πε0 ⌡∞ ri 4πε0 ri ⌡∞4πε0 ri

y por lo tanto, el valor de V0 correspondiente al punto A y a un conjunto de cargas será: (7)

1 4πε 0

V0A =

Qi

∑r i

i

→ 1.07.- Por → ser E0 un vector irrotacional, tendremos que la circulación de E0 es nula en cualquier circuito cerrado,

∫ E dr→ = 0 →

(8)

0

y en general se tendrá la expresión: B

∫ E dr→ = U →

0

0B

- U0A = V0A - V0B

A

que, siempre para U0 y V0 normalizados, cuando el punto B se supone en el infinito se convierte en:

∫

∞

→ → E0dr = - U0A = V0A

A

→ → el trabajo realizado por una masa Siendo ∫ABE0qdr eléctrica q (infinitesimal para que su movimiento no altere el equilibrio eléctrico) al pasar por el vacío del punto A al punto B, la fórmula anterior es análoga a la utilizada en mecánica, y por tanto qV0 representa la energía potencial de la carga eléctrica q. Observaremos que el valor en un punto A de V0 normalizado, representa el trabajo necesario, por unidad de carga eléctrica, para pasar una carga dq desde el infinito al punto A. → 1.09.- Vector desplazamiento D0 en el vacío. A la magnitud originada en los puntos → r, por una carga puntual Qi, y que tiene por expresión: (9)

→ Di =

r 1 r → Qi 3 = ε0Ei 4π r

la llamaremos vector desplazamiento en el vacío, originado por Qi 4

→ →, y el valor total D en r 0 (10)

para un conjunto de Qi será pues:

→ → D0 = ε0E0

→ Esta expresión nos autoriza a establecer que el campo→ D 0 es armónico en el mismo dominio en que es armónico el campo E0, o sea en donde no haya cargas eléctricas. La fórmula dimensional será: (11)

[D] = L-2Q

5

2.- Densidad de carga volúmica •. 2.01.- Hasta ahora hemos hablado de una distribución de cargas eléctricas Qi puntuales, en el vacío y de suma finita. En este capítulo vamos a suponer solamente el caso de que Q es una magnitud de volumen (distribución volúmica) con cargas finitas en volúmenes finitos, a base de utilizar una magnitud puntual ρ llamada densidad de carga, finita y determinada para cada punto, que relaciona cada elemento dv de volumen con su carga dQ de la siguiente manera: dQ = ρdv Obtendremos la carga eléctrica total en un volumen v determinado, integrando ρ en este volumen: QV =

∫ ρdv v

La ley de Coulomb y la ecuación (2) seguirán siendo aplicables, pero no será admisible el caso de dos cargas infinitamente próximas que sean finitas sino solo el de que ambas sean infinitesimales. De ello se deduce que al tender a cero la distancia entre cargas, la fuerza mutua entre ellas tiende a cero y que por lo tanto para aplicar la ley de Coulomb o la ecuación (2), a un sistema en equilibrio, la acción de las cargas exteriores a un punto representativo de un diferencial dv, se puede considerar equivalente a la acción de todas las cargas del espacio, incluídas las contenidas en dv, siempre que la densidad de cargas ρ en el punto, o sea en dv, sea finita. Para obtener la intensidad de campo en cualquier punto O y de acuerdo con la ecuación (2), lo tomaremos como origen, y consideraremos la carga total del espacio como suma de cargas → representativos de infinitesimales ρdv situadas en los puntos r cada dv, y obtendremos: (12)

→ E0 =

∑

r 1 ⌠ r → Ei = ⎮ ρdv 3 4πε0 ⌡v r

Esta intensidad actúa sobre la carga diferencial dq correspondiente al dv del punto, que así estará sometido a una → fuerza E0ρdv. Un volumen v1, estará sometido a la fuerza:

→ F =

∫ E ρdv →

0

1

→ Cada sumando de E0, corresponde al campo de la carga de →r-n. Por cada dv, y este campo es irrotacional por serlo el de r → consiguiente, el campo suma, ó sea el campo de E0, es siempre irrotacional. Sólo será armónico, según veremos, en el dominio carente de cargas. 6

→ El campo de E0, por ser irrotacional en todos los puntos del espacio con ρ finito, → corresponde a un campo escalar U0 finito y continuo tal que E0 = ∇U0→, y por tanto corresponde también a un campo potencial V0 con E0 = -∇V0 también finito y continuo en todos los puntos del espacio con ρ finito. 2.02.- Por la ecuación (7) obtendremos la expresión del potencial VO. (13)

V0 =

1 ⌠ρ ⎮ dv 4πε0 ⌡vr

Y por →(9) obtendremos → → (irrotacional como E0, por ser D0=ε0E0): (14)

el

desplazamiento

→ DO

r 1 ⌠ r → D0 = ⎮ ρdv 3 4π ⌡v r

2.03.- Cuando el conjunto de cargas puntuales de suma Q constituye una esfera de radio R y densidad eléctrica uniforme ρ, y carga total Q, se verifica que el valor de E0 para los puntos → respecto al centro de la esfera, según el de radio de posición r Análisis tensorial y refiriéndonos a la acción parcial de la esfera se tendrá: Punto exterior (r>R):

→ E0 =

r r 1 Q 4πε0 r3

Punto interior (rR): (15)

V0 = -U0 =

1 Q 4πε0 r

Punto superficial (r=R): 7

normalizados,

los

(16)

V0 = -U0 =

1 Q ρ 2 = R 4πε0 R 3ε0

Punto interior (r0 en i y σ≤0 en los demás conductores j, y por tanto Qi>0 y Qj≤0 (j≠i). Si manteniendo Vi=1 y Vj=0 (j≠i), retiramos todos los conductores j al infinito, donde también V=0, el gradiente en las diversas zonas de la superficie i disminuirá, por lo menos en algunas. Siendo así, como por (53) la carga del conductor i se convierte en Qi’C 2.05.- Coeficiente de influencia de un conductor sobre otro, en un conjunto de conductores. Si consideramos en un sistema de conductores, todos los equilibrios con los que resulte Vk=0 para todos los conductores 37

cuando k≠i y Vk≠0 para k=i, deducimos de (55) que para el conjunto de estos equilibrios, y por lo que respecta a cualquier conductor k≠i, resulta: (59)

Qk = akiVi

⇔

aki =

Qk Vi

El coeficiente aki expresa pues en estos casos una relación constante, y recibe el nombre de coeficiente de influencia del conductor i sobre el conductor k. En el caso particular de Vi=1, tendremos: (60)

aki = Qk 2.06.- Teorema de Green.

Dadas sus aplicaciones, lo desarrollaremos aquí, aunque se refiere a cargas puntuales en el vacío. Sea un sistema de n cargas ei y calculemos el potencial Vj creado en ej por todas las cargas del sistema excepto la propia ej de este punto: 1 ei 0 rij

∑ 4πε

Vj =

i≠j

donde rij indica la distancia entre Qi y Qj (i≠j). Si en lugar de considerar el sistema ei, lo hacemos con otro sistema e’i aplicado a los mismos puntos, el potencial V’j creado por los e’i (i≠j) en el punto e’j resulta análogamente: V’j =

1 e′i 0 rij

∑ 4πε i≠j

Efectuando los productos Vje’j y V’jej y formando las sumas de sus expresiones para todos los valores j de 1 a n, tenemos: j= n

∑

v je′j =

j=1

j= n

∑v′ e

j j

j=1

1 4πε0

1 = 4πε0

j= n

i=n ;i≠j

j=1

i =1

j= n

i=n ;i≠j

j=1

i =1

∑ ∑

∑ ∑

eie′j rij e′iej rij

Ahora bien, en los segundos miembros, i y j son índices mudos de sumación que se pueden permutar, por tomar ambos todos los valores enteros entre 1 y n. Haciéndolo así en uno de los dos segundos miembros, resulta igual al otro, y por tanto tenemos: 38

j= n

(61)

∑

v je′j =

j=1

j= n

∑v′ e

j j

j=1

lo que expresa el teorema de reciprocidad de Green, que evidentemente será aplicable a cargas puntuales en un medio perfecto e indefinido. Cuando las cargas no son finitas y puntuales y Q es una magnitud de volumen, consideraremos al espacio de un equilibrio eléctrico como un conjunto de volúmenes diferenciales dv, a los que corresponden sendas cargas dQ y potenciales V. Considerando para un mismo espacio, dos equilibrios eléctricos distintos, tales que a dv con uno de ellos corresponden los valores V,dQ y con el otro los valores V',dQ', podremos expresar así el teorema de Green: (62)

∫ VdQ’ = ∫ V’dQ

refiriendo las integraciones a todo el espacio, ya que ahora (A '2.01) el potencial generado por las cargas exteriores a un dv puede considerarse igual al potencial total de dv. Finalmente, en el caso que nos ocupa en este capítulo de que el equilibrio es entre conductores, podemos efectuar parcialmente para cada conductor la integraciones anteriores, teniendo en cuenta que el volumen de todo conductor es equipotencial. Así pues, si tenemos n conductores y en un equilibrio sus cargas y potenciales son Qi y Vi y en otro son Q’i y V’i, la ecuación de Green quedará en esta forma: (63)

Σi(ViQ’i) =

Σi(V’iQi)

2.07.- Propiedades de los coeficientes de capacidad e influencia. a) Los coeficientes de capacidad e influencia tienen por dimensión: [C] = [Q][V]

-1

= [L]-2[M]-1[T]2[Q]2

y se miden en unidades de capacidad. b) Hemos visto en '2.04, que en el equilibrio correspondiente a Vi=1 y Vj=0 para toda j≠i, las cargas son Qi>0 y Qj≤0 (j≠i). Por lo tanto, según (57) y (59): aji≤0

aii>0;

para todos los valores posibles de i y j. 39

En consecuencia, si en el equilibrio de un conjunto de conductores, solo uno tiene un potencial no nulo, la carga de todos los demás, es de signo contrario al de éste ó bien es nula. c) En los equilibrios indicados en b), las líneas de fuerza con un extremo en i tienen el otro extremo en otro de los conductores ó en el infinito, y por lo tanto, por el teorema de los elementos correspondientes podemos escribir: Qi ≥ -Σj(≠i) Qj

⇒

aij ≥ - Σj(≠i)aij

El signo = corresponde al caso de influencia total, por el que designamos el caso en que todas las líneas de fuerza, sin excepción, enlazan con los otros conductores. d)

En

un

determinado

conjunto

de

conductores,

se

verifica: aij = aji cualesquiera que sean los dos conductores j,i. Efectivamente: Consideremos el equilibrio en que se tiene Vi=1; (j≠i): Vj=0 y por otra parte el equilibrio con V’k=1 en otro conductor distinto del i anterior y (j≠k): V’j=0 en los demás. En virtud de (63) se verifica: Qk = Q’i Pero finalmente, por (55) se tiene: Qk = akiVi = aki;

Q’i = aikV’k = aik

2.08.- De acuerdo con podríamos ver que en un sistema de total de elementos correspondientes resulta ser para i igual a aij(Vi-Vj)

los párrafos precedentes, n conductores la carga del entre el conductor i y el j y el valor opuesto para j.

En cuanto a la carga total de i sin correspondencia con los demás conductores es aiiVi.

40

CORRIENTES ELECTRICAS 1.- Corriente eléctrica. Generalidades. 1.01.- Llamamos corriente eléctrica a todo movimiento de cargas eléctricas, y campo de corrientes al conjunto de corrientes existentes en un momento dado. Llamamos corriente libre al movimiento de cargas libres y corriente de conducción a toda corriente libre en el seno de un conductor. En Electrostática se presentó este último caso, al cargas en conductores y se atribuyó a las fuerzas y repulsivas que actúan sobre todas las cargas libres en un conductor, incluídas las desdobladas por el movimiento de las mismas hasta hallar un rápido y reposo en la superficie del conductor.

hablar de atractivas existentes inducción, equilibrio

Admitiremos el principio de la conservación y continuidad de las cargas eléctricas y tomaremos como dirección y sentido del movimiento lineal o velocidad de una carga, el correspondiente al movimiento de una carga positiva. Prescindiremos, en los cálculos que siguen, de distinguir entre los diversos tipos existentes de cargas móviles (iones, electrones, etc.) y tendremos en cuenta solamente el que sea posible establecer un campo vectorial → u de las velocidades de las cargas de puntos eléctricos, así como un campo puntual ρ de densidades eléctricas. 1.02.- Las características principales a considerar en cada momento en un campo de corrientes eléctricas son: 1º.- Intensidad IC de la corriente a través de una superficie. Se define como el límite de la relación por cociente que existe entre la carga positiva dQ que atraviesa esta superficie en un tiempo dt y este tiempo, cuando dt tiende a 0. (dt j→0):

(1)

IC =

dQ dt

→ 2º.- Densidad de intensidad de corriente jC en un punto.

→ Es una magnitud de punto vectorial jc=ρ→ u, tal que en un momento dado correspondiente a un intervalo diferencial de tiempo dt, para cualquier punto define el diferencial dIc de intensidad de corriente que atraviesa un diferencial de superficie que → de acuerdo con contiene al punto, expresado vectorialmente por ds la fórmula; 41

→ → dIC = jCds

(2)

→ → y j Asignando el signo + a u sólo si en el punto c →=n → considerado el movimiento es de cargas positivas, y haciendo ds → → ds (con algún n versor normal a ds) resulta que el signo de dIC → para un mismo valor de jC, dependerá del que se adopte como → y n →. positivo para ds La expresión (2) es, en efecto, la de una intensidad, → →, podremos escribir: pues sustituyendo jC por ρu

→n →ds) dIC = ρ(u

(3)

y el paréntesis coincide con el volumen de la carga que en el punto y momento dado, por unidad de tiempo atravesaría la →. superficie ds con velocidad u La intensidad total IC en este momento, para una superficie S será pues: (4)

IC =

∫

→ → jC ds

s

→ resulta la siguiente: La ecuación dimensional de j C → [jC] = L-2T-1Q 1.03.- Norma para los signos.

→ para que n → atraviese la Eligiendo el sentido de n → superficie en igual sentido que u, el resultado será positivo. → y n → Pero si la superficie total es cerrada, ds acostumbran a considerarse en igual sentido sólo si la corriente es de salida, y en sentido contrario si es de llegada o carga. Por tanto, en el caso particular de corriente de carga, siguiendo la norma habitual de signos, resulta:

→ → dIc = -jCds

(5)

1.04.- Intensidad de la corriente de carga de un volumen V de superficie S. Dada una distribución volúmica de carga eléctrica dQ=ρdV en el interior de V, la ecuación (5) y el signo que se da → en las superficies cerradas, tendremos la siguiente densidad a ds de intensidad de corriente de carga del volumen V: (6)

Ic =

∂Q ∂ ∂ρ = ρdv + ⌠ dv ⎮ ⌡v ∂t ∂t ∂t v

∫

42

→ →

∫ j ds s

C

→ 1.05.- Valor de ∇jC. Aplicando Ostrogradski al último miembro de la ecuación anterior, tendremos: (7)

⌠ ∂ρ dv = ⎮ ⌡v ∂t

∫

v

→ ∇jCdv

⇔

r⎤ ⌠ ⎡ ∂ρ + ∇ j ⎮ ⎢ C ⎥ dv = 0 ⌡v ⎣ ∂t ⎦

y como esto ocurre con cualquier volumen V elegido dentro de la corriente, deberá verificarse: (8)

∂ρ → + ∇j C = 0 ∂t

⇔

∂ρ → ∇j C = ∂t

en todo punto interno de la distribución de corriente. Esta es pues la ecuación de continuidad de la distribución en estos puntos internos. 1.06.- Ecuación de continuidad en una distribución superficial. Cuando las cargas no pueden rebasar la superficie del sistema, las que lleguen a la superficie normalmente a la misma determinarán una distribución superficial σ en sus puntos. Siendo →→ → el versor superficial en ellos tendremos que j n cn=jcn representará el incremento de σ que les afectará por unidad de tiempo, ó sea: (9)

∂σ →→ = jcn ∂t

y esta expresión se toma como ecuación de continuidad superficial. 1.07.- Campos de cargas en movimiento. En electrostática hemos definido los campos creados por una determinada distribución de cargas, bajo la hipótesis de que las cargas están en reposo y en equilibrio eléctrico. Cuando no es así y estudiamos cargas que se mueven, ó sea corrientes eléctricas, admitimos que sigue habiendo campos de la misma naturaleza que en electrostática y que ahora, a las cargas en cuestión sobre las que actúan no les es imposible moverse. Definiremos ahora como campo electrostático creado por una carga móvil en un momento dado, aquél campo que crearía la carga si estuviera en reposo y equilibrio en la posición alcanzada en este momento. 43

Admitimos que el campo así definido no existe simultáneamente con la llegada de una carga a la posición correspondiente, pues la simultaneidad presupone la creación instantánea de los campos por las cargas. No obstante, aunque no sea así, la definición también es prácticamente utilizable cuando la velocidad de movimiento de las cargas sea despreciable en relación con la velocidad de formación de los campos. Esto ocurrirá especialmente cuando los fenómenos estudiados tengan lugar en la proximidad de las cargas que dan lugar a los campos. 1.08.- Corriente de desplazamiento. → Sea D el vector desplazamiento en un punto, y conside→ → remos la magnitud jd definida como la derivada parcial de D respecto al tiempo, a la que llamaremos densidad de intensidad de corriente de desplazamiento en el punto y momento dado: r ∂D → (10) jd = ∂t → →La dimensión de la magnitud jd es la misma que la de la magnitud jC. → Si consideramos el campo D creado por una carga móvil cuando la creación de campos no es instantánea, la expresión (10) sigue válida, aunque podrá no representar una derivada. → Ahora el numerador representará la diferencia de valores en D correspondientes a las posiciones inicial del período dt de referencia y final de dicho período. Por analogía a la intensidad de corriente eléctrica (1.02) se define la intensidad de la corriente→ de desplazamiento a través de una superficie S por el flujo de jd ó sea: r ∂D → ∂ → → → → ⌠ (11) Id = jdds = ⎮ ds = Dds s s ∂t ⌡s∂t

∫

∫

La corriente de desplazamiento es nula en todo punto de un campo de corrientes estacionario (corriente contínua) ó nulo, → pues entonces el campo D no varía con t en ningún punto.

→, 1.09.- Sea un plano ilimitado, de versor ortogonal n que divide al espacio vacío en dos mitades, y una carga Q situada en un punto P exterior al plano. → El vector desplazamiento D originado por Q en un punto → del mismo tendrá A del plano representante de un diferencial ds un valor: → D =

r 1 r Q 4π r3

→ → El sumatorio Σ(Dds ) para toda la superficie del plano, 44

valdrá: (12)

r Qn → → Dds = s 4π

∫

∫

s

ds

r r Qn r r Q = ± 2πn = ± 3 4π r 2

El signo dependerá del sentido establecido para → n y de cual es la mitad del espacio en que se halla la carga Q, y el valor será el mismo para cualquier punto elegido en la misma mitad. De (12) se deduce que si comparamos los valores del sumatorio si una misma carga está en un punto a un lado ó al otro del plano, la diferencia entre los valores es ±Q y que este resultado sigue válido cuando ambos puntos distan infinitamente poco de un punto dado del plano. 1.10.- Sea un cuerpo conductor con una conexión conductora a través de la cual puede recibir cargas del exterior y sea una superficie cerrada teórica S que con el conductor en su interior, lo separa de su conexión. Vamos a comparar los campos de equilibrio inicial y final creados en S por el conductor cargado, cuando en un intervalo dt, la carga total del cuerpo conductor ha aumentado en dQ. → → Llamando jd a la derivada parcial de D respecto t, por (11) y Ostrogradski se verificará: r ∂D → ∂Q ∂ → → → → ⌠ (13) jdds = ⎮ ds = Dds = s ∂t s ∂t ⌡s ∂t

∫

∫

teniendo en cuenta que en la zona de S en la conexión conductora → D es nulo, tanto antes como después de la carga. En este tiempo dt, por la intersección de la superficie con la conexión conductora ha salido una→ carga -dQ, por lo que con una densidad de intensidad de carga jc tenemos por (6): (14)

→

∫ (j s

d

→ → = 0 + jc)ds

→ con jc=0 en todos los puntos de la superficie exteriores al conducto de carga. La ecuación (14) podemos suponerla válida aunque los puntos de la superficie correspondan a un material no perfectamente conductor ni→ perfectamente dieléctrico, con lo que para un → mismo punto jd y jc podrán no tener nulo uno de los valores. → → 1.10.- Divergencias ∇jd y ∇J. Por electrostática y por (8) y (10), en todo punto se verifica: 45

→ ∇ D = ρ,

r ∂D → jd = ; ∂t

∂ρ → ∇j c = ∂t

con lo que resulta: (15)

r ∂ → ∂ρ ∂D → → ∇j d = ∇ = ∇D = = -∇jc ∂t ∂t ∂t

y por consiguiente: (16)

→ → → (jd+jc = J):

→ → → ∇(jd + jc) = ∇J = 0

1.11.- Corriente total.

→ → Vemos pues, → que el campo jd es el que sumado al jc lo convierte en un campo J que llamaremos de densidad de corriente total, que es solenoidal y por tanto de líneas de fuerza cerradas. Llamaremos I a la suma de intensidades consideradas. para una superficie dada, y por tanto: I = I d + Ic y podremos considerar que las corrientes Id cierran ó completan el circuito de las Ic. r ∂D → → → → J = j c + j d = ρu + ∂t

46

2.- Corriente estacionaria ó contínua 2.01.- Generalidades. Decimos que un movimiento de cargas eléctricas es contínuo, constituyendo una corriente contínua ó estacionaria, cuando con el transcurso del tiempo las cargas en movimiento se sustituyen unas a otras, conservando en cada punto de la corriente una misma densidad de carga. En estas condiciones, consideraremos una única densidad de intensidad de corriente, a → la que denominaremos j Decimos de la corriente contínua así definida, que es la expresión de un equilibrio dinámico entre las cargas móviles entre sí, con la causa y efecto del movimiento y con su entorno. De las ecuaciones (8) y (9) y de la independencia de ρ y σ respecto al tiempo deducimos para las corrientes contínuas, las siguientes ecuaciones de continuidad de la distribución eléctrica: → → → → En el interior: (j = jc = J): ∇j = 0 → →j En la superficie: n ⇔ σ=Cte. c = jn = 0 2.02.- Consecuencias: → → a) j = jc es un campo solenoidal b) Las líneas de→ corriente así como sus tubos coinciden con los de los campos de j. c) La intensidad I de la corriente es la misma en todas las secciones del circuito 2.03.- Equilibrio electrostático. En electrostática hemos estudiado el equilibrio de cargas que están en reposo, sea ello debido a estar inmovilizadas, ó debido a que no están solicitadas en un sentido en que es posible el movimiento. Como la fuerza a que se hallan sometidas las cargas en este equilibrio, se ha representado por un campo vectorial → irrotacional E, se vió que el campo resulta nulo en el interior de los conductores y que en los puntos superficiales de los conductores, resulta normal a la superficie. 2.04.- Equilibrio electrodinámico. Nos referiremos a una corriente estacionaria, y a las circunstancias que corresponden a su existencia y mantenimiento, → en un circuito cerrado caracterizado por un campo solenoidal j de densidad de corriente y por una intensidad I común a todas sus secciones. 47

Por analogía al equilibrio electrostático, ahora → también llamaremos E a una magnitud vectorial, cuyo campo es, en cada punto representante de un volumen dv, la fuerza por unidad de carga eléctrica a que está sometida la carga sita en dicho dv. Pero tratándose de un equilibrio electrodinámico, ahora las cargas no → son inmóviles, sino que deben desplazarse en la dirección de j. → → Por consiguiente el ángulo que forman E y j no puede o ser mayor de 90 . Como por experiencia sabemos que el paso de una corriente por cada punto de un medio, origina un desprendimiento → → de calor, partiremos de la hipótesis de que el ángulo entre j y E es, por lo menos en los puntos de una parte del circuito, menor que un recto. 2.05.- Campo electromotor.

→ Sea C una línea cerrada de corriente de j. Para la → integral circular de E sobre C tendremos: (17)

∫

→ → E dl ≠ 0

→ → puesto que dl es de igual dirección y sentido que j y la integral no puede anularse, pues no siendo negativo ningún sumando, ello exigiría que fuesen todos nulos, lo que no se verifica según el párrafo anterior. → En consecuencia el campo E no es irrotacional. → Podemos pues considerar → → E como suma de dos campos, uno Ee irrotacional y otro distinto E’, que nunca es irrotacional en la totalidad de sus puntos no nulos: → → → (18) E = Ee + E’ → El campo E’ recibe el nombre de campo electromotor y, a → diferencia de Ee, nunca puede ser totalmente asimilado a un campo producido por una distribución fija de cargas. 2.06.- Generadores. Vemos pues que una característica del equilibrio electrodinámico es la existencia de un campo electromotor. Llamamos generador a la parte del circuito eléctrico en la que actúa el campo electromotor. Los generadores pueden ser: a) Localizados: Ocupan sólo una cierta → región del espacio (por ejemplo una pila), en la que existe E’. 48

→ b) Distribuídos. En este caso, E’ existe en todos los puntos del circuito (caso de la inducción electromagnética). En la parte de circuito exterior a los generadores supuestamente constituída por material conductor, existe → únicamente campo irrotacional Ee. Una característica de un generador es la fuerza electromotriz e, entre sus bornes A positivo y B negativo, que se define con la siguiente igualdad: B

(19)

e =

∫ E’dl →

→

A

→ referida a la parte del circuito de j existente en el seno generador, aunque tratándose de un generador localizado, resultado será el mismo que si integramos en la totalidad circuito. El valor de e en el equilibrio, no será nulo por no E’ irrotacional.

del el del ser

Para muchos generadores no electromagnéticos el valor de e es independiente del circuito a que está conectado el generador y entonces es una constante propia del generador. Este es el caso de los generadores electroquímicos tales como pilas y acumuladores. La parte del generador por las que salen las líneas de corriente se llama "polo positivo" y la parte por las que entran se denomina "polo negativo"; simbólicamente el generador se representa por: +

-

Hay que tener en cuenta que el sentido de las líneas de →, es el corriente en el exterior del generador, ó sea el de j opuesto al que resulta de considerar una corriente como un flujo de electrones negativos. 2,07.- Potencial escalar V. → Puesto que el campo Ee es irrotacional, podremos considerarlo engendrado por un sistema de cargas electrostáticas cuya formación se considera necesaria para el establecimiento de una corriente estacionaria. No estudiaremos aquí la distribución de cargas y nos limitaremos a señalar que por tratarse de un campo irrotacional, y en analogía con lo estudiado en electroestática, podemos establecer: (20)

→ Ee = -∇V 49

→ asimilando V al potencial electrostático y Ee a su gradiente. 2.08.- Ley de Ohm.

→ → Los campos en equilibrio E y j, serán cada uno función del otro y de la distribución de materiales en el circuito. Se demuestra experimentalmente que en la mayoría de los → → circuitos, la relación entre E y j es lineal y que entonces se verifica la siguiente ley, llamada de Ohm: (21)

→ → → → j = γE = γ(Ee + E’)

siendo el coeficiente γ, llamado conductibilidad del medio, variable con el medio en que se halla el punto que se considera. Es escalar para medios isótropos, y puede ser un tensor cuando se trate de medios anisótropos. El inverso ρ de la conductibilidad, se denomina resistividad del material conductor. → → → Como al ser j estacionario → → tendremos ∇j=0 , y al ser E irrotacional tendremos ∇×E0=0, deducimos de la ley de Ohm e=-∇V las dos ecuaciones siguientes: (22)

→ → ∇(γEe) = -∇(γ[∇V]) = - ∇(γE’)

(23)

r j → ∇× = ∇×E’ γ

2.09.- Ecuaciones aplicables a la superficie de discontinuidad de un conductor en la parte de circuito exterior al generador. a) La ecuación de continuidad a través de la superficie de separación de dos medios es, en general: (24)

jn- - jn+ =

∂σ ∂t

→ ya que la diferencia entre las componentes de j normales a la superficie de discontinuidad a un lado y otro de dicha superficie representa una acumulación de la carga por unidad de superficie y de tiempo a que da lugar. Pero como la corriente es estacionaria tendremos: (25)

jn- = jn+

b) Recordando que la componente tangencial de un campo → electrostático (al que asimilamos el campo Ee) es contínua a 50

través de la superficie de separación de dos medios: (26)

Eet- = Eet+

y teniendo en cuenta la ley de Ohm (21), resulta: (27)

jt− j - t+ γ− γ+

= E’t- - E’t+

c) Recordaremos de la Electrostática que como la componente Eet es contínua en las superficies de discontinuidad, esta continuidad equivale a la de V, al que además podemos suponer de valor nulo en el infinito. → No sucede lo mismo con Een ó componente normal de Ee, y → podemos escribir para un versor n normal a la superficie de discontinuidad: (28)

⎛ dV ⎞ ⎛ dV ⎞ γ-Een- - γ+Een+ = γ+ ⎜ ⎟ + - γ- ⎜ ⎟ ⎝ dn ⎠ ⎝ dn ⎠ −

2.10.- Determinación de las distribuciones estacionarias de corriente. → 1º.- Si conocemos los campos E’, γ (conductibilidad) y → la geometría del sistema, determinaremos el campo j a través del siguiente sistema de ecuaciones:

→ ∇j = 0 r j → ∇× = ∇×E’ γ

(29)

jn- = jn+

jt− j - t+ γ− γ+

= E’t- - E’t+

Las dos primeras ecuaciones son las (22) y (23) y las últimas, que son las (25) y (27), rigen para las superficies de discontinuidad del conductor. → Este sistema de ecuaciones determina el valor de j. → → 2º.- Podemos considerar como incógnita Ee en lugar de j y en tal caso puede comprobarse, que el sistema de ecuaciones anterior equivale al siguiente:

→ → ∇(γEe) = - ∇(γE’)

51

→ → ∇ × Ee = 0. (30)

γ-Een- - γ+Een+ = γ+E’n+ - γ-E’mEet- = Eet+ Las dos últimas ecuaciones se refieren a las superficies de discontinuidad del conductor. → Una vez determinado → → → → Ee, obtendremos el anterior valor de j por la ecuación j=γ(Ee+E’). → → 3º.- También podemos obtener j en función de E’, pero a través de V, pues evidentemente podemos escribir:

→ ∇(γ[∇V]) = ∇(γE’) (31)

⎛ dV ⎞ ⎛ dV ⎞ γ+ ⎜ ⎟ + - γ- ⎜ ⎟ = γ+E'n+ - γ-E’n⎝ dn ⎠ ⎝ dn ⎠ − V- = V+

Una vez determinado el campo V, la distribución de → → → viene dada por j corriente j =(-∇V + E’). El sistema (31) es, en su forma matemática, completamente análogo al sistema fundamental de la electrostática para medios normales. Si se trata de conductores homogéneos (γ=Cte.), la primera ecuación se convierte en la de Poisson:

→ (∇∇)V = ∇E’ que se reduce a la de Laplace (∇∇)V =0, en los puntos de la parte de circuito exterior a los generadores. Por lo tanto, en estos puntos, V es una función armónica. 2.11.- Problema fundamental → de la determinación de una distribución estacionaria de corriente j, en el circuito exterior a una serie de n electrodos Si (i = 1,2,..n), supuestos conductores perfectos (ó sea con γ=∞), instalados en el seno de un medio conductor de conductividad γ, y mantenidos a potenciales fijos Vi (i = 1,2,3,...n) mediante generadores exteriores al medio conductor. Se puede plantear como un problema de contorno, teniendo en cuenta que en el circuito exterior constituído por el conductor →de →conductividad γ, el potencial V satisface al sistema (31) con E’=0. El campo electromotor viene sustituído por las condiciones de contorno (en cada electrodo Si se tendrá V=Vi). 52

El conjunto de→ ecuaciones determina el potencial V, → del → que se deduce el campo Ee=-∇V, y de éste la corriente por j=γEe. Con un medio conductor homogéneo, si viene limitado por las superficies de los electrodos, ó bien es indefinido, tendremos (∇∇)V=0 con potencial regular que toma el valor Vi en cada Si. Si es indefinido tendremos además V=0 en el infinito. En ambos casos el problema de determinar V es un problema de Dirichlet, el mismo de la electrostática y se resuelve con iguales procedimientos y soluciones. 2.12.- Resistencia de un conductor. Expresión habitual de la ley de Ohm. Nos referiremos→ a → una parte de circuito → fuera del generador y por tanto con E’=0, de la que conocemos j y por tanto también V. Consideremos en esta región dos superficies equipotenciales S1 de potencial V1 y S2 de potencial V2 y el tubo t de corriente que las une como un conjunto de tubos de corriente diferenciales dt. Para uno de ellos la ley de Ohm se reduce a:

→ → j=γEe → y la circulación de Ee: V1 - V2 =

r j ⌠ j r → → Eedl = ⎮ dl = ⌠ ⎮ dl ⌡dt γ dt ⌡dt γ

∫

dI que circula por dt es por definición → → La intensidad → → la sección de dt considerada. Como j dI = jds siendo ds es solenoidal, tendremos dI = j ds siendo ds el área de la sección recta de dt por el punto, con lo que podemos escribir: (32)

dI dl dl = dI ⌠ = dI r V1 - V2 = ⌠ ⎮ ⎮ ⌡dt γds ⌡dt γds

habiendo representado por r la integral (33)

dl r = ⌠ ⎮ ⌡dt γds

que recibe el nombre de resistencia del tubo dt considerado. De (32) deducimos:

53

(34)

dI =

V1 − V2 r

La intensidad I en el tubo total t será: I =

∫dI t

1 = (V1 - V2) ⌠ ⎮ ⌡t r

y haciendo:

1 1 = ⌠ ⎮ ⌡t r R

(35) obtenemos finalmente: (36)

I =

V1 − V2 R

Esta expresión es la habitual de la ley de Ohm para un tubo de corriente en el exterior de los generadores y entre dos superficies equipotenciales, y la expresión (35) define a R como la resistencia de esta parte del circuito, y por tanto también podremos escribir:

j (r= ⌠ ⎮ dl ): ⌡dt γ

R =

1 1 ⌠ ⎮ ⌡t r

Si el conductor es filiforme, con γ homogéneo, longitud l y sección S constante, tendremos: S

(37)

(ρ =

2 1 11 1 dl ): R = r = ⌠ = = ρ ⎮ γ S λ S ⌡S1 γS

2.13.- Ley de Ohm para un circuito cerrado constituído por un generador de fuerza electromotriz e y una resistencia R1 exterior al mismo. En virtud de la ley de Ohm primera, tendremos por (21):

→ → → j = γ(Ee + E’)

⇔

r j → → Ee + E’ = γ

y la circulación de este campo a lo largo del circuito será: r jdl ⌠j → → → → (Ee + E’)dl = ⎮ dl = ⌠ ⎮ ⌡ γ ⌡γ

∫

→ Como en conductores filiformes j es generalmente uniforme en cada sección normal de área S, tendremos: 54

I = jS y como

∫

→ → Eedl = 0, queda:

e =

∫

Idl dl jdl → → E’dl = ⌠ = ⌠ = I⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ γ ⌡ Sγ ⌡ Sγ

pero como ya vimos, la integral última se define como la resistencia total del circuito, que podemos considerar suma de una resistencia R correspondiente a la parte exterior al generador, y de una resistencia r en la parte de circuito correspondiente al generador, quedando: (38)

e = (R+r)I

Si consideramos solamente un tramo ANPB de este circuito entre dos puntos A y B, que contenga un generador de fuerza electromotriz e de polo negativo N y polo positivo P, el sentido de la corriente en el mismo será será de A a B, ya que en el circuito total es el de PBAN. Llamando R1 a la suma de resistencias de los segmentos de conductor AN y PB, para el resto de conductor externo al generador cuya resistencia es R-R1, por (36) tendremos: VB-VA = (R-R1)I = RI-R1I y sustituyendo RI por (38) (39)

VB-VA = e-rI-R1I

⇔

VA-VB = (r+R1)I-e

que es la ley de Ohm para un tramo que contiene un generador. Para los signos de I y de e en esta expresión, hay que tener en cuenta que el signo de I es positivo cuando la corriente va de A a B por el generador, lo que equivale a VA-VB positivo y también a que para pasar de A a B hay que atravesar el generador de N a P. En cuanto al signo de e siempre es el opuesto al de I. 2.14.-

Receptores de corriente eléctrica.

Un receptor es un dispositivo, en que la energía eléctrica se transforma en energía de cualquier otro tipo, excepto calorífica. Así como en los generadores existe un campo electromotor que favorece el movimiento de las cargas eléctricas y tiene una fuerza electromotriz e de signo distinto al de I, en los receptores existe un campo contraelectromotor que crea una fuerza contraelectromotriz e' siempre del mismo signo que I, por lo que la ley de Ohm (39) correspodiente tendrá la misma expresión que en el caso de un generador, con e' en lugar de e, y signo opuesto al de e. 55

2.15.-

Ley

de

Ohm

generalizada

para

un

circuito

cerrado. e1

I

B

e2

R2

A R1

R5

E R4

C R3 e3

e5

e4

Se puede aplicar para calcular la intensidad I en un circuito cerrado con diversos generadores ( ) y receptores ( ). Primero se determina el sentido de la intensidad que será el de las fuerzas electromotrices preponderantes. Si por ejemplo: e1+e5> e3

D

el sentido se la intensidad I será el de ABCD. Entonces se aplica la ley de Ohm entre los extremos de cada dispositivo recorriendo el circuito en sentido de la intensidad, y teniendo en cuenta que los Ri son las resistencias totales de cada tramo incluyendo la del eventual generador incluído en el mismo. VA-VB = R1I-e1 VB-VC = R2I-e2 VC-VD = R3I-e3 ........... Sumando miembro a miembro queda: 0 = IΣRi - Σei y por lo tanto: (40)

I =

∑ei ∑Ri

que es la ley de Ohm para un circuito cerrado. Para la aplicación de (40), hay que tomar como positivas las fuerzas electromotrices siempre que I atraviese su generador de N a P y hay que tomar como negativas todas las fuerzas contraelectromotrices. Las Ri son siempre positivas, y su suma es la resistencia total del circuito. 2.16.- Leyes de Kirchhoff para una red de conductores. En toda red de conductores, llamaremos nudo a todo punto donde concurren 3 o más conductores, malla a cada figura poligonal formada por conductores y rama al trozo de conductor que une dos nudos. 1ª ley.- Considera un nudo determinado cualquiera de la 56

red. Por el principio de conservación de la carga, resulta que la suma de intensidades que llegan al nudo considerado, ha de ser igual a la suma de las intensidades que salen. Tomando signos distintos para las intensidades, según entren o salgan, escribiremos:

ΣIi = 0 Esta es la primera ley de Kirchhof aplicada a este nudo. 2a ley.- Considera una malla cualquiera determinada de la red, que consta de n ramas. Recorriendo la malla en cierto sentido, por ejemplo el ABCD..N, y aplicando la ley de Ohm a cada una de las n ramas, queda: VA-VB = R1I1-e1 VB-VC = R2I2-e2 . . . . . . . . . . . . . . VN-VA = RnIn-en y sumando miembro a miembro: 0 = Σ(RiIi) - Σei y por tanto se verifica:

Σ(RiIi) = Σei Esta es la segunda ley de Kirchhoff aplicada a esta malla y sus n ramas. Para aplicar correctamente esta ley hay que tener en cuenta las normas de signo establecidas. 2.17.- Problema: Dada en una red, una malla de n nudos y n ramas de las que conocemos las resistencias totales Ri y las fuerzas electromotrices en ellas colocadas, determinar las intensidades Ii que circulan por las mismas. El problema tiene n incógnitas, y se precisan ecuaciones. El proceso de resolución es el siguiente:

n

1º. Se adoptan sentidos arbitrarios para las intensidades Ii de las ramas. 2º. Se aplica la primera ley de Kirchhoff a todos los nudos independientes ó sea de conjuntos de intensidades distintos. 3º, Se aplica la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas independientes, ó sea que no figuran en ellas las mismas intensidades. Para aplicar la ley a cada malla, se coge un 57

sentido arbitrario de rotación para las intensidades. Puede probarse que así se obtienen n ecuaciones independientes, que dan las n incógnitas Ii. Si al resolver el sistema se obtiene cierta II positiva, ello significa que el sentido supuesto para esta intensidad es el real ó verdadero. En cambio se obtiene una Ii negativa, el sentido adoptado resulta ser el contrario del verdadero. De esta manera queda totalmente conocida distribución de corrientes en valor y sentido.

toda

la

2.18.- Observación sobre las resistencias. La resistencia R de los conductores varía con la temperatura del conductor, a consecuencia de que con ella también varía χ. Para incrementos de temperatura no muy grandes resulta: R = R0(1 + αt) donde α es el llamado coeficiente de temperatura, dependiente de cada substancia. Para los metales en general, α es mayor que 0 y para algunos cuerpos como el carbono, el valor del coeficiente es menor que 0.

58

3.- Energía en una corriente estacionaria. 3.01.- Para considerar el balance energético en una parte del circuito estacionario, distinguiremos varios casos. 3.02.- Parte de circuito exterior al generador. Para → impulsar las cargas, sólo existe el campo electrostático Ee, pues fuera del generador el campo →electromotor → E’ es nulo. El trabajo efectuado por la fuerza Ee sobre las cargas libres ρdv existentes en un diferencial de volumen de circuito dv, de densidad ρ de carga eléctrica, en el tiempo dt, → es la velocidad puntual del flúido eléctrico, y por lo cuando u tanto dl = u dt, es el trabajo:

→ →dt) d2T = (Eeρdv)(u →=ρu →: y teniendo en cuenta que j →→ d2T = Eej dv dt → Por consiguiente, el trabajo efectuado por Ee por unidad de volumen y unidad de tiempo es: (41)

d2T →→ = Eej dvdt

En este caso debemos distinguir dos situaciones: a) En la región considerada sólo hay conductor. Una vez conseguido el movimiento estable de las cargas libres, es decir, con una corriente estacionaria ya establecida, → todo incremento de energía cinética proporcionado por Ee se transforma inmediatamente en calor (efecto Joule). → Por tanto, con E’=0, por (21) podemos escribir: (42)

j2 d2T →→ = Eej = γ dvdt

como balance energético en forma local. Aplicación a un tramo de circuito filiforme de sección ortogonal uniforme s, y conductibilidad uniforme γ, entre dos secciones 1 y 2. Podremos tomar la expresión (33) de r como valor de R en el tramo. Integraremos (42) entre los extremos del tramo, (en el que se verificará dv=s dl así como I=js):

59

I (j= ): S

2

2

2

2 2 dl ⌠j ⌠I dT = ⎮ Sdldt = ⎮ dldt = I2dt ⌠ ⎮ ⌡1 γS ⌡1 γ ⌡1 γS

Teniendo en cuenta la expresión (36) y como para el valor de la resistencia R de este tramo podemos tomar la de r en (33), podremos escribir finalmente: dT = RI2dt = (V1-V2)I dt

(43)

como el efecto Joule entre 1 y 2 durante dt. La potencia correspondiente es pues: 2

(44)

P = dT/dt = RI = (V1-V2)I

b) En la región considerada hay conductor y receptor. → En el receptor hay un campo E” contraelectromotor. Por lo tanto, el trabajo efectuado por Ee se emplea en estos dos → efectos: parte se convierte en el trabajo realizado por E” y el resto en calor por efecto Joule. → → → Si se cumple la ley de Ohm, tenemos j=γ(Ee+E”), y de (41) deducimos.

j2 D2T →→ → → = Eej = E”j = γ dVdt

(45)

→ → → Dado que E” es opuesto a Ee y a j, los dos términos del último miembro son positivos. El primero da la energía útil del receptor por unidad de volumen y tiempo, y el segundo la densidad del efecto Joule. Aplicación a un tramo igual al de la aplicación del caso a) anterior, con la diferencia de que entre las superficies 1 y 2 hay → además intercalado un receptor de campo contraelectromotriz E”. Procediendo como → entonces, como ahora por (45) hemos → → visto que la expresión de Ee tiene un término más que es el -E”j correspondiente al receptor, resultará: Energía durante el tiempo dt. (46)

2 dT = (V1-V2)I dt = Energía útil + RI dt.

Potencia: (47)

P = (V1-V2)I = Potencia útil + RI2

Así pues, tanto en este caso como en el anterior, la energía de la corriente desarrollada entre 1 y 2 durante dt viene dada siempre por: dT = (V1-V2)I dt 60

que se emplea en una forma (43) u otra (46) según los casos. 3.03.- Zona del generador localizado. → El campo electromotor E’ desplaza las cargas móviles, venciendo al campo electrostático Ee que es de sentido contrario y venciendo también al rozamiento. → El trabajo efectuado por E’ sobre las cargas móviles, por unidad de volumen de circuito y tiempo es: d2T → → (48) = E’j dvdt → → = γ(E y si se cumple la ley de Ohm [j e+E’)], escribiremos:

(49)

j2 d2T → → →→ = E’j = -Eej + γ dvdt

→ El trabajo realizado por el campo electromotor E→’ →se emplea pues, por una parte para dar la energía potencial -Eej a las cargas y en cuanto al resto, en producir calor por el efecto Joule. La energía potencial adquirida por las cargas se manifiesta a su vez tal como se ha dicho en '3.02. 3.04.- Si consideramos ahora un generador localizado, junto al resto de circuito, como tendremos en todas las secciones del circuito la misma intensidad I constante, se verificará: La carga que en el tiempo dt atraviesa cada sección, que es dQ=Idt, coincide con la carga que ha recorrido todo el circuito en igual tiempo dt. Por consiguiente, en el tiempo dt, el trabajo realizado por el generador de f.e.m. e, ó sea la energía suministrada por éste al circuito, será: (50)

dW = e dQ = eIdt

correspondiente a la potencia: (51)

P = eI

expresión que frecuentemente se usa para definir la fuerza electromotriz e de un generador como la relación entre la potencia suministrada a un circuito y la intensidad creada en él. En la mayoría de los generadores localizados (y por tanto no electromagnéticos), la fuerza electromotriz es igual a la diferencia de potencial entre sus polos en circuito abierto. Siendo P el polo positivo y N el polo negativo, en general podremos escribir:

61

P

(52)

e =

∫

N

→ E’dl = VP - VN

3.04.- Receptores de corriente eléctrica. Sea un tramo de conductor entre dos superficies equipotenciales S1 y S2 con potencial en la sección 1 mayor que en la sección 2, y sin generadores intercalados. El sentido de la corriente y de I será de S1 a S2. Si hay un receptor intercalado entre 1 y 2 podremos utilizar la expresión (47) de la potencia consumida en el tramo. Llamando Pu a la potencia útil, ó sea la que el receptor transforma en energía no térmica, tenemos: 2 P = Pu + RI

(53)

y RI2 es la potencia empleada en el efecto Joule por la resistencia R del tramo, que incluye la resistencia del receptor. El comportamiento de receptores y generadores en lo que se refiere a conversión de energía y el concepto de f.e.m. en un generador, aconsejan definir la fuerza contraelectromotriz de un receptor por la relación: (54)

e’ =

Pu I

3.05.- Rendimiento de generadores y receptores. Se define como rendimiento de un generador la relación entre la potencia recibida en el circuito exterior y la potencia total P suministrada por el generador. P

La potencia exterior es:

N

Pe = (VP-VN)I y el rendimiento resulta: (55)

R =

Pe P

Como la pérdida de energía en el interior del gewnerador, por efecto Joule, es p=rI2 siendo r su resistencia, para P=eI podremos escribir: (56)

R =

P−p p rI rI2 = 1 = 1 = 1 eI e P P

Este rendimiento

siempre es menor que 1 a causa de la 62

resistencia r.

A

Se define como rendimiento de un receptor la relación entre la potencia Pu utilizada y la potencia total P consumida: r I B

Llamando r a la resistencia del receptor, el efecto 2 Joule en el receptor es p=rI , y la potencia total consumida es P = Pu+rI2 = (V1-V2)I atendiendo a (47). Por tanto tenemos:

P−p p rI Pu rI2 R = = = 1 = 1 = 1 p P P (V1 − V2)I V1 − V2 menor que 1 a causa de r.

63

INDICE DE EQUACIONES CE(1).......... 41 CE(10)......... 44 CE(11)......... 44 CE(12)......... 45 CE(13)......... 45 CE(14)......... 45 CE(15)......... 46 CE(16)......... 46 CE(17)......... 48 CE(18)......... 48 CE(19)......... 49 CE(2).......... 42 CE(20)......... 49 CE(21)......... 50 CE(22)......... 50 CE(23)......... 50 CE(24)......... 50 CE(25)......... 50 CE(26)......... 51 CE(27)......... 51 CE(28)......... 51 CE(29)......... 51 CE(3).......... 42 CE(30)......... 52 CE(31)......... 52 CE(32)......... 53 CE(33)......... 53 CE(34)......... 54 CE(35)......... 54 CE(36)......... 54 CE(37)......... 54 CE(38)......... 55 CE(39)......... 55 CE(4).......... 42 CE(40)......... 56 CE(41)......... 59 CE(42)......... 59 CE(43)......... 60 CE(44)......... 60 CE(45)......... 60

CE(46) ........ 60 CE(47) ........ 60 CE(48) ........ 61 CE(49) ........ 61 CE(5) ......... 42 CE(50) ........ 61 CE(51) ........ 61 CE(52) ........ 62 CE(53) ........ 62 CE(54) ........ 62 CE(55) ........ 62 CE(56) ........ 62 CE(6) ......... 42 CE(7) ......... 43 CE(8) ......... 43 CE(9) ......... 43 EL(1) .......... 2 EL(10) ......... 5 EL(11) ......... 5 EL(12) ......... 6 EL(13) ......... 7 EL(14) ......... 7 EL(15) ......... 7 EL(16) ......... 8 EL(17) ......... 8 El(18) ......... 8 EL(19) ......... 8 EL(2) .......... 2 EL(20) ......... 9 EL(21) ......... 9 EL(22) ........ 12 EL(23) ........ 14 EL(24) ........ 15 EL(25) ........ 15 EL(26) ........ 15 EL(27) ........ 16 EL(28) ........ 17 EL(29) ........ 17 El(3) .......... 3 EL(30) ........ 17

65

EL(31) ........ 21 EL(32) ........ 21 EL(33) ........ 21 EL(34) ........ 21 EL(35) ........ 22 EL(36) ........ 22 EL(37) ........ 22 EL(39) ........ 22 EL(4) .......... 3 EL(40) ........ 23 EL(41) ........ 23 EL(42) ........ 23 EL(43) ........ 23 EL(44) ........ 23 EL(45) ........ 24 EL(46) ........ 25 EL(47) ........ 30 EL(48) ........ 31 EL(49) ........ 32 EL(5) .......... 3 EL(50) ........ 33 EL(51) ........ 33 EL(52) ........ 35 EL(53) ........ 36 EL(54) ........ 36 EL(55) ........ 36 EL(56) ........ 36 EL(57) ........ 37 EL(58) ........ 37 EL(59) ........ 38 EL(6) .......... 4 EL(60) ........ 38 EL(61) ........ 39 EL(62) ........ 39 EL(63) ........ 39 EL(7) .......... 4 EL(8) .......... 4 EL(9) .......... 4