INSTITUT FÜR HOCHSPANNUNGSTECHNIK Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. Armin Schnettler

INSTITUT FÜR HOCHSPANNUNGS TECHNIK RHEINISCHWESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN

Energietechnisches Praktikum II Versuch 11 Versuch 11: Transiente Vorgänge auf Leitungen, Wanderwellen

2

Transiente Vorgänge auf Leitungen, Wanderwellen

11.1 Einleitung Eine quasistationäre Beschreibung von elektromagnetischen Feldern ist nur unter der Bedingung zulässig, dass Feldänderungen nahezu gleichzeitig stattfinden. Bei veränderlichen Feldern müssen diese als elektromagnetische Welle mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit beschrieben werden, wenn die Laufzeit der Welle in dem betrachteten Medium nicht mehr vernachlässigbar klein ist gegenüber der Zeit, in der sich die Feldstärken ändern. Für Leitungen, bei denen die Spannungs- und Stromverteilung als leitungsgeführte elektromagnetische Wellen (Wanderwellen) aufgefasst werden können, ergibt sich daraus eine von der Frequenz abhängige maximale Leitungslänge, bei der eine quasistationäre Beschreibung zulässig ist. Treffen unterschiedliche Leitungen aufeinander, können durch Wanderwellen Überspannungen auftreten, die zu einer erhöhten Beanspruchung der Isolation führen. Bei einer Wechselspannung mit f=50Hz liegt für eine quasistationäre Beschreibung die zulässige Leitungslänge bei Freileitungen bei ca. 100km, wenn der Spannungsfehler unter 0,5% liegen soll. Bei Blitzstoßspannungen mit einer Anstiegszeit von ca. 1ms reduziert sich diese Länge auf nur noch ca. 20m. In gasisolierten Schaltanlagen (GIS) kann diese Länge bei den hier auftretenden hochfrequenten Ausgleichsvorgängen noch deutlich kleiner sein.

11.2 Physikalische und technische Grundlagen Zur Beschreibung einer Leitung werden zunächst die folgenden längenbezogenen Größen eingeführt: Induktivitätsbelag:

L¢ =

L l

Kapazitätsbelag:

C¢ =

C l

Widerstandsbelag:

R¢ =

R l

Ableitungsbelag:

G¢ =

G l

Ein infinitesimaler Leitungsabschnitt kann damit durch das Ersatzschaltbild nach Abb. 1-1 dargestellt werden.

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3 i

R´dx

L´dx

i + di di

u

G´dx

C´dx

u + du

dx

Abb. 1-1:

Ersatzschaltbild eines Doppelleitungselements

Aus Abb. 1-1 ergibt sich mit Anwendung der Kirchhoff´schen Gesetze:

-

du di = R ¢ × i + L¢ × dx dt

(1)

-

di du = G¢ × u + C¢ × dx dt

(2)

Dieses System gekoppelter Differentialgleichungen erster Ordnung beschreibt allgemein den Spannungs- und Stromverlauf für eine Leitung. Zur Bestimmung der Lösungsfunktion für die Spannung differentiert man Gleichung 1 nach dem Ort x und Gleichung 2 nach der Zeit t. Setzt man nun die entstehende gemischte Ableitung ein, erhält man eine lineare, homogene, partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: d 2u d 2u du ¢ ¢ = L C × + (R ¢C ¢ + L ¢G ¢) × + R ¢G ¢ × u 2 2 dx dt dt

(3)

Analog erhält man für den Strom: d 2i d 2i di ¢ ¢ = L C × + (R ¢C ¢ + L¢G ¢) × + R ¢G ¢ × i 2 2 dx dt dt

(4)

Die Gleichungen (3) und (4) bezeichnet man als Telegrafengleichungen. Für eine verlustlose Leitung (R=0 , G=0) vereinfachen sie sich folgendermaßen (d’Alembert’sche Wellengleichung): www.ifht.rwth-aachen.de

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4

Transiente Vorgänge auf Leitungen, Wanderwellen d 2u d 2u ¢ ¢ = L C × dx 2 dt 2

(5)

d 2i d 2i ¢ ¢ = L C × dx 2 dt 2

(6)

Es handelt sich hierbei um hyperbolische Differentialgleichungen, deren allgemeine Lösung durch die Superposition zweier Funktionen (f und g) gegeben ist. Für Gleichung (5) lautet diese Lösung:

u ( x, t ) = f ( x -

1 × t) + g( x + L ¢C ¢

1 × t) L ¢C ¢

(7)

Die Funktionen f und g sind beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Der Spannungsverlauf innerhalb einer Leitung ist also sowohl orts- als auch zeitabhängig. Aus Gleichung (7) geht ferner hervor, dass es sich bei dem Faktor ( L ¢C ¢) -1 2 um eine Geschwindigkeit handelt. Daher wird für eine Wanderwelle die Ausbreitungsgeschwindigkeit v definiert:

v=

1 L ¢C ¢

(8)

Aus den Gleichungen 1 und 2 geht hervor, dass im verlustlosen Fall (R=0 , G=0) Spannung und Strom über die Größen L¢ und C ¢ gekoppelt sind. Man erhält den Zusammenhang:

Z=

L¢ C¢

(9)

Der Faktor Z ist der Wellenwiderstand einer Leitung mit der Einheit W. Bei Kabeln beträgt der Wellenwiderstand 40 bis 75W, bei Freileitungen 250 bis 500 W. Eine Herleitung der Wellengleichung ist auch analog mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen möglich. Man erhält für die Ausbreitungsgeschwindigkeit und für den Wellenwiderstand folgende Beschreibung:

v=

c0 1 = e 0e r m 0 m r e r mr

(10)

Z=

m0mr mr = Z0 × e 0e r er

(11)

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5 Dabei ist c0 = 3× 108 m s die Vakuumlichtgeschwindigkeit und Z 0 = 377W der Vakuumwellenwiderstand. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wanderwellen und der Wellenwiderstand von Leitungen können also sowohl mit Hilfe des Induktivitäts- und Kapazitätsbelags als auch mit Hilfe der Dielektrizitäts- und Permeabilitätszahl bestimmt werden. 11.2.1

Interpretation der Wellengleichungen

Zur Veranschaulichung der Gleichung (7) dient Abb. 1-2. Zum Zeitpunkt t=0 befindet sich auf einer Leitung an der Stelle x=0 die Spannungsverteilung f (0,0) + g (0,0) . Diese Spannungsverteilung kann beispielsweise durch die influenzierte Ladung einer Gewitterwolke auf einer Freileitung hervorgerufen werden. Entläd sich die Gewitterwolke durch einen Blitz gegen Erde, wird die Ladung auf der Freileitung frei. Die Ladung, die durch die Spannungsverteilung f dargestellt wird, bewegt sich mit der Geschwindigkeit v entlang der Leitung nach rechts, die Ladung, die durch die Spannungsverteilung g dargestellt wird, bewegt sich mit der Geschwindigkeit v nach links. Zur Zeit t = t1 erreichen die Ladungen die Stelle x1 = v t1 bzw. - x1 = -v t1 .

f+g v

g

f

-x1 = -vt1 Abb. 1-2:

11.2.2

v

x1= vt1

0

x

Wanderwellenbewegung auf einer Leitung

Reflexion und Brechung

Treffen an einer Stelle A zwei Leitungen mit unterschiedlichen Wellenwiderständen ( Z1 und Z 2 ) aufeinander, so wird an dieser Stelle eine einlaufende Welle teilweise reflektiert. Zur Berechnung des Reflexionsfaktors wird das folgende Modell einer Wanderwelle herangezogen, bei der eine Sprungfunktion e(t) betrachtet wird:

u1v i 1v Z 1 , v1 Abb. 1-3:

A

Z 2 , v2

Stoßstelle A im Leitungsverlauf

Die vorlaufenden Wanderwellen für Spannung und Strom bewegen sich mit der Geschwindigkeit v1 und der Amplitude uv1 bzw. iv1 vorwärts. An der Stelle A werden beide Wellen jeweils teilweise reflektiert, so dass je eine reflektierte und eine gebrochene Welle entsteht.

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Transiente Vorgänge auf Leitungen, Wanderwellen

Zur Berechnung der Reflexions- und Brechungsfaktoren an der Stelle A werden die Kirchhoff´schen Gesetze auf die Stoßstelle angewendet:

i 1v

Z1

i 2v

i 1r

u1v+u1r

u

u 2v

Z2

Abb. 1-4: Kirchhoff´sche Gesetze an der Stoßstelle A

u1v + u1r = u2 v

(11)

i1v + i1r = i2 v

(12)

u1v = Z 1 × i1v

(13)

u1r = - Z 1 × i1r

(14)

u 2 v = Z 2 × i2 v

(15)

Aus den Gleichungen 11 bis 15 berechnen sich die Reflexions- und Brechungsfaktoren für Spannungs- und Stromwanderwelle: ru =

Z 2 - Z1 Z 2 + Z1

ri = - ru = -

(16) Z 2 - Z1 Z 2 + Z1

(17)

bu =

2 Z2 Z 2 + Z1

(18)

bi =

2 Z1 = 2 - bu Z 2 + Z1

(19)

Weiterhin ergibt sich die Beziehung: r +1 = b

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(20)

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7 In Abb. 1-5 sind die Reflexions- und Brechungsfaktoren für verschiedene Wellenwiderstände Z 2 aufgeführt. ru

ri

bu

bi

Z2 = ¥

1

-1

2

0

Z2 = 0

-1

1

0

2

Z2 = Z1

0

0

1

1

-1/3

1/3

2/3

4/3

Z2 = ½ Z1 Abb. 1-5:

Reflexions- und Brechungsfaktoren

Wird eine Leitung mit einem ohmschen Widerstand abgeschlossen, der den gleichen Wert aufweist wie der Wellenwiderstand der Leitung, so erfolgt keine Reflexion. Die einlaufende Welle wird vollständig im Widerstand absorbiert.

u

C

u

Reflektierte Wanderwelle ur

Läuft eine Wanderwelle in eine Kapazität oder in eine Induktivität ein, so kann die reflektierte Wanderwelle an Hand von Grenzwertbetrachtungen ermittelt werden. Eine Kapazität stellt für eine einlaufende Wanderwelle zunächst einen Kurzschluss dar, für t ® ¥ eine offene Leitung. Eine Induktivität stellt aufgrund der induzierten Gegenspannung zunächst eine offene Leitung dar, für t ® ¥ einen Kurzschluss. Der Spannungsverlauf zwischen den beiden Grenzwerten verläuft exponentiell mit der Zeitkonstanten t = Z × C bzw. t = L Z .

1

0

-1

ZC

0

u

L

u

Reflektierte Wanderwelle ur

Zeit t

1

L

0

-1

Z

0 Zeit t

Abb. 1-6:

Reflexion an einer Kapazität und einer Induktivität

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8 11.2.3

Transiente Vorgänge auf Leitungen, Wanderwellen Dispersion

Bisher wurden Wanderwellen auf verlustlosen Leitungen betrachtet. Bei der Betrachtung verlustbehafteter Leitungen ist zu beachten, dass die damit verbundenen Dämpfungen frequenzabhängig sind: Dispersion. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist ebenso von der Frequenz abhängig. Hohe Frequenzen werden stärker gedämpft als niedrige und haben eine geringere Ausbreitungsgeschwindigkeit. Dies führt zu einer Verzerrung des Frequenzspektrums. Durch die stärkere Dämpfung und die geringere Ausbreitungsgeschwindigkeit der hochfrequenten Anteile wird der Spannungsanstieg einer Wanderwelle abgeflacht. Dies führt dazu, dass z.B. die Stirn einer Blitzstoßspannung, die eine hohe Spannungssteilheit aufweist, mit zunehmender Leitungslänge abflacht. Die Dispersion ist bei Kabeln stärker ausgeprägt als bei Freileitungen. Daraus ergibt sich eine einfache Schutzmaßnahme für Transformatoren, für die die großen Spannungssteilheiten von Blitzstoßspannungen eine hohe Belastung darstellen: Durch eine Zuleitung von einer Freileitung zum Transformator über ein Kabel wird die Stirn einer Blitzstoßspannungen abgeflacht und dadurch die Belastung verringert.

11.2.4

Graphische Darstellung der Wellenausbreitung

Um die Orts- und Zeitabhängigkeit der Wellenausbreitung darzustellen, existieren mehrere Verfahren. Besondere Bedeutung hat der sogenannte Wellenfahrplan nach Bewley als zweidimensionale Orts- und Zeitdarstellung. Die Spannungs- und Stromwerte werden durch Reflexions- und Brechungsfaktoren berücksichtigt. Als Beispiel wird ein Leitungsstück zwischen den Stoßstellen A und B betrachtet, wo es mit unendlich langen Leitungen unterschiedlichen Wellenwiderstandes verbunden ist (Abb. 1-7). Zum Zeitpunkt t=0 läuft eine normierte Wanderwelle von Leitung 0 aus an der Stoßstelle A in Leitung 1 ein. Es tritt Reflexion und Brechung auf. Die beiden entstehenden Wanderwellen laufen in die Leitungen 0 und 1 ein. An der Stoßstelle B tritt wiederum Reflexion und Brechung auf. Die Geschwindigkeit v = l T (Leitungslänge und Laufzeit) wird durch eine entsprechende Steigung der Geraden berücksichtigt. Zur Bestimmung des zeitlichen Spannungsverlaufs an einer beliebigen Stelle auf der Leitung werden die einzelnen Wellenzüge addiert.

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9 A

Leitung 0

B

Leitung 1

Leitung 2 x

1

T

2T

3T

4T

5T

6T t

Abb. 1-7:

Normiertes Wellengitter nach Bewley

11.3 Versuchsdurchführung Mit Hilfe eines Impulsgenerators (Abb. 2-1) können Messeinrichtungen auf einen einwandfreien Leitungsabschluss hin überprüft werden. Bei Abschluss der Messleitung mit dem Wellenwiderstand werden steilflankige Rechtecksignale erzeugt. Ri

l1

l2

S

B1

B2 R 1=Z

U0

Abb. 2-1:

Impulsgenerator mit angeschlossenem Messkabel

Das Kabel im Impulsgenerator (Länge l1) wird auf U 0 = 10 V aufgeladen. Zum Zeitpunkt t=0 wird der Schalter S geschlossen. Das Kabel entlädt sich: Eine positive Spannungswelle läuft in das angeschlossene Messkabel (Länge l2) ein und eine negative Spannungswelle läuft in das Kabel des Impulsgenerators ein. Die negative Spannungswelle wird am hoch-

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Transiente Vorgänge auf Leitungen, Wanderwellen

ohmigen Innenwiderstand der Spannungsquelle reflektiert (Reflexionsfaktor r=1), läuft über das Kabel des Impulsgenerators zurück und weiter in das Messkabel ein. Am Abschlusswiderstand des Messkabels laufen also zwei Spannungswellen mit der Zeitdifferenz 2 × T1 ein.

In diesem Versuch sollen Reflexion und Brechung von Wanderwellen bei unterschiedlichen Leitungsabschlüssen bestimmt werden.

11.3.1

Bestimmung der Kabellänge des Impulsgenerators

Der Aufbau erfolgt nach Abb. 2-1. Mit Hilfe eines Oszilloskopes wird das Signal am Abschlusswiderstand R1=Z gemessen. Aus der Breite des Impulses ist die Laufzeit im Kabel des Impulsgenerators zu bestimmen und die Länge des Kabels zu berechnen (Z=50W, C´=101pF/m). Der Verlauf der Wanderwellen ist graphisch mit dem Wellengitter nach Bewley darzustellen.

11.3.2

Variation der Kabellänge

Über den Anschluss B1 des Impulsgenerators kann das Kabel verlängert werden. Aus der Impulsbreite ist die Länge des angeschlossenen Kabels zu berechnen. Der Verlauf der Wanderwellen ist graphisch darzustellen. Welcher Unterschied besteht zu der Messung nach 2.1.1? Wie ist das Messergebnis zu erklären?

11.3.3

Reflexionsbehafteter Abschluss

Der Aufbau erfolgt nach Abb. 2-2. Das Signal wird am Abschlusswiderstand R2 gemessen. Die Reflexions- und Brechungsfaktoren sind zu berechnen und der Verlauf der Wanderwellen ist graphisch darzustellen (alle Wellenwiderstände: Z=50W). Aus dem Wellengitter ist der Verlauf des Signals zu bestimmen und mit der Messung zu vergleichen.

l2 Ri

l1 B1

R2=Z R1=Z

U0

Abb. 2-2:

B2

Aufbau für Messung mit reflexionsbehaftetem Abschluss

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11 11.3.4

Abschluss mit Kapazität

Die an einer Kapazität reflektierte Sprungfunktion soll gemessen werden. Die Kapazität ist so zu dimensionieren, dass die Zeitkonstante t =50ns beträgt. Der Aufbau erfolgt nach Abb. 2-3. Dem Kondensator wird ein ohmscher Widerstand parallel geschaltet, um ein Entladen zu ermöglichen. Um zwischen den beiden vom Impulsgenerator erzeugten Spannungswellen einen genügend großen Abstand zu haben, wird das Kabel l1 über den Anschluss B1 verlängert. Die Messung erfolgt an den Punkten a und b. Der Maximalwert des Spannungsverlaufs ist rechnerisch zu bestimmen und mit der Messung zu vergleichen. l4

Ri

l2

l1 B1

l3

B2

a

b C

U0

Abb. 2-3:

11.3.5

R

Aufbau für Messung mit Kapazität als Abschluss

Abschluss mit Induktivität

Der Kondensator wird jetzt durch eine Induktivität ersetzt (Abb. 2-4). Die Zeitkonstante soll t =50ns betragen. Der hierzu erforderliche Wert der Induktivität ist zu berechnen. Der parallel geschaltete Widerstand entfällt. Die Messung erfolgt wieder an den Punkten a und b. Der Maximalwert des Spannungsverlaufs ist rechnerisch zu bestimmen und mit der Messung zu vergleichen. l4

l2

l1

Ri B1

B2

l3 a

L

U0

Abb. 2-4:

b

Aufbau für Messung mit Induktivität als Abschluss

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Literaturverzeichnis

11.4 Literaturverzeichnis Baa56

H. Baatz; Überspannungen in Energieversorgungsnetzen; Springer-Verlag, 1956

Bro79

I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew; Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, 1979

Czi89

H. Czichos (Herausgeber); HÜTTE, Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften, Springer-Verlag, 1989

Küc96

A. Küchler; Hochspannungstechnik, VDI-Verlag, 1996

Leh90

G. Lehner; Elektromagnetische Feldtheorie, Springer-Verlag, 1990

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