Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho
Eletromagnetismo II - Magnetostática
Dipolo Magnético (Capítulo 8)
• Importância do dipolo magnético • Cálculo do Potencial Vetorial Magnético de um dipolo magnético • Cálculo da densidade de fluxo magnético de um dipolo magnético
Eletromagnetismo I
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Prof. Daniel Orquiza
Eletromagnetismo II - Magnetostática Dipolo magnético § Dipolos magnéticos são espiras de corrente (ou cargas realizando um movimento em
loop). § O nome dipolo vem da analogia com dipolo elétrico. O campo distante H gerado por
um dipolo magnético é similar ao campo E gerado por um dipolo elétrico.
ou I Dipolos magnéticos
Q ! d
ou
! E
Dipolos elétricos
§ Dipolos magnéticos são importantes para o entendimento da interação de H com
materiais magnéticos. § Fora da magnetostática, o dipolo tem aplicações em antenas (loop antenna).
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Eletromagnetismo II - Magnetostática Dipolo magnético § Vamos considerar um dipolo com raio ‘b’ conduzindo IA no sentido A.H. e calcular B
em um ponto ‘P’ localizado a uma distância R >>b. (SLIDE ANTERIOR) § É mais simples inicialmente calcular A e depois usar:
! ! B = ∇× A
§ O potencial vetorial pode ser calculado integrando:
! ! µ Idl ' A = 0 " ∫ 4π C ' R1
ao longo da espira, onde ‘R1’ é a magnitude do vetor distância de Idl’ a ‘P’. § Devido à simetria azimutal, podemos escolher φ = π/2 (pois A não depende de φ, só de
r e θ ). § Em ‘P’ em coord. esféricas:
Ø r = R (distância de P até o centro do dipolo) Ø
aˆφ = −aˆ x
(Usaremos isto no final...) Ø
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Espira de raio ‘b’ conduzindo ‘I’ Ampères
Eletromagnetismo II - Magnetostática
P( r , θ , π/2 ) Dipolo Magnético
R θ
R1
ψ φ' b 1
Eletromagnetismo II - Magnetostática Dipolo magnético § Na posição do elemento diferencial de corrente, o versor aφ é:
aˆφ = −aˆ x senφ '+ aˆ y cos φ ' § O elemento de linha (vetor) fica:
! dl ' = b dφ ' aˆφ = (−aˆ x senφ '+ aˆ y cos φ ') b dφ ' § Note que para cada Idl’ situado entre –π/2 ≤ φ ≤ π/2, existe um outro elemento Idl’
simétrico que cancela o componente Ay.
② !
I z
! A1
! A2
Idl '
y x
! Idl '
P
①
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Eletromagnetismo II - Magnetostática Dipolo magnético § Portanto podemos ignorar o componente ‘y’ de dl’. Com isso, A pode ser calculado por:
! µ 0 Ib 2 π senφ ' A = −aˆ x dφ ' ∫ 4π 0 R1 § Resta expressar R1 em termos de R e b. § Para fazer isso, podemos usar a Lei dos cossenos no triângulo com vértices OP’P.
R12 = R 2 + b 2 − 2bR cos ψ § O termo Rcosψ é a projeção de R no segmento de reta OP’ (vide prox. SLIDE). § Esta projeção é equivalente a primeiro projetar R no eixo y, o que equivale a:
Ry = R senθ § E projetar este resultado no segmento OP’:
Ry senφ ' = R senθ senφ ' ⇒ R cos ψ = R senθ senφ ' 4
Espira de raio ‘b’ conduzindo ‘I’ Ampères
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P( r , θ , π/2 ) Dipolo Magnético
R θ
O
R1
ψ
φ' b P’
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Eletromagnetismo II - Magnetostática Dipolo magnético § Usando este último resultado, a distância R1 fica
R12 = R 2 + b 2 − 2bR senθ senφ ' § Na expressão para A, R1 está no denominador. Portanto:
