Capítulo 2 ELEMENTOS DE LA DINAMICA DE SISTEMAS

1. Noción de sistema dinámico Durante las últimas décadas, y con el fin de ayudar a la toma de decisiones, se ha desarrollado un interés creciente por estudios cuya característica esencial es el estar basados en un procesamiento de información. En este área el interés principal se ha centrado en estudiar cómo se genera la evolución de los datos observados a lo largo del tiempo. En este contexto se ha formalizado el concepto de sistema dinamico, que ha sido objeto de un estudio sistemático en una rama especializada de las matemáticas aplicadas a la que se ha denominado teoría matemática de los sistemas dinámicos; al mismo tiempo se han desarrollado múltiples campos de aplicación como, por ejemplo, la ingeniería de sistemas y la automática. En el lenguaje ordinario se entiende por sistema un conjunto de partes operativamente interrelacionadas, es decir, en el que unas partes actúan sobre las otras, y del que interesa considerar fundamentalmente su comportamiento global. Así, por ejemplo, se habla del sistema nervioso, del sistema bancario, de un sistema ecológico, del sistema planetario, etc. Siempre que se habla de un sistema se sobreentiende que, en cierta forma, el conjunto tiene propiedades de interés que no pueden considerarse la simple suma de las de las partes. Son estas propiedades, precisamente, las que justifican la consideración del sistema como unidad y no como simple suma de partes. Un modelo es un sistema abstracto en el que los elementos que 39

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interactúan son conceptos abstractos y las relaciones entre ellos están formalizadas. Por ejemplo, se tiene un sistema matemático cuando se definen una serie de variables y se establecen unas relaciones formalizadas entre ellas, como en un sistema de ecuaciones. La voz sistema se emplea tanto para referirse a cierto aspecto de la realidad como a un modelo formal del mismo, lo que puede producir una cierta ambigüedad en la expresión. Sin. embargo no hay ninguna incorrección en este doble uso del término. En el estudio de un sistema puede suceder que la característica fundamental que interese considerar sea su evolución en el tiempo y, en concreto, cómo las interacciones entre las partes determinan esta evolución. El modelo del comportamiento dinámico de un sistema se denomina sistema dinámico. En este libro, los modelos que se consideran son modelos para simulación por cómputador de la evolución temporal de un sistema real y, por tanto, Ya expresión sistema dinámico se empleará para referirse a esta clase de modelos. De un determinado sistema real se puede obtener una colección de observaciones cuantitativas de atributos o propiedades del mismo. Si se considera el comportamiento dinámico, entonces estos datos se encuentran parametrizados con relación al tiempo. En el concepto de sistema dinámico se formaliza esta colección de datos. Se puede decir que un sistema dinámico, e n c u a n t o m o d e l o d e u n a c i e r t a p a r c e l a de la realidad, constituye un resumen abstracto de los datos observados en la misma. Conviene insistir en que lo que interesa considerar es el comportamiento dinámico de los sistemas. En el interior de un sistema, por la propia definición del mismo, se están produciendo unas determinadas interacciones. El carácter dinámico del sistema se refiere a que es primordial la consideración de su evolución en el tiempo. En esta evolución las variaciones que se producen en él son consecuencia, fundamentalmente, de las propias interacciones. Estas interacciones constituyen la estructura del sistema. De ahí que se diga que bajo el punto de vista de la dinámica de sistemas, el comportamiento dinámico de un sistema está determinado por su estructura. Esta estructura tiene una importancia mayor en la evolución del mismo que la naturaleza de cada uno de los elementos Individuales que lo componen. 1.1. Limites del sistema Al considerar un sistema dinámico como una unidad, tácitamente se asume que existen unos límites que separan esta unidad del medio en el que está inserta. En el interior de estos límites, se genera un comportamiento que, en principio, puede no estar determinado únicamenre por acciones aplicadas al sistema desde el medio. Un sistema

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dinámico puede estudiarse como una entidad aislada del medio, que genera su propio comportamiento dinámico. En la teoría de los sistemas dinámicos se dice, en ese caso, que se considera el comportamiento autónomo del mismo. Los límites del sistema deben escogerse de manera que se incluyan en su interior aquellos componentes necesarios para generar los modos de comportamiento de interés. Si se trata de estudiar una cierta peculiaridad (un problema) del sistema, los elementos descritos en el interior de los límites deben ser capaces de generar este problema. El concepto de límite pretende explicar que el comportamiento de interés del sistema se genera en el interior de los límites, y no viene determinado desde el exterior. Lo cual no quiere decir que el comportamiento del sistema no vaya a estar afectado desde el exterior de los límites, sino que la acción del medio sobre el sistema puede ser considerada como una perturbación que afecta al comportamiento autónomo del sistema; pero ella misma no suministra al sistema sus características peculiares. Al construir un modelo de simulación de un sistema, se debe, en primer lugar, estimar qué componentes interactúan para producir el comportamiento que se está investigando. La elección implica la selección de aquellos componentes situados en el interior de los límites del sistema que tengan interés para el estudio concreto que se esté realizando, y excluye todos aquellos componentes potenciales que son irrelevantes al caso y que, por consiguiente, se sitúan fuera de los límites considerados. Los elementos que se encuentran fuera de los límites del sistema están relacionados con aquellos que se encuentran dentro de manera muy diferente a cómo los elementos que se encuentran dentro están interrelacionados entre sí. Las relaciones de causa a efecto entre el medio y el sistema son unidireccionales, mientras que los elementos en el interior del sistema están estructurados por medio de bucles de realimentación que determinan una fuerte interacción entre ellos. Es decir, el medio está constituido por el conjunto de todos los objetos situados en el exterior de los límites del sistema y tales que: 1) un cambio en ciertos de sus atributos afecta al sistema, y 2) otros atributos (distintos a los anteriores) son afectados por el comportamiento del sistema. Nótese que un mismo atributo no puede afectar y ser afectado por el sistema; en tal caso estaría incluido en el propio sistema. Normalmente, interesa considerar únicamente las acciones del medio sobre el sistema, y no las posibles acciones del sistema sobre el medio. En la figura 2.1 se ilustran de forma gráfica las ideas anteriores. Se observa cómo el límite separa al sistema del medio. El sistema está formado por una serie de elementos, que se representan por puntos negros, entre los que se producen fuertes interacciones. Por otra parte, en el medio se encuentran elementos que pueden actuar sobre determina-

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dos elementos situados en el interior del sistema, pero esta acción es simple, es decir no comporta cadenas cerradas de acciones. En el interior del sistema se producen interacciones t a l e s q u e g e n e r a n u n comportamiento autónomo aún prescindiendo de las acciones del medio.

FIGURA 2.1.-Representación de un sistema como interacción entre elementos en el interior de unos límites que lo separan del medio en el que se encuentra inmerso.

Como ilustración de las ideas anteriores, considérese un medio urbano como un sistema cerrado. La mecanización de la agricultura en áreas rurales puede acelerar la emigración hacia las ciudades; ello puede determinar la aparición en estas últimas de zonas suburbiales de bajo nivel de vida. Por lo tanto cabe decir que la mecanización de la agricultura, en ciertas zonas, determina la aparición de zonas suburbiales en ciudades con atractivo para la emigración. Sin embargo, es evidente que lo inverso no es cierto; es decir, la aparición de suburbios en las ciudades, no determina la mecanización de la agricultura. Esta inexistencia de relación causal es la que permite establecer una frontera, a la hora de modelar la ciudad como sistema dinámico, entre la misma y el medio que la circunda. La aparición de chabolas en los suburbios es el resultado de factores internos a la propia ciudad, dentro de los límites de la misma, que puede estar influenciada por un factor externo como es la mecanización de la agricultura. Este tipo de razonamiento es el comúnmente empleado a la hora de establecer los límites de un sistema social bajo estudio. Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

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1.2.

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Elementos y relaciones en los modelos

Un modelo, en tanto que representación abstracta de un sistema real, está compuesto por: -

un conjunto de definiciones que permiten identificar los elementos que constituyen el modelo; un conjunto de relaciones que especifican las interacciones entre los elementos que aparecen en el modelo.

Un sistema está formado por un conjunto de elementos en interacción, lo cual se hace explícito en su modelo. De un mismo sistema real se pueden establecer distintos modelos según los aspectos que interese considerar de aquél. La elección de los elementos y de las relaciones de interés constituye una opción en la que se pone de manifiesto la capacidad del especialista que construye el modelo. Los distintos elementos, o variables, que intervienen en el modelo pueden clasificarse en exógenos y endógenos. Las variables exógenas sirven para describir aquellos efectos sobre el sistema que son susceptibles de ser modificados desde el exterior del mismo. Representan, en cierta forma, el medio en el que está inmerso el sistema. Las variables endógenas sirven para caracterizar aquellos elementos cuyo comportamiento está completamente determinado por la estructura del sistema, sin posibilidad de modificación directa desde el exterior. Por ejemplo, en el estudio de una economía nacional, la fijación de la tasa de redescuento bancario es una variable exógena que puede ser fijada por el gobierno de un país, mientras que el nivel de precios es una variable endógena cuyo valor está determinado por la estructura del sistema. Al iniciar el proceso de modelado de un sistema social se deben elegir las distintas variables que intervendrán en el modelo. Estas variables deben clasificarse, de acuerdo con lo anterior, en endógenas y exógenas. Normalmente, para ello se construye un gráfico como el de la figura 2.2 formado por dos círculos concéntricos en los que se disponen los distintos elementos que se considerarán en el modelo.

2. Diagramas causales Entre los elementos que constituyen el sistema se establece un bosquejo esquemático de aquellos que están relacionados entre sí, lo cual se hace por medio de un diagrama en el cual los nombres de los distintos elementos están unidos entre sí por flechas. El diagrama que así se obtiene recibe las denominaciones de diagrama causal o de diagrama de influencias. Aquí se empleará la primera de ellas. El diagrama causal permite conocer la estructura de un sistema dinámico. Esta estructura viene dada por la especificación de las variables

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que aparecen en el mismo, y por el establecimiento de la existencia, o no existencia, de una relación entre cada par de variables. A este nivel de análisis de la estructura, lo único que interesa es si existen relaciones o no; la naturaleza de la relación corresponde a un estadio posterior del estudio.

FIGURA 2.2.- Clasificación de las variables que aparecen en un modelo.

Supóngase dos elementos variables del sistema denotados por A y B. Si A es capaz de influenciar a B entonces A y B se ligarán entre sí por medio de una flecha, cuyo sentido indica el de la relación causal . Así, si A influencia a B se escribirá

Sobre la flecha se indica, por medio de un signo, si las variaciones de los dos elementos son del mismo sentido, o de sentido contrario. Es decir, si a un aumento (disminución) de A corresponde un aumento (disminución) de B, se escribirá

Se dice entonces, que se tiene una relación positiva. Por otra parte, si a un aumento (disminución) de A, corresponde una disminución (aumento) de B se escribirá

Se dice entonces que se tiene una relación negativa. Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

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Al diagrama causal se llega por un proceso que implica una mezcla de observaciones sobre el sistema, discusiones con especialistas en el sistema y análisis de datos acerca del mismo. En los diagramas causales las relaciones que ligan a dos elementos entre sí, pueden ser de dos tipos: -

relación causal propiamente dicha, que es aquella en la que un elemento A determina a otro B, con una relación de causa a efecto. relación correlativa, que es aquella en virtud de la cual existe una correlación (por ejemplo estadística) entre dos elementos del sistema, sin existir entre ellos una relación de causa a efecto.

Al construir un modelo de un sistema social, en primer lugar se eligen qué elementos, o v a r i a b l e s , s e v a n a e m p l e a r e n e l m o d e l o . Una vez realizada esta elección, se procede a construir un primer bosquejo cualitativo de las relaciones que ligan a estos elementos por medio de un diagrama causal. En la figura 2.3 se tienen dos diagramas de esta naturaleza. El diagrama causal no contiene información cuantitativa sobre la naturaleza de las relaciones que ligan a los distintos elementos, sino que sólo suministra un bosquejo esquemático de las relaciones de influencia causal.

a)

b)

FIGURA 2.3.- Ejemplos de diagramas causales: a) estructura simple: b) estructura causal compleja con cadenas cerradas de realimentación.

De acuerdo con el diagrama causal se puede establecer una primera clasificación de la estructura de los sistemas. Existen dos tipos básicos de estructuras causales: la estructura causal simple y la estructura causal compleja. En la figura 2.3a) se tiene un diagrama causal con estructuras simples; las variables B y D actúan sobre las variables A, C y E Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

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sin que se produzca ningún tipo de interacción entre ellas. Mientras que en la figura 2.3b) aparece una estructura causal compleja cuya característica esencial es que se establecen cadenas cerradas de relaciones causales. En lo que sigue se considerarán exclusivamente sistemas con estructura compleja. En un diagrama causal complejo se pueden distinguir bucles realimentados. Un bucle realimentado es una cadena cerrada de relaciones causales. Por ejemplo, en la figura 2.3b se tiene un bucle cerrado formado por A, B y C; en efecto, una variación de A determina una variación (aumento) de B, la que a su vez determina una disminución de C, que por último determina una disminución de A. Por lo tanto una variación de A determina, por medio de un bucle cerrado de relaciones causales, una acción sobre sí misma. En la figura 2.3 se tienen otros bucles de realimentación, como el formado por Ay C. Existen dos clases de bucles realimentados: 1.° Bucles de realimentación positiva. Son aquellos en los que la variación de un elemento se propaga a lo largo del bucle de manera que se refuerza la variación inicial. En la figura 2.4a) se tiene el diagrama causal de un bucle de esta naturaleza. En efecto, si se produce un aumento de uno cualquiera de los elementos, por ejemplo el A, éste determina un aumento de B, que a su vez determina un aumento de C, lo que por último determina un nuevo aumento de A, que reiniciará el proceso. Se tiene un comportamiento explosivo caracterizado por un autorreforzamiento de las variaciones. Un bucle realimentado es positivo si contiene un número par de relaciones negativas.

a) FIGURA 2.4.- Bucles realimentados: a) realimentación positiva y b) realimentación negativa.

Un ejemplo elemental de bucle de realimentación positiva lo suministra el crecimiento de una población de acuerdo con el diagrama causal de la figura 2.5. Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

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FIGURA 2.5.- Bucle de realimentación positiva de crecimiento de una población.

2.° Bucles de realimentación negativa. Son aquellos en los que una variación en un elemento se transmite a lo largo del bucle de manera que determine una variación que contrarreste la variación original. En la figura 2.4b) se tiene el diagrama causal de un bucle de esta naturaleza. En el mismo, un aumento de A determina un aumento de B, que a su vez determina un aumento de C, que por último determina una disminución de A El comportamiento de estos bucles está, por tanto, caracterizado por una acción autocorrectora. Cualquier variación que se produzca en uno de los elementos del bucle tiende a anularse. Un bucle de realimentacicín negativa tiende a crear equilibrio. Un bucle realimentado es negativo si contiene un número impar de relaciones negativas. Un ejemplo elemental de bucle de realimentación negativa lo suministra el diagrama causal de la figura 2.6, que representa la limitación de una población, por efecto de la escasez de alimentos. El bucle controla la población por medio de la comida per cápita. El crecimiento de la población se limita por la disminución de la tasa de nacimientos cuando disminuye la alimentación per cápita. El bucle es negativo por ser negativa la relación que liga a la población a la comida per cápita.

FIGURA 2.6.-Bucle de realimentación negativa de limitación del crecimiento de la población en función de las disponibilidades de alimentos.

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En todo diagrama causal coexisten normalmente bucles de realimentación positiva con bucles de realimentación negativa. Las interacciones entre ambos tipos de bucles determinan el comportamiento global del sistema. Por ejemplo, combinando los diagramas causales de las figuras 2.5 y 2.6 se obtiene el diagrama de la figura 2.7, en el cual se representan simultáneamente los dos efectos antes discutidos. El comportamiento del conjunto dependerá de cuál de ambos bucles domine al otro en cada momento. Normalmente sucederá que en los estadios iniciales del desarrollo de una población el bucle que limita su crecimiento por agotamiento del territorio disponible, y por lo tanto por disminución de la comida per cápita, tendrá un efecto prácticamente nulo debido a que no se ha llegado a niveles de saturación. En consecuencia, en esta primera etapa será el bucle de crecimiento de población el que dominará y se registrará un crecimiento de la misma tal como el indicado en la figura 2.8. Sin embargo, según se vaya aumentando la población se producirán problemas de agotamiento de recursos, por lo que el bucle negativo de la figura 2.6 empezará a dominar sobre el bucle positivo, dando todo ello como resultado una tendencia al estancamiento en el crecimiento, tal como se indica en la figura 2.8. Se obtiene así el llamado crecimiento en S, el cual será estudiado con detenimiento en el capítulo siguiente.

FIGURA 2.7 .-Diagrama causal complejo de evolución de la población con un bucle de realimentación positiva y uno de realimentación negativa. Obsérvese que es la existencia de bucles de realimentación lo que determina un comportamiento peculiar para cada sistema dinámico. La simple existencia de relaciones de causa a efecto, sin bucles realimentados, no da lugar a ninguna forma de comportamiento peculiar por parte del sistema, el cual se limita a realizar una función según una relación causal predeterminada. Es la existencia de bucles en el interior del sistema lo que determina las formas propias de comportamiento del mismo, que pueden no guardar aparente relación con el comporta-

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miento que cabría esperar del sistema si éstos bucles interiores no existieran.

tiempo FIGURA 2.8.- Evolución de la población en función del tiempo.

La construcción de un diagrama causal es, aparentemente, una labor sencilla. Sin embargo, debe procederse con gran cuidado a fin de evitar posibles errores. Para obtener diagramas causales satisfactorios deben tenerse en cuenta las siguientes reglas: 1. Evitar bucles ficticios. 2. Emplear elementos que sean fácilmente caracterizables por números. 3. No emplear dos veces la misma relación en un mismo modelo (fig. 2.9a). Sin embargo, con relaciones causales explícitas deben explicitarse las mismas (fig. 2.9b). 4. Evitar bucles redundantes. 5. No emplear el tiempo como un factor causal (fig. 2.10).

FIGURA 2.9.- Ejemplos de diagramas causales: a) incorrecto y b) correcto.

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FIGURA 2.10.- Ejemplos de diagramas causales: a) incorrecto y b) correcto.

3. Diagramas de Forrester

l

Los distintos elementos que constituyen el diagrama causal se representan por medio de variables, las cuales se clasifican de acuerdo con los tres grupos siguientes: variables de nivel, variables de flujo y variables auxiliares. Se procede, a continuación, a estudiar cada una de estas clases de variables. Para ayudar a comprender el significado de estas clases de variables, se puede concebir un símil hidrodinámico tal como el representado en la figura 2.11. En esta figura se representan tres depósitos en los que se acumulan tres niveles N1 N2 y N3. Las variaciones de los niveles vienen determinadas por las actuaciones sobre unas ciertas válvulas que regulan los caudales que alimentan a cada uno de los depósitos. La decisión sobre la apertura de estas válvulas se toma teniendo como única información los valores alcanzados por los niveles, en cada uno de los depósitos, en el instante de tiempo considerado. En la figura 2.11 esto se representa con ayuda de un observador que teniendo como única información el conocimiento de los niveles en el resto de los

1

Se emplea en este libro la denominación de diagrama de Forrester para referirse a lo que se conoce también como diagrama Dynamo. Se considera más adecuada la denominación adoptada aqui, ya que la segunda denominación hace referencia a un lenguaje concreto de programación denominado DYNAMO, del que se hablará más adelante, restándole generalidad a estos diagramas, que como se pone de manifiesto en lo que sigue, dan lugar a modelos susceptibles de ser programados en cualquier lenguaje de alto nivel. Por otra parte, está justificada la denominación aquí adoptada ya que en estos diagramas se encuentra la aportación más peculiar de Forrester al modelado de sistemas.

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depósitos determina la apertura de la válvula correspondiente. Aunque en la figura sólo aparece el observador para una de las válvulas, debe considerarse que existiría uno por cada una de ellas.

FIGURA 2.11 .-Símil hidrodinámico de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Se observa cómo el valor tomado por la variable de flujo en cada instante depende, exclusivamente, de los valores alcanzados por los niveles en dicho instante; de forma análoga, los valores alcanzados por los niveles dependen de los valores tomados por las variables de flujo que alimentan a dichos niveles. Con el símil hidrodinámico se tiene una forma intuitiva, apropiada para una mentalidad que busque imágenes físicas, de representar un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. En efecto, es inme-

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diato ver que en la figura 2.11 no se hace sino representar, de forma analógica, un sistema de ecuaciones diferenciales tal como

siendo

Estas funciones f1 pueden ser lineales o no lineales. La determinación del valor tomado por una variable de flujo, por ejemplo F 1 , a partir de los niveles N 1 , N 2 y N 3 p u e d e q u e s e a c o n v e n i e n t e h a c e r l a e n distintas etapas, requiriéndose para ello el establecimiento de unas variables auxiliares ; por ejemplo, la función f 1 puede descomponerse en tres etapas, empleando dos variables auxiliares VA, y VA,, teniéndose,

Obsérvese que

Es decir, las variables auxiliares representan etapas intermedias en la determinación de los flujos a partir de los niveles y, en último extremo, pueden ser eliminadas. El símil hidrodinámico de la figura 2.11 se puede completar con la inclusión de variables exógenas. Éstas suministran información adicional y exterior, que debe considerarse para decidir el valor que toman las variables de flujo F 1. Es decir, llamando E a una variable exógena, las expresiones (2) se convertirían en

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El interés del símil hidrodinámico reside en mostrar que constituye una analogía de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden y que, alternativamente, todo sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden puede representarse con ayuda de un símil de esta naturaleza. En el símil hidrodinámico aparece claramente que se pueden concebir dos tipos esenciales de variables, los niveles y los flujos, y una clase secundaria, las variables auxiliares. Empleando esta analogía, en dinámica de sistemas, las variables que aparecen en un modelo se clasifican en variables de nivel, variables de flujo y variables auxiliares. De esta manera se consigue dar una forma intuitiva, y de una fecunda claridad, al proceso de construir un modelo, el cual en último extremo no va a ser sino un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. En la figura 2.12 se presenta un diagrama que muestra, de forma gráfica, las ideas que se acaban de esponer. Se emplean en el diagrama unos símbolos que se discutirán con detalle posteriormente, pero cuyo

FIGURA 2.12.- Conexión entre las variables de nivel (de estado) y los puntos de decisión (variables de flujo),

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.

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significado es claro a primera vista. Se observa en el mismo cómo las variaciones de un nivel son el resultado de una decisión tomada a partir de información que proviene del resto de los niveles. En lo que sigue se estudiará, de forma sistemática y detenida, este proceso. Para ello se discuten en primer lugar, con detalle, las variables de nivel, de flujo y auxiliares, así como las interconexiones que se establecen entre ellas.

3.1. Niveles Las variables de nivel constituyen aquel conjunto de variables cuya evolución es significativa para el estudio del sistema. Los niveles representan magnitudes que acumulan los resultados de acciones tomadas en el pasado. Esta función de acumulación puede asimilarse a la del nivel alcanzado por un líquido en un depósito; de ahí proviene la denominación de nivel, siguiendo el símil hidrodinámico. Las variables de nivel, o simplemente niveles, equivalen a las variables de estado de la teoría de sistemas. Es decir, el estado de un sistema se representa por medio de las variables de nivel. Obsérvese cómo de acuerdo con el símil hidrodinámico los niveles determinan la futura evolución del sistema, a partir de un instante determinado, en la medida en que determinan los valores tomados por los flujos, es decir, por las variaciones de los propios niveles. La elección de los elementos que se representan por niveles, en un modelo determinado, depende del problema específico que se esté considerando. En la elección de estas variables juega un papel primordial la experiencia del diseñador del modelo. Una característica común a todos los niveles es que cambian lentamente en respuesta a las variaciones de otras variables. En los diagramas de Forrester los niveles se representan por medio de rectángulos (figura 2.13). La variación de un nivel tiene lugar por medio de variables de flujo. A cada nivel N se le puede asociar un flujo de entrada FE y un flujo de salida FS, de manera que la ecuación que representa la evolución del nivel es la siguiente,

o lo que es lo mismo,

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Nube: representa una fuente o un pozo; puede interpretarse como un nivel que no tiene interés y es prácticamente inagotable.

Nivel: representa una acumulación de un flujo: la variable de estado.

Flujo: variación de un nivel; representa un cambio en el estado del sistema.

Canal de material: canal de transmisión de una magnitud física, que se conserva. Canal de información: canal de transmisión de una cierta información, que no es necesario‘ que se conserve. Variable auxiliar: una cantidad con un cierto significado físico en el mundo real y con un tiempo de respuesta instantáneo. Constante: un elemento del modelo que no cambia de valor.

Retrado: un elemento que simula retrasos en la transmisión de información o de material.

Variable exógena: variable cuya evolución es independiente de las del resto del sistema. Representa una acción del medio sobre el sistema.

FIGURA 2.13.- Símbolos que aparecen en los diagramas de Forrester. Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

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Esta ecuación se puede escribir, de forma aproximada, empleando el método de Euler de integración numérica,

(7) Esta última forma de escribir la ecuación de un nivel es la que se emplea comúnmente en dinámica de sistemas. 3.2. Variables de flujo Las variables de flujo determinan las variaciones en los niveles del sistema. Las variables de flujo caracterizan las acciones que se toman en el sistema, las cuales quedan acumuladas en los correspondientes niveles. Las variables de flujo determinan cómo se convierte la información disponible en una acción o actuación. Debido a su naturaleza se trata de variables que no son medibles en sí, sino por los efectos que producen en los niveles con los que están relacionadas. Se representan por medio de los símbolos que se indican en la figura 2.13. Estos símbolos están inspirados en el símil hidrodinámico, según el cual la-s variables de flujo se pueden asociar a válvulas que regulen los caudales que alimentan determinados depósitos, cuyos niveles materializan el estado del sistema. A las variables de flujo se asocian ecuaciones que definen el comportamiento del sistema. El bloque representativo de un flujo admite, como señal de entrada, la información proveniente de los niveles, o de variables auxiliares, del sistema y suministra como salida el flujo que alimenta a un nivel. Por ejemplo, en la figura 2.15 se tiene el bloque que representa un flujo, al que se puede asociar una ecuación de la forma,

(8)

FIGURA 2.14.- Representación de un flujo en un diagrama de Forrester.

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siendo A(t) y B(t) dos variables de nivel o auxiliares. Las ecuaciones asociadas a una variable de flujo reciben la denominación de ecuaciones de flujo o funciones de decisión. La ecuación de flujo representa la función desarrollada por el observador del símil hidrodinámico de la figura 2.11. Es decir, con ayuda de la ecuación de flujo el observador calcula en cada instante la abertura de la válvula, o sea el flujo; de ahí la denominación de función de decisión. A todo nivel se asocia al menos una variable de flujo, lo que gráficamente, y empleando los símbolos de la figura 2.13, se puede representar como se hace en la figura 2.15.

FIGURA 2.15.-Conexión de un nivel N a los flujos de entrada FE y de salida FS. Una forma que toma muy frecuentemente la ecuación de un flujo es la que se representa en la figura 2.16. La ecuación de flujo correspondiente es la siguiente

en donde TN es el flujo normal y M es lo que se denomina un multiplicador del flujo normal. Si M(t) = 1 se tiene una situación neutral en la que F(t) = TIC-X(t), es decir, el flujo es una fracción constante y normal del nivel. Por ejemplo, el flujo de nacimientos es igual a la tasa normal de nacimientos multiplicada por el nivel de población. El multiplicador M(t) refleja e l e f e c t o d e o t r o s f a c t o r e s s o b r e l a variable de nivel en cuestión. El multiplicador tiene la forma

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en donde cada factor M i [Vi(t)] es una función no lineal de una variable Vi, la cual puede ser un nivel o una variable auxiliar. Los multiplicadores Mi son tales que para un valor considerado normal de la variable V i toman el valor 1; en la figura 2.17 se tienen dos formas típicas que toman los multiplicadores M i .

FIGURA 2.16.- Representación en el diagrama de Forrester de un flujo F cuyo valor viene dado por una tasa normal TN afectada por un multiplicador M. Las decisiones que aparecen en una ecuación de flujo pueden ser abiertas, si implican la intervención de un agente externo al sistema, o implícitas, si están completamente determinadas por las variables internas al sistema, es decir, por los niveles. Las unidades en que se mide una variable de flujo deben ser consistentes con las de las variables que relaciona. En particular, una variable de flujo vendrá siempre medida por la unidad del nivel al que alimenta, partida por el tiempo. Las variables de flujo tienen como entradas exclusivamente a niveles y a variables auxiliares. Es decir, dos variables de flujo no pueden conectarse entre sí. Siguiendo el símil hidrodinámico es fácil concebir cómo la decisión respecto a la abertura de la válvula, que alimenta a un cierto nivel, se toma exclusivamente en función de los valores de los otros niveles; y como una variable de nivel no puede influir directamente a otra variable de nivel, sino a través del flujo que proporcione la primera. La evolución del sistema en el tiempo comporta variaciones en los distintos niveles., Estas variaciones se deben no sólo a la acción de factores externos (variables exógenas), sino, y sobre todo, a decisiones

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en un sentido amplio, tomadas en el interior del sistema, que se interpretan con ayuda de las funciones de decisión asociadas a las variables de flujo. En este sentido es como deben entenderse el que el sistema genere su propio comportamiento y la existencia de unos límites para el mismo.

FIGURA 2.17.- Formas normales de los multiplicadores M1.

3.3. Variables auxiliares

,

Las variables auxiliares representan pasos o etapas en que se descompone el cálculo de una variable de flujo a partir de los valores tomados por los niveles. Se representan por medio de círculos como los que aparecen en la figura 2.13. Por ejemplo, en la figura 2.18 se tiene la representación, por medio de diagramas, del empleo de variables auxiliares que se indicó en la expresión (3). Las variables auxiliares unen los canales de información entre variables de nivel y de flujo; e n r e a l i d a d s o n p a r t e d e l a s v a r i a b l e s d e flujo. Sin embargo, se distinguen de ellas en la medida en que tengan

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un significado real por sí mismas, o sencillamente, porque hacen más fácil la comprensión de las ecuaciones de flujo.

FIGURA 2.18.- Variables VA2, y VA1 como pasos intermedios en la determinación de F1 en función de N1, N2, y N3. Las variables auxiliares se pueden emplear para representar las no linealidades que aparecen en el sistema. Si las variables A y B están ligadas por una expresión de la forma B = f(A), en donde f(A) es una función no lineal, entonces se emplea un símbolo como el empleado para las variables auxiliares, tal como se indica en la figura 2.19. Por ejemplo, los multiplicadores considerados en 3.2 pueden considerarse variables auxiliares.

FIGURA 2.19.- Forma simbólica de representar que la variable B es una función no lineal o tabla de A.

3.4.

Otros símbolos empleados en los diagramas

Un nivel se puede alimentar o bien desde otro nivel, a través de la correspondiente variable de flujo, o bien desde una fuente exterior al sistema. En este último caso si, además, la fuente puede considerarse infinita, es decir, no agotable, se representa en los gráficos por medio de una «nube». En la figura 2.13 se tiene este símbolo.

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Por otra parte, un nivel, al disminuir, puede evacuar sobre otro nivel, a través de la correspondiente variable de flujo, o sobre un pozo exterior al sistema. E n e s t e ú l t i m o c a s o , y s i s e s u p o n e q u e la capacidad del pozo es infinita, se representa por medio de una «nube». En la figura 2.20 se representa un nivel, junto con las correspondientes variables de flujo, y las fuentes y pozos a él asociados.

FIGURA 2.20.- Diagrama de Forrester de un nivel N, con los flujos de entrada FE y de salida FS, y las «nubes» que representan los pozos y sumideros infinitos. Las variables de nivel y de flujo están ligadas entre sí por medio de canales. Existen dos clases de canales: -

canales materiales, los cuales se representan por un trazo continuo; canales de información, los cuales se representan por medio de un trazo discontinuo.

Los niveles acumulan siempre flujos materiales, mientras que las variables de flujo se alimentan a partir de canales de información. Con los símbolos de la figura 2.13 se puede construir un diagrama que represente el símil hidrodinámico de la figura 2.11, el cual a su vez no es sino una interpretación analógica del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden de las expresiones (1). Ello es lo que se hace en la figura 2.21. Se han considerado en esta figura exclusivamente las variables auxiliares definidas en la figura 2.18, aunque se hubiesen podido concebir otras más. Un diagrama construido con ayuda de los símbolos de la figura 2.15, tal como el de la figura 2.21, recibe la denominación de diagrama de Forrester o diagrama Dynamo. En estos diagramas se ligan entre sí variables de nivel y de flujo, a través de las correspondientes variables auxiliares. Debe insistirse en que una variable de flujo no puede actuar directamente sobre otra variable de flujo, d e l a m i s m a m a n e r a q u e u n a v a r i a b l e de nivel no puede afectar a otra variable de nivel. Una variable de nivel sólo puede afectar a otra variable de nivel a través de una variable

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FIGURA 2.21 .-Diagrama de Forrester del símil hidrodinámico de la figura 2. 11. de flujo, y viceversa. Cualquier trayecto a través del diagrama de un sistema debe encontrar alternativamente niveles y flujos y nunca dos . variables del mismo tipo en sucesión. Resumiendo todo lo anterior cabe hacer dos consideraciones: -En primer lugar debe considerarse que los procesos fundamentales que tienen lugar en un sistema pueden ser caracterizados por flujos

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y por niveles (acumulaciones). Por ejemplo los flujos de nacimiento se acumulan en la población, los flujos de producción se acumulan en «stocks», el personal contratado se acumula en la plantilla, etc. En este contexto es obvio que integración es sinónimo de acumulación. -En segundo lugar se tiene que aunque el flujo y la integración son inherentes a los sistemas, solamente se puede observar la integración. Los flujos son instantáneos y sólo pueden ser medidos como promedios sobre un determinado período. Por consiguiente las integraciones cobran un interés singular puesto que son las variables que pueden ser medidas y que suministran las bases prácticas para la actuación sobre el sistema. 3.5.

Excepciones en los diagramas de Forrester

Se ha indicado anteriormente que un diagrama de Forrester está constituido por niveles y flujos unidos entre sí, de manera que una variable de flujo afecte exclusivamente a variables de nivel, y una variable de nivel afecte exclusivamente a variables de flujo; estos efectos se pueden realizar a través de variables auxiliares. Esta regla general, cuya justificación es inmediata, admite, en la práctica, algunas excepciones.

FIGURA 2.22.-Ejemplo de una excepción en el diagrama de Forrester. En la figura 2.22 se tiene un camino que va desde la variable de nivel NREF a la variable de flujo F. En este camino se intercala el nivel intermedio NI. El efecto de la introducción de este nivel intermedio se refleja en la siguiente ecuación, [NREF(t) - NI(t)] /TA NI(t + t) = NI(t) + El parámetro TA representa el tiempo de ajuste.

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En este caso, se tiene un comportamiento caracterizado por la existencia de lo que puede llamarse un retraso de ajuste o de seguimiento. Es decir, el nivel NREF suministra una referencia necesaria para calcular el flujo F. Sin embargo, el valor de este nivel no se transmite instantáneamente sino que se produce un cierto retraso como consecuencia de la introducción de un nivel intermedio en el que se va produciendo una acumulación del valor de dicho nivel. En la figura 2.23 se representa la evolución en el tiempo de la información que se transmite a la variable de flujo suponiendo que el nivel NREF sufre una variación en escalón. Esta figura ilustra el efecto que se trata de obtener de un mecanismo como el que se acaba de describir. En el capitulo 3 se estudiarán con mayor detenimiento las características de esta respuesta temporal.

FIGURA 2.23.- Evolución en el tiempo del nivel NI.

4.

Las ecuaciones del modelo y su programación

En la figura 2.24 se representa un diagrama causal que corresponde al diagrama de Forrester de la figura 2.21. De hecho, el proceso de construcción de un modeio de un determinado sistema se inicia con la construcción de un diagrama causal, tal como el de la figura 2.24, tras lo cual se establece el diagrama de Forrester correspondiente, como puede ser el de la figura 2.21. Debe notarse que en el diagrama causal no está especificado el carácter de los distintos elementos que en él se relacionan, es decir, no se sabe si se trata de variables de nivel, de flujo o auxiliares. De hecho, la asignación de este carácter a cada una de las variables puede constituir uno de los puntos más delicados de la construcción de un modelo, y en el que se pone de manifiesto la experiencia y habilidad del especialista que construye el mismo. La distinción entre niveles y variables auxiliares, a partir del diagrama causal, no siempre está clara y a veces es difícil decidir si una variable debe ser un nivel o una variable auxiliar. Ya se ha indicado que un nivel representa un punto de acumulación. Una regla aceptable para

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decidir el carácter de una variable se basa en considerar la respuesta en el tiempo de la variable en discusión a un cambio en el sistema. Los niveles varían lentamente acumulando los flujos. Las variables auxiliares varían instantáneamente en respuesta a los valores que toman los niveles a lo largo del sistema. Puede suceder que una variable, representada por una variable auxiliar cuando se emplea un horizonte temporal muy grande, deba ser representada como un nivel cuando el horizonte temporal sea menor.

FIGURA 2.24.- Diagrama causal del simil hidrodinámico de la figura 2. 11.

Una vez identificadas las variables de nivel, las de flujo y las auxiliares, se procede a construir el diagrama de Forrester a partir del diagrama causal. De hecho, el diagrama de Forrester ya es en cierto sentido un modelo matemático, puesto que cada uno de los bloques que intervienen en el mismo lleva asociada una ecuación matemática que caracteriza la función realizada por dicho bloque. El proceso de modelado del comportamiento dinámico de un sistema puede resumirse diciendo que se procede de forma secuencial y progresiva al establecimiento de: - los límites del sistema (variables endógenas y exógenas); - los bucles de realimentación como elementos básicos estructurales dentro de los límites;

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- las variables de nivel (estado) que representan las acumulaciones dentro de los bucles de realimentación; - las variables de flujo que representan la actividad dentro de los bucles de realimentación. La clase de modelos que se obtienen con esta metodología es, esencialmente, la misma que es susceptible de ser programada sobre un calculador analógico. Está formada por integradores (niveles) que acumulan el resultado de las acciones en el tiempo, y por no linealidades sin memoria, convenientemente interconectados. Del diagrama de Forrester se puede obtener el modelo matemático del sistema en forma analítica. Para ello lo único que se requiere es tener las no linealidades que aparecen en el sistema en esta forma, es decir, en forma analítica. A partir del diagrama de Forrester se puede escribir

en donde x es un vector que representa todos los niveles que aparecen T en el diagrama, es decir, x =[N 1 , N 2 ,... N K], y u representa el conjunto de variables exógenas al sistema; recuérdense las expresiones (1). Las variables de flujo y las auxiliares se han eliminado, dejando únicamente las variables de nivel y las variables exógenas. Si en lugar de escribirse el modelo en tiempo continuo, es decir, en forma de ecuaciones diferenciales, se prefiere la escritura en tiempo discreto, se tendrá

en donde el significado de x y u es el mismo que el indicado más arriba. Normalmente, cuando se va a simular un modelo matemático no tiene interés la forma analítica, puesto que lo que entonces interesa es la escritura del modelo en una forma fácilmente programable sobre un computador. Sin embargo, la forma analítica sí tiene gran interés en determinados problemas de optimización y de estimación de parámetros por ajuste de datos. En este sentido, se remite al lector al capítulo 5, en donde se hará amplio uso de esta forma de representación. En cualquier caso, la forma analítica tiene el interés de que permite aplicar la teoría moderna del control a los modelos matemáticos de los sistemas obtenidos con ayuda de la metodología de Forrester. Las expresiones (9) y (10) tienen la forma con que se representa un sistema dinámico en aquella teoría. A partir de las ecuaciones que rigen el comportamiento de las distintas variables que intervienen en un modelo se obtiene la evolución

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del sistema, lo que puede hacerse por cualquier procedimiento, incluido el no recomendable, por lo tedioso, de realizar el cálculo directo a mano. Habitualmente se emplea un computador numérico, aunque también puede utilizarse uno analógico. En caso de emplear un calculador analógico, el establecimiento del programa para el mismo, a partir del diagrama de Forrester, es extraordinariamente simple. En efecto, se trata sencillamente de identificar los niveles con los integradores, tal como se hace en la figura 2.25 y emplear los generadores de funciones no lineales del calculador analógico, para implementar las no linealidades del sistema. Este procedimiento es perfectamente válido, aunque, debido a la mayor difusión de los computadores numéricos, no es el más empleado en la práctica.

FIGURA 2.25.- Equivalencia entre la representación gráfica de una variable de nivel en un diagrama de Forrester y la representación de un integrador en un diagrama para un programa para un calculador analógico. De hecho, el procedimiento de simulación más corriente está basado en el empleo de computadores numéricos, en los cuales se realizan los cálculos implícitos en las ecuaciones que definen la evolución del sistema. Las ecuaciones del modelo se escriben de acuerdo con un método de integración numérica que, normalmente, es el método de Euler, tal como se aplicó en la expresión (7). La programación de las ecuaciones de un sistema dinámico puede hacerse en cualquier lenguaje de alto nivel como FORTRAN, BASIC, etc. No obstante se ha desarrollado un lenguaje de programación específico con ayuda del cual se pretende que la escritura de las ecuaciones asociadas a un diagrama de Forrester sea lo más sencilla posible. Este lenguaje es el DYNAMO [80]; en el cuadro 2.1 se muestra la forma que toman en DYNAMO las sentencias de los tipos de ecuaciones más usuales en dinámica de sistemas. En las ecuaciones escritas en DYNAMO se hace = DT, tal como se indica en la figura 2.26. Las letras J, K y L que siguen a los símbolos de las variables son los indicadores de tiempo. K indica el instante que se está considerando, J el precedente y L el siguiente. Para las ecuaciones de flujo, JK denota el flujo calculado en el intervalo precedente, y KL, el flujo que se calcula para el intervalo siguiente.

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La figura 2.26, muestra esquemáticamente la secuencia de cálculo implícita en las ecuaciones. En la secuencia de cálculo se sobreentiende que la evolución del sistema ha alcanzado el instante K, pero que las ecuaciones aún no se han resuelto para los niveles en el instante K ni para los flujos sobre el intervalo KL.

FIGURA 2.26.- Secuencia de cálculos del lenguaje DYNAMO en el instante K.

El cálculo de los niveles, en el instante K, está basado en el conocimiento de los niveles en el instante anterior, J, y de los flujos (supuestos constantes) en el intervalo JK. Una vez calculados los niveles en el instante K, y después de haber calculado los flujos correspondientes al intervalo KL, los índices se adelantan un tiempo DT para iniciar el siguiente ciclo de cálculo. Los flujos calculados para el intervalo KL se convertirán en los flujos correspondientes al intervalo JK después del cambio de índices; los índices K de los niveles se transforman en J; se inicia el siguiente ciclo de cálculo, y así sucesivamente. Es muy importante observar que las ecuaciones auxiliares deben calcularse de una forma secuencial y no simultánea. Ello estaba implícito en la discusión que se hizo al comentar las expresiones (3) y (4) cuando

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se introdujeron estas variables. Se observa en estas expresiones cómo el conocimiento del valor que toman algunas de las variables auxiliares es necesario para el conocimiento que toman otras y, por lo tanto, debe procederse de una forma secuencial y ordenada a la determinación de los valores que toman estas variables. En la resolución de las ecuaciones de un modelo debe procederse de forma sistemática. Es necesario construir una secuencia de cálculos que sirva de base para la elaboración del programa que permita obtener la evolución en el tiempo del sistema que se modela. Supóngase que en el instante t se dispone del valor de los niveles N(t). La secuencia de cálculos es la siguiente: 1.

A partir de N(t) se determinarán. en primer lugar. los valores tomados por las variables auxiliares en el instante t; a continuación, con ayuda de las ecuaciones de flujo se determinan los valores de las variables de flujo F(t). 2. A partir de N(t) y de F(t) se determina N(t+ t), es decir, el valor de los niveles en el instante t + t. 3. Se hace t = t+ t y se vuelve a 1. Debe notarse que la anterior secuencia de cálculo implica una ordenación de las ecuaciones. Dentro de las ecuaciones de flujo, o de las de nivel, es indistinto el orden que se aplique al resolverlas, pero el conjunto de las ecuaciones de flujo debe resolverse completamente antes de empezar a resolver las ecuaciones de nivel, y viceversa. Si se emplea el lenguaje DYNAMO, la ordenación de la secuencia de cálculo se hace de una forma automática. Las no linealidades que se consideran en los modelos de dinámica de sistemas son no linealidades sin memoria; es decir, funciones de una variable que sólo responden al valor de la señal de entrada en el instante considerado. Empleando el DYNAMO, la no linealidad se introduce por puntos, tal como se indica en la figura 2.27; por ello las no linealidades se denominan, también, tablas.

CUADRO 2.1

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El cuadro 2.1, en concreto, muestra cómo se escribe en DYNAMO la no lineaiidad de la figura 2.27. La no linealidad A = f(B) se escribe por medio de dos sentencias. En la primera de ellas, en el segundo miembro, aparece en primer lugar, entre paréntesis, el símbolo AT, que hace referencia a la segunda de las sentencias y que se describirá más abajo. En segundo lugar aparece B.K, que indica cuál es la variable con la que se alimenta la no linealidad, es decir, la B. Aparecen a continuación B 1 , y B 5 , que constituyen los dos valores que representa el intervalo para el que se define la no linealidad; es decir, se consideran sólo valores de B comprendidos entre B 1 y B 5 . Por último, el valor de A indica la separación entre dos valores sucesivos de B i . P

FIGURA 2.27.- Representación por puntos de la relación no lineal que liga a la variable A con la variable B. La segunda de las sentencias indica los valores tomados por A para los valores de B indicados en la primera de las sentencias. Es decir, los valores Ai = f(B i), para i = 1, 2, 3, 4 y 5. Con los datos suministrados por estas dos sentencias se tienen definidos una serie de puntos de la no linealidad; en el caso de la figura 2.27 cinco puntos. El compilador está concebido para realizar una interpolación para valores de B comprendidos entre los definidos en las sentencias. En las primeras versiones del DYNAMO, esta interpolación era lineal; en las últimas versiones se ha previsto una interpolación polinomial. Para finalizar esta sección debe indicarse que si bien el DYNAMO es un lenguaje específicamente concebido para aplicaciones de dinámica de sistemas, y por lo tanto es el lenguaje en el que estas aplicaciones se hacen de la forma más cómoda, no es en absoluto indispensable disponer de él para realizar estas aplicaciones. En cualquier lenguaje de alto nivel pueden escribirse las ecuaciones que constituyen un modelo

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de dinámica de sistemas. Por último debe también indicarse que puesto que el CSMP (Continuous System Modelling Program) permite simular un computador analógico en uno numérico (digital), podrá, en consecuencia, emplearse para programar modelos como los que se están considerando.

5. Ejemplos elementales de aplicación Se dedica la presente sección a desarrollar dos ejemplos elementales de aplicación de la dinámica dc sistemas con cl fin de ilustrar los conceptos vertidos en las secciones anteriores. Vamos a presentar, en términos de dinámica de sistemas, dos modelos cuya concepción ha sido originalmente hecha de forma clásica. Con ello se pretende facilitar al lector el acceso a las técnicas y notaciones específicas de la dinámica de sistemas. Más adelante, en los capítulos posteriores, se presentarán múltiples ejemplos de modelos típicos de la dinámica de sistemas. 5.1.

Problemas de las ballenas

Se trata de estudiar la conservación de una determinada población, por ejemplo la de ballenas, s o m e t i d a a u n a e x t i n c i ó n i m p o r t a n t e p o r acción de la pesca o de la caza. La evolución de la población de ballenas depende de los nacimientos, las muertes naturales y las muertes por pesca. Con estas relaciones iniciales se puede construir un diagrama causal como el que muestra la figura 2.28.

FIGURA 2.28.- Diagrama causal de la evolución de la población de ballenas, en función de los nacimientos muertes naturales y muertes por pesca. La figura 2.29 muestra la relación no lineal que existe entre la población y los nacimientos o las muertes naturales. Si la población se encuentra por debajo de un valor P1, se tiene una situación de

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«subpoblación» : las tasas de nacimiento son muy bajas debido a que, por la baja densidad de población, es difícil que se encuentren parejas, por problemas de «soledad», falta de protección para las crías, etc. Si la población se encuentra por encima de P2 se tiene una «superpoblación» que determina problemas de densidad relativamente elevada, por lo que las tasas de nacimiento tienden a estabilizarse, mientras que las tasas de mortalidad tienden a aumentar.

FIGURA 2.29.- Repesentación gráfica de la relación que liga a la población POB de ballenas, con los nacimientos NAC y con las muertes naturales MNA. Por otra parte, y simplificando mucho el modelo, se supone que la mortalidad debida a la pesca es proporcional a la población total, es decir, Mp =K x P en donde MP representa la mortalidad debida a la pesca, P es la población de ballenas y K es una constante de proporcionalidad. Existe un límite superior para esta mortalidad fijado por la capacidad de procesamiento y almacenaje de los productos balleneros por parte de la flota pesquera; por lo tanto se tiene que Mp = min (K x P, BMAX)

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que significa que la mortalidad anual de ballenas, por efecto de la pesca, será el mínimo de los valores tomados por K x P, fracción de la población que puede ser pescada, y BMAX, número máximo de cetáceos que pueden ser procesados por la flota. Las hipótesis realizadas son enormemente simplificadoras. Por ejemplo, se ha supuesto que todas las ballenas son igualmente apreciadas. Sin embargo, en un primer ejemplo introductorio se consideran aceptables. En la figura 2.30 se ha representado el diagrama de Forrester correspondiente al diagrama causal de la figura 2.28. Se observa cómo para la caracterización del sistema se requiere un solo nivel. Escrita en forma de ecuaciones diferenciales, la ecuación del modelo sería

FIGURA 2.30.- Diagrama de Forrester del modelo de evolución de la población de ballenas. Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

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en donde P es la población de ballenas, N el número de nacimientos, M n el número de-muertes naturales y M P el número de muertes por pesca. Las no linealidades de la figura 2.29 pueden representarse o bien analíticamente o bien por puntos. En el primer caso, se tiene para la relación entre el número de nacimientos y la población la siguiente expresión : N = A 1 [exp (- a P ) ] + A 2 [ e x p ( - b P ] + C siendo los valores de las constantes

Por lo que respecta a la relación entre la tasa de mortalidad y la población se puede ajustar por medio de un polinomio de segundo orden tal como M=A' x P + A ' x P

2

siendo los valores numéricos de las constantes

El modelo así obtenido puede ser simulado sobre un computador analógico o digital. En el segundo de los casos se requiere el empleo de un lenguaje tal como el DYNAMO o el FORTRAN. Si se emplea el DYNAMO las no linealidades deben tabularse; ello es lo que se hace en el cuadro 2.2. Teniendo en cuenta esta tabulación, el modelo, en DYNAMO, se escribe así:

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CUADRO 2.2 POB

NAC

POB

MNA

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000

0 340 993 1662 2240 2701 3054 3317 3509 3649 3750

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000

0 86 257 514 855 1281 1792 2388 3070 3836 4687

Si se emplea el FORTRAN como lenguaje, la programación de las no linealidades puede c o n s e r v a r s u f o r m a a n a l í t i c a , p o r l o q u e aparentemente la programación FORTRAN del modelo es más simple que la programación en DYNAMO. Sin embargo, aunque para un caso sencillo como el que se está tratando sea así, para modelos de mayor complejidad es patente la superioridad del DYNAMO sobre el FORTRAN en modelos de dinámica de sistemas, debido a características tales como la reordenación de las ecuaciones y la facilidad de introducir modificaciones en el modelo; es decir, al carácter conversacional del DYNAMO. Por último, es claro que para la construcción de un modelo como el que se acaba de presentar no es necesario emplear la dinámica de sistemas. La observación es obvia. Lo que se ha tratado ha sido más bien ilustrar con un ejemplo sencillo los conceptos vertidos previamente en este capítulo. Una vez construido el modelo se puede proceder a «pasarlo» por el. computador. En la figura 2.31 se tiene la evolución de la población de ballenas correspondiente a unas condiciones iniciales de 10.000 ballenas y a una constante de pesca BMAX = 0,05. Se observa que muestra un crecimiento exponencial. Con otros valores para las condiciones iniciales y BMAX se obtienen otras formas de respuesta.

5.2.

Discusión de un modelo elemental de crecimiento

En este apartado se va a desarrollar un modelo elemental de crecimiento debido a Solow, el cual se presenta, en primer lugar, de forma clásica, es decir, por medio de ecuaciones diferenciales, para ser posteriorMaterial reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

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FIGURA 2.31 .- Gráfico de salida de una pasada por computador del modelo de evolución de la población de ballenas, cuando la población inicial es de 10.000 unidades y la constante de pesca es BAMX = 0,05.

mente programado en DYNAMO. El modelo de crecimiento de Solow traduce las interacciones entre tres variables: el capital acumulado (stock) K, el trabajo L, que se supone proporcional a la población, y la renta nacional Y. Entre estas variables se establecen las siguientes ecuaciones

en donde ß o y ß son parámetros tecnológicos, es un parámetro que representa el ahorro y es un parámetro de naturaleza biológica. La primera de las ecuaciones representa la función de producción y es una función del tipo Cobb-Douglas: la segunda indica que el ahorro constituye una fracción de la renta nacional; por último, la tercera representa el crecimiento exponencial de la población. Se observa cómo sustituyendo la expresión (11) en (12) se elimina Y, la cual se puede considerar como una variable auxiliar si se emplea la terminología de la dinámica de sistemas. El modelo de Solow consiste en dos ecuaciones diferenciales de primer orden, es decir con dos niveles. Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

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Interesa introducir las variables auxiliares

K

L

La K en Y y la L en Y no son exponentes sino supraíndices. Con el concurso de estas variables auxiliares la ecuación (11) se puede escribir

El conjunto de las ecuaciones (12)-(16) es equivalente al (1l)-(13). En el cuadro 2.3 se muestra la nomenclatura empleada para denominar las distintas variables que aparecen en el modelo con el fin de escribirlo en DYNAMO. En la figura 2.32 se tiene el diagrama de Forrester correspondiente al modelo de Solow. En la práctica, el especialista en dinámica de sistemas construye e l d i a g r a m a d e F o r r e s t e r a p a r t i r del diagrama causal y extrae las ecuaciones del modelo a partir de aquel diagrama. Aquí se ha procedido al revés, ya que de lo que se trata es de ilustrar el empieo de la dinámica de sistemas. Debe notarse cómo las convenciones de Forrester reproducen, minuciosamente, las correspondientes ecuaciones diferenciales, distinguiéndose nítidamente las variables de nivel, flujo y auxiliares.

CUADRO 2.3 Nomenclatura de las variables que aparecen en el modelo de Solow

En el modelo aparecen dos no linealidades, las cuales corresponden a las ecuaciones (14) y (15). Se trata de no linealidades sin memoria, Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

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FIGURA 2.32.- Diagrama de Forrester del modelo elemental de crecimiento de Solow. empleando la terminología habitual en teoría de sistemas. Este tipo de no linealidades son las únicas que aparecen en los modelos construidos con la ayuda de dinámica de sistemas y constituyen relaciones funcionales no lineales entre dos tipos de variables en las que no aparece, en forma alguna, el factor tiempo; es decir, se trata de relaciones instantáneas entre los valores tomados por dos variables. En la figura 2.33 se representan las dos no linealidades.

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FIGURA 2.33.- Representación gráfica del multiplicador de la renta a partir del capital MRNC y del multiplicador de la renta a partir de la población MRNP.

En el lenguaje DYNAMO las gráficas que representan las no linealidades se definen por puntos. Esta forma de representar las funciones no lineales presenta sus ventajas e inconvenientes. Entre las primeras cabe mencionar que, con una forma funcional única, se pueden aproximar virtualmente todas las relaciones no lineales sin memoria y que, desde un punto de vista de cálculo, pueden procesarse con ayuda de una única subrutina. Esta subrutina se alimenta con una tabla finita de valores y realiza operaciones aritméticas de interpolación. Entre las desventajas cabe destacar el aumento importante del número de parámetros que alimentan al modelo. En efecto, en la expresión (15) aparece exclusivamente un parámetro, el ß. Sin embargo, en la expresión de la no linealidad por medio de una tabla de valores se requieren tantos parámetros como puntos se tomen para aproximar la curva. Este aumento considerable del número de parámetros presenta problemas especialmente en los estudios de sensibilidad y de estimación de parámetros, a los que se aludirá más adelante.

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Con ayuda del lenguaje DYNAMO la expresión (15) se escribe, MRNP MRNPT

= TABLE(MRNPT, P, 0, 3, • 5) =0.00/0.75/1.00/1.15/1.30/1.45/1.55

La primera de estas sentencias indica que existe una relación no lineal entre MRNP y la población P; de manera que para cada valor de la población P corresponde uno de MRNP. La sentencia indica que para calcular cada valor de MRNP, a partir de P, se requiere una tabla de valores correspondientes a las ordenadas, en la figura 2.33 de los puntos de intersección de las rectas. Además se requiere conocer el intervalo total de variación de P, que resulta ser en este caso de 0 a 3; el último de los valores que aparecen entre paréntesis representa el intervalo de discretización de P, que en este caso resulta ser de 0,5. La segunda de las sentencias indica los valores tomados por MRNP en los puntos de abcisas consideradas. En el lenguaje DYNAMO las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones en diferencias finitas empleando la aproximación de Euler. Ello implica el transformar el sistema de ecuaciones diferenciales de las expresiones (11)-(13) en el sistema discreto

en donde h representa el intervalo elemental de tiempo en el modelo. Empleando esta discretización el conjunto de ecuaciones (12)-(16) se puede escribir así:

En el sistema de ecuaciones anterior se han agrupado las ecuaciones de nivel, las de flujo y las auxiliares. Esta agrupación corresponde

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al orden en que se deben realizar los cálculos. Empleando el lenguaje DYNAMO el anterior sistema de ecuaciones se escribe así:

De esta forma se tiene el modelo en una forma prácticamente lista para ser procesada por un computador. Sólo se necesita añadir las condiciones iniciales, para lo cual se definen las variables

A través de este ejemplo se ha mostrado cómo los modelos que se obtiene con ayuda de la dinámica de sistemas corresponden a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, las cuales pueden progrämarse de una forma cómoda empleando un lenguaje desarrollado al efecto que es el DYNAMO. El DYNAMO es un lenguaje de programación desarrollado específicamente para el especialista en dinámica de sistemas, con el que se facilita la programación de la aproximación de Euler de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. El DYNAMO incluye una función, denominada CLIP, mediante la cual se pueden conmutar valores de constantes o parámetros, de

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Javier Aracil

un valor a otro, cuando cierta variable especificada excede de un cierto umbral. Considérese, por ejemplo, que se quiere conmutar el valor del parámetro del modelo de Solow, es decir, MCRN, de un valor MCRNl a un valor MCRN2 en el año 1990. La sentencia correspondiente en DYNAMO sería

en donde T.K es el tiempo histórico que se calcula de acuerdo con

Existen otras funciones análogas a la CLIP que se acaba de describir. Por ejemplo, la función máximo, definida:

Análogamente, se define la función mínimo, de acuerdo con:

Otra función de interés, de características análogas a las anteriores, es la función SWITCH (conmutación) definida por

De forma análoga a las funciones que se acaban de describir se pueden concebir funciones de control más sofisticadas en el lenguaje DYNAMO, aunque las funciones de conmutación binaria que se acaban de considerar son las más empleadas. El empleo del lenguaje DYNAMO ofrece las siguientes ventajas: 1. Las sentencias de instrucciones son muy fáciles de entender. 2. Se pueden obtener los resultados de la simulación en forma de gráficas o listados.

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Introducción a la dinámica de sistemas

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3. Las ecuaciones se ordenan de forma automática para la realización de los cálculos. 4. Se realiza fácilmente la detección de errores en la preparación de programas. 5. Las operaciones de compilación y simulación se realizan rápidamente. 6. Tiene un marcado carácter conversacional que permite, con toda facilidad, efectuar cambios en el modelo. N o obstante estas ventajas, debe insistirse, una vez más, en que el empleo del DYNAMO no es indispensable para la programación de modelos construidos con ayuda de la dinámica de sistemas. Tanto el ejemplo considerado aquí, como el del apartado 5.1, pueden programarse en FORTRAN aún cuando no se disponga de la expresión analítica de las no-linealidades. En este último caso deberá disponerse de subrutinas para la interpolación. Sin embargo, lo que en cualquier caso debe resaltarse es que empleando el DYNAMO es como más cómodamente se construyen, modelos de dinámica de sistemas. Esta comodidad reside, sobre todo, en las facilidades conversacionales de que está dotado este lenguaje.

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