Brandenburgische Technische Universität Cottbus-Senftenberg Fakultät 1 Professur Systemtheorie Prof. Dr.-Ing. D. Döring

Prüfung im Modul Grundlagen der Regelungstechnik Studiengänge Medizintechnik / Elektrotechnik

,

08.07.2013 (14:00-16:00 Uhr)

Dauer: 120

Minuten

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Matrikelnummer

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Berechnungen werden nur dann gewertet, wenn der Rechenweg nachvollzieh-

•

Hilfsmittel: Beilage Grundlagen der Regelungstechnik, Taschenrechner.

bar ist.

Soll-Punkte: 50

Von den

7

Aufgaben müssen

5(!)

gelöst werden. Ge-

ben Sie bitte an, welche Aufgaben entfallen.

1

(Punkte: 10) Gegeben sei das dargestellte Ersatzschaltbild eines dynamischen Systems (s. Abbildung).

Aufgabe 1

i

uL

i2

L ue(t)

i1 R1

R2

ua(t)

1.1 Stellen Sie die Dierenzialgleichung und die Übertra(s) gungsfunktion G(s) = UUae (s) ! 1.2 Bestimmen Sie die Art des Systems! 1.3 Bestimmen Sie die Zeit- und Übertragungskonstanten der ermittelten Übertragungsfunktion G(s) in Abhängigkeit von R1 , R2 und L! 1.4 In der unteren Abbildung ist die Antwort des Systems aus 1.1 bei einem Eingangssprung Ue (s) = 3s dargestellt. Ermitteln Sie daraus die Werte der Zeit- und Übertragungskonstanten zur Beschreibung der Übertragungsfunktion G(s)! 1.5 Berechnen Sie aus den in 1.4 ermittelten Werten die Induktivität L für den Fall, dass die Widerstände R1 = 4Ω und R2 = 2Ω bekannt sind!

2

Aufgabe 2

(Punkte: 10) Im

a)

Im 2j Ks = 1 Re

b) Ks = 4 Re −1

−3 Im

c)

KI = Re

Im

d)

1 4

−2j KD = 2 Re

−4

−1

3

2.1 Geben Sie die 4 Übertragungsfunktionen an! 2.2 Skizzieren Sie die Übergangsfunktionen h(t) der in 2.1 ermittelten Übertragungsfunktionen! 2.3 Gegeben ist ein DT1 -Glied: G(s) =

4s y(s) = u(s) 2s + 1

Wie groÿ sind KD und T1 ? Welchen Anfangswert hat die Ausgangsgröÿe y(0), wenn u(s) = 2s ist? Aufgabe 3

(Punkte: 10)

Ein System sei durch die Dierenzialgleichung 4¨ y − 3y˙ + y 2 = u˙ + u2

gegeben. 3.1 Bestimmen Sie den stationären Arbeitspunkt für u0 = 1! 3.2 Linearisieren Sie die Dierenzialgleichung um den Arbeitspunkt und bilden Sie die Übertragungsfunktion! 3.3 Bestimmen Sie die Art des Systems! 3.4 Ermitteln Sie die stationäre Verstärkung des linearisierten Modells! Aufgabe 4

(Punkte: 10)

4.1 Bestimmen Sie für das gegebene System die Durchtrittsfrequenz ωs des I -Gliedes und jeweils die Eckfrequenzen für das P T1 -Glied und das TD2 -Glied! G(s) =

2 (0.05s + 1)2 s (0.5s + 1) 4

4.2 Skizzieren Sie den approximierten Amplituden- und Phasengang für das System G(s)! 4.3 Gegeben ist die Geradenapproximation eines Amplitudenganges (s. untere Abb.). Ermitteln Sie die zugehörige Übertragungsfunktion G(s). Um welchen Typ handelt es sich hier? 20log10 |G| [dB] 0

0.1

1

10

dB +20 Dek

100

log10 (ω)

dB −20 Dek

−20

Aufgabe 5

(Punkte: 10)

Gegeben sei ein Regelkreis - bestehend aus einem I − Regler GR = Ksi und einer Regelstrecke (s.untere Abb.).

5.1 Ermitteln Sie aus dem Blockschaltbild des Regelkreises die Übertragungsfunktion der Regelstrecke Gs (s)! Um welchen Typ handelt es sich hierbei? 5

5.2 Die Führungsgröÿe sei w(s) = 3s . Überprüfen Sie mithilfe des Endwertsatzes der Laplacetransformation, ob der Regelkreis stationär genau ist! 5.3 Für welche Ki ist der Regelkreis asymptotisch stabil? Hinweis: Verwenden Sie das Kriterium von Hurwitz. Aufgabe 6

(Punkte: 10)

Gegeben sei der in der unteren Abb. dargestellte Regelkreis. w(s)

e(s)

GR(s)

u(s)

y(s) 2 2 (s+1) (s+3)

6.1 Um welchen Streckentyp handelt es sich hierbei? Ist die Regelstrecke stabil? Bestimmen Sie hierfür die Streckenpole! 6.2 Der Regler sei ein P -Regler, GR (s) = Kp . Der Sollwert sei ein Einheitssprung, d.h. w(s) = 1s . Ermitteln Sie die Führungsübertragungsfunktion Gw (s)! Wie groÿ ist der Regelfehler, wenn angenommen wird, dass Kp = 1 ist? 6.3 Stellen Sie die charakteristische Gleichung auf und bestimmen Sie aus dieser Tkrit und Kp krit ! 6.4 Mit den Ergebnissen aus 6.3) sollen Sie nun einen P I Regler entwerfen, d.h. bestimmen Sie die Reglerparameter Kp und Tn ! Hinweis: Verwenden Sie das Entwurfsverfahren von Ziegler und Nichols. 6

Aufgabe 7

(Punkte: 10)

An der P T2 -Regelstrecke soll ein P -Regler betrieben werden. Gs (s) =

2s2

5 + 3s + 1

7.1 Ermitteln Sie aus der Übertragungsfunktion der Regelstrecke die Durchtrittsfrequenz ωD ! Die Phasenreserve des Regelkreises soll φR = 50o betragen. 7.2 Bestimmen Sie die Reglerversärkung Kp ! Hinweis: Verwenden Sie den in 7.1) ermittelten Wert für die Durchtrittsfrequenz ωD . 7.3 Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus 7.2) indem Sie direkt aus der Betragskennlinie Kp bestimmen! (ωD ist die gewünschte Durchtrittsfrequenz.) Betragskennlinie der Regelstrecke Gs (jω).

7

Zusatzaufgabe

(Punkte: 5)

Gegeben sei der in der unteren Abb. dargestellte Regelkreis. w(s)

e(s)

6 s

u(s)

4 (s+2)

y(s)

3

Z.1 Bestimmen Sie für einen Sollwert von w(s) = 4s die stationären Endwerte der Regelgröÿe y(∞) und der Stellgröÿe u(∞)!

8