Elektrische Charakterisierung von Halbleiterbauelementen Einleitung Grundlagen zur Beschreibung von Halbleitern – Bändermodell, Ladungsträgerdichten Da die elektronischen Eigenschaften eines Halbleiters durch zwei unvollständig besetzte Bänder ober- und unterhalb der Bandlücke bestimmt werden, ist es oft ausreichend, lediglich diese Bänder zu betrachten. Das führt zu einem vereinfachten Bändermodell, wie es in Abbildung 1 gezeigt ist.

EVac eχ Leitungsband EC EF

n,p

EGap EV Valenzband

Abbildung 1: (a) Vereinfachtes Bändermodell für einen intrinsischen Halbleiter und (b) Ladungsträgerdichten berechnet nach (1)

Aus den entsprechenden Verteilungsfunktionen und Zustandsdichten ergeben sich folgende Terme für die Elektronen- beziehungsweise Löcherdichte in Abhängigkeit von der Energie: n( E ) = g C ( E ) f ( E ) =

8π 2 3 2 me E − EC h3

1 1+ e

8π 2 3 2 p ( E ) = gV ( E )(1 − f ( E )) = mh EV − E h3

E − EF kT

(1) 1 1+ e

EF − E kT

Zur Berechnung der tatsächlichen Dichten, das heißt, der Anzahl der Ladungsträger pro Volumen, müssen die Ausdrücke aus (1) integriert werden: 1

∞

EC

p0 = ∫

EV

−∞

E−E

E −E

F C F − 8π 2 3 2 kT kT ( ) m E − E e dE = N T e e C C EC h3 EV − EF E − EF EV 8π 2 3 kT 2 gV ( E )(1 − f ( E ))dE ≈ ∫ mh EV − E e dE = NV (T )e kT −∞ h3

n0 = ∫ gC ( E ) f ( E )dE ≈ ∫

∞

(2)

Dabei wurde die Fermiverteilung durch eine Boltzmannverteilung genähert und die so genannten effektiven Zustandsdichten NC und NV eingeführt (Aufgabe 1). Das geometrische Mittel aus Elektronen- und Löcherdichte wird intrinsische Dichte genannt und ergibt sich zu: ni = N C NV e

−

EG 2 kT

(3)

Nach Einführung der intrinsischen Fermienergie Ei können die intrinsischen Werte für Dichten und Lage des Ferminiveaus als Referenz genutzt werden: n0 = ni e

EF − Ei kT

p0 = ni e

Ei − EF kT

⇒ EF = Ei + kT ln

n0 ni

(4)

p ⇒ EF = Ei − kT ln 0 ni

Für dotierte Halbleiter können aus der Neutralitätsbedingung Elektronen- und Löcherdichten berechnet werden: n0 + N A− = p0 + N D+ ⇒ n0 =

( N D+ − N A− ) 2 N D+ − N A− + + ni2 2 4

(5)

( N D+ − N A− ) 2 N A− − N D+ + ni2 p0 = + 2 4 Hierbei können allerdings die Dichten der ionisierten Dotieratome meist durch die tatsächlich vorhandenen Dichten ersetzt werden (Aufgabe 2).

Verschiedene Halbleiterstrukturen – p-n-Übergänge und MOS-Systeme Der p-n-Übergang

p-n-Übergänge bestehen aus Halbleitern mit unterschiedlichen Dotierungstypen. Diese Übergänge zeichnen sich durch große Vielseitigkeit aus: man kann sie als Gleichrichter benutzen, als spannungsabhängigen Kondensator, als Solarzellen und vieles mehr. Für die durchzuführenden Experimente ist vorrangig die Kapazität der Struktur von Interesse, deshalb soll diese hier hergeleitet werden (Aufgabe 3). Zur Herleitung des elektrischen Feldes, des Potentials und schließlich der Ladungsdichte am Übergang wird häufig die „Full-Depletion“-Näherung benutzt, das heißt, man geht davon aus, 2

in der Nähe des Übergangs nur Ladungen durch ionisierte Dotieratome zu haben. Innerhalb der Näherung kann also die Ladungsträgerdichte wie folgt angegeben werden:

0, x < − x p ⎧ ⎪−qN , − x < x < 0 ⎪ A p ρ =⎨ ⎪ qN D , 0 < x < xn ⎪⎩ 0, x > xn

(6)

Darin sind xp und xn die Weiten der Verarmungszonen im p- und n-Bereich. Durch Anwendung der Maxwell-Gleichungen und Poisson-Gleichung erhält man das elektrische Feld und das Potential zu: 0, x < − x p ⎧ 0, x < − x p ⎧ ⎪ ⎪ 2 ⎪ qN ( x + x p ) , − x < x < 0 ⎪ −qN ( x + x p ) , − x < x < 0 A p A p ⎪⎪ ⎪⎪ εS 2ε S ϕ=⎨ E=⎨ 2 ⎪ qN ( x − xn ) , 0 < x < x ⎪−qN ( x − xn ) + C , 0 < x < x D n D n ⎪ ⎪ εS 2ε S ⎪ ⎪ 0, x > xn ⎪⎩ C , x > xn ⎪⎩

(7)

Da das gesamte abfallende Potential der Differenz zwischen Diffusionspannung und äußerer Spannung entsprechen muss, gilt:

ϕi − U =

qN A x 2p 2ε S

qN D xn2 + 2ε S

; qϕi = EF ,n − EF , p = Ei + kT ln

N ND − Ei + kT ln A ni ni

(8)

Abbildung 2: Ladungs-, Feld-, und Potentialverteilung am p-n-Übergang

Unter Beachtung der Stetigkeitsbedingung für das elektrische Feld erhält man für die gesamte Weite der Verarmungszone: xD = x p + xn =

2ε S ⎛ 1 1 ⎞ + ⎜ ⎟ ( ϕi − U ) q ⎝ N A ND ⎠

(9)

3

Die gesuchte Kapazität ergibt sich als Änderung der Ladung pro Spannungsänderung und hat erfreulicherweise die einfache Form: c=

εS

(10)

xD

Die I-V-Kennlinie einer p-n-Diode ergibt sich aus dem Drift-Diffusionsmodell zu: eU

I = I S (e

η kT

− 1)

(11)

In Gleichung 11 ist I der Strom durch den Übergang, η ein Idealitätsfaktor und IS der Sperrstrom.

10

η=2 η=1 8

Strom in A

6

4

2

0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

Spannung in V

Abbildung 3: I-V-Kennlinien für p-n-Dioden

Die Metall-Isolator-Halbleiter Struktur

Eine MIS-Struktur besteht aus einem Schichtstapel Metallkontakt, Isolator und Halbleiter. Für die Beschreibung der elektrischen Eigenschaften sind drei prinzipielle Zustände notwendig: 1. Akkumulation (Abb. 4a) Hierbei werden Majoritätsladungsträger unter dem Isolator angelagert. 2. Verarmung (Abb. 4b) Mobile Majoritätsladungsträger werden in das Substrat gedrängt und unter dem Isolator verbleibt eine Raumladungszone aus ionisierten Dotieratomen. 3. Inversion (Abb. 4c) Durch das Anlegen einer noch höheren Spannung als im Verarmungsfall entsteht eine Schicht aus Minoritätsladungsträgern unter dem Isolator.

4

VG