El teorema de Euclides tiene dos enunciados que conocemos con los nombres de teorema del cateto y teorema de la altura. Teorema del cateto:”El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella”. 2 Esto quiere decir que: AB BC .BH
Teorema de la altura: “La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre ella”. Esto 2 quiere decir que: AH BC .HC .
Vamos a demostrarlo. El teorema de Pitágoras: BC AB .AC . 2
2
2
Una forma sencilla para entender el teorema de Pitágoras es mediante el trazo de figuras, por lo que es necesario contar con una regla, compás, lápiz, papel y seguir éstos pasos: 1) Traza una línea horizontal de 5cm de longitud. Ésta línea la llamaremos hipotenusa. 2) Abre el compás 3cm, y traza un semicírculo por encima de la hipotenusa apoyándote en su extremo izquierdo. 3) Abre el compás 4 cm y traza un semicírculo por encima de la hipotenusa apoyándote en su extremo derecho y buscando que cruce el semicírculo que trazamos en el punto 2.
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4) Une el punto de cruce de los semicírculos con cada uno de los extremos de la hipotenusa así formarás un triángulo rectángulo las dos líneas rectas trazadas les llamamos catetos. 5) Sobre cada lado del triángulo le dibujamos un cuadrado usando las mismas dimensiones de los lados del triángulo. 6) Cuadriculamos cada cuadrado en divisiones de 1 cm de lado. 7) Observemos que el cuadrado de la hipotenusa tiene 25 cuadros, el cuadrado de un cateto tiene 9 cuadros, y el cuadrado del otro cateto tiene 16 cuadros. Podemos concluir que el "El cuadrado de la hipotenusa (25) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (16+9)”. Demostraciones gráficas de los teoremas de Euclides y Pitágoras Vamos a demostrar en primer lugar el teorema de Euclides referente al cateto. Consideramos un triángulo ABC rectángulo en A. Dibujamos el cuadrado ABDE como se ve en la figura. Dibujamos la altura correspondiente a A, siendo su pie el punto H. Construimos el rectángulo BHIJ, siendo BJ = BC. Se trata de demostrar que el cuadrado ABDE y el rectángulo BHIJ son equivalentes, es decir: AB2 = BH . BC, como indica el teorema. Prolongamos los lados DE , BJ y HI como indica la figura y obtenemos el paralelogramo ABFG. BF = BC porque ABC = BDF, pues los dos triángulos tienen un lado y dos ángulos iguales: AB = BD; el ángulo ABC = DBF y los ángulos en A y en D rectos. Recordamos que cuando se trazan perpendiculares a un ángulo se obtienen ángulos iguales o suplementarios. FACULTAD DE EDUCACIÓN
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Comprobamos que ABDE es equivalente a ABFG, porque los dos son paralelogramos con la misma base, AB y la misma altura, AE . Por otra parte el rectángulo BHIJ es equivalente ABFG, porque los dos son paralelogramos con la misma base, BJ = BF y la misma altura, BH. Por lo tanto, el cuadrado ABDE es equivalente al rectángulo BHIJ, como queríamos demostrar. Teorema de Pitágoras Demostramos a continuación el Teorema de Pitágoras. En el triángulo ABC de la figura debemos demostrar que BC2 = AB2 + AC2. Aplicamos el teorema del cateto. Recordamos su demostración y vemos que el cuadrado de lado AB es equivalente, es decir, es de la misma superficie que el rectángulo BFEH. Por el mismo teorema, el cuadrado de lado AC es equivalente al rectángulo HEDC. Como la suma de dichos rectángulos es igual al cuadrado de lado igual a la hipotenusa, el teorema queda demostrado.
Vamos a demostrar finalmente el teorema de Euclides referente a la altura. Consideramos un triángulo ABC rectángulo en A. Dibujamos el cuadrado ABDE como se ve en la figura. Dibujamos la altura correspondiente a A, siendo su pie el punto H. Se trata de demostrar que AH2 = BH. HC, como indica el teorema.
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Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABH. Dibujamos los cuadrados de lados AB , BH y AH. Se cumplirá que AB2 = AH2 + BH2, luego: AB2 – BH2 = AH2 . Por el teorema del cateto sabemos que el cuadrado de lado AB es equivalente al rectángulo de lados BH y BJ en el que BJ = BC. Si restamos de dicho rectángulo el cuadrado de lado BH el teorema queda demostrado, pues GJ = HC. En la figura vemos que las dos figuras equivalentes están rayadas.
APLICACIONES Raíz cuadrada de un segmento:
b a
Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla siendo la unidad el centímetro
b a,
Aplicamos el teorema de la altura: Dibujamos el segmento BC, siendo BH = 1cm (segmento unidad) y HC=a. Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC por H corta al arco en A. FACULTAD DE EDUCACIÓN
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AH b a , pues b es media proporcional de a y de la unidad. Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura. En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y el segmento BC=a. Dibujamos la circunferencia de diámetro BC. Trazamos la perpendicular a BC desde H. Esta recta corta a la circunferencia en A. La magnitud solución es AB b a
Cuadrado de un segmento, aplicando Euclides
Aplicamos el teorema de la altura: Dibujamos el segmento BH = 1cm (segmento unidad) y prolongamos la recta que lo contiene. Trazamos la perpendicular a BH por H y llevamos la magnitud a sobre ella:
AH a Dibujamos el arco de circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta definida por BH. Su centro estará en la intersección de la mediatriz de AB con dicha recta. El arco corta a la recta en C. FACULTAD DE EDUCACIÓN
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HC b a2 , pues AH a es media proporcional de b a2 y de la unidad. Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura. En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y se prolonga la recta que lo contiene. Se dibuja la perpendicular a dicha recta desde H y, con centro en B y radio a se traza el arco que la corta en A. Dibujamos la circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta BH: trazamos la mediatriz de AB que corta a dicha recta en su centro. BC
es
la
magnitud
solución:
BC a2
Ejemplo : Representa gráficamente, utilizando el teorema del cateto, el siguiente número irracional: 5 Aplicaremos el teorema del cateto, pues como 1⋅ 5 = 5 , se deduce que 5 es el cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 5cm y cuya proyección sobre ésta es un segmento de longitud 1cm. 1. Con origen en el origen de coordenadas, trazamos un segmento de 1cm de longitud, OA=1cm. 2. Con origen en el origen de coordenadas, trazamos un segmento de 5cm de longitud, OB=5cm. 3. Trazamos la semicircunferencia con diámetro el segmento OB, de longitud 5cm. 4. Trazamos la perpendicular al eje de abscisas por el punto A, hasta que corte a la semicircunferencia en el punto E.
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5. Con origen en O, y radio OE, trazamos un arco de circunferencia hasta cortar al semieje positivo de las abscisas 6. El punto así obtenido es la representación gráfica en la recta real del número irracional 5 .
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