EL PROBLEMA, DEPENDE DEL PROBLEMA… Danilo Antonio Díaz Levicoy [email protected] Universidad de Los Lagos Estudiantes de Pedagogía en Matemática

RESUMEN La resolución de problemas es considerada en la actualidad la una parte fundamentales de la enseñanza y aprendizaje de la matemática en los diferentes niveles educacionales, pues mediante estas situaciones los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de la matemática en diferentes contextos y situaciones, especialmente en el mundo que les rodea. Por otro lado, diferentes investigaciones dejan en evidencia las dificultades de los estudiantes del sistema educativo chileno frente a la resolución de problemas y que las situaciones planteadas por el profesor corresponden a contextos matemáticos, con única solución y generalmente alejadas del entorno del estudiante. En esta ponencia abordaremos algunas visiones sobre la resolución de problemas, etapas o métodos para su resolución, clasificaciones según diversos autores, presentación de problemas según contexto y la creación de problemas de acuerdo a los contenidos de los planes y programas de secundaria nacional. Palabras Claves, Resolución de Problemas, Educación Media, Problemas de Contextos.

PROBLEMÁTICA A continuación se presentan algunas problemáticas que vive la educación matemática de nuestro país y que serán la base para abordar y crear problemas: • Dificultades en la resolución de problemas • Rechazo a la asignatura de matemática • Los estudiantes tienen un alto rechazo a la resolución de problemas, producto de la forma que lo han venido trabajando desde la enseñanza básica, con problemas alejados de su realidad y sin que ellos sean participe activo de la búsqueda de soluciones. • Alta dependencia en el profesor por parte de los estudiantes al desarrollar actividades • Algoritmización de la geometría y de la matemática en general • Falta de continuidad en las contenidos geométricos • Bajo nivel de desarrollo del pensamiento geométrico • Los alumnos les cuesta modelar matemáticamente los enunciados de un problema. • Los alumnos se sienten cómodos al estar trabajando con problemas que se relaciona con su entrono y en el mismo.(Díaz, 2008), (Díaz, Mundana, Vergara, 2009)

MARCO TEÓRICO Ejercicios y Problemas No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema, pues el resolver un ejercicio es la aplicación de un algoritmo en forma mecánica, mientras que resolver un problema, significa dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto y que para determinar su solución generalmente no existe un mecanismo predeterminado. Es de común acuerdo, que la resolución de problemas es una parte esencial de la formación matemática de los estudiantes, pues permite experimentan la potencia y utilidad de la matemática en diferentes situaciones de la vida cotidiana, y por otro lado permite el desarrolla del pensamiento lógico-matemático. Gaulín (2001) señala: “Polya dice: "Hacer Matemáticas es resolver problemas", y para dar una buena idea a los alumnos de lo que es hacer Matemáticas, hay que darles problemas para resolver, problemas. , no ejercicios...,¡¡problemas!!, para buscar, reflexionar, buscar mucho, investigar...”

Modelo de Polya en la Resolución de Problemas Polya (1957) hizo una formulación de cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores: 1. Comprender el problema: Es la tarea más difícil y se recomienda que: a. Se debe leer el enunciado despacio. b. ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos) c. ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos) d. Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación. 2. Trazar un plan para resolverlo: Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. a. Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. b. ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? c. ¿Se puede plantear el problema de otra forma? d. Imaginar un problema parecido pero más sencillo. e. Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida? f. ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan? 3. Poner en práctica el plan: También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. a. Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. b. ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? c. Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? d. Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace.

e. Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo. 4. Comprobar los resultados: Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver. a. Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. b. Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible? c. Se puede comprobar la solución? d. ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? e. ¿Se puede hallar alguna otra solución? f. Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado. g. Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.

Clasificación Díaz & Poblete La resolución de tipos de problemas las clasificamos según su naturaleza en rutinarios y no rutinarios, y según su contexto, en real realista, fantasista y puramente matemático (Díaz, Poblete, 1994) Problemas rutinarios: Problemas de Contexto Real: Un contexto es real si se puede efectuar en la realidad y compromete el accionar del estudiante en la misma. Problema de Contexto Realista: Un contexto es realista si es susceptible de producirse realmente. Se trata de una simulación de la realidad o de una parte de la realidad. Problema de Contexto Fantasista: Un contexto es fantasista si es fruto de la imaginación y está sin fundamento en la realidad. Problema de Contexto Puramente Matemático: Un contexto es puramente matemático si hace referencia exclusiva a objetos matemáticos: números, relaciones y operaciones aritméticas, figuras geométricas, etc. Problemas no rutinarios: Un problema es no rutinario cuando el alumno no tiene un procedimiento conocido para resolverlo.

PROBLEMAS A continuación se presenta un grupo de problemas para ser analizadas desde contenido, objetivo, contexto y respuesta(s) 1.

Un vendedor ambulante ha calculado que si vende 100 CDs, ganará $20.000 y si vende 20 CDs, pierde $4000. ¿Cuál es la ecuación de la recta que representa esta situación?

2.

¿Cuántos puntos de intersección va a tener una recta que pasa por el punto (-2,0) y otra que pasa por el punto (3,4)?

3.

Dado un triángulo de lados 5, 6 y 8 cm. Se traza un segmento de 3 cm paralelo a un lado. Encontrar las dimensiones de los segmentos generados por la intersección del triángulo y el segmento.

4.

Si en la siguiente figura, cada lado del cuadrado mide 1 cm. Encontrar la medida de cada uno de los segmentos faltantes, es decir, AC, AE, BC, BD, CD. Justifica adecuadamente tu respuesta.

5.

Dado el triángulo ABC y el segmento (DE ) // ( AB ) y corta a [ AC ] en D y a [BC ] en E. Si AB = 3 cm , DE = 1,8 cm , CD = x − 1 y DA = x + 1 . Calcular x, analiza y justifica tu respuesta.

6.

Calcula las dimensiones de tu pieza y determina la expresión algebraica que representa el perímetro y el área de la misma.

7.

Demuestre que la transformación isométrica de Traslación forma un Grupo Abeliano bajo la función composición

8.

La cantidad de amigos que tiene Jorge en Facebook es el cuadrado de los que tiene Carolina. Si Carolina tuviera 24 amigos más, la cantidad de amigos que tiene Jorge ahora sería el doble de Carolina. ¿Cuántos amigos tiene cada uno?

9.

En un ataque realizado por el Caleuche, la mitad de los tripulantes cayeron prisioneros, la sexta parte quedo herida, la octava parte murió y se salvaron 25 tripulantes. ¿Cuántos tripulantes tenía el Caleuche?

10.

La Dirección General de Movilización Nacional (DGMN), desea realizar una campaña en un liceo de la ciudad de para la inscripción Servicio Militar, para ello un día toma una muestra de jóvenes de los cuales 70 estudiantes. Al día siguiente se toma una muestra de de 80 de los cuales 5 ya habían sido encuestados. ¿Cuál e la población aproximada de estudiantes? ¿Crees que es importante que los jóvenes (hombres y mujeres) realicen en Servicio Militar? ¿Por qué?

11.

¿Cuántas personas asistieron a una reunión, si al saludarse todos entre sí, se dan un total de 45 apretones de mano?

12.

Alfa de los Power Rangers, se encuentra prisionera de la malvada Rita, quien la tiene al interior de una cápsula, a la cual sólo se puede ingresar después de luchar con un gran número de patrulleros e ingresando una combinación de dos números enteros, los cuales suman 40 y su producto es el mayor posible. ¿Cuál es el valor que deben ingresar los Power Rangers para liberar a Alfa?

Luego, del análisis de estas actividades se dará un espacio donde los participantes deberán crear problemas de contextos sobre contenidos de educación secundaria y la posterior socialización de estos.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA • • • • • • • • • • • •

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