Apuntes de física II. Cap. 4 El potencial eléctrico

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Capítulo 4. EL POTENCIAL ELECTRICO 4.1 INTRODUCCION. En este capítulo se va a introducir otro tipor de campo llamado potencial eléctrico, o

simplemente potencial. El campo eléctricor E está definido como la fuerza por unidad

de carga, y como la fuerza es un vector, E es un campo vectorial. Se define el potencial V como la energía potencial por unidad de carga, y como la energía potencial es un escalar, V es un campo escalar. r Debido a que V es un escalar, en ocasiones es más

aconsejable su uso que el de E , yr como se verá, uno de ellos se puede obtener del

otro. De hecho la relación entre E y V es análoga a la que existe entre una fuerza conservativa y la energía potencial que lleva asociada. 4.2 DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL ELECTRICO.

r

En un campo eléctrico externo r E r se coloca una carga de prueba q0, sobre la cual se ejerce una fuerza eléctrica F = q 0 E . Si se aplica una fuerza externa que hace que esa

r

r

carga este en equilibrio, dicha fuerza debe ser tal que Fext = − q 0 E . El trabajo hecho por el agente externo para mover la carga de prueba en equilibrio desde a hasta b a lo largo de la trayectoria que se muestra en la figura 4.1 es,

r r b r b r Wab = ∫ Fext ⋅ dl = −q 0 ∫ E ⋅ dl a

a

4.1

Figura 4.1 La integral de la ecuación 4.1 recibe el nombre de integral de trayectoria r r o integral de línea. Puesto que la fuerza q 0 E producida por el campo electrostático E es conservativa, esta integral de línea es independiente de la trayectoria entre a y b. El trabajo Wab es proporcional a la carga q0. Si se divide este trabajo por la carga de prueba se obtiene el trabajo por unidad de carga. A esta cantidad se le llama diferencia de potencial, Vb-Va, entre b y a. Esto es:

∆V ≡ Vb − Va =

Wab q0

4.2

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Que de a cuerdo con la ecuación 4.1 se tiene

r b r Vb − Va = − ∫ E ⋅ dl . a

4.3

La ecuación 4.3 sólo define una diferencia de potencial. Es decir, únicamente tienen importancia las diferencias en V, por lo tanto se puede definir al potencial en un punto determinado de tal manera que tenga cualquier valor conveniente. Usualmente, se toma el potencial en el infinito como cero. Entonces, el potencial en un punto P es simplemente:

r P r V P = − ∫ E ⋅ dl ∞

4.4

Por la consideración de que V∞ = 0 . Para cada punto P hay un valor del potencial VP; esto es, el potencial es un campo escalar. Dependiendo de la distribución de las cargas, el potencial VP puede ser positivo, negativo, o cero. Si el potencial es positivo en un cierto punto; de acuerdo con la ecuación 4.4 el campo eléctrico realiza un trabajo negativo por unidad de carga, lo cual indica que la carga de prueba ha experimentado una fuerza de repulsión. Por lo tanto, el potencial cerca de una carga positiva es positivo. si el potencial es negativo ocurre entonces lo contrario. Si el potencial es cero en algún punto, el campo eléctrico no realiza ningún trabajo al mover la carga de prueba desde el infinito, aunque la carga de prueba haya pasado por una región donde experimentó fuerzas eléctricas de atracción o de repulsión. Esto significa que en un punto de potencial cero, no necesariamente el campo eléctrico en dicho punto es cero. Para el caso anterior el mejor ejemplo, es el de dos cargas iguales y de signo contrario. El potencial en el punto intermedio entre ellas es cero. Pero el campo en ese punto es diferente de cero. Si se conoce el potencial Va del punto a respecto del infinito y Vb del punto b respecto del infinito, la diferencia de potencial es la dada por la ecuación 4.3. El potencial en b puede ser mayor que, menor que, o igual que el potencial en a. Por ejemplo, si Vb-Va >0, el campo eléctrico realiza un trabajo negativo por unidad de carga de prueba conforme la carga de prueba se mueve en equilibrio de a hasta b. Puesto que la diferencia de potencial es una medida de la energía, la unidad del SI del potencial es joules sobre coulomb, definido por una unidad especial, el volt (abreviado V): 1volt =1joule/1coulomb 1V=1J/1C El volt o voltio debe su nombre al conde Alessandro Volta (1745-1827), quien fue profesor de física en la Universidad de Pavía, Italia. Volta inventó el primer dispositivo capaz de proporcionar una corriente eléctrica continua, la pila eléctrica o batería. 4.3 DIFERENCIAS DE POTENCIAL EN UN CAMPO ELECTRICO UNIFORME. Como la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga, el trabajo para llevar una carga de prueba entre dos puntos A y B es el mismo por cualquier trayectoria. Este hecho es debido a que el campo electrostático es conservativo.

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En la figura 4.2 se consideran dos situaciones en la cual se mueve una carga de prueba en presencia de un campo eléctrico uniforme.

Figura 4.2 En el primer caso, existe un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje y negativo. Aplicando la ecuación 4.3 se calcula la diferencia de potencial entre los puntos A y B, la cual es:

r B r B B VB − V A = − ∫ E ⋅ dl = − ∫ Edl cos0 0 = − E ∫ dl = − Ed A

A

A

El resultado muestra que VA>VB es decir cerca de A hay una distribución de carga positiva o cerca de B una distribución de carga negativa. Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección decreciente del potencial eléctrico. En el segundo caso, más general se considera la situación de una partícula cargada que se mueve entre dos puntos A y B en presencia de un campo eléctrico uniforme a lo largo del eje x, como en la figura 4.2 b). De acuerdo con la ecuación 4.3 se tiene :

r r B r r r B r ∆V = − ∫ E ⋅ dl = − E ⋅ ∫ dl = − E ⋅ s A

A

r

Donde se ha sacado E de la integral puesto que es constante. Además, la diferencia de potencial de la ecuación anterior se puede escribir como.

V B − V A = − Es cosθ = − Ed De la figura se puede ver que VB-VA=VC-VA. Por lo tanto, VB=VC. Es decir, los puntos A y C están al mismo potencial, o sea, pertenecen a una misma superficie compuesta de una distribución continua de puntos que están al mismo potencial eléctrico. Esta superficie recibe el nombre de superficie equipotencial. La línea BC es de este tipo de superficie. Por lo tanto la integral

∫

C

B

r r E ⋅ dl = 0 .

4.4 POTENCIAL ELECTRICO DE CARGAS PUNTUALES. La figura 4.3 representa el campo radial de una carga puntual positiva q, y la línea continua entre los puntos A y B es cierta trayectoria arbitraria que une estos puntos. El

r

r

campo eléctrico E en un elemento de r longitud dl de la trayectoria forma con esta un ángulo θ . La integral curvilínea de E , desde A hasta B es:

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Figura 4.3

r B r B ∆V = − ∫ E ⋅ dl = − ∫ Edl cosθ A

A

El valor del campo eléctrico en magnitud para cualquier r es

E = Ke

q r2

y de la figura se tiene que

dr = dl cosθ . La diferencia de potencial puede expresarse como

dr q VB − V A = − Ke q ∫ 2 = Ke rA r r rB

rB

rA

⎡1 1⎤ VB − V A = Ke q ⎢ − ⎥ ⎣ rB rA ⎦

5.5

Por consiguiente, la integral depende solamente de las distancias radiales rA y rB y no de la forma de la trayectoria a lo largo de la cual se calcula aquella. Así, si la trayectoria es la de trazos, la integral de línea entre A y B es la misma que la original. Si se calcula la integral de línea desde B hasta A por cualquier camino, su valor es

⎡1 1⎤ V A − VB = Ke q ⎢ − ⎥ ⎣ rA rB ⎦ Es la misma integral de la ecuación 4.5, pero con signo negativo. Por lo tanto, se deduce, que la integral cerrada a lo largo de la línea continua de A a B junto con la línea de trazos de B a A, es igual a cero. O sea,

r r E ∫ ⋅ dl = 0 C

4.6

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Que significa que la integral curvilínea del campo eléctrico, a lo largo de cualquier trayectoria cerrada situada en un campo electrostático, es nula. En otras palabras el campo eléctrico de una carga puntual es un campo conservativo. Es común elegir como referencia un punto donde el potencial es cero, para este caso se escoge VA= 0, lo que implica que rA = ∞ . Con esta elección, el potencial eléctrico debido a una carga puntual a cualquier distancia r de la carga es

V = Ke

q r

4.7

Esta ecuación muestra que el potencial es positivo si q es negativa, y negativo si lo es q. La ecuación 4.7 muestra además, que el potencial es constante cuando lo es r, por lo tanto, se concluye que las superficies equipotenciales (superficies sobre las cuales V es constante) para una carga puntual aislada se componen de una familia de esferas concéntricas con la carga como se verá mas adelante. Cuando hay dos o más cargas puntuales el potencial eléctrico en un punto P cualquiera debido a esta distribución se obtiene aplicando el principio de superposición. Es decir, el potencial total en P es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales. El cual es

V = Ke ∑ i

qi ri

4.8

donde, la diferencia de potencial es medida respecto al infinito y ir es la distancia del punto P a la carga qi. Nótese que la suma en la ecuación 4.8 es una suma algebraica de escalares r y no una suma vectorial que es la que se usa para calcular el campo eléctrico E de una distribución discreta de cargas.

Ejemplo 1. Hallar el potencial eléctrico en el punto P, el cual se halla ubicado en el punto medio de uno de los lados del cuadrado de la figura 4.4. El cuadrado es de lado a y en cada vértice tiene sus respectivas cargas con sus signos. Se aplica el principio de superposición. El potencial en el punto P es el potencial producido por la suma de los potenciales de cada una de las cargas. 4

V P = ∑ Vi = V1 + V2 + V3 + V4 i =1

Figura 5.4

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Las distancias de las cargas situadas en 1 y 3 al punto P son a/2. Para las otras dos cargas son

a 2 + (a 2) = 5 a 2 . 2

⎛ 2 Kq 1 3 ⎞ 4q ⎛ 5 − 5 ⎞ ⎟ = Ke ⎜ ⎟ = 2.21 e V P = Ke q⎜ + − a ⎝ 5 ⎠ a 5a 2 5a 2 ⎠ ⎝a 2 ¿ Cuanto vale el potencial en el centro de la distribución?. 4.5 POTENCIAL DEBIDO A UN DIPOLO. Como se vio en el capitulo 3 un dipolo eléctrico los constituyen dos cargas iguales, q, de signo contrario, separadas una distancia 2a. El momento de dipolo eléctrico es un vector que apunta de la carga negativa a la positiva y tiene una magnitud p=2aq. El potencial eléctrico V de un dipolo en un punto P del espacio que no esté demasiado cerca de este, se calcula a partir de la figura 4.5.

Figura 4.5 Usando la ecuación 4.8 se tiene

⎛ 1 1⎞ ⎛ r2 − r1 ⎞ ⎟ V = V1 + V2 = Ke q ⎜ − ⎟ = K e q ⎜ ⎝ r1 r2 ⎠ ⎝ r1r2 ⎠ La cual es una relación exacta. Cuando r>>2a las siguientes relaciones se deducen aproximadamente de la figura 4.5.

r2 − r1 ≅ 2a cosθ

y

r1r2 ≅ r 2 ,

Para este caso el potencial es:

V = Ke

p cosθ 2aq cosθ = Ke 2 r r2

4.9

El potencial eléctrico de un dipolo varía como r-2 en lugar de r-1 que es el caso de una carga puntual. El potencial es máximo positivo y negativo para θ = 0 y θ = π respectivamente y cero para

θ = π 2 . Para este último caso se deduce que no se verifica

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trabajo para traer una carga de prueba desde el infinito a lo largo de una perpendicular bisectriz al dipolo. 4.6 POTENCIAL ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE

CARGAS.

La ecuación 4.8 puede ser transformada para obtener el potencial creado por una distribución continua de carga. Para ello se divide la distribución continua en un número infinito de cargas pequeñas ∆q i , tratando este elemento como una carga puntual (figura 4.6), el potencial V es:

Figura 4.6 N

V = K e lim

∑

N →∞ i =1 ∆qi → 0

∆qi dq = Ke ∫ r r

4.10

donde la integración se extiende a toda la distribución de carga y r es la distancia que hay desde dq al punto P donde se evalúa el potencial. Esta expresión para V emplea como nivel de referencia cero en el infinito. Ejemplo 2. Determinar el potencial creado por un disco delgado de radio a, con densidad superficial de carga σ , en los puntos de su eje como en la figura 4.7.

Figura 4.7 Se divide el disco en anillos de ancho dy, de forma que el área de cada uno de ellos es 2π ydy , y su carga dq = σ (2π ydy ) . Por lo tanto el potencial producido por el anillo es:

dV = K e

σ 2π ydy dq = Ke r x2 + y2

Apuntes de física II. Cap. 4 El potencial eléctrico a

2 ydy

0

x2 + y2

V = πσK e ∫ Haciendo u = x + y 2

2

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se tiene que du = 2 ydy y la integral queda x 2 +a 2

V = πσ K e ∫ 2 x

du = 2πσK e u

[ ] u

x 2 +a 2 x2

.

De esto resulta

V = 2 πσ Ke

(

x2 + a2 − x

)

Ejemplo 3. Un trozo de alambre no conductor de longitud finita L tiene una carga total q, distribuida uniformemente a lo largo de ella. Hallar el potencial V en el punto P en la perpendicular bisectriz en la figura 4.8. Que sucede cuando L → ∞ .

Figura 4.8 El elemento de longitud dq =

r=

λ dx .

Puesto que el elemento está a una distancia

x 2 + y 2 de P, el potencial en P debido a este elemento es

λ dx

dV = K e

x2 + y2

integrando esta expresión se tiene

V = Ke λ ∫

L 2

− 2L

dx x +y 2

2

= 2 Ke λ ∫

dx

L 2

0

x + y2 2

Usando tabla de integrales se tiene

V = 2 K e λ l n( x + x 2 + y 2 ) Evaluando se encuentra:

L 2

0

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⎛L ⎜ + ⎜2 V = 2 K e λ ln⎜ ⎜ ⎝

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⎞ L2 + y2 ⎟ 4 ⎟ ⎟ y ⎟ ⎠

Para L → ∞ el logaritmo diverge, para hallar el potencial es necesario hacer algunas modificaciones. Se escribe para el caso de este limite el potencial como

⎛L V = 2 Keλ lim ln⎜⎜ + L →∞ ⎝2

⎞ L2 + y 2 ⎟⎟ − 2 K e λ ln( y ) 4 ⎠

Definiendo

⎛L V (b) ≡ 2 Keλ lim ln⎜⎜ + L →∞ ⎝2

⎞ L2 + y 2 ⎟⎟ = 2 K e λ lim ln(b) b→∞ 4 ⎠

Por lo tanto la diferencia de potencial entre el punto P y el infinito se puede expresar como

V − V (b) = −2 K e λ ln( y )

(a)

Definiendo la diferencia de potencial entre un punto que se halla a una distancia R del alambre y el infinito como

V ( R ) − V (b) = −2 K e λ ln( R)

(b)

y como se esta interesado únicamente en diferencias de potencial, se obtiene la diferencia de potencial entre el punto P y el punto de referencia R simplemente restando de la ecuación (a) la ecuación (b). Por lo tanto esta diferencia es

(V − V (b)) − (V ( R ) − V (b)) = V − V ( R ) = −2 K e λ ln( y ) + 2 K e λ ln( R )

⎛ y⎞ V − V ( R ) = −2 K e λ ln⎜ ⎟ ⎝ R⎠ Para este caso se escoge el nivel de referencia cero para el potencial en R=1, lo que da V(R=1)=0. Por tanto, se tiene que el potencial medido respecto a este nivel de referencia es

V = −2 K e λ ln( y ) Lo que realmente se ha hecho es el proceso de renormalizar el potencial. Debe hacerse notar que en este caso el potencial no es cero en el infinito. Ejemplo 4. Para el alambre de carga q uniformemente distribuida con forma de arco de circunferencia de radio R y que subtiende un ángulo 2θ 0 como en la figura. Halle el potencial eléctrico en el punto P.

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Figura 4.9 El potencial medido respecto al infinito para esta distribución es

V = Ke ∫ con dq =

λ dl = (

q 2θ 0 R

) Rdθ =

dq R

q dθ , entonces 2θ 0 θ

V = Ke

q 0 q dθ = K e ∫ θ0R 0 R

donde se ha tenido encuentra para la integración la simetría del alambre. Ejemplo 5. Determinar el potencial creado por una esfera uniformemente cargada de radio a, con densidad volumétrica de carga ρ , en los puntos r>a, r=a y ra el campo eléctrico E = K e

4.4.

r r r r⎛ q ⎞ VC = − ∫ E ⋅ dl = − ∫ ⎜ K e 2 u$r ⎟ ⋅ (dru$r ) ∞ ∞⎝ ⎠ r r

dr q ⎡ 1⎤ = − K e ∫ 2 = − K e ⎢− ⎥ = K e ∞ r r ⎣ r ⎦∞ r

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Este resultado es familiar, pues, es equivalente al producido por una carga puntual. O sea, para r>a la distribución de carga se puede reemplazar por una carga puntual situada en el centro de la distribución. Puesto que el potencial debe ser continuo en r=a, se puede obtener el potencial en la superficie de la esfera a partir de la expresión obtenida anteriormente. Entonces el potencial en el punto B de la figura es

VB = Ke

q a

v

v

Para rR el potencial V = K e Q r .

La figura 4.14 muestra el campo y el potencial eléctrico como una función de r. Finalmente notemos, que la densidad de carga tiende a ser mayor en superficies conductoras aisladas, cuyos radios de curvatura sean pequeños, y lo mismo ocurre a la inversa. La densidad de carga tiende a ser relativamente alta en las puntas y menor en las regiones planas de superficies conductoras. La intensidad del campo eléctrico

v E en puntos colocados arriba de una superficie cargada es proporcional a la densidad v de carga superficial σ , de manera que E puede alcanzar valores muy elevados cerca

de puntas afiladas. Una aplicación es que los pararrayos se construyen con puntas afiladas para neutralizar las nubes cargadas y así evitar los rayos.