HAZ DE PLANOS HAZ DE PLANOS PARALELOS Dado un plano, por ejemplo, π : 3x 4 y 2 z 1 0 cuyo vector normal es n 3, 4, 2 ,
cualquier otro plano que tenga el mismo vector normal será un plano paralelo a . El plano π1 : 3x 4 y 2 z 5 0 es un plano paralelo a , es decir, π1 π . Todos los planos de la forma
3x 4 y 2 z k 0 con k
serán planos paralelos a . Todos estos planos forman un haz de planos paralelos.
El conjunto de los planos de ecuación general Ax By Cz k 0 donde k es un parámetro variable, es un haz de planos paralelos entre sí. El haz de planos paralelos queda determinado por un vector normal, n A, B, C .
Este vector será un vector director de todas las rectas perpendiculares a los planos del haz. Ejercicio Determina la ecuación general del plano paralelo al plano de ecuación 2 x 3 y 5 z 10 0 y pasa por el punto P 1, 1, 3 .
Cualquier plano paralelo al dado será de la forma 2 x 3 y 5z k 0 (Haz de planos paralelos) Para que pase por el punto P, tiene que cumplirse P π 2 1 3 1 5 3 k 0 14 k 0 k 14
El plano pedido es
2 x 3 y 5 z 14 0
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HAZ DE PLANOS SECANTES
Dada una recta r del espacio, el conjunto de todos los planos que la contienen recibe el nombre de haz de planos de arista r.
Conocidas las ecuaciones generales de dos de los planos de un haz: π1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 y π 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 la arista será la recta r dada por sus ecuaciones cartesianas como intersección de estos A x B1 y C1 z D1 0 A B C con R 1 1 1 2 r: 1 A2 x B2 y C2 z D2 0 A2 B2 C2 Cualquier otro plano perteneciente al mismo forma con los anteriores un conjunto de tres planos secantes en una recta. Si la ecuación del nuevo plano del haz es π : Ax By Cz D 0 será A B C D R A1 B1 C1 D1 2 A2 B2 C2 D2 La primera fila tiene que ser combinación lineal de las otras dos, ya que estas son linealmente independientes por tratarse de dos planos secantes.
A
B C D A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2
Esta igualdad permite escribir la ecuación de todos los planos del haz a partir de las ecuaciones de dos planos cualesquiera que pertenecen al mismo. Dada la recta A x B1 y C1 z D1 0 r: 1 A2 x B2 y C2 z D2 0 la ecuación general del haz de planos de arista r es α A1 x B1 y C1 z D1 β A2 x B2 y C2 z D2 0
donde y son parámetros que pueden variar en el conjunto de los números reales dando lugar, en cada caso, a uno de los planos del haz.
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Considerando el caso α 0 y dividiendo entre , se tiene β A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0 α β y llamando γ el haz de planos queda de la forma α A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0
con un solo parámetro. Hay que tener en cuenta que en esta forma queda excluido un plano, el correspondiente al caso α 0 , que se corresponde con el segundo plano de la recta. Así el haz de planos habría que darlo A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0 y A2 x B2 y C2 z D2 0 Esta otra forma tiene la ventaja de usar solo un parámetro.
Ejercicio Calcula la ecuación general del plano que contiene a la recta 3x 2 y z 3 0 r : x 2y z 2 0 y al punto P 3, 2, 2 .
El plano pedido es un plano del haz de planos de arista r, por lo que se puede obtener de la ecuación del haz. Como el punto P no pertenece al segundo de los planos de la recta, podemos usar la expresión reducida del haz de planos (un parámetro). Haz de planos de arista r 3 x 2 y z 3 λ x 2 y z 2 0 De todos los planos del haz queremos el que pasa por el punto P. Por lo tanto el punto verificará su ecuación: 3 3 2 2 2 3 λ 3 2 2 2 2 0 6 7λ 0 6 λ 7 El plano buscado es 6 3 x 2 y z 3 x 2 y z 2 0 7 Quitando el denominador 7 3 x 2 y z 3 6 x 2 y z 2 0 y reduciendo tenemos
21x 14 y 7 z 21 6 x 12 y 6 z 12 0
15 x 26 y 13 x 33 0
También se puede resolver utilizando la ecuación del haz con los dos parámetros.
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La ecuación del haz de planos con dos parámetros es 3 x 2 y z 3 x 2 y z 2 0
Imponiendo que pase por el punto P 3, 2, 2 se tiene: 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 0
6 7 0 Cualquier par de valores de y que cumplan esa relación nos dará el plano pedido. Despejando , 6 α 7 Para α 7 se tiene 6 , y el plano será 7 3 x 2 y z 3 6 x 2 y z 2 0
21x 14 y 7 z 21 6 x 12 y 6 z 12 0 15 x 26 y 13 x 33 0
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El problema también puede resolverse tomando un punto y un vector director de la recta, y el vector determinado por ese punto de la recta y el punto P. 3 x 2 y z 3 0 P 3, 2, 2 r : x 2y z 2 0 Para obtener un punto y un vector director de r podemos expresar sus ecuaciones en forma paramétrica. 3 2 8 0 tomamos x e y como incógnitas y z como parámetro. Teniendo en cuenta que 1 2
3x 2 y 3 λ zλ x 2y 2 λ E1 E2
E1 3E2
3 x 2 y 3 λ 1 x 2y 2 λ x 4 4x 1
3x 2 y 3 λ 9 4λ 3x 6 y 6 3λ y 8 8 y 9 4λ
1 x 4 1 9 1 9 A , , 0 9 1 A , , 0 4 8 r : 4 8 r :y λ r : 8 2 u 0, 1 , 1 v 0, 1, 2 λ z 2 Podemos tomar como vector director v 2u 1 9 13 7 A , , 0 4 8 AP , , 2 4 8 P 3, 2, 2 Como vector director podemos tomar w 8 AP w 26, 7, 16
El plano buscado queda determinado por
P 3, 2, 2 π : v 0, 1, 2 w 26, 7, 16
y su ecuación general será x 3 y 2 z 2 0 1 2 0 7 26 16
1 2 0 2 0 1 x 3 y 2 z 2 0 7 16 26 16 26 7 30 x 3 52 y 2 26 z 2 0 15 x 3 26 y 2 13 z 2 0
15 x 45 26 y 52 13z 26 0 15 x 26 y 13 z 33 0 ELIGE EL MÉTODO I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG
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Otra opción para obtener las ecuaciones paramétricas es aplicar la regla de Cramer. 3x 2 y z 3 0 r : x 2y z 2 0 Teniendo en cuenta que
3 2 8 0 tomamos x e y como incógnitas y z como parámetro. 1 2
x 3x 2 y 3 λ zλ 2 2 λ x y y
3 λ 2 2 λ 2 6 2λ 4 2λ 2 1 8 8 8 4 3 3 λ 1 2 λ 6 3λ+3 λ 9 4λ 9 1 λ 8 8 8 8 2
Las ecuaciones paramétricas de r son 1 x 4 9 1 r :y λ 8 2 z λ
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