el conjunto de puntos del espacio que notaremos por A, B, Dados dos puntos A, B de E

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II UNIDAD 8 VECTORES EN EL ESPACIO. 1. VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO. Sea E3 el conjunto de puntos del espacio ...
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IES Padre Poveda (Guadix)

Matemáticas II

UNIDAD 8 VECTORES EN EL ESPACIO. 1. VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO. Sea E3 el conjunto de puntos del espacio que notaremos por A, B, C ,K Dados dos puntos A, B de E3 , se llama vector fijo de origen A y extremo B al par ordenado

( A, B ) . Se representa por

AB .

Un vector fijo queda determinado por su módulo, dirección y sentido, junto con su origen o punto de aplicación. Recuerda que: B Módulo de AB : longitud del segmento AB . AB Dirección de AB : la de la recta que pasa por A y B. Sentido de AB : sentido del recorrido que se define cuando nos A trasladamos de A a B.

r

Vector fijo nulo 0 : Si A = B y, por tanto, su módulo es cero y carece de dirección y sentido. Vector unitario: todo vector que tenga módulo 1.

2. VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO. Dos vectores fijos AB y CD son equipolentes si tienen la misma dirección, mismo módulo y mismo sentido. Se representa por AB ~ CD. La relación de equipolencia permite clasificar el conjunto de vectores fijos del espacio en “colecciones” de vectores. Cada colección va a ser denominada “vector libre”. Vector libre: Conjunto de vectores fijos equipolentes a uno dado. Se llama “vector libre” porque se puede representar en cualquier punto del espacio, con la única condición de no alterar su módulo, su dirección y su sentido.

r u

r v

B

r r

[ ]

bien, escribiendo el vector fijo AB entre corchetes AB . Dado un vector libre del espacio y un punto O, existe un único representante de este vector que tiene su origen en el punto O. Representamos por V3 al conjunto de los vectores libres del espacio.

[AB] A



r

Un vector libre se representa por letras minúsculas u , v y w, o

r w

OPERACIONES CON VECTORES LIBRES: r r r r a) Suma de vectores libres: Dados u , v ∈ V3 (vectores libres) se define u + v como el vector libre que se obtiene del siguiente modo:

a)

r u

r v

r u

b)

r r u+v

r v

r u r v

r r u+v Regla del paralelogramo

Propiedades: r r r r r r ƒ Asociativa: (u + v ) + w = u + (v + w ) r r r r ƒ Conmutativa: u + v = v + u ƒ ƒ

r

r r

r

r

Elemento neutro: 0 + v = v + 0 = v

r

r

r

r

r

Vector opuesto: v + (− v ) = (− v ) + v = 0

Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 8: Vectores en el Espacio

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Matemáticas II

r

r

b) Producto de un vector por un número real: Dado k ∈ ℜ y u ∈ V3 , se define ku como el vector libre que tiene: r Dirección: misma que u . r r r Módulo: el módulo de u multiplicado por k : ku = k ⋅ u r ⎧Si k > 0 el mismo de u Sentido: ⎨ r ⎩Si k < 0 opuesto al de u Propiedades: r r r r ƒ Asociativa: (k1k 2 )u = k1 (k 2u ) u − 2u r r r r r ƒ Distributiva I: (k1 + k 2 )u = k1u + k 2u 3u 2u r r r r ƒ Distributiva II: k (u + v ) = ku + kv r r ƒ Neutro: 1u = u A (V3 , + ,⋅ℜ ) se le llama espacio vectorial de los vectores libres del espacio. •

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. r r r r Dados u1 , u2 ,K, un ∈ V3 , decimos que el vector u es una combinación lineal de ellos si

r

r

r

r

existen k1 , k 2 ,K, k n ∈ ℜ tales que u = k1u1 + k 2u2 + K + k nun

r

r

r

r

r

r

Ejemplo: Los vectores u = 4 x + 2 y y v = −2 x + y son r r combinaciones lineales de los vectores x e y . •

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. Un conjunto de vectores de V3 , son linealmente independientes si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás. En caso contrario, diremos que son linealmente dependientes. Observaciones: 1. En V3 tendremos a lo sumo tres vectores linealmente independientes. 2. Dos vectores alineados o paralelos (igual dirección) son linealmente dependientes. Dos vectores NO alineados son linealmente independientes. 3. Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano), son linealmente dependientes. Tres vectores NO coplanarios son linealmente independientes. Dado un conjunto de vectores, podemos determinar el máximo número de vectores linealmente independientes que contiene. Este número se denomina rango y se denota por rang.



BASES DE V3 .

r r r

Decimos que tres vectores u1 , u2 , u3 ∈ V3 forman una base de V3 si: a) Forman un sistema de generadores de V3 : Cualquier vector de V3 se puede

r r

r

expresar como combinación lineal de u1 , u2 y u3 .

r r

r

b) u1 , u2 y u3 son linealmente independientes.

r r r

r r r

Si u1 , u2 , u3 ∈ V3 forman una base escribiremos B = { u1 , u2 , u3 } . Propiedad: Tres vectores de V3 linealmente independientes forman una base. r k

r i

Base ortogonal: Base en la que los tres vectores son perpendiculares (ortogonales) entre sí. r j

Base ortonormal: Base ortogonal en la que los tres vectores tienen el mismo módulo

r

r r r

por B = {e1 , e2 , e3 } .

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{r r }

que tomamos como unidad. Se representa por B = i , j , k o bien

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Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 8: Vectores en el Espacio

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Toda base de V3 vendrá dada siempre por tres vectores. Decimos que V3 es un espacio vectorial de dimensión 3. •

COORDENADAS (COMPONENTES) DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE. r r r r r r r Sea B = {u1 , u 2 , u3 } una base de V3 y v = v1u1 + v2u2 + v3u3 , siendo v1 , v2 , v3 ∈ ℜ .

r

A v1 , v2 , v3 se les llama coordenadas o componentes del vector v respecto de la base B , y

r

se expresa v (v1 , v2 , v3 ) .

r

r

r

Las coordenadas de los vectores que forman la base son u1 (1,0,0 ), u2 (0,1,0 ), u3 (0,0,1). Operaciones con coordenadas.

r r ⎧v + w(v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3 ) r r Si v (v1 , v2 , v3 ) , w(w1 , w2 , w3 ) ∈V3 , y k ∈ ℜ ⇒ ⎨ r ⎩kv (kv1 , kv2 , kv3 ) r r ⎧u + v (6,3,3) r r Ejemplo: Si u (2,−3,5), v (4,6,−2 ) ⇒ ⎨ r ⎩2u (4,−6,10) Propiedad:

Tres vectores de V3

r u1 ⎧u (u1 , u2 , u3 ) ⎪r ⎨v (v1 , v2 , v3 ) son linealmente independientes ⇔ u2 r ⎪w u3 ⎩ (w1 , w2 , w3 )

v1

w1

w2 ≠ 0 w3 r r r Es decir, rang (u , v , w) = 3 v2 v3

Observación: En el determinante anterior los vectores también se pueden poner como filas.

r

r

Ejemplo 1: Calcula los valores del parámetro k para que los vectores u (1,1, k ) , v (k , 3,1) y

r w(1,1,1) , expresados en una cierta base, sean linealmente dependientes. 1 k 1 ⎧k = 1 1 3 1 = 0 ⇒ k 2 − 4k + 3 = 0 ⇒ ⎨ ⎩k = 3 k 1 1

r r r

r

r

Ejemplo 2: Las coordenadas de los vectores u , v , w y x en una cierta base son u (1, 2,1) ,

r r r v (2,1, 0 ) , w(0,1, 3) y x (− 3, 3,10 ) . r r r a) Comprueba que u , v y w forman una base. r r r r b) Expresa el vector x como combinación lineal de u , v y w . Solución:

1 2 0 a)

r r r 2 1 1 = −7 ≠ 0 ⇒ u , v y w son lin. independientes ⇒ Forman una base.

1 0 3 r r r r b) x = au + bv + cw ⇒ (− 3, 3,10 ) = a (1, 2,1) + b(2,1, 0 ) + c(0,1, 3) ⇒ Operando e igualando coordenada a coordenada, obtenemos el sistema: a + 2b = −3 ⎫ ⎪ 2a + b + c = 3⎬ ⇒ a = 1, b = −2, c = 3 a + 3c = 10 ⎪⎭ r r r r r Por tanto: x = u − 2v + 3w . Es decir, en esta nueva base x (1,−2,3)

En coordenadas: (− 3, 3,10 ) = (1, 2,1) − 2(2,1, 0 ) + 3(0,1, 3)

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Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 8: Vectores en el Espacio

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3. SISTEMAS DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. 3.1. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Los vectores nos van a permitir asignar coordenadas a los puntos del espacio.

Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto O ∈ E3 llamado origen y

r r r

r r r

una base B = {u1 , u 2 , u 3 } de V3 . Lo representamos por R = {O; u1 , u2 , u3 }.

Nos va a permitir determinar la posición de cualquier punto del espacio asignándole unas coordenadas. r r r Vamos a considerar en lo que sigue un sistema de referencia ortonormal R = O; i , j , k , es

{

r r r decir, los vectores que forman la base B = i , j , k

}

{

}

son unitarios y ortogonales

(perpendiculares) dos a dos. 3.2. VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO P. COORDENADAS DE UN PUNTO P RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA. Un punto P del espacio (P∈ E3 ) determina un vector OP llamado vector de posición del punto P.

r

Z

•P

B son OP( p1 , p2 , p3 ).

OP

Y

O

r

r

Como OP = p1i + p 2 j + p3 k , las coordenadas de OP en la base

Por tanto: Se definen las coordenadas de un punto P respecto al sistema de

{

r r r

referencia R = O; i , j , k

X

} como las coordenadas de su vector de

posición OP . Se escribe P ( p1 , p 2 , p3 ).

Fíjate: Hemos hecho corresponder a cada punto del espacio P un vector de posición OP y una terna de números ( p1 , p2 , p3 ) de ℜ3 que nos permite situarlo en el espacio. Es decir:

E3 ⎯ ⎯→V3 ⎯ ⎯→ ℜ3 P⎯ ⎯→ OP ⎯ ⎯→( p1 , p2 , p3 ) 3.3. COORDENADAS (COMPONENTES) DE UN VECTOR DETERMINADO POR DOS PUNTOS. Z

A OA

AB

B

OB

O

Y

Si A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ) son las coordenadas de dos puntos A y B entonces:

OA + AB = OB ⇒ AB = OB − OA Por tanto las coordenadas (componentes) de AB son: AB(b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 )

X

Ejemplo: Si A(1,−1,4 ) , B (0,2,3) entonces AB(− 1,3,−1) y BA(1,−3,1). 3.4. PUNTOS ALINEADOS. Sean A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ) y C (c1 , c2 , c3 ) .

A, B y C están alineados si AB y BC son proporcionales (linealmente dependientes), es decir, AB = k BC . Ejemplo: Averigua los valores de m y n para que A(4,−1, 3), B(3, 5,1) y C (0, m, n ) estén alineados.

Solución: AB(− 1, 6,−2 ), BC (− 3, m − 5, n − 1)

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Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 8: Vectores en el Espacio

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⎧m − 5 = 3 ⇒ m − 5 = 18 ⇒ m = 23 − 3 m − 5 n −1 ⎪⎪ 6 = = ⇒⎨ A, B, C están alineados ⇒ −1 6 −2 ⎪ n −1 = 3 ⇒ n −1 = −6 ⇒ n = −5 ⎪⎩ − 2 3.5. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. Sean A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ) y M ( x, y , z ) el punto medio del segmento AB.

Queremos obtener las coordenadas del punto medio M de AB .

OM = OA + AM = OA +

B Z

(x, y, z ) = (a1 , a2 , a3 ) + 1 (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ) =

M A

1 AB 2

2

OB OM

OA

O

Y

b −a b −a b −a ⎞ ⎛ = ⎜ a1 + 1 1 , a2 + 2 2 , a3 + 3 3 ⎟ = 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎛a +b a +b a +b ⎞ =⎜ 1 1, 2 2, 3 3⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎛a +b a +b a +b ⎞ M⎜ 1 1 , 2 2 , 3 3 ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2

X

Coordenadas del punto medio de AB Ejemplo: Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(1, 5,−3) y B(1, 3,−1) . Solución: ⎛ 1 + 1 5 + 3 − 3 + (− 1) ⎞ M⎜ , , ⎟ ⇒ M (1, 4,−2 ) 2 2 ⎠ ⎝ 2 3.6. SIMÉTRICO DE UN PUNTO P RESPECTO DE OTRO Q. El simétrico de un punto P respecto de otro Q es un punto P′ de modo que Q es el punto medio

del segmento PP′. Si P ( p1 , p2 , p3 ), Q (q1 , q2 , q3 ), P′( x, y, z ) las coordenadas de P′( x, y , z ) se obtienen fácilmente teniendo en cuenta la fórmula del punto medio:

P

Q

P′

⎧Despejando x, y, z, ⎪ p1 + x p2 + y p3 + z = q1 , = q2 , = q3 ← ⎨se obtienen las 2 2 2 ⎪coordenadas de P´ ⎩

Ejemplo: Halla el simétrico, P′, del punto P (7, 4,−2 ) respecto de Q (3,−11, 7 ) . Solución:

7+ x 4+ y −2+ z = 7 ⇒ x = −1; y = −26; z = 16 ⇒ P′(− 1,−26,16) = 3; = −11; 2 2 2

4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES. r

r

r r

Se define el producto escalar de dos vectores u y v ∈ V3 , y se expresa u ⋅ v como:

r r r r r∧ r u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos (u, v )

r v

Observa que el producto escalar de dos vectores es un número real.

αr

u r r α = (u , v ) ∧

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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. r r r r r Dados u , v ∈ V3 . Sea v ′ la proyección del vector v sobre u .

r v′ r r r r r r cos α = r ⇒ u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α = u ⋅ v ⋅ v r r r r u⋅v = u ⋅ v′ Por tanto:

r v

α r v′

r u

r v′ r r r = u ⋅ v′ v

“El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del segundo sobre el primero”

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR. r r r r 1ª) u ⋅ v = v ⋅ u (Conmutativa) r r r r r r r 2ª) u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w (Distributiva) r r 3ª) u ⋅ u ≥ 0 r r r r r r 4ª) k (u ⋅ v ) = (ku )v = u (kv )

r r

r



vector

r r r

No cumple la propiedad asociativa (u ⋅ v )⋅ w ≠ u ⋅ (v ⋅ w) . Fíjate: el resultado es un vector. vector



EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR. r r r r r Dada una base ortonormal B = i , j , k de V3 y los vectores u (u1 , u2 , u3 ) , v (v1 , v2 , v3 ) entonces

{

(

}

)(

)

r r r r r r r r r r r r r r u ⋅ v = u1i + u 2 j + u3 k ⋅ v1i + v2 j + v3 k = u1v1i ⋅ i + u1v2 i ⋅ j + u1v3i ⋅ k + r r r r r r r r r r r r + u 2 v1 j ⋅ i + u 2 v2 j ⋅ j + u 2 v3 j ⋅ k + u3 v1k ⋅ i + u3 v2 k ⋅ j + u3 v3 k ⋅ k r r r Como B es una base ortonormal, los vectores i , j y k son ortogonales dos a dos y de módulo 1 : r r r r r r r r r r r r i ⋅ j = j ⋅ i = 0, i ⋅ k = k ⋅ i = 0, j ⋅ k = k ⋅ j = 0 r r r r r r i ⋅i = j ⋅ j = k ⋅k =1 Por tanto:

r r u ⋅ v = u1 v 1 + u2 v 2 + u3 v 3 ← Expresión analítica del producto escalar respecto a una base ortonormal.

r

r r

r

Ejemplo: Dados los vectores u (3,−2,0 ) y v (2,1,−4 ) en una base ortonormal. Calcula u ⋅ v . Solución: Aplicamos la expresión analítica del producto escalar:

r r u ⋅ v = (3,−2,0 ) ⋅ (2,1,−4 ) = 3 ⋅ 2 + (− 2 ) ⋅1 + 0 ⋅ (− 4 ) = 6 − 2 − 0 = 4

APLICACIONES. r a) Módulo de un vector u(u1 , u2 , u3 ) .

r r r u = u ⋅ u = u12 + u22 + u32

r r

r2

r∧ r

r2

ya que u ⋅ u = u cos(u , u ) = u { 0º

b) Ángulo formado por dos vectores. r r Dados dos vectores u y v

r r r∧ r u ⋅v cos (u , v ) = r r u ⋅v

r

r r

r

el ángulo que si u ≠ 0, v ≠ 0 ← Permite obtener r r forman u y v

c) Condición de perpendicularidad y paralelismo. r r r r r r r r r r Sean u , v ∈ V3 , u ≠ 0, v ≠ 0 . Entonces u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0 Demostración:

r u

r v

r r r∧ r ⇒ Si u ⊥ v (son perpendiculares u ortogonales) ⇒ α = (u , v ) = 90º ⇒ r r ⇒ cos 90º = 0 ⇒ u ⋅ v = 0 . r r r r ⇐ Si u ⋅ v = 0 ⇒ cos α = 0 ⇒ α = 90º ⇒ u ⊥ v . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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r

r

Forma rápida de obtener un vector v perpendicular a otro u : Se cambian de lugar dos coordenadas y una de ellas, además, de signo. La otra coordenada se hace cero.

r

r

r

r

Ejemplos: a ) u (2,3,6 ) ⇒ v (− 3,2,0 ) b) u (5,−8,4 ) ⇒ v (8,5,0 )

r

r

r r

Dos vectores u y v son paralelos u // v si sus coordenadas son proporcionales.

r

r

r

r

Ejemplo: Las coordenadas de u y v en una base ortonormal son u (1,2,−2 ) y v (2,3,1) . Calcula: a) Su producto escalar, el módulo de cada vector y el ángulo que forman. r r b) El valor de a para que el vector w(2,3, a ) sea ortogonal al vector u . r c) Un vector unitario en la dirección de u . Solución: r r a) u ⋅ v = (1, 2,−2 ) ⋅ (2, 3,1) = 2 + 6 − 2 = 6

r r 2 u = 12 + 2 2 + (− 2) = 9 = 3 v = 2 2 + 32 + 12 = 14 ≈ 3.74 r r r∧ r r∧ r u ⋅v 6 cos (u , v ) = r r = = 0.53 ⇒ (u , v ) = 57 º 41′ 18′′ u ⋅ v 3 14 r r b) u ⋅ w = 0 ⇒ (1, 2,−2 ) ⋅ (2, 3, a ) = 0 ⇒ 2 + 6 − 2a = 0 ⇒ 8 = 2a ⇒ a = 4 r 1 r 1 r ⎛1 2 − 2⎞ c) Vector pedido: u ′ = r ⋅ u = ⋅ (1, 2,−2 ) = ⎜ , , ⎟ . Comprueba que u ′ = 1. 3 u ⎝3 3 3 ⎠

5. PRODUCTO VECTORIAL.r

r

r r

Se define el producto vectorial de u y v como un nuevo vector u × v que verifica: • • •

r r

r∧ r

r r

Módulo: u × v = u ⋅ v ⋅ sen (u , v )

r

r

Dirección: perpendicular a u y a v . r r Sentido: el de avance de un “sacacorchos” que gira de u hacia v .

r

r

r r

r

Fíjate: Si u y v son linealmente dependientes, entonces u × v = 0. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO VECTORIAL. r r r r Dada una base ortonormal B = i , j , k de V3 y los vectores u (u1 , u2 , u3 ) ,

{

}

r r r v (v1 , v2 , v3 ) entonces su producto vectorial u × v viene dado por: r r ⎛u u × v = ⎜⎜ 2 ⎝ v2

u3 u u3 u1 u 2 ⎞ ⎟ ,− 1 , v3 v1 v3 v1 v2 ⎟⎠

Para recordarlo mejor podemos escribir simbólicamente:

r r i j r r u × v = u1 u 2 v1 v2

r k u u3 = 2 v2 v3

u3 r u1 u3 r u1 u 2 r i− j+ k v3 v1 v3 v1 v2

aunque no tenga sentido hablar de un determinante formado por vectores y números.

r

r

Ejemplo: Hallar el producto vectorial de los vectores de coordenadas u (1,−2, 5) y v (2,−1, 3) respecto a una base ortonormal. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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Solución: r i

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r k

r j

r r u×v = 1

−2

5 =

2

−1

3

−2

5 r 1 i − 3 2

−1

5 r 1 j+ 3 2

r r r −2 r r r k = − i + 7 j + 3 k ⇒ u × v (− 1, 7 , 3 ) −1

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL. r r r r 1ª) u × v = −(v × u ) (Anticonmutativa)

r

r r

2ª) u × u = 0 (Son linealmente dependientes) r r r r r r r 3ª) u × (v + w) = (u × v ) + (u × w) (Distributiva)

r r

r

r

r

r

4ª) k (u × v ) = (ku )× v = u × (kv ), con k ∈ ℜ No cumple, en general, la propiedad asociativa.

APLICACIONES. a) Interpretación geométrica: Área de un paralelogramo. r r Dados u y v , construimos el paralelogramo ABCD .

r Área = u ⋅ h

(base × altura)

h v

r

Pero sen α = r ⇒ h = v sen α

r r

r r

Con lo cual: Área = u ⋅ v ⋅ sen α = u × v Es decir:

A paralelogramo = AB× AD

r r A paralel ogramo = u × v

r

r

“El módulo del producto vectorial de u y v coincide con el área del paralelogramo construido sobre ellos” b) Área de un triángulo. Sean A, B, C los vértices de un triángulo.

Atriángulo =

1 1 AB × AC . Es decir: Atriángulo = Aparalelogramo 2 2

Ejemplo: Sean A(1,1, 3), B (2, 5,−1) y C (− 4, 3,−2 ) tres vértices consecutivos de un paralelogramo. a)Halla el área del paralelogramo ABCD y la del triángulo ABC. b)Obtén las coordenadas del vértice D. Solución: r r r i j k r r r BA= (−1,−4, 4) ⎫⎪ a) ⎬ BA× BC= −1 − 4 4 =12i − 25j − 22k ⇒ BA× BC= (12,−25,−22) BC= (− 6,−2,−1)⎪⎭ − 6 − 2 −1

Ap = BA× BC = 122 + (− 25) + (− 22) = 1253≈ 35.4 u2 2

2

1 1 BA × BC = 1253 ≈ 17.7 u 2 2 2 b) AD~ BC⇒(x −1, y −1, z −3) = (− 6,−2,−1) ⇒ x = −5; y = −1; z = 2 ⇒ D(− 5, −1 2). At =

c) Obtención de un vector perpendicular a dos vectores dados. r r r r Ejemplo: Las coordenadas de u y v en una base ortonormal son u (0, 3, 4 ) y v (1, 3, 8) . r r Halla un vector perpendicular a u y v . Halla otro vector perpendicular de módulo 5. Solución: Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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r

r r

r

r

Por definición de producto vectorial, w = u × v es un vector perpendicular a u y v :

r r r i j k r r r r r r r r r w = u × v = 0 3 4 = 12i + 4 j − 3k ⇒ w(12, 4,−3) es perpendicular a u y v . 1 3 8 r r Calculemos ahora un vector perpendicular a u y v de módulo 5. r r 5 r 5 ⎛ 60 20 15 ⎞ 2 w = 12 2 + 4 2 + (− 3) = 13 ; w′ = r ⋅ w = ⋅ (12, 4,−3) = ⎜ , ,− ⎟ 13 w ⎝ 13 13 13 ⎠

6. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES. r r

r

r r r

Se define el producto mixto de tres vectores u, v y w , y se expresa [u , v , w] , como el número real:

[ur ,vr, wr ] = ur ⋅ (vr × wr ) EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO MIXTO. r r r Si u (u1 , u2 , u3 ) , v (v1 , v2 , v3 ) , w(w1 , w2 , w3 ) son tres vectores dados por sus coordenadas

{r r } r

respecto a una base ortonormal B = i , j , k de V3 entonces:

u1 r r r [u , v , w] = v1

u2 v2

u3 v3

w1

w2

w3

r r r r r r r w(1,1, 2 ) . Calcula [u , v , w] .

r

r

Ejemplo: Las coordenadas de u , v y w en una base ortonormal son u (3,−1, 2 ), v (− 2, 5,1) y

a)Utilizando la definición de producto mixto. b)Usando la expresión analítica del producto mixto. Solución: r r r r r r r r a) v × w(9, 5, − 7 ) ⇒ [u , v , w] = u ⋅ (v × w ) = (3, − 1, 2 ) ⋅ (9, 5, − 7 ) = 27 − 5 − 14 = 8 Hacerlo

3 −1 2 r r r b) [u , v , w] = − 2 5 1 =8 1

1 2

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTO. r r r r r r r r r 1ª) [u , v , w] = [w, u , v ] = [v , w, u ]

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 3ª) [u1 + u 2 , v , w] = [u1 , v , w] + [u 2 , v , w] r r r r r r r r r r r r 4ª) k [u , v , w] = [ku , v , w] = [u , kv , w] = [u , v , kw], con k ∈ ℜ 2ª) [u , v , w] = −[u , w, v ] = −[w, v , u ] = −[v , u , w]

APLICACIONES. a) Interpretación geométrica: Volumen de un paralelepípedo.

r r r V paralelepípedo = [u, v , w ]

r r

r

“El valor absoluto del producto mixto de u , v y w coincide con el volumen del paralelepípedo construido sobre ellos”

r

r

r

r r

Demostración: V p = Abase × h = v × w ⋅ h = v × w ⋅ u cos α

r h cos α = r ⇒ h = u cos α u r r r r r r r r r Pero [u , v , w] = u ⋅ (v × w) = u ⋅ v × w cos α

r r r ⇒ V paralelepípedo = [u , v , w]

Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 8: Vectores en el Espacio

IES Padre Poveda (Guadix)

Matemáticas II

r

Ejemplo 1: Halla el volumen del paralelepípedo definido por los vectores u (− 5,1, 7 ) ,

r r v (4, 7, 3) y w(1, 0, 4 ) .

−5 1 7 r r r [u , v , w] = 4 7 3 = −202 ⇒ V p = 202 u 3 1 0 4 Ejemplo 2: Halla el volumen del paralelepípedo ABCDEFGH sabiendo que las coordenadas de los vértices A, B, D y E son A(5, 3,−3), B(3, 4,−2 ), D (4,−1,−3) y E (5,1, 3) . Solución: r u = AB (− 2,1,1) ⎫ −2 1 1 ⎪⎪ r r r r v = AD (− 1,−4, 0 )⎬ [u , v , w] = − 1 − 4 0 = 56 r ⎪ 0 −2 6 w = AE (0, − 2, 6 ) ⎪ ⎭

⇒ V p = 56 u 3 b) Volumen de un tetraedro. Si A, B, C , D son los vértices de un tetraedro, entonces:

Vt = 13 Abt ⋅ ht

1 Vtetraedro = V paralelepípedo Es decir: 6 1 Vtetraedro = AB, AC , AD 6

[

]

Abt = 12 Abp ⎫⎪ ⎬ ht = h p ⎪⎭ Ejemplo: Halla el volumen del tetraedro cuyos vértices son Vt = 13 ⋅ 12 Abp ⋅ h p A(1,1,−5) , B(3, 3,−2 ) , C (2,−3,−1) y D(1, 2, 3) . Vt = 61 V p Solución: r u = AB(2, 2, 3) ⎫ ⎪⎪ r v = AC (1,−4, 4 )⎬ r ⎪ w = AD (0,1, 8) ⎪ ⎭ 1

1

6

6

⇒ Vt = V p =

2 2 3 r r r [u , v , w] = 1 − 4 4 = −85 0 1 8

− 85 =

85 6

u3

[

]

c) Cuatro puntos A, B, C, D son coplanarios si AB , AC , AD = 0 (“No hay volumen”) Tres vectores son coplanarios si su producto mixto es nulo. r r r Ejemplo: Halla el valor de x para que los vectores u (3,−5,1), v (7, 4, 2 ) y w(1, 3, x ) sean coplanarios. Solución:

3 −5 1 r r r [u , v , w] = 7 4 2 = 12 x − 10 + 21 − 4 − 18 + 35 x = 47 x − 11 = 0 ⇒ x = 11 47 1 3 x

Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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Bloque III: Geometría Unidad 8: Vectores en el Espacio