Ejercicios Tema 3 Variables aleatorias 1. Si consideramos el lanzamiento de tres monedas no trucadas, calcula la función de distribución de la variable X que cuenta el número de caras obtenido en el lanzamiento de las tres monedas y representa gráficamente dichas funciones. 2. Un profesor llega cada día a su despacho con igual probabilidad entre las 8 y las 9 horas. a) ¿Cuál es la función de densidad de la variable X = “hora de llegada al despacho”wq b) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue antes de las 8 y media?. c) ¿Cuál es la media de la variable aleatoria?. d) ¿Cuál es la media de la variable aleatoria transformada Y=g(X)=X3. 3. Sea una variable aleatoria con función de densidad: k—(1 − x 2 ) si − 1 < x ≤ 1 f (x ) =  0 en otro caso a) Halla el valor de k. b) Halla la función de distribución de X. c) Calcula P(-0,5≤X≤1). 4. Supongamos que la función de probabilidad del número de erratas, X, que hay en las páginas de un libro de bioquímica es: P(0) = 0,81 P(1) = 0,17 P(2) = 0,02 a) Dibuje la función de probabilidad. b) Calcule y dibuje la función de distribución. c) Halle el número medio de erratas por página. 5. Las llamadas al teléfono de emergencias 112 siguen una distribución de Poisson de media 2 llamadas por minuto. Calcula la probabilidad de que: a) No haya ninguna llamada en un minuto. b) Haya menos de 5 llamadas en un minuto. 6. En un examen de matemáticas, la calificación media fue 7,2 y la desviación típica 1,5. Determinar en unidades estándar las puntuaciones de los alumnos que obtuvieron: a) 6,0. b) 9,3. c) 7,2. d) Hallar la puntuación correspondiente a la puntuación estándar −1. e) Hallar la puntuación correspondiente a la puntuación estándar 1,6.

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7. Un agente de seguros cree que la probabilidad de vender un seguro agrario en un contacto específico con un agricultor es 0,4. Si la variable aleatoria X toma el valor 1 si se vende un seguro y 0 en caso contrario: a) halle la media y la varianza de la distribución. b) Suponga que el agente de seguros contacta con cinco personas y cree que la probabilidad de vender un seguro a cada una es 0,40. Halle la probabilidad de que venda como máximo un seguro. c) En la situación anterior, halle la probabilidad de que venda entre 2 y 4 seguros (inclusive ambos). d) En la situación del apartado b), represente gráficamente la función de probabilidad. 8. Sea la siguiente función de densidad: 2 - 2—x si x ∈ [0,1] f (x ) =  0 en otro caso a) b) c) d) e)

Verifica que es en efecto una función de densidad. Calcula su función de distribución. Calcula la probabilidad de que esté entre los valores ¼ y ½. Calcula su valor esperado. Calcula su varianza.

9. Un concesionario de tractores calcula la proporción de tractores nuevos vendidos que se han devuelto para que se corrijan los defectos durante el período de garantía. La tabla adjunta muestra los resultados: Nº de devoluciones 0 1 2 3 4

Proporción 0,28 0,36 0,23 0,09 0,04

a) Dibuje la función de probabilidad. b) Calcule y dibuje la función de distribución. c) Halle la media del número de devoluciones de un tractor para que se corrijan los defectos durante el período de garantía. d) Halle la varianza del número de devoluciones de un tractor para que se corrijan los defectos durante el período de garantía. 10.Sea el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de una moneda dos veces. Se considera la variable aleatoria X: “número de caras obtenidas”. a) ¿Cuáles son los posibles resultados del experimento?. b) Calcula la función de masa de probabilidad. c) Calcula el valor esperado. d) Calcula su varianza. 2

11.Sabemos que el número de latas defectuosas envasadas que fabrica una determinada industria agroalimentaria sigue una distribución binomial con P = 0,05. Si tomamos una muestra de 100 latas, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de dos latas defectuosamente envasadas?. 12.En un juego se disponen 15 globos llenos de agua, de los que 4 tienen premio. Los participantes en el juego, con los ojos vendados, golpean los globos con un palo por orden hasta que cada uno consigue romper 2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer participante consiga un premio?. b) Si el primer participante ha conseguido sólo un premio, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo participante consiga otro?. 13.Dada una variable aleatoria continua con función de densidad:

3—x2 si 0 ≤ x ≤ 2  f (x ) =  8 0 en otro caso a) Halla la función de distribución de X. b) Calcule la probabilidad de que la variable X tome valores entre 1,5 y 2. 14.Si un estudiante responde al verdadero o falso: a) ¿Cuál es la probabilidad b) ¿Cuál es la probabilidad c) ¿Cuál es la probabilidad

azar a un examen de 8 preguntas de de que acierte 4?. de que acierte 2 o menos?. de que acierte 5 o más?.

15.Una cierta área de EEUU se ve afectada, en promedio, por 6 huracanes al año. Si el número de huracanes sigue una distribución de Poisson, encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área se vea afectada por: a) Menos de 4 huracanes. b) Entre 6 y 8 huracanes. c) Represente la función de probabilidad de la variable aleatoria que mide el número de huracanes por año. 16.Suponga que es el responsable de la venta de las plazas de avión de una gran compañía aérea. Cuatro días antes de la fecha del vuelo, quedan 16 plazas libres. Sabemos por experiencia que el 80% de las personas que compran un billete en este período de tiempos se presentan el día del vuelo. a) Si vende 20 billetes más, ¿cuál es la probabilidad de que el número de personas que se presentan sea mayor que el de lazas o de que haya al menos una plaza libre?. b) Si vende 18 billetes más, ¿cuál es la probabilidad de que el número de personas que se presentan sea mayor que el de plazas o de que haya al menos una plaza libre. 3

17.La variable X: “número de hijos varones de una familia de dos hijos”, puede tomar los valores 0, 1 y 2. a) Se desea calcular la probabilidad de que X tome cada uno de sus valores posibles, suponiendo que la probabilidad de que un hijo sea varón es 0,49 y en el supuesto de que los sucesos sean independientes. b) Calcula y dibuja la función de masa de probabilidad. c) Calcula y dibuja la función de distribución. 18.Se selecciona aleatoriamente una bombilla de una caja que contiene 5 bombillas de 40, 60, 75, 100 y 125 vatios respectivamente. a) Obtén la función de probabilidad de la variable que representa los vatios de la bombilla extraída. b) Calcula el valor esperado de la misma. c) Calcula su varianza. 19.Se sabe por experiencia que sólo el 30% de los alumnos que inician sus estudios en cierta carrera los terminan en el plazo prefijado de cuatro años. Se toman en este momento 8 alumnos al azar que han iniciado este curso dichos estudios. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos terminen sus estudios en el plazo previsto de cuatro años?. b) ¿Cuántos alumnos se espera que terminen los estudios en el plazo prefijado?. 20.Una variable aleatoria continua X con valores entre 0 y 4 tiene una función de densidad dada por f(x)= ½ − a—X, donde a es una constante. a) Calcular a. b) Hallar P(1 < X < 2). 21.Para la distribución de probabilidad que muestra la siguiente tabla: X 8 12 16 20 24

P(x) 1/8 1/6 3/8 1/4 1/12

a) Hallar E(X). b) Hallar E(X2). c) Hallar E[(X − µ)2]. 22.Se lanza un dado no trucado 120 veces. Hallar la probabilidad de que salga el 4 (plantea el problema como una distribución binomial y resuélvelo con la aproximación normal): a) 18 veces o menos. b) 14 veces o más.

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23.Un 10% de las herramientas producidas en una fábrica son defectuosas. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 10 herramientas tomadas el azar exactamente 2 sean defectuosas, usando: a) La distribución binomial. b) La aproximación de Poisson a la distribución binomial. 24.Suponiendo que la probabilidad de nacer un chico es ½, hallar la probabilidad de que en una familia con 4 hijos haya a) Al menos un chico. b) Al menos un chico y una chica. 25.Suponiendo una distribución normal tipificada, calcula: a) El área bajo la curva de la función de densidad entre z = 0 y z = 1,2. b) El área bajo la curva de la función de densidad entre z = −0,68 y z = 0. c) El área bajo la curva de la función de densidad entre z = −0,46 y z = 2,21. d) El área bajo la curva de la función de densidad entre z = 0,81 y z = 1,94. e) El área bajo la curva de la función de densidad a la izquierda de z = −0,6. f) El área bajo la curva de la función de densidad a la derecha de z = −1,28. g) El área bajo la curva de la función de densidad a la derecha de z = 2,05 y a la izquierda de z = −1,28. h) Determina el valor de z tal que el área bajo la curva de la función de densidad entre 0 y z es 0,3770. i) Determina el valor de z tal que el área bajo la curva de la función de densidad a la izquierda de z es 0,8621. j) Determina el valor de z tal que el área bajo la curva de la función de densidad entre −1,5 y z es 0,0217. 26.Hallar la probabilidad de obtener entre 3 y 6 caras inclusive en 10 tiradas de una moneda, usando: a) La distribución binomial. b) La aproximación normal a la distribución binomial. 27.Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa ante una inyección de cierto suero es 0,001, hallar la probabilidad de que entre 2.000 individuos reaccionen negativamente (distribución de Poisson): a) Exactamente 3. b) Más de 2 de ellos. 28.En una cierta prueba, el 35% de la población examinada obtuvo una nota superior a 6; el 25%, entre 4 y 6, y el 40% inferior a 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, hállese la nota media y la desviación típica. ¿Qué porcentaje de la población tiene una nota que se diferencie de la media en menos de dos unidades?.

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29.En un cierto hospital se comprobó que el peso en kilos de los niños al nacer era una variable aleatoria cuya función de densidad es: k—x si 2 ≤ x ≤ 4 f (x ) =  0 en otro caso Se pide: a) Hallar k para que f(x) sea una función de densidad. b) Hallar la función de distribución. c) Calcular la media, la varianza y la desviación típica. d) Probabilidad de que un niño elegido al azar pese más de 3 kilos. e) Probabilidad de que pese entre 2 y 3,5 kilos. f) ¿Qué debe pesar un niño para tener inferior o igual a su peso el 90% de los niños?. 30.Una variable aleatoria continua X tiene por función de densidad:  k—x 2 si 0 ≤ x ≤ 6  f (x ) =  36 0 en otro caso Se pide: a) Encontrar k para que f(x) sea función de densidad. b) Hallar la función de distribución de X. c) Hallar la media, la varianza y la desviación típica. d) Calcular las probabilidades siguientes: P(0 < X ≤ 1), P(X > 3), P(|X| < 2), P(X ≤ 1,5). 31.Sea X una variable aleatoria continua que tiene por función de densidad:

1 − x si 0 ≤ x < 1  f (x ) =  x − 1 si 1 ≤ x ≤ 2 0 en otro caso  Sean además los sucesos: A = {ω∈Ω | 0 ≤ X(ω) ≤ 1} B = {ω∈Ω | −2 ≤ X(ω) ≤ 2} C = {ω∈Ω | 1/2 ≤ X(ω) ≤ +∞} D = {ω∈Ω | X(ω) = 0, 1/2, 1, 3/2, 2} Se pide: a) Hallar la función de distribución de X. b) Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: A, B, C, D, A I C c , B − C , A U C. 32.El número de piezas defectuosas que produce cierta máquina es de una cada mil. Se toman al azar 3.000 piezas producidas cierta semana. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan 5 piezas defectuosas?. 6

33.Sea X una variable aleatoria discreta que tiene como distribución de probabilidad:

P (X = x ) =

1 10

a = 2,3, K ,11

Se pide: a) Función de distribución. b) P(X > 7). c) P(X ≤ 5). d) P(3 < X ≤ 8). 34.Una variable aleatoria X tiene por función de distribución: 0 si x < 0  2 x si 0 ≤ x ≤ 1  F (x ) =  2 2 2 x − x − 1 si 1 < x ≤ 2  2 1 si x > 2  a) Hallar la función de densidad. b) Calcular la media, la varianza y la desviación típica de X. c) Calcular P(1/2 < X ≤ 3/2). 35.En un cierto hospital se comprobó que la aplicación de un determinado tratamiento en enfermos de cirrosis produce una cierta mejoría en el 80% de los casos. Si se aplica el tratamiento a 8 personas, se pide calcular: a) Probabilidad de que mejoren 5. b) Probabilidad de que mejoren al menos 3. c) Número de personas que se espera que mejoren. ¿Qué nos indica este número?. 36.En una cooperativa, el 20% de los socios tenían asegurados sus cultivos. Una compañía de seguros selecciona 5 socios al azar. Se pide: a) Número de socios que se espera que tengan asegurados sus cultivos. b) Probabilidad de que 2 socios tengan asegurados sus cultivos. c) Probabilidad de que al menos 3 estén asegurados. d) Probabilidad de que ninguno tenga asegurados sus cultivos. e) Probabilidad de que alguno esté asegurado. 37.Un grupo muy numeroso de estudiantes obtiene unas calificaciones (de 0 a 100) que siguen una distribución normal que tiene una media de 60 y una desviación típica de 15. a) ¿Qué proporción de los estudiantes obtiene una calificación de entre 85 y 95?. b) Halle el punto de corte del 10% superior de todos los estudiantes.

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38.Por prescripción facultativa, un enfermo ha de hacer una toma de 3 píldoras de un determinado medicamento. Se sabe de que las 12 píldoras que contiene el envase, 4 están en malas condiciones. Se pide: a) Probabilidad de que tome sólo una buena. b) Probabilidad de que de las 3 píldoras de la toma, al menos una esté en malas condiciones. c) ¿Cuál es el número de píldoras que se espera tome el enfermo en buenas condiciones en cada toma?. d) Si existe otro envase que contenga 40 píldoras, de las cuales 10 están en malas condiciones, ¿qué envase sería más beneficioso para el enfermo?. 39.Una compañía de seguros agrarios garantiza pólizas de seguros contra una determinada plaga. Una encuesta ha permitido estimar que a lo largo de un año, cada agricultor tiene una posibilidad entre mil de que su cosecha sea víctima de la plaga cubierta por la póliza, y que la compañía podrá vender una media de cuatro mil pólizas de seguros de este tipo al año. Se pide hallar: a) Probabilidad de que el número de cosechas afectadas, cubiertas por la póliza no pase de cuatro por año. b) Número de plagas esperadas por año. c) Probabilidad de que el número de plagas sea superior a dos por año. d) Probabilidad de que ocurran doce plagas por año. 40.Un profesor realiza un test de 10 ítems a una clase, teniendo cada ítem 4 posibles respuestas A, B, C, D, de las cuales sólo una es correcta. Suponiendo que un alumno no se ha preparado para hacer el test y que tiene la misma probabilidad de responder A, B, C o D, se pide hallar las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Contestar todos los ítems mal. b) Contestar al menos 5 ítems bien. c) Contestar entre 4 y 6 bien. d) Contestar todos bien. e) Contestar menos de 3 bien. 41.Un profesor realiza un test de 100 ítems a un curso con 200 alumnos. Suponiendo que las puntuaciones X obtenidas por los alumnos siguen una distribución normal de media 60 puntos y desviación típica 10 puntos, se pide calcular: a) P(X ≥ 70). b) P(X ≤ 80). c) P(X ≤ 30). d) P(X ≥ 46). e) P(39 ≤ X ≤ 80). f) P(80 ≤ X ≤ 82,5). g) P(30 ≤ X ≤ 40). h) P(|X − 60| ≤ 20). i) P(|X − 60| ≥ 30). j) Número de alumnos que obtuvieron al menos 70 puntos.

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42.El número de accidentes que se producen en una fábrica tiene una distribución de Poisson con una media de 4,2 accidentes al mes. ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes elegido al azar haya al menos tres accidentes?. 43.Los dirigentes de una cooperativa deciden otorgar un premio entre los comerciales si venden 320 o más toneladas de cereales por día. El número de toneladas vendidas al día por los comerciales A y B está normalmente distribuido de la forma siguiente: Comercial A B

Media 290 t 300 t

Desv. típica 20 t 10 t

Se pide: a) ¿Qué porcentaje de días obtendrá premio el comercial A?. b) ¿Qué porcentaje de días obtendrá premio el comercial B?. c) ¿A quién de los dos comerciales beneficia la decisión de la empresa?. d) Si se asocian los comerciales A y B, ¿qué porcentaje de los días obtendrían premio?. 44.Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de densidad. 1 − x si 0 ≤ x ≤ 1  f (x ) = k si 2 ≤ x ≤ 3 0 en otro caso  a) Calcula el valor de k para que f(x) sea realmente una función de densidad. b) Calcula la función de distribución. c) Calcula la media de X. d) Calcula la media de la variable transformada Y = 12—X. e) Calcula la media de la variable transformada Y = 7/12 + X. 45.Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de distribución: 0 si x < 1  F (x ) =  x − 1 si 1 ≤ x < 2 1 si x ≥ 2  a) Calcula su media. b) Calcula su varianza. 46.El número medio de vehículos por minuto que llegan a una gasolinera es igual a 2. a) Si la llega de vehículos sigue una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen 5 vehículos?. b) ¿Y de que en 5 minutos no llegue ninguno?.

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47.Un autobús pasa por cierta parada cada 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un señor que llega en un momento dado tenga que esperar el autobús más de 5 minutos?. 48.El contenido de un tipo de barriles de cerveza se distribuye normalmente con media 25 kg y desviación típica 0,25 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que un barril tenga más de 25,3 kg?. 49.Un director de producción sabe que el 5% de los componentes producidos en un determinado proceso de producción tiene algún defecto. Se examinan 6 de estos componentes, cuyas características puede suponerse que son independientes entre sí: a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos componentes tenga un defecto?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos componentes tengan un defecto?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estos componentes tenga un defecto?. 50.Una empresa instala invernaderos y ha observado que en el 15% de todas las instalaciones es necesario volver para hacer algunas modificaciones. Suponga que los resultados de estas instalaciones son independientes. La última semana ha hecho 10 instalaciones. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en todos estos casos?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea necesario volver en ninguno de estos casos?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en más de uno de estos casos?. 51.Una empresa se dedica a la preparación de sacos para el cultivo de champiñones. Al cambiar el proceso de producción se ha observado que el 90% de los sacos son satisfactorios según los controles de calidad. Si se toma una muestra de 4 sacos, a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los sacos sean correctos?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean incorrectos?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 sean correctos?. 52.Una empresa produce sacos de semillas y le preocupa la cantidad de impurezas que contienen. Se cree que el peso de las impurezas por saco sigue una distribución normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviación típica de 2,8 gramos. Se elige aleatoriamente un saco, a) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?. d) Es posible deducir, sin realizar los cálculos detallados, cuál de las respuestas a los apartados a) y b) es mayor. ¿Cómo?. 10

53.Se han comprado 400 botellas de vino de las cuales 200 son D.O. Navarra. Se han colocado sin ningún orden en la bodega. Si se toman 15 botellas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 8 sean D.O. Navarra?. 54.Una empresa desea contratar 12 nuevos trabajadores. Se presentan 50 candidatos, de los cuales 25 son mujeres. Si se eligen a sorteo entre los candidatos, ¿cuál es la probabilidad de elegir exactamente 5 mujeres?. 55.Sabemos que de un directorio de 80 industrias agroalimentarias, 42 de ellas están contratando trabajadores. Si mandamos nuestro currículo a 20 de ellas, ¿cuál es la probabilidad de que justo 9 de ellas estuvieran buscando trabajadores?. 56.Un analista ha predicho que el 3,5% de todas las empresas del sector agroalimentario quebrará el próximo año. Suponiendo que la predicción del analista es correcta, estime la probabilidad de que el próximo año quiebren al menos 3 empresas del sector agroalimentario de una muestra aleatoria de 100. 57.Una vendedora de seguros agrarios se pone en contacto por teléfono con posibles clientes en un intento de averiguar si es probable que merezca la pena ir a su casa a verlos. Su experiencia sugiere que en el 40% de los contactos iniciales acaba yendo a cada del cliente. Si se pone en contacto con 100 personas por teléfono, ¿cuál es la probabilidad de que vaya a ver a entre 45 y 50 personas?.

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