Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: 1.- Sea la curva paramétrica definida por a) Halle
, con
.
.
Solución:
b) ¿Para qué valor(es) de
, la curva tiene recta tangente vertical?
Solución:
2.- Halle para
:
a) Solución:
b) La ecuación de la recta tangente a , en el punto Solución:
3.- Si Solución:
, verifique que es solución de la ecuación
.
4.- Determine la derivada de Solución:
5.- Determine la derivada
para la curva
Solución:
6.- Dada la función
determine:
a) Solución:
b) La ecuación de la recta tangente a Solución:
7.- Calcule el límite: Solución:
en
8.- Halle
si
.
Solución:
9.- Para la curva definida en forma paramétrica: valores de donde la recta tangente es vertical.
halle el o los
Solución:
10.- Considere la función . Calcule que
, donde .
Solución:
11.- Determine Solución:
, si existe, para
.
es una función diferenciable tal
12.- Obtenga
si
.
Solución:
13.- Calcule, si existe, el valor de
de modo que
satisfaga la ecuación:
Solución:
14.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva, dada a través de la ecuación: en el punto Solución: La ecuación de la recta tangente a la curva, descrita por tiene la forma , donde la pendiente valorada en .
15.- Determine si existe o no el
Solución:
para:
el punto es la derivada de la función
16.- Dada la curva
, hallar:
a) Solución:
b) La ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto Solución:
17.- Dado
, hallar:
a) Solución:
b) Solución:
c) Máximos y mínimos absolutos Solución:
18.- Sea
Determine el valor de L para que
sea continua en
.
Solución:
19.- Calcule, si existe: Solución:
20.- Determine . Solución:
y
tal que:
sea continua en
y
21.- Calcule
para
e
, con
constante.
Solución:
22.- Calcule
para
.
Solución:
23.- Dada la curva
, determine la ecuación de la recta tangente en
.
Solución:
24.- Determine el punto donde la recta normal a la elipse intercepta por segunda vez.
en
la
Solución:
25.- Una bola de nieve esférica se funde de tal modo que su volumen se reduce a una . Con qué velocidad disminuye el diámetro cuando mide 10 cm. velocidad de Solución:
26.- Calcular: Solución:
27.- Calcular la derivada de: Solución:
28.- Encuentre los valores extremos relativos y absolutos de la función en el intervalo . Solución:
definida por
29.- Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva punto de intersección con la recta . Solución:
30.- Calcular: Solución:
31.- Hallar
para la curva dada implícitamente por:
Solución:
32.- Hallar Solución:
para:
en el
33.- Una bola de nieve se derrite tal que el área de su superficie disminuye a razón de Hallar la razón en que disminuye el radio, cuando su área es de
.
Solución:
34.- Si
en
.
Solución:
35.- Dada la función
, ¿Qué valores de
, satisfacen la ecuación:
Solución:
36.- Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva: punto Solución:
.
en el
.
37.- Calcule: Solución:
38.- Dada la función: a) Determine los máximos y mínimos relativos de la función Solución:
b) Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento Solución:
c) Determine puntos de inflexión si existen Solución:
d) Determine intervalos de concavidad Solución: Cóncava hacia abajo en Cóncava hacia arriba en 39.- Una escalera de forma horizontal a razón de la escalera se encuentra a
de largo se apoya en una pared. Si la escalera se desplaza en , ¿a qué razón varía el extremo superior cuando el pie de de la base?
Solución:
40.- Encuentre las dimensiones de una caja de base cuadrada, sin tapa cuyo volumen es de y su superficie sea mínima. Solución:
41.- Sea donde son números reales constantes. Determine el valor de dichas constante de tal forma que se verifique la condición:
Solución:
42.- Sea
la función definida por:
a) Determine los intervalos del dominio de decreciente
en donde la función es creciente y donde es
Solución:
b) Determine, si existen, los valores extremos de la función f Solución:
43.- Sea
dada por:
a) Determine el dominio de Solución:
b) Calcule:
Solución:
c) Encuentre Solución:
44.- La cantidad de jóvenes de una Universidad, que se inscriben para participar en actividades de ayuda a la comunidad en cierto año se modela mediante la función , donde denota los meses del año numerados del al , desde Enero, ¿En qué mes se produjo el máximo de jóvenes inscritos? ¿Cuál fue el número máximo? Solución:
350 300 250 200 F(x)=x^3-15x^2+63x
150 100 50 0 1
2
3
4
5
45.- Calcule la derivada de: Solución:
6
7
8
9
10 11 12
46.- Encuentre números reales :
Solución:
47.- Si
:
a)
Determine
y
Solución:
b) Demuestre que Solución:
y
de modo que la siguiente función
sea continua en
48.- Calcule la derivada de: Solución:
49.- Calcular
de:
Solución:
50.- Determinar los coeficientes de tal manera que la curva por el punto y la recta tangente en sea paralela a la recta Solución:
51.- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la ecuación , en un punto donde la abscisa sea el valor opuesto a la ordenada. Solución:
pase .
52.- Pruebe que: Solución:
53.- Pruebe: Solución:
54.- Derive aplicando teoremas: Solución:
55.- Dada la función: a) Determine para que valores de anula. Solución:
en el dominio de la función
se verifica que
se
b) Determine para que valores de existe.
en el dominio de la función
se verifica que
no
Solución:
56.- Dada la función cuya abscisa es
determine la ecuación de la recta tangente y recta normal en el punto .
Solución:
57.- Pruebe que la función
es constante.
Solución:
58.- En la fabricación y venta de unidades de cierto bien, el precio por artículo esta dado por (dólares) con un costo total anual de (dólares). Determine el nivel de producción que producirá la máxima utilidad. Solución: