EJERCICIOS PARA REPASAR EL TEMA SE SEMEJANZA 1. Un muro proyecta una sombra de 32 m al mismo tiempo que un bastón de 1,2 m proyecta una sombra de 97 cm. Calcula la altura del muro. Solución: Puesto que se trata de triángulos semejantes, se debe cumplir que sus lados son proporcionales:

x 32  1,2 0,97

x de donde 1,2 m 32 m

x

32·1,2  39 ,6 m 0,97

0,97 m

2. Un cuadrilátero tiene de lados 3, 4, 7 y 8 cm. El lado menor de otro cuadrilátero semejante a él mide 32 cm. Halla la razón de semejanza del cuadrilátero grande respecto al pequeño y la medida de los otros lados. Solución: Si dividimos los dos lados correspondientes de los que conocemos su medida, se obtiene que la razón de semejanza es: 32 r  10 ,7 3 Y, con este valor podemos calcular el resto de las medidas:

32 3 7

4 8

El lado correspondiente a 4 será: 42,8 cm El lado correspondiente a 7 será: 74,9 cm El lado correspondiente a 8 será: 85,6 cm

3. Observa las figuras y calcula x e y.

3,5

1

y

2,3

4

x

Solución: Estableciendo la proporcionalidad de los lados correspondientes se tiene que:

2,3 y  1 3,5

de donde

y  2 ,3··3,5  8,75

2,3 x  1 4

de donde

x  2,3·4  9,2

4. Calcula el área de las siguientes figuras:

Calculamos en primer lugar la longitud que necesitamos en cada caso:

x  7,52  4,52  6

y  15 2  12 2  9

z  17 2  8 2  15

Por lo tanto, el área de cada figura será:

A

b·a 4,5·6  11,2 cm2 2 2

A

D·d 24·18   216 cm2 2 2

A

B  b·h  24  16 ·15  300 cm2 2

2

5. Halla el área de la zona sombreada:

5

cm

Solución: El área sombreada se obtendrá de restar el área del cuadrado al área del círculo. Para hallar el área del cuadrado necesitamos conocer su lado. Para ello, podemos considerar el triángulo rectángulo de la figura y calcular, así, el lado del cuadrado:

5

cm

x  52  52  50 cm

y con este valor, el área del cuadrado es: ACuad. =

 50   50 cm 2

x 2

También se podría haber considerado el cuadrado como un rombo de diagonal 10 cm, y su área sería: ARombo. =

D·d 10·10   50 cm2 2 2

Como, por otra parte, el área del círculo es: El área de la zona sombreada será:

ACirc.= r 2  3,14·52  78,5 cm2

A = 78,5 – 50 = 28,5 cm2

5

cm

6. Halla el área de esta figura

Solución:

Calculamos por separado las áreas de un cuadrado de lado 5 m, un rectángulo de base 30 m y altura 5 m y un triángulo de base 15 m y altura 15 m. ACuad = l 2  52  25 m2 ARectang = b  h  30  5  150 m2 b  h 15  15 225 ATriáng =    112 ,5 m2 2 2 2 ATotal = 25 + 150 + 112,5 = 287,5 m2

7. Halla el área de esta figura

Calculamos por separado las áreas de un triángulo de base 4 m y altura 9 m y dos trapecios, el primero con bases 9 m y 18 m, respectivamente, y altura 11 m, y el segundo de bases 18 m y 14 m y altura 7 m.

b  h 4  9 36    18 m2 2 2 2  B  b  h 18  9  11 27  11 ATrapecio =    148 ,5 m2 2 2 2 B  b  h  18  14   7  32  7  112 m2 ATrapecio = 2 2 2 ATotal = 18 + 148,5 + 112 = 278,5 m2 ATriáng =

8. Halla las dimensiones de este campo de fútbol de medidas 4 cm y 2,5 cm en el dibujo.

Largo: 4 cm ∙ 3000 = 12000 cm = 120 m Ancho: 2,5 cm ∙ 3000 = 7500 cm = 75 m

9. Calcula las dimensiones de un triángulo semejante a otro (y más grande) cuyos lados miden 6 cm, 12 cm y 15 cm si la razón de semejanza es 3. Los lados medirán 6 ∙ 3 = 18 cm, 12 ∙ 3 = 36 cm y 15 ∙ 3 = 45 cm 10. Calcula las dimensiones de un triángulo semejante a otro (y más pequeño) cuyos lados miden 6 cm, 12 cm y 15 cm si la razón de semejanza es 3.

Los lados medirán 6 : 3 = 2 cm, 12 : 3 = 4 cm y 15 : 3 = 5 cm

11. Los seis lados de un hexágono miden 13, 14, 15, 17, 19 y 20 cm. Un lado de otro hexágono semejante mide 80 cm. Si la razón de semejanza es un número entero, ¿cuánto miden los demás lados?

Para que la razón de semejanza sea un número entero el lado de 80 cm se corresponderá con el de 20, es decir, la razón de semejanza será 4 y la medida de los lados será 13 ∙ 4 = 52 cm, 14 ∙ 4 = 56 cm, 15 ∙ 4 = 60 cm, 17 ∙ 4 = 68 cm, 19 ∙ 4 = 76 cm y el que nos dan 20 ∙4 = 80 cm.

12. Dibuja un rectángulo de medidas 8 cm de base y 6 cm de altura. Añádele 3 cm en cada lado, ¿obtienes un rectángulo semejante?

No son semejantes porque los lados no son proporcionales: 6 8  9 11 13. Tenemos dos mapas de un determinado país, la escala del primero es 1 : 200.000 y la del segundo 1 : 1.000.000 a) ¿Cuál de los dos mapas es mayor? b) Si dos ciudades están a 25 km en la realidad, ¿qué distancia las separa en los mapas? c) En el segundo mapa, dos ciudades se encuentras separadas por 3,6 cm, ¿a qué distancia real se encuentran?

a)Es mayor el primer mapa por tener una escala menor. b)En el primer mapa 2.500.000 cm : 200.000 = 12,5 cm En el segundo mapa 2.500.000 cm : 1.000.000 = 2,5 cm c)3,6 ∙ 200.000 = 720.000 cm = 7,2 km

14. Señala la respuesta correcta: Son semejantes

No son semejantes

Todos los triángulos isósceles Todos los pentágonos regulares Todos los círculos

x x x

Todos los rombos

x

Todos los triángulos equiláteros

x

Todos los triángulos rectángulos Todos los cuadrados

x x

15. Tenemos dos triángulos isósceles y semejantes. Del pequeño conocemos que cada uno de los lados iguales mide 5 cm y el lado desigual mide 3 cm, pero del grande solo sabemos que el lado desigual mide 7 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos lados? Solución:

Los dos lados iguales del triángulo grande miden 11,67 cm.

16. Un político tiene que ir a dos pueblos A y B para realizar su campaña electoral. Él vive en la capital C que dista 300 km del pueblo A. Su campaña la basa fundamentalmente en anunciar la futura autopista que unirá el pueblo A con el pueblo B y, para que se dé crédito a sus palabras, dice que ya se han conseguido 40 km de autopista desde la capital en dirección al pueblo A y, desde este punto se ha hecho ya una autopista de 60 km, que llega hasta la carretera comarcal que une el pueblo B con la capital y que será totalmente paralela a la futura autopista que une A con B. ¿Cuántos kilómetros tendrá esta autopista? Solución: A

B

300 km

60 km C 40 km

Observando el dibujo vemos que tenemos dos triángulos en posición de Tales, por lo tanto: 300 x  40 60

;

x

300  60  450 k m 40

17. En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? b) ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?

Solución: a) 1,3 cm mapa

250000 cm reales  1,3  250000 cm reales  325000 cm  3,25 k m 1 cm mapa

La distancia real entre ambos pueblos es de 3,25 km. b) 15 k m reales  1500000 cm reales

1 cm mapa 1500000  cm mapa  6 cm mapa 250000 cm reales 250000

La distancia en el mapa entre los dos pueblos es de 6 cm. En el mapa, los dos pueblos están separados 6 cm.

18. Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina? E

Solución:

2,3 m

C

1,74 m

x = profundidad de la piscina

D

Los triángulos ABC y CDE son semejantes (sus ángulos son iguales).

1,16 m

Por lo tanto: 2,3 x  1,16 1,74

x

;

x

2,3  1,740  3,45 m 1,16

La profundidad de la piscina es de 3,45 m. A

B

19. Dada una circunferencia de radio 10 cm, calcula el área de un hexágono regular inscrito en ella y de otro circunscrito a ella. Inscrito:

Solución:

5 cm x

10 cm

El radio de la circunferencia es igual al radio y al lado del hexágono inscrito. Necesitamos calcular la apotema x del hexágono:

5 2  x 2  10 2

;

x 2  100  25

x 2  75

25  x 2  100 

8,6

x   75 

 8,6 (solución no válida )

La apotema del hexágono mide 8,6 cm. Por lo tanto su área será A

10  6  8,6  259,8 cm 2 2

Circunscrito: 5 cm 10 cm

x

El radio de la circunferencia es igual a la apotema del hexágono circunscrito. Necesitamos calcular el lado x del hexágono, que es igual a su radio: 2

x 10 2     x 2 2

; 100 

x2  x2 4

400  3 x 2

;

400 3

400  x 2  4 x 2

;

x   133,33 

11,55   11,55 (solución no válida )

;

x2 

400 x 2 4x 2   100 4 4 ;

x 2  133,33

El lado del hexágono mide 11, 55 cm. Por lo tanto su área será A

11,55  6  10  346,5 cm 2 2