Ejercicios de Probabilidad Elisa M. Molanes-L´opez, Depto. Estad´ıstica, UC3M

Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejercicio 1. Un banco ha comprobado que uno de cada 100 clientes con fondos extiende un cheque con fecha err´ onea. Sin embargo, todo cliente sin fondos pone una fecha err´onea en sus cheques. Se sabe adem´ as que el 90 % de los clientes del banco tiene fondos. a) Si hoy se recibe un cheque, ¿cu´ al es la probabilidad de que su fecha sea err´onea? b) Si hoy se recibe un cheque con fecha err´onea, ¿cu´al es la probabilidad de que sea de un cliente sin fondos? Soluci´ on: Sean los sucesos F = ‘el cliente tiene fondos’, y E = ‘el cheque ha sido emitido con fecha err´onea’. Sabemos que Pr(E|F ) = 0,01, Pr(E|F ) = 1 y Pr(F ) = 0,90. a) Nos piden Pr(E). Teniendo en cuenta que F y F constituyen una partici´on del espacio muestral, el Teorema de la Probabilidad Total nos permite afirmar que: Pr(E) = Pr(E|F ) Pr(F ) + Pr(E|F ) Pr(F ) = 0,01 × 0,90 + 1 × 0,10 ≈ 0,109. b) Nos piden Pr(F |E). Por el Teorema de Bayes sabemos que: Pr(F |E) =

Pr(E|F ) Pr(F ) 1 × 0,10 = ≈ 0,917. Pr(E) 0,109

Ejercicio 2. Cuatro tiradores disparan independientemente sobre cuatro objetivos distintos, cada uno sobre un objetivo en concreto. Cada tirador dispone de seis balas para conseguir dar en el blanco. Sabiendo que la probabilidad de dar en el blanco con cada tiro es del 80 % y que cada tirador deja de disparar al dar en el blanco, se pide: a) La probabilidad de que un tirador en concreto consuma toda su munici´on. b) La probabilidad de que alguno de los tiradores consuma toda su munici´on. c) Si un tirador en concreto consume su munici´on, ¿cu´al es la probabilidad de que haya dado en el blanco? d) Si todos los tiradores consumen su munici´on, ¿cu´al es la probabilidad de que todos hayan dado en el blanco? Soluci´ on: Sean los sucesos Ai = ‘un tirador en concreto acierta en el blanco al efectura el tiro i-´esimo’, i = 1, . . . , 6, Cj = ‘el tirador j-´esimo consume toda su munici´on’, j = 1, . . . , 4, y Bj = ‘el tirador j-´esimo da en el blanco’. Sabemos que Pr(Ai ) = 0,80 para todo i ∈ {1, . . . , 6} y que cada tirador dispone de 6 balas.

1

a) Nos piden Pr(C1 ). Teniendo en cuenta que C1 = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 y que los tiros se efect´ uan independientemente unos de otros, resulta que: Pr(C1 )

=

Pr(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 )

=

Pr(A1 ) Pr(A2 ) Pr(A3 ) Pr(A4 ) Pr(A5 )

=

(0,20)5 = 0,00032.

b) Nos piden Pr(C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 ). Teniendo en cuenta la probabilidad del suceso contrario, las leyes de Morgan, la independencia y el apartado a), resulta que: Pr(C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 )

=

1 − Pr(C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 )

=

1 − Pr(C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 ∩ C 4 )

=

1 − Pr(C 1 ) Pr(C 2 ) Pr(C 3 ) Pr(C 4 )

=

1 − (Pr(C 1 ))4 = 1 − (1 − Pr(C1 ))4

=

1 − (1 − 0,00032)4 ≈ 0,00128.

c) Nos piden Pr(B1 |C1 ). Utilizando la definici´on de probabilidad condicionada y la independencia resulta que: Pr(B1 |C1 )

=

Pr(B1 ∩ C1 ) Pr(C1 )

=

Pr(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ A5 ∩ A6 ) (0,20)5

=

0,205 × 0,80 Pr(A1 )5 Pr(A6 ) = = 0,80. 5 0,20 0,205

d) Nos piden Pr(B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 |C1 ∩ C2 ∩ C3 ∩ C4 ). Utilizando la definici´on de probabilidad condicionada y la independencia resulta que:

Pr(B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 |C1 ∩ C2 ∩ C3 ∩ C4 )

= = =

Pr(B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 ∩ C1 ∩ C2 ∩ C3 ∩ C4 ) Pr(C1 ∩ C2 ∩ C3 ∩ C4 ) Pr(B1 ∩ C1 ) Pr(B2 ∩ C2 ) Pr(B3 ∩ C3 ) Pr(B4 ∩ C4 ) Pr(C1 ) Pr(C2 ) Pr(C3 ) Pr(C4 ) 5 (0,20 × 0,80)4 = 0,804 ≈ 0,4096. (0,205 )4

Ejercicio 3. Un cierto art´ıculo es manufacturado por 3 fabricantes distintos, fabricante A, B y C. Se sabe que el fabricante A produce el doble de art´ıculos que el fabricante B, y que ´estos en conjunto producen el mismo n´ umero de art´ıculos que el fabricante C. Se sabe tambi´en que el porcentaje de art´ıculos defectuosos es del 2 % tanto para el fabricante A como para el fabricante B y del 4 % para el fabricante C. a) Si se elige un art´ıculo al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Si el art´ıculo est´ a en perfecto estado, ¿de qu´e fabricante es m´as probable que provenga y cu´al es dicha probabilidad? c) Si el art´ıculo es defectuoso, ¿de qu´e fabricante es m´as probable que provenga y cu´al es dicha probabilidad? 2

Soluci´ on: Sean los sucesos A = ‘el art´ıculo es manufacturado por el fabricante A’, B = ‘el art´ıculo es manufacturado por el fabricante B’, C = ‘el art´ıculo es manufacturado por el fabricante C’, y D = ‘el art´ıculo es defectuoso’. Por los datos del enunciado sabemos que Pr(A) = 2 Pr(B) y Pr(A) + Pr(B) = Pr(C). Teniendo en cuenta que Pr(A)+Pr(B)+Pr(C) = 1 es sencillo deducir que Pr(C) = 1−Pr(C) y Pr(B) = Pr(C)/3, de donde se concluye que: Pr(C) = 1/2, Pr(B) = 1/6 y Pr(A) = 2/6 = 1/3. Por otra parte, tambi´en sabemos que Pr(D|A) = 0,02 = Pr(D|B) y Pr(D|C) = 0,04. a) Nos piden Pr(D). Teniendo en cuenta que los sucesos A, B y C constituyen una partici´on del espacio muestral, el Teorema de la Probabilidad Total nos permite afirmar que: Pr(D)

=

Pr(D|A) Pr(A) + Pr(D|B) Pr(B) + Pr(D|C) Pr(C)

=

0,02 × (1/3) + 0,02 × (1/6) + 0,04 × (1/2) = 0,03.

b) Para poder responder a este apartado debemos calcular Pr(A|D), Pr(B|D) y Pr(C|D). Por el Teorema de Bayes podemos afirmar que: Pr(A|D)

=

Pr(D|A) Pr(A) 0,98 × (1/3) = ≈ 0,337, 1 − 0,03 Pr(D)

Pr(B|D)

=

Pr(D|B) Pr(B) 0,98 × (1/6) = ≈ 0,168, 1 − 0,03 Pr(D)

Pr(C|D)

=

Pr(D|C) Pr(C) 0,96 × (1/2) ≈ 0,495. = 1 − 0,03 Pr(D)

De modo que si el art´ıculo est´ a en perfecto estado, lo m´as probable es que provenga del proveedor C. Adem´ as, sabemos que dicha probabilidad es Pr(C|D) ≈ 0,495. c) Para poder responder a este apartado debemos calcular Pr(A|D), Pr(B|D) y Pr(C|D). Por el Teorema de Bayes podemos afirmar que: Pr(A|D)

=

Pr(B|D)

=

Pr(C|D)

=

Pr(D|A) Pr(A) 0,02 × (1/3) = ≈ 0,222, Pr(D) 0,03 Pr(D|B) Pr(B) 0,02 × (1/6) = ≈ 0,111, Pr(D) 0,03 Pr(D|C) Pr(C) 0,04 × (1/2) = ≈ 0,667. Pr(D) 0,03

De modo que si el art´ıculo est´ a defectuoso, lo m´as probable es que provenga del proveedor C. Adem´ as, sabemos que dicha probabilidad es Pr(C|D) ≈ 0,667. Ejercicio 4. En la red de comunicaci´ on de 4 componentes conectados seg´ un se muestra en la figura, la probabilidad de que funcione el componente 1 es del 85 %, la del componente 2 es del 95 %, la del componente 3 es del 70 %, y la del componente 4 es del 90 %. La red funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcionen. Sabiendo que cada componente funciona independientemente de los dem´ as:– a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que la red funcione? b) Si el componente 3 no funciona, ¿cu´ al es la probabilidad de que no haya comunicaci´on entre A y B? 3

C1

C2

C4

A

B

C3

c) Si el sistema funciona, ¿cu´ al es la probabilidad de que el componente 3 funcione? Soluci´ on: Sean los sucesos Fi = ‘el componente i funciona correctamente’, i = 1, . . . , 4, y Fi,j = ‘la subred formada por i y j funciona correctamente’, y as´ı sucesivamente. Sabemos que Pr(F1 ) = 0,85, Pr(F2 ) = 0,95, Pr(F3 ) = 0,70 y Pr(F4 ) = 0,90. a) Nos piden Pr(F1,2,3,4 ). Se verifica que: Pr(F1,2,3,4 )

=

Pr((F1,2 ∪ F3 ) ∩ F4 )

=

Pr(F1,2 ∪ F3 ) Pr(F4 )

=

(1 − Pr(F1,2 ∪ F3 ))0,90

=

(1 − Pr(F1,2 ∩ F3 ))0,90

=

(1 − Pr(F1,2 ) Pr(F3 ))0,90

=

(1 − Pr(F1 ∩ F2 )(1 − Pr(F3 )))0,90

=

(1 − (1 − Pr(F1 ∩ F2 ))(1 − 0,70))0,90

=

(1 − (1 − Pr(F1 ) Pr(F2 ))0,30)0,90

=

(1 − (1 − (0,85 × 0,95))0,30)0,90 = 0,8480.

b) Nos piden Pr(F1,2,3,4 |F 3 ). Se verifica que: Pr(F1,2,3,4 |F 3 )

=

1 − Pr(F1,2,3,4 |F 3 )

=

1 − Pr(F1 ∩ F2 ∩ F4 )

=

1 − Pr(F1 ) Pr(F2 ) Pr(F4 )

=

1 − (0,85 × 0,95 × 0,90) = 1 − 0,7268 = 0,2732.

4

c) Nos piden Pr(F3 |F1,2,3,4 ). Se verifica que: Pr(F3 |F1,2,3,4 )

= =

Pr(F1,2,3,4 |F3 ) Pr(F3 ) Pr(F1,2,3,4 ) Pr(F4 ) Pr(F3 ) 0,90 × 0,70 = = 0,7429. Pr(F1,2,3,4 ) 0,8480

5