uUPR MATE 3171

Departamento de Ciencias Matemáticas RUM Tercer Examen Parcial 14 de noviembre de 2013

Nombre: _______________________________ # Estudiante: ________ Profesor: _______________________________ Sección: _____

Lea cada pregunta minuciosamente. No se permite el uso de libros, libretas ni papeles extras. Está prohibido consultar con otro(a) estudiante durante el examen o copiar. No se permite el uso de teléfonos celulares. Se permite solamente el uso de calculadoras cientí…cas. Instrucciones:

1. 5. 9.

I.

c c c

2. 6. 10.

a b d

3. 7. 11.

d a d

4. 8. 12.

a b b

(36 puntos) En los siguientes ejercicios seleccione la mejor alternativa y escriba su respuesta en la tabla que aparece arriba: 1.

2.

3.

4.

Dada la función f (x) = 3 2x; entonces f 1 (x) =: [taller 9] a. x2+ 2 y = 3 2x; despejando x : b. x2+ 3 x = 3 2y 3 x Por lo tanto la función inversa es: c. 2 3 x f 1 (x) = d. 3 2 2x 2 e. Ninguna de las anteriores Asuma que la función f es 1-1;y si f (3) = 1, entonces f f 1 ( a. 1 b. 3 f f 1 ( 1) = f f 1 ( 1) c. 1 = f (3) = 1 d. No está de…nida e. Ninguna de las anteriores Si la función f (x) = ax pasa por el punto (2; 9), el valor de a es: a. 3 b. 2 El punto (2; 9) satisface f (x) = ax c. 9 Por lo tanto se tiene: f (2) = a2 = 9 = 32 ) a = 3 d. 3 e. Ninguna de las anteriores

1) = [taller 9]

[texto:4.1.19]

Si $2,000 se invierte a una tasa de interés de 3.5% por año, y se compone continuamente, el valor de la inversión (aproximada a dos cifras decimales) después de 2 años es: [texto 4.31] a. $2; 145:02 b.$2; 145:01 c. $2; 145:03 A (2) = 2000e0:035 2 = 2145:02 d. $2; 145:20 e. Ninguna de las anteriores 1

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Si log3 x = 3, entonces x =: [texto:4.3.31] a. 3 b. 9 log3 x = 3 es equivalente a c. 27 x = 33 = 27 d. 81 e. Ninguna de las anteriores El valor exacto al evaluar log2 160 log2 5; es: [texto:4.4.8] a. 4 b. 5 log2 160 log2 5 = log2 160 5 c. 6 = log2 32 = log2 25 = 5 d. 3 e. Ninguna de las anteriores El valor aproximado a cuatro cifras decimales de log4 125; es: a. 3:4829 b. 3:4828 125 c. 3:4827 log4 125 = log log 4 = 3:4829 d. 3:4830 e. Ninguna de las anteriores La solución exacta de la ecuación 3ex = 10, es: [texto:4.5.9] a. x = 13 ln(10) b. x = ln( 103 ) 3ex = 10 ) ex = 10 3 c. x =3 ln(10) Aplicando ln ln ex = ln 10 ) x = ln 10 d. x = ln(3) 3 3 e. Ninguna de las anteriores La solución exacta de la ecuación log x = 2, es: [texto:4.5.39] a. x = 102 b. x = 10 log x = 2 es equivalente a: c. x = 10 2 x = 10 2 10 d. x = 2 e. Ninguna de las anteriores

[texto:4.4.61]

La forma estándard de la función cuadrática f (x) = x2 6x; es : [texto:3.1.9] a. f (x) = (x 3)2 + 9 b. f (x) = (x + 3)2 + 9 f (x) = x2 6x, completando cuadrados: 2 f (x) = x2 6x + 9 9 c. f (x) = (x + 3) 9 2 2 f (x) = (x 3) 9 d. f (x) = (x 3) 9 e. Ninguna de las anteriores El rango de la función f (x) = 3 + 2 (x + 3)2 , es: [taller 12:1] a. [6; 1) b. [ 3; 1) La función toma valores mayores o iguales que 3 c. ( 1; 3] [3; 1) d. [3; 1) e. Ninguna de las anteriores

2

12.

II.

Si f (x) = 3x5 + 8x4 ; y si x ! 1, entonces:: [texto:3.2.25] a. y ! 1 b. y ! 1 Como n = 5 y a5 = 3 < 0; c. y ! 1 entonces: y ! 1 d. Todas las anteriores e. Ninguna de las anteriores

Resuelva los siguientes ejercicios: 1.

1 ; 2+x [texto:2.7.43]

(8 puntos) Si cada función.

f (x) =

halle su inversa, e indique el dominio y rango de

f 2g = rango f 1 1 y despejando para x : Considere y = 2+x (2 + x) y = 1 ) xy = 1 2y ) x = 1 y2y 1 2x La función inversa es: f 1 (x) = x dom f 1 = R f0g = rango (f ) dom (f ) = R

2

(12 puntos)Dada las siguientes funciones y sus grá…cas, haga el pareo correspondiente: (x 2)2 x2 (x + 2) = x5 + 2x4 + 4x3 8x2 b. g (x) = x3 + 2x2

a. f (x) = log2 (x + 1) d. j (x) = x4

5x2 + 4

x5 + 2x4 + 4x3

e. l (x) =

c. h (x) = 2x

3x 8x2

1

2x4 + 2

f. m (x) =

y 7

4 3 2

5

1

4

−3

−2

−1

3

−2

2

−4

−2

3

−5 −6

−1

1

2

3

−7 −8

4

−9

−1

−10 −11

−2

−12 −13

−3

i. c

2

−3

x −3

x 1

−1

1

−4

y

5

6

−14

ii.e

−4

−15

y 4

y

3 3

2 2

1

1

x −3

−2

−1

1

2

x

3

−4

−3

−2

−1

−1

1

2

3

4

−1

−2

−2

−3

−3

iii. f

−4

iv. a y

. y

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

x

4

−4

−2

−1

1

−1

−1

−2

−2

−3

v. b

−3

−4

−3

vi. d 3

−4

2

3

4

1.

3.

(5 puntos) Si $2,500 se invierten a una tasa de interés de 2.5% anual y se compone semestralmente, encuentre el valor de la inversión después de 6 años. [texto:4.1.52] Recuerde la fórmula para determinar la inversión después de t años es: A (t) = P 1 + Sustituyendo los valores correspondientes se tiene: 2 6

12

A (6) = 2500 1 + 0:025 = 2500 (1:0125) 2 El valor de la inversión es de $2,901.89. 4

r nt n

= 2901:89

(7 puntos) Halle el valor exacto de

x

al resolver la ecuación

e2x

ex

6 = 0

[texto:4.5.30] Para resolver esta ecuación considere el cambio de variable: u = ex y se obtiene: u2 u 6 = 0 resolviendo por factorización: (u 3) (u + 2) = 0 y se obtiene: u = ex = 3 se puede resolver la primera ecuación, pero la segunda no tiene solución. u = ex = 2 Aplicando ln : ln ex = ln 3 ) x = ln 3 Veri…cación: e2 ln 3 eln 3 6 = 32 3 6 = 0 5

(8 puntos) Resuelva la ecuación

log2 x + log2 (x

3) = 2.

Aplicando propiedades de logaritmos se tiene: log2 x (x 3) = 2 Luego reescribiendo como una expresión exponencial se obtiene: x (x 3) = 22 ) x2 3x 4 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática: (x 4) (x + 1) = 0 ) x = 1; x = 4 Veri…cación: x= 1 x=4 ?

?

log2 ( 1) + log2 ( 1 3) = 2 Logaritmo de un número negativo no existe

6

log2 4 + log2 (4 3) = 2 2+0=2 si es solución

(8 puntos) Una bola se lanza hacia arriba tal que su altura, h, en pies después de t segundos es dada por la ecuación h = 225t 50t2 [taller 12] a determine el tiempo en segundos que la bola tarda en alcanzar su altura máxima Para determinar la altura máxima se halla las coordenadas del vértice de la función cuadrática: 2 2 2 2 9 2 h = 50 t2 29 t + 94 = 50 t 92 + 50 94 = 50 t 92 + 253:13 4 La altura máxima está dada por el valor de k = 253:13; por lo tanto la altura máxima es 253:13 pies. b

determine el tiempo que tarda la bola en volver a la super…cie. Para determinar el tiempo en que la bola vuelve a la super…cie se resuelve la ecuación: 225t 50t2 = 0 ) 50t t 29 = 0 ) t = 0; t = 9=2 Por lo tanto la bola tarda 4:5 segundos en volver a la super…cie.

4

7

(10 puntos) Dada la función f (x) = ln (x + 2), halle su función inversa, indicando sus dominios, rangos, asintotas y trace sus grá…cas: dom (f ) = (1; 1) = rango f 1 ; dom f 1 = ( 1; 1) = rango (f ) Para hallar la inversa de y = ln (x + 1) se despeja x : 1 + x = ey ) x = ey 1 La función inversa es: f 1 (x) = ex 1 Asíntota vertical de f : x = 1 Asíntota horizontal de f 1 : y = 1 y 7 6

f^-1(x)=e^x-1

5

x=-1

4 3

f(x)=ln(x+1)

2 1 x −5

−4

−3

−2

−1

1

−1

2

3

4

5

6

7

y=-1

−2 −3 −4 −5

2.

8

(6 puntos) Trace la grá…ca de la función polinómica

f (x) = 31 x3 (x + 2) (x

2

3)

.:

[texto:3.2.25] Para gra…car esta función debe marcar claramente los inteceptos con los ejes coordenados. Eje Y: 0; eje X: x = 0 (multiplicidad 3); x = 2; 3 (multiplicidad 3) 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −5

−4

−3

−2

−1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12

y

x 1

2

3

4

5

6

7

Bono (4 puntos) Halle el dominio de la función f (x) = log2 (log (x)) e indique su asíntota vertical [4.3.83] dom (f ) = fxj log (x) > 0g = fxjx > 1g = (1; 1) Asíntota vertical: x = 1 5