Blatt 0: Mathematik I f¨ ur Ingenieure (B) apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch

10.10.2016

Abbildungen und Kompositionen Allgemeine Erkl¨arungen: Siehe Seite 1 zu “Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen”! Betrachte Abbildungen f : A −→ B zwischen zwei nichtleeren Mengen A, B. (A ist Definitionsbereich von f , B der Wertebereich)

(1): f heißt injektiv ⇐⇒ Aus x 6= y, x, y ∈ A, folgt stets f (x) 6= f (y). (2): f heißt surjektiv ⇐⇒ B = f (A) ⇐⇒ Wertebereich B von f = Bildmenge f (A) f (A) = {f (x) | x ∈ A}, f ist Abbildung auf B. (3): f heißt bijektiv falls f surjektiv und injektiv ist. surjektiv aber nicht injektiv

weder injektiv noch surjektiv

injektiv aber nicht surjektiv

injektiv und surjektiv bzw. bijektiv

1

Beispiele Sei f : Nn −→ Nn endlich, Nn = {1, 2, 3, ..., n}. Dann gilt: f injektiv ⇐⇒ f surjektiv. Aber bei unendlicher Tr¨agermenge N = {1, 2, 3, ...}: (a): f : N −→ N mit Hilbert’s Hotel, voll belegt ! f (1) = 2 , f (2) = 3 , f (3) = 4 , f (4) = 5 , 3 4 2 5 1 6 7 ... , ... , f (n − 1) = n , f (n) = n + 1 , ... , ... hier kommt ein neuer Gast ist injektiv aber nicht surjektiv. ∀ n, k ∈ N, n < k =⇒ f (n) = n + 1 < f (k) = k + 1 (injektiv).

(b): f : N −→ N mit f (1) = 1 , f (3) = 2 , f (5) = 3 , f (2) = 1 , f (4) = 2 , f (6) = 4 , ... ist surjektiv aber nicht injektiv.

Definition der identischen Abbildung Die Abbildung f : A −→ A mit f (x) := x f¨ ur alle x ∈ A heißt auch identische Abbildung, und wird meistens mit Id bzw. IdA bezeichnet. Aufgabe 1: Betrachte folgende Abbildungen: (a) f1 : Z −→ Z, f1 (x) = 5x (b) f2 : R −→ R, f2 (x) = x2 (c) f3 : R −→ R, f3 (x) = sin x (d) f4 : R −→ R, f4 (x) = x3  (e) f5 : N −→ N, f5 (x) =

x+1 , 2 x , 2

x ungerade . x gerade

Welche dieser Abbildungen sind injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ?

2

L¨ osung: (a) f1 ist injektiv aber nicht surjektiv. (b) f2 ist weder injektiv noch surjektiv. Es gibt kein x ∈ R mit x2 = −2, also ist f2 nicht surjektiv. Es ist f2 (−1) = 1 = f2 (1), also ist f2 auch nicht injektiv. (c) f3 ist weder injektiv noch surjektiv. F¨ ur x ∈ R gilt −1 ≤ sin x ≤ 1. Es gibt kein x ∈ R mit sin x = 2, also ist f3 nicht surjektiv. Es ist f3 (0) = 0 = f3 (π), also ist f3 auch nicht injektiv. Bemerkung: f3 : R −→ [−1, 1] f (x) = sin x ist surjektiv ! (d) f4 ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv. (e) f5 ist nicht injektiv. Es ist f5 (3) = 2 = f5 (4). Aber f5 ist surjektiv (f5 ist Abbildung auf N).

Komposition von Abbildungen Definition: Es seien A, B, B 0 , C nichtleere Menge mit B ⊆ B 0 . Es seien f : A −→ B und g : B 0 −→ C Abbildungen. Definiere die Kompsition g◦f von g und f durch g◦f : A −→ C mit (g ◦ f )(x) = g(f (x)) ∀ x ∈ A. Kommentar zur Skizze: Reihenfolge beachten !

B’ g

f A

C

g f Aufgabe 2: Komposition von Abbildungen (a) Bilde f ◦ g : R −→ [−1, 1] bzw. g ◦ f : R −→ R ! f : R → [−1, 1] , g : R → R,

3

f (x) = sin x und g(x) = 2x + 1.

L¨ osung: f ◦ g : R −→ [−1, 1] mit (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = sin(2x + 1) (o.k., da Bild(g)=Def(f)=R) g ◦ f : R −→ R mit (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = 2 sin x + 1 (o.k., da [-1,1]⊂ R) (b) Kompositionen mit Funktionen aus Aufgabe 1. Bilde f2 ◦ f3 : R −→ R bzw. f3 ◦ f2 : R −→ R L¨ osung: f2 (x) = x2 und f3 (x) = sin x

f2 : R −→ R , f3 : R −→ R ,

f2 ◦ f3 : R −→ R mit f2 (f3 (x)) = (sin x)2 f3 ◦ f2 : R −→ R mit (f3 ◦ f2 )(x) = f3 (f2 (x)) = sin x2 . Man nenne jeweils zwei Beispiele f¨ ur Kompositionen mit den Funktionen f1 , f2 , f3 , f4 , f5 (m¨ogliche und unm¨ogliche, Begr¨ undung !). Z.B. f1 ◦ f2 : R → Z,

f5 ◦ f1 : Z → N sind unm¨oglich. (

Aber

f4 ◦ f5 : N −→ R

und f2 ◦ f1 : Z −→ R

mit

mit

(f4 ◦ f5 )(x) =

x+1 3 2
x 3 2




, x ungerde , x gerade

(f2 ◦ f1 )(x) = (5x)2 = 25x2 sind m¨oglich.

4

Mengenoperationen Aufgabe 3: Es seien A, B, C Teilmengen einer Grundmenge M . Man beweise die folgenden Identit¨aten: (a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) , (b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Nachweis: Die Teilaufgabe (b) wird in der Vorlesung behandelt. Wir zeigen daher nur (a). Es gilt f¨ ur alle x ∈ M : x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇔ [(x ∈ A) ∨ ((x ∈ (B ∩ C))] ⇔ (x ∈ A) ∨ ((x ∈ B) ∧ (x ∈ C)) ⇔ [(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] ∧ [(x ∈ A) ∨ (x ∈ C)] ⇔ [x ∈ (A ∪ B)] ∧ [x ∈ (A ∪ C)] ⇔ x ∈ [(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)] . ¨ Die dritte Aquivalenz in dieser Kette l¨aßt sich wie folgt mit Hilfe einer Wahrheitstabelle u ¨berpr¨ ufen: Bezeichen wir die Aussageformen x ∈ A, x ∈ B, x ∈ C der Reihe nach mit α, β bzw. γ, so gilt f¨ ur jede der zwei M¨oglichkeiten “w” f¨ ur wahr bzw. “f” f¨ ur falsch: α w w w w f f f f

β w w f f w w f f

γ w f w f w f w f

α ∨ (β ∧ γ) w w w w w f f f

5

(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) w w w w w f f f

Einf¨ uhrung der Permutationgruppen Gegeben ist die endliche Menge Nn = {1, 2, ..., n}. Definition: f : Nn −→ Nn sei bijektive Abbildung. Dann wird f Permutation auf Nn genannt.   1 2 3 ... n Schreibweise: f (1) f (2) f (3) ... f (n)   1 2 3 4 5 6 Z.B. stellt eine Permutation f auf der Menge N6 dar. 2 4 6 1 5 3 Aufgabe 4: Permutation auf N6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}   1 2 3 4 5 6 (a) f = gegeben. Man notiere f in der Zyklenschreibweise ! 4 5 6 3 2 1 L¨ osung: f = [(1, 4, 3, 6) (2, 5)]. (b) Gegeben ist f in Zyklenform, f = [(1, 3, 4) (5) (2, 6)]. Schreibe f als Tabelle !   1 2 3 4 5 6 L¨ osung: f = . 3 6 4 1 5 2 Die Gruppenverkn¨ upfung “ ◦ ” ist die Komposition zweier Permutationen. Das Neutralelement ist die Identit¨at Id auf N6 . Aufgabe 5: (a) Gegeben sind die beiden Permutationen auf N6 

 1 2 3 4 5 6 f = , 2 4 6 1 5 3 g −1 in Matrixform.

  1 2 3 4 5 6 g = . Bestimme f ◦ g, g ◦ f , f −1 3 6 1 5 2 4

L¨ osung:  1 f ◦g = 6  2 f −1 = 1  3 g −1 = 1

  2 3 4 5 6 1 , g◦f = 3 2 5 4 1 6   4 6 1 5 3 1 2 3 4 = 2 3 4 5 6 4 1 6 2   6 1 5 2 4 1 2 3 4 = 2 3 4 5 6 3 5 1 6

6

 2 3 4 5 6 , 5 4 3 2 1  5 6 , 5 3  5 6 . 4 2

(b) Bestimme f , g , f ◦ g , g ◦ f , f −1 und g −1 aus Aufgabe 5(a) in Zyklenschreibweise! L¨ osung:

f = [(1, 2, 4) (3, 6) (5)] , g = [(1, 3) (2, 6, 4, 5)] , f ◦ g = [(1, 6) (2, 3) (4, 5)] , g ◦ f = [(1, 6) (2, 5) (3, 4)] f −1 = [4, 2, 1) (6, 3) (5)] , g −1 = [(3, 1) (5, 4, 6, 2)] (c) Bestimme das Signum von f , g , f ◦ g , g ◦ f , f −1 , g −1 und zerlege g in ein Produkt von Transpositionen ! L¨ osung: sign(f ) = (−1)(3−1)+(2−1)+(1−1) = (−1)6−3 = −1 sign(g) = (−1) sign(f ◦ g) = (−1)

(2−1)+(4−1)

6−2

= (−1)

(2−1)+(2−1)+(2−1)

= +1 6−3

= (−1)

(ungerade) (gerade)

= −1 = sign(f ) · sign(g) (ungerade)

sign(f −1 ) = (−1)(3−1)+(2−1)+(1−1) = (−1)6−3 = −1 = sign(f ) (ungerade) sign(g −1 ) = (−1)(2−1)+(4−1) = (−1)6−2 = +1 = sign(g)

Zerlegung: g = [(1, 3) (2, 6, 4, 5)] = [(1, 3)] ◦ [(2, 5)] ◦ [(2, 4)] ◦ [(2, 6)] .

7

(gerade)