USP

O brilho aparente e a  Luminosidade das estrelas     Roberto Ortiz ­ EACH/USP Primeiras estimativas ● ● ● ●   Hiparco (séc. II a.C.) catalog...
72 downloads 2 Views 686KB Size
O brilho aparente e a  Luminosidade das estrelas

 

 

Roberto Ortiz ­ EACH/USP

Primeiras estimativas ●







 

Hiparco (séc. II a.C.) catalogou  cerca de 2000 estrelas, visualmente. Ele classificou­as conforme seu  brilho aparente ao olho humano. As 20 estrelas mais brilhantes do  céu foram classificadas como de “1a  Magnitude” As demais estrelas foram  classificadas em ordem decrescente  de brilho, sendo as mais fracas de 6a  magnitude.  

Tempos modernos ●



 

O astrônomo inglês Norman R.  Pogson (1829­1891) percebeu  que as estrelas que Hiparco  classificara como de 1a  magnitude eram cerca de 100  vezes mais brilhantes do que as  de 6a magnitude. Em 1856 ele propôs uma  definição matemática de  magnitude aparente que se  assemelhasse à de Hiparco.  

De acordo com a sugestão de Pogson, a magnitude  aparente visual de uma estrela (uma medida de seu  brilho) é calculada pela expressão: mv = – 2,5 log (F*v/Fo) onde: F*v é o fluxo visual da estrela considerada (e.g. W/m 2) Fo é o fluxo visual de Vega, que por definição tem  magnitude zero  

 

Algumas magnitudes aparentes visuais:

 

Vega ( Lyrae)

0.00

Acrux ( Crucis)

+0.77

Mimosa ( Crucis)

+1.25

Rubídea ( Crucis)

+1.59

Markab ( Pegasi)

+2.49

Mesartim ( Arietis)

+3.88

Sirius ( Canis Majoris)

–1.6

Júpiter

–1.8 ~ –2.1

Vênus

–3.9 ~ –4.4

Lua Cheia

–12.6

Sol

 

–26.7





Exemplo 1: qual é a magnitude aparente de  uma estrela cujo brilho aparente é 10 vezes  menor do que Vega? Solução: mv = –2,5 log (F*/Fo) mv = –2,5 log (0,1*Fo / Fo) mv = –2,5 log (1/10) mv = +2,5 log 10 mv = +2,5

 

 





Exemplo 2: quantas vezes uma estrela A de  magnitude 2,0 é mais brilhante do que uma  estrela B de magnitude 5,5? Solução: mA = –2,5 log (FA/Fo)  e  mB = –2,5 log (FB/Fo) Subtraindo essas duas equações temos: mA – mB = –2,5 (log FA – log Fo) – [–2,5(log FB – log Fo)] mA – mB = –2,5 [log FA – log Fo – log FB + log Fo] mA – mB = –2,5 [log FA – log FB] mA – mB = –2,5 [log (FA/FB)]

 

 



No exemplo dado, mA = 2,0 e mB = 5,5 logo: 2,0 – 5,5 = –2,5 log (FA/FB) –3,5 = –2,5 log (FA/FB) –3,5/–2,5 = log (FA/FB) 1,4 = log (FA/FB) FA/FB = 101,4 = 25,1 Portanto, a estrela A é 25,1 vezes mais brilhante que B

 

 



 

Exemplo 3: quantas vezes uma estrela A de  magnitude aparente 1,0 é mais brilhante que  uma estrela B de magnitude aparente 6,0?

 





Exemplo 3: quantas vezes uma estrela A de  magnitude aparente 1,0 é mais brilhante que  uma estrela B de magnitude aparente 6,0? Solução: 1,0 – 6,0 = –2,5 log (FA/FB) –5,0 = –2,5 log (FA/FB) +2,0 = log (FA/FB) FA/FB = 10+2 = 100 Portanto a estrela A é 100 vezes mais brilhante que B,  conforme a proposta de Hiparco e Pogson.

 

 

Magnitude bolométrica: ●



 

As estrelas possuem  diferentes cores, que são  o resultado de suas  diferentes temperaturas e  da sensibilidade do olho  humano. A magnitude aparente  visual relaciona­se  somente ao fluxo emitido  na região amarela do  espectro eletromagnético.  

Portanto, para sabermos a  energia total (ou bolométrica)  irradiada por uma estrela em  todos os comprimentos de  onda, é necessário aplicar  uma correção à magnitude  visual.



A correção bolométrica (C.B.)  depende basicamente da  temperatura da estrela.



Numericamente:



mbol = mv + C.B.  

 



Exemplo: –

Qual é a razão entre o fluxo de energia bolométrico de  Procyon (mv=+0.34; T=6700 K) e de Aldebaran  (mv=+0.85; T=4400 K)?



Solução: Como queremos a razão entre os fluxos bolométricos, aplicamos a  correção bolométrica, considerando suas temperaturas: mbol(Procyon) = mv(Procyon) – 0.15 = +0.34 – 0.15 = +0.19 mbol(Aldeb.) = mv(Aldeb.) – 0.7 = +0.85 – 0.7 = +0.15 mbol(Procyon) – mbol(Aldeb.) = – 2.5log(Fbol(Procyon)/Fbol(Aldeb)) +0.19 – 0.15 = – 2.5log(Fbol(Procyon)/Fbol(Aldeb)) Fbol(Procyon)/Fbol(Aldeb)=10(+0.15– 0.19)/2.5 = 10–0.016=0.96

 

 

Fbol(Procyon)/Fbol(Aldeb)=10(+0.15– 0.19)/2.5 = 0.96



Ou seja: o fluxo total de energia que recebemos de Procyon corresponde a 96% do fluxo que recebemos de Aldebaran.





 

Portanto, quando observadas da Terra, o brilho aparente de  Procyon é ligeiramente menor que a de Aldebaran. No entanto, o olho humano “enxerga”  Procyon mais brilhante  do que Aldebaran, embora o fluxo de energia total advindo de  Aldebaran seja maior do que o de Procyon!

 

A distância das estrelas ●



 

Há vários métodos de  determinação de distâncias  estelares. O mais simples e  direto é a paralaxe  trigonométrica. A vantagem desse método  é que ele se baseia em  conceitos muito simples da  geometria euclidiana.  

 

 



Pela figura vemos que o ângulo p em radianos vale: p (rad) = 1 U.A./ d (U.A.) d (U.A.) = 1/p (rad)





Mas geralmente o ângulo p é muito pequeno para ser  quantificado em radianos. A unidade geralmente utilizada  para se medir pequenos ângulos é o segundo de arco ('') Para converter radianos em segundos de arco:  rad = 180o = 180 x 60 x 60'' 1 rad = 648 000/ = 206 265''

 

 



Utilizando a expressão da distância:

d(U.A.) = 1/p(rad) = 1/[p('')/206 265] d(U.A.) = 206 265/p('') ●



Desta maneira temos uma expressão para a distância de  uma estrela, em U.A. No entanto, a U.A. é uma unidade de distância muito  pequena para ser utilizada para as estrelas. Então  definimos uma nova unidade de distância: 1 parsec = 206 265 U.A.



Então:

d (parsec) = 1/p('')  

 

Algumas paralaxes e distâncias:

 

 Centauri

0.762''

1.31 pc

 Canis Majoris

0.379''

2.64 pc

 Canis Minoris

0.286''

3.50 pc

 Eridani

0.311''

3.22 pc

61 Cygni A

0.287''

3.48 pc

 Tauri

0.050''

20.0 pc

 Virginis

0.012''

83.3 pc

 Scorpii

0.005''

200 pc

 

Fatos: ●









 

Portanto, a unidade de distância mais comumente  utilizada em Astronomia é o parsec (pc) e seus múltiplos:  o kpc e o Mpc O parsec é a unidade de distância na qual uma estrela  teria a paralaxe de 1 segundo de arco. 1 parsec = 206 265 U.A. = 3.08 x 1018 cm = 3,26 anos­luz Quanto mais distante a estrela, menor a paralaxe, e  portanto mais dificil de medi­la O método da paralaxe trigonométrica funciona bem até  algumas centenas de parsecs  

A luminosidade das estrelas ●







 

A luminosidade, i.e. a potência irradiada por uma  estrela (W ou erg/s), pode ser calculada se sua  distância for conhecida. Para isto, mede­se o fluxo aparente da estrela (ou sua  magnitude aparente) e sua paralaxe. Supomos que a estrela irradie sua luminosidade  isotropicamente. Supomos também que o espaço interestelar seja  transparente, de modo que a radiação da estrela não  seja absorvida pelo meio interestelar.  





A luminosidade da estrela é distribuida numa superfície  matemática de área S, que aumenta com o quadrado da  distancia, d. A luminosidade da estrela é suposta constante, mas é  espalhada por uma área que cresce com a distância.

Área da esfera: S = 4  d2

 

 



O fluxo da estrela é dado pela razão entre a luminosidade  emitida e a área (imaginária) da esfera.

F* = L* / 4 d2 ●

Medimos o fluxo da estrela F*. Se soubermos sua  distância d, então a luminosidade pode ser prontamente  calculada:

L* = 4 d2 F* ●

 

Note que, nas expressões acima, deve­se utilizar  somente unidades do sistema CGS ou S.I. Se a  distância da estrela for dada em parsecs, esta deverá  ser convertida em metros (S.I.)ou centímetros (CGS).  







 

A última expressão também estabelece uma relação  entre a luminosidade e o raio de uma estrela. Imagine que meçamos o fluxo emitido pela estrela a  uma distância igual ao seu raio. Este será o fluxo em  sua superfície! Veja a figura:

  Acima: Uma estrela e a superfície (imaginária) onde medimos seu fluxo.



Neste caso, temos: L* = 4 R*2 F*



Se soubermos a temperatura da estrela (por exemplo,  através da Lei de Wien), então podemos estimar o  quanto ela irradia por unidade de área, o seu “fluxo na  superfície”, F*, se supusermos que ela irradia como  um corpo negro: L* = 4 R*2  T*4



 

Frequentemente a expressão acima é comparada  com os valores solares. Para o Sol, temos: 2  T 4   Ls = 4 R s s



Portanto, a luminosidade de uma estrela,  comparativamente ao Sol é dada pela expressão: L*/Ls = (R*/Rs)2 (T*/5780)4



 

A luminosidade pode ser calculada a partir do fluxo  estelar medido e da distância obtida da paralaxe. A  temperatura pode ser obtida, por exemplo, por meio  da Lei de Wien.  



Exercício: Calcule o raio de Aldebaran, em raios  solares. –

Dados: T(Aldeb.)=4400 K, mv=+0.85, p=0.050'' T(Sol)=5780 K, mv=–26.73



Procedimento: ●









 

(i) calcule a magnitude bolométrica aparente de  Aldebaran e do Sol. (ii) calcule a distância de Aldebaran, em parsecs. Qual é  a distância do Sol, em parsecs? (iii) calcule a razão entre os fluxos emitidos por  Aldebaran e pelo Sol. (iv) calcule a luminosidade de Aldebaran, relativamente  ao Sol. (v) Utilize a expressão da luminosidade relativa ao Sol    para calcular o raio de Aldebaran.

Para saber mais... ●



 

“A Via Lactea, nossa ilha  no Universo” (Jacques  Lépine), EDUSP, cap. 2,  p.p. 43­55 “Astronomia e  Astrofisica” (Kepler S.  Oliveira & Maria de  Fatima O. Saraiva); p.p.  151 – 152, 161 – 164