TH Mittelhessen
StudiumPlus Grundlagen der Elektrotechnik Transformator / Übertrager
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Transformatoren haben folgende Aufgabe: Die an der Primärseite angeschlossenen Wechselspannungen oder Wechselströme sind bei galvanischer Trennung auf die Sekundärseite zu übertragen, wobei die Amplituden herab- oder hinauftransformiert werden.
Energietechnische Aspekte: • Umwandlung der Spannung zwischen den verschiedenen Bereichen der elektrischen Energieversorgung • Je höher die Spannung, desto mehr Leistung kann übertragen werden und desto geringer sind die Verluste
Erzeugung: Übertragung: Verbrauch:
21 / 27kV durch Generator 20 / 110 / 380kV je nach Leistung / Entfernung 0,4kV; niedrig wegen Gefährdung
Schaltsymbol:
1
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Gegeninduktivität:
Magnetischer Kreis:
Durch Spule 1 fließt ein Gleichstrom I1 ⇒ magnetischer Fluss Φ1 (proportional zu I1 ) Ein Teil Φ12 dieses magnetischen Flusses Φ1 wird durch die Spule 2 umfasst → primärer Hauptfluss Φ12 → ebenfalls proportional zu I1 Mit Windungszahl w 2 gilt für den verketteten Fluss Ψ12 : Ψ12 = M12 ⋅ I1
(4.2)
M12 = k1 ⋅ Gm1 ⋅ w1 ⋅ w 2
(4.3)
M12 : Gegeninduktivität k1:
Koppelfaktor
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Haupt- und Streuinduktivitäten: Sollen anhand einer Primär- und Sekundärspule eingeführt werden (Transformator) L1 = L1h + L1σ
(4.4)
Die primäre Induktivität L1 ist gleich der Summe der primären Hauptinduktivität und der primären Streuinduktivität. L1h =
Φ12 ⋅ w1 w = M12 ⋅ 1 i1 w2
(4.5)
L1σ =
Φ1σ ⋅ w1 i1
(4.6)
Analoge Verhältnisse für Sekundärinduktivitäten: L2 = L2h + L2σ
(4.7)
L2h =
Φ 21 ⋅ w 2 w = M21 ⋅ 2 i2 w1
(4.8)
L2σ =
Φ 2σ ⋅ w 2 i2
(4.9)
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Kopplungsfaktor: k = k1 ⋅ k2 =
M12 ⋅ M21 L1 ⋅ L2
(4.10)
(0 ≤ k ≤ 1)
Bei const. Permeabilität gilt:
M12 = M21 = M
⇒
k = k1 ⋅ k 2 =
M L1 ⋅ L2
(4.11)
Bei fester Kopplung mit k1 = k 2 = 1 sind keine Streuflüsse vorhanden:
M = L1 ⋅ L2
(4.12)
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Gegeninduktion:
Fließt durch die Primärspule ein zeitlich veränderlicher Strom, dann wird in ihr aufgrund der Selbstinduktion eine Spannung und in der Sekunärspule aufgrund der Gegeninduktion ebenfalls eine Spannung induziert. Sind beide Spulen gleichzeitig durch zeitlich veränderliche Ströme durchflossen, dann werden in beiden Spulen jeweils zwei Spannungen induziert: • durch Selbstinduktion • durch Gegeninduktion
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Gleichsinnige Kopplung: Bei gleichsinniger Kopplung zweier Spulen mit gleichen Einströmungen wirken die Spannungen uR1 , uL1 , uM1 und uR 2 , uL 2 , uM 2 in gleicher Richtung wie die entsprechenden Ströme i1 und i 2 .
Magnetischer Kreis:
Ersatzschaltbild:
Zeitbereich: u1 = uR1 + uL1 + uM1 = R1 ⋅ i1 + L1 ⋅
di1 di +M⋅ 2 dt dt
u2 = uR 2 + uL 2 + uM 2 = R2 ⋅ i 2 + L2 ⋅
di 2 di +M⋅ 1 dt dt
(4.15) (4.16)
Komplexer Bereich: U 1 = R1 ⋅ I 1 + j ωL1 ⋅ I 1 + j ωM ⋅ I 2
(4.17)
U 2 = R2 ⋅ I 2 + jωL2 ⋅ I 2 + j ωM ⋅ I 1
(4.18)
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Gegensinnige Kopplung: Bei gegensinniger Kopplung zweier Spulen mit gleichen Einströmungen wirken die Spannungen uR1 , uL1 und uR 2 , uL 2 in gleicher Richtung wie die entsprechenden Ströme i1 , i 2 und die Spannungen uM1 , uM 2 in entgegengesetzter Richtung wie Ströme i1 und i 2 .
Magnetischer Kreis:
Ersatzschaltbild:
Zeitbereich: u1 = uR1 + uL1 − uM 1 = R1 ⋅ i1 + L1 ⋅
di1 di −M ⋅ 2 dt dt
u2 = uR 2 + uL 2 − uM 2 = R2 ⋅ i 2 + L2 ⋅
di 2 di −M ⋅ 1 dt dt
(4.19) (4.20)
Komplexer Bereich: U 1 = R1 ⋅ I 1 + j ωL1 ⋅ I 1 − j ωM ⋅ I 2
(4.21)
U 2 = R2 ⋅ I 2 + jωL2 ⋅ I 2 − jωM ⋅ I 1
(4.22)
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Der ideale Übertrager (Transformator): Der ideale Übertrager ist ein nichtreales, idealisiertes Gebilde. Folgende Voraussetzungen sollen erfüllt sein (physikalisch nicht möglich): • verlustlos, d.h. Wicklungswiderstände ( R1 = R2 = 0 ) und Eisenverluste vernachlässigbar • Kern mit der Permeabilität µ → ∞ ( Rmagn = 0 ), d.h. Spulen mit Induktivitätswerten L → ∞ • keine Wicklungskapazitäten • streuungsfrei ( σ = 0 ), d.h. der Fluss Φ verläuft ausschließlich im Kernmaterial
I1 U1
I2 n1
n2
U2
Eine Lastimpedanz Z a hat keinen Einfluss auf die Spannungs- bzw. Stromübersetzung. U 1 n1 = U 2 n2
(4.23)
I1 n =− 2 I2 n1
(4.24)
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Der idealisierte Transformator Im Gegensatz zum idealen Transformator besitzt der idealisierte Übertrager eine endliche Permeabilität µ ( Rmag ≠ 0 ). Alle weiteren getroffenen Idealisierungen beim idealen Übertrager werden übernommen.
M
I1 U1
I2
L1
L2
n1
n2
U2
U 1 = j ω [L1 ⋅ I 1 + M ⋅ I 2 ]
(4.27)
U 2 = j ω [L2 ⋅ I 2 + M ⋅ I 1]
(4.28)
Ableitung der Spannungsübersetzung analog zum idealen Übertrager:
U 1 n1 = U 2 n2
(4.29)
Ableitung für Stromübersetzung gilt nicht mehr, da Rmag ≠ 0 : 2
L1h n1 L = = 1 = ü2 L2h n2 L2
(4.30)
I1 n Z + j ωL2 =− 2⋅ a I2 n1 j ωL2
(4.31)
Z in
j ωL1 ⋅
( ) ⋅Z ( ) ⋅Z
j ωL1 ⋅ Z a = = j ωL2 + Z a j ωL + 1
I1 n2 = − ⋅ 1 + I2 n1
( ) n1 n2
⋅ Za j ωL1
n1 n2
n1 n2
2
a
2
(4.32)
a
2
(4.33)
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Der idealisierte Übertrager mit Kupferverlusten Die Kupferverluste werden durch die Widerstände R1 und R2 modelliert.
I1 U1
M
R1 L1
Z in
R2
I2
L2
U2
Za
U 1 = R1 ⋅ I 1 + jω [L1 ⋅ I 1 + M ⋅ I 2 ]
(4.34)
U 2 = R2 ⋅ I 2 + j ω [L2 ⋅ I 2 + M ⋅ I 1]
(4.35)
M 2 = L1 ⋅ L2
(4.36)
L1 n1 = L2 n2 −
2
(keine Streuung)
I 1 n2 Z a + R2 + j ωL2 n2 Z a + R2 = ⋅ = ⋅ 1 + I 2 n1 j ωL2 n1 jωL2
Z in
( ) ⋅ [Z + R ] =R + j ωL + ( ) ⋅ [ Z + R ] j ωL1 ⋅
1
1
n1 n2
n1 n2
(4.37)
(4.38)
2
a
2
a
2
2
(4.39)
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Verlustloser Übertrager mit Streuung U 1 = j ω (L1 − M ) ⋅ I 1 + j ωM ⋅ (I 1 + I 2 )
(4.42)
U 2 = j ω(L2 − M ) ⋅ I 2 + j ωM ⋅ (I 1 + I 2 )
(4.43)
L1 − M
I1
L2 − M I 2
U1
U2
M
I1
L1 − M
L2 − M I 2
U1
I2
U2
M
U2 1:1
Idealer Übertrager
Symmetrisches Ersatzschaltbild:
U 1 = j ωL1σ ⋅ I 1 + j ωL1h ⋅ (I 1 + I 2 ) '
U 2 = j ωL2σ ⋅ '
( )
I1 U1
n1 n2
2
(4.44)
⋅ I 2 + j ωL1h ⋅ (I 1 + I 2 ) '
'
(4.46)
L2σ ⋅ ü 2 I '2
L1σ L1h
I2
'
U2
U2 n1
n2
Idealer Übertrager
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Der eisenlose Übertrager Der eisenlose Übertrager besitzt einen Streufluss und hat Verluste durch die Kupferwiderstände der Wicklungen. Die Gln. (4.40) und (4.41) werden jeweils um einen Widerstands-Term erweitert. I1
M
R1
U1
L1
R2
I2 U2
L2
U 1 = R1 ⋅ I 1 + j ωL1 ⋅ I 1 + j ωM ⋅ I 2
(4.47)
U 2 = R2 ⋅ I 2 + jωL2 ⋅ I 2 + j ωM ⋅ I 1
(4.48)
Symmetrisches Ersatzschaltbild: (Herleitung analog zum verlustlosen Übertrager mit Streuung) U 1 = R1 ⋅ I 1 + j ωL1σ ⋅ I 1 + j ωL1h ⋅ (I 1 + I 2 ) '
U 2 = R2 ⋅ '
I1 U1
( ) n1 n2
R1
2
⋅ I 2 + j ωL2σ ⋅ '
( ) n1 n2
2
⋅ I 2 + j ωL1h ⋅ (I 1 + I 2 ) '
L2σ ⋅ ü 2
L1σ L1h
(4.49) '
'
R2 ⋅ ü 2 I 2
(4.50)
I2
'
U2
U2 n1
n2
Idealer Übertrager
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Vollständiges Ersatzschaltbild des Transformators • Berücksichtigung von Streu-, Kupfer- und Eisenverlusten o Eisenverluste werden durch den ohmschen Widerstand RFe repräsentiert, der parallel zur Hauptinduktivität L1h liegt; • Eigenkapazität der Wicklungen wird vernachlässigt (tritt nur bei höheren Frequenzen auf) RFe ist ein Verlustwiderstand, der die Erwärmung des Eisens infolge ständiger Ummagnetisierung berücksichtigt.
Für Spule ohne Kupferverluste gilt folgendes ESB: uL RFe
iFe = ɵi ⋅ cos(ϕ ) ; iL = ɵi ⋅ sin(ϕ )
L iFe
ϕ
i
2 PW = 21 ⋅ iFe ⋅ RFe ⇒ RFe =
2 ⋅ PW 2 i Fe
iL
ESB des Transformators: I1
U1
R1
L2σ ⋅ ü 2
L1σ I Fe
Iµ
RFe
L1h
'
R2 ⋅ ü 2 I 2
I2
'
U2
n1
n2
U2
Idealer Übertrager
U 1 = (R1 + j ωL1σ ) ⋅ I 1 +
j ωL1h ⋅ RFe ' ⋅ (I 1 + I 2 ) j ωL1h + RFe
U 2 = (R2 + j ωL2σ ) ⋅ ü 2 ⋅ I 2 + '
'
j ωL1h ⋅ RFe ' ⋅ (I 1 + I 2 ) j ωL1h + RFe
(4.51)
(4.52)
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Größen des ESB durch Messung
Leerlaufmessung
sekundär: Leerlauf primär: Nennspannung U1n wird eingestellt Messung: Leerlaufstrom I0 , Leerlaufleistung P0 = PFe (Eisenverluste), Leerlaufspannung U20
I0
R1
L2σ ⋅ ü 2
L1σ
vernachlässigbar
U 1n
'
R2 ⋅ ü 2 I 2 = 0
I2 = 0
stromlos
RFe
L1h
n1
U 2 = U 20
n2
Idealer Übertrager
I0
Leerlauf-ESB:
I Fe RFe
Iµ jωL1h
R1 + j ωL1σ ≪ RFe || j ωL1h ⇒ vernachlässigbar
[R2 + jωL2σ ] ⋅ ( nn ) 1
2
stromlos
2
⇒ vernachlässigbar
P0 U ⋅I = 1n Fe U1n ⋅ I0 U1n ⋅ I0
Leistungsfaktor:
cos(ϕ0 ) =
Eisenverluststrom:
IFe = I0 ⋅ cos(ϕ0 )
(4.53) (4.54) 14
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Magnetisierungsstrom:
I µ = I0 ⋅ sin(ϕ0 )
Eisenverlustwiderstand:
RFe =
U1n IFe
(4.56)
Hauptreaktanz:
X1h =
U1n Iµ
(4.57)
Hauptinduktivität:
L1h =
X1h
Übersetzungsverhältnis:
ü=
Eisenverlustleistung:
P0 = PFe = U1n ⋅ IFe
ω
U1n U20
(4.55)
(4.58)
(4.59) (4.60)
15
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Größen des ESB durch Messung
Kurzschlussmessung
sekundär: Kurzschluss primär: Spannung wird erhöht, bis Nennstrom I1n fließt Messung: KS-Spannung U1k , KS-Leistung Pk (Kupferverluste) I 1k = I 1n R1
U 1k
L2σ ⋅ ü 2
L1σ
vernachlässigbar
RFe
R2 ⋅ ü 2 kurzgeschlossen
L1h
n1
n2
Idealer Übertrager
I 1k = I 1n
Kurzschluss-ESB:
RK
jωLK = jX K
U 1k
RFe || j ωL1h ≫ R1 + j ωL1σ + [R2 + j ωL2σ ] ⋅ ⇒ vernachlässigbar
Pk Pk = U1k ⋅ I1k U1k ⋅ I1n
Leistungsfaktor:
cos(ϕk ) =
KS-Impedanz:
Zk =
KS-Widerstand:
Rk = Zk ⋅ cos(ϕk )
U1k I1n
( ) n1 n2
2
(4.61)
(4.62) (4.63) 16
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KS-Reaktanz:
X k = Zk ⋅ sin(ϕk )
KS-Induktivität:
Lk =
Rk = R1 +
( ) n1 n2
2
Xk
ω
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(4.64) (4.65)
⋅ R2 = R1 + R2'
willkürlich gewählt: R1 = R2'
⇒ R1 = R2 =
Rk 2
(4.66)
Rk 2 ⋅ ü2
(4.67)
genauso ergibt sich: X1σ =
Xk X ; L1σ = k 2 2ω
(4.68)
X 2σ =
Xk Xk ; L2σ = 2 2⋅ü 2ω ⋅ ü 2
(4.69)
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