Einführung in die Theoretische Informatik Semester: IV
HTWM Hochschule für Technik und Wirtschaft Mittweida – University of Applied Sciences Technikumsplatz 17 0xxxx Mittweida Fachbereich: MPI Fachgruppe Informatik
Theoretische Informatik
Seminargruppe: IF99P1 Mitschrift von: Isabel Drost Massaneier Str.55 04736 Waldheim
[email protected] http://www.isabel-drost.de
Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1
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Einführung in die Theoretische Informatik Semester: IV
Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit.............................................................................................. 3 Satz6: REC ⊆ RE (RE=Menge aller aufzählbaren Mengen) .......................................................................... 3 Satz7 – Charakteriesierung der entscheidbaren Mengen: ................................................................................ 3 Satz8: RE={DB(f∈Pa)}={WB:f∈Pa} (Eine Fkt. ist aufzählbar, wenn sie Wertebereich und Definitionsbereich einer partiell rekursiven Fkt. ist.) ...................................................................................... 4
Vorlesung 2 mit Laptop .............................................................................................................5 Bestandsaufnahme – Was ist nicht berechenbar?........................................................................... 5 Satz8: RE= {DB ϕ: ϕ ∈Pa} RE= {WB ϕ: ϕ ∈Pa} ..................................................................................... 5 Satz9: Jedes unendliche M∈RE ist eineindeutig aufzählbar ........................................................................... 5 Satz10: Für unendliche A⊆N gilt: A∈REC A ist streng monoton aufzählbar ........................................... 5 Satz11: Jede unendliche rekursiv aufzählbare Menge besitzt einen unendliche entscheidbare Teilmenge. .... 6 Satz12: RE ist abgeschlossen gegenüber ∩ ∪................................................................................................. 6 Satz13 - Projektionssatz: ................................................................................................................................. 7 Beispiele: ......................................................................................................................................................... 7 Satz 14: K∉REC (Allgemeines Halteproblem) ............................................................................................... 8 Satz 15: REC ⊂ RE ......................................................................................................................................... 8
Darstellung von berechenbaren Funktionen ................................................................................... 9 1. Berechnungsvorschriften ......................................................................................................................... 9 2. Erzeugungsschema der Algebra a=[S,Ω]................................................................................................. 9 3. Nummer bezüglich einer festen Gödelisierung Phi von Pa ..................................................................... 9 4. Symolischer Bezeichner .......................................................................................................................... 9 Eigenschaften: ................................................................................................................................................. 9 Satz 17 (Satz von Rice) Für nichttriviale F⊆Pa ist NF nicht entscheidbar..................................................... 10
Anwendung von Methoden und Ergebnissen aus der Theoretischen Informatik in anderen Bereichen........................................................................................................................................... 10 Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz .......................................................................................................... 10 Satz 18: Jede berechenbare Funktion ist arithmetisch repräsentierbar .......................................................... 11 Satz 19: WA ist nicht aufzählbar ................................................................................................................... 11 Wie ist die Beweisbarkeit von WA?.............................................................................................................. 11 Satz20 Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Jedes Beweissystem (B,F) für WA die Menge der wahren arithmet. Ausdrücke ist notwendigerweise unvollständig. ............................................................................ 11 Isomorphiesatz von Rogers: Haben wir zwei Gödelisierungen, so können wir von einer Gödelisierung in die andere im Sinne einer Isomorphie (eineindeutige Inhaltsgleichung) umrechnen. ......................................... 12 Fixpunktsatz/ Rekursionstheorem: ................................................................................................................ 12
Überblick und Prüfungswichtung/ Musterklausur:...............................................................13 Was ist berechenbar?...............................................................................................................13 Was ist ein Alghorithmus? ......................................................................................................13 Was ist intuitiv berechenbar? ......................................................................................................... 13 Konstruktion von intuitiv berechenbaren Funktionen (Pr, R, Pa) ...................................... 13 Algorithmenmodelle......................................................................................................................... 13 REC, RE............................................................................................................................................ 13
Anwendung in anderen Theorien ...........................................................................................13 Wesentliche Schwerpunkte siehe obige Auflistung! ..............................................................13
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VORLESUNG Fragestellung: Was ist nicht berechenbar? Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit M={[a0... an ]: n∈N, ai∈Z,Summe von i=8 bis n (aiXi = 0 besitzt ganzzahlige Lösungen} H10 ist eine Codierung der Menge M über den natürlichen Zahlen. Liegt das 10 hilbertsche Problem innerhalb REC? (von 1900) 1972 wurde nachgewiesen, das dies nicht der Fall ist, somit liegt H10 auch nicht innerhalb von PA!
Ziel: möglichst umfassende Charakterisierung der nichtentscheidbaren Mengen. (in VO wird nur ein Teil betrachtet werden. Definition: M⊆Ν heißt aufzählbar (rekursiv aufzählbar)= M=∅ oder: es gibt eine allgemein rekursive Funktion f, mit Wf=M. f(0), f(1),...,f(i),.. ∈ M Für x∈M gibt es j∈Ν mit f(j)=x.
Satz6: REC ⊆ RE (RE=Menge aller aufzählbaren Mengen) Beweis Satz6: Vorgehensweise – Es sei M∈REC so folge daraus: M∈RE. Es sei M∈REC so folgt daraus: cM∈R. Fall 1: M= ∅ Fall 2: M ∅ =>es gilt: a ∈ M a falls cM(x)=0 f(x)={ x sonst f ∈R, da cM(x)=0 für beliebige x berechenbares Prädikat und f überall definiert. Wf=M qed. Ist auch jede aufzählbare Menge entscheidbar (RE Teilmenge von REC)?
Satz7 – Charakteriesierung der entscheidbaren Mengen: M ∈REC M ∈RE und ϑ (Komplement) ∈RE Beweis: 1. „=>“ M∈REC => M∈RE (Jede entscheidbare Menge ist auch aufzählbar, nach Satz6) Wenn M entscheidbar ist, so ist auch dessen Komplement entscheidbar, nach Satz5. Auch das Komplement von M liegt in RE – Ist auch das Komplement entscheidbar, so ist es auch aufzählbar (Satz 6). 2. „ Dϕ aufzählbar nach Definition 2. Fall: Dϕ!=0=> Es gibt x ∈Dϕ x0 fall im x-ten Schritt des d.t. die Berechnung nicht abbricht f(x)= t falls im x-ten Schritt des d.t. die Berechnun von Dϕ (t) abbricht Es ist f∈R und es gibt WB=DBϕ Das dovetailin Verfahren – Ergänzungen zum Beweis von Satzx : RE={Dϕ:ϕ∈Pa}< RE⊆{Wϕ:ϕ∈ Pa }< und zu zeigen: RE ≥ {f∈Pa} Es sei M=Wf(f∈Pa) Konstruieren einer Aufzählung f für M mit dovetailing: 1. Fall: Wϕ=0, M∈RE (Definition) 2. Fall: Wϕ!=0=> es gibt a∈Wϕ a falls im x-ten Schritt von d.t. die Berechnung nicht abbricht f(x)= ϕ (i) Fall Berechnung von ϕ (t) abbricht Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1
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Vorlesung 2 mit Laptop Bestandsaufnahme – Was ist nicht berechenbar? M⊆N M ist entscheidbar, wenn CM (charakterist. Funktion) berechenbar ist und umgekehrt M ist nicht entscheidbar, wenn CM nicht berechenbar ist M ist aufzählbar M=∅ oder M berechenbar nummerierbar (M=WBf, f∈R (f überall definiert)) M ist nicht aufzählbar jede Nummerierung von M ist nicht berechenbar REC ⊆ RE (Definition der Entscheidbarkeit ist strenger/ restriktiver als die Aufzählbarkeit) Wegen der Gödelisierbarkeit von Pa gibt es abzählbar viele berechenbare Funktionen. Es gibt aber überabzählbar viele Teilmengen M ⊆ N Daher gibt es auch nur abzählbar viele entscheidbare und abzählbar viele aufzählbare Mengen. Es gibt demzufolge überabzählbar viele nicht entscheidbare und überabzählbar viele nicht aufzählbare Mengen.
Satz8: RE= {DB ϕ: ϕ ∈Pa} RE= {WB ϕ: ϕ ∈Pa} M ist bereits dann aufzählbar, wenn sie der WErtebereich einer partiell rekursiven Funktion ist Eigenschaft: M aufzählbar M semientscheidbar (XM berechenbar)
Satz9: Jedes unendliche M∈RE ist eineindeutig aufzählbar Beweis: Es sei M∈RE, d.h. Wf=M. g(0)=f(0)
g(n+1)=f(t), t=µy(f(y)∉{g(0), ..., g(n)}) g ist a) berechenbar b) überall definiert Der Wertebereich von g ist M (g über f definiert, WB(f) ist M und alle Elemente aus f kommen vor) Wf=M, f∈R und es ist g eineindeutig. qed.
Satz10: Für unendliche A⊆N gilt: A∈REC A ist streng monoton aufzählbar Beweis: 1. „=>“ Es sei A∈REC. Konstruieren einer streng monotonen Aufzählung f von A. (f muß streng monoton steigend sein, da wir bei fallend bei unendlich vielen Elementen nicht wüßten, wo genau wir anfangen sollen...) f(0)= µx(x∈A) (berechenbare Funktion, das kleinste Element existiert, da A ja als unendlich groß definiert wurde) f(n+1)= µx(x∈A und x>f(n)) WBf=A, f streng monoton wachsend und f∈R 2. „ ϕ(A)∈RE } A∈REC Somit wäre RE⊆REC, wir haben bereits: REC ⊆ RE, somit wären Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit das Gleiche.
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Satz13 - Projektionssatz: Eine Menge ist aufzählbar, genau dann, wenn sie die Projektion einer entscheidbaren Menge ist. M∈RE genau dann wenn, es gibt B∈REC und M ist Projektion von B.
Num m er ier bare Menge ( ) N n) P( RE (aufzählbare REC
Mengen)
Formal: M ist aufzählbar M ist Projektion einer geeigneten entscheidbaren Menge B. A⊆N ist Projektion von B⊆N2=Df x∈AEs gibt y mit [x,y] ∈Β Beweis: 1. „=>“ Es sei M aufzählbar, d.h. M=WBf, f∈R Gf={[x,y]:x∈N, y=f(x)} (Graph von f) Gf entscheidbar? => stimmt, wenn man für ein beliebiges Paar Zahlen [a,b] feststellen kann, ob es zu Gf gehört oder nicht. Vorgehensweise: setze a ein und prüfe, ob b herauskommt, kommt b heraus, gehört [a,b] dazu, sonst nicht. Ist M Projektion von Gf? => stimmt, wenn y∈Μ Es gibt eine Nummer x mit f(x)=y 2. „ nimm die 7. Turingmaschine aus all Deinen gödilisierten Turingmaschinen, gib 5 ein und lasse die Maschine 3 Takte laufen, steht sie nach 3 Takten auf dem Endzustand und gibt 6 aus, gibst Du true aus. BT sei die Menge aller der Quadtrupel, für die T wahr ergibt. Kann ich in obigem Bsp. wahr ausgeben, gehört die Fkt zu BT dazu. Ob eine Maschine dazugehört, läßt sich ganz einfach, via ausprobieren, herausfinden. Das heißt, die Menge BT ist entscheidbar. BT{[x1,x2,x3,x4]:T(x1,x2,x3,x4)} ∈REC K ist Projektion von BT : z∈K Es gibt einen Takt t und (eine Ausgabe ) y mit (z, z, t,y) ∈BT (Projetziere auf die erste Komponente und identifiziere mit der zweiten Komponente – Turingmaschine z hält bei Eingabe von z an) Somit ist K aufzählbar, da es Projektion einer entscheidbaren Menge ist. (K∈RE) 2) A={i:Di≠∅} Behauptung: A ist aufzählbar (∈RE) i∈A Es gibt x, es gibt t und es gibt y mit T(x,i,t,y) d.h. A ist Projektion von BT, somit ist A aufzählbar. Weitere Untersuchung von K
Satz 14: K∉REC (Allgemeines Halteproblem) Definition von K: K={i:i∈Di}; i∈Ki∈Di (i ist eine bestimmte Turingmaschine, dieses i gehört zu K, wenn i bei Eingabe von i anhält, sprich, wenn das i zum Definitionsbereich von der i-ten Turingmaschine gehört. Können wir dies angeben, so wissen wir dass ck (charakterist. Fkt. von K) nicht berechenbar ist. Beweis: Annahme: K sei Element von REC, somit müssten sowohl K als auch dessen Komplement ϕ(K)∈RE (aufzählbar) sein (Satz 7); somit müsste nach Satz 6 ϕ(Κ) den Definitionsbereich eines m sein. Gehört m zum Definitionsbereich von m, so gehört m auch zum Komplement von K, so gehört m nicht zu K, so gehört m nicht zum Definitionsbereich von m (Definition von K: m gehört zu K, wenn m zum Definitionsbereich der m-ten Turingmaschine Dm gehört.) m∈Dmm∈ϕ(K)m∉Km∉Dm Dies ist ein Widerspruch. Somit ist die Annahme verkehrt und K ist kein Element von REC. Somit ist K nicht entscheidbar und somit CK (charakterist.Funktion) nicht berechenbar. (Erster Formaler Beweis einer nicht berechenbaren Funktion.)
Satz 15: REC ⊂ RE
Nu N) ( ( P
m m er ier bar e Men gen ) RE (aufzählbare
REC
Mengen) K
Komplement von Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 K nicht aufzählbar
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Darstellung von berechenbaren Funktionen 1. Berechnungsvorschriften • Pascalprogramme • Turingprogramme • Markov-Befehle ... Bsp: (y=0; (x0,...,xn),y) berechnet die Funktion f mit den Eingaben x0 bis xn Ergebnis ist die Null
2. Erzeugungsschema der Algebra a=[S,Ω] • S={0,s}∪{Ik(n):n∈Ν, kN heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es eine Formel F gibt, mit f(x1,...xk)=yF(x1,...,xk,y) ist wahr für beliebige x und y gibt. (F liefert wahr, wenn beide Seiten links gleich sind, sonst falsch . Beispiele: • f(x1,x2)=x1+x2 ist durch x1+x2=y arithmetisch repräsentierbar. • DIV(x1,x2) ist arithmetisch repräsentierbar durch F(x1,x2,y)=∃r((rA, F∈R Bew(B,F)=DF F(B) (Wertebereich von F) = {p: Es gibt b∈B und F(b)=p } (Menge aller der Aussagen, die ich mittels B und F (B,F) beweisen kann. Im allgemeinen gilt: Bew(B,F) B ist aufzählbar (REC ⊆ RE) Aufzählung von B sei ϕ (ϕ (n) sei Element von B) F(ϕ (n)) ist Aufzählung von WA, Widerspruch mit Satz 19. qed.
Beweissystem, dass ich nutze
Isomorphiesatz von Rogers: Haben wir zwei Gödelisierungen, so können wir von einer Gödelisierung in die andere im Sinne einer Isomorphie (eineindeutige Inhaltsgleichung) umrechnen. Sind ϕ und ψ Gödelisierungung von Pa (Pr), dann gibt es einen Übersetzungsisomorphismus h∈R mit ϕi=ψh(i) (Es gibt einen eineindeutige Umrechnungen h von Gödelisierungung ineinander. Es genügt also, sich auf eine Gödelisierung zu beschränken.) S – m – n – Theorem: Für beliebige k k=m+n; gibt es eine Übersetzungsfunktion s mit ϕi=(x1,...,xk)= ϕi(x1,...,xm,y1,...,yn) = ϕs(i,x1,...,xm)(y1,...,yn) (Ich kann also eine k-stellige Funktion in eine n-stellige Fkt. überleiten und die restlichen Stellen m als konstant annehmen.) Konsequenz: Für jede kstellige berechenbare Funktion gibt es eine Übersetzungsfunktion, die es erlaubt, die ersten Parameter als konstant zu betrachten. Bei der Untersuchung von berechenbaren Funktionen kann man sich auf einstellige Funktionen beschränken.
Fixpunktsatz/ Rekursionstheorem: Für jede Gödelisierung ϕ und jede Übersetzungsfunktion k∈R gibt es ein n∈N (nat. Zahlen) mit ϕn = ϕk(n) (n ist der Fixpunkt bezüglich k). Es gibt keine universelle Störfunktion. Es gilt darüberhinaus, dass es unendlich viele solche Fixpunkte gibt.
j
i
ϕi
a
Konsequenz: Es gibt keine universelle Störfunktion.
ϕi != ϕj
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Überblick und Prüfungswichtung/ Musterklausur:
Was ist berechenbar? Was ist ein Alghorithmus? Was ist intuitiv berechenbar? Konstruktion von intuitiv berechenbaren Funktionen (Pr, R, Pa) s, o, Im(n) ... Pr Pr, SUB ... R MIN
R, Pa Hauptsatz der Algorithmentheorie: alle Modelle berechnen das Gleiche, sie berechnen die Fkt. aus Pa
...R/Pa
Algorithmenmodelle Pascalfraqument RAM Turing Markov
These von Church
Gibt es algorithmisch unlösbare Probleme? REC, RE Definition, Eigenschaften, Zusammenhänge zwischen den Mengen RE REC
• • • • • • • •
K (spezielles Halteproblem) dovetailing Reduktion ≤m A≤mB und A∉REC (RE) => B∉REC (B∉RE) H10, PKP (Postsches Korrespondenzproblem) Eigenschaften Gödelisierungen (Definition, Eigenschaften, Aussagen) T (Turingprädikat) Projektionsatz (Aussage über die Aufzählbarkeit und über den Satz von Rice indirekt über die nichtaufzählbarkeit) Satz von Rice
Anwendung in anderen Theorien •
Gödelscher Unvollständigkeitssatz
Wesentliche Schwerpunkte siehe obige Auflistung!
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Einführung in die Theoretische Informatik Semester: IV 1. 2. 3.
4.
5. 6.
Verwendung der Rekursion Erstellung eines Turingprogrammes -++;+++;---;?++;--+;---;--+ (ist die charakterist. Fkt. einer Menge berechenbar, so ist diese Menge entscheidbar) (ist die spezielle charakterist. Fkt. einer Menge berechenbar, so ist die Menge aufzählbar) Komplement monoton aufzählbar => Komplement auch entscheidbar (Satz10') Komplement entscheidbar => M entscheidbar (Satz5) P auf M reduzierbar, M entscheidbar => P entscheidbar Def. Turingprädikat Verwendung für den Beweis der Aufzählbarkeit mithilfe des Projektionssatzes nein – Satz von Rice ja – nur Semientscheidbarkeit gefragt/ Aufzählbarkeit (Dovetailing, Projektionsatz) Man muß zwei Elemente x1 und x2 finden, so, das die Funktionswerte verschieden sind. i ∉M Es gibt x1, x2, t1, t2, y1, y2 mit T(i, xi, t1, y1) und T(i, x2, t2, y2) und y1≠y2
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