Tema 9: Movimiento oscilatorio*

Física I Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica (GIERM) Primer Curso *Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez/Prof.Dra. Ana M. Marco Ramírez Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

1

Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración

Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple

Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

2

Movimiento oscilatorio Movimiento periódico Ejemplos: Barcas sobre el agua Bandera al viento Péndulo de un reloj Moléculas en un sólido V e I en circuitos de corriente alterna

En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

3

Movimiento oscilatorio Forma más básica de movimiento oscilatorio: movimiento armónico simple (MAS) ¿Por qué estudiar el MAS? Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio Aproximación válida en muchos casos de movimiento oscilatorio Componente básico de la ecuación del desplazamiento de movimientos oscilatorios más complejos Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

4

Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración

Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple

Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

5

Representación matemática del MAS: dinámica del MAS Cuerpo unido a un muelle F  kx F

x0  0

• k : constante del muelle

x

• Signo: fuerza restauradora

• Segunda ley de Newton:

F  ma  kx Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

kx a m Tema 9

Condición de MAS para la aceleración 6

Representación matemática del MAS Segunda ley de Newton:

d 2x F  ma  kx m 2  kx  0 dt 2 d x k 2 2  x 0 con:   2 dt m

Solución: x(t )  A cos(t  ) dx • Comprobación:   A sen(t  ) dt d 2x 2 2   A  cos(  t   )   x 2 dt Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

7

Representación matemática del MAS Significado físico de las constantes: x(t )  A cos(t  ) A  

Amplitud (m) Frecuencia angular (rad/s) Constante de fase (rad)

Determinación de A y : x(0)  A cos() v(0)   Asen() Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Dos ecuaciones con dos incógnitas Tema 9

8

Representación matemática del MAS: Ejemplo t 0 x

x(0)  A cos()  A0 v(0)   Asen()  0

A0 2A0 A0

x

 A  A0 Solución:   0

x(t )  A0 cos(t )

t  A0

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

9

Representación matemática del MAS: Resumen Fuerza que provoca un MAS: F  kx

Ley de Hooke

Ecuación diferencial del MAS d 2x 2   x0 2 dt

Ecuación del MAS x(t )  A cos(t  )

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

10

Representación del MAS: periodo y frecuencia Periodo (T): Tiempo necesario para cumplir un ciclo completo x(t )  x(t  T ) x(t  T )  A cos(t  T  ) x 2 T  Unidades: segundos (s) Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

T  2 T

t

T Tema 9

11

Representación del MAS: periodo y frecuencia Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones por unidad de tiempo (ciclos por segundo) 1  f   Unidades: s-1  Hz T 2

Para el resorte: k  m

2 T  2  1 1 f   T 2

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

m k k m

Tema 9

La frecuencia no depende de la amplitud Instrumentos musicales: la nota no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda o la tecla del piano.

12

Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependa de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación

El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa durante el segundo viaje del Skylab (1973) Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

13

Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda del instrumento o la tecla de un piano.

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

14

Representación del MAS: velocidad y aceleración x(t )  A cos(t  ) Posición: Velocidad:

dx El signo indica el v(t )    A sen(t  ) sentido dt k vmax  A  A (para el resorte) m Aceleración: d 2x signo indica el a(t )  2   A2 cos(t  )  2 x(t ) El sentido dt k 2 (para el resorte) amax  A  A m Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

15

Representación del MAS: velocidad y aceleración A

x

x(t )  A cos(t ) T 2

-A A

T

• Suponemos =0

3T 2

 v(t )   Asen(t )  A cos(t  ) 2

v(t )

• Desfase /2 con x(t)

T 2

T

3T 2

a(t )   A cos(t )  A cos(t  ) 2

-A A2

a(t )

2

• Desfase /2 con v(t) T 2 -A2

T

3T 2

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

• Desfase  con x(t) Tema 9

16

Representación del MAS: velocidad y aceleración A

x

t 0 x T 2

-A A

T

v0 2 a   A

3T 2

x

v(t )

t  T4 T 2

T

x

3T 2

v  A a0

-A A2

a(t )

x T 2

-A2

T

3T 2

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

t  T2 x Tema 9

17

v02 a A

Representación del MAS: velocidad y aceleración A

t  T2

x

x T 2 -A A

T

3T 2

v02 a A

x

v(t )

t  34T T 2

T

v  A 0

xa

3T 2

-A A2

a(t )

x T 2

-A2

T

3T 2

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

t T x Tema 9

18

v0 2 a   A

Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración

Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple

Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

19

Energía del MAS Si no hay rozamiento: energía mecánica constante  E  K  U  cte Energía cinética: 1 2 K  mv 2

Energía potencial: x

x

1 2 U ( x)  U (0)  Wmuelle    Fdx   Kx dx  kx 2 0 0 1 2 U ( x)  kx 2 Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

20

Energía del MAS Energía mecánica:  x(t )  A cos(t  ) 1 2 1 2 E  mv  kx con:  2 2 v(t )   A sen(t  ) 1 1 2 2 2 2 E  mA  sen (t  )  kA cos 2 (t  ) 2 2 Usando: m  k 2

(para un resorte)

1 2 1 2 2 2 E  kA (sen (t  )  cos (t  ))  kA 2 2 1 Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

21

Energía del MAS 1 2 E  kA 2 ¡ No depende de la masa !

1 E  kA2 2

• La energía se trasvasa continuamente de cinética a potencial y viceversa

K

1 2 x   A  E  U max  kA 2 1 2 1 2 x  0  E  K max  mvmax  kA 2 2 Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

22

Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración

Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple

Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

24

Sistemas oscilantes: muelle vertical Supongamos muelle vertical Definimos eje y hacia abajo Fuerza del muelle

F  kyu y y

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

25

Sistemas oscilantes: muelle vertical Añadimos una masa m Aparece una fuerza adicional, el peso:

P  mgu y Se puede hallar el alargamiento del muelle ( y0 ): Condición de equilibrio: F  P  0

mg  ky0

mg y0  k Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

Puede usarse para medir k 26

Sistemas oscilantes: muelle vertical Hacemos oscilar el sistema:

mg  ky  ma Definimos: y  y  y0 mg y  y  y0  y  k mg  ky  ky d2y d 2 y ma  m 2  m 2 dt dt d 2 y m 2  ky dt Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

27

Sistemas oscilantes: muelle vertical d 2 y k Ecuación diferencial    y 2 de un MAS dt m Solución: y  A cos(t  )

k 2 m  ;T  2 m  k El único efecto de m es desplazar la posición de equilibrio Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

28

Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración

Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple

Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Prof.Dr. Emilio Gómez González Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

Tema 9

29

Sistemas oscilantes: péndulo simple Objeto de masa m Suspendido de una cuerda ligera (mc