Tema 6.-

ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

PRODUCTO ESCALAR, NORMA Y DISTANCIA. MATRIZ DE GRAM ORTOGONALIDAD PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓ ORTOGONALIZACIÓN DE GRAMGRAMSCHMIDT APROXIMACIÓ LINEAL APROXIMACIÓN VECTORIALES EUCLÍ EUCLÍDEOS

EN

ESPACIOS

SOLUCIÓ APROXIMADA SOLUCIÓN INCOMPATIBLES (MÉTODO CUADRADOS)

DE DE

SISTEMAS MÍNIMOS 1

Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

Una de las aplicaciones má más interesantes en este capí capítulo es el mé método de mínimos cuadrados.. Con frecuencia, al tratar de comprender datos experimentales, deseamos determinar una recta o una curva que “encaje” encaje” o “se ajuste” ajuste” más (o describa mejor) estos datos. Por ejemplo, imaginemos que un profesor de álgebra lineal mantiene las estadí estadísticas (que se muestran a continuació continuación) del porcentaje de notables otorgados durante un perí período de 6 cursos. Curso Porcentaje de notables

1 0.20

2

3

0.25

0.20

4 0.30

5 0.45

6 0.40

Si el profesor quisiera trazar una recta que se acerque a los puntos puntos en la tabla tendrá á muchas opciones. Sin embargo, hay una que se ajusta tendr mejor a estos datos, bajo cierto criterio. . En este capí í tulo veremos que criterio cap esa recta es y = 0.13333 + 0.05 x

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1

Un poco de historia El método por mínimos cuadrados fue inventado por Karl Friedrich Gauss, y lo usó para resolver un problema de astronomía. En 1801 el asteroide Ceres se había observado mucho más brillante durante más de un mes antes de desaparecer cuando se acercó al Sol. Con base en las observaciones disponibles, los astrónomos deseaban aproximar la órbita de Ceres para observarlo de nuevo cuando se alejara del sol. Gauss empleó los mínimos cuadrados e impactó a la comunidad científica al predecir la hora y el lugar correctos (unos 10 meses después) para localizar el asteroide.

Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo). Durante su vida, se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX.

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PRODUCTO ESCALAR Sea V un espacio vectorial real es un producto escalar sobre V si : 1.1.2.2.3.3.4.4.es un espacio vectorial euclí euclídeo Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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2

-EJEMPLOS.1.1.- Producto escalar usual en Para

vectores vectores de

definimos:

vectores vectores de

definimos:

2.2.- Otro producto escalar en Para

3.3.- Producto escalar usual en Siendo 5

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4.4.- Producto escalar usual en Para

definimos:

5.5.- Producto escalar usual en Para

definimos:

Siendo la traza de una matriz cuadrada la suma de los elementos de su diagonal principal.

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-OBSERVACIÓN.- Otra forma (m (más có cómoda) moda) de calcular el producto escalar usual de dos matrices cuadradas del mismo orden

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6.6.- Producto Producto escalar usual en es el espacio tanto integrables en

vectorial de las funciones continuas en [a , b], b], y por [a , b]. . b]

Algunas propiedades del producto escalar.escalar.1.1.-

El nico vector El úúnico vector de de un un espacio espacio vectorial vectorial euclí ídeo V eucl euclídeo V que que cumple cumple que que su su producto producto escalar escalar con con todos todos los los vectores vectores de de V V es es cero, cero, es es el el vector vector nulo. nulo.

2.2.3.3.Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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NORMA Y DISTANCIA EUCLÍDEAS Los conceptos geomé geométricos de longitud, distancia y perpendicularidad, que son bien conocidos para y , se definen en este capí capítulo para y, en general, para cualquier espacio vectorial euclí euclídeo V.. Estos conceptos nos van a proporcionar herramientas geomé geométricas potentes para resolver muchos problemas aplicados, incluidos los problemas de mí mínimos cuadrados que hemos mencionado en la introducció introducción. Los tres conceptos se definen en té términos del producto escalar, tambié también denominado producto interior, de dos vectores.

Sea

un espacio vectorial euclí euclídeo

Norma o longitud de un vector.vector.Distancia entre dos vectores.vectores.-OBSERVACIÓN.Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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Propiedades de la norma.norma.1.1.2.2.3.3.4.4.Desigualdad de Schwarz** 5.5.6.6.Desigualdad de Minkowski o desigualdad triangular Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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*

Sobre la historia de la desigualdad CauchyCauchy-SchwarzSchwarz-Bunyakovsky

Se acredita a Cauchy1 la desigualdad para vectores y a Schwarz2 para los productos escalares con integrales. Sin embargo, fue Bunyakovsky3 quien demostró demostró y publicó publicó la desigualdad de Schwarz en una monografí monografía, 25 añ años antes que Schwarz. Schwarz. 1 Augustin

Louis Cauchy (1789(1789-1857) nació nació en Parí París y murió murió en una villa cercana a esa misma ciudad. Es autor de trabajos importantes sobre ecuaciones diferenciales, series infinitas, infinitas, determinantes, probabilidad, grupos de permutació permutación y de fí física matemá matemática. En 1814 publicó publicó una memoria que se convirtió convirtió en el fundamento de la teorí teoría de las funciones complejas. Su trabajo se conoce por su rigor. Public ó 789 artí Publicó artículos y ocupó ocupó puestos en a Facultad de Ciencias, en el Colegio de Francia y en la Escuela Polit Politéécnica, todos en Parí París. Ha muchos té términos y teoremas que llevan su apellido. Fue un realista fiel y vivió vivió en Suiza, Turí Turín y Praga, despué después de rehusarse a jurar la alianza. Regresó Regresó a Parí París en 1838 y recuperó recuperó su puesto en la Academia de Ciencias. En 1848 recuperó recuperó su lugar en la Sorbona, Sorbona, que mantuvo hasta su muerte. Karl Herman Amandus Schwarz (1843(1843-1921) nació nació en Hermsdorf, Hermsdorf, Polonia (hoy Alemania), y murió murió en Berlí Berlín. Estudió Estudió quí química en Berlí Berlín, pero se cambió cambió a matemá matemáticas, obteniendo el doctorado. Desempeñó Desempeñó puestos acadé académicos en Halle, Zurich y Göttingen. ttingen. Reemplazó Reemplazó a Weierstrass en Berlí Berlín y enseñó enseñó alllí alllí hasta 1917. Trabajó Trabajó en cá cálculo de variaciones y en superficies mí mínimas. Su memoria en ocasió ocasión del 70 aniversario de Weierstrass contiene, entre otros temas importantes, la desigualdad para integrales integrales que hoy se conoce como desigualdad de Schwarz. Schwarz. 2

3 Viktor

Yakovlevich Bunyakovsky (1804(1804-1889) nació nació en Bar, Bar, Ucrania, y murió murió en San Petersburgo, Rusia. Fue profesor en San Petersburgo de 1846 a 1880. Publicó Publicó más de 150 trabajos en matemá matemáticas y mecá mecánica. Fue autor de trabajos importantes en teorí teoría de los nú números, y demostró demostró y publicó publicó la desigualdad de Schwarz en 1859, 25 años antes que Schwarz. Schwarz. Tambié También trabajó trabajó en geometrí geometría y en hidrostá hidrostática. 11 Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

Desigualdad de Schwarz

Definició Definición de ángulo entre dos vectores no nulos.nulos.Es el correspondiente al arco dado por: por:

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EXPRESIÓ EXPRESIÓN MATRICIAL DEL PRODUCTO ESCALAR Si V es un espacio vectorial euclí euclídeo de dimensió dimensión n y es una base de V,, entonces:

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: matriz de Gram, Gram, o matriz del producto escalar dado, en la base B.. G es simé simétrica. Los elementos de la diagonal principal de G son estrictamente positivos. G es regular. : expresió expresión matricial escalar dado en la base B..

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del producto

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ORTOGONALIDAD Definició Definición de vectores ortogonales.ortogonales.-

-EJEMPLOS.- En (

p.e.usual) p.e.usual comprobar que los vectores son ortogonales. ¿Son ortogonales estos vectores con el producto escalar

de V

es el único vector de V ortogonal a todos los vectores

IMPORTANTE 15

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Definició Definición de subconjuntos ortogonales.ortogonales.Dos subconjuntos A y B de V son ortogonales ( cuando

),,

Sea S subespacio vectorial de V y una base de S.. Entonces:

-EJEMPLO.- Comprobar que los subconjuntos

son ortogonales en (

p.e. p.e. usual) usual)

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-EJEMPLO.- Hallar el subespacio vectorial los vectores ortogonales al subespacio: subespacio: utilizando el producto escalar usual en Segú Según la definició definición de

formado por todos

.

, será será:

siendo B una base de S. Primero encontramos una base de S.

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SISTEMAS ORTOGONALES Y ORTONORMALES. PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓ ORTOGONALIZACIÓN DE GRAMGRAM-SCHMIDT En este apartado describiremos un mé método muy importante, llamado proceso de GramGram-Schmidt*. El proceso de GramGram-Schmidt es un algoritmo sencillo para producir una base ortogonal u ortonormal para cualquier subespacio vectorial, de un espacio vectorial euclí euclídeo. deo.

es un sistema ortogonal de vectores si es un sistema ortonormal de vectores si

Vectores Vectores unitarios unitarios

Es Es decir, decir, un un sistema sistema ortonormal ortonormal es es un un sistema sistema ortogonal ortogonal formado formado por por vectores vectores unitarios unitarios

En honor del matemá matemático y actuario dané danés Jörgen Pedersen Gram (1850(1850-1916) y Erhard Schmidt, Schmidt, matemá matemático alemá alemán (1876(1876-1959). Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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-EJEMPLOS.1.1.- En (

p.e. p.e. usual) usual)

el sistema

es ortogonal, ortogonal,

pues: pero no es ortonormal pues: el sistema

es

ortonormal, ortonormal, pues:

2.2.- En

con el producto escalar

¿Son ortogonales los vectores

? 19

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IMPORTANTE

Propi edades de los sistemas ortogonales.Propiedades ortogonales.a)

s.ortogonal de vectores no nulos del e.v. e.v. euclí euclídeo V,, entonces:

b)

s.ortogonal, s.ortogonal, entonces:

-OBSERVACIÓN.En

Para r = 2

con el producto escalar usual: Teorema de Pitá ágoras Pit Pitágoras Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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Proyecció Proyección ortogonal de un vector.vector.- La proyecció proyección ortogonal de sobre es el vector:

-OBSERVACIÓN.-EJEMPLO.- En con el p.e. p.e. usual la proyecció proyección ortogonal del vector sobre es:

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Si es un s. libre de un espacio vectorial euclí euclídeo V,, entonces:

s.ortogonal y

tales que:

s.ortonormal

Todo espacio vectorial euclí ídeo eucl euclídeo de dimensió ón finita n admite dimensi dimensión bases ortogonales y ortonormales ¿¿Cómo Cómo se hallan estas bases?

Proceso de ortogonalizació ón de Gram-Schmidt: ortogonalizaci Gram Schmidt: ortogonalización Gram-Schmidt:

Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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¿¿Cómo Cómo se construye una base ortogonal BOO ((ortonormal ortonormal BON ídeo SS? ? eucl euclídeo ON) de un espacio vectorial euclí 1.1.- Hallar una base B de S:: 2.2.- Proceso de ortogonalizació ortogonalización de GramGram-Schmidt: Schmidt:

3.3.- Normalizar los vectores

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del paso 2.2.-:

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-OBSERVACIONES.1.1.- No es necesario partir de una base B de SS,, basta con partir de un sistema generador de SS.. El proceso de Gram-Schmidt detectará Gram detectará si el Gram-Schmidt sistema es libre o ligado. 2.2.- Suele resultar conveniente calcular los productos escalares de los diversos vectores de la base o s.g. s.g. de S y ““reordenarlos” reordenarlos” reordenarlos” escribiendo en primer lugar aquellos vectores que sean ortogonales entre si. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

Utilizando el p.e. p.e. usual hallar una base ortogonal del s.v. s.v. engendrado por los vectores:

Utilizando el p.e. p.e. usual hallar una base ortogonal del s.v. s.v. engendrado por los vectores:

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APROXIMACIÓ APROXIMACIÓN LINEAL EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍ EUCLÍDEOS En este apartado vamos resolver el siguiente problema: espacio vectorial euclí euclídeo S subespacio de V con Se trata de encontrar

base de S

tal que: sea mí mínima

Este problema admite solució solución y es única. se denomina mejor aproximació aproximación de -OBSERVACIÓN.- Si

en S. S.

, entonces 25

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Mejor aproximació aproximación de

en S..-

Si mejor aproximació aproximación de

es una base ortogonal de S,, la en S es: es:

Coeficientes de Fourier. Fourier. Suma de Fourier. Fourier.Si es una base ortogonal de S:: se denominan coeficientes de Fourier. Fourier. se llama suma de Fourier. Fourier. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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¿¿Cómo Cómo encontrar la mejor aproximació ón de un vector aproximaci aproximación de un espacio vectorial V en un subespacio S de V ? V? 1.1.- Comprobar que 2.2.- Hallar una base B de S:: 3.3.- Proceso de ortogonalizació ortogonalización de GramGram-Schmidt aplicado a B: BOO base ortogonal de S

4.) de 4.- Suma de Fourier ( BO encontrada en el paso 3.3.-: 5.5.- Comprobar el resultado:

respecto de la base ortogonal

HAY HAY QUE QUE TRABAJAR TRABAJAR CON CON EL EL PRODUCTO PRODUCTO ESCALAR ESCALAR DEL DEL PROBLEMA PROBLEMA 27

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-EJERCICIO.- Consideremos el producto escalar usual en a.- Encontrar la mejor aproximació de aproximación subespacio vectorial S y hallar la norma del error cometido.

en el

Solució Solución 1.1.- Comprobamos que 2.2.- Hallamos una base BS de S 3.3.- Aplicamos el proceso de GramGram-Schmidt a la base BS de S para conseguir una base ortogonal BO de S:

Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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4.4.- Suma de las proyecciones ortogonales de de la base ortogonal BO de S:

sobre los vectores

5.5.- Comprobar el resultado: resultado: Norma del error cometido

b.- Utilizando el producto escalar usual encontrar la mejor aproximació en el subespacio vectorial: aproximación de y hallar la norma del error cometido. Solució Solución

Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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SOLUCIÓ SOLUCIÓN APROXIMADA DE UNA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES INCOMPATIBLE. (MÉTODO DE MÍ MÍNIMOS CUADRADOS) CUADRADOS) El ejemplo introductorio del capí capítulo describe un gigantesco problema A · x = b que no tení tenía solució solución. Los sistemas inconsistentes surgen con frecuencia en las aplicaciones, aunque generalmente no con una matriz matriz de coeficientes tan enorme. Cuando se necesita una solució solución y no existe alguna, lo mejor que se puede hacer es encontrar una x que haga A · x tan cercana a b como sea posible.

Pensemos en A · x como una aproximació aproximación de b. Cuanto má más corta sea la distancia entre b y A · x, dada por || b – A · x || mejor será será la aproximació aproximación. El problema general de mínimos cuadrados es encontrar un x que haga || b – A · x || tan pequeñ pequeña como sea posible. El té término de mí mínimos cuadrados surge del hecho de que || b – A · x || es la raí raíz cuadrada de una suma de cuadrados, pues estamos utilizando el producto escalar usual en . Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

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¿¿Cómo Cómo resolver de forma aproximada un sistema de ecuaciones lineales incompatible? 1.1.- Expresar vectorialmente el sistema:

2.2.- Hallar

mejor aproximació aproximación de

en S..

Utilizar el esquema del apartado anterior

HAY HAY QUE QUE TRABAJAR TRABAJAR CON CON EL EL PRODUCTO PRODUCTO ESCALAR ESCALAR USUAL USUAL

3.3.- Resolver el sistema: sistema: La solució solución del sistema (∗) es la solució solución aproximada del sistema incompatible (1). 31 Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

-EJERCICIO.- Resolver de forma aproximada el sistema de ecuaciones lineales dado por:

Solució Solución 1.1.- Comprobamos que el sistema es incompatible:

2.2.- Escribimos el sistema en forma vectorial:

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3.3.- Hallamos la mejor aproximació aproximación

de

en S:

3.1.3.1.- Encontrar una base BS de S 3.2.3.2.- Aplicar el proceso de GramGram-Schmidt a la base BS de S para conseguir una base ortogonal BO de S:

3.3.3.3.- Hallar la suma de las proyecciones ortogonales de sobre los vectores de la base ortogonal BO de S:

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4.4.- Resolver el sistema: sistema:

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Cálculo alternativo de una solución por mínimos cuadrados. El siguiente teorema proporciona un criterio útil para cuando existe una solució solución por mí mínimos cuadrados de A · x = b. b. La matriz ATT · A es invertible si y só ólo si las ssólo columnas de A son linealmente independientes. En este caso, la ecuació ón A · x = b tiene ecuaci ecuación solamente una solució ón por mí ínimos cuadrados soluci m solución mínimos y viene dada por:

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Producto escalar Expresión matricial Espacio vectorial euclídeo

Propiedades

Características

Ortogonalidad Ortonormalidad

Norma Distancia Ángulo entre dos vectores

Vectores Subconjuntos Proyección ortogonal

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CONCEPTOS PROPIEDADES Ejemplos

Teoría de aproximación lineal Objetivo Planteamiento Coeficientes de Fourier Suma de Fourier

Método de Gram-Schmidt 36

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