I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas
TEMA 12. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora consideraremos el sistema de referencia ortonormal formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y la base
,
y
.
ECUACIONES DE LA RECTA. Una recta en el espacio queda determinada por un punto por el que pasa y por un vector no nulo que tenga su misma dirección. A éste se le llama vector director de la recta. Hallemos la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto como vector director al vector .
y que tiene
Para ello consideramos un punto cualquiera de r, X, de modo que
. Como
además y tienen la misma dirección, sus coordenadas son proporcionales ( con lo que la ecuación de la recta es:
En coordenadas: si O(0,0,0), X(x,y,z),
y
, se tiene que:
Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta:
Por último, si despejamos el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores e igualamos se obtiene la ecuación continua de r:
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),
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ECUACIONES DEL PLANO. Un plano queda determinado en el espacio por un punto A y dos vectores paralelos al plano, no nulos y no paralelos entre sí. Hallemos la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto vectores directores y .
y que tiene como
Para ello consideramos X un punto cualquiera del plano , de modo que Como además
,
y
so coplanarios,
es combinación lineal de
y
. , se tiene que
, con lo que la ecuación vectorial del plano es:
En coordenadas:
Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas del plano:
Los vectores , y son coplanarios, por tanto linealmente dependientes, es decir, el determinante formado por ellos es nulo:
Desarrollando el determinante se obtiene una expresión de la forma que es la ecuación general del plano. El vector
es perpendicular al plano, se llama vector normal o asociado al plano.
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PROBLEMAS DE INCIDENCIA. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Consideremos las rectas
y y la matriz
· Si
· Si
y
son paralelos las rectas son paralelas o coincidentes. -
Si son coincidentes
-
Si son paralelas la dirección de
y
,
y
tienen la misma dirección con lo que rg(A)=1. es distinta de la de
y
, luego rg(A)=2.
no son paralelos las rectas se cortan o se cruzan. -
Si se cortan los vectores dependientes, pero y
-
Si se cruzan los vectores
, y son coplanarios , es decir, linealmente no son paralelos con lo que rg(A)=2 ,
y
son linealmente independientes y rg(A)=3.
POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS. Consideremos los planos · Si
y
y
.
son proporcionales los planos coinciden o son paralelos.
-
Si
los planos coinciden.
-
Si
los planos son paralelos. (Condición de paralelismo)
· Si
y
no son proporcionales los planos son secantes.
A las ecuaciones de dos planos que al cortarse definen una recta se les llama ecuaciones implícitas de la recta.
POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO. Consideremos la recta
y el plano de ecuación .
· Si y está contenida en el plano. -
Si el punto Si el punto
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son perpendiculares
son paralelos o la recta
pertenece al plano, la recta está contenida en el plano. no pertenece al plano, la recta es paralela al plano.
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· Si además
y
y no son perpendiculares son secantes. Si son proporcionales el plano y la recta son perpendiculares.
POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Consideremos los planos
, y , el sistema de ecuaciones que forman sus ecuaciones y sus
matrices asociada y ampliada:
Estudiando las posibles soluciones del sistema puede ocurrir: · Si rg(A)=rg(M)=3 el sistema es compatible determinado, la solución es única, luego los tres planos se cortan en un punto.
·Si rg(A)= 2 y rg(M)=3 el sistema es incompatible y hay dos casos: Tema 12. Rectas y planos. Incidencia. Santiago Ajenjo
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-
Los planos se cortan dos a dos siendo las caras laterales de un prisma triangular. Dos planos son paralelos y el otro los corta.
· Si rg(A)=rg(M)=2, el sistema es compatible indeterminados, hay infinitas soluciones que dependen de un parámetro, con lo que la intersección es una recta. En este caso: -
Los tres planos son distintos. Dos planos coinciden y el otro los corta.
· Si rg(A)=1 y rg(M)=2, el sistema es incompatible. Pude ocurrir: -
Los planos son distintos y paralelos dos a dos. Dos planos coinciden y el otro es paralelo a ellos.
· Si rg(A)=rg(M)=1, el sistema es compatible indeterminado, es decir, hay infinitas soluciones que dependen de dos parámetros, con lo que la intersección es un plano. O lo que es lo mismo los tres planos son coincidentes.
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