Skript zur Vorlesung

Technische Thermodynamik Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch

Version 16.03.2002

Technische Thermodynamik ii _________________________________________________________________________

Inhaltsverzeichnis I Nomenklatur......................................................................................................... vi II Abbildungsverzeichnis ....................................................................................... xi III Tabellenverzeichnis .......................................................................................... xiii 1

EINFÜHRUNG ..................................................................................................... 1 1.1 Inhalt und Bedeutung der Thermodynamik .......................................................................................... 1 1.2 Historischer Rückblick............................................................................................................................. 2

2

GRUNDBEGRIFFE .............................................................................................. 3 2.1 Physikalische Größen............................................................................................................................... 3 2.2 Systeme...................................................................................................................................................... 4 2.2.1 Allgemeines System........................................................................................................................... 4 2.2.2 Formen von Energieübertragung ....................................................................................................... 4 2.2.3 Unterscheidungsmerkmale von Systemen.......................................................................................... 5 2.2.4 Gleichgewichtssatz ............................................................................................................................ 7 2.3 Zustand, Zustandsgrößen, Zustandsänderungen................................................................................... 7

3

SYSTEMBESCHREIBUNG................................................................................ 10 3.1 Stoff und Menge ..................................................................................................................................... 10 3.1.1 Volumen .......................................................................................................................................... 10 3.1.2 Stoffmenge....................................................................................................................................... 10 3.1.3 Mengenströme ................................................................................................................................. 12 3.2 Druck, Temperatur und Energie........................................................................................................... 14 3.2.1 Druck ............................................................................................................................................... 14 3.2.2 Temperatur ...................................................................................................................................... 16 3.2.3 Energie............................................................................................................................................. 17

4

ZUSTANDSGLEICHUNGEN ............................................................................. 18 4.1 Zustandsflächen...................................................................................................................................... 18 4.2 Festkörper ............................................................................................................................................... 22 4.2.1 Thermische Längendehnung ............................................................................................................ 22 4.2.2 Thermische Flächendehnung ........................................................................................................... 23 4.2.3 Thermische Volumendehnung ......................................................................................................... 24 4.3 Flüssigkeiten............................................................................................................................................ 24 4.4 Ideale Gase .............................................................................................................................................. 26 4.4.1 Gesetz von Gay-Lussac.................................................................................................................... 26 4.4.2 Gesetz von Boyle-Mariotte.............................................................................................................. 26 4.4.3 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases........................................................................... 27 4.4.4 Gesetz von Avogadro ...................................................................................................................... 31 4.4.5 Mischung idealer Gase..................................................................................................................... 31 4.5 Reale Gase............................................................................................................................................... 35

Technische Thermodynamik iii _________________________________________________________________________

4.6 Dämpfe .................................................................................................................................................... 36 4.6.1 Dampfarten ...................................................................................................................................... 36 4.6.2 Dampfdruckkurven .......................................................................................................................... 37 4.6.3 Grenzkurven .................................................................................................................................... 38 4.6.4 Thermische Zustandsgleichung von Dampf..................................................................................... 39

5

KINETISCHE GASTHEORIE ............................................................................. 41 5.1 Druck als Ergebnis von Stoßvorgängen ............................................................................................... 41 5.2 Temperatur als Maß der kinetischen Energie...................................................................................... 45

6

DER ERSTE HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK....................................... 47 6.1 Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme..................................................................................... 47 6.1.1 Inhalt des ersten Hauptsatzes ........................................................................................................... 47 6.1.2 Mechanische Arbeit und mechanische Energie................................................................................ 47 6.1.3 Volumenänderungsarbeit ................................................................................................................. 51 6.1.4 Wellenarbeit .................................................................................................................................... 54 6.1.5 Dissipationsenergie.......................................................................................................................... 55 6.1.6 Innere Energie.................................................................................................................................. 56 6.1.7 Wärme ............................................................................................................................................. 57 6.2 Der erste Hauptsatz für ruhende geschlossene Systeme...................................................................... 59 6.3 Der erste Hauptsatz für bewegte geschlossene Systeme...................................................................... 60 6.4 Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse................................................................................ 60 6.4.1 Technische Arbeit............................................................................................................................ 60 6.4.2 Enthalpie.......................................................................................................................................... 62 6.5 Instationäre Prozesse in offenen Systemen........................................................................................... 65

7

KALORISCHE ZUSTANDSGLEICHUNGEN ..................................................... 70 7.1 Kalorische Zustandsgleichungen der inneren Energie........................................................................ 70 7.2 Kalorische Zustandsgleichungen der Enthalpie .................................................................................. 70 7.3 Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen................................................................. 71 7.4 Innere Energie und Enthalpie idealer Gase ......................................................................................... 73 7.5 Innere Energie und Enthalpie von Dämpfen........................................................................................ 76 7.6 Spezifische Wärmekapazitäten.............................................................................................................. 77 7.6.1 Wahre spezifische Wärmekapazitäten ............................................................................................. 77 7.6.2 Mittlere spezifische Wärmekapazitäten ........................................................................................... 78

Technische Thermodynamik iv _________________________________________________________________________

8

DER ZWEITE HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK ..................................... 80 8.1 Inhalt des zweiten Hauptsatzes ............................................................................................................. 80 8.2 Entropie................................................................................................................................................... 81 8.2.1 Entropie und Wahrscheinlichkeit..................................................................................................... 81 8.2.2 Entropie als Zustandsgröße.............................................................................................................. 83 8.2.3 Eigenschaften der Entropie.............................................................................................................. 84 8.2.4 Entropie reversibler Prozesse .......................................................................................................... 84 8.2.5 Entropie irreversibler Prozesse ........................................................................................................ 85 8.2.6 Entropie fester und flüssiger Phasen................................................................................................ 86 8.2.7 Entropie idealer Gase....................................................................................................................... 87 8.2.8 Entropie der Dämpfe........................................................................................................................ 88

9

ZUSTANDSÄNDERUNGEN .............................................................................. 89 9.1 Wärme und Arbeit bei reversiblen Zustandsänderungen idealer Gase............................................. 89 9.1.1 Isochore Zustandsänderung ............................................................................................................. 89 9.1.2 Isobare Zustandsänderung ............................................................................................................... 91 9.1.3 Isotherme Zustandsänderung ........................................................................................................... 93 9.1.4 Adiabate Zustandsänderung............................................................................................................. 95 9.2 Wärme und Arbeit bei polytroper Zustandsänderung........................................................................ 97 9.3 Wärme- und Arbeit in Entropiediagrammen ...................................................................................... 99 9.4 T,s-Diagramme idealer Gase ............................................................................................................... 102 9.4.1 Isochore Zustandsänderung idealer Gase....................................................................................... 102 9.4.2 Isobare Zustandsänderung idealer Gase......................................................................................... 103 9.4.3 Isotherme Zustandsänderung idealer Gase..................................................................................... 104 9.4.4 Isentrope Zustandsänderung idealer Gase...................................................................................... 105 9.4.5 Adiabate Zustandsänderung idealer Gase ...................................................................................... 105 9.5 T,s-Diagramm realer Gase................................................................................................................... 108 9.6 h,s-Diagramme...................................................................................................................................... 109 9.7 Zusammenfassung der Zustandsänderungen..................................................................................... 111

10 REVERSIBLE KREISPROZESSE ................................................................... 112 10.1

Allgemeine Kennzeichen eines Kreisprozesses .............................................................................. 112

10.2

Kreisprozesse geschlossener Systeme ............................................................................................. 117

10.3

Kreisprozesse in offenen Systemen ................................................................................................. 119

10.4 Bewertungskennzahlen für Kreisprozesse ..................................................................................... 121 10.4.1 Thermischer Wirkungsgrad (rechtsdrehende Prozesse)............................................................. 121 10.4.2 Leistungsziffer (linksdrehende Prozesse) .................................................................................. 121

Technische Thermodynamik v _________________________________________________________________________

11 KREISPROZESSE THERMISCHER MASCHINEN ......................................... 123 11.1 Vergleichsprozesse für Kolbenmaschinen...................................................................................... 123 11.1.1 Otto-Prozeß ............................................................................................................................... 123 11.1.2 Diesel-Prozeß ............................................................................................................................ 128 11.1.3 Seiliger-Prozeß .......................................................................................................................... 131 11.1.4 Stirling-Prozeß .......................................................................................................................... 134 11.2 Vergleichsprozesse für Turbomaschinen ....................................................................................... 138 11.2.1 Joule-Prozeß.............................................................................................................................. 139 11.2.2 Ericson-Prozeß .......................................................................................................................... 142 11.2.3 Clausius-Rankine-Prozeß .......................................................................................................... 144 11.3

Carnot-Prozeß.................................................................................................................................. 148

11.4

Isentroper Wirkungsgrad adiabater Maschinen........................................................................... 154

11.5 Prozeßoptimierung........................................................................................................................... 156 11.5.1 Wärmerückgewinnung............................................................................................................... 156 11.5.2 Zwischenkühlung....................................................................................................................... 157 11.5.3 Zwischenerhitzung..................................................................................................................... 160 11.5.4 Kombinierte Zwischenkühlung und Zwischenerhitzung............................................................ 164 11.5.5 Abgasturbolader ........................................................................................................................ 165

12 KÄLTEANLAGEN ............................................................................................ 168 12.1

Allgemeiner Kältemaschinenprozeß............................................................................................... 168

12.2

Dampf-Kompressions-Kälteanlage................................................................................................. 170

12.3

Absorptionsverfahren...................................................................................................................... 174

12.4

Luftverflüssigung (Lindeverfahren)............................................................................................... 175

13 LITERATURVERZEICHNIS ............................................................................. 177 14 ANHANG.......................................................................................................... 178

Technische Thermodynamik vi _________________________________________________________________________

I Nomenklatur A

[m ]

Querschnittsfläche

c

m s  

Geschwindigkeit

cp

 J     kg ⋅ K 

spezifische isobare Wärmekapazität

cv

 J     kg ⋅ K 

spezifische isochore Wärmekapazität

d E F

2

[m] [J ] [N ]

Durchmesser Energie Kraft

g

m  2 s 

Erdbeschleunigung

h

[m]

Höhe

h

J     kg 

spezifische Enthalpie

H

[J ]

Enthalpie

I

m  kg ⋅ s   

Impuls

I

[A]

Strom

I!

 kg     s ⋅ m2 

Massestromdichte

L m

[m] [kg ]

Länge Masse

m!

 kg   s   

Massestrom

mT

[kg ]

Teilchenmasse

M

 kg   kmol   

Molmasse

M

[N ⋅ m]

Drehmoment

n

 1   min   

Drehzahl

n

[mol ]

Stoffmenge

Technische Thermodynamik vii _________________________________________________________________________

n

[− ]

Polytropenexponent

NA

 1   mol   

Avogadro-Konstante (Lohschmidtsche Zahl)

p p P

[− ] [Pa ] [W ]

Wahrscheinlichkeit Druck Leistung

q

J     kg 

spezifische Wärme

Q

[J ]

Wärme

q!

W   2 m 

Wärmestromdichte

Q! r R

[W ] [− ] [Ω ]

Wärmestrom Volumenverhältnis Widerstand

R

 J     kg ⋅ K 

stoffspezifische Gaskonstante

Rm

J    K ⋅ kmol   

universelle Gaskonstante

s

[m]

Strecke, Entfernung

s

 J     kg ⋅ K 

spezifische Entropie

S

J  K   

Entropie

t T u U U v V

[s ] [K ] J     kg 

[J ] [V ]  m3     kg 

[m ] 3

Zeit thermodynamische Temperatur spezifische innere Energie innere Energie Spannung spezifisches Volumen Volumen

Technische Thermodynamik viii _________________________________________________________________________

V!

 m3     s 

Volumenstrom

Vn

 m3     kmol 

Molvolumen

wD

J     kg 

spezifische Dissipationsarbeit

wv W W x

J     kg 

[J ] [− ] [− ]

2

1

2

spezifische Volumenänderungsarbeit Arbeit Wahrscheinlichkeit Dampfgehalt

2

spezifische Strömungsarbeit

x,y,z

[m]

Ortskoordinaten

x! , y! , z!

m s  

Geschwindigkeiten

!x!, !y!, !z!

m  2 s 

Beschleunigungen

z Z

[m] [− ]

∫

wv ,12 = p ⋅ dv 1

J     kg 

y

∫

wD ,12 = T ⋅ ds

∫

y12 = v ⋅ dp 1

Höhe Realgasfaktor

Griechische Symbole α

[rad ]

Winkel

α

1 K   

Längenausdehnungskoffizient (Feststoffe)

ε

[− ]

Verdichtungsverhältnis

γ

1 K   

Volumenausdehnungskoeffizient (Flüssigkeiten)

γ

K  m  

Temperaturgradient der Normatmosphäre

η

[− ]

Wirkungsgrad

Technische Thermodynamik ix _________________________________________________________________________ ϕ ϕ κ Ψ µ π

[rad ] [− ] [− ] [− ] [− ] [− ]

Drehwinkel Volumenverhältnis, Einspritzverhältnis Isentropenexponent Druckverhältnis Massenverhältnis Verdichter-Druckverhältnis

ρ

 kg   3 m 

Dichte

σ

J     kg 

spezifische Schmelzwärme

ϑ τ

[°C ] [s ]

Temperatur Zeit

τ

 N     mm 2 

Schubspannung

ω

 rad   s   

Drehrate

Indices

1,2

Zustände

ab

abgeführt

A

axial

D

Dissipation

D

Dampf

el

elektrisch

g

gesamt, total

G

Gewicht

H

Hubraum

k

Kreisprozeß

kin

kinetisch

K

Verdichtungsraum

mech

mechanisch

N

Nutz(arbeit)

irr

irreversibel

Technische Thermodynamik x _________________________________________________________________________

p

isobar

pot

potentiell

rev

reversibel

s

Sättigung

t

technisch

t

tangential

th

thermisch

T

Teilchen

T

Turbine

U

Umgebung

v

isochor

V

Volumenänderung

V

Verdichter

W

Welle

zu

zugeführt

Technische Thermodynamik xi _________________________________________________________________________

II

Abbildungsverzeichnis

Abb. 2.1: Allgemeines thermodynamisches System ............................................................ 4 Abb. 2.2: Geschlossenes System - starre Grenze............................................................. 5 Abb. 2.3: Geschlossenes System - variable Grenze .......................................................... 5 Abb. 2.4: Offenes System, Zylinder ....................................................................................... 5 Abb. 2.5: Offenes System, Kraftwerk..................................................................................... 5 Abb. 2.6: Adiabates geschlossenes System....................................................................... 6 Abb. 2.7: Adiabates offenes System ................................................................................... 6 Abb. 2.8: Zweiphasensystem .............................................................................................. 6 Abb. 2.9: Dreiphasensystem ............................................................................................... 6 Abb. 2.10: Kolben mit isothermer Kompression .................................................................... 8 Abb. 2.11: Isobare Erwärmung.............................................................................................. 8 Abb. 2.12: Isotherme Kompression ....................................................................................... 8 Abb. 2.13: Zustandsänderung von ‘1’ zu ‘2’ in einem T - s - Diagramm ................................ 9 Abb. 3.1: Offenes System mit Mengenstrom ..................................................................... 12 Abb. 3.2: Stationär durchströmtes System ........................................................................ 12 Abb. 3.3: Mit Wasser durchströmtes konisches Rohr........................................................ 13 Abb. 3.4: Druck in einem ruhenden Fluid .......................................................................... 14 Abb. 4.1: Zustandsfläche eines reinen Stoffes .................................................................. 18 Abb. 4.2: Schnitt durch die Zustandsfläche bei T=const.]................................................... 19 Abb. 4.3: Schnitt durch die Zustandsfläche bei v=const. .................................................... 19 Abb. 4.4: Gasvolumen in Abhängigkeit von der Temperatur ............................................ 26 Abb. 4.5: Druck p in Abhängigkeit von V bei unterschiedlichen Temperaturen .................. 27 Abb. 4.6: Mischung zweier Gase....................................................................................... 32 Abb. 4.7: Realgasfaktor Z für Luft bei unterschiedlichen Drücken ..................................... 36 Abb. 4.8: Verschiedene Stadien des Verdampfungsprozesses ......................................... 36 Abb. 4.9: Zustandsänderungen von Wasser beim Erwärmen und Verdampfen ................ 37 Abb. 4.10: Dampfdruckkurven verschiedener Stoffe im p,T-Diagramm ............................... 38 Abb. 4.11: Grenzkurven des Naßdampfgebietes im p,v-Diagramm ..................................... 39 Abb. 5.1: Elastischer Stoß................................................................................................. 41 Abb. 5.2: Unelastischer Stoß............................................................................................. 42 Abb. 5.3: Kontrollvolumen ................................................................................................. 43 Abb. 6.1: Skalarprodukt zweier Vektoren .......................................................................... 47 Abb. 6.2: Bahnkurve eines Massepunktes im Raum ......................................................... 48 Abb. 6.3: Kräfteverteilung an einem Massepunkt im Gravitationsfeld................................ 49 Abb. 6.4: Beschleunigung eines Fahrzeuges .................................................................... 50 Abb. 6.5: Volumenänderungsarbeit infolge einer Kolbenbewegung .................................. 51 Abb. 6.6: Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei einer Kompression................... 52 Abb. 6.7: Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei Umgebungsdruck .................... 52 Abb. 6.8: Zur Berechnung der Wellenarbeit ...................................................................... 54 Abb. 6.9: Zufuhr von Arbeit in ein geschlossenes adiabates System ................................ 56 Abb. 6.10: Zustandsänderung von '1' → '2' durch zwei unterschiedliche Prozesse ............. 56 Abb. 6.11: Zufuhr von Wellenarbeit (a), Zufuhr von Wärme über diatherme Wand (b) ....... 57 Abb. 6.12: Gekühlter elektrischer Leiter .............................................................................. 58 Abb. 6.13: Kontrollraum eines offenen Systems.................................................................. 61 Abb. 6.14: Stationärer Fließprozeß, Wasserkraftwerk......................................................... 63 Abb. 6.15: Masseelement eines strömenden Mediums ....................................................... 65 Abb. 6.16: Füllen einer Gasflasche mit R12 ........................................................................ 67 Abb. 7.1: Integrationsweg zur Bestimmung der Enthalpiedifferenz ................................... 72 Abb. 7.2: Spezifische Wärmekapazität von Kohlenstoff und Metallen ............................... 77 Abb. 7.3: Spezifische isobare Wärmekapazität von Gasen ............................................... 78 Abb. 7.4: Berechnung der mittleren spezifischen Wärmekapazität.................................... 78 Abb. 9.1: Isochore Zustandsänderung im p,V-Diagramm .................................................. 89 Abb. 9.2: Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm .................................................... 91

Technische Thermodynamik xii _________________________________________________________________________

Abb. 9.3: Isotherme Zustandsänderung im p,V-Diagramm: Kompression, Expansion ....... 93 Abb. 9.4: Adiabate Zustandsänderung im p,V-Diagramm: Kompression, Expansion ......... 96 Abb. 9.5: Polytropen im p,V-Diagramm.............................................................................. 97 Abb. 9.6: Darstellung der Wärme im T,s-Diagramm bei reversiblen Prozessen................. 99 Abb. 9.7: Wärme und Dissipation bei irreversiblen Prozessen: nicht-adiabat, adiabat .... 100 Abb. 9.8: Änderung der inneren Energie bzw. Enthalpie a) isochor, b) isobar ................. 101 Abb. 9.9: Isochoren im T,s-Diagramm ............................................................................. 102 Abb. 9.10: Isobaren im T,s-Diagramm ............................................................................... 103 Abb. 9.11: Volumenänderungsarbeit wV12 bei isobarer Zustandsänderung ........................ 104 Abb. 9.12: Isothermen im T,s-Diagramm ........................................................................... 104 Abb. 9.13: Isentrope im T,s-Diagramm .............................................................................. 105 Abb. 9.14: Geschlossenes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression .................. 106 Abb. 9.15: Offen durchströmtes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression.......... 107 Abb. 9.16: T,s-Diagramm für Wasserdampf....................................................................... 108 Abb. 9.17: h,s-Diagramm ................................................................................................... 109 Abb. 9.18: Mollier-Diagramm von Wasserdampf ............................................................... 110 Abb. 10.1: Kreisprozeß eines geschlossenen Systems im p,v-Diagramm ......................... 112 Abb. 10.2: Vereinfachtes Schema einer Dampfkraftanlage ............................................... 113 Abb. 10.3: Reversible Kreisprozesse im pv-Diagramm ...................................................... 115 Abb. 10.4: Kreisprozesse im p,v-Diagramm: a) Wärmekraftmaschine b) Kältemaschine .. 117 Abb. 10.5: Schema einer geschlossenen Gasturbinenanlage ........................................... 119 Abb. 11.1: p,v-Diagramm eines Otto-Viertaktmotors ......................................................... 123 Abb. 11.2: Otto-Vergleichsprozeß: a) p,v-Diagramm, b) T,s-Diagramm ............................. 124 Abb. 11.3: Thermischer Wirkungsgrad des Otto-Vergleichsprozesses.............................. 126 Abb. 11.4: Diesel-Vergleichsprozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm ....................... 128 Abb. 11.5: Seiliger-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm...................................... 132 Abb. 11.6: Arbeitsprinzip des Stirling-Motors und Ort-Zeit-Diagramm ............................... 135 Abb. 11.7: Stirling-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm....................................... 135 Abb. 11.8: Schema einer einfachen Gasturbinenanlage ................................................... 138 Abb. 11.9. Einfache Gasturbinenanlage als geschlossenes System ................................. 139 Abb. 11.10: Joule-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm ............. 140 Abb. 11.11: Geschlossene Gasturbinenanlage nach dem Ericson-Verfahren.................. 142 Abb. 11.12: Ericson-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm.......... 142 Abb. 11.13: Dampfturbinenanlage a) Aufbau und b) p,v-Diagramm ................................. 144 Abb. 11.14: Clausius-Rankine-Prozeß im a) T,s-Diagramm b) h,s-Diagramm .................. 144 Abb. 11.15: Carnot-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm ................................... 148 Abb. 11.16: Carnot-Prozeß und realer Prozeß................................................................. 149 Abb. 11.17: Wärmekraftmaschine (Carnot-Prozeß)......................................................... 150 Abb. 11.18: Zustandsänderungen des reversiblen Carnot-Prozesses ............................. 150 Abb. 11.19: Isentrope und verlustbehaftete Zustandsänderung im h,s-Diagramm ........... 155 Abb. 11.20: Joule-Prozeß mit Wärmerückgewinnung ...................................................... 156 Abb. 11.21: Einfluß der Wärmerückgewinnung auf den thermischen Wirkungsgrad ....... 157 Abb. 11.22: Einfluß der Zwischenkühlung im T,s-Diagramm ............................................ 158 Abb. 11.23: Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenkühlung ........................................ 159 Abb. 11.24: Mehrstufiger Verdichter mit Zwischenkühlung .............................................. 160 Abb. 11.25: Einfluß der Zwischenerhitzung im T,s-Diagramm .......................................... 161 Abb. 11.26: Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenerhitzung ...................................... 163 Abb. 11.27: Mehrstufige Turbine mit Zwischenerhitzung ................................................. 163 Abb. 11.28: Kombinierte Zwischenkühlung und -erhitzung im T,s-Diagramm................... 164 Abb. 11.29: Thermischer Wirkungsgrad bei kombinierter Zwischenkühlung, -erhitzung .. 165 Abb. 11.30: Schaltbild eines Abgasturboladers................................................................ 165 Abb. 11.31: p,v- und T,s-Diagramm eines Kolbenmorors mit Abgasturbolader................. 166 Abb. 12.1: Allgemeiner Kältemaschinenprozeß (Carnot) ................................................ 168 Abb. 12.2: Entropieveränderung bei Kühlung.................................................................... 169 Abb. 12.3: Kompensationswärme ∆Q bei Kälteleistung Q0 ................................................ 169

Technische Thermodynamik xiii _________________________________________________________________________

Abb. 12.4: Abb. 12.5: Abb. 12.6: Abb. 12.7: Abb. 12.8:

Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf ................................................................. 171 Realer Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf...................................................... 173 Ammoniak Absorptionskühlkreislauf................................................................ 174 Luftverflüssigungsanlage nach Linde ............................................................... 175 T,s-Diagramm des Linde-Verfahrens................................................................ 176

III Tabellenverzeichnis Tab. 2.1: Basiseinheiten des SI-Systems............................................................................ 3 Tab. 2.2: Abgeleitete Größen des SI-Systems .................................................................... 3 Tab. 2.3: Zustandsänderungen mit einer konstanten Zustandsgröße ................................. 9 Tab. 3.1: Stoffe und deren Molmassen (Beispiele)............................................................ 10 Tab. 3.2: Temperaturskalen .............................................................................................. 16 5 Tab. 4.1: Schmelzwärmen und Schmelztemperaturen bei p = 10 [Pa] ............................ 20 Tab. 4.2: Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur und kritische Punkte ........................ 20 Tab. 4.3: Längenausdehnungskoeffizient α für einige feste Stoffe.................................... 22 Tab. 4.4: Volumenausdehnungskoeffizienten γ von Flüssigkeiten..................................... 24 Tab. 4.5: Gaskonstanten und Dichten von Gasen bei p=1.0132 bar und T=0°C ............... 28 Tab. 13.1: Defintionen der SI-Basiseinheiten .................................................................... 178 Tab. 13.2: Physikalische Konstante .................................................................................. 178 Tab. 13.3: Stoffdaten von Gasen bei 0°C.......................................................................... 179 Tab. 13.4: Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel) ................................................. 180 Tab. 13.5: Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) ........................................ 182 Tab. 13.6: Sättigungsdampftafel Ammoniak ..................................................................... 184 Tab. 13.7: Mittlere spezifische isobare Wärmekapazität idealer Gase .............................. 185 Tab. 13.8: Stoffwerte von Feststoffen ............................................................................... 186 Tab. 13.9: Stoffwerte von Flüssigkeiten ............................................................................ 190 Tab. 13.10: Stoffwerte von Gasen................................................................................... 191

Technische Thermodynamik Einführung 1 _________________________________________________________________________

1 Einführung 1.1 Inhalt und Bedeutung der Thermodynamik Hauptaufgabengebiet der Thermodynamik ist die Untersuchung und Beschreibung von Energieumwandlungsprozessen durch eine Analyse der unterschiedlichen Erscheinungsformen von Energie und deren Verknüpfungen in Energiebilanzgleichungen. Dies bildet die Grundlage zur Konzeption, Planung und Auslegung von Anlagen zur Energieumwandlung. Anlagen zur Energieumwandlung begegnen uns in vielfältiger Weise: Von der klassischen Dampfmaschine, über Verbrennungsmotoren in Kraftfahrzeugen und Luftfahrzeugen bis hin zu Kraftwerken auf Wind-, Wasser- oder Kernkraftbasis. Weitere Anwendungsgebiete sind z.B. die Klimatechnik, Lüftungs- oder auch die Kältetechik. Die Basis der Thermodynamik wird beschrieben durch die sogenannten Hauptsätze der Thermodynamik. Sie lassen sich nicht aus bereits bewiesenen physikalischen Gesetzen ableiten sondern stellen lediglich auf allgemeinen Erfahrung basierenden Postulate dar, die als brauchbare Arbeitshypothesen verwendet werden können und bis heute noch nicht widerlegt werden konnten. Der erste Hauptsatz oder auch der Energieerhaltungssatz besagt, daß Energie weder erzeugt noch vernichtet werden kann; sie kann lediglich zwischen verschiedenen Erscheinungsformen umgewandelt werde. Der zweite Hauptsatz formuliert die Grenzen der Energieumwandlung und beschreibt welche Umwandlungsprozesse überhaupt möglich sind. Der dritte Hauptsatz beschreibt die Nichterreichbarkeit des absoluten thermischen Nullpunktes und der nullte Hauptsatz definiert das thermische Gleichgewicht. Die Thermodynamik nach dem heutigen Verständnis ist eine allgemeine Energielehre, die sich in die statistische und phänomenologische Thermodynamik gliedern läßt. Die statistische bzw. molekularstatistische Thermodynamik geht von der molekularen Struktur der Materie aus und berechnet die Wechselwirkung zwischen den Molekülen und ihrer Umgebung unter Anwendung mathematisch-statistischer Methoden (kinetische Gastheorie). Die klassische oder auch phänomenologische Thermodynamik stützt sich auf die Beobachtung thermodynamischer Prozesse aus deren Ablauf empirische Gesetze abgeleitet werden. Dieser letztere Ansatz wird in der folgenden Vorlesung weiter verfolgt werden.

Technische Thermodynamik Einführung 2 _________________________________________________________________________

1.2 Historischer Rückblick Die frühere Bezeichnung für Thermodynamik war Wärmelehre. Dies erklärt sich aus der historischen Entwicklung der Erforschung von Wärmeerscheinungen. Bis Mitte des 19. Jahrhunderts ordnete man Wärme einem hypothetischen unzerstörbaren Stoff (caloricum) zu. Dies entspricht zwar in groben Zügen dem Prinzip des ersten Hauptsatzes, d.h. dem Satz von der Energieerhaltung, die Vorstellung der stofflichen Eigenschaft war jedoch unzutreffend. Erste Zweifel an der Stofftheorie wurden mit dem Aufkommen der ersten Wärmekraftmaschinen, d.h. Dampfmaschinen laut.: D. Papin (1647-1712) und T. Newcomen (1663-1729) bzw. J. Watt (1736-1819). Die Idee, daß es eine Äquivalenz zwischen Wärme und Arbeit geben müsse, wurde von Lord Rumford (1753-1814) durch die beobachtete Aufheizung beim Aufbohren von Kanonenrohren entwickelt. Diese Idee wurde von J.P. Joule (1818-1889) weiterentwickelt, der auf experimentellem Weg das sogenannte mechanische Wärmeäquivalent bestimmte. Als Mitbegründer der modernen Thermodynamik gilt N.L.S. Carnot (1796-1832), der ebenfalls die Theorie vertrat, daß Wärme und Arbeit äquivalente Energieformen seien, dies jedoch nicht mehr veröffentlichte. Unabhängig von den Arbeiten von Joule und Carnot wurde diese Theorie 1842 von J.R. Mayer (1814-1878) veröffentlicht. Mit der später erfolgten Veröffentlichung des ersten Hauptsatzes wurde die Stofftheorie als Gedankenmodell endgültig ad acta gelegt. Auf der Basis der Arbeiten von Carnot, Mayer und Joule erstellte R. Clausius (1822-1888) im Jahre 1850 die erste quantitative Formulierung des ersten Hauptsatzes durch Gleichungen zwischen den Größen Wärme, Arbeit und innere Energie. Zur Definition des zweiten Hauptsatzes führte er eine neue Größe ein, die er zuerst als ‚Äquivalenzwert einer Verwandlung‘ und später (1865) als Entropie bezeichnete. Unabhängig von Clausius gelangte fast zeitgleich der britische Physiker W. Thomson (18241907) zu anderen Formulierungen des zweiten Hauptsatzes. Er führte den Gedanken von der Zerstreuung der Energie (dissipation of energy) ein, d.h., daß sich bei real vorkommenden Prozessen der Vorrat an umwandelbarer bzw. arbeitsfähiger Energie verringert. Aus seinen Überlegungen zum zweiten Hauptsatz schloß Thomson (seit 1892 Lord Kelvin) auf die Existenz einer universellen Temperaturskala. Diese universelle, von den spezifischen Eigenschaften von Thermometern unabhängigen Skala, wurde ihm zu Ehren Kelvin-Skala genannt. Durch den von Clausius definierten Entropiebegriff war es nun möglich, aus den thermodynamischen Hauptsätzen allgemeingültige Gesetze für das Verhalten der Materie in ihren unterschiedlichen Aggregatzuständen und in chemische Reaktionen herzuleiten. Daraus entwickelte sich gegen Ende des 19. Jahrhunderts eine neue Disziplin, die sogenannte physikalische Chemie, deren Grundlagen von J.W.Gibbs (1839-1903) durch die Definition der Phasenregel, mit entwickelt wurden.

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 3 _________________________________________________________________________

2 Grundbegriffe 2.1 Physikalische Größen Als physikalische Größen werden charakteristische Eigenschaften von Objekten, wie z.B. Gewicht und Abmessungen eines Körpers oder Temperatur und Leistung eines Motors bezeichnet. Die Wahl geeigneter Einheiten und Definitionen physikalischer Größen ist selbstverständlich in beliebiger Art und Weise möglich. In den technischen Naturwissenschaften wird jedoch seit einigen Jahrzehnten das international vereinbarte ‘Système International d’Unité’ oder auch SI-System, angewendet. Der Begriff ‘international’ ist jedoch mit gewissen Einschränkungen zu sehen, da insbesondere im angelsächsischen Raum und in der Luftfahrt das englische und amerikanische Maßsystem bzw. eine Mischung aus beiden noch üblich sind. Obwohl in Deutschland mit der Verabschiedung des Gesetzes über die Einheiten im Meßwesen vom 02.07.1969 im geschäftlichen und amtlichen Verkehr vorgeschrieben, hat sich diese Erkenntnis offensichtlich noch nicht bis zum LuftfahrtBundesamt (LBA) durchgesetzt. Das im weiteren Verlauf zu verwendende SI-System hat den Vorteil, daß ausgehend von sieben Basiseinheiten, sich alle weiteren physikalischen Größen durch eine Kombination dieser Basiseinheiten darstellen, bzw. ineinander überführen lassen. Tab. 2.1:

Basiseinheiten des SI-Systems

Größe Länge Masse Zeit Elektrische Stromstärke Temperatur Lichtstärke Stoffmenge

Tab. 2.2: Größe Kraft Leistung Energie, Arbeit Druck

Einheit Meter Kilogramm Sekunde Ampère Kelvin Candela Mol

Zeichen m kg s A K cd mol

Definition siehe Tab. 14.1

Abgeleitete Größen des SI-Systems Einheit Newton Watt Joule Pascal

Zeichen N W J Pa

Definition N = kg⋅m/s² W = N⋅m/s J = N⋅m Pa = N/m²

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 4 _________________________________________________________________________

2.2 Systeme Zur Beschreibung von Prozeßabläufen und Maschinen oder Teilen von Maschinen werden thermodynamische Systeme festgelegt, die durch die mehr oder weniger willkürliche Definition von Systemgrenzen beschrieben werden. Diese System- oder auch Kontrollgrenzen dienen der Erfassung des Energie- und Masseaustauschs des Systems mit seiner Umwelt. Die Festlegung von Systemgrenzen orientiert sich zweckmäßigerweise an der konkreten Problemstellung, z.B. der inneren oder äußeren Umrandung einer Brennkammer oder eines Dampfkessels, kann aber auch beliebiger abstrakter Natur sein. Wesentliches Merkmal einer Systemgrenze ist die Möglichkeit die über die Systemgrenzen hinweg stattfindenden Energie- und Masseströme sinnvoll erfassen zu können. Vorzeichendefinition für Energie- und Massenströme: - Positiv für Ströme, die in das System hineinfließen, - negativ für Ströme, die das System verlassen

2.2.1 Allgemeines System

Energiezufuhr

Energieentzug

System

Massezufuhr

Masseentzug

Systemgrenze

Abb. 2.1:Allgemeines thermodynamisches System

2.2.2 Formen von Energieübertragung - Mechanische Arbeit: Kolbenbewegung in einem Zylinder durch Expansion des Gases im Kontrollraum - Thermische Energie: Aufheizung des Kontrollvolumes durch Verbrennung oder Kompression des Kontrollraums - Stoffgebundene Energieübertragung: Massefluß zu oder aus dem Kontrollraum - Wärmestrahlung: Erwärmung durch Sonneneinstrahlung, Heizstrahler

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 5 _________________________________________________________________________

2.2.3 Unterscheidungsmerkmale von Systemen Geschlossene Systeme Merkmal: Materieundurchlässig, d.h. es findet kein Masseaustausch über die Systemgrenze hinweg mit der Umgebung statt

Abb. 2.2:

Geschlossenes System starre Grenze

Abb. 2.3: Geschlossenes System variable Grenze

Offene Systeme Merkmal: Stoffübertragung über die Systemgrenze ist möglich

Zufluß

Abfluß T mechanische Arbeit Abb. 2.4: Offenes System, Zylinder

Abb. 2.5: Offenes System, Kraftwerk

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 6 _________________________________________________________________________

Adiabate Systeme Merkmal: Es erfolgt keine Wärmeübertragung über die Systemgrenzen hinweg, d.h. ‘ideal’ isolierte Wände

ideale Isolierung Abb. 2.6: Adiabates geschlossenes System

Abb. 2.7: Adiabates offenes System

Einphasensysteme Unterscheidung des Systems nach der inneren Struktur, d.h. nach fester, flüssiger oder gasförmiger Erscheinungsform. Das Einphasensystem besteht demnach aus einer homogenen Substanzmenge, deren chemische und physikalische Eigenschaften örtlich konstant sind.

Mehrphasensysteme Systeme, in dem mindestens zwei unterschiedliche Phasen vorliegen, z.B. flüssiges Wasser zusammen mit Wasserdampf.

Wasserdampf

Wasserdampf Eis Wasser

Wasser

Abb. 2.8:

Zweiphasensystem

Abb. 2.9:

Dreiphasensystem

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 7 _________________________________________________________________________

2.2.4 Gleichgewichtssatz Allgemein: Jedes sich selbst überlassene geschlossene System strebt einem Gleichgewichtszustand zu, in dem es so lange verharrt, so lange keine äußeren Einflüsse auf das System einwirken. - Thermisches Gleichgewicht: - Mechanisches Gleichgewicht: - Chemisches Gleichgewicht:

T = const. p = const. M = const.

Bei gleichzeitigem Vorliegen aller drei Gleichgewichtszustände, spricht man auch von einem Thermodynamischen Gleichgewicht

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik: Zwei geschlossene Systeme befinden sich im thermischen Gleichgewicht, wenn beide Systeme die gleiche Temperatur besitzen. Bsp.: Berührungsthermometer

2.3 Zustand, Zustandsgrößen, Zustandsänderungen Zur vollständigen Beschreibung eines thermodynamischen Systems ist neben der Definition der Systemgrenzen auch eine Beschreibung seiner physikalischen und chemischen Systemeigenschaften erforderlich. Diese Systemeigenschaften werden durch die Zustandsgrößen beschrieben, welche Variable darstellen. Der Zustand eines einfachen, homogene Systems läßt sich durch die vier Zustandsgrößen Stoffmenge, Volumen, Druck und Temperatur eindeutig beschreiben. Einteilung von Zustandsgrößen: - Äußerer Zustand: Ortskoordinaten, Geschwindigkeit, Beschleunigung z.B. x , x! , !x! - Innerer Zustand: Volumen, Druck, Temperatur, Masse z.B. V, p, T, m - Intensive Zustandsgrößen: Unabhängig von der Systemmasse, sie bleiben bei einer Aufteilung des Systems in Subsysteme unverändert, z.B. p, T - Extensive Zustandsgrößen: Im Gegensatz zu den intensiven Zustandsgrößen sind die extensiven Zustandsgrößen abhängig von der Systemmasse, z.B. V - Spezifische Zustandsgrößen: Auf die Systemmasse bezogene Zustandsgrößen, z.B. v =

V m

Die Abhängigkeit der einzelnen Zustandsgrößen von einander läßt sich durch sog. Zustandsgleichungen beschreiben

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 8 _________________________________________________________________________

Bsp.: Zustandsgleichung des idealen Gases:

p = ρ ⋅ R ⋅ T ⇒ p = f ( ρ, T )

mit der stoffabhängigen Gaskonstanten R

Zustandsänderungen Zustandsgrößen sind wegunabhängig, d.h. der Weg auf dem ein Zustand erreicht wird, ist ohne Bedeutung. Bsp.: Überführung einer Gasmenge von einem Anfangszustand ‘1’ in einen Endzustand ‘2’. Der Anfangszustand ‘1’, gekennzeichnet durch den Druck p1 und das spezifische, d.h. auf die Masse m bezogene Volumen v1 läßt sich auf mehrere Möglichkeiten in den Zustand ‘2’ , gekennzeichnet durch p2 und v2 , überführen. A) durch Verdichtung in einem Kolben ohne Wärmezufuhr, s = const.

s = const.

Abb. 2.10:

Kolben mit isothermer Kompression

B) durch Wärmezufuhr bei konstantem Druck p1 und anschließender Kompression auf p12 bei konstanter Temperatur T = T2 durch konstante Rückkühlung

p = const. Qzu

Abb. 2.11:

T = const. Qab

Isobare Erwärmung

Abb. 2.12:

Isotherme Kompression

Technische Thermodynamik Grundbegriffe 9 _________________________________________________________________________

Darstellung in einem T - s – Diagramm Isotherme T

B2

1'

2

Isobare A

B1

Isentrope 1 s Abb. 2.13:

Zustandsänderung von ‘1’ zu ‘2’ in einem T - s - Diagramm

Zustandsänderungen bei denen eine bestimmte Zustandsgröße konstant gehalten wird werden besonders gekennzeichnet:

Tab. 2.3: Zustandsänderungen mit einer konstanten Zustandsgröße Volumen Druck Temperatur Entropie Enthalpie

V = const. p = const. T = const. s = const. h = const.

dV = 0 dp = 0 dT = 0 ds = 0 dh = 0

Isochore Isobare Isotherme Isentrope Isenthalpe

Prozeß Die Beschreibung der Zustandsänderung eines Systems wird als Prozeß bezeichnet. Unterschiedliche Prozesse können die gleiche Zustandsänderung hervorrufen.

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 10 _________________________________________________________________________

3 Systembeschreibung 3.1 Stoff und Menge 3.1.1 Volumen Die räumliche Ausdehnung eines Systems, beschrieben durch die Systemgrenzen definiert sein Volumen V (extensive Zustandsgröße). Gebräuchlich ist jedoch insbesondere das auf die Systemmasse m bezogene spezifische Volumen v.

v=

V m3    m  kg 

bzw. die Dichte ρ als Kehrwert des spezifischen Volumens v ρ=

m 1  kg  = V v  m 3 

3.1.2 Stoffmenge Die Stoffmenge eines Systems läßt sich entweder durch Angabe seiner Masse m [kg] definieren oder durch die Anzahl seiner Mole, d.h. seine Molzahl n. Wobei ein Mol eines 12 Stoffes der Anzahl der Teilchen, die in 0.012 kg des Kohlenstoff-Isotops C enthalten sind 23 entspricht, d.h. 6.0221367⋅10 Teilchen. Diese Zahl wird auch als Avogadro-Konstante, bzw. Loschmidtsche Zahl bezeichnet. 23

NA = 6.0221367⋅10 [1/mol] Die Molmasse M eines Stoffes, ist ähnlich seiner Dichte ρ eine charakteristische Stoffeigenschaft, die in physikalischen Tabellen aufgelistet sind. Multipliziert man die Teilchenmasse mT mit der Avogadro-Konstante NA , so ergibt sich die Molmasse des Stoffes zu: M = mT ⋅ NA [kg/kmol] Tab. 3.1:

Stoffe und deren Molmassen (Beispiele)

Stoff Wasserstoff Helium Kohlenstoff Stickstoff Sauerstoff Fluor Chlor Schwefel Schwefeldioxid Stickstoffdioxid Lachgas Kohlenmonoxid Kohlendioxid Methan Ethan Luft (trocken)

Chemisches Symbol H2 He C N2 O2 F2 Cl2 S SO2 NO2 N2O CO CO2 CH4 C2H6

Molmasse M [kg/kmol] 2.01594 4.0026 12.01115 28.0134 31.9988 37.9968 70.906 32.066 64.065 46.0055 44.0128 28.010 44.010 16.043 30.070 28.9647

Das Molvolumen Vm eines Stoffes ergibt aus dem Volumen V und der Stoffmenge (=Molzahl) n zu

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 11 _________________________________________________________________________ Vm = V/n = M⋅v

3

[m /kmol]

Der Zusammenhang zwischen der Masse m, der Molzahl n, der Teilchenmasse mT sowie der Molmasse M ergibt sich aus m = n⋅NA ⋅mT = n⋅M

[kg]

Systeme, in denen chemische Reaktionen ablaufen, z.B. bei der Untersuchung von Verbrennungsvorgängen, werden zweckmäßigerweise durch die Angabe der Molzahl beschrieben, während Systeme ohne chemische Reaktionen durch die Angabe der Masse in [kg] beschrieben werden können.

_________________________________________________________________________ Beispiele Ü 3.1: Bestimmung der Masse m von n = 0.56 kmol Lachgas Molmasse von Lachgas (N2O) aus Tab. 3.1 : M(N2O) m = n⋅M

= 44.0128 kg/kmol = 24.647 kg

Ü 3.2: Bestimmung der Molmasse M von Wasser Zur Synthese von 1 kmol Wasser werden 1 kmol Wasserstoff und 0.5 kmol Sauerstoff benötigt. Mit den Molmassen aus Tab. 3.1 ergibt sich: M(H2O) = M(H2) + 0.5⋅M(O2) = 2.01594 + 0.5⋅31.9988 = 18.01534 kg/kmol

Ü 3.3: Bestimmung des spezifischen Volumens v, der Dichte ρ , des Molvolumens Vm und der Stoffmenge n eines mit m = 1000 kg Ethan gefüllten Druckbehälters, der ein 3 Volumen V = 5 m aufweist. Molmasse Ethan (C2H6) spezifisches Volumen Dichte Molvolumen Stoffmenge

M(C2H6) v ρ Vm n

= V/m = 1/v = M ⋅v = m/M

= 30.070 kg/kmol 3 = 0.005 m /kg 3 = 200 kg/m 3 = 0.15 m /kmol = 33.3 kmol

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 12 _________________________________________________________________________

3.1.3 Mengenströme Zur Charakterisierung offener Systeme ist die Beschreibung der Mengenströme erforderlich.

Systemgrenze

m

c

Massestrom, der die Systemgrenze überschreitet Querschnitt A Wegstrecke s

Abb. 3.1:Offenes System mit Mengenstrom

Ein Stoff fließt mit der Geschwindigkeit c über die Systemgrenze (Rohr mit Querschnitt A). In der Zeitspanne ∆τ legen die Stoffteilchen den Weg s = c ⋅ ∆τ zurück. Dadurch ergeben sich folgende Ströme: - Volumenstrom: ⋅

V=

V s⋅ A =c⋅A = ∆τ ∆τ

m 3     s 

- Massestrom:

m! =

m ρ ⋅V  kg  = = ρ ⋅ V! = ρ ⋅ c ⋅ A   ∆τ ∆τ s 

- Massestromdichte:

m! ρ ⋅ V!  kg  I! = = = c⋅ρ  A A  s ⋅ m2  Für stationär durchströmte Systeme gilt:

m! = const .

!

!

Abb. 3.2:

Stationär durchströmtes System

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 13 _________________________________________________________________________

Aufgrund der Massenerhaltung folgt somit: m! 1 = ρ 1 ⋅ c1 ⋅ A1 = ρ 2 ⋅ c2 ⋅ A2 = m! 2

_________________________________________________________________________ Ü 3.4: Mit Wasser durchströmtes konisches Rohr Mittlere Eintrittsgeschwindigkeit: Eintrittsquerschnitt: Austrittsquerschnitt:

c1 = 0.0632 m/s d1 = 48.4 mm d2 = 112.3 mm

Welcher Massestrom, welche Massestromdichte und welche Geschwindigkeit ergeben sich im Austrittsquerschnitt?

A1 c1 ρ1 '1' Abb. 3.3:

'2'

A2 c2 ρ2

Mit Wasser durchströmtes konisches Rohr

[ ]

π 2 ⋅ d 1 = 1.84 ⋅ 10 − 3 m 2 4  kg  ρ 1 = ρ 2 = ρ (H 2 O ) = 10 3   m 3   kg  m! 1 = ρ 1 ⋅ c 1 ⋅ A1 = 0.116    s  kg   m! 2 = m! 1 = 0.116    s  m! m! 2 0.116  kg  I! 2 = 2 = =   A2 π 2 9.9 ⋅ 10 − 3  m 2 ⋅ s  ⋅ d2 4 m! 2 0.116 m c2 = = = 0.0117   ρ 2 ⋅ A2 10 3 ⋅ 9.9 ⋅ 10 − 3 s A1 =

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 14 _________________________________________________________________________

3.2 Druck, Temperatur und Energie 3.2.1 Druck Der Druck p wird definiert als Quotient aus der Druckkraft F und der Fläche A auf die diese wirkt, wobei die Druckkraft senkrecht auf die Fläche A wirkt.

p=

F A

Pa =

N m2

Bsp.: Druck in einem ruhenden Fluid (hydrostatischer Druck)

pr⋅∆A pr

FG

h

p⋅∆A

Abb. 3.4:

Druck in einem ruhenden Fluid

F ⇒F = p⋅ A A F = m ⋅ g = ρ ⋅ V ⋅ g = ρ ⋅ h ⋅ ∆A ⋅ g p=

Kräftebilanz am Fluidelement:

p ⋅ ∆A − FG − p r ⋅ ∆A = 0 p (h) ⋅ ∆A − ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ∆A − p r ⋅ ∆A = 0 p ( h) = p r + ρ ⋅ g ⋅ h

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 15 _________________________________________________________________________

Ü 3.5: Druckänderung in Wasser von h = 0 auf h = -5m ∆p = p(h = −5 ) − p(h = 0 ) = ρ ⋅ g ⋅ h  kg  m ∆p = 10 3  3  ⋅ 9.81  2  ⋅ 5 [m] = 4.905 ⋅ 10 4 [Pa ] ≈ 0.5 [bar ] m  s 

Ü 3.6: Druckänderung in der Atmosphäre von h = 0 auf h = +5000m Barometrische Höhenformel: −g  R⋅γ

 γ ⋅h  p(h= 5000 ) = p( h=0 ) ⋅  1 +  T(h=0 )  

mit den Größen für die Normatmosphäre: p(h=0) T(h=0) γ g

= 101325 [Pa] = 288.15 [K] = -0.0065 [K/m] = 9.81 [m/s²]

und der Gaskonstanten für Luft R

= 287.1 [J/kg⋅K]

ergibt sich der Druck in der Höhe h = 5000m zu −9 .81

p (h = 5000 ) p (h = 5000 ) ⇒

− 0 .0065 ⋅ 5000  287 .1⋅−0.0065  = 101325 ⋅  1 +  288 .15   = 54014 [Pa ] ≈ 0 .54 [bar ]

Im Gegensatz zu Flüssigkeiten kann bei Gasen in geschlossenen Behältern die Dichtänderung über die Höhe vernachlässigt werden.

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 16 _________________________________________________________________________

3.2.2 Temperatur Ein System, für welches durch eine bestimmte Vorschrift eine Temperaturfunktion ϑ festgelegt wird, bezeichnet man als Thermometer. Aufgrund der willkürlichen Festlegung dieser Vorschrift wird ϑ auch als empirische Temperatur bezeichnet. Die Temperaturmessung eines Systems beruht darauf, das Thermometer und das System in ein thermisches Gleichgewicht zu bringen. Wobei jedoch die Temperatur des zu messenden Systems unverändert bleiben soll und sich lediglich die Temperatur des Thermometers ändert. Insbesondere bei der Temperaturmessung kleiner Massen wird diese Anforderung nur näherungsweise erfüllt. Ein Ausweichmöglichkeit stellen berührungsfreie Meßverfahren dar, wie z.B. die Infrarot-Thermographie Zur Temperaturmessung lassen sich Systeme verwenden, die eine eindeutige temperaturabhängige physikalische Eigenschaft aufweisen, die sich leicht messen läßt. Z.b die Volumenänderung von Flüssigkeiten (Fieberthermometer) oder die Änderung des elektrischen Widerstands mit der Temperatur (Widerstandsthermometer). Zur Definition der Temperatur sind unterschiedliche Skalen üblich. - Celsius-Skala [°C] - Fahrenheit-Skala [°F] - Rankine-Skala [°R] - Thermodynamische bzw. absolute Temperatur in Kelvin [K]

Tab. 3.2:

Temperaturskalen

Skala Celsius-Skala [°C] Fahrenheit-Skala [°F] Rankine-Skala [°R] Thermodynamische Temperatur, Kelvin-Skala [K]

Umrechnungsformeln - Celsius in Kelvin:

T K = t C + 273.15 K

- Fahrenheit in Celsius:

t C =

5 ⋅ ( t F − 32 ) 9

- Kelvin in Rankine

T [R ] = t [K ]⋅

9 5

Wassereis Siedendes Wasser 100.00°C 0.00 °C 212.00 °F 32.00 °F 671.67 °R 491.67 °R 273.15 K 373.15 K

Technische Thermodynamik Systembeschreibung 17 _________________________________________________________________________

3.2.3 Energie Im folgenden werden die wichtigsten mit der Energie in Zusammenhang stehenden Einheiten dargestellt. - Arbeit (=Energie) = Kraft x Weg

1 Joule = 1 J = 1 Nm = 1

kg ⋅ m2 kg ⋅ m m 1 ⋅ = = 1W ⋅ s s2 s2

- Energiestrom = Leistung = Arbeit/Zeit

1Watt = 1W = 1

J kg ⋅ m2 =1 3 s s

- Spezifische Energie = Energie/Masse

1

J W ⋅s m2 =1 =1 2 kg kg s

- Spezifischer Energiestrom = Energiestrom/Masse

W m2 1 =1 3 kg s

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 18 _________________________________________________________________________

4 Zustandsgleichungen 4.1 Zustandsflächen Bei Systemen, in denen lediglich eine einzige Phase vorliegt (Einphasensystemen) wird der thermodynamische Zustand durch die Angabe der Variablen Druck p, Temperatur T und spezifisches Volumen v eindeutig festgelegt. Die Verknüpfung dieser Variablen erfolgt durch eine sogenannte Zustandsfunktion oder auch Zustandsgleichung F(p,T,v) = 0 oder in expliziter Schreibweise für die einzelnen Zustandsvariablen: p = p(T,v) T = T(p,v) v = v(p,T) Je zwei der Zustandsgrößen sind also unabhängige Variable während die dritte Größe die abhängige Variable darstellt. Die Zustandsgleichungen sind abhängig von dem jeweils betrachteten Stoff und werden in aller Regel empirisch ermittelt. Die experimentell ermittelten Wertetrippel von p,v,T lassen sich in einem entsprechenden p,v,T –Koordinatensystem in Form einer Fläche darstellen. Diese Fläche wird auch als Zustandsfläche bezeichnet und ist für einen reinen Stoff in Abb. 4.1 skizziert.

Abb. 4.1:

Zustandsfläche eines reinen Stoffes

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 19 _________________________________________________________________________

Schneidet man diese Zustandsfläche mit einer Ebene bei p = const. so erhält man als Schnittkurven Isobaren, d.h. Linien gleichen Drucks. Schnitte bei T = const. liefern Isothermen als Schnittkurven und Schnitte bei v = const. ergeben Isochoren, d.h. Linien gleichen spezifischen Volumens.

Abb. 4.2: Schnitt durch die Zustandsfläche bei T=const.]

Abb. 4.3: Schnitt durch die Zustandsfläche bei v=const.

In Abb. 4.1 ist eine Isobare, die Linie A-B-C-D-E-F , hervorgehoben. Diese Linie entspricht dem Prozeß, den ein Stoff infolge von Wärmezufuhr bei konstantem Druck von der festen Phase über die flüssige Phase in die gasförmige Phase durchläuft. Auf der Zustandsfläche lassen sich einige ausgewählte Bereiche unterscheiden: Einphasengebiete Die Einphasengebiete umfassen die Bereiche in denen der Stoff in genau einer Phase vorliegt, d.h. als Festkörper, als Flüssigkeit oder als Gas. Schmelzgebiet Der Abschnitt der Linie B-C liegt in dem Bereich des Schmelzgebietes. Beim Übergang des Stoffes von der festen zur flüssigen Phase bleibt die Temperatur auf der Isobaren so lange konstant, bis der Stoff vollständig von der festen in die flüssige Phase übergegangen, d.h. geschmolzen ist. Dabei erfährt der Stoff eine deutliche Volumenänderung, sein spezifisches Volumen v wird erheblich vergrößert. Das Schmelzgebiet stellt ein sogenanntes Zweiphasengebiet dar. Es liegen gleichzeitig die feste und flüssige Phase vor, die sich bei konstantem Druck und konstanter Temperatur im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Dieses Schmelzgebiet wird zur festen Phase von der Schmelzlinie und zur flüssigen Phase von der Erstarrungslinie begrenzt. Schmelzlinie Zum Überschreiten der Schmelzlinie von der festen zur flüssigen Phase ist dem Stoff eine Phasenänderungsenergie oder auch Schmelzwärme bzw. Schmelzenthalpie zuzuführen. Die erforderliche Schmelzenthalpie und die Schmelztemperatur sind druckabhängig. In Tab. 4.1 sind für einige ausgewählte Stoffe die Schmelzwärmen bei einem Druck von 5 p = 10 [Pa] angegeben.

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 20 _________________________________________________________________________ 5

Tab. 4.1: Stoff

Schmelzwärmen und Schmelztemperaturen bei p = 10 [Pa] spezifische Schmelzwärme σ Schmelztemperatur ϑ [KJ/kg] [°C] Aluminium Al 356 658 Blei Pb 23.9 327.3 Eisen (rein) Fe 207 1530 Stahl Fe + 0.2%C ca. 209 ca. 1500 Grauguß Fe + 2.0%C ca. 96 ca. 1200 Kupfer Cu 209 1083 Ammoniak NH3 339 -77.9 Äthylalkohol C2H5OH 108 -114.2 Schwefeldioxid SO2 116.8 -75.5 Quecksilber Hg 11.3 -38.9 Wasser (Eis) H2O 333.5 0

Erstarrungslinie Durch Wärmeentzug des Stoffes in der flüssigen Phase wird die Richtung des Teilprozesses C-D umgekehrt und der Stoff geht bei Überschreiten der Erstarrungslinie wieder in die feste Phase über. Siedelinie Die flüssige und gasförmige Phase sind durch zwei im Punkt K zusammenlaufende Kurven voneinander getrennt. Die linke Kurve wird als Siedelinie bezeichnet. Bei zunehmender Wärmezufuhr bleibt die Temperatur auf der Isobaren konstant, während das spezifische Volumen v stark zunimmt (Linie D-E). Taulinie Der Siedevorgang ist mit Erreichen der Taulinie abgeschlossen und der Stoff ist bei Überschreiten der Taulinie vollständig von der flüssigen Phase in die Gasphase übergegangen. Analog zur Schmelzenthalpie ist auch in diesem Fall eine druckabhängige Phasenänderungsenergie für diesen Phasenwechsel erforderlich, die sogenannte Verdampfungswärme oder auch Verdampfungsenthalpie ∆hD. Nach Überschreiten der Taulinie steigt bei zunehmender Wärmezufuhr die Temperatur in der Gasphase wieder an (Linie E-F). Die Bezeichnung Taulinie ergibt sich aus der Umkehrung des Prozesses, d.h. wenn der Prozeß in der Richtung F-E-D durchlaufen wird und dem Stoff Wärme entzogen wird, beginnt der Stoff beim Überschreiten der Taulinie zu kondensieren und es bilden sich erste Flüssigkeitströpfchen. Für einige ausgewählte Stoffe ist in Tab. 4.2 die Verdampfungswärme und Siedetemperatur 5 bei einem Druck von p = 10 [Pa] angegeben. Tab. 4.2:

Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur und kritische Punkte

Stoff

Verdampfungsenthalpie

∆hD [KJ/kg]

Ammoniak Äthylalkohol Schwefeldioxid Quecksilber Wasser

NH3 C2H5OH SO2 Hg H2O

1369 846 402 285 2257

Siedetemperatur ϑS [°C] -33.4 78.3 -10.0 356.7 100.0

Kritischer Druck pkr [bar] 112.8 63.8 78.8 1608 221.2

Kritische Temperatur ϑkr [°C] 132.3 243.1 157.5 1480 374.15

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 21 _________________________________________________________________________

Naßdampfgebiet Das Naßdampfgebiet wird von der Siedelinie und der Taulinie begrenzt. Es stellt ein Zweiphasengebiet dar, in dem die flüssige und gasförmige Phase gleichzeitig nebeneinander existieren bei gleichem Druck und gleicher Temperatur sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden.

Kritischer Punkt Der Berührungspunkt von Siedelinie und Taulinie wird als sogenannter kritischer Punkt K bezeichnet. Verläuft der Prozeß auf einer Isobaren oberhalb des kritischen Punktes K so ist ein direkter Phasenübergang von der flüssigen zur gasförmigen Phase möglich ohne das Naßdampfgebiet zu durchlaufen.

Sublimationsgebiet Im Bereich von niedrigen Drücken und Temperaturen liegt das Sublimationsgebiet. Unter Sublimation ist der direkte Übergang von der festen in die gasförmige Phase bzw. auch umgekehrt zu verstehen (Prozeß G-H-I). Ähnlich dem Naßdampfgebiet ist das Sublimationsgebiet ein Zweiphasengebiet, in dem der Stoff in einer heterogenen Mischung aus fester und gasförmiger Phase vorliegt. Die für den Wechsel von der festen in die flüssige Phase erforderliche Wärmemenge wird als Sublimationswärme bezeichnet und entspricht der Summe aus Schmelz- und Verdampfungswärme. Das Sublimationsgebiet wird zur festen und gasförmigen Phase durch die Sublimationslinie und Desublimationslinie begrenzt.

Tripellinie Die Abgrenzung des Sublimationsgebietes zum Naßdampfgebiet wird durch die Tripellinie beschrieben, die durch den Trippelpunkt verläuft. Durch Projektion der p,v,T-Zustandsfläche auf die p,T-Ebene erhält man das in Abb. 4.3 dargestellte p,T-Diagramm. Hier fallen das Schmelzgebiet in die Schmelzdruckkurve, das Naßdampfgebiet in die Dampfdruckkurve und das Sublimationsgebiet in die Sublimationsdruckkurve zusammen. Die Dampfdruckkurve endet im kritischen Punkt K bei dem Zusammentreffen von Siede- und Taulinie. Bei höheren Temperaturen als der kritischen Temperatur existiert keine scharfe Grenze mehr zwischen der Gasphase und der flüssigen Phase. Flüssigkeiten und Gase werden daher auch unter der gemeinsamen Bezeichnung Fluide zusammengefaßt. Im p,T-Diagramm treffen sich die Schmelzdruckkurve, die Dampfdruckkurve und die Sublimationsdruckkurve im sogenannten Trippelpunkt. Dies ist der einzige Punkt, in dem sich alle drei Phasen in einem thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Der Trippelpunkt des Wassers liegt bei pTr = 0.00611 [bar] und bei ϑTr = 0.01 [°C] = 273.16 [K].

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 22 _________________________________________________________________________

4.2 Festkörper In Festkörpern wirken sehr starke Bindungskräfte zwischen den einzelnen Atomen und Molekülen. Diese können daher nur sehr kleine Schwingungen um ihre Gitterplätze in der Kristallstruktur ausführen. Auch bei höheren Drücken ändert sich das Volumen kaum. Die allgemeine Zustandsgleichung F(p,v,T) = 0 läßt sich also vereinfachen zu F(v,T) = 0 Die Abhängigkeit des Festkörpervolumens von der Temperatur muß jedoch insbesondere bei der Konzeption von Bauteilen und Bauwerken, die thermischen Änderungen unterworfen sind, z.B. Brücken, beachtet werden.

4.2.1 Thermische Längendehnung Bei der Betrachtung schlanker Körper, bei denen der Querschnitt im Verhältnis Gesamtlänge klein ist, genügt es lediglich die thermische Längendehnung berücksichtigen. Die Längenänderung in Abhängigkeit von der Temperatur läßt sich begrenzte Temperaturintervalle linearisieren. Experimentell läßt sich Wärmedehnungskoeffizient α bestimmen:

α=

1 L0

 dL ⋅   dϑ 0

  

zur zu für ein

mit der Bezugstemperatur ϑ0 = 273.15 K (0°C) ergibt sich die temperaturabhängige Länge

Lϑ = L0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) Tab. 4.3:

Längenausdehnungskoeffizient α für einige feste Stoffe Stoff Aluminium Blei Chrom Eisen Gold Kupfer Magnesium Platin Silber Zink Quarzglas Fensterglas

-1 Temperaturbereich in K α [K ] -6 273 -373 23.7⋅10 -6 273 –373 29.3⋅10 -6 273 –373 8.3⋅10 -6 273 –373 12.3⋅10 -6 273 –373 14.3⋅10 -6 273 –373 17.0⋅10 -6 273 –373 26.0⋅10 -6 273 –373 9.0⋅10 -6 273 –373 19.7⋅10 -6 273 -373 29.0⋅10 -6 300 - 500 0.59⋅10 -6 -6 300 - 500 7⋅10 - 10⋅10

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 23 _________________________________________________________________________

Ü 4.1: Längendehnung einer Autobahnbrücke Bei 0°C beträgt die Länge einer Autobahnbrücke 650 m. Die Temperaturschwankung beträgt -20°C im Winter bis zu +45°C im Sommer. Der Wärmedehnungskoeffizient des bei -6 der Brückenkonstruktion verwendeten Stahls beträgt α = 11⋅10 /°C. Welcher Bewegungsspielraum berücksichtigen?

ist

für

die

beweglichen

Auflager

der

Brücke

zu

Lϑ = L0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) ∆L = L45°C − L− 20°C

∆L = 650 m ⋅ 11 ⋅ 10 −6 / °C ⋅ (45°C − (− 20°C )) ∆L = 0.465 m _________________________________________________________________________ 4.2.2 Thermische Flächendehnung Die temperaturabhängige Flächendehnung ergibt sich analog zur Längendehnung. Für ein Rechteck mit den Abmessungen a0 und b0 und zu vernachlässigender Dicke d (z.B. dünne Folien) ergibt sich die Gesamtfläche bei der Temperatur ϑ0 zu

A0 = a0 ⋅ b0 Die Veränderung der Seitenlängen bei einer Temperaturänderung um ∆ϑ beträgt

aϑ = a0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) bzw.

bϑ = b0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ )

Die Gesamtfläche ergibt sich damit zu

(

Aϑ = aϑ ⋅ bϑ = A0 ⋅ 1 + 2 ⋅ α ⋅ ∆ϑ + α 2 ⋅ ∆ϑ 2

)

bei Vernachlässigung der quadratischen (kleinen) Terme (z.B. αStahl =1.21⋅10 ) gilt 2

-10

Aϑ = A0 ⋅ (1 + 2 ⋅ α ⋅ ∆ϑ ) _________________________________________________________________________ Ü 4.2: Flächendehnung einer Zinkplatte -6

Eine Zinkplatte (αZink = 29⋅10 /°C) von 2.7 m² wird von 0°C auf 20°C erwärmt. Wie groß ist die Flächenänderung?

∆A = A0 ⋅ (1 + 2 ⋅ α ⋅ ∆ϑ )− A0 ∆A = A0 ⋅ 2 ⋅ α ⋅ ∆ϑ ∆A = 2.7 m 2 ⋅ 2 ⋅ 29 ⋅ 10 −6 ⇒ 0.12% von A0

1 ⋅ 20°C = 0.003 m 2 °C

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 24 _________________________________________________________________________

4.2.3 Thermische Volumendehnung Entsprechend dem Ansatz für die thermische Flächendehnung läßt sich auch die thermische Volumenänderung von Festkörpern bestimmen. Ein Quader mit den Abmessungen a0, b0, c0 hat bei der Temperatur ϑ0 = 0 °C ein Volumen von

V0 = a0 ⋅ b0 ⋅ c 0 Mit Veränderung der Temperatur von 0 °C auf ϑ ändert sich das Volumen entsprechend

(

Vϑ =V0 ⋅ 1 + 3 ⋅ α ⋅ ∆ϑ + 3 ⋅ α 2 ⋅ ∆ϑ 2 + α 3 ⋅ ∆ϑ 3

)

bzw. nach Vernachlässigung der Glieder zweiter und dritter Ordnung

Vϑ = V0 ⋅ (1 + 3 ⋅ α ⋅ ∆ϑ ) _________________________________________________________________________ Ü 4.3: Thermische Dehnung eines Zylinderkopfes Ein aus Aluminium gegossener Zylinderkopf hat bei 20°C ein Volumen von 2.56 ltr. Wie groß ist die relative Volumenzunahme bei einer Temperaturerhöhung auf 98°C ? αAl = 23.7⋅10 /°C -6

(aus Tab. 4.3)

V98°C − V20°C 3 ⋅ α ⋅ (98°C − 20°C ) = = 0.00554 V20°C 1 + 3 ⋅ α ⋅ 20°C Die relative Volumenzunahme beträgt 0.554% _________________________________________________________________________

4.3 Flüssigkeiten Flüssigkeitsteilchen lassen sich im Gegensatz zu Festkörpern relativ leicht gegeneinander verschieben. Das Volumen ändert sich jedoch auch bei hohen Drücken nur unwesentlich. Um das Volumen von Wasser z.B. um nur 1% zu verringern ist eine Druckerhöhung von 200 bar erforderlich. Druckunabhängige Fluide werden daher als inkompressibel bezeichnet. Die Volumenänderung infolge von Temperaturänderung ist jedoch wesentlich stärker ausgeprägt 1 2 als bei Gasen d.h. um den Faktor 10 bis 10 . Tab. 4.4:

Volumenausdehnungskoeffizienten γ von Flüssigkeiten Stoff Benzin Benzol Ethanol Glycerin Glykol Methanol Petroleum Quecksilber Terpentinöl Wasser

γ bei 20°C -6 10.6⋅10 -6 12.4⋅10 -6 11.0⋅10 -6 5.0⋅10 -6 6.4⋅10 -6 12.0⋅10 -6 9.6⋅10 -6 1.81⋅10 -6 9.7⋅10 20.7

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 25 _________________________________________________________________________

Die Volumenänderung von Flüssigkeiten in Abhängigkeit von der Temperatur läßt sich analog der Volumenänderung von Festkörpern bestimmen:

Vϑ = V0 ⋅ (1 + γ ⋅ ∆ϑ )

_________________________________________________________________________ Ü 4.4: Volumenänderung von Benzin In den leeren Tank eines Fahrzeuges, der ein Volumen von 60 ltr. hat, wird Benzin eingefüllt, das eine Temperatur von 20°C hat. Im Laufe des Tages wird ein Temperaturanstieg auf 41°C erwartet. Um welche Menge Benzin muß die Füllmenge unter dem maximalen Tankvolumen bleiben, wenn nichts infolge der Temperaturerhöhung aufließen soll?

∆V = VT − V20°C V41°C = VT

V41°C = V20°C ⋅ (1 + γ ⋅ ∆ϑ ) V20°C =

VT 1 + γ ⋅ ∆ϑ

mit γBenzin = 1.06⋅10 (aus Tab. 4.4) ergibt sich -3

∆V = VT − V20°C VT 1 + γ ⋅ ∆ϑ γ ⋅ ∆ϑ ∆V = VT ⋅ 1 + γ ⋅ ∆ϑ ∆V = 1.307 ltr. ∆V = VT −

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 26 _________________________________________________________________________

4.4 Ideale Gase Die Zustandsgleichung des idealen Gases läßt sich aus zwei experimentell ermittelten Gasgesetzen ableiten: Den Gesetzen von Gay-Lussac und Boyle-Marriotte. 4.4.1 Gesetz von Gay-Lussac Bei konstantem Druck p wächst das Volumen V eines Gases pro Grad Erwärmung um 1/273.15 des Volumens V0, das es bei einer Temperatur von 0°C hatte.

ϑ [°C ]   V = V 0 ⋅ 1 +   273.15 

Abb. 4.4: Gasvolumen in Abhängigkeit von der Temperatur bei unterschiedlichen Drücken

Extrapoliert man die Geraden über den gemessenen Temperaturbereich hinaus, so schneiden sie sich alle –273.15 °C, d.h. dem absoluten Nullpunkt. Ersetzt man die Temperatur ϑ [°C] durch die thermodynamische Temperatur T [K], d.h. ϑ = T-273.15°C = T – T0 so ergibt sich

V T = V0 T0

bzw.

V2 T2 = V1 T1

(p = const.)

4.4.2 Gesetz von Boyle-Mariotte Das Produkt aus dem Druck p und dem Volumen V eines idealen Gases ist bei gleichbleibender Temperatur konstant.

p ⋅ V = const. bzw. oder

p = p(V )

p1 ⋅ V1 = p 2 ⋅ V2

(T = const.)

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 27 _________________________________________________________________________

Trägt man die Kurven der Zustandsfunktion p = p(V) in einem p,V-Diagramm für verschiedene Temperaturen auf, so erhält man die in Abb. 4.5 skizzierte Hyperbelschar.

Abb. 4.5:

Druck p in Abhängigkeit von V bei unterschiedlichen Temperaturen

4.4.3 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases Für ideale Gase läßt sich die Zustandsgleichung aus der Verknüpfung der Gesetze von GayLussac und Boyle-Mariotte herleiten. Zur Verdeutlichung soll ein Prozeß betrachtet werden, bei dem ausgehend von einem Ausgangszustand 1, gekennzeichnet durch den Druck p1 und die Temperatur T1, ein Endzustand 2, gekennzeichnet durch den Druck p2 und die Temperatur T2, erreicht werden soll. Dies läßt sich durch die Verkettung von zwei Teilprozessen erreichen. Im ersten Schritt erfolgt eine Druckerhöhung von p1 auf p2 bei Beibehaltung der Temperatur T1. Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte ergibt sich das Volumen nach der Druckerhöhung von p1 auf p2 zu

V ( p 2 , T1 ) =

p1 ⋅ V ( p1 , T1 ) p2

mit T1 = T2 = const .

Im zweiten Schritt wird nun die Temperatur von T1 auf T2 erhöht, wobei der bereits im ersten Schritt erreichte Druck p2 konstant gehalten wird. Entsprechend dem Gesetz von GayLussac gilt dann

V ( p 2 , T1 ) T1 = V ( p 2 , T2 ) T2 mit

V1 = V ( p1 ,T1 ) , V2 = V ( p 2 ,T2 )

folgt

p1 ⋅ V1 p2 T = 1 V2 T2 bzw.

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 28 _________________________________________________________________________

p1 ⋅ V1 p 2 ⋅ V2 = T1 T2 mit dem Einsetzen des spezifischen Volumens v = V/m ergibt sich

V1 V p2 ⋅ 2 m= m T1 T2

p1 ⋅ bzw.

p1 ⋅ v1 p 2 ⋅ v 2 = T1 T2 oder

p1 ⋅ v1  J  = const. ≡ R   T1  kg ⋅ K 

bzw.

p ⋅ v = R ⋅T

Dies stellt die sogenannte thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases dar. Die Konstante R wird hierbei als Gaskonstante bezeichnet. Gase, die diesem Gesetz entsprechen werden als ideale Gase bezeichnet. Die meisten Gase, die in technischen Anwendungen zum Einsatz kommen, Verhalten sich bei niedrigen Drücken und Dichten näherungsweise wie ideale Gase. Da der Geltungsbereich der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases bei technischen Prozessen nur selten überschritten wird, stellt sie in der technischen Thermodynamik in den meisten Fällen eine ausreichend genaue Näherung dar. Tab. 4.5: Gaskonstanten und Dichten von Gasen bei p=1.0132 bar und T=0°C Gas Helium Wasserstoff Stickstoff Sauerstoff Luft Kohlenmonoxid Kohlendioxid Schwefeldioxid Methan

He H2 N2 O2 CO CO2 SO2 CH4

Dichte ρ [kg/m³] Gaskonstante R [J/kg⋅⋅K] 0.1785 2077.30 0.08987 4124.50 1.2505 296.80 1.42895 259.84 1.2928 287.10 1.2500 296.84 1.9768 188.92 2.9265 129.78 0.7168 518.26

_________________________________________________________________________ Ü 4.5: Berechnung der Gaskonstanten von Luft Eine Luftmasse von m = 1.6 kg nimmt bei einem Druck von p = 1,0132 bar eine Temperatur von T = 293 K ein Volumen V = 1.32839 m³ ein. Gesucht ist die Gaskonstante R .

v=

V 1.32839 m 3 m3 = = 0.830244 m kg 1.6 kg

R=

p⋅v = T

1.0132 ⋅ 10 5 Pa ⋅ 0.830244 293 K

m3 kg

= 287.1

J kg ⋅ K

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 29 _________________________________________________________________________

Ersetzt man in der Zustandsgleichung des idealen Gases das spezifische Volumen durch den Quotienten aus Volumen und Masse

v=

V m

so erhält man

p ⋅ v = R ⋅ T ⇒ p ⋅V = m ⋅ R ⋅ T Mit ersetzen der Masse m [kg] durch das Produkt aus Stoffmenge n [1/kmol] und Molmasse M [kg/kmol]

m=n⋅M

läßt sich nun die Zustandsgleichung des idealen Gases in der Form

p ⋅V = n ⋅ M ⋅ R ⋅ T bzw. mit dem Molvolumen vm [m³/kmol]

vm =

V n

folgt

p ⋅ vm = M ⋅ R ⋅ T Das Produkt aus Molmasse M und Gaskonstante R läßt sich auch zusammenfassen zu

J   Rm = M ⋅ R = 8314.51   kmol ⋅ K  und wird auch als allgemeine, molare oder auch universelle Gaskonstante bezeichnet und die neue Schreibweise der Zustandsgleichung des idealen Gases lautet nun

p ⋅ v m = Rm ⋅ T _________________________________________________________________________ Ü 4.6: Isochore Erwärmung von Stickstoff Ein Stahltank enthält V1 = 17.84 m³ Stickstoff bei einem Druck p1 = 2.7 bar und einer Temperatur von ϑ1 = 19.5°C. Infolge von Schweißarbeiten an der Außenhaut steigt die Temperatur auf ϑ1 = 48°C. Gesucht sind die - Stickstoffmasse mN2, - Molzahl n, - Druck p2 nach der Erwärmung Die Gaskonstante von Stickstoff R = 296.8 [J/kg⋅K] kann aus Tab. 4.5 , die Molmasse von Stickstoff MN2 = 28.0134 [kg/kmol] aus Tab. 3.1 entnommen werden. Die Stickstoffmasse mN2 ergibt sich aus der Zustandsgleichung des idealen Gases:

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 30 _________________________________________________________________________

m=

p1 ⋅ V1 = R ⋅ T1

2.7 ⋅ 10 5 Pa ⋅ 17.84 m 3 = 55.46 kg J 296.8 ⋅ (19.5 + 273.15) K kg ⋅ K

Die Molzahl n berechnet sich aus dem Quotienten von Masse m zu Molmasse M

n=

m = M

55.46 kg = 1.98 kmol kg 28.0134 kmol

Das Volumen des Stahltanks kann als konstant angenommen werden, d.h. es liegt bei der Erwärmung eine isochore (dV=0) Zustandsänderung vor, also gilt

v1 = v 2 Aus der Zustandsgleichung für ideale Gase folgt

p1 ⋅ v1 = R ⋅ T1 p 2 ⋅ v 2 = R ⋅ T2 bzw.

p1 T1 = p 2 T2 p 2 = p1 ⋅

T2 (48.0 + 273.15) K = 2.96 ⋅ 10 5 Pa = 2.96 bar = 2.7 ⋅ 10 5 Pa ⋅ T1 (19.5 + 273.15)K

_________________________________________________________________________ Ü 4.7: Isobare Erwärmung von Helium Helium wird isobar (d.h. dp=0) von ϑ1 = -5°C auf ϑ2 = 84°C erwärmt. Gesucht ist die prozentuale Volumenzunahme. Für p = const. ergibt sich aus der Zustandsgleichung für ideale Gase:

V1 T1 = V2 T2 mit

V2 = V1 + ∆V ergibt sich die Volumenänderung zu

V1 T = 1 V1 + ∆V T2   (84 + 273.15)K  ∆V  T2 =  − 1 ⋅ 100% =  − 1 ⋅ 100% = 33.19% V1  T1  (− 5 + 273.15)K  

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 31 _________________________________________________________________________

Ü 4.8: Isotherme Kompression von idealem Gas Ein Luftvolumen von V1 = 10.47 m³ wird isotherm (dT = 0) von p1 = 1.06 bar auf p2 = 8.72 bar komprimiert. Gesucht ist das Volumen nach der Kompression. Bei isothermen Zustandsänderungen ergibt sich aus der Zustandsgleichung für ideale Gase

p1 V2 = p 2 V1 V2 = V1 ⋅

p1 1.06 ⋅ 10 5 Pa = 10.47 m 3 ⋅ = 1.273 m 3 5 p2 8.72 ⋅ 10 Pa

_________________________________________________________________________ 4.4.4 Gesetz von Avogadro Gleiche Volumen von idealen Gasen enthalten bei gleicher Temperatur und gleichem Druck die gleiche Anzahl von Molekülen. Daraus läßt sich die Definition des Molvolumens ableiten, d.h. der Raumbedarf für n = 1 mol einer beliebigen Substanz. Die Anzahl der Atome bzw. Moleküle pro mol beträgt 23

NA = 6.0221367⋅10 1/mol Diese Zahl wird auch als Avogadro-Konstante oder Loschmidtsche Zahl bezeichnet.

4.4.5 Mischung idealer Gase Häufig werden in der Technik keine reinen Gase verwendet, sondern Mischungen aus unterschiedlichen chemische einheitlichen Gasen. Luft stellt z.B. ein Gemisch aus Stickstoff, Sauerstoff, Kohlendioxid, sowie einige Edelgase wie Argon und Neon dar. Zur Bestimmung der thermodynamischen Größen wie z.B. der Gaskonstanten der Mischung ist die Kenntnis der Zusammensetzung der Mischung sowie die Kenntnis der Gaskonstanten der Einzelkomponenten erforderlich. Die Zusammensetzung der Mischung läßt sich durch Angabe der Massenanteile oder Volumenanteile beschreiben: Massenanteile Mit m1, m2, ..., mn ergibt sich die Gesamtmasse der Mischung zu n

m = m1 + m2 + ..... + mn = ∑ mi i =1

wobei

µi =

mi ⇒ m

n

∑µ

i

=1

i =1

den auf die Gesamtmasse m bezogenen Masseanteil der i-ten Komponente darstellt.

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 32 _________________________________________________________________________

Volumenanteile Mit V1, V2, ..., Vn werden die Volumen der einzelnen Gase vor dem Zusammenmischen bezeichnet. Der Mischvorgang wird aus Abb. 4.6 deutlich. Druck und Temperatur bleiben bei dem Mischungsvorgang unverändert.

Abb. 4.6:

Mischung zweier Gase

Analog zu den Massenanteilen lassen sich auch sich auch die Volumenanteile von Gasen zusammenfassen n

V = V1 + V2 + ..... + Vn = ∑ Vi i =1

Der Volumenanteil ri der i-ten Komponente wird als das auf das Gesamtvolumen V bezogene Teilvolumen Vi definiert.

ri =

Vi ⇒ V

n

∑ r =1 i

i =1

Gaskonstante der Mischung Unter der Annahme, daß alle n Komponenten einer Mischung den gleichen Druck p und die gleiche Temperatur T haben, lassen sich auch n Zustandsgleichungen aufstellen.

p ⋅ V1 = m1 ⋅ R1 ⋅ T p ⋅ V2 = m 2 ⋅ R 2 ⋅ T " p ⋅ Vn = m n ⋅ R n ⋅ T Die Aufsummierung über alle n Gleichungen ergibt n  n  p ⋅ ∑ Vi = ∑ mi ⋅ Ri  ⋅ T i =1  i =1 

mit

mi = m ⋅ µ i

folgt p⋅

n

∑ i =1

Vi = m ⋅

 n   µ i ⋅ Ri   1  i =#% & #$

∑

Gaskons tan te der Mischung

⋅T

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 33 _________________________________________________________________________

Die Gaskonstante der Gesamtmischung entspricht der Summe der Produkte der Massenanteile µi und der Gaskonstanten Ri der Komponenten. n

R = ∑ µ i ⋅ Ri i =1

Sind für die einzelnen Komponenten der Mischung anstelle der einzelnen Gaskonstanten Ri die Molmassen Mi bekannt, so läßt sich die Gaskonstante der Mischung mit Hilfe der universellen Gaskonstante Rm berechnen.

Rm = Ri ⋅ M i n

R = Rm ⋅ ∑ i =1

µi Mi

Molmasse der Mischung Die Molmasse der Mischung, bzw. der Mittelwert der Molmassen M ergibt sich aus n

M = ∑ ri ⋅ M i i =1

Dichte der Mischung n

ρ = ∑ ri ⋅ ρ i i =1

Beziehung zwischen Massenanteilen und Raumanteilen

µi =

mi ni ⋅ M i M R = = ri ⋅ i = ri ⋅ m n⋅M M Ri

Partialdrücke Theoretisches Konstrukt: Während des Mischungsvorganges expandiert jede Teilkomponente von seinem Anfangsvolumen Vi auf das größere Volumen V und sein Druck sinkt damit von pi auf p. Der Druck der Komponente in der Mischung wird als Teildruck oder auch als Partialdruck bezeichnet. Dieser Partialdruck läßt sich lediglich rechnerisch ermitteln, nicht jedoch meßtechnisch bestimmen. Die Berechnung von Partialdrücken basiert auf dem Gesetz von Dalton: In einer idealen Gasmischung verhält sich jede Komponente so als wäre sie allein vorhanden. Die Zustandsgleichungen der idealen Gase nach der Mischung lauten somit

p1 ⋅ V = m1 ⋅ R1 ⋅ T p 2 ⋅ V = m 2 ⋅ R2 ⋅ T "

p n ⋅ V = m n ⋅ Rn ⋅ T wobei p1, p2, ...., pn die Partialdrücke der Einzelgase in der Mischung bezeichnen.

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 34 _________________________________________________________________________

Die Addition der einzelnen Zustandsgleichungen liefert

 n  n  n  p V m R T m ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ∑ ∑ i i i     ∑ µ i ⋅ Ri  ⋅ T  i =1   i =1   i =1  Der Gesamtdruck in der Mischung entspricht der Summe der Partialdrücke n

p = p1 + p 2 + ..... + p n = ∑ pi i =1

Die Bestimmung des Partialdrucks pi einer Komponente i in einer Gasmischung erfolgt aus dem Volumenanteil und dem Gesamtdruck p der Mischung

pi = ri ⋅ p _________________________________________________________________________ Ü 4.9: Luft Die Zusammensetzung von Luft unter Normalbedingungen besteht aus ca. -Stickstoff: 78 % (Volumen) - Sauerstoff: 21% - Argon: 1% Gesucht sind - Molmasse MLuft - Gaskonstante RLuft - Dichte im Normzustand ρn - Partialdrücke der Komponenten pi Molmassen der Komponenten: M(N2) = 28.0134 M(O2) = 31.9988 M(Ar) = 39.948

kg/kmol kg/kmol kg/kmol

Molmasse der Mischung:

M Luft = rN 2 ⋅ M N 2 + rO2 ⋅ M O2 + rAr ⋅ M Ar M Luft = 0.78 ⋅ 28.0134

kg kg kg kg + 0.21 ⋅ 31.9988 + 0.01 ⋅ 39.948 = 28.9647 kmol kmol kmol kmol

Physikalischer Normzustand Tn pn

= 273.15 K 5 = 1.01325 bar = 1.01325 10 Pa

Standardatmosphäre T0 p0 ρ0

= 288.15 K (15°C) 5 = 1.01325 bar = 1.01325⋅10 Pa = 1.225 kg/m³

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 35 _________________________________________________________________________

Die Gaskonstante der Mischung ergibt sich aus der Molmasse M und der universellen Gaskonstanten Rm :

RLuft

R = m = M Luft

J kmol ⋅ K = 287.1 J kg kg ⋅ K 28.9647 kmol

8314.51

Die Dichte im Normzustand berechnet sich aus der Zustandsgleichung des idealen Gases

J ⋅ 273.15 K R ⋅ Tn kg ⋅ K m3 vn = 0 . 774 = = pn kg 1.01325 ⋅ 10 5 Pa kg 1 ρ n = = 1.292 3 vn m 287.1

Partialdrücke der Komponenten: Stickstoff: Sauerstoff: Argon:

p1 = r1⋅p = 0.78⋅1.01325 bar = 0.79034 bar p2 = r2⋅p = 0.21⋅1.01325 bar = 0.21656 bar p3 = r3⋅p = 0.01⋅1.01325 bar = 0.0101325bar

_________________________________________________________________________

4.5 Reale Gase Experimentelle Untersuchungen bezüglich der Genauigkeit mit der reale Gase durch die Zustandsgleichung für ideale Gase approximiert werden, zeigen, daß reale Gase sich mit abnehmenden Druck dem Grenzwert

p⋅v =1 p→0 R ⋅ T lim

annähern. Dies bedeutet, daß reale Gase sich bei kleinen Drücken näherungsweise wie ideale Gase verhalten. Bei höheren Drücken und damit auch größeren Abweichungen vom Verhalten eines idealen Gases, kann die Zustandsgleichung durch Einführung eines Korrekturfaktors erweitert werden. Dieser Korrekturfaktor wird auch als Realgasfaktor Z bezeichnet. Die Zustandsgleichung für reale Gase lautet somit:

p⋅v = Z ⇔ p ⋅ v = Z ⋅ R ⋅T R ⋅T Der Realgasfaktor Z ist eine Funktion, die von dem jeweiligen Stoff, der Temperatur und dem Druck abhängt. Die Bestimmung von Z erfolgt experimentell. In Abb. 4.7 ist der Verlauf des Realgasfaktors von Luft in Abhängigkeit von der Temperatur für unterschiedliche Drücke dargestellt. Es wird deutlich, daß sich Luft bis zu Drücken von ca. p = 10 bar, in dem Temperaturbereich von T = 270 K bis T = 1000 K, ohne größeren Fehler als Realgas approximieren läßt.

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 36 _________________________________________________________________________

Abb. 4.7:

Realgasfaktor Z für Luft bei unterschiedlichen Drücken

4.6 Dämpfe Dämpfe unterscheiden sich in ihren physikalischen Eigenschaften nicht von Gasen. Allerdings bilden sie, sofern sie sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden, ein Zweiphasensystem. 4.6.1 Dampfarten Der Phasenübergang von der flüssigen in die gasförmige Phase erfordert die Zufuhr von Wärme. Die unterschiedlichen Arten von Dampf, die bei dem Prozeß einer isobaren Erwärmung (d.h. dp = 0)durchlaufen werden, sollen anhand von Abb. 4.8 und Abb. 4.9 näher erläutert werden:

Abb. 4.8:

Verschiedene Stadien des Verdampfungsprozesses

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 37 _________________________________________________________________________

Abb. 4.9:

Zustandsänderungen von Wasser beim Erwärmen und Verdampfen bei p = const.

Bei Umgebungstemperatur T1 befindet sich das Wasser in der flüssigen Phase und hat ein spezifisches Volumen v1 (Zustand 1). Bei Erwärmung auf die Temperatur T2 = 99.6°C vergrößert sich sein spezifisches Volumen auf v2 (Zustand 2). Dies entspricht der Siedetemperatur von Wasser bei p = 1 bar. Bei weiterer Wärmezufuhr bildet sich mehr Dampf und das spezifische Volumen vergrößert sich auf v3 (Zustand 3). Bei weiterer Wärmezufuhr bleibt die Temperatur solange konstant, bis das Wasser vollständig in die Gasphase übergegangen ist (Zustand 4). Der Bereich des Prozesses von Zustand 2 bis Zustand 4 wird als Naßdampf bezeichnet und stellt ein Zweiphasengemisch dar. Aufgrund der Schwerkraft bildet sich eine deutliche Trennfläche zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase (= gesättigter Dampf) aus. Ist der letzte Rest Wasser von der flüssigen Phase in die Gasphase übergegangen, so steigt bei weiterer Wärmezufuhr auch wieder die Temperatur und auch sein spezifisches Volumen an (Zustand 5). das Wasser, das sich nun vollständig in der Gasphase befindet, wird auch als überhitzter Dampf bezeichnet. Dieser isobare Verdampfungsprozeß läßt sich für unterschiedliche Drücke wiederholen, solange der Druck zwischen dem Druck des Trippelpunktes und dem Druck des kritischen Punktes liegt. Bei Drücken oberhalb des kritischen Punktes lassen sich bei dem Verdampfungsprozeß nicht mehr gleichzeitig zwei deutlich unterscheidbare Phasen mehr beobachten. Flüssigkeits- und Gasgebiet gehen kontinuierlich ineinander über. Ein sinnvolle Grenze zwischen Flüssigkeit und Gas existiert nicht mehr.

4.6.2 Dampfdruckkurven Bei Verdampfung unter konstantem Druck bleibt auch die Temperatur konstant. Zu jedem Druck gehört auch eine bestimmte Siedetemperatur und umgekehrt gehört auch zu jeder Temperatur ein bestimmter Druck, bei dem die Flüssigkeit verdampft. Kaffeewasser kocht z.B. in großer Höhe im Gebirge (= geringerer Druck) bereits bei einer spürbar geringeren Temperatur als in Meereshöhe. Dieser Druck wird auch als Dampfdruck oder Sättigungsdruck einer Flüssigkeit bezeichnet. Die Dampfdruckkurve

p = p (T )

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 38 _________________________________________________________________________

erscheint im p,T-Diagramm als Projektion des Naßdampfgebietes und verläuft vom Trippelpunkt zum kritischen Punkt. Die Dampfdruckkurve ist eine stoffspezifische Größe und muß für jeden Stoff experimentell ermittelt werden.

Abb. 4.10:

Dampfdruckkurven verschiedener Stoffe im p,T-Diagramm

4.6.3 Grenzkurven Die thermischen Daten von Dämpfen, wie sie in technischen Anwendungen Verwendung finden, sind in sogenannten Sättigungsdampftafeln aufgelistet. Sie enthalten für den entsprechenden Stoff u.a. die Dampfdruckkurve, also die Wertepaare des Sättigungsdrucks ps und der Sättigungstemperatur Ts sowie die spezifischen Volumen des Stoffes auf der Siedelinie v' und auf der Taulinie v''. Trägt man die Sättigungsdrücke und die dazugehörigen spezifischen Volumina v' und v'' über dem spezifischen Volumen v auf, so entsteht eine Grenzkurve, die das Naßdampfgebiet umschließt, Abb. 4.11. Der Ast links von dem kritischen Punkt wird als untere Grenzkurve bezeichnet und entspricht der Siedelinie. Der rechte Ast der Grenzkurve wird als obere Grenzkurve bezeichnet und entspricht der Taulinie. Mit zunehmendem Sättigungsdruck verringert sich die bei dem Übergang von der flüssigen in die gasförmige Phase zu verzeichnenden Volumenzunahme

∆v = v ′′ − v ′ um im kritischen Punkt, bei dem kritischen Druck pkr und der kritischen Temperatur Tkr vollständig zu verschwinden.

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 39 _________________________________________________________________________

Abb. 4.11:

Grenzkurven des Naßdampfgebietes im p,v-Diagramm

4.6.4 Thermische Zustandsgleichung von Dampf Das Naßdampfgebiet stellt ein Zweiphasengebiet dar, in dem im Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts die flüssige und die gasförmige Phase den gleichen Druck und die gleiche Temperatur haben. Druck und Temperatur sind nicht voneinander unabhängig, sondern sind über die Dampfdruckkurve miteinander verknüpft. Zur vollständigen Beschreibung des Zustands ist nicht nur die Angabe von Druck und Temperatur erforderlich, sondern auch eine Angabe über das Mengenverhältnis der beiden Phasen. Das Mengenverhältnis wird auch als Dampfgehalt x bezeichnet, wobei m' die Masse der flüssigen Phase und m'' die Masse der gasförmigen Phase kennzeichnet.

x=

m′′ m′′ = m′ + m′′ m

Für alle Punkte, die auf der linken Grenzkurve (Siedelinie) liegen, gilt wegen m'' = 0 auch x = 0. Entsprechend gilt für alle Punkte, die auf der rechten Grenzkurve (Taulinie) liegen, gilt wegen m' = 0 auch x = 1. der Dampfgehalt x kann also nur zwischen den Grenzen 0 und 1 variieren. Der Term

1− x =

m′ m

beschreibt den Flüssigkeitsanteil des Naßdampfes, der noch nicht in die gasförmige Phase übergegangen ist und wird als Nässe oder auch Restfeuchte bezeichnet. Die thermische Zustandsgleichung von Naßdampf ergibt sich aus der Volumenbilanz

V = V ′ + V ′′ bzw.

m ⋅ v = m′ ⋅ v ′ + m′′ ⋅ v ′′ ⇔ v =

m′ m′′ ⋅ v′ + ⋅ v ′′ m m

Technische Thermodynamik Zustandsgleichungen 40 _________________________________________________________________________

Mit der Definition der Restfeuchte folgt

v = (1 − x ) ⋅ v ′ + x ⋅ v ′′ = v ′ + x ⋅ (v ′′ − v ′) Damit läßt sich der Naßdampfzustand auf jeder Isobare durch die spezifischen Volumina in Abhängigkeit vom Dampfgehalt beschreiben. Bei Kenntnis der spezifischen Volumina v' und v'' ergibt sich der Dampfgehalt x zu:

x=

v − v′ v ′′ − v ′

Der thermische Zustand des Naßdampfes läßt sich also beschreiben durch die Funktion

v = v( p(T ), x )

_________________________________________________________________________ Ü 4.10: Für eine Sättigungstemperatur von 25°C sind für Wasser folgende Größen zu bestimmen: - Sättigungsdruck ps - Spezifische Volumina auf der Siede- und Taulinie v' und v'' - Spezifisches Volumen v für einen Dampfgehalt von x = 37% Die Dampftafel von Wasser liefert für ϑ = 25°C die Werte: - Sättigungsdruck: ps(25°C) = 0.03166 bar - Spezifische Volumina auf der Siede- und Taulinie: -3 v' = 1.0029⋅10 m³/kg v'' = 43.40 m3/kg Das spezifische Volumen v ergibt sich aus der Definition des Dampfgehalts

(

)

v = v ′ + x ⋅ (v ′′ − v ′)= 1.0029 ⋅ 10 −3 + 0.37 ⋅ 43.40 − 1.0029 ⋅ 10 −3 = 16.0586

m3 kg

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 41 _________________________________________________________________________

5 Kinetische Gastheorie 5.1 Druck als Ergebnis von Stoßvorgängen Im Gegensatz zur klassischen Thermodynamik, deren Erkenntnisse auf der experimentellen Untersuchung thermodynamischer Prozesse beruhen, betrachtet die kinetische Gastheorie, als Teil der statistischen Thermodynamik, die mikroskopische Struktur der gasförmigen Materie. Die Beschreibung der Stoffeigenschaften und Gesetzmäßigkeiten erfolgt hier rein theoretisch auf der Basis der klassischen Mechanik und der Statistik. Dabei geht die kinetische Gastheorie von der vereinfachenden Annahme aus, daß die Atome und Moleküle durch Massepunkte, bzw. kleinen Kugeln, repräsentiert werden, die sich in einer permanenten, ungeordneten Bewegung befinden. Die Massepunkte bewegen sich dabei auf geradlinigen Bahnen mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit. Stoßvorgänge zwischen einzelnen Teilchen oder mit einer Wand, entsprechen elastischen Stößen. Aufgrund der (angenommenen) geringen Dichte sind Anziehungskräfte zwischen den Teilchen vernachlässigbar. Ausgehend von diesen Annahmen, lassen sich so bei Kenntnis der mikroskopischen Daten eines Systems, wie der Anzahl der im Volumen enthaltenen Teilchen, ihrer Masse und Geschwindigkeit die makroskopischen Größen eines Systems, wie z.B. Druck, Volumen und Temperatur berechnen.

_________________________________________________________________________ Impuls und Stoß Elastischer Stoß Bei einem elastischen Stoß bewegen sich die Körper während einer kurzen Berührungsphase mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit, dann stoßen sie sich wieder ab und bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten weiter.

c2

c1 m1

m2

c m 1 + m2 c1' m1

Abb. 5.1:

Elastischer Stoß

c2' m2 m

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 42 _________________________________________________________________________

Impulssatz

′ ′ m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c 2 = m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c 2 ′ ′ m1 ⋅  c1 − c1  = m2 ⋅  c 2 − c 2     

Energiesatz 2 2 ′2 ′2 m1 ⋅ c1 m2 ⋅ c 2 m1 ⋅ c1 m2 ⋅ c2 + = + 2 2 2 2

Umformen und Einsetzen in den Impulssatz ergibt die Geschwindigkeiten nach dem elastischen Stoß

′ (m − m2 ) ⋅ c1 + 2 ⋅ m2 ⋅ c 2 c1 = 1 m1 + m2

′ (m − m2 ) ⋅ c 2 + 2 ⋅ m1 ⋅ c1 c2 = 1 m1 + m2 Die beiden Körper erfahren keine bleibenden Verformungen, die Summe Bewegungsenergie vor und nach dem elastischen Stoß bleibt gleich d.h. Ekin = Ekin'.

der

Unelastischer Stoß Sind die an dem Stoßvorgang beteiligten Körper unelastisch, so verformen sie sich an den Berührungsstellen und bewegen sich dann mit gemeinsamer Geschwindigkeit weiter.

c2

c1 m1

m2

c m 1 + m2 Abb. 5.2:

Unelastischer Stoß

Geschwindigkeit c nach dem Stoß folgt aus Impuls- und Energiesatz:

m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c 2 = (m1 + m2 ) ⋅ c c=

m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c 2 m1 + m2

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 43 _________________________________________________________________________ Die geleistete Verformungsarbeit ∆W ergibt sich aus der Differenz der Bewegungsenergien W1 und W2 vor und nach dem Stoß:

m1 ⋅ c1 m ⋅c + 2 2 2 2 (m + m2 )⋅ c 2 W2 = 1 2 2 m1 ⋅ m2 ⋅ (c1 − c 2 ) ∆W = W1 − W2 = 2 ⋅ (m1 + m2 ) 2

2

W1 =

Abb. 5.3:

Kontrollvolumen

Innerhalb des in Abb. 5.3 skizzierten Quaders befinden sich N Gasteilchen mit der Masse mT. Aus der Gesamtmenge soll ein Teilchen i, 1 ≤ i ≤ N betrachtet werden: der Impuls I dieses Teilchens beträgt I = mT ⋅ c

Beim elastischen Aufprall auf die Wand ändert sich die y-Komponente des Impulses

mT ⋅ c y ,i → mT ⋅ (− c y ,i ) d.h.

∆I y ,i = I y ,i (t + ∆t ) − I y ,i (t )= mT ⋅ (− c y ,i ) − mT ⋅ c y ,i = − 2 ⋅ mT ⋅ c y ,i

Mit der Differenzierung des Impulses nach der Zeit ergibt sich die Kraft auf die Wand:

F=

∆I y ,i 2 ⋅ mT ∂I ⋅ c y ,i ⇒ FT ,i = = ∂t ∆t ∆t

Der Betrag der gesamten auf die rechte Wand übertragenen Kraft F ergibt sich aus der Summation der Impulsänderungen aller Gasteilchen ∆N, die im Zeitintervall ∆t auf die rechte Wand auftreffen. ∆N

F = ∑ Fi = i =1

2 ⋅ mT ∆N ⋅ ∑ c y ,i ∆t i =1

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 44 _________________________________________________________________________

Mit der mittleren Geschwindigkeit der Teilchen in y-Richtung ergibt sich für die Kraft F:

F = ∆N ⋅

2 ⋅ mT ⋅ ∆t

cy

2

Die Anzahl ∆N der Teichen, die in dem Zeitintervall ∆t auf die rechte Wand treffen, berechnet sich wie folgt: Es können nur diejenigen Teilchen auftreffen, die sich im Abstand

∆y =

cy

2

⋅ ∆t

von der Wand befinden, also in der Volumenscheibe ∆V

∆V = ∆y ⋅ A =

cy

⋅ ∆t ⋅ A

2

Anzahl der Teilchen N∆V in der Volumenscheibe ∆V :

N ∆V =

N N ⋅ ∆V = ⋅ V V

cy

2

⋅ ∆t ⋅ A

Im statistischen Mittel bewegen sich gleichzeitig genauso viele Teilchen nach rechts wie nach links, d.h. die Anzahl der Teilchen, die sich im Zeitintervall ∆t auf die rechte Wand zubewegt entspricht der Hälfte der Teilchen, die sich in der Volumenscheibe ∆V befinden, also

1 1 N ∆N = ⋅ N ∆V = ⋅ ⋅ 2 2 V

cy

2

⋅ ∆t ⋅ A

Eingesetzen von ∆N in die Gleichung für die Druckkraft ergibt

F = ∆N ⋅

2 ⋅ mT ⋅ ∆t

cy

⇒ F=

2

N 2 ⋅ mT ⋅ c y ⋅ A V

bzw. für den Druck auf die Wandfläche A:

p=

F N 2 = ⋅ mT ⋅ c y A V

Da die Bewegung der Teilchen beliebig mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen erfolgt, gilt:

cx

2

= cy

c 2 = cx

2

2

= cz + cy

2

2

+ cz

2

läßt sich eine mittlere Geschwindigkeit, die sogenannte mittlere thermische Geschwindigkeit definieren:

c= mit

cx

2

+ cy

2

+ cz

2

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 45 _________________________________________________________________________

1 c y2 = ⋅ c 2 3 läßt sich der Druck somit schreiben als

1 N p = ⋅ ⋅ mT ⋅ c 2 3 V

5.2 Temperatur als Maß der kinetischen Energie Die Gleichung für den Druck läßt sich auch schreiben als

1 N 2 1 p = ⋅ ⋅ mT ⋅ c 2 ⇒ p ⋅ V = ⋅ N ⋅ ⋅ mT ⋅ c 2 3 V 3 2 mit der mittleren kinetischen Energie eines Teilchen

ET =

1 ⋅ mT ⋅ c 2 2

folgt

p ⋅V =

2 ⋅ N ⋅ ET 3

Der Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases

p ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T = N ⋅ mT ⋅ R ⋅ T zeigt, daß die mittlere kinetische Energie thermodynamischen Temperatur T des Gases ist:

eines

Gasteilchens

proportional

der

3 ET = ⋅ mT ⋅ R ⋅ T 2 Die gesamte kinetische Energie aller N Teilchen, die sich im Volumen V befinden ergibt sich mit

m = N ⋅ mT zu N

∑E i =1

T

3 = ⋅ m ⋅ R ⋅T 2

Die absolute Temperatur T stellt somit ein Maß für die innere Energie der Gasmasse dar. Ersetzt man die Masse m durch das Produkt aus Teilchenanzahl n und Molmasse M

m=n⋅M und die stoffspezifische Gaskonstante R durch die universelle Gaskonstante Rm,

Technische Thermodynamik Kinetische Gastheorie 46 _________________________________________________________________________

R=

Rm M

dann erhält man für die gesamte kinetische Energie des Systems N

∑E i =1

T

3 = ⋅ n ⋅ Rm ⋅ T 2

Dies zeigt, daß die gesamte kinetische Energie lediglich von der Temperatur und der Anzahl der Teilchen abhängt, nicht jedoch von der Teilchenmasse.

_________________________________________________________________________ Ü 5.1: Mittlere thermische Geschwindigkeit eines Luftmoleküls T RLuft

= 288.15 [K] (=15°C) = 287.1 [J/kg⋅K]

Kinetische Energie eines Teilchens:

1 3 ET = ⋅ mT ⋅ c 2 = ⋅ mT ⋅ R ⋅ T ⇒ c = 3 ⋅ R ⋅ T 2 2 J m km c = 3 ⋅ 287.1 ⋅ 288.15 K = 498.18 = 1793.45 kg ⋅ K s h _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 47 _________________________________________________________________________

6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik 6.1 Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme 6.1.1 Inhalt des ersten Hauptsatzes Der erste Hauptsatz der Thermodynamik formuliert das Prinzip von der Erhaltung der Energie. Dies erfordert eine Beschreibung der Größen Arbeit, Energie und Wärme. Bei der Formulierung des ersten Hauptsatzes ist zu unterscheiden zwischen der in einem System gespeicherten Energie und der Energie, die während eines Prozesses die Systemgrenze überschreitet. Die in einem System gespeicherte Energie, sein Energieinhalt, besteht aus kinetischer, potentieller und innerer Energie und stellt eine Zustandsgröße des Systems dar. Die Energie, die während eines Prozesses die Systemgrenze überschreitet, stellt dabei keine Zustandsgröße dar. Diese Energie wird in Arbeit und Wärme aufgeteilt. Das Verrichten von Arbeit und das Übertragen von Wärme stellen zwei unterschiedliche physikalische Verfahrensweisen dar um Energie über die Systemgrenzen zu transportieren. Das Prinzip von der Erhaltung der Energie führt schließlich zu einer Energiebilanz, die die Änderung der im System gespeicherten Energie mit der Energie verknüpft, die in Form von Wärme oder Arbeit über die Systemgrenzen transportiert wurde.

6.1.2 Mechanische Arbeit und mechanische Energie Allgemein: Eine Kraft verrichtet Arbeit, wenn unter ihrem Einfluß ein Körper bewegt oder verformt wird. Arbeit als Skalarprodukt zweier Vektoren: ' ' Bei Verschiebung des Angriffspunktes einer konstanten Kraft F um die Strecke s wird die Arbeit W verrichtet.

' ' ' ' W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α = F ⋅ s ⋅ cos α , α ≤ 0 ≤ 180°

Abb. 6.1:

Skalarprodukt zweier Vektoren

Bewegung eine punktförmigen Masse Zur Verdeutlichung der Energieübertragung soll die Bewegung einer punktförmigen Masse m im Raum betrachtet werden. Unter dem Einfluß einer Kraft bewegt sich dieser Massepunkt ' entlang einer räumlichen Bahn, die durch den Ortsvektor r (t ) beschrieben wird.

'

'

Die Kraft selbst ist abhängig von der Bahnkurve, F = F (r ) .

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 48 _________________________________________________________________________

Abb. 6.2:

Bahnkurve eines Massepunktes im Raum

'

'

Mit der auf der Bahnkurve zurückgelegten Strecke ds = dr ergibt sich die zwischen zwei Punkten auf der Bahnkurve geleistete Arbeit: 2 ' ' W12 = ∫ F dr

r

r1

Mit der Newton'schen Definition für Kraft, d.h. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung

' ' dc ' F =m⋅a =m⋅ dt ergibt sich für die Arbeit

' c2 ' c2 dc ' dr ' 1 ' 1 2 2 W12 = ∫ m ⋅ dr = m ⋅ ∫ dc = m ⋅ ∫ c dc = ⋅ m ⋅ c 2 − ⋅ m ⋅ c1 dt dt 2 2 r1 c1 c1 r2

Die beiden letzten Terme entsprechen der kinetischen Energie des Massepunktes in den ' Punkten 1 und 2, d.h. die Arbeit, die von der Kraft F durch Verschiebung des Massepunktes m auf der Bahnkurve geleistet wurde, ist gleich der Änderung der kinetischen Energie.

W12 = E kin , 2 − E kin ,1

Bewegung eines Massepunktes im Schwerefeld der Erde Im Schwerefeld der Erde erfährt jeder Körper eine zum Erdmittelpunkt gerichtete Gewichtskraft FG. Damit erweitert sich die in Abb. 6.3 dargestellt Kräfteverteilung auf den Massepunkt, der auf einer Bahnkurve bewegt wird entsprechend.

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 49 _________________________________________________________________________

Abb. 6.3:

Kräfteverteilung an einem Massepunkt im Gravitationsfeld

Mit

' ' ' F = FG + FA '

ergibt sich die von der Kraft F an dem Massepunkt m zu verrichtende Arbeit zu

W12 = WG ,12

' ' r2 ' ' + W A,12 = ∫ FG dr + ∫ FA dr r2

r1

r1

Unter der Annahme einer konstanten Erdbeschleunigung g = const., ergibt sich für die Gewichtskraft FG:

' FG = − m ⋅ g ⋅ e z und somit für die Arbeit WG,12 : z2 ' ' WG ,12 = ∫ FG dr = − ∫ m ⋅ g dz = − m ⋅ g ⋅ (z 2 − z1 ) r2

r1

z1

mit der Definition für die potentielle Energie

E pot = m ⋅ g ⋅ z erhält man

WG ,12 = − (E pot , 2 − E pot ,1 )

Die gesamte zwischen den beiden Punkten verrichtete Arbeit ist somit

W12 = E kin , 2 − E kin ,1 = − (E pot , 2 − E pot ,1 ) + W A,12 oder

E kin ,1 + E pot ,1 + W A,12 = E kin , 2 − E pot , 2 Die mechanische Gesamtenergie des Systems ergibt sich zu

E mech = E kin + E pot

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 50 _________________________________________________________________________

Arbeit und mechanische Energie sind Größen gleicher Art. Der Energiesatz der Mechanik lautet somit

W A,12 = E mech , 2 − E mech,1 Der Anteil WA,12 stellt dabei den Anteil der Arbeit dar, der nicht aus einem konservativen Kraftfeld abgeleitet werde kann. Konservative Kraftfelder, wie z.B. das Gravitationsfeld der Erde, sind dadurch gekennzeichnet, daß die Arbeit infolge dieser Kräfte wegunabhängig ist. _________________________________________________________________________ Ü 6.1: Beschleunigung eines Fahrzeugs Ein Fahrzeug mit einer Masse m = 1750 kg wird t = 6.9 s lang mit a = 0.38 g beschleunigt. Der Rollwiderstand wird mit µ = 0.014 abgeschätzt. Welche Arbeit wird von der Antriebskraft in dem Zeitintervall ∆t = 6.9 s geleistet?

FT=m⋅a

FA FR=µ⋅ 0.5⋅FG

FR=µ⋅ 0.5⋅FG FG=m⋅g

Abb. 6.4:

Beschleunigung eines Fahrzeuges

Gewichtskraft FG des Fahrzeugs

FG = m ⋅ g =1750 kg ⋅ 9.81

m = 17168 N s2

Antriebskraft FA aus der Kräftebilanz in Fahrtrichtung

FA = m ⋅ a + µ ⋅ FG = 1750 kg ⋅ 0.38 ⋅ 9.81

m + 0.014 ⋅ 17168 N = 6764 N s2

Im Zeitintervall ∆t zurückgelegte Strecke

m 1 1 ∆s = ⋅ a ⋅ ∆t 2 = ⋅ 0.38 ⋅ 9.81 2 ⋅ 6.9 2 s 2 = 88.74m 2 2 s Verrichtete Arbeit

WA = FA ⋅ ∆s = 6764N ⋅ 88.74m = 600.2 ⋅103 Nm = 0.1667 kWh _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 51 _________________________________________________________________________

6.1.3 Volumenänderungsarbeit Arbeit läßt sich auf ein ruhendes System nur durch Bewegung der Systemgrenzen oder zumindest Teilen der Systemgrenzen übertragen. Ändert sich infolge der Deformation der Systemgrenzen auch das Systemvolumen, so spricht man von Volumenänderungsarbeit. Als Beispiel soll die in einem Kolben eingeschlossene Gasmasse betrachtet werden.

Abb. 6.5:

Volumenänderungsarbeit infolge einer Kolbenbewegung

Die bei einer Verschiebung ds des Kolbens geleistete Volumenänderungsarbeit dWV entspricht

dWV = p ⋅ A ⋅ ds Die Änderung des Systemvolumens beträgt hierbei

dV = A ⋅ ds Es wird vereinbart, daß zugeführte Energie oder Arbeit ein positives Vorzeichen und abgeführte Energie oder Arbeit ein negatives Vorzeichen erhält. Damit ergibt sich für die Volumenänderungsarbeit dWV

dWV = − p ⋅ dV bei einer Kompression mit dV < 0 ein positiver Wert, d.h. dem System wird Arbeit zugeführt. Bei einer Expansion mit dV > 0, nimmt die Volumenänderungsarbeit einen negativen Wert an, d.h. das System gibt Arbeit ab. Die Volumenänderungsarbeit für die Volumenänderung von V1 auf V2 ergibt sich zu 2

WV 12 = − ∫ p ⋅ dV 1

Bezieht man das Volumen V auf die Systemmasse m, so erhält man mit dem spezifischen Volumen v die spezifische Volumenänderungsarbeit. 2

wV 12 = − ∫ p ⋅ dv 1

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 52 _________________________________________________________________________

Bei einer quasistatischen Zustandsänderung ist der Druck in dem Volumen konstant und läßt sich über die thermische Zustandsgleichung p=p(V,T) berechnen. Der Übergang vom Zustand 1 zu einem Zustand 2 verläuft auf einer prozeßabhängigen Kurve, z.B. einer Isotherme (dT = 0). Die Fläche unter dieser Kurve entspricht der bei diesem Prozeß zu- bzw. abgeführten Volumenänderungsarbeit.

Abb. 6.6:

Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei einer Kompression

Verläuft dieser Prozeß unter einem Umgebungsdruck, so wird während der Kolbenbewegung auch Arbeit an die Umgebung abgegeben, bzw. von ihr geleistet. Die Kolbenstangenkraft beträgt nun

FN = ( p − pU ) ⋅ A Die verbleibende Nutzarbeit berechnet sich zu 2

2

1

1

W N 12 = ∫ FN ⋅ ds = ∫ ( p − pU ) ⋅ A ⋅ ds W N 12 = WV 12 − pU ⋅ (V1 − V2 )

Abb. 6.7:

Volumenänderungsarbeit im p,V-Diagramm bei Umgebungsdruck

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 53 _________________________________________________________________________

Ü 6.2: Isotherme Kompression von Luft Ein reibungsfrei gleitender Kolben mit einem Durchmesser von d = 100mm verdichtet Luft isotherm vom Volumen V1 = 0.18 m³ auf V2 = 0.03 m³. Der Anfangsdruck beträgt p1 = 1340 hPa. Der Umgebungsdruck beträgt pu = 980hPa. Gesucht sind die erforderliche Kolbenkraft FN und die verrichtete Nutzarbeit WN12.

W N 12 = WV 12 − pU ⋅ (V1 − V2 ) Die Volumenänderungsarbeit ergibt sich zu 2

WV 12 = − ∫ p ⋅ dV 1

mit der Zustandsgleichung des idealen Gases bei isothermen (d.h. dT = 0) Prozessen p ⋅ V = R ⋅ T ⇒ p ⋅ V = p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V2 ⇔ p = p1 ⋅ V1 ⋅

1 V

folgt 2

WV 12 = − ∫ 1

2 V R ⋅T 1 ⋅ dV = − p1 ⋅ V1 ⋅ ∫ ⋅ dV = − p1 ⋅ V1 ⋅ [ln (V2 ) − ln (V2 )]= − p1 ⋅ V1 ⋅ ln 2 V V  V1 1

  

und die Nutzarbeit WN12 zu

V W N 12 = − p1 ⋅ V1 ⋅ ln 2  V1

  − pU ⋅ (V1 − V2 )   0.03  W N 12 = − 134000 Pa ⋅ 0.18 m 3 ⋅ ln  − 98000 Pa ⋅ (0.18 − 0.03)= 28517 J  0.18 

Die Kolbenkraft FN:

p2 =

p1 ⋅ V1 V2

134000 Pa ⋅ 0.18 m 3 p2 = = 804000 Pa 0.03 m 3 FN = ( p 2 − pU ) ⋅ A 2

 0.1 m  FN = (804000 Pa − 98000 Pa ) ⋅   ⋅ π = 5545 N  2  _________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 54 _________________________________________________________________________

6.1.4 Wellenarbeit Zur Definition der Wellenarbeit soll eine Welle, die in das System hinein ragt, z.B. die Antriebswelle eines Rührwerks, betrachtet werden. Die Systemgrenze durchschneidet die Welle und bildet als rotierende Kreisfläche einen beweglichen Teil der Systemgrenze, Abb. 6.8. In dieser Schnittfläche greifen, die durch die Torsionswirkung des Drehmoments verursachten Schubspannungen τ an.

Abb. 6.8:

Zur Berechnung der Wellenarbeit

Mit der auf ein Flächenelement dA wirkenden Tangentialkraft Fτ

Fτ = τ (r ) ⋅ dA = τ (r ) ⋅ r ⋅ dα ⋅ dr ergibt sich das auf den Flächenmittelpunkt bezogen Moment infolge dieser Tangentialkraft zu

dM τ = Fτ ⋅ r = τ (r ) ⋅ r 2 ⋅ dα ⋅ dr Die Arbeit aller im Zeitintervall ∆t angreifenden Tangentialkräfte Fτ berechnet sich aus der Integration über den Wellenquerschnitt

dW = ∫ dWτ = ∫ dM τ ⋅ dϕ = M τ ⋅ dϕ ( A)

( A)

Das von der Schubspannung erzeugte Drehmoment Mτ ist gleich dem von der Welle übertragenen Drehmoment MW

Mτ = MW also

dW = M W ⋅ dϕ

Mit der Winkelgeschwindigkeit

ω =

dϕ dt

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 55 _________________________________________________________________________

ergibt sich die Wellenleistung zu

P(t )= M W (t ) ⋅ ω (t ) Die in dem Zeitintervall ∆t = t1 - t2 übertragene Wellenarbeit ergibt sich zu t2

t2

t1

t1

WW 12 = ∫ P(t ) ⋅ dt = ∫ WW (t ) ⋅ ω (t ) ⋅ dt bzw. bei konstanter Drehzahl und konstantem Drehmoment

WW 12 = M W ⋅ ω ⋅ ∆t = P ⋅ ∆t _________________________________________________________________________ Ü 6.3: Berechnung von Wellenleistung und Wellenarbeit -1

Ein Motor überträgt bei einer Drehzahl von n = 2700 min MW = 392 Nm.

ein Drehmoment von

Wellenleistung P :

P = MW ⋅ω = MW ⋅ 2 ⋅π ⋅ n P = 392 Nm ⋅ 2 ⋅ π ⋅

2700 min −1 = 110835W = 110.835 kW 60

Geleistete Wellenarbeit nach ∆t = 30 Minuten Betrieb mit konstanter Drehzahl

WW 12 = P ⋅ ∆t WW 12 = 110835W ⋅ 1800 s = 199.5 ⋅ 10 6 Ws = 199.5 ⋅ 10 6 J = 55.42 kWh _________________________________________________________________________ 6.1.5 Dissipationsenergie Durch die Zufuhr von Wellenarbeit in ein geschlossenes System, z.B. durch ein Rührwerk, entstehen zwischen dem Fluid und der Oberfläche des Rührwerks Reibungskräfte, wodurch das Fluid selbst in Bewegung versetzt wird und sich Wirbel ausbilden. Diese Wirbel lösen sich nach einiger Zeit infolge der inneren Reibung des Fluids wieder auf und die kinetische Energie geht in die chaotische Molekülbewegung über. Die innere Energie des Systems wird somit erhöht. Dieser Umwandlungsprozeß von Wellenarbeit in innere Energie wird als Dissipation bezeichnet. Die dissipierte Arbeit wird als Dissipationsenergie im Innern des Systems gespeichert. Bei der Umwandlung von Wellenarbeit in innere Energie handelt es sich um einen irreversiblen Prozeß, da ein geschlossenes System nicht in der Lage ist, innere Energie wieder in Wellenarbeit zurück zu verwandeln. Dissipationsenergie ist also stets positiv, da sie dem System nur zugeführt werden kann. Die dazu erforderliche Arbeit wird als Dissipationsarbeit Wd bezeichnet.

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 56 _________________________________________________________________________

6.1.6 Innere Energie Wird einem ruhenden geschlossenen System Arbeit zugeführt, Abb. 6.9, z.B. in Form von elektrischer Arbeit über einen elektrischen Widerstand (a), durch die Zufuhr von Wellenarbeit über ein Rührwerk (b) oder durch das Verrichten von Volumenänderungsarbeit infolge einer Kompression (c), so kann entsprechend dem Energieerhaltungssatz diese Energie nicht verschwinden, sondern muß im System gespeichert werden. Bei ruhenden Systemen kann sie jedoch nicht in Form von potentieller oder kinetischer Energie gespeichert werden, da sich das System entsprechend der Annahme in Ruhe befindet. In geschlossenen adiabaten, d.h. wärmeundurchlässigen Systemen kann Energie nur in Form von Arbeit über die Systemgrenze transportiert werden. Adiabates System: Ein System wird als adiabat bezeichnet, wenn sich sein Gleichgewichtszustand nur dadurch verändern läßt, wenn dem System Arbeit zugeführt wird oder von dem System Arbeit verrichtet wird.

Abb. 6.9:

Zufuhr von Arbeit in ein geschlossenes adiabates System

Diese im Inneren des Systems gespeicherte Energie wird als innere Energie bezeichnet. Die innere Energie eines Systems läßt sich auf unterschiedlichen Wegen von einem Zustand 1 in einen Zustand 2 überführen. In Abb. 6.10 sind zwei unterschiedliche Prozesse (a) und (b) skizziert. Prozeß (a): Prozeß (b):

Zufuhr von Wellenarbeit, isochor (d.h. dV = 0) Kompression , Zufuhr von Wellenarbeit, anschließende Expansion

Abb. 6.10:

Zustandsänderung von '1' → '2' durch zwei unterschiedliche Prozesse

Die Arbeit ist im allgemeinen eine Funktion von der Prozeßführung. Bei geschlossenen adiabaten Systemen jedoch hängt die Arbeit lediglich von der Wahl des Anfangs- und Endzustands und nicht von dem gewählten Weg, d.h. dem gewählten Prozeß ab. Die einem geschlossenen adiabaten System zugeführte Arbeit dient der Erhöhung seiner inneren

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 57 _________________________________________________________________________

Energie, die von einem geschlossenen adiabaten System geleistete (=abgeführte) Arbeit führt zu einer Verringerung seiner inneren Energie. Die innere Energie U stellt somit eine Zustandsgröße des Systems dar und läßt sich über die am bzw. vom System geleistete Arbeit definieren. U 2 − U 1 = W12 ,adiabat (Definition der inneren Energie) Die dem adiabaten System zugeführte Arbeit erhöht die mittlere Geschwindigkeit der Molekularbewegung und verändert den mittleren Abstand der Moleküle, so daß gegen die Anziehungs- und Abstoßungskräfte der Moleküle Arbeit verrichtet wird.

6.1.7 Wärme Zur Definition des Begriffs Wärme, sollen an einem System zwei Prozesse durchgeführt werden, die das System jeweils von einem Zustand 1 (V1, T1) in einen Zustand 2 (V2, T2) überführen. Beim ersten Prozeß soll das System adiabat vom Zustand 1 in den Zustand 2 gebracht werden. Als Beispiel diene das in Abb. 6.11(a) skizzierte System mit ideal isolierten Wänden. Durch die Zufuhr von Wellenarbeit wird die innere Energie und die Temperatur des Systems erhöht. Die Änderung der inneren Energie läßt sich über die geleistet Wellenarbeit W W 12

messen. W W12,adiabat = W12 =U 2 − U1

Bei dem zweiten Prozeß, Abb. 6.11(b) läßt sich dieser gleiche Zustand auch ohne die Zufuhr von Wellenarbeit erreichen. Die ideale Isolierung des Systems wird durch eine diatherme Wand ersetzt. Das System wird nun mit einem zweiten System mit einem großen Wärmeinhalt und der Systemtemperatur T* = T2 in Kontakt gebracht. Bei beiden Systemen stellt sich ein thermisches Gleichgewicht ein und dieser Gleichgewichtszustand (V2, T2) entspricht genau dem Zustand, der sich im ersten Prozeß durch die Zufuhr von Wellenarbeit erreicht wurde. Auch die Änderung der inneren Energie U2 - U1 ist gleich groß.

Abb. 6.11:

Zufuhr von Wellenarbeit (a), Zufuhr von Wärme über diatherme Wand (b)

Bei nicht-adiabaten Systemen läßt sich die Änderung der inneren Energie in der Regel nicht allein aus der zugeführten Arbeit erklären sondern es ist ein weitere Energieanteil notwendig, d.h. die Wärme. Die Energie, die als Wärme die Systemgrenze überschreitet läßt sich definieren als (Definition der Wärme) Q12 = U 2 − U 1 − W12 Die bei einem beliebigen Prozeß als Wärme übertragene Energie ist gleich der Änderung der inneren Energie des Systems, vermindert um die als Arbeit übertragene Energie.

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 58 _________________________________________________________________________

Bei der Betrachtung der Energie, welche die Systemgrenzen überschreitet, sind zwei Formen von Energie zu unterscheiden und zwar Energie, die als Arbeit und Energie, die als Wärme die Systemgrenze überschreitet. Für adiabate Systeme gilt also: Über die Grenzen eines adiabaten Systems kann Wärme weder zu- noch abgeführt werden. Energie kann nur in Form von Arbeit zu- bzw. abgeführt werden. Wärme ist also Energie, die an der Grenze zwischen zwei Systemen verschiedener Temperaturen auftritt und die allein aufgrund des Temperaturunterschiedes zwischen den Systemen übertragen wird, wenn diese über eine diatherme Wand miteinander in Wechselwirkung stehen.

_________________________________________________________________________ Ü 6.4: Kühlung eines elektrischen Leiters Ein elektrischer Leiter wird von einem zeitlich konstanten Gleichstrom durchflossen. Der elektrische Leiter, der zwischen zwei Punkten mit dem Potentialunterschied Uel = 15.5 V liegt, hat einen elektrischen Widerstand von Rel = 2.15 Ω. Durch eine entsprechende Kühlung wird die Temperatur des Leiters konstant gehalten. Wieviel Energie muß innerhalb von ∆t = 1 h in Form von Wärme abgeführt werden?

Abb. 6.12:

Gekühlter elektrischer Leiter

Definition für die Wärme Q12 = U 2 − U 1 − W12 Da sich der Zustand, d.h. die Temperatur und somit die innere Energie des Leiters nicht ändert, gilt: (T =const. !) U 2 − U1 = 0 Die zugeführte Arbeit entspricht der zugeführten elektrischen Arbeit W12 = W12el = U el ⋅ I el ⋅ ∆t mit U I el = el Rel folgt U 2  Q12 = − W12el = −  el  ⋅ ∆t  Rel    2 2  15.5 V   ⋅ 3600 s = − 402.3 kJ = − 0.1117 kW Q12 = −   2.15 Ω   

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 59 _________________________________________________________________________

6.2 Der erste Hauptsatz für ruhende geschlossene Systeme Die bis jetzt vorgestellten Überlegungen lag immer das allgemeine Prinzip von der Erhaltung der Energie zugrunde, d.h. Energie kann weder entstehen noch vernichtet werden. Zusammen mit dem Begriff der Arbeit, die bei adiabaten Prozessen nicht vom Verlauf der Zustandsänderung abhängt, sondern lediglich von dem Anfangs- und Endzustand, sowie der Definition der inneren Energie und der Energieform Wärme, läßt sich auch bei nichtadiabaten Systemen der Energieerhaltungssatz quantitativ formulieren. Jedes geschlossene System besitzt eine Zustandsgröße, die innere Energie U, die folgende Eigenschaften aufweist: 1.

Bei adiabaten Prozessen ist Zunahme der inneren Energie gleich der dem System zugeführten Arbeit,

W12, adiabat = U 2 − U 1 2.

(Definition der inneren Energie)

Bei nichtadiabaten Prozessen ist die dem System als Wärme Q12 und als Arbeit W12 zugeführte Energie gleich der Zunahme seiner inneren Energie,

Q12 + W12 = U 2 − U 1

(Definition der Wärme)

Der erste Hauptsatz beschreibt also den quantitativen Zusammenhang zwischen den drei Energieformen Wärme, Arbeit und innerer Energie. Wärme und Arbeit sind die beiden Energieformen, die die Systemgrenzen überschreiten können, während die innere Energie eine Eigenschaft (d.h. eine Zustandsgröße) des Systems darstellt. Der Zweck des ersten Hauptsatzes besteht nun darin, die dem System als Wärme oder Arbeit zugeführte oder entzogene Energie durch die Änderung einer Systemeigenschaft, nämlich durch die Änderung der Zustandsgröße innere Energie, zu erfassen. Werden die Wärme Q12, die Arbeit W12 und die innere Energie U auf die Masse m des Systems bezogen, so lautet der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme:

q12 + w12 = u 2 − u1

(1. Hauptsatz für ruhende geschlossene Systeme)

Für reversible Prozesse gilt, daß dem geschlossenen System Arbeit nur in Form von Volumenänderungsarbeit 2

w12,rev. = − ∫ p ⋅ dv 1

zugeführt oder entzogen werden kann. Eingesetzt in den ersten Hauptsatz ergibt dies für die Wärme q12: 2

q12,rev. = u 2 − u1 + ∫ p ⋅ dv 1

Die Größen Wärme, Arbeit und innere Energie sind von grundlegender Bedeutung für den ersten Hauptsatz. Nach dem Überschreiten der Systemgrenzen, sind die dem System zugeführte Wärme und Arbeit zu innerer Energie des Systems geworden. Wärmezufuhr und das Verrichten von Arbeiten dienen dazu, die innere Energie eines Systems zu verändern. Es ist nicht möglich, die innere Energie in einen mechanischen Arbeits- und einen thermischen Wärmeanteil aufzuspalten.

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 60 _________________________________________________________________________

6.3 Der erste Hauptsatz für bewegte geschlossene Systeme Der erste Hauptsatz der Thermodynamik für ruhende geschlossene Systeme läßt sich erweitern auf bewegte geschlossene Systeme (z.B. ein bewegtes Fluidelement). Die auf die Masse bezogene gespeicherte Energie eines bewegten Systems setzt sich zusammen aus - seiner inneren Energie u,

c2 - seiner kinetischen Energie 2

- und seiner potentiellen Energie g⋅z .

Der gesamte Energieinhalt, d.h. die im System gespeicherte Energie E beträgt demnach

  c2 E = m ⋅  u + + g ⋅ z  2   Gemäß dem ersten Hauptsatz ist die Änderung des Energieinhalts gleich der Summe der Energien, die als Wärme oder als Arbeit über die Systemgrenzen übertragen werden. Der erste Hauptsatz für bewegte geschlossene Systeme lautet somit:

Q12 + W12 = E 2 − E1 = U 2 − U 1 +

(

)

m 2 ⋅ c 2 − c12 + m ⋅ g ⋅ (z 2 − z1 ) 2

6.4 Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse 6.4.1 Technische Arbeit Maschinen und Apparate, die von einem zeitlich konstanten Stoffstrom, d.h. stationär durchflossen werden, lassen sich ebenfalls durch eine besondere Form des ersten Hauptsatzes beschreiben. Diese Form des ersten Hauptsatzes läßt sich über eine Energiebilanz für einen Kontrollraum, also ein offenes System herleiten. Dies ist nicht mit der Bilanz an einem bewegten geschlossenen System (vgl. 6.3), also der Bilanz an einem bewegten Fluidelement zu verwechseln. Der Vorteil dieser Form des ersten Hauptsatzes besteht darin, daß die Prozesse und Vorgänge, die im Inneren der Anlagen ablaufen nicht bekannt sein müssen. In der Energiebilanz treten lediglich Größen auf, die an der Grenze des Kontrollraums bestimmbar sind. Zu diesen Größen zählt die technische Arbeit Wt , wie sie z.B. in Form von Wellenarbeit einer Turbine über die Kontrollgrenzen des offenen Systems abgegeben werden kann. Entsprechend zählt auch elektrische Arbeit, die dem Kontrollraum zu- bzw. abgeführt wird als technische Arbeit.

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 61 _________________________________________________________________________ Die in einem Zeitintervall ∆τ geleistete Arbeit wird als mechanische oder auch elektrische Leistung bezeichnet:

P12 =

Wt ,12 ∆τ

Die technische Arbeit kann auch auf die Masse m des Fluids bezogen werden und wird als spezifische technische Arbeit bezeichnet.

wt ,12 =

Wt ,12 m

! ergibt sich dann die Leistung P12 zu: Mit dem zeitlich konstanten Massestrom m

P12 = m! ⋅ wt ,12 Die Berechnung der technischen Arbeit soll anhand des in Abb. 6.13 skizzierten Kontrollraums verdeutlicht werden.

Abb. 6.13:

Kontrollraum eines offenen Systems

Die Zustandsgrößen des Systems werden am Eintritt mit dem Index 1 und am Austritt mit dem Index 2 gekennzeichnet. Mit Wt,12 wird die technische Arbeit bezeichnet, die dem System über eine Welle zugeführt wird, z.B. über den Antrieb eines Verdichters. Mit Q12 wird die dem System zugeführte Wärme bezeichnet. Der Prozeß wird über ein Zeitintervall ∆τ betrachtet, in dessen Verlauf das System von einem Fluid der Masse ∆m durchströmt wird. Da die Bewegung des strömenden Fluids für das offene System von Bedeutung ist, sind in diesem Fall die kinetische und potentielle Energien zu berücksichtigten. Die Energiebilanz für das System lautet:

Q12 + W12 = E 2 − E1 bzw.

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 62 _________________________________________________________________________

    c 22 c12    Q12 + W12 = ∆m ⋅  u 2 + + g ⋅ z 2  − ∆m ⋅  u1 + + g ⋅ z1  2 2     Der Term Q12 bezeichnet die Wärme, die dem System zugeführt wird und der Term W12 bezeichnet die Arbeit, die dem System zugeführt wird. Die Arbeit wiederum setzt sich zusammen aus der technischen Arbeit Wt,12 und der Volumenänderungsarbeit am Eintrittsquerschnitt +p1⋅ v1⋅∆m sowie am Austrittsquerschnitt -p2⋅ v2⋅∆m, d.h.

W12 = Wt ,12 + p1 ⋅ v1 ⋅ ∆m − p 2 ⋅ v 2 ⋅ ∆m bzw.

W12 = Wt ,12 − ∆m ⋅ ( p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 )

Der Term p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 wird auch als spezifische Verschiebearbeit bezeichnet. Die Energiebilanz lautet nun

    c2 c2 Q12 + Wt ,12 − ∆m ⋅ ( p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 )= ∆m ⋅  u 2 + 2 + g ⋅ z 2  − ∆m ⋅  u1 + 1 + g ⋅ z1  2 2     Sofern es sich um einen stationären Prozeß handelt, gilt die Gleichung auch für beliebig große Zeitintervalle ∆τ und die Gleichung kann durch ∆τ dividiert werden.

    c2 c2 Q! 12 + P12 − m! ⋅ ( p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v1 ) = m! ⋅  u 2 + 2 + g ⋅ z 2  − m! ⋅  u1 + 1 + g ⋅ z1  2 2     bzw.

    c2 c2 Q! 12 + P12 = m! ⋅  u 2 + p 2 ⋅ v 2 + 2 + g ⋅ z 2  − m! ⋅  u1 + p1 ⋅ v1 + 1 + g ⋅ z1  2 2    

6.4.2 Enthalpie Die Summe aus innerer Energie U und dem Produkt p⋅V läßt sich zu einer neuen Zustandsgröße des Systems zusammenfassen, der Enthalpie H.

H =U + p ⋅ V bzw. die spezifische Enthalpie h

h=

H = u + p⋅v m

Damit ergibt sich der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse zu

(

)

1   Q! 12 + P12 = m! ⋅  h2 − h1 + ⋅ c 22 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) 2  

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 63 _________________________________________________________________________ bzw. bezogen auf die Masse des strömenden Mediums, d.h. den Massestrom m!

q12 + wt ,12 = h2 − h1 +

(

)

1 2 ⋅ c 2 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) 2

Da in der Gleichung für stationäre Fließprozesse nur Größen enthalten sind, die im Eintrittsund Austrittsquerschnitt gemessen werden können, kann sie auch auf Systeme angewendet werden, in deren Innerem auch nicht-stationäre Prozesse ablaufen. Die Forderung nach stationärem Verlauf bezieht sich lediglich auf die Größen im Eintritts- und Austrittsquerschnitt.

_________________________________________________________________________ Ü 6.5: Stationärer Fließprozeß am Beispiel eines Wasserkraftwerks Die Grenzen des Kontrollraums werden so gewählt, daß die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers vernachlässigbar klein wird, d.h. c1 = c2 ≈ 0. Der Luftdruck ist zu vernachlässigen und Zu- und Ablauf liegen in der gleichen Tiefe unter dem Oberwasser- bzw. Unterwasserspiegels, d.h. p1 = p2. Der Kontrollraum ist adiabat, d.h. q12 = 0. Wasser kann als inkompressibel angenommen werden, d.h. seine Dichte ρ bzw. spezifisches Volumen v ist konstant. Gesucht ist die abgegebene Turbinenarbeit wt12 .

Abb. 6.14:

Stationärer Fließprozeß, Wasserkraftwerk

Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse

q12 + wt ,12 = h2 − h1 +

(

)

1 2 ⋅ c 2 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) 2

vereinfacht sich somit zu

wt ,12 = h2 − h1 + g ⋅ (z 2 − z1 ) bzw.

wt ,12 = u 2 − u1 + ( p 2 − p1 ) ⋅ v + g ⋅ (z 2 − z1 ) &#%# $ =0

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 64 _________________________________________________________________________

also

wt ,12 =

u 2 − u1 &%$

innere Energie

+ g ⋅ (z 2 − z1 ) = u 2 − u1 − g ⋅ z geodätisch &#%#$ potentielle Energie

Die abgegebene Turbinenarbeit setzt sich also zusammen aus der Änderung der inneren Energie sowie aus der Abnahme der potentiellen Energie des Wassers im Schwerefeld der Erde. Für einen reversiblen Prozeß gilt u1 = u2, d.h. die innere Energie im System bleibt unverändert und die abgegebene Arbeit hängt lediglich von der Änderung der potentiellen Energie ab.

wt12,rev = g ⋅ (z 2 − z1 ) = − g ⋅ z geodätisch Dies stellt den theoretisch maximal erzielbaren Grenzwert für die abzugebende Turbinenarbeit dar. In der Natur kommen jedoch lediglich verlustbehaftete Prozesse vor, d.h. es gilt wegen der Reibungsverluste u2 > u1. Diese Verluste führen zu einer Verringerung der abgegebenen Turbinenarbeit und einer Erhöhung der inneren Energie des Wassers, d.h. zu einer Temperaturerhöhung des Wassers. Der Wirkungsgrad des Kraftwerks läßt sich ausdrücken durch das Verhältnis

η=

wt12 wt12,rev

Der Zusammenhang der Wassertemperatur mit seiner inneren Energie wird beschrieben durch

u 2 − u1 = cv ⋅ (T2 − T1 )

Mit zgeodätisch = ∆z und der Definition des Wirkungsgrades η folgt

η=

wt12 − g ⋅ ∆z + u 2 − u1 − g ⋅ ∆z + c v (T2 − T1 ) = = wt12,rev − g ⋅ ∆z − g ⋅ ∆z

berechnet sich die Temperaturerhöhung des Wassers aus

T2 − T1 =

− η ⋅ g ⋅ ∆z + g ⋅ ∆z g ⋅ ∆z ⋅ (1 − η ) = cv cv

Bei einem angenommenen Wirkungsgrad von η = 0.9 und einem Höhenunterschied von ∆z = 100m ergibt sich mit der spezifischen Wärmekapazität von Wasser cv = 4190 J/kgK eine Erwärmung des Wassers von

m ⋅ 100 m ⋅ 0.1 s2 = 0.023 K J 4190 kg ⋅ K

9.81 T2 − T1 =

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 65 _________________________________________________________________________

6.5 Instationäre Prozesse in offenen Systemen Ausgehend von der Energiebilanz eines offenen Systems soll der erste Hauptsatz auf nichtstationäre Prozesse erweitert werden. In allgemeiner Form lautet die Energiebilanz für den Kontrollraum eines offenen Systems: Die Summe der Energien, die als Wärme und Arbeit mit dem strömenden Medium über die Systemgrenze zu- oder abgeführt werden ist gleich der Änderung des Energieinhalts des offenen Systems.

Abb. 6.15:

Masseelement eines strömenden Mediums beim Überqueren der Systemgrenze

Zur Berechnung der Energie, die mit dem Strömungsmedium über die Systemgrenze transportiert wird, betrachten wir ein Masseelement ∆m, das die Systemgrenze B passiert, Abb. 6.15. Die innerhalb des Zeitintervalls ∆τ vorbeifließende Energie läßt sich aus dem Energieinhalt des Masseelements ∆m bestimmen:

  c2  u + + g ⋅ z  ⋅ ∆m 2   Die Verschiebearbeit, die von dem Strömungsmedium verrichtet werden muß um das Masseelement um die Strecke c⋅∆τ zu bewegen, berechnet sich mit dem Querschnitt A zu:

( p ⋅ A)⋅ (c ⋅ ∆τ )= p ⋅ v ⋅ ∆m Die gesamte Energie, die während des Zeitintervalls ∆τ vorbeifließt beträgt somit:

  c2  u + p ⋅ v + + g ⋅ z  ⋅ ∆m 2   Dies bedeutet, daß durch den Eintritt eines strömenden Mediums in ein offenes System, sich die Energie des Systems nicht nur um die innere Energie, kinetische Energie und die potentielle Energie erhöht sondern auch um einen Betrag p⋅v⋅∆m . Der Term p⋅v wird auch als spezifische Strömungsenergie bezeichnet.

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 66 _________________________________________________________________________

Tritt durch einen Eintrittsquerschnitt 1 eine Masse dm1 in das System ein, so transportiert das Masseelement die Energie

    c2 c2  u1 + p1 ⋅ v1 + 1 + g ⋅ z1  ⋅ dm1 =  h1 + 1 + g ⋅ z1  ⋅ dm1 2 2     Am Austrittsquerschnitt 2 fließt mit der Masse dm2 die Energie

  c2  h2 + 2 + g ⋅ z 2  ⋅ dm2 2   ab. Werden dem System die Wärme dQ und die technische Arbeit dWt zugeführt, dann gilt für die Energiebilanz

    c12 c 22    dQ + dWt +  h1 + + g ⋅ z1  ⋅ dm1 −  h2 + + g ⋅ z 2  ⋅ dm2 = dE 2 2     Wobei dE die zeitliche Änderung des Energieinhalts des offenen Systems darstellt. der gesamte Energieinhalt E des Systems ergibt sich aus der Integration über die im System enthaltene Masse.

∫

E=

Masse des offenen Systems

  c2  u + + g ⋅ z  ⋅ dm 2  

Verläuft ein Prozeß über das Zeitintervall ta bis tb, so ergibt sich der erste Hauptsatz für instationäre Fließprozesse in offenen Systemen

Qab + Wt ,ab

m2 ( t =b )

m2 t = b     c12 c 22 + ∫  h1 + + g ⋅ z1  ⋅ dm1 − ∫  h2 + + g ⋅ z 2  ⋅ dm2 = Eb − E a 2 2   m1 ( t = a )  m1 ( t = a )  (

)

Für stationäre Fließprozesse gilt

dE = 0 dm1 = dm2 = dm und mit

q12 =

dQ dm

sowie

wt ,12 =

dWt dm

vereinfacht sich die Bilanz wieder zur Gleichung des ersten Hauptsatzes für stationäre Fließprozesse.

q12 + wt ,12 = h2 − h1 +

(

)

1 2 ⋅ c 2 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) 2

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 67 _________________________________________________________________________

Ü 6.6: Abfüllen eines Kühlmittels R12 in eine Gasflasche In einer Gasflasche mit dem Volumen V = 0.002 m³ befindet sich das Kältemittel R12 (CF2Cl2). Zu Anfang steht das gasförmige R12 bei Ta = 20°C unter einem Druck von pa = 1.005 bar. Das zu Ta und pa gehörige spezifische Volumen va beträgt va = 0.1967 m³/kg und die spezifische Enthalpie ha = 303.76 kJ/kg. Zum Auffüllen wird die Gasflasche an eine Leitung mit gasförmigem R12 angeschlossen mit p1 = 6.541 bar, T1 = 50°C, h1 = 315.94 kJ/kg. Auszug aus der Dampftafel von R12 für Ts = 20°C 3 3 Ts [°C] ps [bar] v' [m /kg] v'' [m /kg] h' [kJ/kg] -3 20.0 5.691 0.03102 153.73 0.7528⋅10

h'' [kJ/kg] 296.78

Die Flasche wird so aufgefüllt, daß bei 20°C gerade 80% des Volumens von siedendem R12 und das restliche Volumen von gesättigtem Dampf eingenommen wird. Welche Menge an R12 sind einzufüllen und wieviel Wärme muß während des Füllvorgangs über eine Kühlung abgeführt werden?

Abb. 6.16:

Füllen einer Gasflasche mit R12

Die Masse ma des gasförmigen R12 zu Beginn des Füllvorgangs berechnet sich zu

ma = ρ a ⋅ V =

1 ⋅V = va

1 3

0.1967

m kg

⋅ 0.002 m 3 = 0.0102 kg

Die Masse mb am Ende des Füllvorgangs läßt sich aus den Massen der siedenden Flüssigkeit m' und des gesättigten Dampfes m'' bestimmen.

mb = mb′ + mb′′ = 0.8 ⋅ V ⋅

1 1 0.8 0.2   + 0.2 ⋅ V ⋅ = 0.002 ⋅  +  = 2.138 kg −3 v′ v ′′ 0.03102   0.7528 ⋅ 10

Die einzufüllende Menge beträgt somit

m = mb − ma = 2.138 kg − 0.0102 kg = 2.128 kg

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 68 _________________________________________________________________________ Da nur ein Stoffstrom die Systemgrenze überquert, d.h. dm 2 = 0 , gilt:

  c12 dQ + dWt +  h1 + + g ⋅ z1  ⋅ dm1 = dE 2   Die kinetische und potentielle Energien können vernachlässigt werden. Während dem Füllvorgang wird dem System keine Arbeit zugeführt, d.h. dWt = 0. Die Änderung der Energie dE entspricht der Änderung der inneren Energie dU des R12, das sich in der Gasflasche befindet. Die Energiebilanz vereinfacht sich somit zu

dQ + h1 ⋅ dm1 = dU ⇔

dQ = − h1 ⋅ dm1 + dU

Die Integration b

b

a

a

∫ dQ = ∫ − h

1

b

⋅ dm1 + ∫ dU a

ergibt wegen des zeitlich konstanten Zustands des einströmenden Kühlmittels R12

Qab = − h1 ⋅ (mb − ma ) + U b − U a Die innere Energie des gasförmigen R12 vor dem Füllen beträgt

U a = ma ⋅ u a = ma ⋅ (ha − p a ⋅ v a )   kJ U a = 0.0102 kg ⋅  303.76 − 1.005 ⋅ 10 5 Pa ⋅ 0.1967 m 3  = 2.897 kJ kg   Am Ende des Füllvorgangs beträgt die innere Energie des Naßdampfes

U b = mb′ ⋅ u b + mb′′ ⋅ u b = mb′ ⋅ (h ′ − p s ⋅ v ′) + mb′′ ⋅ (h ′′ − p s ⋅ v ′′) U b = mb′ ⋅ h ′ + mb′′ ⋅ h ′′ − p s ⋅ (mb′ ⋅ v ′ + mb′′ ⋅ v ′′) &##%##$ V

mit

mb′ = 0.8 ⋅ V ⋅

mb′′ = 0.2 ⋅ V ⋅

1 = 0.8 ⋅ 0.002 m 3 ⋅ v′ 1 = 0.2 ⋅ 0.002 m 3 ⋅ v ′′

1 0.7528 ⋅ 10

−3

1 m3 0.03102 kg

m3 kg

= 2.125 kg

= 0.013 kg

folgt

U b = 2.125 kg ⋅ 153.73

kJ kJ + 0.013 kg ⋅ 296.78 − 5.691 ⋅ 10 5 Pa ⋅ 0.002 m 3 = 329.4 kJ kg kg

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 69 _________________________________________________________________________

Die während dem Füllvorgang abzuführende Wärme ergibt sich zu

Qab = − 315.94

kJ ⋅ (2.138 kg − 0.0102 kg ) + 329.4 kJ − 2.897 kJ = − 345.8 kJ K

Das bedeutet, daß die Gasflasche während dem Füllvorgang gekühlt werden muß, um eine konstante Temperatur von 20°C aufrecht zu erhalten und das eingefüllte Gas kondensiert.

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 70 _________________________________________________________________________

7 Kalorische Zustandsgleichungen Die innere Energie U und Enthalpie H beschreiben den inneren energetischen Zustand eines Systems. Zur Unterscheidung von den thermischen Zustandsgrößen p, V, T, werden sie als kalorische Zustandsgrößen bezeichnet.

7.1 Kalorische Zustandsgleichungen der inneren Energie Bei einfachen Systemen läßt sich der Gleichgewichtszustand durch zwei Zustandsgrößen eindeutig beschreiben. Die spezifische innere Energie u läßt sich also als Funktion von Temperatur T und spezifischem Volumen v in Analogie zur thermischen Zustandsgleichung

darstellen als

p = p (T , v)

(thermischen Zustandsgleichung)

u = u (T , v)

(kalorische Zustandsgleichung)

Das vollständige Differential der spezifischen inneren Energie lautet:

 ∂u   ∂u  du =   dT +   dv  ∂v  T  ∂T  v Der erste partielle Differentialquotient wird auch als spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen cv bezeichnet.

 ∂u  cv =   = cv (T , v )  ∂T  v Bei gleicher Temperaturänderung kann ein Körper um so mehr Wärme aufnehmen, desto größer seine Wärmekapazität ist.

7.2 Kalorische Zustandsgleichungen der Enthalpie Die spezifische Enthalpie h wird allgemein als Funktion von T und p angegeben:

h = h(T , p ) Diese Form gilt lediglich für Einphasensysteme, da nur hier Druck und Temperatur voneinander unabhängig sind. Das vollständige Differential der spezifischen Enthalpie h lautet:

 ∂h  dh =   dT  ∂T  p

 ∂h  +   dp  ∂p  T

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 71 _________________________________________________________________________

Der erste partielle Differentialquotient wird auch als spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck cp bezeichnet.

 ∂h  cp =   = c p (T , p )  ∂T  p Zustandsgrößen sind unabhängig von dem Verlauf der Zustandsänderungen. Dies hat den Vorteil, daß bei der Berechnung der Integrale der Integrationsweg nicht mit dem Verlauf der Zustandsänderung übereinstimmen muß, sondern es kann ein rechentechnisch einfacherer Weg gewählt werden. Lediglich die Anfangs- und Endpunkte müssen übereinstimmen.

7.3 Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen Aufgrund des inkompressiblen Verhaltens von Festkörpern und Flüssigkeiten gilt

v = const. und somit

dv = 0

Dadurch hängen die innere Energie und die spezifische isochore Wärmekapazität cv nur noch von der Temperatur ab.

 du  cv =   = c v (T )  dT  Das Differential der inneren Energie vereinfacht sich zu

 du  du =   ⋅ dT = cv (T ) ⋅ dT  dT  Die Änderung der inneren Energie infolge einer Temperaturänderung von T1 auf T2 berechnet sich zu T2

2

∫ du = u(T ) − u(T )= ∫ c (T )⋅ dT 2

1

1

v

T1

Die Enthalpiedifferenz zwischen zwei Zuständen 1 (p1,T1) und 2 (p2,T2)

 ∂h(T , p )    ∂h(T , p )    dT dp dh h T p h T p , , ( ) ( ) = − = ⋅ + ⋅     2 2 1 1 ∫1 ∫1  ∂T  p  ∂p   T   2

2

läßt sich aufgrund der Wegunabhängigkeit des Integrationsweges der Zustandsgrößen entsprechend des in Abb. 7.1 skizzierten Wegs berechnen.

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 72 _________________________________________________________________________

Abb. 7.1:

Integrationsweg zur Bestimmung der Enthalpiedifferenz

1. Schritt:

Isobare Zustandsänderung mit p1 = const, also dp = 0 2  ∂h(T , p1 )  dT ⋅ =   ∫ ∂T  ∫ c p (T , p1 )⋅ dT T1  T 1 p

T2

2. Schritt:

T

Isotherme Zustandsänderung mit T2 = const, also dT = 0

 ∂h(T2 , p )   ⋅ dp = h(T2 , p 2 ) − h(T2 , p1 ) ∂p  p1

p2

∫ 

T

mit der Definition der Enthalpie

h=u + p ⋅ v folgt

 ∂h(T2 , p )   ⋅ dp = [u (T2 ) + p 2 ⋅ v ] − [u (T2 ) − p1 ⋅ v ] = v ⋅ ( p 2 − p1 ) p ∂  p1

p2

∫ 

T

Aufsummieren der Teilergebnisse ergibt die Enthalpiedifferenz zwischen den Zuständen 1 und 2 T2

h(T2 , p 2 ) − h(T1 , p1 )= ∫ c p (T , p1 ) ⋅ dT + v ⋅ ( p 2 − p1 ) T

Bei isobaren Zustandsänderungen gilt p1 = p2 = p und somit für die Enthalpiedifferenz:

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 73 _________________________________________________________________________

T2

T2

T

T

h(T2 , p ) − h(T1 , p )= ∫ c p (T , p ) ⋅ dT = u (T2 ) − u (T1 )= ∫ cv (T ) ⋅ dT Für Festkörper und ideale Flüssigkeiten gilt somit T2

T2

∫ c (T , p )⋅ dT = ∫ c (T )⋅ dT v

p

T

T

d.h. die spezifische isobare und isochore Wärmekapazitäten stimmen überein.

c p (T )= c v (T )= c(T ) Bei kleinen Temperaturdifferenzen kann die Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität vernachlässigt werden und die Differenz der spezifischen inneren Energie berechnet sich aus

u (T2 ) − u (T1 )= c ⋅ (T2 − T1 )

Die spezifische Enthalpiedifferenz für Festkörper und ideale Flüssigkeiten ergibt sich zu

h(T2 , p 2 ) − h(T1 , p1 )= c ⋅ (T2 − T1 ) + ( p 2 − p1 ) ⋅ v1

7.4 Innere Energie und Enthalpie idealer Gase Bei idealen Gasen ist die spezifische Wärmekapazität cv eine reine Temperaturfunktion, d.h. es gilt:

cv = cv (T )

Damit kann die spezifische innere Energie idealer Gase beschrieben werden durch T

u = u (T )= ∫ cv (T ) ⋅ dT + u 0 T0

wobei die Konstante u0 die spezifischen innere Energie bei der Temperatur T0 bedeutet. Für Gase, deren Wärmekapazität über einen gewissen Temperaturbereich als konstant angenommen werden kann, vereinfacht sich die Berechnung der spezifischen inneren Energie zu

u = cv ⋅ (T − T0 ) + u 0 Die spezifische Enthalpie idealer Gase ist ebenfalls eine reine Temperaturfunktion. Zusammen mit der thermischen Zustandsgleichung

p ⋅ v = R ⋅T

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 74 _________________________________________________________________________

ergibt sich für die spezifische Enthalpie

h(T )= u (T ) + p ⋅ v = u (T ) + R ⋅ T Differenzierung nach der Temperatur T ergibt

dh du = +R dT dT Mit cv =

du = c v (T ) dT

cp =

dh = c p (T ) dT

und

folgt

c p (T ) − cv (T )= R

Bei idealen Gasen sind die spezifischen Wärmekapazitäten zwar temperaturabhängig, ihre Differenz ist jedoch konstant und entspricht der spezifischen Gaskonstante.

_________________________________________________________________________ Ü 7.1: Adiabate Kompression von Luft Luft wird in einem adiabaten Zylinder von p1 = 1.2 bar, T1 = 25°C solange verdichtet bis eine Endtemperatur von T2 = 100°C erreicht wird. Gesucht sind die zur Verdichtung erforderliche Arbeit w12 und der Enddruck p2, der höchstens erreicht werden kann. Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme

q12 + w12 = u 2 − u1 wegen adiabater Kompression, d.h. kein Wärmeaustausch mit der Umgebung, gilt:

q12 = 0 und somit

w12 = u 2 − u1 In erster Näherung wird Luft als ideales Gas angenommen, d.h. die spezifische innere Energie u hängt nur von der Temperatur ab. Innerhalb des Temperaturbereichs von T = 25°C bis 100°C kann die spezifische Wärmekapazität cv ebenfalls als konstant angenommen werden.

cv (Luft )= 717

J kg ⋅ K

Die zur Verdichtung erforderliche Arbeit w12 ergibt sich zu

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 75 _________________________________________________________________________

w12 = u 2 − u1 = cv ⋅ (T2 − T1 )= 717

J J ⋅ (100 − 25)K = 53775 kg ⋅ K kg

Der Druck, der bei einer Kompression maximal erreicht werden kann, entspricht dem der reversiblen Verdichtung. Für die reversible Arbeit gilt: 2

w12,rev. = − ∫ p ⋅ dv = cv ⋅ (T2 − T1 ) 1

Für die quasistatische Zustandsänderung bei diesem reversiblen adiabaten Prozeß gilt

− dwrev = p ⋅ dv = − cv ⋅ dT Differenzieren der Zustandsgleichung für ideale Gase

p ⋅ v = R ⋅T nach dem spezifischen Volumen v ergibt

d ( p ⋅ v ) d (R ⋅ T ) = dv dv ⇔

dp dv dT ⋅v + ⋅ p=R⋅ dv dv dv

⇔

p ⋅ dv = R ⋅ dT − v ⋅ dp

Mit

v ⋅ dp =

R ⋅T ⋅ dp p

ergibt sich

p ⋅ dv = R ⋅ dT − ⇔

R ⋅T ⋅ dp = − cv ⋅ dT p

dp cv + R dT = ⋅ p R T

Integration von Zustand 1 zu Zustand 2

cv + R 2 1 1 dp = ⋅ ∫ dT ∫1 p R T 1 2

ergibt

 p  c + R  T2 ln 2  = v ⋅ ln p R  1  T1 bzw.

 p 2   T2    =    p1   T1 

 cv + R   ⋅  R   

  

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 76 _________________________________________________________________________

Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang von Druck und Temperatur des idealen Gases bei einem reversiblen adiabaten Prozeß Für Luft mit einer spezifischen Gaskonstante von R = 287.1 J/kgK ergibt sich somit der maximal mögliche Endruck der infolge der Kompression erreicht werden kann, zu

T p 2 = p1  2  T1

  

 cv + R   ⋅  R   

 25 + 273.15  p 2 =1.2 bar ⋅    100 + 273.15 

J J  + 287.1  717 kg ⋅ K kg ⋅ K   J 287.1  kg ⋅ K 

     

 298.15  = 1.2 bar ⋅    373.15 

3.5

= 2.64 bar

_________________________________________________________________________

7.5 Innere Energie und Enthalpie von Dämpfen Dampf im Naßdampfgebiet stellt ein Zweiphasensystem dar, in dem Druck und Temperatur nicht voneinander unabhängig sind, sondern über die Dampfdruckkurve miteinander gekoppelt sind. In Dampftafeln sind die Werte auf der Siedelinie (') und der Taulinie ('') für die spezifischen Volumina v' und v'', spezifische Enthalpie h' und h'' und die spezifische Entropie s' und s'' in Tabellenform für die Sättigungstemperatur bzw. den Sättigungsdruck aufgelistet. Bei bekanntem Dampfgehalt x berechnet sich die spezifische Enthalpie h zu

h = h′ + x ⋅ (h ′′ − h′) Die Differenz der spezifischen Enthalpien der flüssigen und gasförmigen Phase ergibt die Verdampfungsenthalpie ∆hD

∆hD = h′′ − h ′ Das spezifische Volumen v des Zweiphasensystems ergibt sich analog zur spezifischen Enthalpie

v = v ′ + x ⋅ (v ′′ − v ′) Die spezifische innere Energie u berechnet sich zusammen mit dem Sättigungsdruck ps zu

u = h − ps ⋅ v

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 77 _________________________________________________________________________

7.6 Spezifische Wärmekapazitäten 7.6.1 Wahre spezifische Wärmekapazitäten In der kinetischen Gastheorie wurden Gase als einatomige Moleküle angenommen und die spezifische innere Energie mit

3 u = ⋅ R ⋅T 2 berechnet. Die Differentiation nach T ergibt die spezifische isochore Wärmekapazität cv

cv =

du 3 = ⋅R dT 2

mit

c p − cv = R ergibt sich die spezifische isobare Wärmekapazität cp zu

cp =

5 ⋅R 2

Die spezifischen Wärmekapazitäten einatomiger Gase, wie z.B. Edelgase (Helium, Argon) sind somit temperaturunabhängig. Komplizierter gestaltet sich die Bestimmung der Wärmekapazitäten von mehratomigen Gasen, Festkörpern und Flüssigkeiten. Hier liegt in der Regel eine Abhängigkeit von Druck und Temperatur vor. In Abb. 7.2 und Abb. 7.3 sind für Kohlenstoff und einige ausgewählte Metalle sowie für einige Gase der Verlauf der spezifischen Wärmekapazitäten über der Temperatur skizziert.

Abb. 7.2:

Spezifische Wärmekapazität von Kohlenstoff und Metallen

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 78 _________________________________________________________________________

Abb. 7.3:

Spezifische isobare Wärmekapazität von Gasen

7.6.2 Mittlere spezifische Wärmekapazitäten Die Berechnung der mittleren spezifischen isobaren und isochoren Wärmekapazitäten cp und cv erfolgt über die Berechnung der Mittelwerte über das entsprechende Temperaturintervall. T

cv TT2 1

2 1 = ⋅ ∫ cv (T ) ⋅ dT T2 − T1 T 1

bzw. T

cp

T2 T1

=

2 1 ⋅ ∫ c p (T ) ⋅ dT T2 − T1 T 1

Abb. 7.4:

Berechnung der mittleren spezifischen Wärmekapazität

Technische Thermodynamik Kalorische Zustandsgleichungen 79 _________________________________________________________________________

In der Regel ist jedoch eine lineare Interpolation zwischen den beiden Temperaturen T1 und T2 ausreichend. Wasser läßt sich z.B. bis zu einer Sättigungstemperatur von Ts = 170°C mit einer konstanten spezifischen Wärmekapazität von c = 4186 [J/kg⋅K] berechnen. Der Fehler liegt dabei unter einem Prozent.

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 80 _________________________________________________________________________

8 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 8.1 Inhalt des zweiten Hauptsatzes Der erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt das Prinzip der Erhaltung der Energie bei der Umwandlung in unterschiedlichen Erscheinungsformen. Es wird jedoch keine Aussage über die Möglichkeit bzw. Unmöglichkeit dieser Umwandlung getroffen. In der Natur ist es keineswegs selbstverständlich, daß Prozesse, die nach dem Energieerhaltungssatz möglich wären auch wirklich vorkommen. Mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik wäre es z.B. problemlos zu vereinbaren, daß der vom Dach gefallene Ziegel sich unter Ausnutzung seiner durch den Aufprall erfolgten Aufwärmung, wieder von alleine in die Luft erhebt und wieder auf dem Dach liegt. Dies wurde noch nicht beobachtet und erscheint auch nicht ganz plausibel. Offensichtlich gibt es in der Natur Vorgänge, die von alleine nur in eine bestimmte Richtung ablaufen. Wärme fließt 'von alleine' vom wärmeren zum kälteren Körper, aber nie in von dem kälteren zu dem wärmeren Körper. Nach dem Herausziehen einer Trennwand vermischen sich zwei unterschiedliche Gase gleicher Dichte vollständig (=Diffusion). Eine Entmischung ist jedoch ebenfalls noch nie beobachtet worden. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ist ebenso wie der erste Hauptsatz lediglich ein Erfahrungssatz, der auf allgemeinen Beobachtungen beruht und bis jetzt noch nicht widerlegt wurde. _________________________________________________________________________ Ü 8.1: Freier Fall Ein Stück Aluminium fällt aus einer Höhe von z1 = 1000 m auf den Erdboden (z2 = 0). Die Luftreibung wird vernachlässigt und es findet auch kein Energieaustausch mit der Umgebung statt. Beim Aufprall dringt der Körper in das Erdreich ein und erwärmt sich infolge der dabei entstehenden Reibung. Gemäß dem ersten Hauptsatz wird die potentielle Energie dabei vollständig in innere Energie des Aluminiumstückes umgewandelt.

U 2 − U 1 = m ⋅ c ⋅ (T2 − T1 )= E pot1 − E pot 2 = m ⋅ g ⋅ (z1 − z 2 ) mit

c Al = 920

J kg ⋅ K

ergibt sich die Temperaturerhöhung ∆T zu

g ⋅ (z1 − z 2 ) ∆T = = c Al

m ⋅ 1000 m s2 =10.7 K J 920 kg ⋅ K

9.81

_________________________________________________________________________ Die Umkehrung dieses Prozesses würde bedeuten, daß ein Körper sich vom Erdboden nach oben bewegt und sich dabei abkühlt. In dem in Ü 8.1 ausgeführten Beispiel würde sich das Aluminium entsprechend um ∆T = 10.7 K abkühlen. Dies würde zwar dem im ersten Hauptsatz formulierten Prinzips der Energieerhaltung entsprechen, nicht jedoch der

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 81 _________________________________________________________________________

allgemeinen Erfahrung, daß Körper eben nicht ohne äußere Einwirkung sich im Schwerefeld bewegen. Die Rücktransformation der inneren Energie in potentielle Energie gelingt offensichtlich nicht. Potentielle und kinetische Energie sowie Arbeit lassen sich zwar gegenseitig ineinander überführen und alle drei lassen sich auch in innere Energie überführen, die Umkehrung gelingt jedoch nicht, d.h. es handelt sich um einen nicht umkehrbaren, also irreversiblen Vorgang. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt also die Grenzen der Umwandlung von Energie und die Umkehrbarkeit von thermodynamischen Prozessen.

Formulierung nach Clausius (1850): Wärme kann nie von selbst von einem System niederer Temperatur auf ein System höherer Temperatur übertragen werden. Formulierung nach Max Planck (1858-1947): Es ist unmöglich eine periodisch funktionierende Maschine zu konstruieren, die weiter nichts bewirkt, als Hebung einer Last und Abkühlung eines Wärmereservoirs. (Unmöglichkeit des perpetuum mobile 2. Art) oder Alle Prozesse bei denen Reibung auftritt sind nicht umkehrbar. Formulierung nach H.D. Baehr (1981): Alle natürlichen Prozesse sind nicht umkehrbar.

8.2 Entropie Diese allgemeinen Aussagen lassen sich durch die Einführung des Begriffes der Entropie näher erläutern. Die Entropie (aus dem Griechischen: 'Verwandelte') ist ein Maß für die Irreversibilität thermodynamischer Prozesse und ein Kriterium zur Vorhersage der Richtung ihrer Abläufe.

8.2.1 Entropie und Wahrscheinlichkeit Die Durchmischung von Gasen gleichen Drucks und gleicher Dichte ist offensichtlich irreversibel und erfolgt von selbst, obwohl es keine makroskopischen Kräfte gibt (bei gleichem Druck!), die die Gase aus ihren ursprünglichen Volumina vertreiben. Es muß hierfür also eine andere Ursache vorliegen. Bei der Betrachtung einer Schachtel, deren untere Hälfte mit schwarzem Sand und deren obere Hälfte mit weißem Sand gefüllt ist, wird schnell deutlich, was sich ergibt, wenn die

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 82 _________________________________________________________________________

Schachtel geschüttelt wird: Grauer Sand. Ebenso deutlich wird aber auch, daß sich der ursprüngliche Ordnungszustand der gleichmäßigen Schichtung auch nach sehr langem Schütteln aller Voraussicht nie wieder einstellen wird. Der Übergang von Ordnung zu Unordnung infolge des Mischens stellt einen typischen irreversiblen Prozeß dar. Irreversibel deshalb, weil der ungeordnete Zustand sehr viel wahrscheinlicher ist als der geordnete. Als Beispiel soll die isotherme Ausdehnung eines Luftvolumens ins Vakuum betrachtet werden, z.B. unter Verdoppelung seines ursprünglichen Volumens. Ebenso könnte man nach der Wahrscheinlichkeit fragen, mit der sich alle Luftmoleküle in genau einer Zimmerhälfte befindet, während sich in der anderen Zimmerhälfte ein Vakuum einstellt. Dieser Zustand würde ja dem Ausgangszustand der isothermen Expansion entsprechen. Die Aufrechterhaltung dieses Zustandes würde im realen Leben das Vorhandensein einer festen Wand erfordern. Ohne diese Wand beträgt die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein Molekül in der einen oder anderen Zimmerhälfte befindet genau 1 p= 2 Die Wahrscheinlichkeit, daß sich zwei Moleküle in der gleichen Zimmerhälfte befinden beträgt 2

1 p =   = 2 −2 2 und entsprechend für N Moleküle p = 2−N

_________________________________________________________________________ Ü 8.2: Berechnung der Anzahl der Luftmoleküle in einem Zimmer Volumen: V = 50 m³ 3 Dichte: ρ = 1.225 kg/m Molmasse M = 28.9647 kg/kmol 23 Avogadro-Konstante: NA = 6.022⋅10 1/mol m = ρ ⋅ V = 1.225 m n= = M

kg 3

⋅ 50 m 3 = 61.25 kg

m 61.25 kg = 2.115 kmol kg 28.9647 kmol

1 = 1.27 ⋅ 10 27 mol _________________________________________________________________________ N = n ⋅ N A = 2115 mol ⋅ 6.022 ⋅ 10 23

27

Bei einem Zimmervolumen von z.B. V = 50 m³ wären das ca. N = 1.27⋅10 Moleküle und die Wahrscheinlichkeit für diesen Zustand wäre, zum Glück für die in der anderen Hälfte des Raumes sich aufhaltenden Personen, entsprechend gering: p = 2 −(1.27⋅10

27

)

Die Aussage, daß ein Vorgang dann von alleine abläuft, wenn dabei ein Zustand mit einer höheren Entropie erreicht wird, läßt sich also ersetzen, durch die Aussage, daß ein Vorgang dann von alleine abläuft, wenn ein Zustand höherer Wahrscheinlichkeit erreicht wird.

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 83 _________________________________________________________________________

Der quantitative Zusammenhang zwischen Entropie S und Wahrscheinlichkeit W wird durch die Boltzmann-Planck-Beziehung beschrieben S = k ⋅ ln(W )

wobei J K die Boltzmann-Konstante darstellt. k = 1.38 ⋅ 10 − 23

Da in der Regel lediglich Entropieänderungen von einem Zustand 1 mit der Wahrscheinlichkeit W1 zu einem Zustand 2 mit der Wahrscheinlichkeit W2 betrachtet werden, läßt sich schreiben: W ∆S = S 2 − S1 = k ⋅ ln 2  W1

  

8.2.2 Entropie als Zustandsgröße Der Zweck der Entropie besteht darin, die Irreversibilität eines Prozesses zu beschreiben, bzw. ein Maß für die Wahrscheinlichkeit zu finden, mit der ein Vorgang in eine bestimmte Richtung abläuft. Es soll also eine wegunabhängige Zustandsgröße definiert werden. Alle an einem Prozeß beteiligten nicht umkehrbaren Energien, d.h. die dissipierte Arbeit WD, werden mit der zu- bzw. abgeführten Wärme Q12 zusammengefaßt und als Qrev bezeichnet. Für ein geschlossenes System mit ∆E kin = ∆E pot = 0 gilt:

∫

Q12 + W D − p ⋅ dV = U 2 − U 1 &#%# $ Qrev

Die Größe Qrev selbst ist keine Zustandsgröße. Es läßt sich jedoch zeigen, daß der Quotient dQrev T eine Zustandsgröße des Systems ist. Jedem System kann also eine extensive Zustandsgröße, die sogenannte Entropie S zugeordnet werden. Sie wird definiert durch das Differential dS : =

dQrev T

bzw. 2

S 2 − S1 =

∫ 1

dQrev T

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 84 _________________________________________________________________________

Definition nach Clausius: Die Entropie ist das Verhältnis von reversibel zugeführter Wärmemenge und der absoluten Temperatur an der Stelle des Wärmeübergangs

8.2.3 Eigenschaften der Entropie Die Entropie ist eine Größe von der Dimension Energie bezogen auf die Temperatur: S [J/K] . Wird die Entropie auf die Masse des Systems bezogen so erhält man die spezifische Entropie s . s=

S  J    m  kg ⋅ K 

Die Entropie eines aus den Teilsystemen A, B, C, ... zusammengesetzten Systems ergibt sich zu S = S A + S B + S C + ... Für adiabate Systeme gilt: Die Entropie eines adiabaten Systems kann nicht abnehmen. Bei irreversiblen Prozessen in adiabaten Systemen nimmt die Entropie zu, bei reversiblen Prozessen in adiabaten Systemen bleibt die Entropie konstant. Eine Entropieabnahme ist nur bei offenen, nicht-adiabaten Systemen möglich. Da die absolute Temperatur T stets positiv ist, wird das Vorzeichen des Entropiedifferentials dS durch das Vorzeichen der Wärmemenge dQ bestimmt. Wärmezufuhr in ein System, d.h. dQ > 0 bewirkt also eine Zunahme der Entropie des Systems, d.h. dS > 0. Entsprechend bewirkt ein Wärmeentzug mit dQ < 0 eine Entropieabnahme des Systems, also dS < 0.

8.2.4 Entropie reversibler Prozesse Für reversible Prozesse gilt dWD = 0, d.h. es wird keine Dissipationsarbeit WD geleistet. Entsprechend dem ersten Hauptsatz gilt für die reversibel zugeführte Wärmemenge dQ

dQ = dU + p ⋅ dV Einsetzen der Definition für die Entropie

dQ = T ⋅ dS in die zugeführte Wärmemenge dQ ergibt

T ⋅ dS = dU + p ⋅ dV bzw.

dS =

p 1 ⋅ dU + ⋅ dV T T

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 85 _________________________________________________________________________

Die Entropieänderung zwischen zwei Zuständen 1 und 2 ergibt sich durch Integration von dem Zustand 1 zu dem Zustand 2. 2

1 ⋅ dQ T 1

S 2 − S1 = ∫ oder

p 1  S 2 − S1 = ∫  ⋅ dU + ⋅ dV  T T  1 2

Mit der Definition der Enthalpie H

H =U + p ⋅ V bzw. dem Differential der Enthalpie dH dH = dU + p ⋅ dV + Vdp ⇔

dH − Vdp = dU + p ⋅ dV

erhält man für die Entropieänderung 2

V 1  S 2 − S1 =  ⋅ dH − ⋅ dp  T T  1

∫

8.2.5 Entropie irreversibler Prozesse Irreversible Prozesse sind dadurch gekennzeichnet, daß Dissipationsarbeit WD geleistet wird, d.h. es gilt dWD > 0 . Analog zu der Vorgehensweise bei reversiblen Prozessen wird die reversibel zugeführte Wärmemenge dQ um die Dissipationsarbeit dWD erweitert. dQ + dW D = dU + p ⋅ dV

Mit der Definition für die Entropie folgt dS =

dQ + dW D dQ dW D = + T T T

mit

dWD > 0

Das Entropiedifferential dS setzt sich bei irreversiblen Prozessen aus zwei Anteilen zusammen: dS = dS Q + dS irr Der erste Term dS Q =

dQ T

beschreibt den Zusammenhang von Entropie und Wärmetransport. Der zweite Term

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 86 _________________________________________________________________________

dW D T stellt die Entropieänderung des Systems infolge von Dissipation dar. Dissipation ist die Umwandlung von dem System zugeführter mechanischer Arbeit in innere Energie und ist immer positiv. Dissipationsarbeit führt also immer zu einer Erhöhung der Entropie, also einer Entropieproduktion. dS irr =

Die Berechnung der spezifischen Entropiedifferenzen ergibt sich aus p 1 ⋅ du + ⋅ dv T T v 1 ds = ⋅ dh + ⋅ dp T T ds =

und wird in der Regel in der Form T ⋅ ds = du + p ⋅ dv T ⋅ ds = dh − v ⋅ dp

betrachtet. Diese Gleichungen werden auch als Gibbs'schen Fundamentalgleichungen bezeichnet.

8.2.6 Entropie fester und flüssiger Phasen In erster Näherung kann man feste Körper und Flüssigkeiten als inkompressibel annehmen, d.h. es gilt dv = 0 Die Bestimmungsgleichung der spezifischen Entropie vereinfacht sich dadurch zu ds =

1 ⋅ du T

Die Berechnung der Entropiedifferenz zwischen zwei Zuständen 1 und 2 ergibt sich aus T2

s 2 − s1 = s (T2 ) − s (T1 )= c(T ) ⋅

∫

T1

dT T

Unter der Annahme, daß die spezifische Wärmekapazität über die betrachtete Temperaturänderung konstant ist, bzw. entsprechend interpoliert wird, lautet die Entropieänderung von 1 nach 2 T s 2 − s1 = c12 ⋅ ln 2  T1

  

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 87 _________________________________________________________________________

8.2.7 Entropie idealer Gase Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase lautet p ⋅ v = R ⋅T ⇔

p R = T v

Für ideale Gase gilt weiter c v (T ) =

du ⇔ du = c v (T ) ⋅ dT dT

Eingesetzt in die Bestimmungsgleichung für die Entropie ergibt dies ds =

R 1 ⋅ c v (T ) ⋅ dT + ⋅ dv & # % # $ T v ( = du =

p T

Unter der Annahme, daß die spezifische Wärmekapazität über die betrachtete Temperaturänderung konstant ist, bzw. entsprechend interpoliert wird, lautet die Entropieänderung von 1 nach 2 T s 2 − s1 = c v12 ⋅ ln 2  T1

 v  + R ⋅ ln 2   v1

  

Da weiterhin für ideale Gase gilt T2 p 2 ⋅ v 2 = T1 p1 ⋅ v1

läßt sich die Entropiedifferenz auch schreiben als p  v s 2 − s1 = c v12 ⋅ ln 2  + R ⋅ ln 2  p1   v1

  

oder auch in der Form T s 2 − s1 = c p12 ⋅ ln 2  T1

 p   + R ⋅ ln 2    p1 

Technische Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 88 _________________________________________________________________________

8.2.8 Entropie der Dämpfe Die Berechnung der spezifischen Entropie s in dem Naßdampfgebiet gestaltet sich analog zu der Berechnung des spezifischen Volumens v bzw. der spezifischen Enthalpie h im Naßdampfgebiet. Bei vorgegebenem Dampfgehalt x ergibt sich aus den Werten der Dampftafel für die Entropie der Dampfphase (') und der flüssigen Phase (''), bei der entsprechenden Sättigungstemperatur Ts bzw. den Sättigungsdruck ps die spezifische Entropie s zu s = s ′ + x ⋅ (s ′′ − s ′)

Die Verdampfungsentropie (s''-s') ist mit der Verdampfungsenthalpie ∆hD verknüpft durch die Sättigungstemperatur Ts . Für die Isobaren im Naßdampfgebiet gilt: T ⋅ ds = dh − v ⋅ dp bzw.

∆h D = h ′′ − h ′ = Ts ⋅ (s ′′ − s ′)

Entropiewerte, die in Dampftafeln angegeben sind stellen keine absoluten Entropiewerte dar; sie sind auf den Siedepunkt der siedenden Flüssigkeit im Trippelpunkt bezogen. Da jedoch bei der Berechnung thermodynamischer Prozesse lediglich Entropiedifferenzen von Belang sind, spielt dies keine Rolle.

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

89

_________________________________________________________________________

9 Zustandsänderungen Aufgrund ihrer Relevanz bei technischen Anwendungen, sollen im Folgenden einige spezielle Zustandsänderungen näher behandelt werden. 9.1 Wärme und Arbeit bei reversiblen Zustandsänderungen idealer Gase 9.1.1 Isochore Zustandsänderung Aus der Zustandsgleichung für ideale Gase

p ⋅ v = R ⋅T läßt sich für eine isochore Zustandsänderung (d.h. v = const., bzw. dv = 0) die Beziehung

p 2 p1 = T2 T1 ableiten. Da dabei keine Volumenänderungsarbeit geleistet wird, ist Wv12 = 0. Sofern nur reversible Prozesse betrachtet werden sollen, ist die Dissipationsarbeit WD ebenfalls Null. Die Zustandsänderung wird also lediglich durch den Wärmetransfer Q12

Q12 = U 2 − U1 bedingt und bewirkt eine Änderung der inneren Energie U.

Eine isochore Zustandsänderung wird im p,V-Diagramm stets als senkrechte Linie dargestellt.

Abb. 9.1:

Isochore Zustandsänderung im p,V-Diagramm

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

90

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Ü 9.1: Aufheizung eines Pressluftflasche Eine Pressluftflasche, in der sich noch1.84 kg Luft bei einem Druck von p1 = 1.74 bar und einer Temperatur von T1 = 10°C befinden, heizt sich durch Sonneneinstrahlung auf 98 °C auf. Gesucht sind die zugeführte Wärmemenge Q12, der Druck p2 , das Volumen der Flasche V und die Änderung der inneren Energie U2 - U1 Der über den Temperaturbereich 10°C bis 98°C gemittelte Wert für die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck cp beträgt cp = 1007.6 J/(kg⋅K) Die zugeführte Wärmemenge bei isochorer Zustandsänderung berechnet sich aus T2

Q12 = U 2 − U1 = m ⋅ ∫ cv (T ) ⋅ dT = m ⋅ cv ⋅ (T2 − T1 ) T1

mit

cv = c p − R ergibt sich die mittlere spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen cv zu

cv = 720.5

J kg ⋅ K

Die zugeführte Wärmemenge bzw. die Änderung der inneren Energie beträgt also

Q12 = U 2 − U 1 = 1.84 kg ⋅ 720.5

J ⋅ (98°C − 10°C )= 116.66 kJ kg ⋅ K

Der Druck am Ende der Aufheizung beträgt

p 2 = p1 ⋅

T2 = 2.28 bar T1

Das Volumen der Flasche ergibt sich aus der Gasgleichung zu

V=

m ⋅ R ⋅ T1 = 0.8593 m 3 p1

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

91

_________________________________________________________________________

9.1.2 Isobare Zustandsänderung Für isobare Änderungen (d.h. p = const.) vereinfacht sich die ideale Gasgleichung zu

V2 T2 = V1 T1 Dies entspricht dem Gesetz von Gay-Lussac.

Die während der Zustandsänderung geleistete Volumenänderungsarbeit berechnet sich zu: V2

Wv12 = − p ⋅ dV = − p ⋅ (V2 − V1 )

∫

V1

Eingesetzt in den ersten Hauptsatz ergibt sich für eine isobare Zustandsänderung die zuoder abgeführte Wärme p1 = p2 = p zu

Q12 = U 2 − U 1 + p ⋅ (V2 − V1 )= U 2 + p ⋅ V2 − (U 1 + p ⋅ V2 )= H 2 − H 1

Die isobare Zustandsänderung wird im p,V-Diagramm stets als waagerechte Linie dargestellt. Die Fläche unter dieser Linie entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12.

Abb. 9.2:

Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

92

_________________________________________________________________________

Ü 9.2: Isobare Expansion Luft expandiert bei konstantem Druck p1 = 2.74 bar infolge von Wärmezufuhr vom Volumen V1 = 3.74 m³ und der Temperatur T1 = 13°C auf V2 = 8.81 m³. Die Gaskonstante der Luft beträgt R = 287.1 J/kgK Gesucht sind - die Masse m der Luft, - die Temperatur T2, - die zugeführte Wärmemenge Q12, - die Volumenänderungsarbeit WV12, a) Aus der Gasgleichung folgt m=

p1 ⋅ V1 = 12.48 kg R ⋅ T1

b) Für eine isobare Expansion gilt T2 = T1 ⋅

V2 = 674.1 K = 400.9 °C V1

c) Zugeführte Wärmemenge Q12 = m ⋅ c p12 ⋅ (T2 − T1 ) mit c p12 = c p

400.9°C 13°C

= 1029.53

J kg ⋅ K

ergibt sich Q12 = 4.98443 ⋅ 10 6 J

d) Volumenänderungsarbeit WV12 = − p1 ⋅ (V2 − V1 )= − 1.3892 ⋅ 10 6 J

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

93

_________________________________________________________________________

9.1.3 Isotherme Zustandsänderung Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase liefert mit der Bedingung T = const.

p 2 V1 = p1 V2 (Gesetz von Boyle-Mariotte) Wegen T1 = T2 = T liefert der erste Hauptsatz mit U2 - U1 = 0 für den reversiblen Prozeß

Q12 + WV 12 = 0 Die Volumenänderungsarbeit WV12 berechnet sich zu

V  WV 12 = − p1 ⋅ V1 ⋅ ln 2   V1  Die isotherme Zustandsänderung erscheint im p,V-Diagramm also immer als Hyperbel. Die Fläche unter der Hyperbel entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12 . Das Vorzeichen der Volumenänderungsarbeit ist positiv bei einer Kompression und negativ bei einer Expansion

Abb. 9.3: Expansion

Isotherme Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b)

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

94

_________________________________________________________________________

Ü 9.3: Isotherme Kompression von Luft Luft soll bei einer konstanten Temperatur von T1 = 25°C vom Volumen V1 = 0.83 m³ und dem Anfangsdruck p1 = 3.02 bar auf das Endvolumen V2 = 0.42 m³ isotherm komprimiert werden. Gesucht sind - die Masse m der Luft, - der Druck p2, - die Volumenänderungsarbeit WV12, - die abgeführte Wärmemenge Q12, - die Änderung der inneren Energie U2 - U1 a) Aus der Gasgleichung folgt m=

p1 ⋅ V1 = 2.93 kg R ⋅ T1

b) Für isotherme Zustandsänderungen gilt p 2 = p1 ⋅

V1 = 5.97 bar V2

c) Volumenänderungsarbeit V WV 12 = − p1 ⋅ V1 ⋅ ln 2  V1

  = 170.7 kJ 

d) Abgeführte Wärmemenge Q12 = − WV12 = − 170.7 kJ e) Änderung der inneren Energie: Für isotherme Zustandsänderungen gilt: ∆U = 0

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

95

_________________________________________________________________________

9.1.4 Adiabate Zustandsänderung Die Grenzen adiabater Systeme sind wärmeundurchlässig. Energie kann demnach nur in Form von mechanischer Arbeit mit der Umgebung ausgetauscht werden. Generell ist bei adiabaten Systemen für die Wärme immer Q12 = 0 zu setzen. Weiterhin gilt für reversible Prozesse, daß kein Dissipationsarbeit geleistet wird (d.h. verlustfrei), also WD12 = 0 . Der erste Hauptsatz vereinfacht sich somit zu 2

U 2 − U 1 = − ∫ p ⋅ dV = WV12 1

Gesucht ist nun die zur Berechnung des Integrals erforderliche Funktion des Drucks p in Abhängigkeit vom Volumen V, d.h.

p = p (V ) Anstelle der Bezeichnung reversible Adiabate wird in der Regel die Bezeichnung Isentrope verwendet, da bei reversibel adiabaten Zustandsänderungen die Entropie konstant bleibt. Druck und Volumen sind bei adiabaten und reversiblen Zustandsänderungen über das Verhältnis der spezifischen Wärmen cp und cv miteinander verknüpft. Dieses Verhältnis wird auch als Isentropenexponent κ bezeichnet.

κ=

cp cv

Es gilt also

p 2 ⋅ V2κ = p1 ⋅ V1κ

(Isentropengleichung)

Durch Kombination der Isentropengleichung mit der Gasgleichung p ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T läßt sich die Volumenänderungsarbeit berechnen zu

WV12 = − p1 ⋅ V1κ ⋅

V2

dV

∫Vκ

V1

⇒

WV12

κ −1  p1 ⋅ V1  V1  = ⋅   − 1 κ − 1  V2    

WV12

κ −1   p1 ⋅ V1  p 2  κ   = ⋅  − 1 κ − 1  p1     

bzw.

bzw.

WV12 =

p1 ⋅ V1  T2   ⋅   − 1 κ − 1  T1  

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

96

_________________________________________________________________________

Abb. 9.4: Expansion

Adiabate Zustandsänderung im p,V-Diagramm: a) Kompression, b)

_________________________________________________________________________ Ü 9.4: Adiabate Kompression von Luft Mit den Angaben aus Ü 9.3 soll eine adiabate Kompression berechnet werden, κLuft = 1.4 - der Druck p2, - die Temperatur T2, - die Volumenänderungsarbeit WV12, - die abgeführte Wärmemenge Q12, - die Änderung der inneren Energie U2 - U1 a) Die Adiabatengleichung ergibt V p 2 = p1 ⋅  1  V2

κ

  = 7.84 bar 

b) Temperatur T2 V T2 = T1 ⋅  1  V2

  

κ −1

= 391.5 K

c) Volumenänderungsarbeit WV12, WV12 =

p1 ⋅ V1 κ −1

 T ⋅  2  T1

   − 1 = 1.96268 ⋅ 10 5 J  

d) Änderung der inneren Energie U2 - U1 U 2 − U 1 = WV12 = 1.96268 ⋅ 10 5 J

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

97

_________________________________________________________________________

9.2 Wärme und Arbeit bei polytroper Zustandsänderung In Abb. 9.5 sind die bisher beschriebenen Zustandskurven des idealen Gases skizziert.

Abb. 9.5:

Polytropen im p,V-Diagramm

Diese Kurvenschar läßt sich durch die Potenzfunktion p ⋅ V n = C = const .

beschreiben. In der Thermodynamik wird sie als Polytropengleichung bezeichnet (gr. polytrope = die Vielgestaltige). Der Exponent n wird als Polytropenexponent bezeichnet. Alle bisher behandelten Zustandsänderungen lassen sich aus der Polytropengleichung ableiten: Isochore Zustandsänderung (V = const.):

n→∞

Isobare Zustandsänderung (p = const.):

n=0

Isotherme Zustandsänderung (T = const.):

n=1

Reversibel adiabate = isentrope Zustandsänderung (S = const.): n = κ =

cp cv

Kompressions- und Expansionsvorgänge verlaufen in technischen Apparaten überwiegend im Bereich zwischen Adiabate und Isotherme. Die reversible adiabate bzw. isentrope (n = κ) und die isotherme Zustandsänderung stellen Grenzfälle dar, die sich technisch nicht realisieren lassen. Die tatsächliche Zustandsänderung verläuft auf einer Polytropen mit einem Polytropenexponent, für den gilt: 1 < n < κ . Der genaue Wert von n ist in der Regel nicht bekannt, läßt sich aber bei Kenntnis des Anfangs- und Endzustandes aus der Polytropengleichung berechnen. p1 ⋅ V1n = p 2 ⋅ V 2 n

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

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⇒

p  ln 2  p1  n=  V  ln 1   V2 

Polytrope Volumenänderungsarbeit WV12 bei n ≠ 1: WV12 =

n −1  p1 ⋅ V1  V1  ⋅   − 1 n − 1  V2    

bzw. WV12

n −1   p1 ⋅ V1  p 2  n   = ⋅  − 1 n − 1  p1     

bzw. WV12 =

p1 ⋅ V1 n −1

T  ⋅  2 − 1  T1 

Übertragene Wärme bei polytroper Zustandsänderung Q12 für n ≠ 1: Q12 =

 n − κ p1 ⋅ V1  T2 ⋅ ⋅  − 1 κ − 1 n − 1  T1 

bzw. n − κ p1 ⋅ V1 Q12 = ⋅ κ −1 n −1

 V ⋅  1  V2 

  

n −1

 − 1  

bzw. n −1   n − κ p1 ⋅ V1  p 2  n   Q12 = ⋅ ⋅  − 1 κ − 1 n − 1  p1     

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

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_________________________________________________________________________

9.3 Wärme- und Arbeit in Entropiediagrammen Bei reversiblen Prozessen bei denen keine Dissipationsarbeit geleistet wird, wurde die Änderung der spezifische Entropie s definiert als eine Größe, die der zu- bzw. abgeführten Wärme dq proportional ist und die absolute Temperatur T den Proportionalitätsfaktor darstellt. dq = T ⋅ ds bzw. 2

∫

q12 = T ⋅ ds 1

Bei irreversiblen Prozessen ist die spezifische Entropie proportional der Summe der spezifischen Wärme q und der spezifischen dissipierten Arbeit wD. dq + dw D = T ⋅ ds

bzw. 2

∫

q12 + wD12 = T ⋅ ds 1

Trägt man für eine Zustandsänderung den Verlauf der Temperatur T(s) als Funktion der Entropie s auf, so ergeben sich bei einer reversiblen Prozeßführung die in Abb. 9.6 skizzierten Verläufe für a) Wärmezufuhr und b) Wärmeabfuhr aus dem System.

S2

Abb. 9.6:

S1

Darstellung der Wärme im T,s-Diagramm bei reversiblen Prozessen

Bei Zustandsänderungen werden nur Entropiedifferenzen betrachtet, d.h. daß der Nullpunkt der Entropie willkürlich festgelegt werden kann. So wird z.B. der Nullpunkt für die Entropiewerte, wie sie in Dampftafeln von Wasser angegeben sind, in der Regel auf den Trippelpunkt bezogen. Der tatsächliche Nullpunkt der Entropie liegt jedoch bei dem absoluten Nullpunkt, d.h. bei T = 0 K. Dritter Hauptsatzes der Thermodynamik: Die Entropie eines jeden reinen Stoffes nimmt im absoluten Nullpunkt der Temperatur den Wert Null an (Nernst'sches Wärmetheorem).

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

100

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Da bei irreversiblen Prozessen sich die Fläche unter der Zustandskurve aus zwei Anteilen zusammensetzt, nämlich der übertragen Wärme q12 und der dissipierten Arbeit wD12, ist der Verlauf der Zustandskurve nur bei Wärmezufuhr eindeutig. In diesem Fall haben beide Anteile ein positives Vorzeichen. Bei Wärmezufuhr wächst die Entropie und die Zustandsänderung verläuft von links nach rechts im T,s-Diagramm (Abb. 9.7a). Wird hingegen dem System Wärme entzogen, so hängt die Richtung der Zustandsänderung von dem Verhältnis der abgeführten Wärme zu der dissipierten Energie ab. Überwiegt die Dissipation, so verläuft trotz Wärmeentzug die Zustandsänderung im T,s-Diagramm von links nach rechts, d.h. die Entropie nimmt zu (Abb. 9.7a). Wird jedoch mehr Wärme abgeführt als mechanische Arbeit dissipiert wird, so verläuft die Zustandskurve von rechts nach links, d.h. die Entropie wird verringert (Abb. 9.6b). Eindeutig wird die Situation wieder bei adiabaten Systemen, d.h. es gilt q12 = 0 und die Fläche unter der Kurve entspricht ausschließlich der dissipierten Energie wD12.

dw wD12

Abb. 9.7: adiabat

dwD wD12

Wärme und Dissipation bei irreversiblen Prozessen, a) nicht-adiabat, b)

Mit den bereits bekannten Gleichungen für die spezifische Entropie läßt sich die Zustandskurve im T,s-Diagramm mit zwei thermischen Zustandsgrößen als unabhängige Variable beschreiben. Der beliebige Bezugspunkt ist durch den Index 1 gekennzeichnet. T  v s(T , v ) = cv ⋅ ln  + R ⋅ ln  + s(T1 , v1 )  T1   v1  T   p s(T , p ) = c p ⋅ ln  + R ⋅ ln  + s (T1 , p1 )  T1   p1  Für die spezifische Wärmekapazitäten wird die Annahme getroffen, daß sie über den betrachteten Temperaturbereich konstant sind.

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

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Isochore Zustandsänderung (dv = 0) Die Fläche unter der Kurve in Abb. 9.8a repräsentiert nicht nur die Summe aus übertragener Wärme q12 und dissipierter Arbeit wD12 sondern entspricht auch der Änderung der inneren Energie u2 - u1 .

Isobare Zustandsänderung (dp = 0) Bei isobarer Zustandsänderung (Abb. 9.8b) entspricht die Fläche unter der Kurve einerseits der Summe aus übertragener Wärme q12 und dissipierter Arbeit wD12 und andererseits der Differenz der spezifischen Enthalpie h2 - h1.

Abb. 9.8:

Änderung der inneren Energie bzw. Enthalpie a) isochor, b) isobar

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

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9.4 T,s-Diagramme idealer Gase 9.4.1 Isochore Zustandsänderung idealer Gase Für isochore Zustandsänderungen vereinfacht sich wegen dv = 0 die Gleichung für die spezifische Entropie s zu T  s(T , v ) = cv ⋅ ln  + s(T1 , v1 )  T1  Besondere Eigenschaften: Wegen  ∂T  T = cv ⋅    ∂s  v bildet die spezifische Wärmekapazität cv eine Tangente an die Isochore. Der Abstand zweier Isochoren mit v1 = const. und v2 = const. beträgt v  s(T , v 2 ) − s (T , v1 ) = R ⋅ ln 2   v1  Im T,s-Diagramm bilden Isochoren eine Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander überführen lassen. Dies bedeutet, daß sich für die Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isochore die gleiche Differenz der inneren Energie u2 - u1 ergibt.

Abb. 9.9:

Isochoren im T,s-Diagramm

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

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_________________________________________________________________________

9.4.2 Isobare Zustandsänderung idealer Gase Bei isobarer Zustandsänderung vereinfacht sich wegen dp = 0 die Berechnung der spezifischen Entropie zu T  s(T , p ) = c p ⋅ ln  + s(T1 , p1 )  T1  Besondere Eigenschaften: Wegen  ∂T  T =cp ⋅   ∂s  p bildet die spezifische Wärmekapazität cp eine Tangente an die Isobare. Der Abstand zweier Isobaren mit p1 = const. und p2 = const. beträgt p  s(T , p 2 ) − s(T , p1 ) = − R ⋅ ln 2   p1  Im T,s-Diagramm bilden Isobaren eine Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander überführen lassen. Dies bedeutet, daß sich für die Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isobare die gleiche Differenz der Enthalpie h2 - h1 ergibt.

Abb. 9.10:

Isobaren im T,s-Diagramm

Die Volumenänderungsarbeit bei isobarer Zustandsänderung ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz zu: wV12 = u 2 − u1 − (h2 − h1 )

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

104

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Abb. 9.11:

Volumenänderungsarbeit wV12 bei isobarer Zustandsänderung

9.4.3 Isotherme Zustandsänderung idealer Gase Da bei idealen Gasen die innere Energie eine reine Temperaturfunktion ist, bilden Isothermen im T,s-Diagramm eine Schar abszissenparalleler Geraden. du = cv ⋅ dT = 0

Darüber hinaus sind sie identisch mit den Kurven konstanter Enthalpie (Isenthalpen): dh = c p ⋅ dT = 0 Bei reversiblen Prozessen entspricht die Fläche unter der Isotherme der über die Systemgrenze transportierten Wärme q12 und bei irreversiblen Prozessen der Summe aus übertragener Wärme q12 und dissipierter Energie wD12 .

Abb. 9.12:

Isothermen im T,s-Diagramm

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

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9.4.4 Isentrope Zustandsänderung idealer Gase Die isentrope Zustandsänderung (s=const.) erscheint im T,s-Diagramm als senkrechte Linie

Abb. 9.13:

Isentrope im T,s-Diagramm

9.4.5 Adiabate Zustandsänderung idealer Gase Da adiabate Systeme mit ihrer Umgebung keine Energie in Form von Wärme austauschen, d.h. es gilt q12 = 0 , stellt bei geschlossenen adiabaten Systemen die Fläche unter der Kurve der Zustandsänderung nur die Dissipationsenergie wD dar. Bei adiabat-reversiblen Zustandsänderungen (=isentrop) verschwindet diese Fläche, da keine Dissipationsarbeit geleistet wird und die Kurve der Zustandsänderung wird zur senkrechten Linie (Abb. 9.13). Da Wärmeübertragungsprozesse Zeit benötigen, kann aufgrund der hohen Strömungsgeschwindigkeit innerhalb von Strömungsmaschinen die übertragene Wärme von dem Arbeitsmedium (Gas, Dampf) an das System vernachlässigt werden. In erster Näherung können daher Kolben- und Turbomaschinen als adiabate Systeme betrachtet werden. Geschlossene Systeme In Abb. 9.14 ist für ein geschlossenes System die Zustandsänderung für eine adiabate Expansion und adiabate Kompression skizziert. Bei der Kompression von p1 auf p2 ändert sich die spezifische innere Energie u entsprechend dem 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme um den Betrag der spezifischen Volumenänderungsarbeit wV,12 und die dissipierte Arbeit wD,12 . 2

2

∫

∫

u 2 − u1 = wV ,12 + wD ,12 = p ⋅ dv + T ⋅ ds 1 %$ & wV ,12

1 %$ & wD ,12

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

106

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Bei irreversibler adiabater Verdichtung gilt somit für die spezifische Volumenänderungsarbeit wV,12 (wV,12 > 0, dem System wird Arbeit zugeführt!) wV ,12 = u 2 − u1 − wD ,12 und bei irreversibler adiabater Expansion gilt entsprechend (wV,12 < 0, dem System wird Arbeit entzogen!) − wV ,12 = −( u 2 − u1 ) + wD ,12 Die einzelnen Anteile von spezifischer innerer Energie, Volumenänderungsarbeit und Dissipationsarbeit sind als Flächen in Abb. 9.14a,b dargestellt: Geschlossenes adiabates System Innere Energie Dissipationsenergie Volumenänderungsarbeit

Abb. 9.14:

Expansion u1-u2 wD,12 -wV,12

Kompression

a-b-1-d-a b-c-2-1-b a-c-2-1-d-a

u2-u1 wD,12 wV,12

a-c-2-d-a b-c-2-1-b a-b-1-2-d-a

Fläche unter der Isochore Fläche unter der Adiabate

Geschlossenes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression

Offene Systeme Bei offenen, adiabat durchströmten Systemen, z.B. Strömungsmaschinen (Verdichter und Turbinen), läßt sich unter der Annahme konstanter mechanischer Energie, d.h. keine Änderung der kinetischen und potentiellen Energie, der 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse

(

)

1 q12 + wt ,12 = h2 − h1 + ⋅ c 22 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) ( &#%#$ 2 #%#$ & =0 =0

adiabat

vereinfachen zu wt ,12 = h2 − h1

=0 kinetische Energie

potentielle Energie

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

107

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Mit der Definition für die spezifische Strömungsarbeit y12 , (Arbeit am bewegten Fluidelement) 2

∫

y12 = v ⋅ dp 1

läßt sich die spezifische technische Arbeit wt,12 auch darstellen als die Summe aus spezifischer Strömungsarbeit y12 und dissipierter Arbeit wD,12 wt ,12 = y12 + wD ,12 Analog zu dem geschlossenen System sind in Abb. 9.15 für ein offenes adiabates System die spezifische Enthalpieänderung, dissipierte Arbeit und Strömungsarbeit als Flächen dargestellt, die von den folgenden Kurvenzügen umschlossen werden. Offenes adiabates System Enthalpie Dissipationsenergie Strömungsarbeit

Abb. 9.15:

Expansion a-b-1-d-a h1-h2 b-c-2-1-b wD,12 a-c-2-1-d-a -y12

Kompression h2-h1 a-c-2-d-a b-c-2-1-b wD,12 a-b-1-2-d-a y12

Fläche unter der Isobare Fläche unter der Adiabate

Offen durchströmtes adiabates System: a) Expansion, b) Kompression

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

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9.5 T,s-Diagramm realer Gase Als Beispiel für ein T,s-Diagramm realer Gase ist das T,s-Diagramm für Wasserdampf angegeben. In dem von der Siedelinie (x = 0) und der Taulinie (x = 1) begrenzten Naßdampfgebiet fallen die Isobaren mit den Isothermen zusammen und bilden eine horizontale Geradenschar. Im Bereich der flüssigen Phase links neben der Siedelinie liegen die Isobaren relativ dicht nebeneinander und sind fast nicht voneinander zu unterscheiden. Im Gebiet des trockenen überhitzten Dampfes verlaufen Isothermen und Isobaren getrennt. Im Naßdampfgebiet sind auch Kurven gleichen Dampfgehalts eingezeichnet, die sog. Isovaporen.

Abb. 9.16:

T,s-Diagramm für Wasserdampf

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

109

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9.6 h,s-Diagramme Das sog. h,s-Diagramm (Mollier-Diagramm) geht auf den Physiker H. Mollier (1863-1935) zurück. Während im T,s-Diagramm die Größen Wärme, Arbeit, innere Energie und Enthalpie durch Flächen dargestellt werden, erscheinen diese Größen im Enthalpie-EntropieDiagramm als Strecken. Zustandsänderungen werden im h,s-Diagramm als Kurvenzüge dargestellt. Als Beispiel ist in Abb. 9.17 ein stationär durchströmtes System skizziert. 1-2: Adiabate (q12 = 0) Verdichtung eines Fluids von p1 auf p2 , die Enthalpiedifferenz entspricht der zugeführten technischen Arbeit wt12. wt12 = h2 − h1 2-3: Auf der Isobaren p = p2 wird dem System reversibel Wärme zugeführt und keine technische Arbeit geleistet (wt12 = 0). q 23 = h3 − h2

3-4: Innerhalb des adiabaten Kontrollraums expandiert das Fluid von p4 auf p1 .Die Enthalpiedifferenz entspricht der vom System abgegebenen technischen Arbeit. wt34. wt34 = h4 − h3

Abb. 9.17:

h,s-Diagramm

Ideale Gase: Bei idealen Gasen ergibt sich das h,s-Diagramm direkt aus dem T,s-Diagramm, in dem man die Temperatur T mit der spezifischen Wärmekapazität cp multipliziert und erhält bis auf eine unbestimmte Konstante die Enthalpie. Da bei Zustandsänderungen jedoch lediglich Enthalpiedifferenzen von Interesse sind, ist dies ohne praktische Bedeutung.

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

110

_________________________________________________________________________

Reale Gase: Als Beispiel für die Darstellung bei realen Gasen ist in Abb. 9.18 ein Ausschnitt des h,sDiagramms für Wasserdampf skizziert. Isenthalpen (h = const) und Isentropen (s = const) sind Scharen horizontaler bzw. vertikaler Geraden. Die Isothermen (T = const) fallen im Naßdampfgebiet mit den Isobaren (p = const) zusammen. Die Steigung der Isothermen nimmt im Gebiet der Gasphase stetig ab und verlaufen mit wachsender Entropie zunehmend waagerecht. In diesem Bereich nähert sich das Verhalten des Wasserdampfes dem Verhalten des idealen Gases; Isotherme und Isenthalpe fallen zusammen.

Abb. 9.18:

Mollier-Diagramm von Wasserdampf

Technische Thermodynamik

Zustandsänderungen

111

_________________________________________________________________________

9.7 Zusammenfassung der Zustandsänderungen Zustandsänderung Bedingung 1. Hauptsatz Beziehungen zwischen p, T, V

isochor

isobar

isotherm

adiabatisch

polytrop

dV = 0 ∆V = 0 dQ = dU Q = ∆U

dp = 0 ∆p = 0 dQ = dU + dW Q = ∆U + W

dT = 0 ∆T = 0 dQ = dW Q=W

dQ = 0 ∆Q = 0 0 = dU + dW 0 = ∆U + W

0 = dU + dW 0 = ∆U + W

p1 T1 = p 2 T2

T1 V1 = T2 V2

p1 V2 = p 2 V1

p = const. T

V = const. T

p ⋅ V = const.

p1  V2 = p 2  V1

  

κ

p ⋅ V κ = const. T1  V2 = T2  V1

  

κ −1

T ⋅ V κ −1 = const. κ −1 p1  κ 

T1  = T2  p 2  Tκ p

Wärmeenergie

dQ = cv⋅m⋅dT Q = cv⋅m⋅(T2 - T1)

dQ = cp⋅m⋅dT Q = cp⋅m⋅(T2 - T1)

dQ = dW Q =W

κ −1

= const.

dQ = 0 Q =0

p1  V2 = p 2  V1

  

p ⋅ V n = const . T1  V2 = T2  V1

  

T1  p1   = T2  p 2  Tn p n −1

dW = p⋅dV

dW = p ⋅ dV

W = m ⋅ R ⋅ (T2 − T1 )

V  W = m ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 2   V1 

W = p ⋅ (V2 − V1 )

p  W = m ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 1   p2  V  W = p1 ⋅ V1 ⋅ ln 2   V1  p  W = p1 ⋅ V1 ⋅ ln 1   p2  V  W = p2 ⋅ V2 ⋅ ln 2   V1   p1  W = p2 ⋅ V2 ⋅ ln   p2  dU = 0 ∆U = 0

Änderung der inneren Energie

dU = cv⋅m⋅dT U = cv⋅m⋅(T2 - T1)

dU = cv⋅m⋅dT U = cv⋅m⋅(T2 - T1)

Änderung der Entropie

dS = cv ⋅ m ⋅

dT T dp dS = cv ⋅ m ⋅ p

dV dT dS = m ⋅ R ⋅ V T dp dV dS = − m ⋅ R ⋅ dS = c p ⋅ m ⋅ p V  V2  T  ∆S = c p ⋅ m ⋅ ln 2  ∆S = m ⋅ R ⋅ ln V   1  T1 

dS = c p ⋅ m ⋅

T  ∆S = cv ⋅ m ⋅ ln 2   T1   V  ∆S = − m ⋅ R ⋅ ln p1  p  p  ∆S = cv ⋅ m ⋅ ln 2  ∆S = c p ⋅ m ⋅ ln 2   2  V1   p1  p,V-Diagramm

dW = − dU dW = − cv ⋅ m ⋅ dT W = − ∆U W = − c v ⋅ m ⋅ (T1 − T2 ) W=

n −1 n

= const.

dQ = cv ⋅ m ⋅

cv ⋅ m ⋅

dW = 0 W=0

n −1

T ⋅ V n −1 = const .

Q=

Arbeit

n

n −κ ⋅ dT n −1

n −κ ⋅ (T1 − T2 ) n −1

m⋅R ⋅ dT n −1 m⋅R W= ⋅ (T1 − T2 ) n −1 dW =

m⋅R ⋅ (T1 − T2 ) κ −1

dU = cv ⋅ m ⋅ dT = − dW dU = cv ⋅ m ⋅ dT ∆U = cv ⋅ m ⋅ (T2 − T1 ) ∆U = cv ⋅ m ⋅ (T2 − T1 ) ∆U = − W m⋅R ∆U = ⋅ (T2 − T1 ) κ −1

dS = 0

∆S = 0

dS = cv ⋅ m ⋅

∆S = cv ⋅ m ⋅

κ − n dT ⋅ n −1 T

κ − n  T1 ⋅ ln n − 1  T2

  

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

112

_________________________________________________________________________

10 Reversible Kreisprozesse 10.1 Allgemeine Kennzeichen eines Kreisprozesses Die Zufuhr von Wärme in ein thermodynamisches System führt zu einer Veränderung seiner inneren Energie und das System kann Arbeit verrichten. Das Verhältnis von zugeführter Wärme und verrichteter Arbeit hängt von der bei der Wärmezufuhr durchlaufenen Zustandsänderung ab. Ein System, welches kontinuierlich Arbeit leisten soll muß also regelmäßig wieder in seinen Ausgangszustand zurückgebracht werden. Dies ist jedoch nicht dadurch zu erreichen, daß man einfach den Prozeß der Wärmezufuhr umkehrt. In diesem Fall wäre der Arbeitsgewinn gleich Null. Die Rückkehr zum Ausgangszustand muß also über andere Zustandsänderungen geführt werden. Da die unterschiedlichen Zustandsänderungen in einer geschlossen Folge hintereinander durchlaufen werden, wird dieser Vorgang als Kreisprozeß bezeichnet.

Abb. 10.1:

Kreisprozeß eines geschlossenen Systems im p,v-Diagramm

Prozesse, die ein System wieder in seinen Anfangszustand zurückversetzen, werden als Kreisprozesse bezeichnet

Nach dem vollständigen Durchlaufen des Kreisprozesses nehmen die Zustandsgrößen des Systems, wie z.B. Druck, Temperatur, spezifisches Volumen, spezifische innere Energie und Enthalpie wieder die Werte des Anfangszustandes an. Quasistatische Zustandsänderungen bei Kreisprozessen lassen sich als geschlossene Kurve im pv-Diagramm darstellen. Als Beispiel für ein stationär umlaufendes Fluid soll die in Abb. 10.2 skizzierte Dampfkraftanlage betrachtet werden.

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

113

_________________________________________________________________________

Abb. 10.2:

Vereinfachtes Schema einer Dampfkraftanlage

Das Wasser wird im Dampferzeuger verdampft, entspannt in der Turbine, wird dem Kondensator zugeführt um dort wieder zu verflüssigen und wird anschließend von der Speisewasserpumpe wieder zum Verdampfer gefördert. Diese vier Komponenten der Dampfkraftanlage können als nacheinander geschaltete offene Systeme betrachtet werden, die von dem Fluid durchströmt werden. Die Teilprozesse, die in diesen einzelnen offenen Systemen ablaufen, lassen sich durch den ersten Hauptsatz für stationäre Fließprozesse beschreiben.

q12 + wt ,12 = h2 − h1 +

(

)

q 23 + wt , 23

(

)

(

)

" q n1 + wt , n1

1 2 ⋅ c 2 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) , 2 1 = h3 − h2 + ⋅ c32 − c 22 + g ⋅ (z 3 − z 2 ) , 2 " 1 2 = h1 − hn + ⋅ c1 − c n2 + g ⋅ (z1 − z n ) . 2

Da die Zustandsgrößen, die auf der rechten Seite des Gleichungssystems stehen sich in der Summe aufheben, ergibt die Addition der Gleichungen der Teilprozesse für den gesamten Kreisprozeß

∑q +∑w

t ,ik

ik

=0

Die spezifische Nutzarbeit bzw. die Gesamtarbeit des Kreisprozesses wird definiert als

wt = ∑ wt ,ik also

− wt =

∑q

ik

Die abgegebene, daher definitionsgemäß negative Nutzarbeit (-wt) eines Kreisprozesses ist gleich dem Überschuß der als Wärme aufgenommenen Energie über die als Wärme abgegebene Energie.

Oder:

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

114

_________________________________________________________________________

Bei einem Kreisprozeß wird die dem umlaufenden Fluid als Wärme zugeführte Energie zum Teil in Nutzarbeit umgewandelt und zum Teil wieder als Wärme abgegeben. Aus dem Vorzeichen der Wärmebilanz ergibt sich, ob der Kreisprozeß in einer q ik > 0 oder in einer Wärmekraftmaschine oder auch Wärmekraftanlage mit

∑q

Wärmepumpe oder Kälteanlage mit

ik

< 0 abläuft.

∑

Ein Beispiel für eine Wärmekraftanlage wäre z.B. die einfache Dampfkraftanlage, deren Zweck darin besteht, technische Nutzarbeit abzugeben. Dazu muß dem System Wärme zugeführt werden. Ist die Wärmebilanz negativ, so wird mehr Wärme abgegeben als aufgenommen, d.h. es wird dem System technische Nutzarbeit zugeführt um dem System Wärme entziehen zu können, z.B. bei einer Kälteanlage. Die Nutzleistung P des Kreisprozesses ergibt sich durch Multiplikation der technischen ! des umlaufenden Fluids. Nutzarbeit (-wt) mit dem Massestrom m

− P = m! ⋅ (− wt )= − ∑ Pik = ∑ Q! ik wobei

dQ dm Q! = = m! ⋅ q = ⋅q dt dt den Wärmestrom und der Index ik den einzelnen Teilprozeß bezeichnet. Da es sich gemäß der Annahme um einen stationären Prozeß handelt, bleibt der Energieinhalt des Kontrollraums zeitlich konstant, d.h. die Summe aller Energieströme über die Systemgrenzen ergibt Null.

∑ Q! + ∑ P ik

ik

=0

Bei reversiblen, d.h. verlustfreien Kreisprozessen berechnet sich die technische Arbeit für jeden Teilprozeß ik gemäß

(w )

t ,ik rev

(

k

)

1 = ∫ v ⋅ dp + ⋅ c k2 − ci2 + g ⋅ (z k − z i ) 2 i

Die abgegebene Nutzarbeit des gesamten Kreisprozesses ergibt sich durch Aufsummieren der Teilprozesse 2

3

1

2

(− wt )rev = − ∫ v ⋅ dp − ∫ v ⋅ dp − .... = ∑ (qik )rev also

(− wt )rev = − ∫ v ⋅ dp = ∑ (qik )rev

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

115

_________________________________________________________________________

In einem pv-Diagramm (Abb. 10.3) erscheint der reversible Kreisprozeß als geschlossener Kurvenzug. Die von dem Prozeß aufgenommene bzw. abgegebene Nutzarbeit entspricht graphisch der von dem Kurvenzug umrandeten Fläche. Da das Vorzeichen des Flächeninhalts vom Integrationsweg des Linienintegrals abhängt, ergibt ein rechtsdrehender Prozeß eine positive Fläche und entsprechend ergibt ein linksdrehender Prozeß eine negative Fläche.

Abb. 10.3:

Reversible Kreisprozesse im pv-Diagramm

Ein rechtsdrehender Prozeß mit (wt )rev < 0 liefert somit Nutzarbeit und nimmt dafür Wärme auf, Abb. 10.3(a). In Wärmekraftmaschinen vollführt daher das Arbeitsmedium immer einen rechtsläufigen Kreisprozeß. Ein linksdrehender Prozeß mit (wt )rev > 0 liefert somit Wärme und erfordert dafür die Zufuhr von Nutzarbeit, Abb. 10.3(b). In Kälteanlagen vollführt das Arbeitsmedium entsprechend einen linksläufigen Kreisprozeß.

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

116

_________________________________________________________________________

Ü 10.1:

Beispiel Linienintegral

' ' ' v = v (x, y, z )= v (X (x, y, z ), Y (x, y, z ), Z (x, y, z )) und ' ' ' C : r = r (t ) mit a < t < b im Definitionsbereich von v . ' Das Linienintegral von v längs der Kurve C ist das bestimmte Integral

geg.: Vektorfeld

eine

Raumkurve

b

C

' ' ' ' ' ∫ v ⋅ dr = ∫ v (r (t ))⋅ r! (t )⋅ dt a

Mit

' r = (x(t ), y (t ), z (t )) '

gilt im Vektorfeld v :

x = x(t ), y = y (t ), z = z (t ) '

'

Berechnung des Linienintegrals durch Integration des inneren Produkts aus v und r von t = a bis t = b Ü 10.2:

Beispiel für Parameterschreibweise

'

(

)

Das Parabelstück y = x 2 mit 3 ≤ x ≤ 7 , schreibt sich in Parameterform: r = t , t 2 , 0 , 3 ≤ t ≤ 7 ,

Ü 10.3

Berechnung eines Linienintegrals

' '

'

geg.: Vektorfeld v = v (x, y, z )= v (2 y + 3, xz, yz − x ) Man berechne das Linienintegral

C

'

'

∫ v ⋅ dr

'

(

)

2 3 längs der Kurve C : r = 2t , t , t , 0 ≤ t ≤ 1

Im Vektorfeld ist zu setzen:

x = 2t 2 , y = t , z = t 3 ⇒ mit

folgt

(

' ' v (r (t ))= 2t + 3, 2t 5 , t 4 − 2t 2 ' '! dr r = = 4t ,1, 3t 2 dt

(

)

)

(

' ' ' v (r (t )) ⋅ r! = 8t 2 + 12t + 2t 5 + 3t 6 − 6t 4 C

∫

b

t =1

a

t =0

' ' ' ' ' v ⋅ dr = v (r (t )) ⋅ r! (t ) ⋅ dt =

∫

)

1116 2 5 6 4 ∫ (8t + 12t + 2t + 3t − 6t )dt = 105 ≈ 10.63

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

117

_________________________________________________________________________

10.2 Kreisprozesse geschlossener Systeme Die Energiebilanz für ein geschlossenes System, das einen Prozeß mit N Zustandsänderungen durchläuft ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz für jede einzelne Zustandsänderung

u 2 − u1 = q12 + wv12 u 3 − u 2 = q 23 + wv23 " uN

" − u N −1 = q N −1,N + wvN −1,N

u1 − u N = q N ,1 − wvN ,1 Die Addition der einzelnen Gleichungen ergibt N

N

i =1

i =1

0 = ∑ qij + ∑ wvij

mit j = i+1

Die Arbeit des Kreisprozesses wk ist die Summe aller Volumenänderungsarbeiten wv,ij N

N

i =1

i =1

wk = ∑ wvij = − ∑ qij Das bedeutet, daß die Arbeit des Kreisprozesses gleich der Summe der übertragenen Wärmemenge ist. wk = − (q zu + q ab ) = − (q zu − q ab

)

Die Richtung, mit der der Kreisprozeß durchlaufen wird, liefert sofort eine Aussage darüber, ob der Prozeß eine Wärmekraftmaschine oder eine Kälteanlage beschreibt. In Abb. 10.4 sind exemplarisch die Kreisprozesse für beide Arten von Maschinen skizziert:

Abb. 10.4: Kreisprozesse im p,v-Diagramm: a) Wärmekraftmaschine b) Kältemaschine

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

118

_________________________________________________________________________

a) Wärmekraftmaschine (rechtsdrehender Prozeß): Das System gibt infolge der Expansion von 1-2 Volumenänderungsarbeit ab. 2

wv12 = − ∫ p ⋅ dv < 0 1

Das System nimmt bei der Verdichtung von 2-1 Arbeit auf. 1

wv21 = − ∫ p ⋅ dv > 0 2

Da die Fläche unter der Expansionskurve größer ist, als die unter der Kompressionskurve wird dem System also mehr Arbeit entzogen als zugeführt. Es gilt also:

wk = wv12 + wv21 < 0 Eine Wärmekraftmaschine gibt Arbeit an die Umwelt ab, d.h. die Arbeit des Kreisprozesses, bzw. die Nutzarbeit des Prozesses wk hat ein negatives Vorzeichen. Entsprechend muß die Wärmebilanz ein positives Vorzeichen aufweisen, d.h. dem System wird Wärme zugeführt.

b) Kältemaschine (linksdrehender Prozeß) Die Betrachtungen für den in Abb. 10.4b skizzierten Prozeß sind analog. In diesem Fall wird dem System mehr Wärme entzogen als zugeführt. Entsprechend muß auch mehr Arbeit zugeführt werden als abgeführt wird. Die Zustandskurve wird also gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

119

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10.3 Kreisprozesse in offenen Systemen Die in Abb. 10.5 skizzierte geschlossene Gasturbinenanlage, bestehend aus Verdichter V, Wärmetauscher WT, Turbine T, Kühler K und Welle W, stellt in seiner Gesamtheit ein geschlossenes System dar. Durch die entsprechende Wahl von Kontrollgrenzen läßt sich das geschlossene System jedoch wieder in einzelne Teilsysteme aufteilen. Diese Teilsysteme wiederum stellen offene Systeme dar.

Abb. 10.5:

Schema einer geschlossenen Gasturbinenanlage

Da der gesamte Kreisprozeß geschlossen ist, kann kein Stoffstrom die Systemgrenze des Gesamtprozesses überqueren. Energie kann lediglich in Form von Wellenleistung und Wärme über die Systemgrenzen transportiert werden.

Die Leistungsbilanz des skizzierten Kreisprozesses lautet somit: Q! + P = 0 Der Term Q! entspricht der Summe der bei allen Teilprozessen übertragenen Wärme und der Term P stellt die über die Turbinenwelle an die Umwelt abgegebene Wellenleistung dar. Für den Fall, daß die Anlage Nutzleistung liefern soll, d.h. P < 0, muß die Wärmestrombilanz positiv sein. Es muß mehr Wärme zu- als abgeführt werden. − P=

∑ Q! ij = Q! zu −

Q! ab

NQ

Für das in Abb. 10.5 skizzierte Beispiel der Gasturbinenanlage lautet die Wärmebilanz − P = Q! 23 + Q! 41 = Q! zu − Q! ab Zur Erstellung der Leistungbilanz des gesamten Kreisprozesses werden die Bilanzen der Teilprozesse betrachtet. Dabei können der Verdichter und die Turbine als adiabate Systeme

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

120

_________________________________________________________________________

angenommen werden, da aufgrund der schnellen Zustandsänderungen der Wärmeaustausch vernachlässigt werden kann. Die Summe aus spezifischer Enthalpie, kinetischer Energie und potentieller Energie wird auch als Total- oder Gesamtenthalpie hg bezeichnet. hg = h +

1 2 ⋅c + g ⋅ z 2

Mit dieser Zusammenfassung der einzelnen Energieanteile lautet die Leistungsbilanz der einzelnen Komponenten der Gasturbinenanlage: Verdichter:

P12 = H g 2 − H g1

Wärmetauscher:

Q! 23 = H g3 − H g 2

Turbine:

P34 + P = H g 4 − H g3

Kühler:

Q! 41 = H g1 − H g 4

Welle:

P12 + P34 = 0

Die Addition der Bilanzen der Teilkomponenten ergibt P12 + Q! 23 + P34 + P + Q! 41 + P12 + P34 = 0 Unter der Annahme, daß die Welle die Leistung verlustfrei überträgt, gilt P12 = - P34 und somit − P = Q! 23 + Q! 41 Die von der Turbine abgegebene Leistung -P wird um die für den Antrieb des Verdichters benötigte Leistung P12 = - P34 verringert. Die Gesamtleistung der Turbine beträgt also − PT = − P34 − P Die von dem Kreisprozeß geleistete technische Arbeit wt ergibt sich durch Division der Nutzleistung P durch den Massestrom m! : − wt = −

∑ wt NP

i,j

=

∑ qi , j = q zu − q ab NQ

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

121

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10.4 Bewertungskennzahlen für Kreisprozesse 10.4.1 Thermischer Wirkungsgrad (rechtsdrehende Prozesse) Wirkungsgrade beschreiben das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand. Wärmekraftmaschinen wandeln in einem rechtsdrehenden Prozeß Wärme in Arbeit um, der Rest geht als Abwärme verloren. Den Nutzen bei diesem Prozeß stellt die abgegebene Arbeit wk dar, der Aufwand besteht in der zugeführten Wärmemenge qzu. Der thermische Wirkungsgrad läßt sich für geschlossene Systeme schreiben als

η th =

q ab − wk =1 − q zu q zu

10.4.2 Leistungsziffer (linksdrehende Prozesse) Die Umkehrung der Durchlaufrichtung des Prozesses der Wärmekraftmaschine ergibt einen linksläufigen Kreisprozeß, den der Wärmepumpe bzw. den der Kältemaschine.

Wärmepumpe Eine Wärmepumpe entzieht der Umgebung Wärme und liefert wieder eine, um den Betrag der zugeführten Arbeit, vergrößerte Wärmemenge ab (Heizung). Der Nutzen der Wärmepumpe liegt also in der abgegebenen Wärmemenge, der Aufwand in der in den Kreißprozeß investierten Arbeit. Das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand wird als Leistungsziffer ε bezeichnet. − q ab wk − q ab ε= wt

ε=

(geschlossenes System) (offenes System)

bzw.

ε=

q ab q zu − q ab

(allgemein gültig)

Technische Thermodynamik

Reversible Kreisprozesse

122

_________________________________________________________________________

Kältemaschine Die Aufgabe einer Kältemaschine besteht in der Kühlung eines Kontrollraums. Die Leistungsziffer ε wird in diesem Fall definiert als − q zu wk − q zu ε= wt

ε=

(geschlossenes System) (offenes System)

bzw.

ε=

q zu − (q zu − q ab )

(allgemein gültig)

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 123 _________________________________________________________________________

11 Kreisprozesse thermischer Maschinen Zur überschlägigen Auslegung und Abschätzung des Leistungsvermögens von Verbrennungskraftmaschinen können die dabei ablaufenden thermodynamischen Prozesse in erster Näherung durch reversible Prozesse approximiert werden. Das in der Realität verwendete Luft-Brennstoff-Gemisch wird durch ein ideales Gas als Arbeitsmedium ersetzt und die chemischen Vorgänge während des Verbrennungsvorgangs werden durch eine Wärmezufuhr ersetzt.

11.1 Vergleichsprozesse für Kolbenmaschinen 11.1.1 Otto-Prozeß Der Viertakt-Ottomotor geht auf die Entwicklungsarbeiten von Nicolaus August Otto (18321891) in dem Jahr 1876 zurück. Die vier Takte wiederholen sich nach jeweils zwei Umdrehungen der Kurbelwelle: - 1. Takt: Ansaugen eines Luft-Benzin-Gemischs - 2. Takt: Verdichtung des Gemischs - 3. Takt: Verbrennung und Expansion der Verbrennungsgase - 4. Takt: Herausschieben der Verbrennungsgase Bezeichnungen: V H = V1 − V2 V1 = V H + V K V2 = V K V V + VK ε= 1 = H V2 VK

Hubraum, Volumen zwischen unterem und oberem Totpunkt Gesamtraum Verdichtungsraum Verdichtungsverhältnis

Der Ottomotor stellt ein offenes, instationär, d.h. pulsierend durchströmtes System dar. In Abb. 11.1 ist der Prozeßverlauf im p,v-Diagramm skizziert, wie er z.B. bei laufendem Motor auf einem Prüfstand aufgenommen wird. 0 - 1: Ansauglinie 1 - 2: Verdichtungslinie 2 - 3: Verbrennungslinie 3 - 4: Expansion 4 - 0: Ausschublinie

Abb. 11.1:

p,v-Diagramm eines Otto-Viertaktmotors

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 124 _________________________________________________________________________

Die untere Fläche im p,v-Diagramm, die durch die Ansauglinie und von Teilen der Verdichtungs- und Ausschublinie begrenzt wird, beschreibt die für den Ladungswechsel des Zylinders erforderliche Arbeit. Die Fläche wird linksdrehend umlaufen, d.h. es wird Arbeit aufgewendet. Die obere Fläche wird rechtsdrehend umlaufen, d.h. das System gibt Arbeit ab. Die Nutzarbeit des Kreisprozesses entspricht der Differenz der beiden Flächen. Der reversible Vergleichsprozeß geht von einem geschlossenen System aus, das aus dem im Zylinder eingeschlossenen Gas besteht. Der Arbeitsaufwand für den Ladungswechsel, d.h. die untere Fläche entfällt. Weitere Annahmen: - Das Luft-Brennstoff-Gemisch ist ein ideales Gas. - Verdichtung und Expansion werden als adiabate Prozesse angenommen. Da es sich gemäß der Annahme auch um einen reversiblen Prozeß handelt, sind diese Zustandsänderung isentrop (= reversibel adiabat) - Die Verbrennung wird durch eine isochore Zustandsänderung mit gleichzeitiger Wärmezufuhr angenähert. - Die Expansion der Verbrennungsgase mit anschließendem Ausströmen wird durch eine isochore Wäremabfuhr ersetzt. Mit diesen Annahmen kann der in Abb. 11.2 skizzierte Otto-Vergleichsprozeß definiert werden: - 1 - 2: Isentrope Kompression - 2 - 3: Isochore Wärmezufuhr - 3 - 4: Isentrope Expansion - 4 - 1: Isochore Wärmeabfuhr

Abb. 11.2:

Otto-Vergleichsprozeß: a) p,v-Diagramm, b) T,s-Diagramm

Bei reversiblen Kreisprozessen ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wk zu − wk = q 23 + q 41 = q zu + q ab = q zu − q ab Die isochor zugeführte Wärmemenge q23 beträgt q 23 = q zu = c v23 ⋅ (T3 − T2 )> 0

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 125 _________________________________________________________________________

Entsprechend berechnet sich die isochor abgeführte Wärmemenge q41 zu q 41 = q ab = c v41 ⋅ (T1 − T4 )< 0 Damit ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wk − wk = q 23 + q 41 = c v23 ⋅ (T3 − T2 ) + c v41 ⋅ (T1 − T4 ) Bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten vereinfacht sich die Beziehung zu − wk = cv ⋅ (T1 − T2 + T3 − T4 )

Die Temperaturen T2 und T4 ergeben sich aus der Isentropengleichung: κ −1

V T2 = T1 ⋅  1  V2

  

V T4 = T3 ⋅  3  V4

  

κ −1

V = T3 ⋅  2  V1

  

bzw. mit dem Verdichtungsverhältnis ε =

κ −1

V1 V2

T2 = T1 ⋅ ε κ −1 1 T4 = T3 ⋅ κ −1 ε

Einsetzen der Temperaturen liefert:  T T 1  − wk = cv ⋅ T1 ⋅ 1 − ε κ −1 + 3 − 3 ⋅ κ −1  T1 T1 ε   Mit der Beziehung für die spezifische Wärmekapazität cv =

R κ −1

ergibt sich für spezifische Nutzarbeit des Otto-Vergleichsprozesses − wk =

 R ⋅ T1  1  T ⋅ 1 − κ −1  ⋅  3 − ε κ −1  κ −1  ε   T1 

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 126 _________________________________________________________________________ Thermischer Wirkungsgrad ηth:

η th = 1 −

q ab q zu

=1 −

c v41 ⋅ (T4 − T1 )

c v23 ⋅ (T3 − T2 )

Bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten gilt

η th = 1 −

(T4 − T1 ) (T3 − T2 )

bzw.

η th = 1 −

1

ε

κ −1

Der thermische Wirkungsgrad ηth des Otto-Vergelichsprozesses in Abhängigkeit von dem Verdichtungsverhältnis ε ist in Abb. 11.3 dargestellt.

Abb. 11.3:

Thermischer Wirkungsgrad des Otto-Vergleichsprozesses

Das Verdichtungsverhältis läßt sich bei Benzinmotoren jedoch nicht beliebig steigern, da mit zunehmender Verdichtung auch die Verdichtungsendtemperatur T2 ansteigt. Wird die zur Selbstzündung des Luft-Benzingemischs erforderliche Temperatur erreicht, so findet eine unkontrollierte Verbrennung mit hohen Druckspitzen statt (=Klopfen). Die Klopfgrenze moderner Ottomotoren wird bei einem Verdichtungsverhältnis von ε ≈ 10 erreicht, d.h. ηth ≈ 0.6 . Aufgrund der ischoren Wärmezufuhr (2 - 3) wird der Ottoprozeß auch als Gleichraumprozeß bezeichnet.

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 127 _________________________________________________________________________

Ü 11.1:

Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses

Annahmen: Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstant Anfangstemperatur T1 = 288 K Anfangsdruck p1 = 1.013 bar Maximaltemperatur T3 = 2273 K Isentropenexponent von Luft κ = 1.4 Verdichtungsverhältnis ε = 10 1-2

Isentrope Kompression κ

v p 2 = p1 ⋅  1  v2 v T2 = T1 ⋅  1  v2 2-3

  = p1 ⋅ ε κ = 1.013 bar ⋅ 101.4 = 25.45 bar 

  

= 288 K ⋅ 101.4−1 = 723.4 K

Isochore Wärmezufuhr T p3 = p 2 ⋅  3  T2

3-4

κ −1

 2273 K  = 25.45 bar ⋅ = 79.97 bar 723.4 K 

Isentrope Expansion v p 4 = p3 ⋅  3  v4 v T4 = T3 ⋅  3  v4

κ

 v  = p 3 ⋅  2   v1

  

κ −1

v = T3 ⋅  2  v1

κ

κ

 1 1  = p3 ⋅   = 79.97 bar ⋅   ε   10     

κ −1

1 = T3 ⋅   ε 

1.4

κ −1

1 = 2273 K ⋅    10 

= 3.18 bar 1.4−1

= 904.9 K

Thermischer Wirkungsgrad

η th = 1 −

1

ε

κ −1

=1 −

1 1.4−1

10

= 0.602

_________________________________________________________________________

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 128 _________________________________________________________________________

11.1.2 Diesel-Prozeß Der Dieselprozeß geht auf das von Rudolf Diesel (1858-1913) entwickelte Verfahren zurück. Der Dieselmotor saugt im ersten Takt Luft an und verdichtet sie bis zum Ende des ersten Takts. Infolge der relativ hohen Verdichtung werden dabei hohe Drücke und auch hohe Temperaturen erreicht. Durch eine Einspritzdüse wird Kraftstoff eingespritzt, der mit der heißen, hochverdichteten Luft ein zündfähiges Gemisch bildet und sich selbst entzündet. Da die Verbrennung bei nahezu konstantem Druck erfolgt, wird der Dieselprozeß auch als Gleichdruckprozeß bezeichnet. Im Anschluß an den Verbrennungsvorgang erfolgt eine Expansion und das Ausschieben der Verbrennungsgase. Im Vergleich zum Ottomotor liegt beim Dieselmotor, aufgrund der höheren Zündtemperatur des Kraftstoffs, das Verdichtungsverhältnis wesentlich höher. Diesel-Vergleichsprozeß: 1 - 2: 2 - 3: 3 - 4: 4 - 1:

Abb. 11.4:

Isentrope Kompression Isobare Wärmezufuhr Isentrope Expansion isochore Wärmeabfuhr

Diesel-Vergleichsprozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm

Das Volumenverhältnis

ϕ=

V3 V2

wird als Einspritzverhältnis oder auch Volldruckverhältnis bezeichnet. Die spezifische Nutzarbeit wk des Diesel-Vergleichsprozesses ergibt sich aus der Wärmebilanz − wk = q zu + q ab

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 129 _________________________________________________________________________

Isobare Wärmezufuhr (2 - 3): q zu = q 23 = c p23 ⋅ (T3 − T2 ) Isochore Wärmeabfuhr (4 - 1): q ab = q 41 = c v41 ⋅ (T1 − T4 ) Nutzarbeit wk des Prozesses: − wk = q 23 + q 41 = c p23 ⋅ (T3 − T2 ) + c v41 ⋅ (T1 − T4 ) Bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten, d.h. c p23 = c p = const . c v41 = c v = const . und R κ −1 cp

cv =

κ=

cv sowie der Beziehung für isentrope Zustandsänderungen (hier: 1 - 2 Isentrope Kompression) T2 = T1 ⋅ ε κ −1

und der Definition für das Einspritzverhältnis ϕ, ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wk des Diesel-Vergleichsprozesses zu: − wk =

[

(

)]

R ⋅ T1 ⋅ (ϕ − 1) ⋅ κ ⋅ ε κ −1 − ϕ κ − 1 κ −1

Der thermische Wirkungsgrad für Wäremekraftmaschinen ist definiert durch

η th =1 −

q ab

q zu d.h. für den Diesel-Vergleichsprozeß

η th = 1 −

c v41 ⋅ (T4 − T1 )

c p23 ⋅ (T3 − T2 )

Für konstante spezifische Wärmekapazitäten vereinfacht sich die Beziehung zu:

η th = 1 − bzw.

c v ⋅ (T4 − T1 ) 1 (T − T1 ) =1 − ⋅ 4 c p ⋅ (T3 − T2 ) κ (T3 − T2 )

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 130 _________________________________________________________________________

η th = 1 −

1

κ ⋅ ε κ −1

⋅

ϕκ −1 ϕ −1

Der thermische Wirkungsgrad des Dieselmotors hängt also ab von dem Verdichtungsverhältnis ε, dem Einspritzverhältnis ϕ und dem Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten κ. Bei gleichem Verdichtungsverhältnis ist der thermische Wirkungsgrad des Dieselmotors kleiner als der des Ottomotors. Der Vorteil des Dieselmotors liegt jedoch, neben konstruktiven Vorteilen, d.h. keine Zündanlage, darin, daß wegen der höheren Klopfestigkeit des Dieselkraftstoffs ein wesentlich höheres Verdichtungsverhältnis gewählt werden kann als beim Ottomotor. Dies führt zu einer höheren Wirtschaftlichkeit des Dieselmotors gegenüber dem Ottomotor.

_________________________________________________________________________ Ü 11.2:

Nachrechnung eines Diesel-Vergleichsprozesses

Mit Luft (ideales Gas) als Arbeitsmedium sollen a) die Drücke und Temperaturen in den Endzeitpunkten der Zustandsänderugen berechnet werden V b) Einspritzverhältnis ϕ = 3 V2 c) Thermischer Wirkungsgrad ηth Anfangstemperatur: Anfangsdruck: Maximaltemperatur: Verhältnis der spezifischen Wärmen: Verdichtungsverhältnis:

T1 = 288 K p1 = 1.01325 bar T3 = 2273 K κ = 1.4 ε = 21

Isentrope Verdichtung 1 - 2: v p 2 = p1 ⋅  1  v2 v T2 = T1 ⋅  1  v2

κ

  = p1 ⋅ ε κ = 1.01325 bar ⋅ 211.4 = 71.92 bar 

  

κ −1

= T1 ⋅ ε κ −1 = 288 K ⋅ 211.4−1 = 973.38 K

Isobare Wärmezufuhr 2 -3: p3 = p 2 = 71.92 bar T3 = 2273 K v3 T3 = v 2 T2

(ideale Gasgleichung für isobare Zustandsänderung)

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 131 _________________________________________________________________________

Isentrope Expansion 3 - 4: v p 4 = p3 ⋅  3  v4

κ

 v v   = p 3 ⋅  3 ⋅ 2    v2 v4 

κ

κ

⇒

T 1  2273 K 1  p 4 = p3 ⋅  3 ⋅  = 71.92 bar ⋅  ⋅   973.38 K 21   T2 ε  T 1 T4 = T3 ⋅  3 ⋅   T2 ε 

κ −1

 2273 K 1  = 2273 K ⋅  ⋅   973.38 K 21 

1.4

= 3.32 bar

1.4−1

= 944.14 k

Einspritzverhältnis

ϕ=

V3 T3 = = 2.335 V 2 T2

Thermische Wirkungsgrad 1 2.3351.4 − 1 ϕκ −1 1 = − ⋅ = 0.639 1.4 ⋅ 211.4−1 2.335 − 1 κ ⋅ ε κ −1 ϕ − 1 _________________________________________________________________________

η th = 1 −

1

⋅

11.1.3 Seiliger-Prozeß Die Verbrennungsvorgänge, des Otto- und Diesel-Prozesses werden nur näherungsweise durch die in den Kapiteln 11.1.1 und 11.1.2 besprochenen Vergleichsprozesse wiedergegeben. Die Annahmen der isochoren Verbrennung im Otto-Motor bzw. der isobaren Verbrennung im Dieselmotor entsprechen den real ablaufenden Vorgängen nur bedingt. Der im Jahre 1922 von Seiliger vorgeschlagene Vergleichsprozeß stellt eine Mischung aus dem Otto- und dem Diesel-Prozeß (gemischter Vergleichsprozeß) dar. Die Wärmezufuhr wird in einen isochoren und isobaren Teilprozeß aufgeteilt und es wird damit eine bessere Annäherung an die tatsächlich ablaufenden Prozesse erreicht. Zustandsänderungen des Seiliger-Prozesses: 1 - 2: 2 - 3: 3 - 4: 4 - 5: 5 - 1:

Isentrope Kompression Isochore Wärmezufuhr Isobare Wärmezufuhr Isentrope Expansion isochore Wärmeabfuhr

Neben den bereits bekannten Kennzahlen

ε=

V1 V2

(Verdichtungsverhältnis)

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 132 _________________________________________________________________________

ϕ=

V4 V3

(Einspritzverhältnis

wird als zusätzlicher Parameter

Ψ=

p3 T3 = p 2 T2

(Druckverhältnis, isochore Zustandsänderung bei idealem Gas)

eingeführt.

Abb. 11.5:

Seiliger-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm

Nutzarbeit Die spezifische Nutzarbeit wk des Kreisprozesses ergibt sich wieder aus der Wärmebilanz − wk = q zu + q ab = bzw.

q 23 ( isochore Wärmezufuhr

+

q34 ( isobare Wärmezufuhr

+

q51 ( isochore Wärmeabfuhr

− wk = c v23 ⋅ (T3 − T2 ) + c p34 ⋅ (T4 − T3 ) + c v51 ⋅ (T1 − T5 )

Unter der Anahme konstanter spezifischer Wärmen gilt − wk = cv ⋅ [T1 − T2 + (1 − κ ) ⋅ T3 + κ ⋅ T4 − T5 ]

Die Bestimmung der Temperaturen Zustandsänderungen idealer Gase. 1 - 2: Isentrope Kompression 2 - 3: Isochore Wärmezufuhr 3 - 4: Isobare Wärmezufuhr

ergibt

sich

aus

den

Gleichungen

T2 = T1 ⋅ ε κ −1 p T3 = T2 ⋅ 3 = T2 ⋅Ψ = T1 ⋅Ψ ⋅ ε κ −1 p2 V T4 = T3 ⋅ 4 = T3 ⋅ ϕ = T1 ⋅ ϕ ⋅Ψ ⋅ ε κ −1 V3

für

die

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 133 _________________________________________________________________________

V T5 = T4 ⋅  4  V5

4 - 5: Isentrope Expansion

  

κ −1

V V  = T4 ⋅  4 ⋅ 3   V3 V5 

κ −1

= T1 ⋅ ϕ κ ⋅Ψ

Mit cv =

R κ −1

läßt sich die spezifische Nutzarbeit wk des Seiliger-Prozesses schreiben als − wk =

{

R ⋅ T1 ⋅ 1 + ε κ −1 ⋅ [Ψ ⋅ (1 − κ ⋅ (1 − ϕ )) − 1] −Ψ ⋅ ϕ κ κ −1

}

Thermischer Wirkungsgrad

η th = 1 −

η th = 1 −

η th = 1 −

q ab q zu

=1 −

q51 q 23 + q 34

c v ⋅ (T5 − T1 ) T5 − T1 =1 − c v ⋅ (T3 − T2 ) + c p ⋅ (T4 − T3 ) T3 − T2 + κ ⋅ (T4 − T3 ) 1

ε κ −1

⋅

ϕ κ ⋅Ψ − 1 Ψ − 1 + κ ⋅Ψ ⋅ (ϕ − 1)

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 134 _________________________________________________________________________

11.1.4 Stirling-Prozeß Auf der Suche nach einem Ersatz für die zu dieser Zeit noch recht gefährlichen Dampfmaschinen, welche als Antrieb für Lenzpumpen in Bergwerken eingesetzt wurden, entwickelte der schottischen Geistlichen R. Stirling (1790-1878), ohne tiefere thermodynamische Kenntnisse(!) einen Heißluftmotor, der im Jahre 1816 unter seinem Namen als Stirling-Motor patentiert wurde. Der Stirling-Prozeß verwendet ebenso wie der Ericson-Prozeß einen Wärmetauscher zur Erhöhung des Wirkungsgrades. In einem Zylinder befinden sich zwei, über ein Rhombengetriebe gekoppelte Kolben, einen Verdrängerkolben und einen Arbeitskolben. Aufgabe des Verdrängerkolbens ist es, das Arbeitsgas zwischen einem Raum mit konstant niedriger Temperatur (Expansionsraum: Tmin = const.) und einem Raum mit konstant hoher Temperatur (Kompressionsraum: Tmax = const.) hin- und herzuschieben. Der zwischen dem Arbeits- und Verdrängerkolben, bzw. Kompressions- und Expansionskolben, befindliche Wärmetauscher oder auch Regenerator hat die Funktion eines thermodynamischen Reservoirs, das alternierend Wärme aufnimmt und wieder abgibt. Technisch realisiert wird dies in Form von metallischen Schwämmen, die aus Matrixstrukturen aus feinen Drähten oder Streifen bestehen Die einzelnen Arbeitstakte sind in Abb. 11.6 skizziert: 1. Zu Beginn des Zyklus befindet sich der Kompressionskolben am äußeren Totpunkt und der Expansionskolben am inneren Totpunkt. Das gesamte Arbeitsmedium befindet sich im kalten Kompressionsraum. Da das Volumen maximal ist, nehmen Druck und Temperatur minimale Werte an (1). 2. Der Kompressionskolben bewegt sich in Richtung seines inneren Totpunkts während der Expansionskolben noch an seinem inneren Totpunkt verharrt, d.h. isotherme Kompression 1 - 2. Der Druck steigt auf den Wert (2). Die Temperatur bleibt konstant bei Tmin, da während der Kompression Wärme an die Umgebung abgeführt wird. 3. Bei der isochoren Kompression (2 - 3) bewegen sich beide Kolben simultan; der Kompressonskolben zu seinem inneren Totpunkt und der Expansionskolben an seinen äußeren Totpunkt. Das Volumen zwischen beiden Kolben bleibt daher konstant (isochor). Das Arbeistmedium wird durch die poröse Metallmatrix des Regenerators geschoben und dabei von Tmin auf Tmax aufgeheizt und verläßt mit Tmax den Regenerator. Die Temperaturerhöhung von Tmin auf Tmax bei konstantem Volumen bewirkt eine Erhöhung des Drucks (3). 4. Bei der isothermen Expansion mit Tmax bewegt sich der Expansionskolben weiter zu seinem äußeren Totpunkt, während der Kompressionskolben stationär an seinem inneren Totpunkt verharrt. Durch die Expansion infolge der Volumenvergrößerung bei Tmax sinkt der Druck auf den Wert (4). 5. Um den Zyklus abzuschließen bewegen sich der Expansions- und der Kompressionskolben synchron, d.h. bei konstantem Volumen; der Expansionskolben zu seinem inneren und der Kompressionskolben zu seinem äußeren Totpunkt. Das Arbeitsmedium wird dabei wieder durch den Regenerator geschoben und gibt seine Wärme an den Regenerator ab.

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 135 _________________________________________________________________________ Wärmetauscher (Regenerator) Expansionsraum Kompressionsraum

Zeit

Verschiebung

Abb. 11.6:

Arbeitsprinzip des Stirling-Motors und Ort-Zeit-Diagramm

Abb. 11.7:

Stirling-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) T,s-Diagramm

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 136 _________________________________________________________________________

Zustandsänderungen des Stirling-Prozesses 1 - 2: Isotherme Kompression von p1 auf p2 : Isotherme Wärmeabfuhr im Kühler bei Tmin = const. 2 - 3: Isochore Wärmezufuhr von T2 auf T3 : Wärmeübertragung von dem Wärmetauscher an das Arbeitsmedium 3 - 4: Isotherme Expansion von p3 auf p4 : Wärmezufuhr durch externe Heizquelle an das Arbeitsmedium bei Tmax = const. 4 - 1: Isochore Wärmeabfuhr von T4 auf T1 : Wärmeübertragung von dem Arbeitsmedium an den Wärmetauscher

Nutzarbeit des Stirling-Prozesses: Die spezifische Nutzarbeit wt ergibt sich aus der Wärmebilanz zu − wt = q zu − q ab = q 23 + q34 + q 41 + q12 $ &#%# $ &#%# qab

q zu

Idealer Wärmetauscher: q 23 = − q 41 − wt = q34 + q12

1 - 2: Isotherme Kompression von p1 auf p2 bei T1 = T2 = const. p  v q12 = R ⋅ T1 ⋅ ln 1  = p1 ⋅ v1 ⋅ ln 2  p2   v1

  < 0 

2 - 3: Isochore Kompression von p2 auf p3 bei v2 = v3 = const. q 23 = c v ⋅ (T3 − T2 ) > 0

3 - 4: Isotherme Expansion von p3 auf p4 bei T3 = T4 = const. v p  q 34 = R ⋅ T3 ⋅ ln 3  = p3 ⋅ v3 ⋅ ln 4  p4   v3

  > 0 

4 - 1: Isochore Expansion von p4 auf p1 bei v4 = v1 = const. q 41 = c v ⋅ (T1 − T4 )< 0

Ergibt die spezifische Nutzarbeit p  p  − wt = R ⋅ T1 ⋅ ln 1  + R ⋅ T3 ⋅ ln 3   p2   p4  bzw.: v − wt = R ⋅ T3 ⋅ ln 2  v1

  T2  ⋅    T3

   − 1  

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 137 _________________________________________________________________________

Thermischer Wirkungsgrad

η th = 1 −

q ab q zu

=1 −

q12 q 34

p  p  R ⋅ T1 ⋅ ln 1  T1 ⋅ ln 2   p2   p1  η th = 1 − = 1− p  p  R ⋅ T3 ⋅ ln 3  T3 ⋅ ln 3   p4   p4  Mit den Beziehungen für isotherme Zustandsänderungen p 2 v1 = p1 v 2

und wegen den isochoren Zustandsänderungen 4-1 und 2-3, d.h. v1 = v 4 und v 2 = v3 gilt p 2 v1 v 4 = = p1 v 2 v3

also v  T1 ⋅ ln 1   v 2  = 1 − T1 = 1 − Tmin η th = 1 − T3 Tmax v  T3 ⋅ ln 4   v3  Dies bedeutet, daß der maximale thermische Wirkungsgrad, unter der Annahme eines idealen Wärmetauschers (bzw. Regenerators) lediglich von dem Temperaturunterschied zwischen warmem und kaltem Raum abhängt und somit dem Carnot-Wirkungsgrad entspricht.

Vorteile des Stirling-Motors: - Keine Ventile, Ventilantrieb und -steuerung - Keine innere Verbrennung, externe Verbrennung kann mit Sauerstoffüberschuß durchgeführt werden, somit geringere Schadstoffemission als bei explosionsartiger, innerer Verbrennung - Vielstoffmotor, da die Art der externen Wärmequelle unerheblich für den Betrieb des Motors ist - Keine Druckspitzen, Druckwechsel erfolgen fließend: Nahezu lautloser und vibrationsfreier Lauf - Konstantes Drehmoment, günstiger Betrieb auch im Teillastbereich - Bei Umkehrung des Prozesses ohne konstruktive Änderungen auch als Kältemaschine nutzbar Problembereiche: - Dichtungsprobleme zwischen Arbeitskolben und Verdrängungskolben - Technische Realisierung eines idealen Wärmetauschers

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 138 _________________________________________________________________________

11.2 Vergleichsprozesse für Turbomaschinen Die hohen mechanischen und thermischen Belastungen, bedingt durch hohe Drücke und Schwingungsprobleme, denen Kolbenmaschinen ausgesetzt, sind führen zu entsprechend hohen Anforderungen an die Strukturfestigkeit. Die Gewährleistung dieser Strukturfestigkeit bedingt in aller Regel ein relativ hohes Baugewicht. Ausnahmen bilden hier lediglich Wärmekraftmaschinen, die nur auf kurze Lebensdauer ausgelegt sind und man auf die Dauerfestigkeit verzichten kann. Bei Kolbenmotoren wären dies z.B. Triebwerke, wie sie im Rennsport eingesetzt werden und dabei lediglich das ca. einstündige Rennen überstehen müssen. Bei Strahltriebwerken kämen hier Marsch- oder Lenkflugkörper in Betracht, deren maximale Betriebsdauer im Minutenbereich liegen. Lebensdaueroptimierung wird vor allem bei Trägerraketen für den Satellitentransport betrieben. Aufgrund der extrem hohen Kosten des Nutzlasttransports in eine Umlaufbahn wird hier die Lebensdauer im Sekundenbereich optimiert. Dadurch lassen sich jedoch Leistungen erzielen, die um viele Größenordnungen über denen von stationär arbeitenden Maschinen liegen. Vergleichszahlen einer Saturn V -Rakete: Startgewicht: Startschub: Nutzlast in geostationären Orbit:

3000 t 3400 t 31 t

1. Stufe Gesamtstrahlleistung der 5 F1-Triebwerke, ca.: Leistung der Turbo-Pumpen, ca.: Treibstoffverbrauch, ca.: Brenndauer nominal:

100⋅10 PS 300.000 PS 13.5 t/s 150 s

6

Die letzte Genration der im Flugzeugbau verwendeten Kolbenmotoren erreichte Leistungen von ca. 3000 kW (ca. 4080 PS), Schiffsdiesel liegen in der Größenordnung von ca. 20.000 kW (ca. 27.000 PS). Leistungen im Kraftwerksbereich liegen jedoch heute im GigawattBereich. Mit Kolbenmotoren sind solche Leistungen nicht mehr zu erzielen, hier werden ausschließlich Turbomaschinen eingesetzt. In ihrer einfachsten Form besteht eine Gasturbinenanlage aus den Komponenten Verdichter, Brennkammer und Turbine, Abb. 11.8 .

Abb. 11.8:

Schema einer einfachen Gasturbinenanlage

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 139 _________________________________________________________________________

Luft wird angesaugt und im Verdichter komprimiert. In der Brennkammer wird der verdichteten Luft Brennstoff zugemischt (z.B. Diesel, Kerosin oder Petroleum). Aufgrund des hohen Drucks zündet das Gemisch selbständig und verbrennt bei näherungsweise konstantem Druck. Die heißen Abgase expandieren in der Turbine und geben dabei Arbeit ab und strömen anschließend ins Freie. Die einfache Gasturbinenanlage stellt somit ein offenes, stationär durchströmtes System dar. Die Aufgabe der Turbine besteht zum einen darin, über eine Welle den Verdichter anzutreiben. Der danach verbleibende Leistungsüberschuß stellt die Nutzleistung der Anlage dar. Je nach Verwendungszweck kann eine unterschiedliche Aufteilung der in der Turbine gewonnenen Nutzleistung erfolgen. Bei stationären Gasturbinen (z.B. Kraftwerk) besteht die Hauptaufgabe darin, die nach dem Antrieb des Verdichters noch verbleibende Arbeit zum Antrieb eines Stromgenerators zu verwenden. Bei Schiffsturbinen kann mit der überschüssigen Arbeit die Schiffsschraube angetrieben werden. Ähnlich verhält es sich bei Flugzeugturbinen, die mit der überschüssigen Arbeit über eine Welle einen Propeller antreiben (Turbo-Prop-Maschinen). Propellerantriebe erreichen jedoch bei Annäherung an die Schallgeschwindigkeit die Grenze ihrer Anwendung. Die Blattspitzen der Propeller laufen im Überschall und werden somit wirkungslos. Dies gilt übrigens unabhängig davon, ob die Propeller von Kolbenmotoren oder Turbinen angetrieben werden. Zum Überschreiten der Schallgeschwindigkeit sind somit Antriebe erforderlich, die auf dem reinen Rückstoßprinzip beruhen, d.h. also entweder Raketenantriebe oder Strahltriebwerke. Bei Strahltriebwerken wird der nach dem Antrieb des Verdichters noch verbleibende Arbeitsanteil in der Turbine dadurch genutzt, daß die heißen Verbrennungsabgase durch eine Düse expandieren und den für den Antrieb erforderlichen Schub erzeugen.

11.2.1 Joule-Prozeß Im Vergleichsprozeß der einfachen Gasturbinenanlage durchläuft das Arbeitsmedium (ideales Gas) einen geschlossen Kreislauf. Die Verbrennungsabgase werden direkt wieder dem Verdichter zugeführt, Abb. 11.9 .

Abb. 11.9.

Einfache Gasturbinenanlage als geschlossenes System

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 140 _________________________________________________________________________

Die Verbrennung wird als eine isobare Wärmezufuhr angenommen. Der Energiestrom, der in der realen Gasturbine mit den heißen Verbrennungsgasen das System verläßt, wird durch eine isobare Wärmeabgabe in einem Wärmetauscher, der hinter der Turbine angeordnet ist, simuliert. Verdichter und Turbine werden als adiabate Systeme angenommen, da aufgrund der hohen Strömungsgeschwindigkeit in diesen Komponenten kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet. Der Gasturbinen-Vergleichsprozeß besteht somit aus zwei Isobaren für den Wärmetausch und zwei Isentropen für Verdichtung und Entspannung.

Abb. 11.10:

Joule-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm

Zustandsänderungen des Joule-Prozesses 1 - 2: 2 - 3: 3 - 4: 4 - 1:

Isentrope Kompression von p1 auf p2 Isobare Wärmezufuhr beim Druck p2 auf die Maximaltemperatur T3 Isentrope Expansion von p2 auf p1 Isobare Wärmeabfuhr beim Druck p1

Nutzarbeit Unter der Annahme von konstanten spezifischen Wärmekapazitäten ergibt sich die spezifische Nutzarbeit wt aus der Wärmebilanz zu − wt = −

∑ wt Np

⇒

i,j

=

∑ qi , j = q zu + q ab Nq

− wt = q 23 + q 41 = c p ⋅ (T3 − T2 + T1 − T4 ) = c p ⋅ (T1 − T2 + T3 − T4 )

Mit dem Verdichter-Druckverhältnis

π=

p2 p1

und der Isentropenbeziehung ergibt sich für die Temperaturen T2 =T1 ⋅ π und

κ −1 κ

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 141 _________________________________________________________________________

1

T4 =T3 ⋅

π

κ −1 κ

Die Gleichung für die spezifische Nutzarbeit lautet damit  κ −1  T T 1 − wt = c p ⋅ T1 ⋅ 1 − π κ + 3 − 3 ⋅ κ −1 T1 T1  π κ 

    

bzw. mit cp R

=

κ κ −1

 κ −1    T  1 κ  κ − wt = ⋅ R ⋅ T1 ⋅  π − 1 ⋅  3 ⋅ κ −1 − 1   T1 κ −1     π κ   Beim Joule-Prozeß hängt also die spezifische Nutzarbeit wt von dem Druckverhältnis im T p Verdichter π = 2 und dem Temperaturverhältnis 3 ab. p1 T1

Thermischer Wirkungsgrad

η th = 1 −

q ab q zu

=1 +

c p ⋅ (T1 − T4 ) q 41 T − T1 =1 − =1 − 4 q 23 c p ⋅ (T3 − T2 ) T3 − T2

bzw. 1

η th = 1 − π

κ −1 κ

Der thermische Wirkungsgrad des Joule-Prozesses ist also eine reine Funktion von dem Druckverhältnis π. Er nimmt degressiv mit dem Druckverhältnis zu. Hohe Wirkungsgrade erfordern bei diesem Prozeß auch hohe Druckverhältnisse

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 142 _________________________________________________________________________

11.2.2 Ericson-Prozeß Dieser Prozeß geht auf einen Vorschlag des schwedischen Ingenieurs Ericson (1803-1899) aus dem Jahre 1833 zurück. Realisiert wurde er erst über 100 Jahre später von den schweizer Ingenieuren Ackeret (1898-1981) und Keller (1904- ). Der Prozeß bildet einen geschlossenen Kreislauf und kann daher auch aufwendigere Arbeitsmedien, wie z.B. Edelgase verwenden. Der Vorteil bei der Verwendung von Edelgasen liegt in den höheren Werten von κ und den damit verbundenen höheren thermischen Wirkungsgraden.

Abb. 11.11:

Geschlossene Gasturbinenanlage nach dem Ericson-Verfahren

Zustandsänderungen des Ericson-Prozesses 1 - 2: Isotherme Kompression von p1 auf p2 mit Kühlung 2 - 3: Isobare Wärmezufuhr beim Druck p2 in einem zwischen Verdichter und Turbine geschalteten Wärmetauscher 3 - 4: Isotherme Expansion von p2 auf p1 in einer Turbine mit Wärmezufuhr 4 - 1: Isobare Wärmeabfuhr beim Druck p1 im zwischengeschalteten Wärmetauscher

Abb. 11.12:

Ericson-Prozeß der Gasturbine im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 143 _________________________________________________________________________

Der Wärmetauscher ist dergestalt ausgelegt, daß zwischen Turbine und Verdichter die betragsmäßigen gleichen Wärmemengen ausgetauscht werden, d.h. es gilt q 23 = − q 41

Nutzarbeit Die spezifische Nutzarbeit wt ergibt sich aus der Wärmebilanz zu − wt = q zu − q ab = q 34 + q 41 + q12 + q 23 = q 34 + q12 Bei isothermer Kompression von p1 auf p2 gilt p  p  q12 = p1 ⋅ v1 ⋅ ln 1  = − R ⋅ T1 ⋅ ln 2   p2   p1  Bei isothermer Expansion mit p3 = p2 und p4 = p1 gilt p  p  q 34 = p 3 ⋅ v3 ⋅ ln 2  = R ⋅ T3 ⋅ ln 2   p1   p1  Mit dem Verdichter-Druckverhältnis

π=

p2 p1

ergibt sich die spezifische Nutzarbeit zu T  − wt = R ⋅ T1 ⋅  3 − 1 ⋅ ln(π )  T1  Thermischer Wirkungsgrad

η th = 1 −

T1 T3

Der thermische Wirkungsgrad des Ericson-Prozesses hängt also lediglich ab von der Temperatur T3, bei der die Wärme zugeführt wird und der Temperatur T1, bei der die Wärme abgeführt wird. Der thermische Wirkungsgrad des Ericson-Prozesses stimmt mit dem des Carnot-Prozesses überein und wäre demnach ein idealer Prozeß. Die praktische Ausführung scheitert jedoch an der technischen Realisierung einer isothermen Kompresson (erfordert Kühlung) und einer isothermen Expansion (erfordert Wärmezufuhr). Näherungsweise läßt sich dies durch eine stufenweise Verdichtung mit Zwischenkühlung und einer stufenweisen Expansion mit Zwischenerhitzung erreichen. Umgesetzt wurde dieser Gedanke in dem sogenannten Isex-Gasturbinen-Prozeß durch eine Zwischenverbrennung zwischen den einzelnen Turbinenstufen von K. Leist (1901-1960).

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 144 _________________________________________________________________________

11.2.3 Clausius-Rankine-Prozeß Dampfkraftanlagen, wie sie in Kraftwerken zur Erzeugung von elektrischem Strom eingesetzt werden, bilden einen geschlossenen Prozeß (Dampfturbinenprozeß) und bestehen im wesentlichen aus den in Abb. 11.13a skizzierten Komponenten. DE DT K SP

Abb. 11.13:

Dampferzeuger Turbine Kondensator Speisewasserpumpe

Dampfturbinenanlage a) Aufbau und b) p,v-Diagramm

Das Arbeitsmedium ist Wasser, das die Anlage in einem geschlossenen Kreislauf durchströmt und periodisch seinen Aggregatzustand wechselt. Die Speisewasserpumpe fördert flüssiges Wasser von dem Kondensator in den Dampferzeuger (1 - 2) und erhöht den Druck auf den gewählten Sättigungsdruck. Der Antrieb der Speisewasserpumpe erfolgt entweder über einen Elektromotor oder über die Turbine. Der Dampferzeuger ist zweigeteilt; im ersten Teil (Verdampfer) wird durch isobare Wärmezufuhr Sattdampf erzeugt (2 - 3). Anschließend wird durch weitere isobare Wärmezufuhr im Überhitzer bei steigender Temperatur der Sattdampf in Heißdampf umgewandelt (3 - 4). Der Heißdampf expandiert in der Turbine unter Arbeitsabgabe wieder bis in das Naßdampfgebiet ( 4 - 5). Von der Turbine strömt der Naßfdampf zu dem Kondensator, wo er unter isobarem Wärmeentzug wieder verflüssigt wird.

Abb. 11.14:

Clausius-Rankine-Prozeß im a) T,s-Diagramm b) h,s-Diagramm

Zustandsänderungen des Clausius-Rankine-Prozesses

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 145 _________________________________________________________________________

0 - 1: Isentrope Druckerhöhung des flüssigen Wassers vom Kondensatordruck p0 = p5 auf den Sättigungsdruck pS = p1. Nahezu senkrechte Linie im p,vDiagramm. Die beiden Punkte fallen aufgrund der geringen Temperaturzunahme (inkompressibles Arbeitsmedium) im T,s-Diagramm fast zusammen. 1 - 2: Isobare Erwärmung des flüssigen Wassers bis zum Punkt 2 auf der Siedelinie auf die Siedetemperatur TS = T2 = T3 2 - 3: Isobare Verdampfung (Punkt 3 liegt auf der Taulinie) 3 - 4: Isobare Überhitzung 4 - 5: Isentrope Expansion in der Turbine 5 - 0: Isobare Verflüssigung des Dampfes

Nutzarbeit Berechnung der technischen Arbeit aus der Wärmebilanz − wt = q zu − q ab Da alle Wärmeübertragungen bei isobaren Zustandsänderungen ablaufen, lassen sie sich auch als Enthalpiedifferenzen schreiben q zu = q12 + q 23 + q34 = h4 − h1 q ab = q50 = h0 − h5

⇒

− wt = h0 − h1 + h4 − h5

Das Arbeitsfluid wechselt während des Kreisprozesses seinen Aggregatzustand, somit müssen zur Berechnung der Enthalpiedifferenzen die Wasserdampftafeln herangezogen werden.

Thermischer Wirkungsgrad

η th =1 −

q ab q zu

bzw.

η th = 1 −

h5 − h0 h4 − h1

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 146 _________________________________________________________________________

Ü 11.3:

Nachrechnung einer Dampfturbinenanlage

Eine Dampfturbine verarbeitet pro Stunde 170t Frischdampf mit einer Temperatur von 350°C und einem Druck von 100 bar. Die Wassertemperatur vor dem Eintritt in die Speisewasserpumpe beträgt 25°C. Gesucht werden die Leistung und der thermische Wirkungsgrad nach Clausius-Rankine. Für die Sättigungstemperatur T0 = 25°C liefert die Dampftafel für Wasser: p0 = 0.03166 bar -3 3 v'0 = 1.0029⋅10 m /kg h'0 = 104.77 kJ/kg s'0 = 0.367 kJ/(kg K) 3 v''5 = 43.40 m /kg s''5 = 8.559 kJ/(kg K) h''5 = 2547 kJ/kg Für den Sättigungsdruck p2 = 100 bar liefert die Dampftafel für Wasser: T2 = 310.96°C 3 v'2 = 0.001453 m /kg h'2 = 1408 kJ/kg h''3 = 2728 kJ/kg Aus dem h,s-Diagramm für Wasserdampf (Abb. 9.18) liest man für den überhitzten Dampf mit p4 = 100 bar und T4 = 350°C ab: h4 = 2926 kJ/kg s4 = 5.95 kJ/(kg K)

0 - 1: Isentrope Druckerhöhung in der Speisewasserpumpe Spezifische Leistung der Speisewasserpumpe w01 = v 0′ ⋅ ( p1 − p 0 ) = 10.03

kJ kg

Enthalpie h1 = h0′ + w01 = 114.8

kJ kg

Massestrom der Speisewasserpumpe t kg m! = 170 = 47.222 h s Leistung der Speisewasserpumpe  kJ  PSp = m! ⋅ w01 = 473.64 kW  =   s 

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 147 _________________________________________________________________________

1 - 2: Isobare Wärmezufuhr pro Zeiteinheit im Dampferzeuger kJ Q!12 = m! ⋅ (h2′ − h1 )= 61067.49 s 2 - 3: Isobar-isotherme Verdampfung im Dampferzeuger kJ Q! 23 = m! ⋅ (h3′′ − h2′ )= 62333.04 s 3 - 4: Isobare Überhitzung im Dampferzeuger kJ Q! 34 = m! ⋅ (h4 − h3′′ ) = 9350.0 s 4 - 5: Isentrope Expansion in der Turbine Berechnung des Dampfgehalts aus der Entropieänderung, s4 = s5 = 5.95 kJ/(kg K) x=

s5 − s 0′ = 0.6815 s5′′ − s 0′

Dampfgehalt 0 < x < 1, d.h. die Expansion führt ins Naßdampfgebiet. Enthalpie: h5 = (1 − x ) ⋅ h0′ + x ⋅ h5′′ = 1769.15

kJ kg

Gesamtleisung der Turbine: PT = m! ⋅ (h5 − h4 ) = − 54629.03 kW

5 - 0: Isobare Kondensation im Kondensator, abgegebene Wärme: kJ Q! 50 = − m! ⋅ [x ⋅ (h5′′ − h0′ )]= − 78593.3 s

Nutzleistung des Kreisprozesses PN = PT + PSp = − 54155.6 kW bzw.

(

)

PN = − Q! 12 + Q! 23 + Q! 34 + Q! 50 = − 54155.2 kW

Thermischer Wirkungsgrad des Kreisprozesses

η th = 1 −

q ab q zu

=1 −

h5 − h0′ = 0.408 h4 − h1

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 148 _________________________________________________________________________

11.3 Carnot-Prozeß Der im Jahre 1824 von dem französischen Militäringenieur S. Carnot vorgeschlagene Kreisprozeß stellt einen Ideal-Prozeß zum Aufzeigen des maximal möglichen thermischen Wirkungsgrades einer thermischen Maschine dar und zwar unabhängig von deren eigentlicher Bauart. Der Prozeß arbeitet mit zwei Isentropen und zwei Isothermen. Die Wärmeübertragung erfolgt bei konstanten Temperaturen: Wärmezufuhr bei der hohen Temperatur T3, Wärmeentzug bei der niedrigen Temperatur T1

Abb. 11.15:

Carnot-Prozeß im a) p,v-Diagramm b) h,s-Diagramm

Zustandsänderungen des Carnot-Prozesses 1 - 2: 2 - 3: 3 - 4: 4 - 1:

isotherme Kompression mit Wärmeabgabe Isentrope Kompression isotherme Expansion mit Wärmezufuhr Isentrope Expansion

Nutzarbeit − wk = q zu − q ab Bestimmung der Wärmemengen aus der Entropiefunktion q zu = q34 = T3 ⋅ (s 4 − s3 ) = T3 ⋅ (s1 − s 2 ) q ab = q12 = T1 ⋅ (s 2 − s1 )

⇒ bzw.

− wk = (T3 − T1 ) ⋅ (s1 − s 2 )

 T  − wk = 1 − 1  ⋅ q zu  T3 

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 149 _________________________________________________________________________

Thermischer Wirkungsgrad

η th =

− wk q zu

bzw.

η th = 1 −

T1 T3

Da bei gleichen Grenztemperaturen, alle in der Realität ablaufenden Kreisprozesse innerhalb des durch den Carnot-Prozeß im T,s-Diagramm beschriebenen Rechtecks liegen, wird sein Wirkungsgrad auch als Carnotfaktor (=größtmöglicher thermischer Wirkungsgrad) bezeichnet.

η C = η th ,max = 1 −

Abb. 11.16:

T1 T3

Carnot-Prozeß und realer Prozeß

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 150 _________________________________________________________________________

Ü 11.4: Kreisprozeß mit stationär umlaufendem Fluid (Carnot-Prozeß)

Abb. 11.17:

Wärmekraftmaschine (Carnot-Prozeß)

Der Carnot-Prozeß besteht aus vier reversiblen Teilprozessen, die im pv-Diagramm in Abb. 11.18 dargestellt sind:

- Adiabate Verdichtung 1-2 - Isotherme Entspannung 2-3 - Adiabate Entspannung 3-4 - Isotherme Verdichtung 4-1

Abb. 11.18:

Zustandsänderungen des reversiblen Carnot-Prozesses

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 151 _________________________________________________________________________

Mit Helium als Arbeitsmedium sollen die bei den vier Teilprozessen als technische Arbeit und als Wärme aufgenommenen oder abgeführten Energien sowie die spezifische Nutzarbeit des Kreisprozesses berechnet werden. Temperaturen: T0 = T1 = T4 = 300 K T = T2 = T3 = 850 K Druckverhältnisse:

p max p 2 = = 50 p min p 4 Gaskonstante von Helium R = 2077 J/kg⋅K Die spezifische Wärmekapazität wird temperaturunabhängig angenommen

c 0p = 5193

J kg ⋅ K

Änderungen von kinetischer und potentieller Energie sollen vernachlässigt werden.

Für die adiabate Verdichtung von 1-2 liefert der erste Hauptsatz

q12 + wt ,12 = h2 − h1 Da es sich um eine adiabaten Teilprozeß handelt gilt q12 = 0 . Für die technische Arbeit folgt somit

wt ,12 = h2 − h1 = c 0p ((T2 − T1 )= c 0p ((T − T0 )

Entsprechend berechnet sich die technische Arbeit für die adiabate Entspannung von 3-4 wegen q 34 = 0 zu

wt ,34 = h4 − h3 = c 0p ((T4 − T3 )= − c 0p ((T − T0 ) Die beiden Arbeiten heben sich gerade auf. Der adiabate Verdichter und die adiabate Turbine laufen sozusagen nutzlos gegeneinander. Die Nutzarbeit bei diesem Kreisprozeß kann als nur aus der Differenz der technischen Arbeiten bei der isothermen Verdichtung und der isothermen Entspannung stammen. Bei idealen Gasen hängt die Enthalpie nur von der Temperatur ab. Bei der isothermen Entspannung 2-3 gilt also wegen T2 = T3

q 23 + wt , 23 = h3 − h2 = 0 also

p  q 23 = − wt , 23 = − ∫ v ⋅ dp = R ⋅ T ⋅ ln 2   p3  2 3

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 152 _________________________________________________________________________

und entsprechend für die isotherme Verdichtung 4-1 wegen T1 = T4 1 p  q 41 = − wt , 41 = − ∫ v ⋅ dp = R ⋅ T0 ⋅ ln 4   p1  4

Für das Verhältnis von Druck und Temperatur idealer Gase bei reversiblen adiabaten Prozessen gilt

p 2  T2 = p1  T1

  

cv0 + R R

T =  2  T1

c 0p

R  

Für den Carnot-Prozeß gilt

p 2  T2  =  p1  T1 

c 0p R

T =   T0

c 0p

R  

und

p3  T3  =  p 4  T4 

c 0p R

T =   T0

c 0p

R  

daraus folgt

p 2 p3 = p1 p 4 bzw.

p 2 p1 = p3 p 4 Mit

p2 = p4 ⋅

p max p min

folgt

p max T p min =  p1  T0

p4 ⋅

c 0p

R  

bzw.

p 4 p min = p1 p max

T ⋅   T0

c 0p

 R 1  850 K   = ⋅   50  300 K  

kJ kg ⋅ K kJ 2.077 kg ⋅ K 5.193

= 0.2703

und

p 2 p1 1 = = = 3.7 p3 p 4 0.2703 Für die isotherme Entspannung 2-3 erhält man

p  kJ kJ q 23 = − wt , 23 = R ⋅ T ⋅ ln 2  = 2.077 ⋅ 850 K ⋅ ln (3.7 )= 2310 kg ⋅ K kg  p3 

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 153 _________________________________________________________________________

und für die isotherme Verdichtung 1-4

p  kJ kJ q 41 = − wt , 41 = R ⋅ T0 ⋅ ln 4  = 2.077 ⋅ 300 K ⋅ ln (0.2703)= − 815 kg ⋅ K kg  p1  Die abgegebene Nutzarbeit des reversiblen Carnot-Prozesses beträgt also

p  kJ kJ kJ − wt = − wt , 23 − wt , 41 = R ⋅ (T − T0 ) ⋅ ln 2  = 2310 − 815 = + 1495 kg kg kg  p3  Der thermische Wirkungsgrad, d.h. das Verhältnis von zugeführter Wärme zu abgegebener Nutzarbeit, beträgt

η th =

− wt T − T0 = = 0.647 q 23 T

Der thermische Wirkungsgrad des reversiblen Carnot-Prozesses hängt also lediglich von der Temperatur T0 bei der isothermen Verdichtung und der Temperatur T bei der isothermen Entspannung ab. Dem Vorteil des relativ hohen thermischen Wirkungsgrades stehen die Nachteile hinsichtlich der technischen Realisierung einer isothermen Verdichtung und einer isothermen Entspannung entgegen.

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 154 _________________________________________________________________________

11.4 Isentroper Wirkungsgrad adiabater Maschinen Der isentrope Wirkungsgrad bezeichnet das Verhältnis der bei isentroper (= verlustfreier) Zustandsänderung (theoretisch) geleisteten Arbeit zu der tatsächlich geleisteten Arbeit. Der isentrope Kompressionswirkungsgrad (Verdichter-Wirkungsgrad) ist somit definiert als

η is ,V =

(wt ,12 )is wt ,12

Der isentrope Expansionswirkungsgrad (Turbinen-Wirkungsgrad) ist definiert als

η is ,T =

wt ,12

(wt ,12 )is

Bei offenen, adiabat durchströmten Systemen läßt sich unter der Annahme konstanter mechanischer Energie, d.h. keine Änderung der kinetischen und potentiellen Energie, der 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse

(

)

1 q12 + wt ,12 = h2 − h1 + ⋅ c 22 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) ( &#%#$ 2 #%#$ & =0 =0 =0 kinetische Energie

adiabat

potentielle Energie

vereinfachen zu wt ,12 = h2 − h1 Eingesetzt ergibt dies für den isentropen Verdichter-Wirkungsgrad

η is ,V =

h2 ,is − h1 h2 − h1

⇒ η is ,V =

T2 ,is − T1 T2 − T1

(gilt nur für ideales Gas, d.h. cp = const.!)

und für den isentropen Turbinen-Wirkungsgrad

η is ,T =

h1 − h2 T − T2 (gilt nur für ideales Gas, d.h. cp = const.!) ⇒ η is ,T = 1 h1 − h2 ,is T1 − T2 ,is

In Abb. 11.19 sind für eine a) Kompression und eine b) Expansion sowohl die isentrope (verlustfreie) als auch die tatsächliche Zustandsänderung dargestellt. Dabei ist zu beachten, daß in beiden Fällen die Endpunkte '2' und '2is' jeweils auf der gleichen isobaren p2 liegen.

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 155 _________________________________________________________________________

Isobare

Isobare

Abb. 11.19: Isentrope und verlustbehaftete Zustandsänderung im h,s-Diagramm a) Kompression, b) Expansion

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 156 _________________________________________________________________________

11.5 Prozeßoptimierung 11.5.1 Wärmerückgewinnung Selbst bei einer hohen Effizienz der einzelnen Komponenten erfordern Gasturbinen ein hohes Verdichterdruckverhältnis um einen guten thermischen Wirkungsgrad zu erreichen, was zu einem entsprechend hohen Baugewicht aufgrund der Festigkeitsanforderungen führt. Eine Möglichkeit das erforderliche Verdichterdruckverhältnis zu verringern, besteht in der Aufheizung des komprimierten Gases vor dem Brennkammereintritt durch die heißen Turbinenabgase, deren Temperatur am Turbinenaustritt T4 in der Regel über der VerdichterAustrittstemperatur T2 liegt. Dadurch läßt sich die erforderliche Wärmemenge qzu = q23 , die in der Brennkammer dem Prozeß zugeführt wird auf qzu' = q2'3 entsprechend verringern, da die Temperatur durch die Vorheizung von T2 auf T2' erhöht wird.

qzu,BK

T

3

qzu,Vor 2'

T2' T2

2

p3 p4 4

1 s

Abb. 11.20:

Joule-Prozeß mit Wärmerückgewinnung

Der thermische Wirkungsgrad mit Vorheizung lautet nun

η th =

(T3 − T4 ) − (T2 − T1 ) (T3 − T2′ )

Der Grenzwert der Vorheizung wird erreicht, wenn die Temperatur T2' auf die Turbinenaustrittstemperatur T4 erhöht wird.

η th = 1 −

T2 − T1 T3 − T4

bzw. als Funktion des Verdichterdruckverhältnisses π =

T ⋅π η th = 1 − 1 T3

κ −1 κ

p2 p1

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 157 _________________________________________________________________________

In Abb. 11.21 ist der thermische Wirkungsgrad eines Joule-Prozesses mit und ohne Vorheizung über dem Verdichterdruckverhältnis aufgetragen. Es zeigt sich, daß die Vorheizung nur bis zu einem bestimmten Druckverhältnis einen Vorteil gegenüber dem einfachen Joule-Prozeß bringt. Dieses Druckverhältnis läßt sich leicht durch Gleichsetzen der thermischen Wirkungsgrade ermitteln: κ −1

1−

1 κ −1 κ

π# &#% $

Joule− Pr ozeß

κ

 T  2⋅(κ −1) T ⋅π κ = 1− 1 ⇒ π =  3  T3  T1  &# #%# # $ Joule− Pr ozeß mit Wärmerückgewinnung

Joule-Prozeß mit Wärmerückgewinnung

ηth

Joule-Prozeß ohne Wärmerückgewinnung

Verdichter-Druckverhältnis π

Abb. 11.21:

Einfluß der Wärmerückgewinnung auf den thermischen Wirkungsgrad

(Joule-Prozeß: κ=1.4, Wirkungsgrad des Wärmetauschers: 100%, T1 = 300 K, T3 = 1760 K) Es zeigt sich also, daß die Wärmerückgewinnung lediglich bei kleinen Druckverhältnissen eine Verbesserung des thermischen Wirkungsgrades bewirkt. Nachteilig wirkt sich auch die erhöhte Komplexität der Anlage durch die Integration des Wärmetauschers aus. Einsatzmöglichkeiten bieten sich jedoch trotzdem bei Fahrzeuggasturbinen mit geringen Verdichterdruckverhältnissen.

11.5.2 Zwischenkühlung Bei der Kompression von Gas steigt mit dem Druck auch die Temperatur. Aufgrund der zunehmenden Temperatur erhöht sich auch die für die Verdichtung erforderliche Arbeit. Wird hingegen die Verdichtung in mehreren Stufen durchgeführt und das Temperaturniveau zwischen den einzelnen Verdichterstufen wieder abgesenkt (Zwischenkühlung), so kann dadurch die Kompressionsarbeit reduziert werden. In erster Näherung läßt sich die Zwischenkühlung durch eine isobare Zustandsänderung beschreiben. In Abb. 11.22 ist für einen Joule-Prozeß der Einfluß der Zwischenkühlung im T,s-Diagramm dargestellt.

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 158 _________________________________________________________________________

T

Zwischenkühlung

s

Abb. 11.22:

Einfluß der Zwischenkühlung im T,s-Diagramm

Erfolgt die Verdichtung isentrop ohne Zwischenkühlung in einer einzigen Stufe so berechnet sich die erforderliche Verdichterarbeit mit dem Kompressionsverhältnis

π=

p2 p1

zu  κ −1  wV ,12 = c p ⋅ (T2 − T1 ) = c p ⋅ T1 ⋅  π κ − 1     Für die zweistufige Verdichtung (1-a) mit dem Kompressionsverhältnis π1 und (b-2) mit dem Kompressionsverhältnis π2 gilt: wV ,12 = wV ,1a + wV ,b 2 = c p ⋅ (Ta − T1 ) + c p ⋅ (T2 − Tb )  κ −1  = c p ⋅ T1 ⋅  π 1 κ − 1 + c p ⋅ Tb  

 κ −1  ⋅  π 2 κ − 1  

Der Grenzwert für die Zwischenkühlung ist dann erreicht, wenn die Temperatur Tb die Temperatur T1 erreicht hat. κ −1  κ −1  wV ,12 = c p ⋅ T1 ⋅ π 1 κ + π 2 κ − 2   

Aufgrund der als isentrop angenommenen Verdichtung gilt für die Stufenverdichtungsverhältnisse π =π1 ⋅ π 2 Für die Kompressionsarbeit gilt somit κ −1    κ −1  π  κ  wV ,12 = c p ⋅ T1 ⋅ π 1 κ +   − 2  π1     

Die Druckverhältnisse, bei denen die Verdichtungsarbeit minimal wird, ergeben sich aus der Extremtwertbedingung

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 159 _________________________________________________________________________

dwV ,12 dπ 1

=0

also  κ −1      κ  1 − κ  ⋅ π κ − 1  κ −1 −1 c p ⋅ T1 ⋅  ⋅ π 1 κ  − κ  κ −1  κ +1    κ  π 

   = 0 ⇒ π = π =π 1 2   

Die Arbeitsersparnis der zweistufigen Verdichtung mit Zwischenkühlung gegenüber der einstufigen Verdichtung ergibt sich zu   κ −1   ∆wV = c p ⋅ T1 ⋅ π  2⋅κ  − 1    

2

Der thermische Wirkungsgrad berechnet sich zu

η th = =

wT − wV q zu

c p ⋅ (T3 − T4 ) − c p ⋅ (T2 − Tb ) − c p ⋅ (Ta − T1 ) c p ⋅ (T3 − T2 )

1− =

1  κ −1    π κ 

  κ −1   2 ⋅ T1   2⋅κ   − ⋅ π −1  T3     κ −1   

 T 1 − 1 ⋅ π  2⋅κ T3

Für einen Joule-Prozeß mit κ=1.4, T1 = 300 K, T3 = 1760 K sind die thermischen Wirkungsgrade in Abhängigkeit von dem Verdichterdruckverhältnis in Abb. 11.23 dargestellt. Joule-Prozeß ohne Zwischenkühlung

ηth Joule-Prozeß mit Zwischenkühlung

Verdichter-Druckverhältnis π

Abb. 11.23:

Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenkühlung

Es zeigt sich, daß der Vorteil der Zwischenkühlung nicht in einem verbesserten thermischen Wirkungsgrad liegt, sondern, daß bei einer vorgegebenen Maschinengröße, sich höhere

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 160 _________________________________________________________________________

Leistungen erzielen lassen. Diese größere Leistungsdichte wird jedoch mit einem schlechteren thermischen Wirkungsgrad und einer höheren Komplexität der Anlage erkauft. Wird die Verdichtung in mehreren Verdichterstufen durchgeführt, so läßt sich das Prinzip der Zwischenkühlung zwischen jeder einzelnen Verdichterstufe einsetzen. In Abb. 11.24 ist das p,v- und T,s-Diagramm für einen mehrstufigen Verdichter skizziert. Kühlwasser Kühlwasser Zwischenkühler Zwischenkühler 1. Verdichterstufe

Abb. 11.24:

3. Verdichterstufe

2. Verdichterstufe

Mehrstufiger Verdichter mit Zwischenkühlung

11.5.3 Zwischenerhitzung Eine weitere Erhöhung der Leistungsdichte läßt sich bei Gasturbinen durch eine Zwischenerhitzung bei der Expansion erzielen. Dies ist entweder zwischen den einzelnen Turbinen (Verdichter-Turbine und Nutzturbine) möglich oder zwischen den einzelnen Turbinenstufen. Bei Flugtriebwerken kann hinter der Verdichter-Turbine und vor der Schubdüse noch zusätzlich Treibstoff verbrannt werden (Nachbrennerbetrieb). Die zusätzliche Leistung bewirkt jedoch einen stark erhöhten Treibstoffverbrauch und einen verringerten thermischen Wirkungsgrad. In Abb. 11.25 ist für einen Joule-Prozeß der Einfluß der Zwischenerhitzung in einem T,sDiagramm dargestellt.

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 161 _________________________________________________________________________ Zwischenerhitzung T

s

Abb. 11.25:

Einfluß der Zwischenerhitzung im T,s-Diagramm

Die Berechnung der durch Zwischenerhitzung möglichen Leistungssteigerung erfolgt in analoger Weise zu der Vorgehensweise bei der Zwischenkühlung. Unter der Annahme einer einstufigen isentropen Entspannung (3-4) berechnet sich die von der Turbine abgegebene Arbeit zu    1  wT ,34 = c p ⋅ (T3 − T4 ) = c p ⋅ T3 ⋅ 1 −   κ −1      π κ  Für den Fall einer zweistufigen Entspannung (3-d) und (e-4) gilt:   1   wT ,34 = c p ⋅ (T3 − Td ) + c p ⋅ (Te − T4 )= c p ⋅ T3 ⋅ 1 − + c p ⋅ Te  κ −1      π 1 κ  

  1   ⋅ 1 −  κ −1    π 2  κ  

Für den Grenzwert Te = T3 ergibt sich für die Arbeit:   1 1   − wT ,34 = c p ⋅ T3 ⋅ 2 −  κ −1   κ −1      π 1 κ  π 2  κ   Die optimalen Druckverhältnisse bei der Entspannung ergeben sich wieder aus der Extremwertbedingung  κ −1    κ − 1  κ −1   κ −1 ⋅π dwT ,34   κ = c p ⋅ T3 ⋅  − κ =0  κ −1   κ −1  dπ 1 1 +       π 1 κ  π κ      zu π1 =π 2 = π Die infolge der Zwischenerhitzung zusätzlich bei der Entspannung abgegebene Arbeit beträgt

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 162 _________________________________________________________________________

   1  ∆wT = c p ⋅ T3 ⋅ 1 −   κ −1      π  2⋅κ  

2

Die bei der Zwischenerhitzung zusätzlich zuzuführende Wärmeenenergie stellt einen nicht zu vernachlässigenden Aufwand und somit auch Kostenfaktor dar.

∆q zu

   1  = q de = c p ⋅ (Te − Td ) = c p ⋅ T3 ⋅ 1 −   κ −1      π  2⋅κ  

Da das Verhältnis von zusätzlich geleisteter Arbeit zu zusätzlich zuzuführender Wärmeenergie

∆wT =1 − ∆q zu

1  κ −1    π  2⋅κ 

kleiner als eins ist, verringert sich der thermische Wirkungsgrad gegenüber dem Kreisprozeß ohne Zwischenerhitzung. Für den thermischen Wirkungsgrad mit Zwischenerhitzung gilt in diesem Fall:

η th =

wT − wV c p ⋅ (T3 − Td ) + c p ⋅ (Te − T4 ) − c p ⋅ (T2 − T1 ) = q zu c p ⋅ (T3 − T2 ) + c p ⋅ (Te − Td ) 2−

=

2  κ −1    π  2⋅κ 

  κ −1   T1   κ   − ⋅ π −1  T3   

  κ −1   T1   κ   1 2− ⋅ π −1 − −1  κ    T3    2⋅κ    π

In Abb. 11.26 ist der thermische Wirkungsgrad für einen Joule-Prozeß mit und ohne Zwischenerhitzung und -kühlung dargestellt (κ=1.4, T1 = 300 K, T3 = 1760 K).

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 163 _________________________________________________________________________

Joule-Prozeß

ηth Joule -Prozeß mit Zwischenerhitzung Joule-Prozeß mit Zwischenkühlung

Verdichter-Druckverhältnis π

Abb. 11.26:

Thermischer Wirkungsgrad bei Zwischenerhitzung

In diesem Fall verschlechtert sich der thermische Wirkungsgrad noch stärker als bei der Leistungssteigerung infolge Zwischenkühlung. Ebenso wie die Zwischenkühlung läßt sich auch die Zwischenerhitzung durch die Verwendung von zusätzlichen Brennern auch bei mehrstufigen Turbinen zwischen den einzelnen Turbinenstufen einsetzen. Brennstoff Brennstoff 1. TurbinenStufe

Brenner 3. TurbinenStufe

Brenner 2. TurbinenStufe

Abb. 11.27:

Mehrstufige Turbine mit Zwischenerhitzung

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 164 _________________________________________________________________________

11.5.4 Kombinierte Zwischenkühlung und Zwischenerhitzung Zwischenkühlung und Zwischenerhitzung lassen sich selbstverständlich auch kombinieren, wobei die Komplexität der Anlage entsprechend zunimmt. Zwischenerhitzung T

Zwischenkühlung

s

Abb. 11.28:

Kombinierte Zwischenkühlung und -erhitzung im T,s-Diagramm

Für den Fall einer Anlage mit einem zweistufigen Verdichter und einer zweistufigen Turbine ergibt sich für die Nutzarbeit w N = c p ⋅ [(T3 − Td ) + (Te − T4 ) − (T2 − Tb ) − (Ta − T1 )] und für die zugeführte Wärme q zu = c p ⋅ [(T3 − T2 ) + (Te − Td )] Der thermische Wirkungsgrad ergibt sich zu

2−

η th =

wT − wV = q zu

2  κ −1    π  2⋅κ 

 κ −1      T1  2⋅κ   − ⋅ 2 ⋅π − 2  T3   

  κ −1   T1   2⋅κ   1 2− ⋅ π −1 −  κ −1   T3      π  2⋅κ 

Für einen Joule-Prozeß (κ=1.4, T1 = 300 K, T3 = 1760 K) mit Zwischenühlung, -erhitzung und kombinierter Zwischenkühlung und -erhitzung ist in Abb. 11.29 der Wirkungsgrad über dem Druckverhältnis dargestellt.

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 165 _________________________________________________________________________

Joule-Prozeß Joule-Prozeß mit Zwischenkühlung Joule-Prozeß mit Zwischenerhitzung Joule-Prozeß mit kombinierter Zwischenkühlung und -erhitzung

ηth

Verdichter-Druckverhältnis π

Abb. 11.29:

Thermischer Wirkungsgrad bei kombinierter Zwischenkühlung und -erhitzung

11.5.5 Abgasturbolader Abgasturbolader werden zur Leistungssteigerung von Kolbenmotoren eingesetzt. Das in Abb. 11.30 skizzierte Schaltbild entspricht dem eines Einwellentriebwerks bei dem die Brennkammer durch einen Kolbenmotor ersetzt wurde. Die Nutzleistung wird hier ausschließlich von dem Kolbenmotor erbracht, während die Leistung der Abgasturbine lediglich zum Antrieb des Verdichters dient. Durch den vorgeschalteten Verdichter wird das Druckniveau im Kolbenmotor erhöht. Dieses höhere Druckniveau bewirkt, daß pro Arbeitszyklus eine größere Luftmasse und somit auch eine größere Energiezufuhr infolge der erhöhten Brennstoffmenge im Motor durchgesetzt werden kann. Die Leistungssteigerung wird jedoch mit einer erhöhten spezifischen Belastung des Kolbenmotors erkauft, da infolge des höheren Druckniveaus auch die Druck- und Temperaturspitzen im Zylinder ansteigen. Neben der mechanischen Festigkeitsgrenze bildet bei Otto-Motoren die Klopffestigkeit des verwendeten Treibstoffs die Obergrenze der Aufladung.

Abb. 11.30:

Schaltbild eines Abgasturboladers

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 166 _________________________________________________________________________

In Abb. 11.31 ist der Arbeitsprozeß eines Kolbenmotors mit Abgaslader dargestellt. Der Prozeß des Kolbenmotors wurde durch einen Seiliger-Prozeß (vgl. 11.1.3) angenähert. Im Punkt c wird das Auslaßventil geöffnet und das Abgas strömt in eine Beruhigungskammer mit dem Druck pIII (vor der Turbine) um Druckspitzen in der Strömung abzubauen. Bis zum Turbineneintritt III kann in erster Näherung eine isotherme Drosselung angenommen werden. In der Turbine expandiert das Abgas (III-IV) bis auf den Umgebungsdruck p0 und gibt dabei die spezifische Arbeit wT ab. Im Verdichter wird Verbrennungsluft mit dem Zustand I (=Umgebungsbedingungen) angesaugt und auf den Druck pII verdichtet (I-II). Dazu ist die spezifische Arbeit wV erforderlich, die von der Abgasturbine zur Verfügung gestellt wird. Zusätzlich sind von der Turbine auch die mechanischen Verluste des Verdichters aufzubringen

Abb. 11.31:

p,v- und T,s-Diagramm eines Kolbenmorors mit Abgasturbolader

Mit dem mechanischen Wirkungsgrad ηmech gilt für das Leistungsgleichgewicht zwischen Abgasturbine und Verdichter: PV = η mech ⋅ PT bzw. m! V ⋅ wV = η mech ⋅ m! T ⋅ wT Mit dem isentropen Verdichter- und Turbinenwirkungsgrad ηV,is und ηT,is wird daraus

Technische Thermodynamik Kreisprozesse thermischer Maschinen 167 _________________________________________________________________________

m! V ⋅ wV ,is ⋅

1

ηV ,is

= η mech ⋅ m! T ⋅ wT ,is ⋅ ηT ,is

Für die isentrope Verdichterarbeit wV,is gilt (Index L: Luft)

wV ,is

κ L −1     κL  p II κ L   = ⋅ R L ⋅ TI ⋅  − 1 p κ L −1  I    

und für die isentrope Turbinenarbeit wT,is gilt (Index G: Abgas)

wT ,is

 κG  p = ⋅ RG ⋅ TIII ⋅ 1 −  IV p κ G −1   III 

  

κ G −1  κG 

  

Für das Leistungsgleichgewicht zwischen Abgasturbine und Verdichter läßt sich somit auch schreiben κ L −1    p II  κ L   − 1 κ L ⋅ (κ G − 1) ⋅ R L ⋅  p  I   m! T TIII   ⋅ = η mech ⋅ ηV ,is ⋅ ηT ,is ⋅ κ G −1  m! V TI    p  κG  κ G ⋅ (κ L − 1) ⋅ RG ⋅ 1 −  IV   p   III     wobei in erster Näherung m! V ≈ m! T gilt.

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 168 _________________________________________________________________________

12 Kälteanlagen 12.1 Allgemeiner Kältemaschinenprozeß Eine weit verbreitete Aufgabe von Kältemaschinen besteht in der Aufrechterhaltung einer Temperaturdifferenz auf einem konstanten Temperaturniveau zwischen einem zu kühlenden Raum und der Umgebung von der wieder infolge unvollständiger thermischer Isolierung Wärme in diesen Raum zurückströmt. Eine weitere Aufgabe besteht in der Abkühlung eines Stoffes von einem höheren zu einem niedrigeren Temperaturniveau, z.B. bei der Luftverflüssigung. Die dem zu kühlenden Stoff bzw. Raum entzogene Wärme muß bei einer höheren Temperatur an die Umgebung abgegeben werden. Die prinzipiellen Zusammenhänge sollen anhand eines linksdrehenden Carnot-Prozesses, der zwischen der höheren Umgebungstemperatur T und der niedrigeren Kühlraumtemperatur T0 betrieben wird, betrachtet werden (Abb. 12.1). Die Maschine wird mit einem Kältemittel betrieben, dem bei der tieferen Temperatur T0 die Wärme Q0 zugeführt wird und welches die Wärme Q wieder an die Umgebung mit der Temperatur T abgibt. Dazu muß in diesem Beispiel die Arbeit W = Q − Q0

aufgebracht werden.

W

Abb. 12.1:

Allgemeiner Kältemaschinenprozeß (Carnot)

Entropieänderungen Durch den Wärmeentzug Q0 bei der Temperatur T0 verringert sich die Entropie im Kühlraum um den Betrag Q ∆S 0 = 0 T0 Diese Wärme Q0 muß an die Umgebung mit der Temperatur T abgeführt werden. Dadurch vergrößert sich die Entropie der Umgebung um den Betrag

∆S u =

Q0 T

Da die Umgebungstemperatur T über der Kühlraumtemperatur T0 liegt gilt

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 169 _________________________________________________________________________

∆S 0 =

Q0 Q > ∆S u = 0 T0 T

und somit für die gesamte Entropieänderung

∆S = (∆S u − ∆S 0 ) < 0 d.h. die Entropie würde insgesamt abnehmen (Abb. 12.2).

Abb. 12.2:

Entropieveränderung bei Kühlung

Dies ist gemäß dem 2. Hauptsatz nicht möglich, da die Wärme nicht von selbst von einem niedrigeren Niveau auf ein höheres Niveau übergehen kann. Die technische Realisierung einer Kältemaschine erfordert demnach noch einen Zwischenprozeß, der die Entropieverminderung ∆S kompensiert. Entropieerhöhung läßt sich entweder durch beliebige reibungsbehaftete Prozesse erzeugen oder aber durch einen geeigneten Zusatzprozeß, der neben der Kälteleistung Q0 noch die zusätzliche Wärme ∆Q an die Umgebung abgibt. Zeichnet man die Entropieverhältnisse aus Abb. 12.2 übereinander, so ergibt sich die erforderliche zusätzliche Wärme ∆Q aus der Fläche 45ad (Abb. 12.3). Es muß also gelten:

∆Q + ∆S ≥ 0 T

Abb. 12.3:

Kompensationswärme ∆Q bei Kälteleistung Q0

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 170 _________________________________________________________________________ Prinzipiell ist die Art der Erzeugung der zusätzlichen Wärme ∆Q frei wählbar, technisch relevant sind jedoch in Kältetechnik folgende Prozesse: -

Prozesse, bei denen mechanische Arbeit in Wärme umgesetzt wird (Kompressionskälteanlagen) Prozesse, bei denen Heizwärme als Kompensationsprozeß eingesetzt wird (Absorptionsverfahren) Thermoelektrische Prozesse, bei denen durch elektrische Energie Wärme von der kalten Lötstelle zur warmen transportiert wird (Peltier-Effekt)

Arbeitsaufwand Aus dem T,s-Diagramm (Abb. 12.3) ergibt sich sofort die für die Erzeugung der Zusatzwärme ∆Q = T ⋅ ∆S erforderliche Arbeit W. Diese Zusatzwärme soll aus dem linksdrehenden Kreisprozeß stammen, der neben der Zusatzwärme ∆Q auch die Kälteleistung Q0 mittels eines Kältemittels an die Umgebung abführt. Da das Kältemittel sich am Ende des Kreisprozesses wieder in seinem Ursprungszustand befindet beträgt die Änderung seiner inneren Energie U2 - U1=0 . Gemäß dem ersten Hauptsatz muß dann die dem Kältemittel zusätzlich entzogene Wärme ∆Q gleich der aufgewendeten Arbeit W sein, also W = ∆Q = T ⋅ ∆S Unabhängig von der Art des gewählten Kälteprozesses muß zum Anheben der Wärme Q0 von dem Temperaturniveau T0 auf das Temperaturniveau T mindestens die Arbeit W = ∆Q = T ⋅ ∆S aufgewendet werden. Im T,s-Diagramm (Abb. 12.3) entspricht dies der Fläche 45ad oder auch der Fläche 3512.

Grundregel der Kältetechnik Aus Abb. 12.1 ist ersichtlich, daß für die gleiche Kälteleistung Q0 um so mehr Arbeit W aufgewendet werden muß, je größer der zu überbrückende Temperaturunterschied ∆T=T-T0 ist. Dadurch ergibt sich die Forderung, nie tiefer zu kühlen als unbedingt erforderlich und die Umgebungstemperatur nur so wenig wie möglich zu überschreiten. Als Maß der für den Kühlprozeß aufgewendeten Arbeit wird die Leistungsziffer ε definiert als das Verhältnis der abgeführten Wärme Q0 bezogen auf die aufgewendete Arbeit W.

ε=

Q0 W

Für den Carnot-Prozeß ergibt sich für die Leistungsziffer

ε=

Q0 T0 = W T − T0

12.2 Dampf-Kompressions-Kälteanlage

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 171 _________________________________________________________________________

Der idealisierte Dampf-Kompressons-Kühlkreislauf (1-2-3-4-1 in Abb. 12.4) entspricht dem Clausius-Rankine-Kreisprozeß (Dampfturbinenprozeß), wobei lediglich die Durchlaufrichtung verändert wurde. Gesättigter Dampf wird mit niedrigem Druck p1 dem Kompressor zugeführt und adiabat-reversibel auf den Druck p2 verdichtet (1-2). Im Kondensator wird die Wärme QH isobar abgeführt (2-3) und das Arbeitsmedium verläßt in der flüssigen Phase den Kondensator (3). Durch eine adiabate Drosselung (Druckminderung ohne Arbeitsabgabe) entspannt das Arbeitsmedium von dem Druck p2 wieder auf den Druck p1. In dem Verdampfer wird das Arbeitsmedium isobar bei dem Druck p1 verdampft und nimmt dabei die Wärmemenge QL auf. Zusätzlich zu dem idealisierten Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf (1-2-3-4-1) ist in Abb. 12.4 auch zum Vergleich der Carnot-Prozeß (1'-2'-3-4'-1') eingezeichnet. Die technische Umsetzung des günstigeren Carnot-Prozesses scheitert jedoch an dem Problem, daß in diesem Fall bei der Kompression von p1' auf p2' ein Zweiphasengemisch bei konstantem Dampfgehalt x komprimiert werden müßte. Die Kompression eines vollständig verdampften Stoffes gestaltet sich technisch wesentlich einfacher. Ebenso ist die irreversible Druckminderung durch ein Drosselventil leichter zu realisieren, als eine Expansion, bei der ein Stoff von der flüssigen Phase in ein Zweiphasengemisch isentrop entspannt wird.

Kondensator

Kompressor Wc

Drosselventil Verdampfer

Abb. 12.4:

Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 172 _________________________________________________________________________

Ü 12.1 Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf Nachrechnung des in Abb. 12.4 skizzierten idealisierten Kühlkreislaufs geg.: Kühlmittel Dichlordifluormethan (Freon-12) Temperatur des Kühlmittels im Verdampfer: Temperatur des Kühlmittels im Kondensator: Massenstrom:

Stoffwerte für Freon-12 im Naßdampfgebiet: Ts [°C] ps [MPa] v' [m³/kg] v'' [m³/kg] -20 +40

0.1509 0.9607

0.000685 0.000798

0.108847 0.018171

Stoffwerte für Freon-12 im überhitzten Zustand: T [°C] p [MPa] v [m³/kg] h [kJ/kg] +50 0.9 MPa 0.020912 211.765 +60 0.9 MPa 0.022012 219.212 +50 1.0 MPa 0.018366 210.162 +60 1.0 MPa 0.019410 217.810

T1 = -20°C T3 = +40°C m! = 0.03 kg/s

h' [kJ/kg]

h'' [kJ/kg]

17.8 74.527

178.61 203.051

s' [kJ/kg⋅⋅K] 0.073 0.2716

s [kJ/kg⋅⋅K] 0.7131 0.7358 0.7021 0.7254

ges: Kühlleistung QL und Leistungsziffer ε

1-2

Kompressor: Isentrope Verdichtung von p1 auf p2 p2 = p3 = p(Ts =+40°C) = 0.9607 MPa h1 = h''1 = h''(Ts =-20°C) = 178.61 kJ/kg s2 = s1 = s(Ts =-20°C) = 0.7082 kJ/kg⋅K

Bestimmung von T2 durch zweifache lineare Interpolation: Schritt 1: Berechnung von h und s für p=0.9607 MPa bei T= +50°C und T=+60°C Schritt 2: Berechnung von T und h für s = s2 = 0.7082 kJ/kg⋅K T2 = 50.8°C h2 = 211.38 kJ/kg w Kompressor = h2 − h1 = 211.38 − 178.61 = 32.77

kJ kg

s'' [kJ/kg⋅⋅K] 0.7082 0.682

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 173 _________________________________________________________________________

3-4: Drosselventil. Isenthalpe Druckminderung h4 = h3 = h3'(T3 =+40°C, p3 = p2 = 0.9607 MPa) = 74.527 kJ/kg 4-1: Isobare Verdampfung q L = h1 − h4 = 178.61

kJ kJ kJ − 74.53 = 104.08 kg kg kg

Leistungsziffer ε

ε=

abgeführte Wärme q L 104.08 = = = 3.18 Kompressor arbeit wc 32.77

Maximale Kühlleistung QL Q L = q L ⋅ m! = 104.08

kg kJ ⋅ 0.03 = 3.12kW kg s

_________________________________________________________________________

In der Realität (Abb. 12.5) weicht der Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf aufgrund von Druckverlusten und interner Wärmeübertragung etwas von dem in Abb. 12.4 skizzierten idealisierten Prozeß ab. Der Dampf könnte sich beim Eintritt in den Kompressor (1) bereits im überhitzen Zustand befinden. Die Annahme der isentropen Verdichtung läßt sich in der Realität nicht verwirklichen, d.h. die Entropie wird in Abhängigkeit von der übertragenen Wärme von bzw. an das Kältemittel zunehmen (2' = Wärmezufuhr) oder abnehmen (2 = Wärmeabfuhr). Weiterhin ist es schwierig eine isobare Kondensation zu realisieren. In der Regel wird der Druck nach der Kondensation geringer sein als im überhitzten Zustand und die Temperatur etwas unter der Sättigungstemperatur (4) liegen und kann anschließend in der Leitung zum Drosselventil noch etwas absinken (5). Im Verdampfer kommt es ebenfalls zu einem Druckverlust und die Temperatur kann in der Leitung zum Kompressor wieder etwas ansteigen.

Kondensator Verdampfer

Abb. 12.5:

Realer Dampf-Kompressions-Kühlkreislauf

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 174 _________________________________________________________________________

12.3 Absorptionsverfahren Der in Abb. 12.6 skizzierte Ammoniak-Absorptionskühlkreislauf unterscheidet sich von dem Dampf-Kompressionskühlkrieslauf im wesentlichen durch die Art mit der die Verdichtung des Kältemittels erreicht wird. In dem Absorptionskreislauf wird Ammoniakdampf bei niedrigem Druck in Wasser absorbiert und der Druck der Lösung durch eine Pumpe erhöht.

Hochdruck Ammoniak Dampf QH (zur Umgebung) Kondensator QH (starke Wärmequelle)

Generator schwache Ammoniaklösung Wärmetauscher

flüssiges Ammoniak Drosselventil

Niederdruck Ammoniak starke Ammoniaklösung

Absorber

Verdampfer

QL' (zur Umgebung)

Pumpe W

Abb. 12.6:

QL (Kühlraum)

Ammoniak Absorptionskühlkreislauf

Der Niederdruck-Ammoniakdampf aus dem Verdampfer wird im Absorber in der schwachen Ammoniaklösung absorbiert. Dieser Prozeß läuft bei einer Temperatur ab, die etwas über der Umgebungstemperatur liegt und die Wärme QL an die Umgebung abgeführt werden muß. Die starke Ammoniaklösung wird durch einen Wärmetauscher zum Generator gepumpt, wodurch eine Temperatur- und Druckerhöhung erreicht wird. Infolge der Wärmezufuhr QH' im Generator durch eine externe Wärmequelle verdampft Ammoniak aus der Lösung. Dieser Hochdruck-Ammoniakdampf strömt zum Kondensator, wo er analog zum Dampf-Kompressionskreislauf, wieder verflüssigt wird und weiter durch das Drosselventil zum Verdampfer expandiert. Im Verdampfer wird aus dem Kühlraum die Wärme QL aufgenommen und der Niederdruck-Ammoniakdampf wird, zusammen mit der im Generator zurückbleibenden schwachen Ammoniaklösung wieder dem Absorber zugeführt. Der entscheidende Unterschied zum Dampf-Kompressionskreislauf besteht darin, daß sich das Kühlmittel bei der Verdichtung nicht in der dampfförmigen, sondern in der flüssigen Phase befindet. Durch das geringere spezifische Volumen (= höhere Dichte) der Flüssigkeit ist für die Druckerhöhung wesentlich weniger Arbeit aufzuwenden als bei der Kompression von Dampf: W Pumpe = v ⋅ dp

∫

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 175 _________________________________________________________________________

Andererseits muß eine externe Wärmequelle mit relativ hoher Temperatur (T = 100-200°C) zur Verfügung stehen. Der konstruktive Aufwand von Absorptionssystemen ist deutlich höher als bei Dampf-Kompressions-Systemen. Der Aufwand ist jedoch dann gerechtfertigt, wenn günstige externe Wärmequellen zur Verfügung stehen, z.B. geothermische oder solare Wärmequellen. Ein weiterer Vorteil des Absorptionssystems besteht in der relativ geringen Geräuschentwicklung.

12.4 Luftverflüssigung (Lindeverfahren) Die Besonderheit des Verfahrens nach C. Linde zur Luftverflüssigung besteht in der Realisierung der Drosselung in Form eines Gegenströmers, wodurch erst die technische Anwendung in großem Maßstab unter wirtschaftlichen Bedingungen möglich wurde. Der prinzipielle Aufbau einer Luftverflüssigungsanlage ist in Abb. 12.7 skizziert.

Abb. 12.7:

Luftverflüssigungsanlage nach Linde

Der gekühlte Kompressor saugt die Luft unter Umgebungsbedingungen (1) an und verdichtet sie isotherm, d.h. T1 = T2 , vom Umgebungsdruck p1 (1 bar) auf p2 (50-200 bar). Die komprimierte Luft tritt mit dem Zustand (2) in den Gegenströmer ein und gelangt zum Drosselventil. Zur Verdeutlichung des Anlagenbetriebs ist das Verfahren im T,s-Diagramm in Abb. 12.8 dargestellt. Beim Anfahren der Anlage (d.h. Anlage ist noch warm) wird die Druckluft im Drosselventil vom Zustand (2) auf den Zustand (a) gedrosselt. Die Temperatur Ta liegt nur geringfügig unter der Umgebungstemperatur T. Die gesamte Luft wird durch den Gegenstromapparat zurückgeführt, wobei die neu ankommende Druckluft vom Zustand (2) auf (2') abgekühlt wird. Durch Drosselung der vorgekühlten Druckluft erreicht man bereits eine tiefere Temperatur Ta' . Diese entspannt Luft kühlt die neu ankommende Luft auf den Zustand (2''), wodurch sich nach der Drosselung die noch tiefere Temperatur Ta'' einstellt. Mit zunehmender Betriebsdauer wird somit hinter dem Drosselventil eine immer tiefere Temperatur erreicht. Nach einer gewissen Zeit stellt sich vor dem Drosselventil der Zustand

Technische Thermodynamik Kälteanlagen 176 _________________________________________________________________________

(3) und hinter dem Drosselventil der Zustand (4) ein. Da der Zustandspunkt (4) jedoch im Zweiphasengebiet, d.h. im Sättigungsgebiet liegt, zerfällt die Luft in trocken gesättigten Dampf (4'') und in siedende flüssige Luft (4'). Diese verflüssigte Luft kann an dem Entnahmehahn aus der Anlage entnommen werden.

Abb. 12.8:

T,s-Diagramm des Linde-Verfahrens

In erster Näherung hat die siedende Flüssigkeit die gleiche Zusammensetzung wie das Gas im Ausgangszustand unter Umgebungsbedingungen. Bei genauerer Betrachtung zeigt sich jedoch, daß die siedende Luft einen etwas höheren Sauerstoffanteil und der gesättigte Dampf einen etwas geringeren Sauerstoffanteil als Luft unter Umgebungsbedingungen aufweist. Aus diesem Umstand läßt sich z.B. die Zerlegung von Luft in seine Bestandteile, d.h. die Gewinnung von Stickstoff, Sauerstoff und Edelgasen erreichen.

Technische Thermodynamik Literaturverzeichnis 177 _________________________________________________________________________

13 Literaturverzeichnis [1]

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Geller W.: Thermodynamik für Maschinenbauer, Springer-Verlag Berlin 2000

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Kuchling H.: Taschenbuch der Physik, VEB Fachbuchverlag Leipzig 1981

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Pippert H.: Antriebstechnik - Strömungsmaschinen für Fahrzeuge, Vogel-Verlag, Würzburg 1974

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Stephan K., Mayinger F.: Thermodynamik, Springer-Verlag Berlin 1990

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Weast R.C., Astle M.J.: Handbook of Chemistry and Physics, 60 Edition, CRC Press Inc., Boca Raton, Florida 1979

rd

th

Technische Thermodynamik Anhang 178 _________________________________________________________________________

14 Anhang Tab. 14.1:

Defintionen der SI-Basiseinheiten

Größe Länge

Einheit Meter

Masse Zeit

Kilogramm [kg] Sekunde [s]

Elektr. Stromstärke

Ampère

[A]

Temperatur

Kelvin

[K]

Lichtstärke

Candela

[cd]

Stoffmenge

Mol

[mol]

Tab. 14.2:

Zeichen [m]

Definition Länge, die das Licht im Vakuum in 1/299792458 Sekunden durchläuft Masse des internationalen Kilogramm-Prototyps 9192631770fache Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des 133 Grundzustandes von Atomen des Nuklids Cs entsprechenden Strahlung. Die Stärke eines zeitlich konstanten elektrischen Stroms, der durch zwei im Vakuum parallel, im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete, geralinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen pro 1 Meter Leiterlänge eine elektrodynamische Kraft von -7 2⋅10 N erzeugen würde. Der 273.16te Teil der Temperatur des Tripelpunktes von Wasser Die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung von 12 540⋅10 Hz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683 Watt pro Steradiant beträgt. Die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensovielen 12 Teilchen besteht, wie Atome in 0.012 kg des Nuklids C enthalten sind.

Physikalische Konstante

Boltzmann-Konstante Planck-Konstante Stefan-Boltzmann-Konstante Avogadro-Konstante Molare Gaskonstante Normdruck Normtemperatur Normvolumen Erdbeschleunigung

k h σ N R pN TN VN g

-23

1.38054⋅10 -34 6.6256⋅10 -8 5.6697⋅10 23 6.02252⋅10 8.3143 5 1.01325⋅10 273.15 22.4136 9.80665

J/K J⋅s 4 2 W/(K ⋅m ) 1/mol J/(mol⋅K) Pa K 3 m /kmol 2 m/s

Technische Thermodynamik Anhang 179 _________________________________________________________________________

Tab. 14.3:

Stoffdaten von Gasen bei 0°C

Gas

Helium Argon Wasserstoff Stickstoff Sauerstoff Luft Kohlenmonoxid Stickstoffmonoxid Chlorwasserstoff Wasser Kohlendioxid Distickstofftmonoxid Schwefeldioxid Ammoniak (R717) Azetylen Methan Methylchlorid Ethylen Ethan (R170) Ethylchlorid Propan (R290)

cp [kJ/kg⋅K] He Ar H2 N2 02 CO NO HCl H20 CO2 N20 S02 NH3 C2H2 CH4 CH3Cl C2H4 C2H6 C2H5Cl C2H8

5.2380 0.5203 14.2000 1.0390 0.9150 1.0040 1.0400 0.9983 0.7997 1.8580 0.8169 0.8507 0.6092 2.0560 1.5130 2.1560 0.7369 1.6120 1.7290 1.3400 1.6670

M [kg/mol] 4.003 39.950 2.016 28.010 32.000 28.950 28.010 30.010 36.460 18.020 44.010 44.010 64.060 17.030 26.040 16.040 50.490 28.050 30.070 64.510 44.100

R [kJ/kg⋅K ] 2.0770 0.2081 4.1250 0.2968 0.2598 0.2872 0.2968 0.2771 0.2280 0.4615 0.1889 0.1889 0.1298 0.4882 0.3193 0.5183 0.1647 0.2964 0.2765 0.1289 0.1896

κ [-] 1.660 1.660 1.409 1.400 1.397 1.400 1.400 1.384 1.400 1.330 1.301 1.285 1.271 1.312 1.268 1.317 1.288 1.225 1.200 1.106 1.128

Technische Thermodynamik Anhang 180 _________________________________________________________________________

Tab. 14.4: p [bar] 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 060 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22

Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel)

ϑ [°C] 6.983 17.513 24.1 28.98 32.9 36.18 41.53 45.83 60.09 69.12 75.88 81.35 85.96 89.95 93.51 96.71 99.63 102.32 104.81 107.13 109.32 111.4 113.3 116.9 120.2 123.3 126.1 128.7 131.2 133.5 135.8 137.9 139.9 141.8 143.6 147.9 151.8 158.8 165 170.4 175.4 179.9 184.1 188 191.6 195 198.3 201.4 204.3 207.1 209.8 212.4 217.2

spezifisches Volumen v' v'' [m³/kg] [m³/kg] 0.001000 129.2 0.001001 67.01 0.001003 45.67 0.001004 34.8 0.001005 28.19 0.001006 23.74 0.001008 18.1 0.001010 14.67 0.001017 7.65 0.001022 5.229 0.001027 3.993 0.001030 3.24 0.001033 2.732 0.001036 2.365 0.001039 2.087 0.001041 1.869 0.001043 1.694 0.001046 1.549 0.001048 1.428 0.001050 1.325 0.001051 1.236 0.001053 1.159 0.001055 1.091 0.001058 0.9772 0.001061 0.8854 0.001064 0.8098 0.001067 0.7465 0.001069 0.6925 0.001072 0.646 0.001074 0.6056 0.001076 0.57 0.001078 0.5385 0.001080 0.5103 0.001082 0.4851 0.001084 0.4622 0.001088 0.4138 0.001093 0.3747 0.001101 0.3155 0.001108 0.2727 0.001115 0.2403 0.001121 0.2148 0.001127 0.1943 0.001133 0.1774 0.001139 0.1632 0.001144 0.1511 0.001149 0.1407 0.001154 0.1317 0.001159 0.1237 0.001164 0.1166 0.001168 0.1103 9.001173 0.1047 0.001177 0.09954 0.001185 0.09065

spezifische Enthalpie spezifische Entropie h' h'' s' s'' [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 29.3 2514 0.106 8.977 73.5 2534 0.2607 8.725 101.0 2546 0.3544 8.579 121.4 2554 0.4225 8.476 137.8 2562 0.4763 8.396 151.5 2568 0.5209 8.331 173.9 2577 0.5925 8.230 191.8 2585 0.6493 8.151 251.5 2610 0.8321 7.909 289.3 2625 0.9441 7.770 317.7 2637 1.0261 7.671 340.6 2646 1.0912 7.595 359.9 2654 1.145 7.533 376.8 2660 1.192 7.480 391.7 2666 1.233 7.435 405.2 2671 1.270 7.395 417.5 2675 1.303 7.36 428.8 2680 1.333 7.328 439.4 2683 1.361 7.298 449.2 2687 1.387 7.272 458.4 2690 1.411 7.247 467.1 2693 1.434 7.223 475.4 2696 1.455 7.202 490.7 2702 1.494 7.162 504.7 2706 1.530 7.127 517.6 2711 1.563 7.095 529.6 2715 1.593 7.066 540.9 2718 1.621 7.039 551.4 2722 1.647 7.014 561.4 2725 1.672 6.991 570.9 2728 1.695 6.969 579.9 2730 1.717 6.949 588.5 2733 1.738 6.93 596.8 2735 1.757 6.912 604.7 2738 1.776 6.894 623.2 2743 1.82 6.855 640.1 2748 1.86 6.819 670.4 2756 1.931 6.759 697.1 2762 1.992 6.705 720.9 2768 2.046 6.659 742.6 2772 2.094 6.62 762.6 2776 2.138 6.583 781.1 2780 2.179 6.550 798.4 2783 2.216 6.519 814.7 2785 2.251 6.491 830.1 2788 2.284 6.465 844.7 2790 2.315 6.441 858.6 2792 2.344 6.418 871.8 2793 2.371 6.396 884.6 2795 2.398 6.375 896.8 2796 2.423 6.355 908.6 2797 2.447 6.337 931 2799 2.492 6.302

Technische Thermodynamik Anhang 181 _________________________________________________________________________

Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel) - Fortsetzung spezifisches Volumen spezifische Enthalpie spezifische Entropie p v' v'' h' h'' s' s'' ϑ [bar] [°C] [m³/kg] [m³/kg] [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 24 221.8 0.001193 0.0832 951.9 2800 2.534 6.269 26 226 0.001201 0.07686 971.7 2801 2.574 6.239 28 230.1 0.001209 0.07139 990.5 2802 2.611 6.21 30 233.8 0.001216 0.06663 1008.4 2802 2.646 6.184 32 237.5 0.001223 0.06244 1025.4 2802 2.679 6.159 34 240.9 0.001230 0.05873 1041.8 2802 2.71 6.134 36 244.2 0.001237 0.05541 1057.6 2802 2.74 6.112 38 247.3 0.001245 0.05244 1072.7 2801 2.769 6.09 40 250.3 0.001252 0.04975 1087.4 2800 2.797 6.069 42 253.2 0.001259 0.04731 1102 2799 2.823 6.048 44 256.1 0.001266 0.04508 1115 2798 2.849 6.029 46 258.8 0.001273 0.04304 1129 2797 2.874 6.01 48 261.4 0.001280 0.04116 1142 2796 2.897 5.991 50 263.9 0.001286 0.03943 1155 2794 2.921 5.974 55 269.9 0.001303 0.03563 1185 2790 2.976 5.931 60 275.6 0.001319 0.03244 1214 2785 3.027 5.891 65 280.8 0.001335 0.02972 1241 2780 3.076 5.853 70 285.8 0.001351 0.02737 1267 2774 3.122 5.816 75 290.5 0.001368 0.02533 1293 2767 3.166 5.781 80 295 0.001384 0.02353 1317 2760 3.208 5.747 85 299.2 0.001401 0.02193 1341 2753 3.248 5.714 90 303.3 0.001418 0.0205 1364 2745 3.287 5.682 95 307.2 0.001436 0.01921 1386 2736 3.324 5.651 100 311 0.001453 0.01804 1408 2728 3.361 5.62 110 318.1 0.001489 0.01601 1451 2709 3.43 5.56 120 324.7 0.001527 0.01428 1492 2689 3.497 5.5 130 330.8 0.001567 0.0128 1532 2667 3.562 5.441 140 336.6 0.001611 0.0115 1572 2642 3.624 5.38 150 342.1 0.001658 0.01034 1611 2615 3.686 5.318 160 347.3 0.001710 0.009308 1651 2585 3.747 5.253 180 357 0.001840 0.007498 1735 2514 3.877 5.113 200 365.7 0.002037 0.005877 1827 2418 4.015 4.941 220 373.7 0.002671 0.003728 2011 2196 4.295 4.58 221.2 374.2 0.00317 0.00317 2107 2107 4.443 4.443

Technische Thermodynamik Anhang 182 _________________________________________________________________________

Tab. 14.5:

ϑ [°C] 0.0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260

Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) p [bar] 0.006108 0.008718 0.01227 0.01704 0.02337 0.03166 0.04241 0.05622 0.07375 0.09582 0.1234 0.1574 0.1992 0.2501 0.3116 0.3855 0.4736 0.578 0.7011 0.8453 1.0133 1.208 1.433 1.691 1.985 2.321 2.701 3.131 3.614 4.155 4.76 5.433 6.181 7.008 7.92 8.924 10.027 11.23 12.55 13.99 15.55 17.24 19.08 21.06 23.2 25.5 27.98 30.63 33.48 36.52 39.78 43.25 46.94

spezifisches Volumen v' v'' [dm³/kg] [m³/kg] 1.0002 206.3 1.0000 147.2 1.0003 106.4 1.0008 77.98 1.0017 57.84 1.0029 43.4 1.0043 32.93 1.006 25.24 1.0078 19.55 1.0099 15.28 1.0121 12.05 1.0145 9.579 1.0171 7.679 1.0199 6.202 1.0228 5.046 1.0259 4.134 1.0292 3.409 1.0326 2.829 1.0361 2.361 1.0399 1.982 1.0437 1.673 1.0477 1.419 1.0519 1.21 1.0562 1.036 1.0606 0.8915 1.0652 0.7702 1.0700 0.6681 1.075o 0.5818 1.0801 0.5085 1.0853 0.446 1.0908 0.3924 1.0964 0.3464 1.1022 0.3068 1.1082 0.2724 1.1145 0.2426 1.1209 0.2165 1.1275 0.1938 1.1344 0.1739 1.1415 0.1563 1.1489 0.1408 1.1565 0.1272 1.1644 0.115 1.1726 0.1042 1.1811 0.09463 1.1900 0.08604 1.1992 0.07835 1.2087 0.07145 1.2187 0.06525 1.2291 0.05965 1.2399 0.05461 1.2513 0.05004 1.2632 0.0459 1.2756 0.04213

spezifische Enthalpie spezifische Entropie h' h'' s' s'' [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] -0.04 2502 -0.0002 9.158 21.01 2511 0.0762 9.027 41.99 2520 0.151 8.902 62.94 2529 0.2243 8.783 83.86 2538 0.2963 8.668 104.77 2547 0.367 8.559 125.7 2556 0.4365 8.455 146.6 2565 0.5049 8.354 167.5 2574 0.5721 8.258 188.4 2583 0.6383 8.166 209.3 2592 0.7035 8.078 230.2 2601 0.7677 7.993 251.1 2610 0.831 7.911 272.0 2618 0.8933 7.832 293.0 2627 0.9548 7.757 313.9 2635 1.0154 7.684 334.9 2644 1.0753 7.613 355.9 2652 1.134 7.545 376.9 2660 1.193 7.48 398.0 2668 1.25 7.417 419.1 2676 1.307 7.355 440.2 2684 1.363 7.296 461.3 2691 1.419 7.239 482.5 2699 1.473 7.183 503.7 2706 1.528 7.129 525.0 2713 1.581 7.077 546.3 2720 1.634 7.026 567.7 2727 1.687 6.977 589.1 2733 1.739 6.928 610.6 2739 1.791 6.882 632.2 2745 1.842 6.836 653.8 2751 1.892 6.791 675.5 2757 1.943 6.748 697.3 2762 1.992 6.705 719.1 2767 2.042 6.663 741.1 2772 2.091 6.622 763.1 2776 2.139 6.582 785.3 2780 2.188 6.542 807.5 2784 2.236 6.504 829.9 2788 2.283 6.465 852.4 2791 2.331 6.428 875.0 2794 2.378 6.391 897.7 2796 2.425 6.354 920.6 2798 2.471 6.318 943.7 2800 2.518 6.282 966.9 2801 2.564 6.246 990.3 2802 2.610 6.211 1013.8 2802 2.656 6.176 1037.6 2802 2.702 6.141 1061.6 2802 2.748 6.106 1085 2800 2.794 6.071 1110 2799 2.839 6.036 1135 2796 2.885 6.001

Technische Thermodynamik Anhang 183 _________________________________________________________________________

Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) Fortsetzung spezifisches Volumen spezifische Enthalpie p v' v'' h' h'' ϑ [°C] [bar] [dm³/kg] [m³/kg] [kJ/kg] [kJ/kg] 265 50.88 1.2887 0.03871 1160 2794 270 55.06 1.3025 0.03559 1185 2790 275 59.5 1.3170 0.03274 1211 2786 280 64.2 1.3324 0.03013 1237 2780 285 69.19 1.3487 0.02773 1263 2775 290 74.46 1.3659 0.02554 1290 2768 295 80.04 1.3844 0.02351 1317 2760 300 85.93 1.4041 0.02165 1345 2751 305 92.14 1.4252 0.01993 1373 2741 310 98.7 1.4480 0.01833 1402 2730 315 105.61 1.4726 0.01686 1432 2718 320 112.9 1.4995 0.01548 1463 2704 325 120.6 1.5289 0.01419 11494 2688 330 128.6 1.5615 0.01299 1527 2670 335 137.1 1.5978 0.01185 1560 2650 340 146.1 1.6387 0.01078 1596 2626 345 155.5 1.6858 0.009763 1633 2599 350 165.4 1.7411 0.008799 1672 2568 355 175.8 1.8085 0.007859 1717 2530 360 186.8 1.8959 0.00694 1764 2485 365 198.3 2.016 0.006012 1818 2428 370 210.5 2.2136 0.004973 1890 2343 371 213.1 2.2778 0.004723 1911 2318 372 215.6 2.3636 0.004439 1936 2287 373 218.2 2.4963 0.004084 1971 2244 374 220.8 2.8407 0.003458 2046 2155 374.15 221.2 3.17 0.00317 2107 2107

spezifische Entropie s' s'' [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 2.931 5.966 2.976 5.93 3.022 5.895 3.068 5.859 3.115 5.822 3.161 5.785 3.208 5.747 3.255 5.708 3.303 5.669 3.351 5.628 3.400 5.586 3.450 5.542 3.501 5.497 3.553 5.449 3.606 5.398 3.662 5.343 3.719 5.283 3.780 5.218 3.849 5.144 3.921 5.06 4.002 4.958 4.111 4.814 4.141 4.774 4.179 4.724 4.233 4.656 4.349 4.517 4.443 4.443

Technische Thermodynamik Anhang 184 _________________________________________________________________________

Tab. 14.6:

ϑ [°C] -80 -75 -70 -65 -60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 132.4

Sättigungsdampftafel Ammoniak p [bar] 0.0503 0.075 0.1094 0.1563 0.219 0.3015 0.4085 0.545 0.7171 0.9312 1.195 1.515 1.901 2.362 2.908 3.548 4.294 5.158 6.15 7.284 8.573 10.03 11.67 13.5 15.55 17.82 20.33 23.1 26.14 29.48 33.12 37.08 41.4 46.08 51.14 56.62 62.52 68.89 75.74 83.12 91.07 99.62 108.9 113.5

spezifisches Volumen v' v'' [dm³/kg] [m³/kg] 1.357 18.67 1.368 12.83 1.378 9.01 1.389 6.449 1.401 4.702 1.412 3.486 1.424 2.625 1.436 2.004 1.449 1.551 1.462 1.215 1.475 0.9626 1.489 0.7705 1.504 0.6228 1.518 0.5079 1.534 0.4177 1.549 0.3462 1.566 0.289 1.583 0.2428 1.601 0.2053 1.619 0.1746 1.639 0.1494 1.659 0.1284 1.68 0.1108 1.702 0.09596 1.726 0.08347 1.75 0.07285 1.777 0.06378 1.805 0.05607 1.834 0.04933 1.866 0.04349 1.9 0.03841 1.937 0.03398 1.978 0.03011 2.022 0.02665 2.071 0.02359 2.126 0.02086 2.189 0.01842 2.262 0.0162 2.348 0.01418 2.455 0.01229 2.594 0.0105 2.796 0.008703 3.186 0.006586 4.227 0.004227

spezifische Enthalpie spezifische Entropie h' h'' s' s'' [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] -153.7 1338 -0.527 7.195 -132.2 1347 -0.417 7.048 -110.7 1356 -0.31 6.911 -89.12 1365 -0.205 6.782 -67.43 1374 -0.102 6.661 -45.66 1383 -0.001 6.547 -23.8 1391 0.0979 6.439 -1.85 1399 0.1951 6.337 20.19 1407 0.2906 6.24 42.33 1415 0.3844 6.149 64.56 1423 0.4767 6.062 86.9 1430 0.5674 5.979 109.3 1437 0.6567 5.9 131.9 1443 0.7445 5.824 154.5 1449 0.831 5.752 177.2 1455 0.9161 5.683 200.00 1461 1.0000 5.616 222.9 1466 1.083 5.552 245.9 1471 1.164 5.489 269.00 1475 1.244 5.429 291.4 1479 1.321 5.372 314.9 1482 1.399 5.315 338.5 1485 1.477 5.26 362.3 1488 1.554 5.206 386.3 1490 1.63 5.154 410.5 1491 1.705 5.102 434.9 1492 1.78 5.051 458.6 1492 1.851 5.002 483.9 1492 1.926 4.952 509.6 1490 2.001 4.902 535.7 1488 2.076 4.852 562.3 1485 2.15 4.802 588.8 1482 2.224 4.752 617.1 1476 2.301 4.699 646.3 1470 2.379 4.646 676.6 1461 2.458 4.59 708.2 1451 2.54 4.532 742.0 1439 2.626 4.469 778.2 1423 2.718 4.400 818.1 1403 2.816 4.322 863.5 1376 2.927 4.23 918.6 1337 3.061 4.111 999.2 1264 3.255 3.911 1119.0 1119 3.547 3.547

Technische Thermodynamik Anhang 185 _________________________________________________________________________

Tab. 14.7:

Mittlere spezifische isobare Wärmekapazität idealer Gase Mittlere spezifische isobare Wärmekapazität

ϑ [°C] -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100

Luft 1.0030 1.0032 1.0034 1.0037 1.0041 1.0046 1.0051 1.0057 1.0065 1.1007 1.0082 1.0093 1.0104 1.0117 1.0152 1.0192 1.0237 1.0286 1.0337 1.0389 1.0443 1.0498 1.0552 1.0606 1.0660 1.0712 1.0764 1.0814 1.0863 1.0910 1.0956 1.1001 1.1045 1.1087 1.1128 1.1168 1.1243 1.1315 1.1382 1.1445 1.1505 1.1561 1.1615 1.1666

N2* 1.0303 1.0304 1.0304 1.0305 1.0306 1.0308 1.0310 1.0313 1.0316 1.0320 1.0325 1.0331 1.0338 1.1035 1.0370 1.0401 1.0437 1.0477 1.0522 1.0569 1.0619 1.0670 1.0722 1.0775 1.0827 1.0879 1.0930 1.0981 1.1030 1.1079 1.1126 1.1172 1.1217 1.1260 1.1302 1.1343 1.1422 1.1495 1.1564 1.1629 1.1690 1.1748 1.1802 1.1853

N2 1.0392 1.0392 1.0393 1.0394 1.0395 1.0396 1.0398 1.0401 1.0404 1.0408 1.0413 1.0419 1.0426 1.0434 1.0459 1.0490 1.0526 1.0568 1.0613 1.0661 1.0712 1.0764 1.0816 1.0870 1.0923 1.0976 1.1028 1.1079 1.1130 1.1179 1.1227 1.1274 1.1319 1.1363 1.1406 1.1448 1.1528 1.1602 1.1673 1.1739 1.1801 1.1859 1.1914 1.1966

O2 0.9123 0.9130 0.9138 0.9148 0.9160 0.9175 0.9191 0.9210 0.9230 0.9252 0.9276 0.9301 0.9327 0.9355 0.9426 0.9500 0.9575 0.9649 0.9722 0.9792 0.9860 0.9925 0.9988 1.0047 1.0104 1.0158 1.0209 1.0258 1.0305 1.0350 1.0393 1.0434 1.0474 1.0512 1.0548 1.0584 1.0651 1.0715 1.0775 1.0833 1.0888 1.0941 1.0993 1.1043

cp

ϑ 0

CO2 0.7831 0.7943 0.8055 0.8165 0.8273 0.8378 0.8481 0.8580 0.8677 0.8771 0.8863 0.8952 0.9038 0.9122 0.9322 0.9509 0.9685 0.9850 1.0005 1.0152 1.0291 1.0422 1.0546 1.0664 1.0775 1.0881 1.0981 1.1076 1.1167 1.1253 1.1335 1.1414 1.1489 1.1560 1.1628 1.1693 1.1816 1.1928 1.2032 1.2128 1.2217 1.2300 1.2377 1.2449

in [kJ/(kg⋅K)] H2O 1.8549 1.8561 1.8574 1.8591 1.8611 1.8634 1.866 1.869 1.8724 1.876 1.8799 1.8841 1.8885 1.8931 1.9054 1.9185 1.9323 1.9467 1.9615 1.9767 1.9923 2.0082 2.0244 2.0408 2.0574 2.0741 2.0909 2.1077 2.1246 2.1414 2.1582 2.1749 2.1914 2.2078 2.224 2.24 2.2714 2.3017 2.3311 2.3594 2.3866 2.4127 2.4379 2.462

SO2 0.5915 0.5971 0.6026 0.6083 0.6139 0.6196 0.6252 0.6309 0.6365 0.6420 0.6475 0.6529 0.6582 0.6634 0.6759 0.6877 0.6987 0.7090 0.7185 0.7274 0.7356 0.7433 0.7505 0.7571 0.7633 0.7692 0.7746 0.7797 0.7846 0.7891 0.7934 0.7974 0.8013 0.8049 0.8084 0.8117 0.8178 0.8234 0.8286 0.8333 0.8377 0.8419 0.8457 0.8493

N2* ist das Gemisch aus Stickstoff und den in der Luft enthaltenen Spurengasen (Luftstickstoff)

Technische Thermodynamik Anhang 186 _________________________________________________________________________

Tab. 14.8:

Stoffwerte von Feststoffen

Stoff

ϑ

ρ

[°C ] Metalle und Legierungen Aluminium 99.99% Antimon Beryllium (gesintert) Blei Bronze (6Sn, 9Zn, 84Cu, 1Pb) Chrom Duraluminium (94-96Al 3-5Cu 0.5Vg) Cr-Ni-Stahl (X 12CrN 18.8) Cr-AI-Stahl (X 10Cr Al 24) hitzebeständig V2A-Stahl vergütet Cr-Stahl ( X 8Cr 17) rost- und säurebeständig Kesselblech HIII Gold (rein) Iridium Kadmium Kalium Kobalt Konstantan (Cu Ni 44) Kupfer (rein) Kupfer (Handelsware) Magnesium Mangan (α-Mn) Mangenin (84 Cu, 4 Ni, 12 Mn) Messing (MS58) Messing (MS 60) Molybdän Monel 505 Natrium Nickel 98.7% Niob Palladium Palladium (sehr rein) Rhenium Rhodium Silber Tantal Titan Uran 238, gesintert 99.9% UO2 UO2 UO2 Vanadin Wismut Wolfram Wood'sche Legierung 50Zn, 25Pb, 12.5Cd, 12.5Se Zink

 kg   3 m 

cp

λ

 kJ   W       kg ⋅ K   K ⋅ m 

10 ⋅a

ρ ⋅cp ⋅λ

 m2     s 

W ⋅ s   2  K ⋅ m 

6

20 0 20 20 20 20 20 20 20

2700 6690 1877 11341 8800 6900 2700 7800 7600

0.945 0.209 1.779 0.131 0.377 0.457 0.912 0.502 0.50

238.4 230.23 154.88 35.25 61.7 69.07 165 14.65 16.74

93.27 164.5 46.41 23.55 18.6 21.88 67.0 3157 4.41

24663 1794.1 22741 7236 14307 14757 20156 7573 7975

20 20

8000 7700

0.477 0.46

15 25.11

3.93 7.09

7565 9430

20 20 20 100 20 26 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20-100 20 0

7900 19290 22400 8640 860 8780 8900 8960 8300 1740 7430 8400 8440 8400 10200 8360 970 8847

0.47 0.128 0.133 0.246 0.766 0.427 0.410 0.385 0.419 1.046 0.477 0.406 0.376 0.376 0.272 0.544 1.234 0.418

52.3 295.11 146.51 94.19 196.30 69.06 22.6 393.9 372 159.07 20.93 21.86 113.02 113.02 146.51 19.67 133.9 69.06

14.1 119.46 49.0 44.22 297.5 18.27 6.03 114.21 107 87.36 5.64 6.33 35.29 35.77 53.2 4.18 111.11 la.67

13935 26993 20892 14149 11371 16090 9081 36861 35968 17015 8612 8634 18938 18893 20161 9458 12660 15980

20 8570 20 11970 20 21500 20 21020 20 125000 20 10497 20 16500 20 4505 500 18000 600 11000 1400 10900 1000 10960 0-100 6120 20-100 9798 20 19000 20 1056

0.267 0.242 0.133 0.138 0.246 0.234 0.142 0.522 0.174 0.313 0.339 0.326 0.498 0.125 0.138 0.1473

52.33 71.16 71.16 48.14 150.7 407.72 54.4 15.49 30.3 4.18 2.3 3.05 -30.97 7.62 129.76 12.77

22.72 24.51 24.82 16.54 48.78 165.69 23.2 6.38 9.67 1.21 0.62 0.85 10.16 5.72 49.2 82.0

10942 14357 14264 11817 21526 31646 11289 6035 9741 3793 2915 3301 9715 3054 18445 1407

0.385

113.02

41.16

17.603

20

7130

Technische Thermodynamik Anhang 187 _________________________________________________________________________

Stoffwerte von Feststoffen - Fortsetzung Stoff ϑ

ρ

[°C ] Metalle und Legierungen Zinn (weißes β-Zinn) Zirkonium

 kg   3 m 

20 20-125

7290 6490

Bau- und Isolierstoffe Kiesbeton (lufttrocken) Mörtel Ziegelmauerwerk (lufttrocken)

20 20 20

Verputz Asphalt Asbestplatten Ziegelstein (trocken)

20 20 20 20

Gips Buche (längs der Faser, 20% H2o) Kork (roh)

20 30 0

2200 1900 1400 1800 1690 2120 2000 16001800 1000 700 240

Zement (Portland, trocken) Eiche (radial)

20 20

Tanne (Fichte, radial)

20

Asbestpappe Asbestfaser Schlackenwolle Mineralwolle KorkpIatten Glaswolle Mineralien und Gläser Erdreich (grobkiesig) Schamottesteine

30 50 25 50 30 0

Tonboden Quarz SiC-Steine (85% SiC) Schiefer (senkrecht zur Schichtung) Sandstein

20 100 20 20 700 20 20

Kalkstein (CaCO3, Kreide)

20

Marmor

20

Granit Schiefer (parallel zur Schichtung) Steinsalz

20 20 0

Spiegelglas Bleiglas

20 20

3100 600800 410420 770 470 200 200 190 200 2040 17002000 1450 21002500 2720 2700 21502300 20003000 25002700 2750 2700 21002500 2700 2890

cp

λ

ρ ⋅cp ⋅λ

 m2     s 

W ⋅ s     K ⋅ m 2 

6

 kJ   W   kg ⋅ K   K ⋅ m      0.221 0.290

10 ⋅a

62.79 16.74

39.1 8.83

10057 5613

0.879 1.279 0.8 0.93 0.836 0.58-0.81

1572 1189 823.9-1104

2.72

0.14

0.661 0.612 0.4950.538 0.586 0.358 0.443 0.280.34 0.468 0.247 0.3990.598 0.12 0.110.13 0.12

0.815 0.815 0.8 0.92 1.88 0.66

0.116 0.11 0.05 0.046 0.041 0.037

0.184 0.287 0.312 0.250 0.114 0.280

269.8 205.3 89.4 92 121.0 69.88

1.84 0.84

0159 0.5-1.2

1488 844-1419

0.88 0.78

1.28 1.40

1.05 0.75 0.71

1.56 1.83 1.6-2.1

0.157 0.330.69 1.0 0.7170.854 0.564 0.903 1.0-1.3

0.741

2.2

0.808

2.8

0.892 0175 0.917

2.9 2.9 6.98

0.8 0.92 0.79 0.84

0.793 0.70 0.7 0.38-052

1.09 0.51 2.021 0.35 1.67- 0.16-0.30 2.09 0.75 0.298 2.39 0.17-0.25

0.8 0.76 0.679 0.70-0.93

0.9891.48 1.281.38 1.18 1.43 3.463.62 0.35 0.3470.461

1035 1168 1051 714-886 745 703.6 253.2-387.9 845 493-691 395

1277 1514 2110 1925 1562-1851 1805-2211 2378-2471 2667 2423 3666-4000 '1281 1172-1350

Technische Thermodynamik Anhang 188 _________________________________________________________________________

Stoffwerte von Feststoffen - Fortsetzung Stoff ϑ

ρ

[°C ]

 kg   3 m 

cp

λ

 kJ   W   kg ⋅ K   K ⋅ m     

10 ⋅a

ρ ⋅cp ⋅λ

 m2     s 

W ⋅ s     K ⋅ m 2 

6

Mineralien und Gläser Thermometerglas III (Jena 16 ) Pyrexglas Fensterglas

20

2580

0.779

0.965

0.480

1392

20 20

2240 2480

1.058 1.163

20

2210

0.610 0.5040.669 0.867

1354 1420-1673

Quarzglas

0.774 0.700.93 0.728

Kunststoffe Aminoplaste Polyäthylen (Lupolen) Polyurethan Polyamide

20 20 20 20

1500 920 1200 1130

1.67 2.3 2.09 2.3

20 20 20 20 20 20

1190 1270 1150 1380 2200 1100

1.25 1.59 1.967 1.67 1.04 1.67

Palatal (ungesättigte Polyesterharze) Acrylglas (Plexiglas) Phenolgießharze Vulkanfiber Hartgummi (Ebonit) Polyvinylchlorid (PVC) Polystyrol Anilinpreßharz Schaumgummi

20 20 20 20 20 20 20 20 20

Iporka - Schaumstoffe

20

1100 1180 1330 1100 1150 1380 1050 1200 400500 5-15

Styropor - Schaumstoffe

20

15-100

0.138 0.164 0.129 0.1060.115 0.171 0.11 0.101 0.099 0.1 0.0870.125 0.096 0.108 0.089 0.07 0.098 0.113 0.105 0.058 0.1040.112 2.044.52 0.361.54

933 858 901 850-883

Polyvinylcarbazol (Luvican) Bakelit Buna Zelluloid Polytetrafluoräthyylen (Teflon) Gummi (weich)

0.348 0.348 0.324 0.2780.30 0.255 0.233 0.23 0.23 0.23 0.16-0.23

Verschiedene Stoffe Wolle Rohseide Baumwolle Baurinde Kohlenstaub Papier (gewöhnlich) Leder (trocken)

20 35 30 25 30 20 20

100 100 81 337 730 700 860

Fett

20

Steinkohle

20

Schwefel

20

910960 12001500 2070

1.395

1.75 0.185 1.44 0.184 1.46 0.174 1.67 0.174 1.42 0.16 0.96 0.15 1.25 0.139 1.67 0.116 1.67 0.07-0.92 1.37 1.25

0.0310.042 0.0290.045

1.72 0.036 1.33 0.049 1.15 0.059 1.26 0.074 1.3 0.12 1.2 0.12 1.49 0.12-0.15 1.93

0.17

1.26

0.26

0.209 0.368 0.633 0.174 0.13 0.142 0.090.12 0.090.096 0.1-0.2

0.723

0.265

0.177

1498

615 685 721 722 725 542-650 596 559 581 565 511 445 427 482 216-277 14.6-29.4 23.3-75

78.7 80.7 74.1 177 337 317 392-438 546-561 626-700 629

Technische Thermodynamik Anhang 189 _________________________________________________________________________

Stoffwerte von Feststoffen - Fortsetzung Stoff ϑ

ρ

[°C ] Verschiedene Stoffe Paraffin

30

Schnee Zucker (fein) Hochafenschlacke

0 0 20

Porzellan Ton (wenig Sand, 49% feucht) Eis Carborund SiC Graphit (fest, Natur)

95 20 0 100 20

 kg   3 m 

870925 560 1600 25003000 2400 1450 917 1500 20002500

cp

λ

 kJ   W   kg ⋅ K   K ⋅ m      2.9 0.24-0.27 2.09 1.25 0.836

o.464 0.58 0.57

1.08 0.88 1.93 0.62 0.6094

1.03 1.28 2.2 58.20 155

10 ⋅a

ρ ⋅cp ⋅λ

 m2     s 

W ⋅ s     K ⋅ m 2 

6

0.090.10 0.396 0.290 0.2270.274 0.397 1.0 1.243 62.58 101.7127

778-851 730 1077 1091-1195 1633 1277 1973 7357 1374015361

Technische Thermodynamik Anhang 190 _________________________________________________________________________

Tab. 14.9:

Stoffwerte von Flüssigkeiten

Stoff Verschiedene Flüssigkeiten

Ammoniak (NH3) Frigen 22 (CHF2Cl), Ps=5.0 bar Frigen 12 (CF2Cl2), Ps=3.08 bar Aceton (C3H6O) Frigen 13 (CF3Cl), Ps=19.7 bar Chloroform (CHCl3) Frigen 11 (CFCl3) ), Ps=0.402 bar Frigen 114 (CF2Cl.CF2Cl), Ps=0.86 bar Wasser Toluol (C6H5CH3) Benzol (C6H6) Tetrachlorkohlenstoff (CCI4) Frigen 113 (C2F3Cl3), Ps=0.15 bar Äthylalkohol Terpentin Äthylenglykol C2H4(OH)2 Äthylenglykol C2H4(OH)2 Spindelöl Schwefelsäure, (H2S04) Diphyl (73.5 Diphenyloxid, 26.5 Diphenyl) Sole (20% MgCl2) Paraffin (liquid) Transformator-Öl Glycerin C3H5(OH)3 Olivenöl Flugmotorenöl (Rotring) Siliconöl, AK250 Flüssige Metalle und Legierungen Kallium Rubidium Caesium Natrium Zinn Wismut Na-K-Legierung, 22% Na Blei Quecksilber Blei-Wismut Legierung 44.5% Pb Lithium

ϑ

[°C ]

ρ

 kg   3 m 

cp

 kJ     kg ⋅ K 

λ

10 ⋅α 3

 W  1 K ⋅ m K     

20 0 20 20 20 20 20

610 1285 1394 790.4 1119 1489 1534

4.77 1.18 0.934 2.21 1.21 0.979 0.879

0.494 0.098 0.084 0.180 0.058 0.121 0.098

0

1530

0.94

0.076

20 20 20 20 0

998.2 866 879.1 1595 1621

4.183 1.70 1.738 0.841 0.909

0.598 0.140 0.154 0.105 0.080

20 0 20 100 60 10 20

789.2 860 1113 1056 845 1834 1061.5

2.432 1.719 0.382 2.742 2.02 1.414 1.59

-20 20 60 20 60 60 25

1184 870930 842 1260.4 920 868 970

200 0.39 28.5 100 300 300 100 400 20 200 200

2.44

10 ⋅η 6

10 ⋅ν 6

10 ⋅a

N ⋅ s  2  m 

 m2     s 

 m2     s 

6

220 242.9 292.62 322 220 570 541.5

0.361 0.189 0.209 0.407 0.193 0.383 0.353

0.17 0.06 0.064 0.103 0.042 0.085 0.073

470.3

0.307

0.053

0.20 1.08 1.06 1.22

1002 586 650 970 928.8

1.006 0.676 0.740 0.608 0.573

0.142 0.095 0.1 0.077 0.054

0.180 0.14 0.250 0.263 0.142 0.544 0.140

1.1 0.90 0.64 0.67 0.75 0.57

1190 1460 21317 2403 4179 27000 5835.2

1.508 1.69 19.15 2.27 4.94 14.7 5.5

10.092 0.094 0.094 0.091 0.083 0.215 0.080

2.99 2.13

0.392 0.26

1.0 0.76

12959 12800

10.94 14.22

0.11 0.135

2.09 2.43 1.97 2.01 1.465

0.122 0.27 0.16 0.141 0.168

0.70 0.49 0.68 0.70

7318 14990 80800 71240 242500

8.7 11.89 87.82 81.89 250

0.069 0.0916 0.088 0.081 0.118

795 1475 1840 927 6940 10030 847 10590 13550 10486

0.791 0.382 0.251 1.385 0.255 0.150 0.941 0.147 0.139 0.146

45.82 21.57 13.57 85.84 31.55 14.61 23.2 15.08 8.02 11.71

0.29

341.7 484.4 475.3 705 1672 1662 529 2116 1550 2548

0.429 0.328 d.258 0.760 0.241 0.!66 0.624 0.199 0.114 0.243

72.86 38.3 29.4 66.85 17.52 9.71 29.1 9.69 4.25 7.6

515

4.14

45.93

569.4

1.10

21.51

1.43 1.26

0.280 0.100

0.120 0.181

0.18

Technische Thermodynamik Anhang 191 _________________________________________________________________________

Tab. 14.10:

Stoffwerte von Gasen

Gase Reine anorganische Gase (Dämpfe) Ammoniak (NH3) Argon Chlor Kohlendioxid (CO2) Helium Kohlenmonoxid (CO) Luft (760 mbar) Neon Sauerstoff (O2) Schwefeldioxid (S02) Stickstoff (N2) Stickstoffoxyd (NO) Wasserdampf Wasserstoff (H2) Reine organische Gase (Dämpfe) Aceton (C3H6O) Acetylen (C2H2) Äthan Benzol (C6H6) Chloroform (CHCl3) Frigene (bei Sättigungsdruck) Frigen 11 (CFCl3) Frigen 12 (CF2Cl2) Frigen 13 (CF3Cl) Frigen 22 (CHF2Cl) Frigen 114 (CF2Cl. CF2Cl) Methan (CH4)

ϑ

[°C ]

ρ

cp

λ

10 ⋅η 6

10 ⋅ν 6

10 ⋅a

 kg   3 m 

 kJ     kg ⋅ K 

 W  K ⋅ m  

N ⋅ s  2  m 

 m2     s 

 m2     s 

2.232 0.524 0.502 0.875

13.0 22.2 12.3 16.2 18.6 16.6 18.2 29.8 20.3 11.6 16 17.9 12.85 9.42

23.6 16.1 3.82 9.8 104.2 13.28 15.11 33.5 18.4 4.0 6 13.38 21.7 126

16.74 21.19 50.2 25.7 4.76 13.26 17.3 19.61 191

6

100 0 0 50 20 0 20 0 0 0 0 0 100 50

0.551 1.78 3.22 1.648 0.1785 1.250 1.2045 0.90 1.428 2.139 1.25 1.34 0.589 0.075

1.051 1.005 1.03 0.915 0.624 1.042 1.009 2.135 14.36

0.030 0.018 0.008 0.0178 0.1436 0.022 0.0257 0.046 0.026 0.0084 0.024 0.023 0.029 0.202

24.9 24.8 4.96 12.6

0 0 0 20 0

0.792 1.17 2.05 4.0 5.28

1.45 1.641 1.667 1.09 0.607

0.0096 0.018 0.018 0.01 0.007

6.6 9.6 8.6 7.4 10

8.33 8.2 4.19 1.85 2.45

8.36 9.38 5.27 2.29 2.82

0 0 0 0 20 20

2.481 17.65 134 21.45 9.59 0.55

0.549 0.547 0.620 0.587 0.653 2.25

0.0077 0.0097 0.0115 0.0107 0.0109 0.033

10.2 11.9 13.6 12.0 11.2 10.8

4.1 o.68 0.1 0.56 1.17 19.47

6.0 0.99 0.16 0.8 2.5 26.67