Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales. Generalidades Definici´ on [Sistema de ecuaciones lineales] Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas, es un conjunto de m igualdades que se pueden escribir en la forma:  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 (1) .. .. .. ..  . . . .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm • Coeficientes:

aij para i = 1, 2, · · · , m;

j = 1, 2, · · · , n

• T´erminos independientes: bi para i = 1, 2, · · · , m, • Inc´ognitas del sistema: x1 , x2 , · · · , xn En el caso particular de que b1 = b2 = · · · = bm = 0 el sistema se denomina homog´ eneo.

Matriz del sistema     

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

· · · a1n · · · a2n .. .

b1 b2 .. .

Matriz de coeficientes 



   

   

am1 am2 · · · amn bm

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

· · · a1n · · · a2n .. .

am1 am2 · · · amn

1

    

Soluci´ on de un sistema de ecuaciones. Definici´ on Diremos que un conjunto de n n´ umeros ordenados (α1 , α2 , , · · · , αn ) es una soluci´on del sistema ( 1) si satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Sistemas equivalentes. Definici´ on Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. (Obs´ervese que no necesariamente han de tener el mismo n´ umero de ecuaciones.)

Clasificaci´ on de un sistema de ecuaciones lineales. Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en: • Incompatibles: si no tienen soluci´on. • Compatibles: si tienen al menos una soluci´on. A su vez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican, en funci´on del n´ umero de soluciones, en: z Determinados: si tienen una u ´nica soluci´on. z Indeterminados: si tienen m´as de una, en cuyo caso tendr´an infinitas soluciones. Notemos que los sistemas homog´eneos tienen siempre, al menos, la soluci´on (0, 0, · · · , 0) que recibe el nombre de soluci´on trivial, por ello siempre son compatibles.

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Discusi´ on y resoluci´ on de sistemas por el m´ etodo de Gauss

Sistema escalonado Definici´ on Un sistema de ecuaciones lineales se denomina escalonado (o reducido) si la matriz del sistema verifica que: (a) Todos los elementos por debajo de los aii para i = 1, 2, · · · , n son nulos. (b) El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, est´a a la derecha del primer elemento diferente de cero (pivote) de la fila anterior. (c) Cualquier fila formada u ´nicamente por ceros est´a bajo todas las filas con elementos diferentes de cero.

M´ etodo de eliminaci´ on de Gauss 1. Localizamos en la primera columna no nula, de la matriz del sistema, el primer elemento no nulo a. 2. Intercambiamos la primera fila con la fila en la que se encuentra a. 3. Multiplicamos la primera fila por a−1 . ultiplos adecuados de la primera fila a las dem´as, anulamos todos los elementos 4. Sumando m´ de la primera columna no nula menos el primero. 5. Repetimos el proceso, con la matriz que resulta de eliminar la primera fila y la primera columna, hasta conseguir un sistema escalonado.

Una vez obtenido el sistema escalonado, se resuelve por sustituci´ on regresiva.

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Aplicaci´ on del m´ etodo de Gauss a la resoluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales con o sin par´ ametros

 asicas : Corresponden a pivotes  B´ Inc´ ognitas



Libres : No corresponden a pivotes

Al n´ umero de inc´ognitas libres se le denomina n´ umero de grados de libertad del sistema.

Sistema escalonado: 1. Aparece una fila al menos, en la matriz del sistema, que tiene todos los elementos nulos salvo el u ´ltimo (es decir hay alguna ecuaci´on de la forma 0 = b con b 6= 0 ). En dicho caso el sistema escalonado y, por tanto, el inicial son incompatibles. 2. En caso contrario el sistema es compatible. (a) Si el n´ umero de pivotes coincide con el de inc´ognitas, es decir, no hay inc´ognitas libres, el sistema tiene soluci´on u ´nica. La soluci´on se obtiene por sustituci´on regresiva empezando por la u ´ltima ecuaci´on hasta llegar a la primera (determinado). (b) Si el n´ umero de pivotes es menor que el de inc´ognitas, es decir, hay inc´ognitas libres, el sistema tiene infinitas soluciones (indeterminado). En este caso las soluciones se obtienen dando valores arbitrarios a las inc´ognitas libres y poniendo las inc´ognitas b´asicas, por sustituci´on regresiva, en funci´on de dichos valores arbitrarios.

Discutir un sistema seg´ un los valores de par´ ametros: Estudiar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones, en los cuales ciertos coeficientes o t´erminos independientes no tienen un valor fijo predeterminado, sino que son par´ametros, para todos los valores posibles de dichos par´ametros.

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M´ etodo de Gauss con pivoteo parcial y total Ejemplo. Por eliminaci´on gaussiana y trabajando con dos y cuatro cifras respectivamente, resolver el sistema de ecuaciones: ½ 0, 0001 x + y = 1 x + y = 2

Este ejemplo prueba que la aparici´on de un pivote peque˜ no puede ser el anuncio de un desastre computacional.

Eliminaci´ on gaussiana con pivoteo total. Si en la etapa r-´esima del proceso de eliminaci´on el pivote arr es demasiado peque˜ no,elegimos el elemento apq = max {|aij | / i, j ≥ r} como nuevo pivote. Para ello intercambiamos las filas r y p y las columnas r y q de forma que situamos el elemento apq en la posici´on (r,r). Obviamente hemos tomado i, j ≥ r para no perturbar los ceros que ya ten´ıamos. Posteriormente continuamos la eliminaci´on con el nuevo pivote.

Eliminaci´ on gaussiana con pivote parcial. En este caso la alternativa consiste en buscar solamente en la r-´esima columna; es decir, tomar apr = max {|air | / i ≥ r} como nuevo pivote. Para ello intercambiamos las filas r y p, continuando posteriormente el proceso de eliminaci´on.

En la pr´actica, el m´etodo de Gauss con pivoteo total puede consumir mucho tiempo, computacionalmente hablando, pues para hallar el m´aximo en cada paso hay que buscar entre (m − r + 1) · (n − r + 1) elementos. En el caso de pivoteo parcial, adem´as del ahorro de tiempo, las inc´ognitas de nuestro sistema no cambian de orden en el sistema reducido. Por ello, en general, es suficiente utilizar un pivoteo parcial.

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Factorizaci´ on L.U de una matriz.

Teorema[Descomposici´ on L.U] Toda matriz A ∈ Mm×n (K), siempre que no sea necesario realizar un intercambio de filas, se puede descomponer de manera u ´nica en la forma A = L.U con L ∈ Mm (K) triangular inferior con unos en la diagonal (por tanto, invertible) y U ∈ Mm×n (K) triangular superior.

Para el caso m < n ser´ıa:   

a11 .. . am1





· · · a1m · · · a1n  .. ..  =  .. . . .    · · · amm · · · amn

1 l11 .. .

0 1 .. .

··· ··· .. .

0 0 .. .

lm1 lm2 · · · 1

      .  

p11 u12 0 p22 .. .. . . 0 0

· · · u1m · · · u1n · · · u2m · · · u2n .. .. .. . . . · · · pmm · · · umn

    

Donde: • La matriz U es la matriz escalonada resultado de aplicar a la matriz A las trasformaciones elementales por filas. • los elementos pij de la diagonal de U , son los pivotes de la matriz A. • El elemento lij , i > j de la matriz L es exactamente el valor α cambiado de signo que aparece en la transformaci´on elemental Fij (α) que se aplic´o a A para obtener la matriz U .

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Aplicaciones

Ejercicio de aplicaci´ on 1

La econom´ıa de la provincia de Zamora se basa en el tejido industrial de tres actividades b´asicas que son dependientes entre s´ı, pero que no dependen de industrias externas. Estas son la agricultura, la construcci´on y el textil. La fracci´on de cada producto que consume cada una de dichas actividades est´a dado por

Consumo

Agricultura Construcci´on Textil

Producci´ on Agricultura Construcci´on Textil 4/13 1/8 1/13 7/13 2/8 4/13 2/13 5/8 8/13

La componente aij denota la fracci´on de bienes producidos por la gente que trabaja en la industria j, que son consumidos por gente que trabaja en la industria i. Bajo la hip´otesis de que los ingresos de agricultura, construcci´on y textil de Zamora son I1 , I2 e I3 respectivamente, determinar los ingresos de cada sector de la econom´ıa con la condici´on de equilibrio de que el gasto debido al consumo es igual al ingreso debido a las rentas del producto.

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Aplicaciones

Ejercicio de aplicaci´ on 2

Tres productos qu´ımicos X, Y y Z, utilizados en los laboratorios de la Escuela Polit´ecnica Superior de la Universidad de Huelva, tienen los siguientes porcentajes de F e, Zn y Cu:

X Y Z

Fe 50 40 30

Zn 30 30 70

Cu 20 30 0

¿Cu´anto de cada producto debe combinarse para obtener un nuevo producto que contenga 44% de F e, 38% de Zn y 18% de Cu?

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Aplicaciones

Ejercicio de aplicaci´ on 3

Para analizar el flujo de tr´afico de una importante ciudad espa˜ nola como puede ser Barcelona, consideremos la siguiente red de calles de una direcci´on: 6

300 500 -?A

200 x1

B

-

400

¾ ?

F

x2

6

x3 ¾

100

x4 x6

¾ 6E

350

C

-?

600 -

x5 x7

600

?

¾ ?

450

D

400 ?

Los n´ umeros indican la cantidad de coches/hora que pasan por ese punto. Las variables x1 , x2 , . . . , x7 , representan el n´ umero de coches/hora que pasan de la intersecci´on A a la B, de la B a la C, etc. Suponiendo que en las calles est´a prohibido aparcar, ¿qu´e valores tomar´an las variables x1 , x2 , . . . , x7 en los siguientes casos? a) Hay obras en la calle de D a E y por tanto queremos que en ese tramo el tr´afico sea m´ınimo. b) An´alogamente, hay obras en la calle de D a F .

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N´ umero de operaciones del m´ etodo de Gauss

Si nos encontramos en la etapa k-´esima:

              

a11 a12 a13 . . . . . . . . . a1n a1,n+1 a∗2,n+1 0 a∗22 a∗23 . . . . . . . . . a∗2n 0 0 a∗33 . . . . . . . . . a∗3n a∗3,n+1 .. .. .. . .. . . . . . . . . . . . . .. . ak,n+1 0 0 0 . . . akk . . . akn 0 0 0 . . .ak+1,k . . .ak+1,n ak+1,n+1 .. .. .. . .. . . . . . . . . . . . . .. . an,n+1 0 0 0 . . . an,k . . . an,n

              

para hacer ceros por debajo del elemento akk son necesarias: • n − k divisiones. • (n + 1 − k)(n − k) = (n − k)2 + n − k sumas. • (n + 1 − k)(n − k) = (n − k)2 + n − k multiplicaciones.

En total son necesarias para llevar el sistema a la forma escalonada: •

n−1 X

(n − k) =

k=1

•

n−1 X k=1

n(n − 1) divisiones 2

n(n2 − 1) sumas y productos. [(n − k) + (n − k)] = 3 2

Por tanto el n´ umero total de operaciones es: n(n − 1) 2n(n2 − 1) 1 + = n(n − 1)(4n + 7) 2 3 6 10

Para resolver el sistema escalonado son necesarias: • n divisiones. n X n(n − 1) • (k − 1) = sumas y productos. 2 k=1

En total: n+

2n(n − 1) = n2 2

En definitiva son necesarias las siguientes operaciones para resolver un sistema por el m´etodo de Gauss 1 1 n(n − 1)(4n + 7) + n2 = n(4n2 + 9n + 7) 6 6

En consecuencia, para un n grande (es lo u ´nico que influye en las operaciones), el m´etodo de Gauss necesita para su implementaci´on, alrededor de 2 3 3n

operaciones

Desde el punto de vista computacional, el m´etodo de Gauss tiene la ventaja de que si la matriz de coeficientes del sistema (respectivamente el t´ermino independiente) no va a ser utilizada en lo sucesivo, en cada etapa del m´etodo los coeficientes de la matriz del nuevo sistema que se encuentra (resp. el t´ermino independiente) pueden ocupar la zona de memoria de los coeficientes de la matriz del sistema anterior (resp. el t´ermino independiente anterior), por lo que los coeficientes de la matriz triangular final pueden ocupar la zona de memoria de los de la matriz original (resp. el t´ermino independiente).

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