METODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD

PROBABILIDAD Cuando realizamos un experimento, diremos que es:  Determinista:

dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo.

 Aleatorio: dadas unas condiciones

iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.

Definición probabilidad

 Ejemplo:

Al extraer una sola carta de un naipe español (40 cartas), cual es la probabilidad de obtener:  a) Un as

 b) Un 3 de espadas  c) 15 de oros  d) un número menor o

igual que 3?

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Rec uent o

CLASIFICACION NORMAL OMS OSTEOPENI A OSTEOPOROSIS Tot al

MENOPAU SI A NO SI 189 280 108 359 6 58 303 697

Tot al 469 467 64 1000

¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis? ¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?

PROBABILIDAD Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S. Ejemplos: 1.- Experimento: Se lanza una moneda. Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sello o que caiga cara. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento). S = { s, c }

PROBABILIDAD 2.- Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

PROBABILIDAD Experimento.- Se lanza un dado y una moneda S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c }

Probabilidad de que aparezcan el número 2 o 3 con sello. Probabilidad de que aparezcan números pares con sello.

Ejemplo  ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados se

obtenga:  a) Que la suma de sus caras sea 7  b) En una cara aparezca un tres y en la otra un valor

mayor a 4.  c) En el primer dado aparezca un 3 o 5 y el segundo

un 2 o 4.

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Hay 10 parejas posibles

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Ya que quedan 4 blancas, 3 rojas y 3 azules.

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

En total hay 11 bolas, cuando se extrae la primera bola quedan 10 y después quedan 9

Métodos de conteo Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Diagramas de árbol  Un diagrama de árbol es una herramienta que se

utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.  Ejemplo: Juan tiene 2 corbatas de colores azul y rojo, respectivamente, y tres camisas de colores azul, rosa y blanco. ¿Cuántas combinaciones puede hacer?

Ejemplo  Realiza el diagrama de árbol para las posibles

combinaciones de un menú de almuerzo

Solución

Principio multiplicativo  Regla de la multiplicación: Si se desea realizar una

actividad que consta de k pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de n1 maneras, el segundo paso de n2 maneras y el k-ésimo paso de Nk maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:

 ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las

letras de la palabra maíz.



4

3

2

1

Ejemplo  Cuantos billetes de lotería (de cuatro cifras y una

serie de una letra) hay?

Cifras

Ejemplo con condiciones. Cuántas claves de acceso a un computador será posible diseñar, si esta debe constar de dos letras, seguidas de cuatro dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9.  Considere que se pueden repetir letras y números.  Considere que no se pueden repetir letras y

números.

 ¿Cuántas de las claves empiezan por la letra A y

terminan en impar?

Ejemplo con condiciones. Cuántas claves de acceso a un computador será posible diseñar, si esta debe constar de dos letras, seguidas de cuatro dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9.  Considere que se pueden repetir letras y números. 27x27x10x10x10x10  Considere que no se pueden repetir letras y números. 27x26x10x9x8x7  ¿Cuántas de las claves empiezan por la letra A y terminan en impar? 1x27x10x10x10x5

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

La cantidad de números de cuatro cifras es 10x10x10x10 = 10000 Como se compro una boleta y se juega con dos números la probabilidad es 2/10000

Diferencia entre combinación y permutación

Permutación  Una permutación de un conjunto de elementos es

una disposición de tales elementos de acuerdo a un orden definido. El número de permutaciones n! de n elementos tomados de r es: n Pr   n  r ! 1 3

2

1

2

2

1

4

3

3

4

4

2

2

4

4

1

1

4

3

2

2

3

3

1

1

3

4

Permutaciones  Los equipos A, B, C y D, son finalistas de un torneo.

¿De cuántas maneras pueden quedar asignadas los títulos de campeón y subcampeón? AB AC AD

BA BC BD

CA CB CD

DA DB DC

n elementos r subconjuntos.

Permutaciones 4 elementos 2 subconjuntos.

Ejemplo  ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Ejemplo  Disponemos de cinco colores para pintar una

bandera de tres franjas verticales de igual ancho y diferente color. Teniendo en cuenta este criterio de diseño, ¿cuántas banderas distintas podemos crear?

Solución

Permutación con todos los elementos.  Calcular todas las formas posibles de ordenar los

números 1,2 y 3.

Permutación con todos los elementos.  Calcular todas las formas posibles de ordenar los

números 1,2 y 3.

Ejercicios a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

Ejercicios a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) 8P8= 8! = 40320 b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno? 8P3=8!/5! = 8x7x6 = 336

Permutaciones con repetición  una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de

objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k.

Ejemplo  Obtenga todas las señales posibles que se pueden

diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. Solución: n = 6 banderines x1 = 2 banderines rojos x2 = 3 banderines verdes x3 = 1 banderín morado

6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes

¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?

Combinatoria 

Permite calcular el número de grupos de tamaño r que se pueden obtener a partir de n objetos diferentes sin tener en cuenta su orden. El número de combinaciones de n objetos tomados de r es: n! n Cr  r ! n  r ! 1 3

2 4

1

2

4

2

4

1

3

2

4

3

3

1

Combinaciones  Los equipos A, B, C y D, son finalistas de un torneo.

¿Cuántos son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón? AB AC AD

BC BD

CD

Combinaciones

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Ejercicios  Encuentre el número de subconjuntos de tamaño 2 del

conjunto {a, b, c, d, e}.

 Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una

campaña pro limpieza del colegio, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos.

Ejercicios  Encuentre el número de subconjuntos de tamaño 2 del

conjunto {a, b, c, d, e}. 5C2 = 5!/3!2!  Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una

campaña pro limpieza del colegio, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos. 14C5 = 14!/9!5!

Ejemplo  Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete

mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:  Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

Ejercicio

2C1 x 6C4 x 5C4 x 3C2 = 2 x 15 x 5 x 3 = 450

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

 Interesa

la POSICIÓN de los elementos del grupo formado.

El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).

 Interesa

la PRESENCIA de los elementos del grupo formado.

El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Tenemos que mirar cuales son los eventos totales. Es decir de cuantas maneras podemos organizar los 15 aspirantes en grupos de 2. Es una permutación ya que importa el orden. 15P2=15!/13! = 15 x 14 Hay dos eventos favorables de todos los posibles.