∗
Matriz Inversa.
1.
Transpuesta de una matriz
Si A es una matriz m x n, entonces la transpuesta de A, denotada por AT , se de ne como la matriz n x m que resulta de intercambiar los renglones y las columnas de A. Si A=
a11 a21
a12 , a22
a11 a12
AT =
a21 a22
En general (aij )T = (aji ). La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas; es decir,
(A + B)T = AT + B T . Ejemplo:
Sean las matrices:
A=
2 4
9 , 3
B=
2 9
4 , 3
BT =
2 4
9 , 3
5 2
1 7
Sean entonces las matrices transpuestas: AT =
7 2
1 5
Es posible veri car que (A + B)T = AT + B T . Propuesto:
Sean las matrices:
A=
B=
1 7
5 2
Determinar: AB, (AB)T , AT , B T , B T AT . Veri car que (AB)T = B T AT . 2.
Matriz identidad
Si una matriz diagonal de orden n tiene todas sus entradas diagonales iguales a 1, entonces la llamaremos matriz identidad de orden n y la denotaremos por la letra I.
1 0
0 , 1
1 0 0
0 1 0
0 0 , 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 . 0 1
las anteriores matrices cuadradas que tienen unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella, son ejemplos de matrices identidad. La matriz identidad actúa exactamente como el número 1 en la multiplicación ordinaria. IA = AI = A, 3.
BI = IB = B.
Matriz inversa
Consideremos el sistema a11 x1 + a21 x2 = b1 a12 x1 + a22 x2 = b2 ∗ Eduard Rivera Henao. 2014-03-08. Álgebra Lineal.
1
4 Teorema
2
de dos ecuaciones lineales en x1 , y x2 . Este sistema se puede escribir como una sola ecuación , usando la notación de vector y matriz, veámos:
a (x1 , x2 ) 11 a21
a12 a22
= (b1 , b2 ).
Así, XA=b. Ahora, recordemos que en una ecuación algebraica de la forma xa = b, es posible despejar la variable 1 −1 . Donde a−1 es el inverso de a bajo la multipplicación. La ecuación XA=b es una x ; así x = a b, x = ba ecuación vector-matricial pero la división de matrices no está de nida para intentar despejar el vector X, pero sí podemos hablar de matrices inversas. Así, decimos que la matriz cuadrada A de orden n es invertible previsto que exista una matriz cuadrada B de orden n tal que: AB = BA = I
Donde I es la matriz identidad. Tenemos entonces la ecuación vector-matricial XA=b. Así X = bA−1 , donde A−1 es la matriz inversa de A bajo la multiplicación. Si A es una matriz de orden n y si A−1 es una matriz con la propiedad de que AA−1 = A−1 A = I, entonces −1 A es única. Ejemplo:
Si
A=
1 , 0
3 −2
Determinar una matriz B. Si tal matriz existe, con la propiedad de que AB = BA = I. Sea B=
hallaremos los valores p,q,r y
s
p r
q , s
tales que AB = I. Así, B = A−1 .
AB = I q 1 0 = s 0 1 3q + s 1 0 = −2q 0 1
1 p 0 r
3 −2 3p + r −2p
Igualando los elementos correspondientes de las matrices, tendremos: 3p + r = 1, 3q + s = 0, −2p = 0, −2q =
−1. Así, p = 0, q = − 21 , r = 1, s = 32 ; por lo tanto:
B=
− 21
0 1
,
3 2
donde B = A−1 , ya que AA−1 = I.
3 −2
1 0 0 1
Así, A 4.
−1
− 12 3 2
0 = 1
=
− 21 3 2
1 0
0 1
.
Teorema
Si A es una matriz cuya inversa A−1 existe, entonces la inversa de A−1 existe y (A−1 )−1 = A.
4 Teorema
3
Propuesto:
Veri car que AA−1 = I, donde
0 1
1 0 , A−1 = 1 0
1 1
0 1 −1 ,B = 1 −1
A=
y que BB −1 = I, donde B=
−1 , 1 0 . 1
Mostrar además que se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 . Buscaremos la forma de hallar la matriz inversa de A de una manera práctica; para esto recordaremos que el determinante de la matriz a c
A=
es el número real denotado por |A| o por y de nido por
a c a |A| = c
Para una matriz
b d
b = ad − bc. d
A=
buscaremos una matriz
b d
a c
b d
x y B= , z u
tal que AB = I, es decir, hallaremos A−1 , donde B = A−1 . Veámos: Si AB = I, entonces a c
b d
x y z u
=
1 0
0 . 1
Multiplicando tendremos: ax + bz cx + dz
ay + bu 1 = cy + du 0
0 1
Igualando tendremos las ecuaciones: ax + bz = 1, ay + bu = 0, cx + dz = 0, cy + du = 1. De las ecuaciones igualadas a cero dz podemos encontrar que: y = − bu a , x = − c , reemplazando en las ecuaciones igualadas a uno, tendremos: c a −b −d z = −ad+bc , u = −bc+ad . Por lo tanto: y = −bc+ad , x = −ad+bc . Así, A
−1
=
−d −ad+bc c −ad+bc
−b −bc+ad a −bc+ad
A−1 =
1 |A|
1 = ad − bc
d −b −c a
d −b . −c a
Consideremos dos casos: Si |A| = 0; no existen valores de x,y,z,u que satisfagan el sistema, excepto x = y = z = u = 0, pero entonces la matriz será igual a la matriz cero, y la matriz cero no tiene inversa. Por lo tanto, si |A| = 0, la matriz A no tendrá inversa. Si |A| = 6 0, entonces A
−1
1 = |A|
d −b . −c a
5 Teorema
5.
4
Teorema
La matriz
A=
a11 a21
a12 a22
tiene inversa A−1 si y solo si, |A| = 6 0. Por lo tanto: A
−1
1 = |A|
a22 −a21
−a12 . a11
Ejemplo:
Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la matriz inversa: Consideremos el sistema 3x1 + 4x2 = 7 x1 − 2x2 = 9
Si escribimos una ecuación vector-matricial equivalente de la forma (x1 , x2 )
3 4
Así nuestra matriz
1 −2
A=
XA=b,
tendremos:
= (7, 9).
1 , −2
3 4
para la cual podremos hallar una inversa si |A| = 6 0. Veámos: A−1 =
1 −10
−2 −4
−1 . 3
Resolver el sistema es despejar el vector X de la ecuación vector-matricial ambos lados de la igualdad por la inversa de A, así: XA
Para esto multiplicaremos en
=b
−1
= bA−1
XI
= bA−1
X
= bA−1
XAA
XA=b.
Veámos:
(x1 , x2 )
3 4
3 1 (x1 , x2 ) = (7, 9) 4 −2 1 1 −2 −1 −2 −1 1 = (7, 9) −2 −10 −4 3 −10 −4 3 1 1 0 −2 −1 (7, 9) (x1 , x2 ) = 0 1 −4 3 −10 1 (x1 , x2 ) = (−14 − 36, −7 + 27) −10 (x1 , x2 ) = (5, −2)
Así, x1 = 5, x2 = −2. Valores que satisfacen el sistema de ecuaciones lineales.
6 Ejercicios propuestos
6.
5
Ejercicios propuestos
1. Hallar el determinante de la matriz A; si |A| = 6 0, hallar la matriz A−1 y veri car que AA−1 = I. a
b
c
)
)
1 A= 5
3 . 7
4 A= 5
3 . 2
)
A=
d
) A=
5 1 . 10 2
9 3
2 . 1
2. Resolver el sistema dado, escribiendo una ecuación vector-matricial equivalente de la forma a
XA=b.
) 2x1 − 3x2 = 7 −5x1 + 4x2 = 13
b
) 3x1 + 4x2 = 10 7x1 − 2x2 = 12
c
) 5x1 + 8x2 = 6 4x1 − 3x2 = −2
d
) 7x1 + 4x2 = 10 2x1 + 5x2 = −1
3. Mostrar que para
A
de orden 2, |kA| = k2 |A|, donde k es un número real.
4. Sea A una matriz de orden 2, con |A| = 6 0, mostrar que el determinante de A−1 es igual al recíproco del 1 . determinante de A; es decir, mostrar que |A−1 | = |A| 5. Mostrar que si las matrices A y B son de orden 2, con |A| = 6 0, |B| = 6 0, se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 . Tener en cuenta que |A||B| = |AB|. 6. Veri car que para
A=
Se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 .
2 5
3 1 ,B = 8 2
−2 −3
