LA PROGRAMACION LINEAL Y EJEMPLOS DE SU APLICACION EN EL MANEJO DE BOSQUES

José Ciro HERNANDEZ DIAZ*

•Ing. Jefe deUCEF "Meango"'del Centro de Investigadonee .Forestdes del Norte (CIFONOR), IMF. SF-SARH. . . .



1 -=z 9 ...

I.

r

INTRODUCCION La programación lineal es una parte de la técnica más general llamada programación matemática y se usa para deter minar la mejor asignación de recursos limitados de una em presa ; dicha programación matemática comprende además de ^ la lineal, la programación cuadrática, la entera, la diná mica, la estocástica, etc . (1 :4 .). La versión actual de la técnica de programación lineal es de origen reciente ; en 1941 Hitchcock interpretó por primera vez un problema de transporte, tema que también estu dio Koopmans seis años después . En 1945, Stigler estudió el problema de la dieta y en 1947 el Dr . George D . Dant-zing y sus colaboradores encabezados por Marshall Wood de sarrollaron el método "Simplex" como un procedimiento de solución que permite reducir el número de pasos necesarios para optimizar un modelo de programación lineal .- Dantizing aplicó ese enfoque a

la

búsqueda de estrategias militares

durante la Segunda Guerra Mundial, pero predijo que podría aplicarse a los problemas de negocios y eso es lo que ocurre actualmente (4). Para poder áplicar programación lineal a la solución de un problema de negocios, se requiere llenar nueve requisitos básicos: 1) .

Se debe definir claramente una función objetivo, en forma matemática (3 .4 .)

2).

Debe haber cursos alternat3.vos de acción de entre -'los cuales se habrá de determinar una solución que satisfaga la función objetivo (4).

3).

Los• objetivos y restricciones de la empresa se debe rdn expresar como ecuaciones y desigualdades lineales (3 .4)

4).

El suministro de recursos ha de ser limitado (4)

5).

Las variables del problema deberán estar interrela= ciónadas como consecuencia de la condición anterior (3)

6).

La solución óptima debe contener solo variables con valores finitos (3)

7).

Los` insumos deben ser divisibles (1)

9) . No debe haber interacción entre procesos y activida des, es decir que el resultado total del proceso de be ser igual a la suma de las actividades que inter vienen . (1) (Una misma porción de un recurso no puede ser usado para producir dos cosas distintas) 9) . Se deben conocer con exactitud los "precios netos" (coeficientes de las variables en la función objeti vo, que indican el ingreso neto de cada actividad en problemas de maximización o el costo neto en pro blemas'de minimizeción), asf como los coeficientes de producción (coeficientes de las variables en las restricciones . que indican la cantidad que se necesi ta de cada recurso para obtener una unidad de actividad) . También debe conocerse con exactitud la -disponibilidad de cada recursos y todos esos datos conocidos se deben considerar constantes en el perfo do de análisis (1) . 6



Hl hecho de tener en cuenta los requisitos antes menciona'' dos,

da idea de la gran cantidad de análisis previo que -

se requiere antes de decidir si un problema dado se puede solucionar empleando programación lineal, pues cabe decir que hay otros métodos de optimizaci6n entre los cuales dei tacan el Análisis Marginal, aplicable cuando no bay res . tricci6n explícita de recursos y el método de Multiplicada res de Lagrange que sí contempla la restricción, de recursos y tiene la ventaja de poder usarse con funciones de -producción de cualquier grado . La Programación Lineal, -aunque se limita a funciones lineales, tiene la enorme ven taja de poder utilizarse para analizar problemas muy grandes y complejos (3). 1 .1 .

Ventajas de'la Programación Linea9, Son varias las ventajas de la Programación Lineal que se pueden señalar algunas de ellas son más. evidentes que otras, a continuación se enumeran las principales: 1).

Permite comparar un amplio rango de soluciones a]teT nativas y analizar sus consecuencias requiriendo para ello poco tiempo gerencial (2).

2).

Indica al administrador como emplear más eficazmente sus factores seleccionándolos y distribuyéndolos 4de` cuadamente (4).

3).

Hace que el administrador sea más objetivo en sus de cisiones al obtener todos los datos que puedan ser dtiles para la formulación matemática del, problema (4).

4).

Permite modificaciones a su solución matemática en .o favor de la conveniencia, mediante la inclusión de . restricciones formuladas adecuadamente (4). T



5) .

1 .2 .

La Programación Lineal, ' permite indentificar los "cuellos de botella" en las operaciones actuales.

Limitaciones delaProgramación Lineal

Cualquier

métódo matemático por eficaz que resulte, está

sujeto a limitaciones, la Programación Lineal no es una excepción . Éntrélas principales limitaciones de este.. mátodo se encuentran las siguientes: 1).

La Programación Lineal no puede auxiliar al gerente en la dificil tarea de formular expectativas de precio ; sino que éstos deben ser conocidos para -aplicar el proceso (2).

2).

Es de poca utilidad para estimar relaciones de insnmo-producto .• El planificador debe contar con estimaciones de la cantidad y distribución de mano de obra, tierra y capital necesarios' para producir. Estimaciones de este tipo resultan difíciles ; espe cialmenté cuando la empresa no lleva registros ade cuados (2 .4).

3).

La Programación Lineal se basa en el supuesto de que los precios y las `expectativas de insumo-pro-ducto formuladas fueran igualmente confiables para todos los productos . Es decir que no se toman en consideración situaciones de' riesgo en 'las decisio nes (2).

4).

Aveces resulta dificil especificar las restricciones (2).

5).

No se toma en cuenta los rendimientos marginales fisicos decrecientes, sino que se trabaja como si sólo se diera el caso de rendimientos constantes a escala, situación muchas veces errónea en la reali dad (2) . aar.. .--rr+ :aes~ ~~.~M~~xx ._



6).

Tampoco se puede» manejar adecuadamente las activida des que involucran costos decrecientes (2).

7).

Se requiere equipo de computación y rutinas de solu ción bien probadas a fin de tener éxito en la aplicación de programación lineal a la planeación, pues el logro de resultados realistas requiere utilizar un gran número de actividades y restricciones que seria prácticamente imposible manejar con calculado ra de escritorio (2).

2.

Forma elemental de un problema de P . L. a) .

Ejemplo de maximizaci6n:

1.

Considere:

Función objetivo

ma#cz= 3X 1 + 5X 2 S .a'. X1 1

4

Recurso 1

X2 S

6

Recurso 2

3X 1 + 2X2 c 18 Recurso 3 X 1 '- 0

Cond . de no

X2 L 0

Negatividad

Este ejemplo por tener solo dos variables, se puede plantear gráficamente, para ello: Paso 1 Graficar las desigualdades como igualdades: 9



2 3 4 5 6 1 El área sombreada representa la "Región o Conjunto de Solu ciones Factibles" . Esa región contiene todos los valores de X 1 y X 2 (incógnitas) que satisfacen las restricciones.

Los puntos : 0, a, b, d, se llaman "Puntos Extremos" o "Soluciones Factibles Básicas", si hay una solución única que maximize (o minimice) una función objetivo lineal, esa solución se localizará en uno de los puntos extremos. Paso 2 Encontrar los valores de X 1 y X 2 que maximicen la función objetivo . Desde luego esos valores deben ser parte de la región factible.

0 (0, a (0, . b (2, c (4, d(4,

0) 6) 6) 3) 0)

Z=3(0)+ 5 (0) Z=3(0)* 5 (6) Zt3(2)+ 5 (6) Z=3(4)+ 5 (3) Z=3(4)+ 5 {0) 10

0 30 36 óptimo 27 12

Algunas veces relajando una de las restricciones es posible aumentar las ganancias (o disminuir los costos). Note que el punto dado por X 1 = 2 y X 2 = 6, es la deseada solución única óptima y como antes se dijo es todavía un punto de la región factible. Como graficar la función objetivo: La pendiente de cualquier linea con respecto a la horizon tal está dada por: Pendiente

_ lo que sube _ S lo que corre - C

La pendiente de la función objetivo está dada por P 1 /P 2 lo cual se demuestra como sigue: Suponemos una Ganancia "G" cualquiera y la reemplazamos en la Función objetivo. G = P1X1 + P2X2 (1) Sabemos que: X1 = C X2 = S El máximo valor que puede tener X 1 es cuando X 2 = 0 Luego reemplazando X 2 = 0 en (1) G = P1X 1 + P 2 (0) = P 1X1 X1 = G = C p1 11

r,.

De manera similar, reemplazando `X 1-= 0 - eh (1) G

=

P 1 (0) +

X2 = G P2

2X2

=

Luego: S

Entonces en el ejmplo que estamos viendo, la pendiente de la fuiici$n objetivo esta dada . por 3/5 :, es decir, el coefi-

el eje-de X 2 .y el coeficiente de

ciente de X 1 se grafica en

X 2 se grafica en el eje de X1 y se unen esos puntos ; por -

lo

tantó se dice que la pendiente' de la f .o . es de la relación de precios. b . Ejemplo de minimización Considere: Min . C = 40X 1 + 200X 2 S .a.

(1)

4X 1 + '0X 2

a

160

(2)

3X 1 + 9OX 2

a

60

(3)

8X 1 +

80

1OX 2

X1

a

0

X2

t

0

la

inversa



Conociendo la pendiente de la función pbjetivo, se grafica y es sencillo estimar cuales son los puntos extremos más probables de constituir una soluci6n óptima, asf que solo a esos puntos se enfoca el --

Región factible

análisis, encontrando los valores de las X's y reemplazáis

dolos en la función objetivo . En este caso la intersección de las restricciones (1) y (2) constituye la solución de -costo mfnimo con C = 1000, (demostrarlo). 3.

Casos especiales 1 . Solución ilimitada . Es cuando un problema no tiene máximo finito para la función objetivo . Esto normalmente significa que el modelo matemático ha sido formulado incorrectamente. Ejemplo :

X 2

Z'max = 10X1 +20X 2

C

10

S .a . X 1 +5X2

5 Región factible

X2

1

a b 0

5



Soluciones infinitas . Ocurre algunas

veces, cúeñdó' - lá"-'`'

función objetivo coincide con una restricción. Restricciones redundantes .

Son aquéllas que no limi-

tan la región factible y que por lo tanto se podrían eliminar del modelo sin alterarlo. 4 . Solución no factible . Puede resultar si el modelo no está correctamente planteado. El método gráfico tiene la limitante de que no se pue de trabajar con más de 3 variables . Un método alterno es el "Simplex" que sirve pata cualquier ndmero de variables . , En problemas prácticos por lo general las variables y restricciones son numerosas, por lo que tienen que manejarse con equipo de computaci8n . Existen diversos paquetes listos para usarse y quebasan su solución también en el método "Simplex" 4.

La Programación Lineal en el Manejo de Bosques. Ejemplo 1 : Regulación de Bosques con P .L. El propietario de un predio boscoso desea aplicar 4 sistemas de manejo para establecer rendimientos iguales durante los próximos 50 afios. Su objetivo es maximizar el ingreso presente neto de su -bosque mientras desarrolla ese sistema de control . . Dada la siguiente información L Como se debería formular el problema matemáticamente para determinar el ndmero de hectáreas manejado con cada esquema?. 14



° -PLAN-'DE' -MANEJO

Ingreso neto descontado

1

2

3

4

por ha durante los próximos 50 años.

523

538

303

310

300

250

400

550

34

39

27

28

N° de hectáreas en donde el plan es aplicable (datos de inv .) MPD/ha posibles durante los siguientes 50 años .

El propietario desea que al menos 1 000 ha sean sometidas a alguno de los sistemas de manejo, pero cuando mucho 1 400 ha se pueden intervenir, debido a problemas de accesibilidad. Con los planes 1 y 2 se deben cosechar 11 000 MPD para esta blecer rendimiento sostenido, mientras que en los planes 3 y 4 requieren por lo menos 15 000 MPD. Es de esperarse que el mercado no pueda absorber más de - 30 000 MPD. Formulación: Xi

= hectáreas tratadas con el plan i F .O . max Z = 523X 1 + 538X 2 + 303X3 + 3. 10X4 S .a.

X 1 + X 2 + X3 + X 4

>-

1 000 ha

X1

:

1400ha

+X 2 +X3

+X4

34X 1 + 39X2

=

11 000

MPD

27X3 + 28X 4

s

15 000

MPD

15



34 X 1 + 39 X 2 + 2

X 3 _+ 28 X 4

30 000 MPD

X1

.. X2

300 =

X3

250

.

400 550

Ejemplo 2 . Regulación de bosques con P .L. Optimización de la conversión hacia cosecha obtenida Consideremos un bosque dividido en 4 compartimentos sobre la

base

de calidad de estación, E .R .T . y edad, el intérva

lo de tiempo entre cortas es de 5 afios, el periodo de con versión es de 20 años . Deseamos maximizar el volumen - aprovechado durante esos 20 años dadas ciertas restriccio nes que incluyen el criterio de cosecha sostenida . La si guíente información se basa en tablas locales . de produc-ci6n : Volumen/ha (pies) Periodo de corta Compartimiento

1

2

3

4

1

982

1100

1240

1300 .

650 ha

2

300

950

1200 .

1240

400 ha

3

1300

1390

1385

1200

710 ha

4

1500

1510 .1200

1000

550 ha

Los compartimentos i y 2 están ahora completamente poblados : Los compartimentos 3 y 4 están sobrepoblados . A -fin de mantener los compartimentos 1 y 2 en esa condición 16



CALCULO DEL VALOR DE UN ARBOL POR EL 111ETOD0 DE REPOSICION AJUSTADO.

r,

COSTO BASE DE

% FACTOR

% FACTOR

% FACTOR

REPOSICION

X ESPECIE

X CONDICION X UBICACION =

X 85%

X 90 %

VALOR ESTIMADO DEL ARBOL

EJEMPLO: 34 000

X 85%

22108

BIBLIOGRAFIA

DOYDEN, Stephen y John Celecia . 1981. Ecología de las ' megal6polis . El correo de la UNESCO . Abril, año XXXIV. Pág. 24-27

INTERNATIONAL Society of Arboriculture . 1983 . Guide for establishing values of trees and other plants . Council of tree and Landscape - Appraisers .

367



-

se requiere establecer cosechas iguales en cada p eríodo. Dado que los compartimentos 3 y 4 estén sobremaduros ( o sobrepoblados) para es blecer la relación apropiada de crecimiento-corta, la corta se debe incrementar en 10% cada período. El encargado del manejo del bosque considera necesario que cada hectárea de cada compartimento se coseche al me nos una vez durante el período de conversión. Cuando menos 100 ha habrán de cortarse durante cada c i clo de corta, a fin de poder negociar un contrato de - abastecimiento. Formulación: Xij = N° de hectáreas del compartimento i, aprovechadas en el período de corta j. F .O . Max Z = 982 X +

11

300 X 21

+' 1100 X1+ 1240 X 13 + 1300 X 14 +

+

4 . .

+ 1300 X 31 + . . .

+

+ 1500 X 41 + . . .

1240 X

1200 +.

24

X 34

1.000 X

44

S . a. 982 X 11

1100 X

12

=

0

1100 X Z2

1240 X 13

0

1240 X 13 -

1300 X

0

14

300 X 21

950 X 22

950 X2 2

1200 X 23

=

Cosechas iguales en el comp . 1, en cada período.

0 Cosechas iguales en

1200 X 23

-

1240 X 24 17

0 ▪

el comp . 2, en cada período.



. 1 .1 . (1300 X 31 ) - 1390 X32 _

v0_ =

~ _ _ Increm . de 10% por

1 .1 .

(1390 X 32 ) - 1385 X 33 = 0

periodo en el comp.

1 .1 .

(1385 X 33 ) - 1200 X 34 = 0

3.

1 .1 .

(1500 X 41 ) - 1510 X 42 = 0 Increm . de 10% por

1 .1 . (1510 X 42 ) - 1200 X 43 = 0

periodo en el comp.

1 .1 . (1200 X 43 ) - 1000 X 44 =

4.

X 11 + X 21 + X 31 + X41

e

X12+122 + X 32 + X 42

e. 100 ha

0

100 ha

Cosechar al menos 100 ha por período.

X 13 + X 23 + X 33 + X 43 s 100 ha X 14 + X 24 + X 34 + X 44 = 100 ha

Todas las Xij

>0

(cosechar c/ha al menos una vez)

982 X 11 + 300 X 21 + 1300 X 31 + 1500 X 41 - (1100 X 12 + + 950 X 22 + 1300 X 32 + .1510 X 42 ) = 0

Cosecha igual perío

dos 1 y 2. 1100 X 12 + 950 X 22 + 1390 X 32 + 1510 X 42 - (1240 X 13 + + 1200 X 23 + 1385 X 33 + 1200 X 43 ) = 0 Cosecha igual períodos 2 y 3. Hacer lo mismo para los periodos 3 y 4. Ejemplo 3 . Manejo de bosques con P .L. El bosque de la región de El Salto, P .N ., Dgo ., esta suje to a un programó de regulación que durará 60 afios . Durante ese periodo se aplicarán diversos tratamientos a cada . subrodal segdn sus condiciones . 18



Se tiene el objetivo de cortar el máximo volumen posible al mismo tiempo que se regulariza el bosque y se cumple con ciertos requisitos: Se aplicarán 5 tratamientos al bosque que son: Tratamiento

I .C . $

ter . Aclareo

1

20

2do . Aclareo

2

22

3er . Aclareo

3

25

Corta de regeneración

4

50

5

10

Corta de liberación con preaclareo

Las E .R .T . por sección y su distribución de productos -son como sigue :

Sección

Area

(ha)

ERT Mill .m3r

Distribución en valumen Triplay Aserrío

Durmiente

Cajas

Estacas

1

21,000

2 .5

3 %

20 %

15 %

15 $

25 %

2

27,000

3 .0

2 %

25 $

10 $

20 %

25 $

3 4

25,000 16,000

4 .5

4 $ 1 %

35 $ 15 51

20 $ 10 $

10 $ 15 %

15 $ 20 $

89,000

11 .5

Suma :-

El

1 .5

resto del volumen representa desperdicios.

Es intención de la D .T .F . regularizar el bosque en 6 pe-riodos dé corta de 10 años c/u, por lo cual en cada sec-ción se deberán aplicar los tratamientos como sigue: 19



En las secciones 1 y 2 es posible comenzar desde el primer periodo cortando igual superficie por cada tratamien to, en cada período de corta, aunque esto no es indispen sable. La sección 3 presenta bosque sobremaduro, por lo que en los primeros 3 periodos se deberá cortar igual volumen en los tratamientos 1, 2 y 3 ; al menos 40 % más en el -tratamiento 4 que en cualquiera de los 3 primeros y cuan do mucho 50 % del volumen en el 5° tratamiento con respecto al 4° tratamiento. La sección 4 sufrió hace 10 años un incendio por lo que ahora hay mucho renuevo pero no mucho arbolado grueso. A ello se debe que como corta de liberación se tenga que extraer más de 40 % del volumen aprovechable, mientras que el resto se repartirá en partes iguales en los otros 4 tratamientos . (solo en el primer período). Hay una industria local establecida que debe abastecerse al menos en un 80% de su capacidad instalada, la cual es como sigue : . Aserrio Caja clavada-y alambrada

400,000 m a r/año 280,000 m 3 r/año '680,000 m3 r/año

Así mismo la demanda de estaca para tutor de viñedo que se calcula será del orden de 100,000 m3r/año (mas de 10 millones de estacas) deberá surtirse cuando menos en un 90%.

El aserrio y la .madera para cajas-se obtiene de los tratamientos 1,2, 3 y 4 y 1a mitad del volumen del tratamien to 5 .



Con este sistema silvícola se desea incrementar el volumen total cortado por período, en un 10% con respecto al perio do anterior hasta llegar al 6°, después del cual se estabi lizará el volumen aprovechado por ciclo ya que para entonces se espera haber regularizado la totalidad del bosque. Como información adicional se conoce que cada hectárea por tratamiento y por sección produce la siguiente cantidad de madera en rollo total en cualquiera de los períodos de cor ta . Volumen de corta/ha en m .r .t.

Sección

1

2

Tratamiento 3

4

5

24

26

30

60

12

22

24

28

55

11

36

39

45

90

18

19

20

23

46

10

Definición de variables: Xijk = N° de hectáreas a las que se aplica el tratamiento i en la sección j, durante el período k.

i =

1,2,3,4,5

j = 1,2,3,4

k =

1,2,3,4,5,6

Función objetivo Max Z

=

24X

36X 19X 111 + 22X 121 + 131 + 141

26X

39X 20X 211 + 24X 221 + 231 + 241 21



Período 1 =

30X 60X 12X

24X 26X Período 2 =

28X

45X 23X 321 + 331 + 341

411 + 55X

.46X 421 + 90X 431 + 441

311 +

511 + 11X 521 + 18X 531 + 10X 541

112 +

. ..

+ 20X 242

212 +

30X

+ 23X

312 + 6OX 412 + 12X512

+

+ 19X 142

342

+ 46X ,•,

442 + 1 0X 542

Se colocan las variables correspondientes a los otros 4 períodos de corta . En total serán 120 variables (5 trat. X 4 secciones X 6 períodos). Restricciones 24X 26X 24X 26X 24X 26X

131

=

26X

231

=

30X

132

=

26X

232

=

30X

133

=

26X

=

30X

233

231 Igual volumen en los trat.

331

1,2,3 en la secc . 3 en los 3 232

primeros períodos.

332 233 333

1 .4(30X331) 4 60X

431

1 .4(30X332)4 60X 432 1 .4(30X333)




12X

°—

12X

el trat . 5° con respecto al 4° 532

en la secc . 3 en los 3 primeros

533

períodos.

19X 141

-

20X 241

20X

=

23X

= 23X 341

46X

241

. 40(19X

141

+20X

Cuando mucho 50% del volumen en

531

Igual volumen en los trat . 1,2, 3 y 4 en la secc . 4, período 1.

341 441

241

+23X

341

+46X 441 +10X 541 )

—

10X

541

Más de 40% del volumen en trat. 5 en la secc . 4, en el período 1. Cumplir con al menos 80% -

24X111+22X121+36X131+19X141+

+26X

211

+24X

221

+39X

231 +20X 241

+30X 311 +28X 321 +45X 331 +23X 341 +60X

411

+55X

421

+90X

431

+46X

+ de la industria en el perro do 1. +

441 +

+ .5(12X511+11X521+18X531+10X541) ?=

.80

(6 800 000)

Hacer lo adecuado para cada periodo restante.

.5(12X511+11X521+18X531+10X541)

.90 (1 000 000)

Demanda de estacas en el período 1. Hacer lo propio para los demás períodos. 23



+19X 1 .10(24X 111 +22X +36X 141 + 121 131 +26X +30X

211 +24X 221 +39X 231 311

+28X

+60X411+

321

+45X

331

.. .

+20X +23X

241 + 341 +

+46X 441

+

+10X +12X 541 ) 511 + . , = 24X

112

+22X

122

+36

132

+19X 142 +

+ 26X

+20X 242 + 212 + . ' + 30X + +23X 312 342 + + 60X412+ ,, . + 12X 512 +

+46X 442

Esta restricción representa que en el período 2 se cortará 10% mayor volumen .-con respecto al peno do 1.

Hay que hacer lo mismo entre los períodos 2 y 3, 3 y 4, 4 y 5, 5 y 6.

+

+10X 542

NOTA : Los datos del ejemplo anterior son supuestos y po siblemente haya incongruencia entre ellos . El ob jetivo del ejemplo es únicamente ilustrar el posi ble uso de la programación lineal en un problema del manejo de bosques.

24

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Esta primera edición consul de 1 500 ejemplares y se termini) de imprimir en dieiembre de 1985 en los Taperee de Impress. Venecia, S .A., Mártires de Is Conquista 20, Taeubaya, Mbacioo, D.F.

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