FIGURAS Y SIMETRIAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Ana María Redolfi Gandulfo (*), Universidad de Brasilia, Brasil [email protected] Márcia Helena Resende (*), Secretaría de Educación del Distrito Federal, Brasil .

[email protected] Maria do Carmo P. S. Colonna (*), Secretaría de Educación del Distrito Federal, Brasil [email protected]

Introducción La simetría tiene asociado un concepto de armonía de proporciones, de equilibrio, de belleza, de perfección y de una relación de integración entre el todo y sus partes. En el estudio geométrico definimos distintos tipos de simetría bidimensional y tridimensional, clasificamos las diferentes simetrías de las figuras y establecemos las bases para la construcción y la identificación de diversos patrones de simetría en la naturaleza orgánica e inorgánica, en arte y en arquitectura. En Geometría es adecuado aplicar el proceso de enseñanza fundamentado en las actividades creativas y en los descubrimientos, donde los alumnos son los

constructores de sus conocimientos y el profesor es el

orientador del proceso constructivo. El medio ambiente y los recursos naturales son objetos de estudio y de desenvolvimiento de la capacidad creadora de la humanidad y la Geometría ofrece muchas y variadas posibilidades en la hora de experimentar. Los modelos pedagógicos tienen un papel importante en la enseñanza de la Geometría y son utilizados en la explicación de los fenómenos naturales, en la verificación empírica de los conceptos y en la resolución de problemas. En este trabajo, el abordaje de los temas teóricos incluye la realización de experiencias y la resolución de problemas con diferentes materiales didácticos. Por motivos de limitación de espacio, omitimos en esta presentación los enunciados de las actividades y la descripción de los modelos utilizados en el desenvolvimiento de las mismas. Todos ellos y las correspondientes soluciones, serán colocadas a disposición de los profesores participantes del cursillo.

(*) Todas las autoras son parcialmente apoyadas por la Financiadora de Estudios y Proyectos (FINEP) del Ministerio da Ciencia y Tecnología, Brasil, mediante el programa CIÊNCIA PARA TODOS, Proyecto: Melhoria do Ensino de Ciências no Nível Médio.

1. Simetrías Primeramente consideraremos las transformaciones del espacio (del plano) en general y luego las transformaciones que preservan la forma y el tamaño de las figuras. Una transformación T del espacio Ε,

(del plano

) es una

correspondencia biunívoca tal que para todo punto Ρ existe un único punto Q de modo que e, recíprocamente, para cada punto

del espacio existe un punto Ρ tal que

. Para cada transformación T del espacio existe la transformación inversa la transformación definida por

que es

si y solamente si

La transformación identidad (Id) es una aplicación que deja fijo todo punto del espacio y es definida por

para todo punto P del espacio. La transformación inversa

coincide con la transformación identidad, La composición o producto de dos transformaciones resultante de la aplicación sucesiva de las aplicaciones definida por

T

e

es una transformación y

, por lo tanto

es

para todo punto P del espacio. Esta

definición se extiende a un número finito de transformaciones y el producto es asociativo, . La transformación inversa

esto es, transformación compuesta

T

de la

es definida por

=

. En general, el producto de transformaciones no es conmutativo. Una isometría T es una transformación que para cualquier par de puntos A e B del espacio, la distancia entre sus imágenes

y

es igual a la distancia entre los

puntos: Las isometrías transforman rectas, semirrectas, segmentos de rectas, rectas paralelas, rectas perpendiculares, ángulos, triángulos y planos en rectas, semirrectas, segmentos de rectas, rectas paralelas, rectas perpendiculares, ángulos, triángulos y planos, estas propiedades son consecuencia de la definición. La transformación inversa de cualquier isometría es una isometría. Una simetría

de un conjunto K es cualquier isometría

del espacio que deja K

invariante, aunque os pontos de K pueden haber sido transformados. Luego, una isometría es una simetría del conjunto K si

K) = K ; esta definición no implica que los puntos

del conjunto K también son invariantes.

Una reflexión en el plano sobre sí mismo,

(en la recta r) es una aplicación

(

que aplica cualquier punto Ρ del espacio (plano)

en su imagen especular Ρ´ con respecto a

(con respecto a ). Logo,

solamente si Ρ e Ρ´ están en una misma recta r, perpendicular a equidistantes de plano

del espacio

si y

, y ambos puntos son

, decimos entonces que Ρ e Ρ´ son puntos simétricos con respecto al

(a la recta r). Toda reflexión en un plano (en una recta) es una isometría. Una figura F tiene simetría de reflexión con respecto a un plano

o simetría

bilateral (simetría axial) si la figura se transforma en ella misma por reflexión con respecto al plano

(con respecto a una recta r), o sea que F es la unión de una mitad F de

la figura y de su imagen especular F con respecto a un espejo imaginario localizado en el plano

(en la recta r). Un plano de simetría (eje de reflexión) de una figura F es un plano con la propiedad

que para cada punto Ρ de la figura F el punto simétrico Ρ´ también pertenece a F. Cada punto de

(de r) es punto fijo para la reflexión

si

La inversa de una reflexión es una isometría definida por una reflexión es su propia inversa y La reflexión

aplica el triángulo

( ABC en el triángulo

(

), luego ).

A´B´C´, mas al recorrer los

vértices de ambos triángulos en ese orden A-B-C-A, se observa en la Figura 1 que el primer triángulo es recorrido en el sentido horario y en esa orden A´-B´-C´-A´ se recorre el segundo triángulo en sentido anti horario; en el espacio se aplica la regla del sacacorchos. Toda isometría que revierte el sentido de un tetraedro (triángulo) es llamada isometría impropia o movimiento inverso. Una translación según el segmento orientado

es una aplicación

que aplica cada punto Ρ del plano en un punto Q tal que los segmentos AB y ΡQ son paralelos, congruentes y del mismo sentido. Sigue que si AB y ΡQ no son alineados

entonces forman un paralelogramo, se AB y ΡQ son alineados entonces los segmentos y BΡ tienen el mismo punto medio. Una translación preserva las rectas paralelas a

es una isometría que

y no tiene puntos fijos. La inversa es definida por

. Una rotación en torno de una recta r en el espacio (de un punto fijo О) y de ángulo orientado

es una aplicación

(

) que aplica cada punto Ρ del

espacio (del plano) en un punto Ρ´, y

(

tiene la misma orientación que

), tal que . La recta r es el eje de rotación (el

punto О es el centro de rotación) y los puntos de la recta r son puntos fijos de el único punto fijo de definida por

(О es

). Toda rotación es una isometría y la rotación inversa es (

).

Las translaciones y las rotaciones preservan el sentido de un tetraedro (triángulo) y son llamadas isometrías propias o movimientos directos, ver Figura 1 Una figura F tiene simetría rotacional de ángulo

con respecto a una recta

r (a un punto О) si la figura se transforma en ella misma por la rotación Una figura F tiene simetría central con respecto a un ponto para cada punto

F la imagen

medio del segmento ΡΡ´. El punto

,

(

F,

). , si

, también pertenece a F y

es punto

es el centro de simetría de la figura F

2. Figuras y Simetrías El conjunto de todas las simetrías de una figura F forma un grupo: es un conjunto no vacío porque la isometría identidad pertenece a él; se dos simetrías están en el conjunto también el producto de las dos está allí, entonces ese conjunto es cerrado; para cada simetría del conjunto también la simetría inversa pertenece al conjunto entonces cada elemento tiene su inverso perteneciente a ese conjunto. El grupo de simetría de una figura es el conjunto de todas las simetrías de la figura. El libro de espejos o caleidoscopio diédrico es una herramienta útil para determinar las simetrías de figuras planas.

Estudiar

y

comparar

los

grupos de simetría de las figuras representadas en la Figura 2.

Los poliedros regulares tienen centro de simetría, ejes y planos de simetría interesa determinar todos ellos y compararlos. Ejemplos de esas simetrías están en la Figura 4.

En el estudio de las simetrías de los poliedros regulares, son herramientas de grande utilidad los caleidoscopios poliédricos, como los de la Figura 5.

3. Mosaicos y Empaquetamientos Fedorov, cristalógrafo ruso, limitó a 17 las estructuras básicas para la formación de mosaicos periódicos en el plano y también hizo importantes contribuciones al estudio de los poliedros convexos que forman empaquetamientos en el espacio, relacionados con sus estudios fundamentales sobre formación de los cristales. Ejemplos de ambos en la Fig 6.

4. Simetría, Naturaleza, Arte y Arquitectura Ejemplos de simetría existen en abundancia en la naturaleza, en las artes, en arquitectura, etc. Ellos son nuestra motivación para estudiar el tema como un vasto campo de aplicaciones de los conceptos tratados. Siguen aquí unos pocos ejemplos.

Referencias Alsina, C., Burgués, C., Fortuny, J., Giménez, J. y Torra, M. – Enseñar Matemática. Barcelona. Editora Graó (1998). Coxeter, H. S. M. – Introduction to Geometry. New York. John Wiley (1971) Hoffer, A. – Van Hiele-based Research. New York. Academic Press (1983). Holden, A. – Shapes, space and symmetry. New York. Dover (1991) Weyl, H. – Symmetry. New Jersey. Princeton University Press (1989)