Cap´ıtulo 7

El teorema de punto fijo y aplicaciones

1.

Problemas de valor inicial

La primera motivaci´ on para el contenido de este cap´ıtulo es el estudo de la ecuaci´ on diferencial ordinaria (7.1a)

x0 (t) = F (x(t), t),

donde buscamos una funci´ on t 7→ x(t) : R → Rl que satisfaga la ecuaci´ on l l (7.1), donde F : R × R → R . En particular, nos interesa la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Bajo qu´e condiciones en F la ecuaci´ on (7.1a) tiene soluci´ on en un intervalo (−ε, ε) que satisface (7.1b)

x(0) = x0 ,

x0 ∈ Rl , como condici´ on inicial?

A la pareja de ecuaciones (7.1) se le denomina problema de valor inicial, y nos referiremos a ´el como PVI. Observemos que si integramos con respecto a la variable t la ecuaci´ on (7.1a), y haciendo uso del valor inicial (7.1b) y del teorema fundamental del c´alculo, llegamos a la ecuaci´ on integral Z t F (x(s), s)ds. (7.2) x(t) = x0 + 0

Observamos que, si F es continua, la ecuaci´ on (7.2) es equivalente al PVI ´ (7.1), de nuevo por el teorema fundamental del c´alculo. Esto quiere decir que si la funci´ on x(t) es una soluci´ on de (7.1), entonces es tambi´en una soluci´ on de (7.2) y viceversa. As´ı que podemos estudiar el PVI (7.1) a trav´es de la ecuaci´ on integral (7.2). 115

116

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

La principal ventaja de escribir el PVI como la ecuaci´ on (7.2), es el hecho que, si F es continua, entonces el operador x 7→ Φ(x) definido por Z t F (x(s), s)ds Φ(x)(t) = x0 + 0

C([−r, r], Rl )

es continuo en el espacio de las funciones continuas en un intervalo [−r, r] alrededor de 0. Por lo tanto, reducimos entonces el problema al estudio del operador Φ sobre este espacio, para el cual hemos estudiado su estructura con detalle. En particular, observamos que una soluci´ on x(t) al PVI satisface la ecuaci´ on Φ(x) = x, por lo que entonces x es un punto fijo de Φ. De tal forma que reducimos el trabajo a la respuesta de las siguientes dos preguntas: 1. ¿Bajo qu´e condiciones en F podemos garantizar que el operador Φ tiene un punto fijo en C([−ε, ε], Rl ), para alg´ un ε > 0? 2. ¿Bajo qu´e condiciones podemos garantizar que este punto fijo es u ´nico? La segunda pregunta es importante, porque responde a la pregunta sobre la unicidad de la soluci´ on al PVI (7.1). Los siguientes dos ejemplos muestran distintas situaciones sobre unicidad de la soluci´ on. Ejemplo 7.1. Consideremos el problema de valor inicial x0 (t) = λx(t), λ ∈ R, con x(t) = 1. Es f´acil ver que la funci´on x(t) = eλt satisface este PVI, as´ı como tambi´en es un punto fijo del operador Φ con F (x, t) = λx, ya que Z t λt λeλt dt = eλt . Φ(e ) = 1 + 0

Mas a´ un, podemos verificar que esta soluci´ on es u ´nica: Si y(t) es una soluci´ on −λt al PVI, consideramos f (t) = e y(t). Entonces f 0 (t) = −λe−λt y(t) + e−λt y 0 (t) = (−λy(t) + y 0 (t))e−λt = 0 para todo t, por lo que f (t) es entonces constante, por el teorema del valor medio. Como f (0) = y(0) = 1, entonces f (t) = 1 y, por lo tanto, y(t) = eλt . No es muy dif´ıcil mostrar, de manera similar, que la soluci´ on a la ecuaci´ on x0 (t) = f (t)x(t), x(0) = x0 ∈ R, donde f : R → R es continua, es u ´nica, utilizando el teorema del valor medio (ejercicio 1). p Ejemplo 7.2. Consideremos ahora el PVI dado por x0 (t) = x(t), con x(0) = 0. Es claro que la soluci´ on constante trivial x(t) = 0 para todo t es

2. El teorema de contracci´ on

117

una soluci´ on a este problema. Sin embargo, la funci´on  0 t≤0 (7.3) x(t) = t2  t > 0, 4 es tambi´en soluci´ on. As´ı que este problema no tiene soluci´ on u ´nica. De hecho, el PVI del ejemplo 7.2 tiene una infinidad de soluciones (ejercicio 2). En las siguientes secciones comprenderemos la raz´ on por lo cual los dos ejemplos previos tienen distinta unicidad de soluciones, lo cual haremos a trav´es del teorema de punto fijo de Banach.

2.

El teorema de contracci´ on

En esta secci´ on mostraremos el teorema de contracci´ on de Banach, con el cual obtendremos, m´ as adelantes, condiciones para resolver el PVI descrito en la secci´ on anterior. Definici´ on 7.3. Dada una funci´on f : X → X de un conjunto en s´ı mismo, decimos que x es un punto fijo de f si f (x) = x. Ejemplo 7.4. Consideremos la funci´on en R dada por f (x) = 2x + 1. Entonces, como f (−1) = −1, −1 es un punto fijo de f . Ejemplo 7.5. La funci´ on f (x) = x + 1 no tiene puntos fijos en R. Un “teorema de punto fijo” es un enunciado que garantiza la existencia y unicidad de un punto fijo, bajo ciertas condiciones, de una funci´on dada. Definici´ on 7.6. Sean (X, d) y (Y, d0 ) dos espacios m´etricos, y φ : X → Y . Decimos que φ es una contracci´ on si existe un n´ umero α, 0 ≤ α < 1, tal que d0 (φ(x), φ(y)) ≤ αd(x, y)

para todo x y y en X. Es decir, una contracci´ on reduce distancias entre puntos. Notemos que en el caso α = 0, φ es una funci´on constante. En general, decimos que la funci´ on f : X → Y , donde (X, d) y (Y, d0 ) son dos espacios m´etricos, es una funci´ on de Lipschitz con constante L, si para todo x, y ∈ X, d0 (f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y).

Por lo tanto, una contracci´ on es una funci´on de Lipschitz con constante menor que 1. M´as a´ un, toda contracci´ on es uniformemente continua (ejercicio 3).

118

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

Ejemplo 7.7. Sea A la matriz de 2 × 2 dada por   1/12 5/8 , A= 5/8 1/12 y consideramos la funci´ on en R2 dada por x 7→ Ax + (ejercicio 4) mostrar que ||Ax||E ≤

  1 . No es muy dif´ıcil 1

1 ||x||E , 2

y entonces, para x, y ∈ R2 ,        1 1 1 − Ay + ≤ ||x − y||E , Ax + 1 1 2 E   1 es una contracci´ on. por lo que funci´ on x 7→ Ax + 1 Ejemplo 7.8. Consideramos el operador I en C([0, 1/2]) dado por Z 1 2 f, If (x) = 0

para f ∈ C([0, 1/2]). Entonces |If (x)| ≤

Z

0

1 2

1 |f (t)|dt ≤ ||f ||u , 2

y por lo tanto I es una contracci´ on en C([0, 1/2]), ya que ||If − Ig||u ≤

1 ||f − g||u 2

para f, g ∈ C([0, 1/2]). A continuaci´ on enunciamos el teorema de Banach, que establece que las contracciones en espacios completos tienen puntos fijos u ´nicos. Teorema 7.9 (Contracci´ on de Banach). Sea (X, d) un espacio m´etrico completo. Si la funci´ on φ : X → X es una contracci´ on, entonces φ tiene un u ´nico punto fijo. Demostraci´ on. Sea x0 ∈ X y constru´ımos la sucesi´on (xn ) en X de la forma x1 = φ(x0 ), xn+1 = φ(xn ), n = 1, 2, . . . . Mostraremos primero que (xn ) es una sucesi´on de Cauchy y, por la completitud de X, converge.

2. El teorema de contracci´ on

119

Sean n > m. Entonces d(xn , xm ) = d(φ(xn−1 ), φ(xm−1 )) ≤ αd(xn−1 , xm−1 ) ≤ α2 d(xn−2 , xm−2 ) ≤ αm d(xn−m , x0 )


≤ αm d(xn−m , xn−m−1 ) + . . . + d(x1 , x0 )
≤ αm αn−m−1 + . . . + 1 d(x1 , x0 )

αm αm (1 − αm−n ) d(x1 , x0 ) ≤ d(x1 , x0 ). 1−α 1−α → 0. Entonces, si ε > 0 y N es tal que

= Como 0 ≤ α < 1, αm

αN d(x1 , x0 ) < ε, 1−α entonces d(xn , xm ) < ε para n, m ≥ N , por lo que (xn ) es una sucesi´on de Cauchy.

Suponemos entonces que xn → x ˜. Demostraremos que x ˜ es un punto fijo mostrando que d(˜ x, φ(˜ x)) < ε, para todo ε > 0. Como xn → x ˜, sea N > 0 tal que d(xn , x ˜) < ε/2 para todo n ≥ N . Entonces d(˜ x, φ(˜ x)) ≤ d(˜ x, xN +1 ) + d(xN +1 , φ(˜ x)) ε ε < + d(φ(xN ), φ(˜ x)) ≤ + αd(xN , x ˜) 2 2 ε ε + α < ε. < 2 2 Para mostrar la unicidad, supongamos que x ˜ y y˜ son dos puntos fijos de φ. Entonces d(˜ x, y˜) = d(φ(˜ x), φ(˜ y )) ≤ αd(˜ x, y˜), y, como α < 1, ´esto es posible solo si x ˜ = y˜.



Ejemplo 7.10. Si A es la matriz del ejemplo 7.7, entonces la funci´on x 7→   1 es una contracci´ on, y por lo tanto tiene un u ´nico punto φ(x) = Ax + 1 fijo. No es dif´ıcil verificar que este punto es   24/7 . x0 = 24/7 Ejemplo 7.11. La funci´ on f 7→ If del ejemplo 7.8 es una contracci´ on, por lo que tiene un u ´nico punto fijo: la funci´on constante f = 0. Para finalizar esta secci´ on observamos que, por la parte final de la demostraci´on del teorema 7.9, si X ⊂ Y y φ : X → Y es una contracci´ on, entonces, en el caso en que φ tiene un punto fijo, este punto fijo debe ser u ´nico.

120

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

3.

Existencia y unicidad de soluciones Consideremos entonces la ecuaci´ on integral (7.2), donde F : Rl × R → Rl

y

x0 ∈ Rl .

Sea r > 0 y definimos el operador Φ : C([−r, r], Rl ) → C([−r, r], Rl ) dado por (7.4)

Φ(x)(t) = x0 +

Z

t

F (x(s), s)ds. 0

El operador Φ est´ a bien definido, ya que si x y F son continuas, entonces s → F (x(s), s) tambi´en es continua, por lo que es Riemann-integrable (componente por componente) y la integral (indefinida) es una funci´on continua. De hecho, si F es continua, esta integral es diferenciable y (Φ(x))0 (t) = F (x(t), t), por el teorema fundamental del c´alculo. Entonces Φ toma valores en C 1 ([−r, r], Rl ), el espacio de funciones de [−r, r] en Rl diferenciables y con derivada continua. Esta observaci´ on nos lleva a la siguiente conclusi´on: para encontrar las soluciones a la ecuaci´ on (7.2), es necesario y suficiente encontrar los puntos fijos del operador Φ. Utilizaremos el teorema de contracci´ on de Banach, por lo que necesitamos condiciones para las cuales el operador Φ es una contracci´ on. Observemos que si x, y ∈ C([−r, r], Rl ), entonces m´ ax ||Φ(x)(t) − Φ(y)(t)||E Z t
m´ ax F (x(s), s) − F (y(s), s) ds

du (Φ(x), Φ(y)) =

t∈[−r,r]

=

t∈[−r,r]

≤

m´ ax

Z

t∈[−r,r] 0

0 |t|

E

F (x(s), s) − F (y(s), s) ds, E

donde hemos usado el hecho que, si f : [a, b] → Rl es Riemann-integrable, entonces Z b Z b ≤ f (t)dt ||f (t)||E dt a

E

a

(ejercicio 5). Entonces necesitamos de una estimaci´ on apropiada de la diferencia F (x(s), s) − F (y(s), s) . E

121

3. Existencia y unicidad de soluciones

Teorema 7.12. Sea F : Rl × R → Rl una funci´ on continua, tal que es de Lipschitz en la primer variable con constante M independiente de la segunda variable. Es decir, para x, y ∈ Rl y t ∈ R, F (x, t) − F (y, t) ≤ M ||x − y||E . (7.5) E Entonces, existe ε > 0 tal que el operador

Φ : C([−ε, ε], Rl ) → C 1 ([−ε, ε], Rl ) ⊂ C([−ε, ε], Rl ), dado por Φ(x)(t) = x0 + tiene un u ´nico punto fijo.

Z

t

F (x(s), s)ds, 0

t ∈ [−ε, ε],

α . Entonces, para t ∈ [−ε, ε], M Z |t| F (x(s), s) − F (y(s), s) ds ≤ E

Demostraci´ on. Sean 0 < α < 1 y 0 < ε < Φ(x)(t) − Φ(y)(t) E

0

≤

Z

|t|

M x(s) − y(s) E ds

0

≤ M

Z

|t|

||x − y||u ds = M ||x − y||u |t|

0

≤ α||x − y||u , uniformemente en t ∈ [−ε, ε]. Por lo tanto ||Φ(x) − Φ(y)||u ≤ α||x − y||u ,

y entonces Φ es una contracci´ on en C([−ε, ε], Rl ). Por el teorema de contracci´ on de Banach, Φ tiene un u ´nico punto fijo.  Tenemos entonces, en t´ermino del PVI (7.1), el siguiente resultado. Corolario 7.13. Si F satisface las condiciones del Teorema 7.12, entonces existe un ε > 0 tal que el PVI (7.1) tiene una u ´nica soluci´ on en el intervalo (−ε, ε). Ejemplo 7.14. Consideremos el problema  x0 (t) = tx x2 + 1 x(0) = 1.

No es muy dif´ıcil verificar, si hacemos

F (x, t) =

tx , +1

x2

122

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

que F satisface, para t ∈ [−ε, ε], |F (x, t) − F (y, t)| ≤ ε|x − y|. Entonces el PVI tiene soluci´ on u ´nica en un intervalo alrededor de 0. √ Observamos que la funci´on x no es una funci´on de Lipschitz en [0, ∞) (ejercicio 7), lo que explica por qu´e el PVI del ejemplo 7.2 tiene m´ as de una soluci´ on. El corolario 7.13 garantiza la existencia y unicidad de la soluci´ on del problema de valor inicial de primer orden (7.1). Sin embargo, es posible extender este resultado a ecuaciones diferenciales ordinarias de orden k, para k ≥ 1, de la forma (7.6a)

x(k) (t) = F (xk−1 (t), xk−2 (t), . . . , x0 (t), x(t), t),

donde l l l l F :R | × R{z× · · · R} ×R → R , k veces

y con condiciones iniciales (7.6b)

x(0) = x0 ,

x0 (0) = x1 ,

...

x(k−1) (0) = xk−1 ,

x0 , x1 , . . . , xk−1 ∈ Rl . Corolario 7.15. Si la funci´ on F satisface las hip´ otesis del Teorema 7.12, vista como una funci´ on en Rnk ×R, entonces existe ε > 0 tal que el problema de valor inicial (7.6) tiene una u ´nica soluci´ on en el intervalo (−ε, ε) ⊂ [−r, r], Demostraci´ on. Considere las nuevas funciones y1 (t) = x(t) y2 (t) = x0 (t) .. . yk (t) = x(k−1) (t) y(t) = (y1 (t), y2 (t), . . . , yk (t)) G(y, t) = y el punto


y2 , . . . , yk , F (yk , yk−1 , . . . , y1 , t) , y0 = (x0 , x1 , . . . , xk−1 ).

Entonces, el PVI (7.6) es equivalente a y 0 (t) = G(y(t), t), y(0) = y0 ,

4. Los teoremas de la funci´ on inversa e impl´ıcita

123

y, como F satisface las condiciones de Lipschitz, entonces G : Rnk × [−r, r] → Rnk tambi´en satisface las condiciones de Lipschitz del teorema 7.12 (aunque con distintas constantes), por lo que el corolario se concluye de una aplicaci´ on del corolario 7.13.  Ejemplo 7.16. Consideramos el PVI  00  θ (t) = − sen θ(t) θ(0) = θ0   0 θ (0) = ω0 .

Este sistema describe el movimiento de un p´endulo. Observamos que, si definimos F (x, y, t) = − sen x,

entonces

|F (x, y, t) − F (u, v, t)| ≤ |x − u| ≤ ||(x, y) − (u, v)||E ,

para todo (x, y, t), (u, v, t) ∈ R2 ×R. Entonces el PVI tiene una u ´nica soluci´ on alrededor de t = 0. Observemos que la versi´ on local del teorema 7.12, y del corolario 7.13, tambi´en es v´alida. Es decir, es suficiente con suponer que F est´ a definida en un conjunto abierto U ⊂ Rl × R alrededor del punto (x0 , 0) y que satisface la condici´ on de Lipschitz en x uniformemente en t. Con estos m´etodos es posible estudiar el PVI F (x0 (t), x(t), t) = 0,

x(0) = x0 ∈ Rl ,

para una funci´ on F : Rl × Rl × R → R. Sin embargo, ahora tambi´en es necesario establecer las condiciones para las cuales podemos resolver para x0 , y entonces aplicar el corolario 7.13. Para esto es necesario usar el teorema de la funci´ on impl´ıcita, el cual repasaremos en la siguiente secci´ on.

4.

Los teoremas de la funci´ on inversa e impl´ıcita

En esta secci´ on repasaremos los teoremas de la funci´on inversa y de la funci´ on impl´ıcita, y daremos una demostraci´on de ellos basada en el teorema de punto fijo, tomada de [6], como una aplicaci´ on m´ as del teorema 7.9. Iniciamos con algunas observaciones referentes a transformaciones lineales. Recordemos que, si T : Rl → Rm es una transformaci´on lineal, entonces es continua, por el teorema 4.15, y adem´ as existe M > 0 tal que ||T x||E ≤ M ||x||E

124

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

para todo x ∈ Rl . Si definimos por ||T ||L el ´ınfimo de tales M ,

||T ||L = ´ınf{M > 0 : ||T x||E ≤ M ||x||E para todo x ∈ Rl },

(7.7)

entonces ||·||L es una norma en el espacio de las transformaciones lineales de Rl en Rm , que denotaremos por L(Rl , Rm ) (ejercicio 10). Observamos que ||T ||L es de hecho una de las M de la definici´on (7.7), es decir, para todo x ∈ Rl , ||T x||E ≤ ||T ||L ||x||E .

(7.8)

Para verificar (7.8), suponemos que existe x0 ∈ Rl tal que ||T x0 ||E > (||T ||L + ε)||x0 ||E ,

(7.9)

para alg´ un ε > 0. Ahora bien, como ||T ||L es un ´ınfimo, existe M > 0 tal que ||T x||E ≤ M ||x||E

para todo x ∈ Rl , y ||T ||L ≤ M < ||T ||L + ε. Pero esto contradice (7.9), porque ||T x0 ||E > (||T ||L + ε)||x0 ||E > M ||x0 ||E . M´as a´ un, ||T ||L tambi´en est´ a dada por el supremo de las normas ||T x||E , ¯1 (0) en Rl , de radio 1, con tomado sobre los vectores x en la bola cerrada B centro en el origen (ejercicio 11). Tambi´en podemos verificar la desigualdad ||T S||L ≤ ||T ||L ||S||L ,

(7.10)

para S ∈ L(Rl , Rm ) y T ∈ L(Rm , Rp ): Si x ∈ Rl , entonces ||T Sx||E ≤ ||T ||L ||Sx||E ≤ ||T ||L ||S||L ||x||E . M´as adelante haremos uso de la siguiente proposici´ on. Cuando m = l, denotamos como L(Rl ) al espacio L(Rl , Rl ). Proposici´ on 7.17. que

1. Si T ∈ L(Rl ) es invertible y S ∈ L(Rl ) es tal ||T − S||L ||T −1 ||L < 1,

entonces S es invertible.

2. El conjunto GL(l) de transformaciones invertibles es abierto en el espacio L(Rl ), y la funci´ on T 7→ T −1 es continua en GL(l). Demostraci´ on. 1. Observamos que es suficiente con mostrar que S es inyectiva y, a su vez, con mostrar que ker S = {0}. Ahora bien, ||x||E = ||T −1 T x||E ≤ ||T −1 ||L ||T x||E .

125

4. Los teoremas de la funci´ on inversa e impl´ıcita

Entonces, por la desigualdad del tri´ angulo, ||Sx||E ≥ ||T x||E − ||(S − T )x||E

≥ ||T −1 ||−1 L ||x||E − ||S − T ||L ||x||E
−1 −1 = ||T ||L 1 − ||T − S||L ||T −1 ||L ||x||E .

Como ||T − S||L ||T −1 ||L < 1, tenemos entonces que ||Sx||E = 0 solo si ||x||E = 0, por lo que S es inyectiva.

2. Por la primera parte, si T ∈ GL(l), tenemos que BrL (T ) ⊂ GL(l),

l L donde r = ||T −1 ||−1 L y B1 (T ) es la bola de radio r en L(R ) alrededor de T . Entonces GL(l) es abierto. Para mostrar la continuidad de la inversa, observamos primero que, si T, S ∈ GL(l), entonces

(7.11) ||T −1 − S −1 ||L = ||T −1 (S − T )S −1 ||L ≤ ||T −1 ||L ||T − S||L ||S −1 ||L , por la desigualdad (7.10). Ahora bien, tenemos que
||Sx||E ≥ ||T −1 ||−1 L − ||S − T ||L ||x||E ,

por lo que entonces

||S −1 x||E ≤ ||T −1 ||−1 L − ||S − T ||L


−1

||x||E .

1 Si tenemos que ||T − S||E < ||T −1 ||−1 L , entonces 2 ||S −1 x||E ≤ 2||T −1 ||L ||x||E ,

y por lo tanto ||S −1 ||L ≤ 2||T −1 ||L . Combinando con la ecuaci´ on (7.11) obtenemos ||T −1 − S −1 ||L ≤ 2||T −1 ||2L ||T − S||L ,

lo cual demuestra la continuidad de la funci´on T 7→ T −1 en GL(l).



Recordemos que, si U es un conjunto abierto en Rl , entonces una funci´on f : U → Rm es diferenciable en x0 ∈ U si existe una transformaci´on lineal T ∈ L(Rl , Rm ) tal que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, si h ∈ Rl satisface ||h||E < δ y x0 + h ∈ U , entonces (7.12)

||f (x0 + h) − f (x0 ) − T h||E < ε||h||E .

En otras palabras, (7.13)

||f (x0 + h) − f (x0 ) − T h||E = 0. h→0 ||h||E l´ım

126

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

Si T y S satisfacen (7.13), entonces, para cualquier x ∈ Rl , x 6= 0, ||(T − S)(tx)||E ||(T − S)x||E = l´ım t→0 ||x||E ||tx||E ||f (x0 + tx) − f (x0 ) − S(tx)||E ≤ l´ım t→0 ||tx||E ||f (x0 + tx) − f (x0 ) − T (tx)||E + l´ım t→0 ||tx||E = 0,

por lo que ||(T − S)x||E = 0 y entonces T = S. As´ı que la transformaci´on T es u ´nica y es llamada la derivada de f en x0 , la cual denotamos como f 0 (x0 ). Decimos que f : U → Rm es continuamente diferenciable, y escribimos f ∈ C 1 (U, Rm ), si f es diferenciable en cada punto de U , y la funci´on x 7→ f 0 (x)

es continua de U al espacio L(Rl , Rm ).1

Teorema 7.18 (Funci´ on inversa). Sea U abierto en Rl y f ∈ C 1 (U, Rl ) tal que, para alg´ un x0 ∈ U , f 0 (x0 ) es invertible. Entonces existe una vecindad V de x0 , V ⊂ U , tal que f es inyectiva en V y f (V ) es abierto. M´ as a´ un, f −1 ∈ C 1 (f (V ), Rl ) y
0 f −1 (y) = f 0 (x)−1

para cada y ∈ f (V ), donde x ∈ V es tal que y = f (x). Demostraci´ on. Sea T = f 0 (x0 ) y r =

1

. Como x 7→ f 0 (x) es 2||T −1 ||L continua de U a L(Rl ), existe δ > 0 tal que Bδ (x0 ) ⊂ U y, para todo x ∈ Bδ (x0 ), (7.14)

||f 0 (x) − T ||L < r.

Mostraremos que V = Bδ (x0 ) satisface la conclusi´on del teorema. En particular, observamos que 1 ||T −1 ||L ||f 0 (x) − T ||L < r||T −1 ||L = < 1, 2 0 por lo que, por la proposici´ on 7.17, f (x) es invertible para cada x ∈ V . 1Equivalentemente, f ∈ C 1 (U, Rl ) si cada una de las derivadas parciales ∂fi ∂xj existe y es continua en U . Sin embargo, en estas notas no trabajaremos con las derivadas parciales de una funci´ on.

127

4. Los teoremas de la funci´ on inversa e impl´ıcita

Definimos, para y ∈ Rl , la funci´on φy : V → Rl como φy (x) = x + T −1 (y − f (x)).

Observamos que x ∈ V es un punto fijo de φy , φy (x) = x, si y solo si f (x) = y. Ahora bien, φ0y (x) = I + T −1 f 0 (x), donde I ∈ L(Rl ) es la transformaci´on identidad. Entonces, para x ∈ V , ||φ0y (x)||L = ||I + T −1 f 0 (x)||L = ||T −1 (T − f 0 (x))||L 1 ≤ ||T −1 ||L ||f 0 (x) − T ||L < , 2 por lo que (ejercicios 12 y 13) tenemos que 1 (7.15) ||φy (x1 ) − φy (x2 )||E ≤ ||x1 − x2 ||E 2 para todo x1 , x2 ∈ V . Entonces φy es una contracci´ on de V a Rl .

Por las observaciones al final de la secci´ on 2, φy tiene a lo m´ as un punto fijo, por lo que entonces, si y ∈ f (V ), existe un u ´nico x ∈ V tal que f (x) = y. Entonces f es inyectiva en f (V ).

Para mostrar que f (V ) es abierto, tomamos y ∈ f (V ). Sea x ∈ V tal que ¯ε (x) ⊂ V . Mostraremos que Brε (y) ⊂ f (V ). f (x) = y, y sea ε > 0 tal que B Tomamos z ∈ Brε (y). Entonces

||φz (x) − x||E = ||T −1 (z − f (x))||E ≤ ||T −1 ||L ||z − y||E
0 tal que el PVI (7.16) tiene una u ´nica soluci´ on x(t) en el intervalo (−ε, ε). Demostraci´ on. Por el teorema de la funci´on impl´ıcita 7.19, existe un abierto U ⊂ Rl × R y una funci´ on g ∈ C 1 (U, Rl ) tal que F (g(x, t), x, t) = 0. De las demostraciones de los teoremas 7.18 y 7.19 se desprende que, para todo (x, t) ∈ U , ||g0 (x, t)||L ≤ M,

donde M = 2||f 0 (0, x0 , 0)||L y f es la inversa de la funci´on
(y, x, t) 7→ F (y, x, t), x, t .

Entonces, por el ejercicio 13, g es una funci´on de Lipschitz en una bola alrededor de (x, 0), por lo que podemos aplicar la versi´ on local del teorema 7.13 para resolver el PVI ( x0 (t) = g(x(t), t) x(0) = x0 . 

130

5.

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

Conjuntos autosimilares

En esta secci´ on aplicaramos el teorema de contracci´ on 7.9 al estudio de conjuntos autosimilares. Si X es un espacio m´etrico, decimos que un compacto no vac´ıo K ⊂ X es autosimilar si existen contracciones f1 , . . . , fN : X → X tales que K = f1 (K) ∪ . . . ∪ fN (K). Es decir, K es la uni´ on de sus im´ agenes bajo contracciones. Ejemplo 7.21. Consideramos la recta R y el intervalo I = [0, 1]. Entonces I = f1 (I) ∪ f2 (I), donde f1 , f2 : R → R est´ an dadas por

1 1 1 f1 (x) = x, f2 (x) = x + . 2 2 2  1 1  Notamos que, de hecho, f1 (I) = 0, y f2 (I) = , 1 . 2 2

f1 y f2 no son las u ´nicas contracciones para las cuales el intervalo [0, 1] es autosimilar. Por ejemplo, no es muy dif´ıcil ver que [0, 1] tambi´en es autosimilar respecto a las funciones 1 g2 (x) = g1 (x) = x, 3  1 1  ya que g1 ([0, 1]) = 0, y g2 ([0, 1]) = , 1 . 3 3 Ejemplo 7.22. Sea C el conjunto de Cantor T n≥0 Cn , donde cada

2 1 x+ , 3 3

dado por la intersecci´ on C =

 3n − 1   1 2 1  ,1 Cn = 0, n ∪ n , n−1 ∪ . . . ∪ 3 3 3 3n es el resultado de remover el tercio central de cada uno de los intervalos de Cn−1 . Entonces C es autosimilar con respecto a las funciones 1 2 1 f2 (x) = x + , f1 (x) = x, 3 3 3  1 2  ya que f1 (C) = C ∩ 0, 3 y f2 (C) = C ∩ 3 , 1 . De hecho, para cada n, podemos observar que f1 (Cn ) ∪ f2 (Cn ) = Cn+1 , por lo que el efecto de aplicar las contracciones f1 , f2 a cada iteraci´ on Cn del conjunto de Cantor es, precisamente, el borrar el tercio central de la construcci´on.

131

5. Conjuntos autosimilares

M´as a´ un, el conjunto de Cantor puede ser definido por medio de las contracciones del ejemplo 7.22, es decir, es el u ´nico conjunto compacto autosimilar respecto a ellas. En general, tenemos el siguiente teorema. Teorema 7.23. Sea (X, d) un espacio m´etrico completo y f1 , . . . , fN : X → X contracciones. Entonces existe un u ´nico conjunto compacto K ⊂ X no vac´ıo tal que K = f1 (K) ∪ . . . ∪ fN (K). Como sugiere la construcci´on del conjunto compacto, el conjunto K del teorema 7.23 puede ser constru´ıdo a partir de un conjunto compacto K0 ⊂ X, K0 6= ∅, y luego tomamos las iteraciones Kn+1 = f1 (Kn ) ∪ . . . ∪ fN (Kn ). Cada uno de los Kn as´ı construidos son compactos, ya que cada fi es continua, y entonces Kn es la uni´ on finita de compactos. Ahora bien, la existencia de un “conjunto l´ımite” de los Kn , adem´ as de su unicidad, ser´ a garantizada por el teorema de contracci´ on 7.9, una vez que verificamos que la funci´on K 7→ f1 (K) ∪ . . . ∪ fN (K) es una contracci´ on sobre el espacio de los subconjuntos compactos de X con una m´etrica apropiada. Definici´ on 7.24. Sea A ⊂ X un subconjunto novac´ıo de X. Para ε > 0, definimos la ε-vecindad de A como el conjunto Uε (A) = {x ∈ X : d(x, A) ≤ ε}, donde d(x, A) es la distancia del punto x al conjunto A, dada por (1.12). No es muy dif´ıcil verificar (ejercicio 15) que Uε (A) es cerrado, aunque no necesariamente compacto. Sea CX el conjunto de los subconjuntos compactos no vac´ıos del espacio m´etrico X. Definimos la funci´on dH : CX × CX → R como (7.17)

dH (A, B) = ´ınf{ε > 0 : Uε (A) ⊃ B y Uε (B) ⊃ A}.

Es decir, dH (A, B) es el ´ınfimo de los ε > 0 tales que las ε-vecindades de los conjuntos A y B se cubren al otro conjunto. Ejemplo 7.25. Si A = {x} y B = {y} tienen un solo punto, entonces dH (A, B) = d(x, y).

132

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

En general, si A = {x}, dH ({x}, B) = m´ ax{d(x, B), M }, donde M = ´ınf{r > 0 : Br (x) ⊃ B}. Notamos que d(x, B) = 0 si x ∈ B, pero dH ({x}, B) > 0 si B = 6 {x}. Ahora mostramos que dH define una m´etrica en CX , llamada la m´etrica de Hausdorff. Teorema 7.26. La funci´ on dH es una m´etrica en CX . M´ as a´ un, si X es completo, entonces el espacio (CX , dH ) es completo. Demostraci´ on. Claramente, para A, B ∈ CX , dH (A, B) ≥ 0, y dH (A, A) = 0. Ahora suponemos que dH (A, B) = 0 y debemos mostrar que A = B. Como dH (A, B) = 0, Uε (A) ⊃ B para todo ε > 0, por lo que entonces, para cada x ∈ B, d(x, A) ≤ ε. Como A es compacto, es cerrado y entonces x ∈ A. Esto muestra que B ⊂ A. De manera similar A ⊂ B, y entonces A = B. Por definici´on, tambi´en es claro que dH (A, B) = dH (B, A). Para mostrar la desigualdad del tri´ angulo, sean A, B, C ∈ CX y suponemos que r, s > 0 son tales que dH (A, C) < r y dH (C, B) < s. Mostraremos que dH (A, B) ≤ r + s.

Como dH (A, C) < r, entonces A ⊂ Ur (C), y entonces, para cada x ∈ A, existe y ∈ C tal que d(x, y) < r. Ahora bien, como dH (C, B) < s, C ⊂ Us (B), por lo que existe z ∈ B tal que d(y, z) < s. Por lo tanto, para cada x ∈ A, existe z ∈ B tal que d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < r + s, y entonces A ⊂ Ur+s (B). Similarmente, B ⊂ Ur+s (A), y entonces dH (A, B) ≤ r + s, como quer´ıamos mostrar. Para finalizar mostramos que, si X es completo, entonces (CX , dH ) es completo. Sea (An ) una sucesi´on de Cauchy en CX . Mostraremos que converge. Empezamos por definir, para cada n ≥ 1, [ Bn = Ak . k≥n

Claramente Bn es una sucesi´on decreciente de conjuntos cerrados, y verificaremos que son compactos. De hecho, es suficiente con mostrar que B1 es compacto, por la proposici´ on 3.15.

133

5. Conjuntos autosimilares

Sea ε > 0. Como (An ) es de Cauchy, existe N tal que Uε/3 (AN ) ⊃ An para todo n ≥ N . Como AN es compacto, es totalmente acotado, por lo que existen x1 , . . . , xk ∈ X tales que AN ⊂ Bε/3 (x1 ) ∪ . . . ∪ Bε/3 (xk ). Entonces B2ε/3 (x1 ) ∪ . . . ∪ B2ε/3 (xk ) ⊃ Uε/3 (AN ) ⊃

[

Ak ,

k≥N

y por lo tanto BN ⊂ Bε (x1 ) ∪ . . . ∪ Bε (xk ).

Como A1 ∪ . . . ∪ AN −1 es compacto, existen tambi´en y1 , . . . , yl ∈ X tales que A1 ∪ . . . ∪ AN −1 ⊂ Bε (y1 ) ∪ . . . ∪ Bε (yl ), y entonces B1 ⊂ A1 ∪ . . . ∪ AN −1 ∪ BN

⊂ Bε (y1 ) ∪ . . . ∪ Bε (yl ) ∪ Bε (x1 ) ∪ . . . ∪ Bε (xk ).

Como ε > 0 es arbitrario, concluimos que B1 es totalmente acotado. Como es cerrado y X es completo, tambi´en es completo, y por lo tanto es compacto, por el corolario 3.22. Definimos ahora el conjunto A=

\

Bn .

n≥1

Entonces A ∈ CX , y mostraremos que An → A, con respecto a la m´etrica dH . Sea ε > 0. Primero, sea N1 tal que dH (An , Am ) < ε para todo n, m ≥ N1 . En particular, Uε (An ) ⊃ Am para todo m ≥ n ≥ N1 , y entonces Uε (An ) ⊃ Bn ⊃ A para todo n ≥ N1 . Ahora bien, existe N2 tal que Uε (A) ⊃ BN2 . Si no, entonces, para cada n, podr´ıamos tomar xn ∈ Bn tal que d(xn , A) > ε. Como cada Bn es compacto y Bn+1 ⊂ Bn , entonces existe una subsucesi´ on xnk → x0 , y x0 ∈ A, lo cual contradice d(x0 , A) ≥ ε. Observamos que An ⊂ BN2 para n ≥ N2 , y entonces Uε (A) ⊃ An para n ≥ N2 .

Por lo tanto, si N = m´ ax{N1 , N2 }, entonces Uε (An ) ⊃ A y Uε (A) ⊃ An para todo n ≥ N , y entonces dH (An , A) ≤ ε para n ≥ A. As´ı An → A.



134

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

Sean f1 , . . . , fN contracciones en X. Como cada fi es continua, fi (A) es compacto si A lo es, y entonces f1 (A) ∪ . . . ∪ fN (A) ∈ CX si A ∈ CX . Consideramos entonces la funci´on Φ : CX → CX dada por Φ(A) = f1 (A) ∪ . . . ∪ fN (A). Teorema 7.27. Φ es una contracci´ on en (CX , dH ). Demostraci´ on. Para cada i = 1, . . . , N , sea 0 ≤ αi < 1 tal que d(fi (x), fi (y)) ≤ αi d(x, y) para todo x, y ∈ X. Definimos α = m´ ax{α1 , . . . , αN }. Mostraremos que, para A, B ∈ CX , dH (Φ(A), Φ(B)) ≤ αdH (A, B). Como 0 ≤ α < 1, esto muestra que Φ es una contracci´ on.

Sean A, B ∈ CX , y sea r > 0 tal que dH (A, B) < r. Verificaremos que dH (Φ(A), Φ(B)) ≤ αr. Tomamos x ∈ Φ(A). Entonces x ∈ fi (A) para alg´ un i, y luego x = fi (a) para alg´ un a ∈ A. Ahora bien, como A ⊂ Ur (B), existe b ∈ B tal que d(a, b) ≤ r. Como d(fi (a), fi (b)) ≤ αi d(a, b) ≤ αd(a, b) ≤ αr, y fi (b) ∈ fi (B) ⊂ Φ(B), tenemos que d(x, Φ(B)) ≤ αr. Por lo tanto Φ(A) ⊂ Uαr (Φ(B)). Similarmente Φ(B) ⊂ Uαr (Φ(A)), y por lo tanto dH (Φ(A), Φ(B)) ≤ αr.



Tenemos entonces, como corolario, el teorema 7.23. Demostraci´ on del teorema 7.23. Sea Φ : CX → CX dada por Φ(A) = f1 (A) ∪ . . . ∪ fN (A). Por el teorema 7.27, Φ es una contracci´ on y, como CX es completo, por el teorema 7.26, Φ tiene un u ´nico punto fijo K ∈ CX . O sea, K = f1 (K) ∪ . . . ∪ fN (K).  Como un conjunto autosimilar K, respecto a las contracciones f1 , . . . , fN , es el punto fijo de la funci´ on A 7→ Φ(A) = f1 (A) ∪ . . . ∪ fN (A), entonces observamos que K = l´ım Φn (A),

135

5. Conjuntos autosimilares

donde A es cualquier conjunto compacto no vac´ıo, Φn es la n-´esima iteraci´ on de Φ, definida como Φ1 = Φ y Φn+1 = Φn , y el l´ımite se toma con respecto a la m´etrica dH . Por ejemplo, ya hab´ıamos observado (ejemplo 7.22) que el conjunto de Cantor C es la intersecci´ on las iteraciones Cn = Φn ([0, 1]), y, de la demostraci´ on del teorema 7.26 (ejercicio 18), vemos que Cn → C respecto a la m´etrica dH . Ejemplo 7.28 (Curva de Koch). Consideremos las contracciones f1 , f2 : C → C dadas por f1 (z) = α¯ z,

f2 (z) = (1 − α)¯ z + α,

√ 1 3 donde z¯ es el conjungado del n´ umero complejo z y α = + . Notamos 2 6 que f1 (0) = 0 y f2 (1) = 1, un, por lo que 0 y 1 son los puntos fijos de f1 y f2 , respectivamente. M´as a´ f1 (1) = f2 (0) = α, por lo que la imagen del segmento [0, 1] es la uni´ on de los dos segmentos en el plano complejo uniendo 0 a α y α a 1, respectivamente (figura 1). El

Figura 1. Primeras cuatro iteraciones a la curva de Koch, iniciando con el segmento [0, m1].

conjunto K autosimilar con respecto a f1 y f2 se le llama curva de Koch (figura 2). Observamos que esta curva no tiene longitud (o es de “longitud

Figura 2. La curva de Koch.

infinita”), ya que cada iteraci´ on, iniciando por el segmento [0, 1], multiplica 2 la longitud por un factor de 2|α| = √ > 1. 3

136

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

Ejemplo 7.29 (Tri´ angulo de Sierpinski). Consideramos ahora las contracciones f1 , f2 , f3 : R2 → R2 dadas por

1 1 fi (x) = x + pi , 2 2       1/2 0 1 , los v´ertices de un tri´ angudonde p1 = , p2 = y p3 = √ 0 0 3/2 lo equil´atero. El conjunto K autosimilar con respecto a las contracciones f1 , f2 , f3 es llamado el tri´ angulo de Sierpinski (figura 3). Observamos que el

Figura 3. El tri´ angulo de Sierpinski.

tri´ angulo de Sierpinski tiene “´area cero”. Esto se debe a que cada una de las contracciones fi , al contraer las distancias por 1/2, contrae ´areas por un factor 1/4, por lo que la iteraci´ on A 7→ f1 (A) ∪ f2 (A) ∪ f3 (A) contrae ´ areas por un factor de 3/4 < 1.

Ejercicios 1. Considere el PVI

(

x0 (t) = f (t)x(t) x(0) = x0 ,

donde x0 ∈ R y f : R → R es continua. Utilice el teorema del valor medio para mostrar que la u ´nica soluci´ on al PVI est´ a dada por Rt

x(t) = x0 e

0

f

.

137

Ejercicios

2. El PVI

( p x0 (t) = x(t) x(0) = 0

tiene una infinidad de soluciones. 3. Sea f : X → Y una funci´on de Lipschitz. Entonces f es uniformemente continua. 4. Sea A la matriz de 2 × 2 A=



 1/12 5/8 . 5/8 1/12

1 Entonces, para x ∈ R2 , ||Ax||E ≤ ||x||E . (Sugerencia: Considere la 2 diagonalizaci´ on de A. Por el teorema espectral, como A es sim´etrica, entonces se puede diagonalizar ortonormalmente.) 5. Sea f : [a, b] → Rl tal que cada componente fi es Riemann-integrable, y Z b f como el vector en Rl dado por definimos a

Z

b

f=

a

Entonces

Z

b

f1 , . . . , a

Z

b a

 fl .

Z b Z b ≤ f ||f (t)||E dt. a

E

a

(Sugerencia: Considere las sumas de Riemann de cada fi y utilice la desigualdad del tri´ angulo.) tx 6. Sea F (x, t) = 2 . Entonces, para todo t ∈ R, x +1 |F (x, t) − F (y, t)| ≤ |t||x − y|. x , y verifique que (Sugerencia: Considere la funci´on f (x) = 2 x +1 |f 0 (x)| ≤ 1.) √ 7. f : [0, ∞) → R, dada por f (x) = x, es uniformemente continua pero no de Lipschitz. 8. Sean P, Q, f : [−1, 1] → R continuas, a, b ∈ R. Entonces el PVI ( u00 (x) + P (x)u0 (x) + Q(x)u(x) = f (x) u(0) = a, u0 (0) = b tiene una u ´nica soluci´ on.

138

7. El teorema de punto fijo y aplicaciones

9. Considera el operador integral Φ : C([−1, 1]) → C([−1, 1]) dado por Z t sx(s)ds, Φ(x)(t) = 1 + 2 0

para x ∈ C([−1, 1]). Empezando de la funci´on constante x0 (s) = 1, calcula expl´ıcitamente las iteraciones xn+1 = Φ(xn ) y verifica que cada 2 xn es el n-´esimo polinomio de Taylor de la funci´on et alrededor de t = 0.

10. Sea L(Rl , Rm ) el espacio vectorial de las transformaciones lineales de Rl a Rm y, para T ∈ L(Rl , Rm ), ||T ||L = ´ınf{M > 0 : ||T x||E ≤ M ||x||E para todo x ∈ Rl }.

Entonces || · ||L es una norma en L(Rl , Rm ).

11. Para T ∈ L(Rl , Rm ),

¯1 (0)}, ||T ||L = sup{||T x||E : x ∈ B

¯1 (0) es la bola cerrada de radio 1 en Rl con centro en el origen. donde B 12. Sea Br (x0 ) una bola en Rl y x, y ∈ Br (x0 ). Entonces x + t(y − x) ∈ Br (x0 )

para todo t ∈ [0, 1].

13. Sea Br (x0 ) una bola en Rl y f ∈ C 1 (Br (x0 ), Rm ) tal que ||f 0 (x)||L ≤ M para todo x ∈ Br (x0 ). Entonces, para x, y ∈ Br (x0 ), ||f (x) − f (y)||E ≤ M ||x − y||E .

(Sugerencia: Considere F (t) = f (x + t(y − x)) y, por el teorema fundaR1 mental del c´ alculo, F (1) − F (0) = 0 F 0 (t)dt.)

14. Sea T ∈ L(Rl+m , Rl ) tal que x 7→ T (x, 0) es una transformaci´on en GL(l). Entonces, si S ∈ GL(m), la transformaci´on
(x, y) 7→ T (x, y), Sy es una transformaci´on en GL(l + m).

15.

a) Sea A ⊂ X no vac´ıo y Uε (A) su ε-vecindad. Entonces Uε (A) es cerrado. b) A´ un cuando A es compacto, Uε (A) no es necesariamente compacto.

16. Sea X discreto. Entonces (CX , dH ) es discreto. 17. Sea A ⊂ X un conjunto finito de puntos aislados de X, es decir, cada x ∈ A es un conjunto abierto en X de un solo punto. Entonces A es aislado en CX .

18. Sean An compactos no vac´ıos en X tales que An ⊃ An+1 . Entonces \ An → An n≥1

139

Ejercicios

con respecto a la m´etrica dH . 19. Sean A, B, C, D ∈ CX . Entonces

dH (A ∪ B, C ∪ D) ≤ m´ ax{dH (A, C), dH (B, D)}.

20. Sean f1 , . . . , fN : X → X contracciones en el espacio completo X, y K el conjunto autosimilar con respecto a las fi . Si A ⊂ X es no vac´ıo y entonces A¯ ⊃ K.

A ⊃ f1 (A) ∪ . . . ∪ fN (A),