Continuidad. Derivabilidad.

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:

Lim f ( x) = f (a)

x →a

Para que una función sea continua en un punto se ha de cumplir:

1º ∃f (a )

a ∈ Df

2º ∃ Lim f ( x ) (los límites laterales tienen que ser iguales, pero no ∞) x →a

3º Lim f ( x ) = f (a ) x →a

a

Discontinuidad evitable a ∉ Df

a

Discontinuidad de salto infinito lim f ( x) = ∞ x→a

a

Discontinuidad evitable punto desplazado

a Discontinuidad de salto finito No ∃ lim f ( x) x→a

1.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO Una función es continua en un intervalo abierto, si lo es en todos los puntos de ese intervalo Una función es continua en el intervalo [a,b], si lo es en (a,b), en a por la derecha y en b por la izquierda • Cualquier función (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, irracionales…) es continua en su dominio; por tanto, para estudiar la continuidad de una función es suficiente con calcular su dominio. • El estudio de la continuidad de una función a trozos requiere:

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Continuidad. Derivabilidad.

el estudio de la continuidad de cada función en su recinto de definición o El estudio de la continuidad en los puntos de empalme de los intervalos de definición

o

EJERCICIOS: a) Funciones racionales. 1.- Estudia la continuidad de: y =

x 3 − 2x 2 + x − 2 x2 − x − 2

;

y=

x 3 − 2x 2 x2 − x − 2

b) Funciones a trozos.  2x si x < 1  2.- Representa, estudia la continuidad f(x) =  2 si 1 ≤ x ≤ 2 − x 2 + 4 x si x > 2  y halla los límites cuando x → +∞ y x → −∞ de la función

3.- Estudia la continuidad y representa las funciones: x 2 + 2x + 1 si x < −1  a) f(x) =  2 x + 2 si − 1 ≤ x ≤ 2 2  − x + 8x si x > 2 

 ex si x ≤ 0  b) f(x) =  1 si 0 < x < 3 2 − x + 3x + 2 si x ≥ 3 

4.- Calcula el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua:  x + 1 si x ≤ 2 f (x ) =  k − x si x > 2

5.- Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua: x 4 −1 si x ≠ 1  x − 1 a) f(x) =    k si x = 1

x 2 −1 si x < 1  x − 1 b) f(x) =    k si x ≥ 1

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Continuidad. Derivabilidad.

6.- Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a:

7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea continua: x 2 + ax; x ≤ −1  f(x)= b; −1 < x < 3  2 x + 4; x≥3  8.- Representa, estudia la continuidad y halla los límites cuando x → +∞ y x → −∞ de la función

si x < 0  1  f(x) = x + 1 si 0 < x < 1  x 2 − 2x si 1 ≤ x 

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Continuidad. Derivabilidad.

2.- DERIVABILIDAD 2.1

TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función y = f(x), se llama tasa de variación media al siguiente cociente incremental: TVM [a , b ] =

f ( b ) − f (a ) b−a

Ejercicios: Halla TVM[-1, 3] en las siguientes funciones. a) f(x) = x2 b) f(x) = 3 x 1 c) f(x )= x−2 2.2

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA La derivada de una función f(x) en el punto x = a (tasa de variación instantánea)es un número que se representa por f ' (a), y que se define como: f (a + h ) − f (a ) f ( x ) − f (a ) = Lim f '(a ) = TVI(a ) = Lim h →0 x →a h x−a Ejercicios: Calcula, aplicando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f(x)=x2 en x = - 1 b) f(x)= 3 x en x =0 1 en x =3 c) f(x)= x−2

2.3

DERIVADAS LATERALES

Como la derivada es un límite, se dice que f es derivable en a, cuando existe ese límite por la izquierda, por la derecha, y ambos son iguales (no infinitos). Correspondiéndose con el concepto de límites laterales, están las derivadas laterales, por la izquierda y por la derecha. Y, de la misma manera, aparecen los conceptos de semitangentes en los puntos en los que las derivadas laterales existen (una o ambas). En la gráfica de la figura existen las derivadas laterales en a, pero no coinciden las semitangentes laterales en x =a, por tanto, diremos que la función no es derivable en x =a. Esto sucederá siempre en los puntos angulosos de las funciones. a

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Continuidad. Derivabilidad.

2.4

FUNCIÓN DERIVADA

Diremos que f es derivable en (a,b) si lo es ∀x0∈(a,b) Se llama función derivada f ' de la función f, en (a,b)⊆Dom f, a una función que hace corresponder a cada punto x0∈(a,b) el número real f ' (x0)

2.5

REGLAS DE DERIVACIÓN

FUNCIÓN 1.2.3.4.-

y = f(x) + g(x) y = k · f(x) y = f(x) · g(x) f (x ) y= g( x )

5.6.7.8.9.10.11.-

y = f [g( x )] y=k y=x y = xk y = sinx y = cosx y = tanx

12.13.14.-

y = ax y = ex y = logax

15.-

y = lnx

16.-

y = f (g(x) )

FUNCIÓN DERIVADA y' = f’(x) + g’(x) y' = k · f’(x) y' = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x) f ' ( x )·g( x ) − f ( x )·g' ( x ) y' = [g(x )]2

y' = f ' [g( x )] · g' ( x ) y' = 0 y' = 1 y' = k · xk-1 y' = cosx y' = -sinx y' =1+ tan2x 1 y' = cos 2 x y' = ax · lna y' =ex

1 1 y' = · x ln a 1 y' = x y' = f ' (g(x)) · g '(x)

Ejercicio: Halla la función derivada de las siguientes funciones: 1 a) y = x5 b) y = 4 c) y = x

Regla de la cadena.

5

x3

d) y = 3 7 x 2

e) y = 3x4 – 5x2 + 7x +1

f) y = x3 -

g) y = x2 · e-x x2 − 3 j) y = 2 x +3

h) y = (x3 – 5x) · lnx x3 k) y = ( x + 1) 2

i) y = sinx · 53x+5 5 l) y = 3 x − 3x 2

40

2x +

3 x

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Continuidad. Derivabilidad.

x 3 + 4x − 5 m) y = 7 sin x p) y = cos x s) y = sin2x

t) y = sin x2

v) y = 2 sinx cos x

w) y = sin(sinx)

y) y = sin2(cos7x) 1 − cos x ab) y = 1 + cos x  x + 2 ae) y = ln    x  ah) y = ln(cosx2)

z) y =

2.6

n) y =

ln x ex

1− x 1+ x 5x 2 − 3x + 2 r) y = cos 2x u) y = sin2 x2 1 x) y = cos 3 2 x 3 o) y =

q) y = sin2x

(2 x − 3) 7

aa) y =

3

(5x 2 − 3) 2

ac) y = ln(x2+3x+1)

ad) y = ln(2x )+lnx2-(lnx)2

af) y = e3x + 4x

ag) y = 3sinx

ai) y = ln cos2 x

aj) y = e3x · cos(x2+1)

DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD

Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua es dicho punto De esta afirmación podemos extraer las siguientes consecuencias: 1) Si una función no es continua en x = a, entonces no es derivable en dicho punto. 2) Si f(x) es continua en x = a puede ser derivable en x = a o no derivable en x = a 3) Si f(x) es no derivable en x =a puede ser continua en x = a o no continua.

2.7

ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD

Distinguimos entre funciones simples y a trozos. • SIMPLES (dadas por una sola expresión): polinómicas, racionales logarítmicas, exponen-ciales, seno, coseno…Todas ellas son derivables en su dominio, luego el estudio de la derivabilidad queda reducido al cálculo del dominio. En la función irracional y = x es distinto, pues Dom= [0,+ ∞) y es derivable en (0, + ∞) Ante la duda siempre se puede derivar y estudiar el dominio de la función derivada. • A TROZOS. Se procede del siguiente modo: 1.- Se estudia la continuidad de cada función, por separado, en su recinto de definición 2.- Se estudia la continuidad en los puntos de empalme (si en alguno de ellos no es continua, tampoco será derivable. Si es continua hay que seguir con el estudio 3.- Se halla la función derivada sin poner el signo igual en los intervalos de definición 4.- Se estudian las derivadas laterales en los puntos de empalme.

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Continuidad. Derivabilidad.

EJERCICIOS 1.- Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

x 2 + 2, x ≤ 1 a) f(x) =   x + 2, x > 1 =2  2 − 3x , x ≤ 2 c) f(x) =  2 x − 8, x > 2

 2 − 3x , b) f(x) =  2 x − 3,

en x =1

x≤2 x>2

en x

en x = 2

2.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas: x 2 − 2x, x < 2  e −x , x ≤ 0 b) f(x) =  a) f(x) =   2x − 4, x ≥ 2 1 − x, x > 0

3.- Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:

4.- Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:

5.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas: a. f(x) = | x - 1| c) f(x) = |x – 3 | e) f(x) = x 2 + 6 x + 8

b) f(x) = |x2- 4 | d) f(x) = |x2 – 2x |

6.- Sea la función: f(x) = Calcula m y n para que f sea derivable en todo R.

7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R:

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3.- APLICACIÓN DERIVADAS 3.1 RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UNO DE SUS PUNTOS. EJERCICIOS: 1.- Halla la ecuación de la recta tangente a las funciones siguientes en los puntos cuya abscisa se indica: x 2 − 2x 5x 3 + 7 x 2 − 16 x a) y = en x =3 b) y = en x = 1 x+3 x−2

x + 12 en x = -3

c) y =

e) y = Ln(x +1) en x = 0

d) y = e-x en x = 0

f) y = x lnx

en x = e

2.- Halla las ecuaciones de las rectas tangente a y = x3 + x2 + 2, paralelas a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante. 3.- Halla la ecuación de la recta tangente a y = x3 – 4x + 3, paralela a la bisectriz del 2º y 4º cuadrante.

4.- Halla la ecuación de la recta tangente a y =

2x , paralela a la recta 2x + y = 0. x −1

3.2 RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU DERIVADA • •

Si f ´(x0) > 0→ f es creciente en x0. Si f ´(x0) < 0→ f es decreciente en x0.

EJERCICIOS: 1º.- Estudia la monotonía de las siguientes funciones: a) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 5, b) f(x) = –3x4 + 4x3

c) f(x) =

8 − 3x x 2 − 2x

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3.3 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS Una función f presenta un máximo absoluto (mínimo absoluto) en x0∈A si f(x0)≥f(x) ∀x∈A [f(x0)≤f(x) ∀x∈A] Una función f presenta un máximo relativo (mínimo relativo) en x0∈A cuando ∃E(x0) tal que f(x0)≥f(x) ∀x∈ E(x0) ( f(x0)≤f(x) ∀x∈E(x0) )

(A⊂D) (A⊂D)

3.4 ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN Como se observa en la figura, una función definida en el intervalo [a,b] y continua en él, puede presentar extremos en: •Los Puntos Interiores (absolutos o relativos)

 Derivables   No Derivables

→

•Los Extremos del Intervalo (Absolutos)

a

xo

x1

x2

x3

b

3.4.1 EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES Llamamos puntos singulares a las raíces de la ecuación f ´(x) = 0. En ellos la recta tangente es horizontal •

Si una función alcanza un Máximo en un punto c∈(a,b) en el que es derivable, se cumple: - f´(c) = 0 - creciente a la izquierda de x = c, decreciente a la derecha de x = c

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•

Si una función alcanza un mínimo en un punto c∈(a,b) en el que es derivable, se cumple: - f´(c) = 0 - decreciente a la izquierda de x = c, creciente a la derecha de x = c

EJERCICIO: Halla los máximos y mínimos relativos de las funciones: a) y = x3 – 3x2 – 9x + 5. b) y = –3x4 + 4x3 c) f(x) =

8 − 3x x 2 − 2x

3.4.2 EXTREMOS ABSOLUTOS Para calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]: 1º.- Se hallan los extremos relativos en (a,b), según se explica en la pregunta anterior 2º.- se calcula f(a) y f(b) 3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máximos o mínimos de la función en (a,b). El mayor de ellos será el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto.

EJERCICIOS: 1.- Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de la función f(x)= 3x3 - x - 9 en el intervalo [0,3]. 8 calcula a y b de modo que f pase por el punto x (-2, -6) y tenga tangente horizontal en ese punto.

2.- Dada la función f(x) = ax + b +

3.- Determina la parábola y = ax2 + bx + c que es tangente a la recta y =2x-3 en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, -2) 4.- De la función f(x) =mx3+ nx sabemos que pasa por (1, 1) y que en ese punto tiene tangente paralela a la recta 3x + y =0. a) Halla m y n. b) Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 5.- De la función f(x) = x2+ ax + b se sabe que: - Tiene un mínimo en x =2. - Su gráfica pasa por el punto (2, 2). Teniendo en cuenta estos datos, ¿cuánto vale la función en x = 1? 45

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3.5 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicios de selectividad.

3.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES EJERCICIOS: 1.- a)Representa la función y = f(x), sabiendo que: · Dominio: ℜ − {0} · Corta a OX en x = 1 · Asíntota horizontal y = 0 si x → +∞, y < 0 si x → −∞, y > 0 · Asíntota vertical x = 0 si x → 0 − , y → +∞ si x → 0 + , y → +∞ · Mínimo en (2, -1) b)Di donde crece y donde decrece.

2.- Representa una función que no está definida en x = -3 y tal que: lim f ( x ) = +∞ y lim f ( x ) = −∞ x →( − 3 )−

x →( −3 )+

si x → +∞, f ( x ) < 1  x → ±∞ si x → −∞, f ( x ) > 1 No tiene puntos singulares y es creciente. lim f ( x ) = 1

3.- De una función y = f(x) tenemos la siguiente información: D = ℜ − {1, 4} lim f ( x ) = +∞ y lim f ( x ) = −∞ x →1−

x →1+

lim f ( x ) = −∞

y

x →4−

lim f ( x ) = 0 x → ±∞

lim f ( x ) = +∞

si x → +∞,  si x → −∞,

x →4+

f (x) > 0 f (x) < 0

f’(2) = 0; f(2) = -1 f´(-1) = 0; f(-1) = -1 Represéntala.

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4.- Dibuja la gráfica de una función cuyas características son las siguientes:

lim f ( x ) = −∞

lim f ( x ) = +∞

y

x →− ∞

x →+ ∞

f´(x) = 0 si x = -2, x = 0, x = 3, x = 4 f(-2) = 2 ; f(0) = 0; f(3) = 5; f(4) = 4

5.- Dibuja la gráfica de una función que cumple las siguientes propiedades:

lim f ( x ) = −∞ ; x →− ∞

lim f ( x ) = −3 ; x →+ ∞

lim f ( x ) = −∞ x → −5

f(-8) = -2 ; f(0) = 0 es el único punto donde la función se anula. f´(-8) = 0 y la derivada no se anula en ningún otro punto. Además, f(x)