CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA 1.- INTRODUCCIÓN Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resistencias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna. Origen de un voltaje alterno Una f.e.m. alterna se produce mediante la rotación de una bobina con velocidad angular ω constante dentro de un campo magnético uniforme producido entre los polos de un imán. El generador de corriente alterna es un dispositivo que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. El generador más simple consta de una espira rectangular que gira en un campo magnético uniforme. Cuando la espira gira, el flujo del campo magnético a través de la espira cambia con el tiempo. Se produce una fem. Los extremos de la espira se conectan a dos anillos que giran con la espira, tal como se ve en la figura. Las conexiones al circuito externo se hacen mediante escobillas estacionarias en contacto con los anillos. Si conectamos una bombilla al generador veremos que por el filamento de la bombilla circula una corriente que hace que se ponga incandescente, y emite tanta más luz cuanto mayor sea la velocidad con que gira la espira en el campo magnético.

Recordemos que la fuerza electromotriz que se produce en un conductor viene dada por la fórmula: E = l. v x B Siendo l la longitud del conductor, v la velocidad y

B la Intensidad del campo magnético.

La f.e.m. creada en cada instante dependerá de la posición del conductor en relación al campo magnético, de manera que si la espira gira a una velocidad angular constante la f.e.m. instantánea responderá a la fórmula: E = l . ω . r. B. sen (ω . t) de donde se obtiene la expresión: v=V0 sen(ω t) Expresión del voltaje instantáneo, en un circuito de corriente alterna, la E (f.e.m.) se ha sustituido por la v de voltaje o tensión eléctrica, recuerda que se mide en voltios.

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v=V0 sen(ω t)

V0

Los términos de la anterior expresión son: v -> valor instantáneo, distinto para cada instante de tiempo varía entre un máximo y un mínimo, y pasando por cero. V0

->

Valor máximo de la onda, es el valor máximo o de pico que puede alcanzar el valor

instantáneo. ω ->velocidad angular o pulsación es la velocidad con que giraría el inducido en rad/s. f-> frecuencia de la onda: se mide en ciclos por segundo (herzios) ω = 2π/T = 2 π f

T-> período de la onda, es el tiempo que tarda en dar una vuelta el inducido en el generador. Se mide en segundos. Tiempo que tardan los electrones en modificar y volver a recuperar el sentido de circulación. T = 1/f El sistema de distribución de energía eléctrica en Europa tiene unificada la frecuencia a 50 Hz, calcula la pulsación ω y el período T. Valor eficaz de la onda. Ya sabemos que el voltaje de las instalaciones eléctricas de nuestras casas es de 220 V, acabamos de describir qué es el valor instantáneo y el valor máximo del voltaje alterno. Podríamos pensar que esos 220 V hacen referencia al valor máximo, veamos que lo que designan es el valor eficaz, éste se define como. Valor eficaz es aquel valor de la f.e.m. que debería tener una corriente continua para producir la misma energía en el mismo tiempo y con la misma resistencia. Matemáticamente se calcula con la fórmula:

Para la onda senoidal toma siempre el valor: Vef =

Vo 2

Acabamos de describir la onda de f.e.m. o voltaje, cuando conectemos el generador de voltaje a un componente circulará una intensidad o corriente con la misma forma de onda que el voltaje, de manera que

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todas las características de la onda de tensión que hemos descrito sirven para la onda de intensidad o corriente. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE UNA ONDA SENOIDAL Acabamos de ver la representación de una onda senoidal como la gráfica de una función trigonométrica. Cuando a un circuito de C.A. formado por distintos componentes, resistencias, condensadores, bobinas, se le aplica un voltaje alterno de una frecuencia determinada, sobre cada componente del mismo aparecen unos valores de voltaje e intensidad cuya onda también tiene la forma senoidal y la frecuencia del generador, pero con amplitudes y “desfases” que dependen de los valores de los componentes del circuito. El estudio de estos circuitos requiere utilizar una representación de las ondas sencilla, lo haremos de la siguiente manera: Una onda senoidal

a=am sen(ω t) puede representarse por medio de un vector de módulo am que gira

en sentido antihorario con velocidad constante ω .

Ondas senoidales simultáneas En los circuitos que resolveremos más adelante intervienen varias magnitudes relacionadas entre sí que varían con el tiempo. Son ondas senoidales simultáneas, siempre que tengan la misma frecuencia, cosa que se dará en todos los casos, se pueden representar vectorialmente. Si dos ondas senoidales de igual frecuencia alcanzan sus valores máximos y mínimos al mismo tiempo, se dice que están en fase.

Si sus máximos y mínimos no coinciden las ondas están desfasadas.

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Tomando como referencia una de las ondas con origen de tiempos en 0. a1 = am1 sen(ω t) El desfase de la segunda onda con respecto a la primera vendrá dada por el valor de un ángulo. De manera que se podrá expresar de la forma: a2 = am2 sen(ω t - φ)

Dos ondas senoidales simultáneas de intensidad tienen la misma frecuencia 50 Hz y valores eficaces de 8 y 4 A. Sabiendo que la segunda tiene un desfase de π/2 de ciclo respeto a la otra, hallar las expresiones del valor instantáneo de cada onda.

Dos ondas senoidales simultáneas de tensión tienen la misma frecuencia 50 Hz y valores eficaces de 6 y 5 A. Sabiendo que la segunda tiene un desfase de 5 ms en adelanto a la otra, hallar las expresiones del valor instantáneo de cada onda.

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2.- ELEMENTOS LINEALES Son aquellos que cuando se conectan a una fuente de tensión alterna senoidal, provocan una circulación de corriente alterna, también senoidal y de la misma frecuencia. Existen tres tipos de receptores lineales que se diferencian en el desfase que originan entre la tensión que se aplica y la intensidad de corriente producida. •

Resistivos.

•

Inductivos.

•

Capacitivos.

2.1.- Circuito resistivo Sea un circuito compuesto por un generador conectado a una resistencia de valor R, si la tensión instantánea del generador viene dada por la expresión:

v=Vm sen(ω t)

i

R

La intensidad de corriente que circula se obtiene directamente aplicando la ley de Ohm:

i=

v Vm .sen (ωt ) Vm .sen (ωt ) = = i= R R R

La tensión y la intensidad tienen la misma frecuencia y están en fase. Llamando I y V a los valores de Intensidad y voltaje eficaces, dividiendo entre

2 los valores

máximos se deduce que la ley de Ohm se cumple para los valores eficaces.

I =

V R

Representando las magnitudes de manera vectorial, se tiene.

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2.2.- Circuito inductivo Inductancia o bobina. Componente capaz de almacenar energía eléctrica en forma de energía magnética. Formada por un conductor arrollado en espiral sobre un núcleo de hierro o ferromagnético. Autoinducción de una bobina es el flujo magnético que es capaz de almacenar a una intensidad determinada. L = Φm/ I i

Unidades: [L] = Henrio [Φ m ] = Weber

[I] = A

Sea un circuito formado por un generador conectado a una v = Vm sen(ω t)

bobina ideal, con el voltaje en el generador:

La variación de flujo magnético, produce una f.e.m. ε = Para una autoinducción se cumplirá que: ε = −L

L

dφ dt

di De signo negativo porque se opone al dt

aumento de la corriente. Recordando la ley de Ohm para el circuito:

∑ε

i

= ∑I i .Ri

Como en este circuito no hay resistencia, Vm sen(ω t)-L

De donde

i =−

di =

Vm cos( ωt ) Lω

Vm sen (ωt ).dt L

di =0 dt

y obteniendo la integral:

teniendo en cuenta que sen (ω t-π/2) = -cos (ω t) se tiene que la intensidad

instantánea del circuito es:

i = im sen (ωt −

El valor máximo de la intensidad será:

im =

π 2

)

Vm V se cumple para valores eficaces. I = L.ω L.ω

Una bobina almacena energía eléctrica en forma de energía magnética y la devuelve al circuito, pero con un retraso en la devolución de energía eléctrica que origina un desfase positivo de π/2, la intensidad se retrasa respecto a la tensión.

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Una bobina introduce en el circuito una resistencia llamada inductancia, reactancia inductiva o impedancia de la bobina, XL = L.ω = L.2. π.f

Se conecta una bobina de 200 mH de autoinducción a un voltaje de 220V y 50Hz. ¿Qué intensidad de corriente circula a través de la bobina? Representar gráficamente los vectores intensidad y voltaje.

2.3.- Circuito capacitivo Un condensador es un componente capaz de almacenar carga eléctrica. Está formado por dos placas o armaduras separadas por un aislante llamado dieléctrico. La capacidad de un condensador es la carga que es capaz de almacenar a un voltaje determinado.

C=

Q V

Unidades: [C] = F (Faradio) [Q] = C (Culombio) [V] = V (Voltio) El Faradio en la practica es muy grande, por lo que la capacidad normalmente se mide en i microfaradios : 1 μ F = 10-6 F. Supongamos

que

conectamos

un

condensador

de

capacidad C a una fuente de tensión senoidal dada por: v = Vm sen(ω t)

C

La intensidad instantánea del circuito viene dada por

i=

dq la carga del condenador q viene dado por la dt

expresión: q = C.V según la definición de la capacidad C. Así la intensidad instantánea vendrá dada por i = C .

du dt

Derivando la expresión del voltaje en función del tiempo se tiene: i = C. ω . Vm cos(ω t) = C. ω . Vm sen(ω t+π/2) Siendo la intensidad máxima im = C. ω . Vm

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Produce un desfase negativo de π/2. La tensión se retrasa respecto a la intensidad. Introduce en el circuito una resistencia llamada capacitancia, reactancia capacitiva o impedancia del condensador, X c =

1 1 = C.ω C.2.π. f

Calcula la intensidad en un circuito de corriente alterna de 220V de f.e.m. eficaz y frecuencia 50Hz con una resistencia de 8 Ω. ¿Y si sustituimos la resistencia por una bobina de 0,2 H de autoinducción.? ¿Y si es un condensador de 15μF de capacidad.?

3.- IMPEDANCIA A partir de este punto los valores eficaces de Intensidad y Voltaje los designaremos con las letras I y V. Hemos visto que para los distintos tipos de receptores la intensidad eficaz de un circuito viene dada por: I =

V R

I =

V XL

I =

V XC

En los circuitos anteriores había un único componente, si analizamos un circuito con distintos receptores conectados entre si debemos de utilizar la magnitud llamada impedancia del circuito Z. Esta impedancia engloba tanto la resistencia como las reactancias inductiva y capacitiva. La ley de Ohm para un circuito de corriente alterna será: I =

V Z

En un circuito de corriente alterna la impedancia desempeña el mismo papel que la resistencia en los circuitos de corriente continua, es la oposición que ofrece dicho circuito al paso de la corriente eléctrica, de ahí que se mide en ohmios Ω.

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4.- NÚMEROS COMPLEJOS EN ELECTROTECNIA Un número complejo en su forma binómica está formado por una parte real y una parte imaginaria. a + bj

a y b son números reales −9 = 2 + 3j

2+

2-

j=

−1

− 4 = 2 – 2j

Representación geométrica de los números complejos Los representarse

números trazando

complejos dos

ejes

pueden coordenados

perpendiculares entre si, uno horizontal, llamado eje real, y otro vertical, llamado eje imaginario. El número a + bj lo representamos mediante un vector desde 0 a un punto con la medida de a en el eje real (eje x) y b en el eje imaginario (eje y). A la longitud del vector se le llama módulo y al ángulo que forma con la horizontal complemento. Forma polar de un número complejo Un número complejo se representa en su forma polar indicando el módulo y el argumento:

rφ

donde r = a 2 + b 2 a = r cos φ

y

φ= arctg

b a

b = r sen φ

Números complejos iguales Deben de ser iguales la parte real y la imaginaria. Números complejos conjugados Tienen la misma parte real y la parte imaginaria cambia de signo. Conjugados en forma binómica

a + bj

Conjugados en forma polar

rφ

a – bj r -φ

Números complejos opuestos tienen las dos partes real e imaginaria con distinto signo. Opuestos en forma binómica

a + bj

Opuestos en forma polar

rφ

- a – bj r φ+π

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Operaciones con números complejos Suma En forma binómica se suman la parte real y la imaginaria:

Producto En forma binómica, se opera como el producto de polinomios teniendo en cuenta que j2 = -1

En forma polar, se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

División En forma binómica, debe de convertirse el denominador a número real, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del segundo:

En forma polar, se dividen los módulos y se restan los argumentos.

Utilización de los números complejos en los circuitos de corriente alterna. A la hora de resolver problemas en circuitos de C.A. transformaremos las magnitudes eléctricas, ondas de tensión e intensidad e impedancias a sus “valores complejos” para realizar los cálculos, una vez obtenido el resultado en forma compleja lo podemos transformar a su onda en función del tiempo. Será necesario recordar la siguiente tabla:

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5- CIRCUITO R-L Sea un circuito donde conectamos un generador de c.a. a una resistencia en serie con una bobina. i

R R

vR

L

vL

v

Empleando las formas complejas de las magnitudes, se tiene que la tensión en el generador se reparte entre la resistencia y la bobina:

v = vR + vL Si tomamos como referencia la intensidad de corriente, y la representamos en el eje real, las tensiones en la resistencia y en la bobina, expresadas en forma compleja son:

vR = R i

vL = jXL i

vL

i

φ

v vR

Sustituyendo estos valores en la expresión inicial se tiene:

v = vR + vL = R i + jXL i = (R + jXL ) i

Recuerda que XL= L.ω

La expresión R + jXL es la impedancia compleja del circuito, cuyo módulo es:

Z = R2 + X L

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y el argumento φ se calcula por trigonometría:

tg ϕ =

XL R

La intensidad será una onda en fase con la tensión en la resistencia, lo podemos representar como un “fasor” de módulo I =

V Siendo V, I y Z los módulos de las magnitudes y con un desfase φ respecto de la Z

tensión en el generador que vendrá dada por la expresión:

tgϕ =

XL R

Ejercicio: Un circuito RL en serie, constituido por una bobina de 100 mH de autoinducción y una resistencia se conecta a una tensión de 220V, 50Hz, Calcular: a.- la caída de tensión en la bobina y en la resistencia. b.- El ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad.

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6.- CIRCUITO R-C Sea un circuito donde conectamos un generador de c.a. a una resistencia en serie con un i

R R

vR

C

condensador.

vC

v

Empleando las formas complejas de las magnitudes, se tiene que la tensión en el generador se reparte entre la resistencia y el condensador:

v = vR + vC Si tomamos como referencia la intensidad de corriente, y la representamos en el eje real, las tensiones en la resistencia y en el condensador, expresadas en forma compleja son:

i vR = R i

vc = - jXC i

vR φ

vC

v

Sustituyendo estos valores en la expresión inicial se tiene:

v = vR + vC = R i - jXc i = (R - jXc ) i

Recuerda que X C =

1 ω.C

La expresión R - jXC es la impedancia compleja del circuito, cuyo módulo es:

Z = R2 + X C

2

y el argumento φ se calcula por trigonometría:

tg ϕ =

XC R

La intensidad será una onda en fase con la tensión en la resistencia, lo podemos representar como un “fasor” de módulo I =

V Siendo V, I y Z los módulos de las magnitudes y con un desfase φ respecto de la Z

tensión en el generador que vendrá dada por la expresión:

tg ϕ =

XC 1 = R R.C.ω

Ejercicio un circuito de corriente alterna, alimentado por un generador de 220V, 50 Hz, está constituido por una resistencia de 25 Ω y un condensador de 100μF de capacidad. Hallar: a.- La impedancia equivalente del circuito. b.- La Intensidad eficaz. c.- La tensión en cada uno de los elementos.

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7.-

CIRCUITO R-L-C

Sea un circuito donde conectamos un generador de c.a. a una resistencia en serie con una bobina y un condensador. R R

i

vR

L

C

vL

vC

v

Empleando las formas complejas de las magnitudes, se tiene que la tensión en el generador se reparte entre la resistencia y el condensador:

v = v R + v L + vC Si tomamos como referencia la intensidad de corriente, y la representamos en el eje real, las tensiones en la resistencia y en el condensador, expresadas en forma compleja son:

vL

v

vL-vc vR = R i

vL = jXL i

vc = - jXC i

vC

φ

vR

i

Sustituyendo estos valores en la expresión inicial se tiene:

v = vR + vL + vc = R i + jXL i - jXc i = [R + j (XL - Xc )] i La expresión Z =

R + j (XL - Xc )es la impedancia compleja del circuito, cuyo módulo es:

R 2 + ( X L − X C )2

y el argumento φ se calcula por trigonometría:

tgϕ =

X L − XC R

La intensidad será una onda en fase con la tensión en la resistencia, lo podemos representar como un “fasor” de módulo I =

V Siendo V, I y Z los módulos de las magnitudes y con un desfase φ respecto de la Z

tensión en el generador que vendrá dada por la expresión anterior, este ángulo puede ser positivo, negativo o valer 0: •

Si XL

> Xc , tg φ > 0, predomina la componente inductiva, tensión adelantada a la intensidad.

•

Si XL

< Xc , tg φ < 0, predomina la componente capacitiva, tensión retrasada a la intensidad.

•

Si

XL = Xc , tg φ = 0, se dice que el circuito está en resonancia y la tensión está en fase con la

intensidad.

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Ejercicio, un circuito de corriente alterna, alimentado por un generador de 220V, 50 Hz, está constituido por una resistencia de 15 Ω, una bobina L=50 mH y un condensador de 100μF de capacidad. Hallar: a.- La impedancia equivalente del circuito. b.- La Intensidad eficaz y el ángulo de desfase con el voltaje. c.- La tensión en cada uno de los elementos. d.- Representar gráficamente las tensiones y la intensidad

Ejercicio, Un generador de 220 V 50Hz, está conectado a un circuito formado por, una resistencia, una bobina, y un condensador R=10 Ω, L= 0,2H, C=500 μF. Hallar: a.- La impedancia del circuito. b.- La intensidad eficaz. c.- El voltaje en cada uno de los componentes conectados. Resultados: Z=57,35 Ω; I = 3,836 A; VR = 38,36V VL = 241,03V

VC =24,42 V

Ejercicio, La resistencia de un circuito de C.A. es de 20 Ω, su reactancia inductiva es 40 Ω, y su reactancia capacitiva, 30 Ω, Calcular: a.- La impedancia del circuito. b.- La intensidad de corriente que pasará por él al conectarlo a una tensión de 224V. c.- El ángulo de desfase. Resultados: Z=22,4 Ω; I = 10 A; φ=26,57º

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8.- POTENCIA EN CIRCUITOS C.A. I

8.1.- Potencia en una resistencia. v=Vm sen(ω t)

Vm valor máximo, Vm =

i= Im sen(ω t)

Im valor máximo, Im =

2 .V

v=Vm sen(ω t)

R

2 .I

La potencia instantánea será, p = Vm sen(ω t) Im sen(ω t)= Vm Im sen2(ω t) 2.sen2(ω t) = 1 – cos (2ω t) por trigonometría. La potencia activa P viene dada por la siguiente expresión, físicamente es la potencia que se transforma en otro tipo de energía, calor en la resistencia. Es la expresión del valor medio del producto de

la

onda de voltaje y la de intensidad.

P=

1 T

T

∫V 0

m

I m sen 2 (ωt ) dt

El resultado de la integral definida es T/2 con lo cual la Potencia activa será:

P=

Vm I m = V .I Siendo V e I los valores eficaces del voltaje y la corriente. 2

8.2.- Potencia en una bobina v=Vm sen(ω t)

i

Vm valor máximo, Vm =

i= Im sen(ω t-π/2)

2 .V

Im valor máximo, Im =

Recordemos que para la bobina:

2 .I v = Vm sen(ω t)

L

v = Vm sen(ω t)

i = −I m cos( ωt ) La potencia instantánea será, p = p.i = -Vm.Im.sen (ω t) . cos(ω t)

Por trigonometría 2. sen (ω t) . cos(ω t) = sen (2ω t)

p = -V.I.sen (2ω t) Si obtenemos el valor medio de la onda obtenida resulta igual a cero, P =

1 T

T

∫V 0

m

I m sen ( 2ωt ) dt

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de manera que la potencia activa que se transforma en la bobina es cero. P = 0 (Ver gráfico) El sentido físico de la potencia activa, es el de conversión de energía eléctrica en otro tipo de energía, calorífica, mecánica, la bobina es un elemento que capta energía eléctrica en forma de campo magnético en uno semiciclo de la onda y la devuelve en el semiciclo siguiente.

8.3.- Potencia en un condensador Como las ondas de intensidad y voltaje están desfasadas 90º igual que en la bobina, la potencia activa que transforma el condensador es cero. Adjuntaremos una explicación tomada de www.tuveras.com

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8.4.- Potencia en un circuito de C.A. con cualquier tipo de carga. Acabamos de ver qué ocurre con la potencia al conectar a un generador una resistencia, una bobina o un condensador, ya hemos analizado circuitos que combinan diferentes componentes, veamos qué ocurre con la potencia. Debe de quedar claro que el único componente que convierte energía activa es la resistencia. En cualquier circuito al que conectemos una impedancia Z (resistiva, inductiva o capacitiva) tenemos que la corriente estará desfasada un ángulo φ respecto del voltaje.

v=Vm sen(ω t)

Vm valor máximo, Vm =

i= Im sen(ω t -φ)

Im valor máximo, Im =

2 .V

I

v=Vm sen(ω t)

Z

2 .I

Gráficamente lo hemos representado mediante vectores:

v φ

i La potencia instantánea será p = v. i = Vm sen(ω t) Im sen(ω t -φ) Por trigonometría: sen(ω t -φ) = sen(ω t) . cos φ – cos (ω t). sen φ De manera que la potencia instantánea será: p = Vm Im [sen2(ω t) . cos φ- sen(ω t) cos (ω t). sen φ] Si obtenemos el valor medio de esta onda, lo que nos da la potencia activa, nos resultan operaciones a las descritas anteriormente, con lo que resulta la potencia activa P en cualquier circuito de C.A. P=V.I.cos φ Al cos φ se le acostumbra a llamar factor de potencia y es un dato muy característico de cualquier circuito de C.A. o cualquier máquina que lleve asociada a la misma un circuito, como un motor eléctrico o una máquina de refrigeración. Si bien hemos dicho que la potencia activa, es la “potencia real” en un circuito de C.A. porque es la que realmente se convierte en otra energía, se acostumbra a hablar de dos términos de potencia más. Potencia aparente, es el producto de los valores eficaces de voltaje e intensidad. S = V.I Potencia reactiva, nos da idea de la cantidad de energía que el circuito almacena en forma de campo magnético o campo eléctrico (en el caso del condensador). La potencia reactiva viene dada por la fórmula Q = V.I.sen φ, puede ser positiva en caso de que sea potencia inductiva o negativa en caso de que sea potencia capacitiva.

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La representación de las tres potencias de manera vectorial constituye el llamado Triángulo de potencias de un circuito, que es equivalente al triángulo formado por los voltajes.

Ejercicio, Calcular potencias aparente, activa y reactiva de los circuitos realizados en los últimos ejercicios. Representar el triángulo de potencias en los tres casos.

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