´ C ALCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES

E.E.I.

Curso 2011-12

Clase 3 (7 feb. 2012)

Cambio de Variables en las Integrales Dobles ´ 1.– Ejemplo: Area de la elipse. 2.– Cambio de Variables I. Punto de vista de la transformaci´on. 3.– Cambio de Variables II. Punto de vista geom´etrico. 4.– Observaci´on: Direcci´on de la transformaci´on y c´alculo del determinante jacobiano. 5.– Ejemplo. 6.– Resumen de los tres pasos para realizar un cambio de variable: Elemento de a´ rea, Integrando, y L´ımites de integraci´on.

´ 1 Ejemplo: Area de la elipse. Para entender la clave del cambio de variables vamos a empezar con un ejemplo muy sencillo: Supongamos que queremos calcular el a´ rea de una elipse. Consideremos la elipse de semiejes a y b. Su ecuaci´on es: ⇣ x ⌘2

+

⇣ x ⌘2

+

a

⇣ y ⌘2

= 1.

⇣ y ⌘2

1

b

b

�a

a

Esta elipse encierra una regi´on R cuyos puntos verifican a

b

�b

y una de las formas de calcular su a´ rea es calcular la integral doble ZZ dx dy . ( ax )2 +( by )2 1 Se puede calcular esta integral expres´andola como integrales iteradas en coordenadas cartesianas y eso es un ejercicio que deb´eis de saber hacer, pero esa no es la forma m´as sencilla de calcularla. La forma m´as sencilla de calcularla es usar un cambio de variables que transforme la regi´on de integraci´on (una elipse) en un c´ırculo para luego integrar en coordenadas polares. Fijaos que la ecuaci´on de una elipse es casi como la de una circunferencia de radio 1. De hecho una elipse de semiejes a y b es una circunferencia de radio 1 que ha sido estirada por un factor igual a a en la direcci´on del eje x y por un factor igual a b en la direcci´on del eje y. Esto sugiere que utilizemos el cambio de variables x y u= , v= . a b En t´erminos de u y v la ecuaci´on de la elipse es u 2 + v 2 = 1 ¡El c´ırculo unitario en plano uv!.

Para cambiar de variables en nuestra integral tenemos que calcular dx = a du, dy = b dv; entonces el elemento de a´ rea se convierte en dx dy = ab du dv y nuestra integral se convierte en: ZZ ( ax )2 +( by )2 1

dx dy =

ZZ

u 2 +v 2 1

ab · du dv = ab

ZZ

u 2 +v 2 1

du dv

y ahora es f´acil integrar usando coordenadas polares. En realidad, la integral que nos aparece en este caso no har´ıa falta ni calcularla porque representa el a´ rea del c´ırculo unitario y ya sabemos que el a´ rea del c´ırculo unitario es igual a ⇡. Por tanto, podemos poner directamente que el a´ rea de la elipse es igual a ab⇡. 1

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Fijaros que el razonamiento anterior sirve para simplificar tambi´en cualquier integral doble sobre una regi´on que sea una elipse ya que obtendr´ıamos: ZZ ZZ f (x, y) dx dy = ab f (au, bv) du dv u 2 +v 2 1 ( ax )2 +( by )2 1 y hemos reducido nuestra integral a una que se puede pasar f´acilmente a coordenadas polares.

2 Cambio de Variables I. Punto de vista de la transformaci´on. 2.1 Caso Lineal. El ejemplo de la elipse es muy sencillo porque en e´ l las dos variables se tranforman de forma independiente y el cambio de variables se reduce a dos cambios de variable independientes. En general, la cosa no es tan sencilla porque una transformaci´on de coordenadas puede mezclar las coordenadas de forma que no puedan tratarse separadamente. Por otro lado, el ejemplo de la elipse tiene la virtud de mostrarnos que la clave de un cambio de variables es el hecho de que la transformaci´on de las variables viejas a las nuevas produce cambios de escala que alteran las a´ reas. En otras palabras, la transformaci´on convierte una regi´on de a´ rea 1A en otra regi´on con a´ rea 1A0 6= 1A. Por ejemplo, en el caso anterior ten´ıamos 1A = ab1A0 o equivalentemente dx dy = ab du dv. En general tendremos 1A = k1A0 , donde k es el factor por el que se multiplican las a´ reas al aplicar la transformaci´on, de forma que tendremos dx dy = k du dv. Vamos a ver ahora un ejemplo, todav´ıa bastante sencillo, pero que muestra RR el efecto de la “mezcla” de variables y el cambio de las a´ reas. Supongamos que en cierta integral doble, R · · · d A, decidimos realizar el siguiente cambio de variable: u = 3x 2y , v = x + y. Puede haber varias razones por las que nos interese este cambio. Tal vez la regi´on de integraci´on sea mucho m´as f´acil de expresar en t´erminos de u y v (caso en que la regi´on est´e comprendida entre dos curvas de nivel de la funci´on u(x, y) y dos curvas de nivel de v(x, y)) y se con este cambio de variables se simplifican los l´ımites de integraci´on, o tal vez la raz´on por la que interese ese cambio es simplemente que al hacerlo se simplifica el integrando. Cualquiera que sea la raz´on, lo que necesitamos averiguar es cu´al es el factor por el que se multiplican las a´ reas al realizar el cambio. La forma m´as sencilla de calcular ese factor es ver la relaci´on que hay entre un elemento de a´ rea 1A y el elemento de a´ rea 1A0 en el que 1A se transforma al aplicar el cambio de coordenadas. Si 1A es un rect´angulo con un v´ertice en el origen y de lados 1x, 1y, como el cambio de coordenadas en este ejemplo es una transformaci´on lineal, este elemento se transforma en el paralelogramo determinado por los vectores im´agenes de (1x, 0) y (0, 1y) que son: ( ( u(1x, 0) = 31x u(0, 1y) = 21y y v(1x, 0) = 1x v(0, 1y) = 1y

y

v

v �A u

T�v� x

�A'

T�u� u

El a´ rea de la regi´on resultante es igual al valor absoluto del determinante de la matriz cuyas columnas son esos dos vectores: ✓ ◆ 31x 21y , 1x 1y 2

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la cual es justamente la matriz de la transformaci´on lineal. As´ı pues, 1A0 es: ✓ ◆ 31x 21y 1A0 = det 1x1y = |3 + 2|1A = 51A. 1x 1y Esto nos dice que las a´ reas de regiones en el plano uv son cinco veces mayores que las de las regiones correspondientes en el plano x y. Dicho de otra forma, du dv = 5dx dy, con lo cual el factor k en este ejemplo es k = 15 y por tanto para este cambio de variables tendr´ıamos: 1 5

dx dy = y

ZZ

f (3x R

du dv

2y, x + y) dx dy =

ZZ

R

f (u, v) 15 du dv .

2.2 Caso General. En el ejemplo anterior, debido al hecho de que las ecuaciones del cambio de variables son lineales, el factor k por el que se multiplican las a´ reas es constante, es decir, no depende de las variables u, v. En el caso general dicho factor puede cambiar de valor de un punto a otro porque una transformaci´on general dilatar´a las a´ reas en unas zonas y las comprimir´a en otras. Por tanto en el caso general k ser´a una funci´on de u y v: k(u, v). ¿C´omo podemos determinar el factor k en esos casos?. La soluci´on es la siguiente: Fijamos un punto (x0 , y0 ) y calculamos en ese punto la aproximaci´on lineal de la transformaci´on, es decir, su polinomio de Taylor de primer orden. Dadas las funciones u(x, y) y v(x, y), peque˜nas desviaciones 1x y 1y de las coordenadas x0 e y0 producen peque˜nas desviaciones 1u, 1v que est´an aproximadas por: @u @u 1x + 1y @x @y @v @v 1v ' 1x + 1y @x @y

1u '

o, en forma matricial,

0 @u ✓ ◆ B@x 1u 'B @ @v 1v @x

@u 1 ✓ ◆ ✓ ◆ @y C C 1x = J (x0 , y0 ) 1x 1y @v A 1y @y

donde J (x0 , y0 ) es la matriz jacobiana de la transformaci´on evaluada en el punto (x0 , y0 ).

En consecuencia, el factor por el que se multiplican las a´ reas cerca de (x0 , y0 ) est´a dado por el valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana. Este determinante se denota det J (x, y) =

@(u, v) @(x, y)

as´ı que tenemos en general: du dv = | det J (x, y)| dx dy =

@(u, v) dx dy. @(x, y)

3 Cambio de Variables II. Punto de vista geom´etrico. Supongamos que queremos realizar el siguiente cambio de variables en una integral doble: u = u(x, y) ,

v = v(x, y)

y supongamos tambi´en que podemos invertir esas f´ormulas despejando x e y como funciones de u y v: x = x(u, v) ,

y = y(u, v).

Estas funciones nos proporcionan las ecuaciones param´etricas de dos familias de curvas que son las curvas u = cte. por un lado y las curvas v = cte. por otro. Evidentemente v act´ua de par´ametro para las curvas u = cte. y u para las curvas v = cte. 3

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Fijado un valor v0 de v tenemos las ecuaciones param´etricas de una curva: x = x(u, v0 ) ,

y = y(u, v0 ).

A un incremento du del par´ametro u le corresponde sobre esta curva un desplazamiento dado por el vector ⇣@x @x ⌘ dru = Vu du = , du @u @u

Con un razonamiento an´alogo se deduce que un incremento dv del par´ametro v sobre una curva u = cte. da lugar a un desplazamiento ⇣@x @x ⌘ drv = Vv dv = , dv. @v @v Estos dos desplazamientos determinan un elemento de a´ rea que es un paralelogramo elemental adaptado a las coordenadas uv. Este a´ rea elemental es igual a: 0 1 @x @y B @u @u C @(x, y) C d A = kdru ⇥drv k = det B @ @ x @ y A du dv = @(u, v) du dv. @v

@v

En consecuencia para expresar una integral doble como integrales iteradas en las coordenadas uv necesitamos poner: ZZ ZZ @(x, y) f (x, y) d A = f x(u, v), y(u, v) du dv. @(u, v) R R

4 Observaci´on: Direcci´on de la transformaci´on y c´alculo del determinante jacobiano. Las ecuaciones del cambio de variables o transformaci´on de coordenadas pueden darse ya sea como transformaci´on de las variables x e y a las u, v o al rev´es, siendo una la transformaci´on inversa de la otra. Por ejemplo, en el caso de las coordenadas polares podemos escribir q r = x 2 + y2 x = r cos ✓ o, equivalentemente, y y = r sen ✓ ✓ = arctan x Si en un punto dado una de las transformaciones dilata las a´ reas multiplica´andolas por un factor k, en ese mismo punto la transformaci´on inversa contrae las a´ reas dividi´endolas por el mismo factor k, es decir, los determinantes jacobianos de una y otra son inversos el uno del otro: ✓ ◆ @(u, v) 1 @(x, y) = @(x, y) @(u, v) Esto hace que en la pr´actica solamente sea necesario calcular el que sea m´as sencillo. Por ejemplo, en el caso de las coordenadas polares es m´as sencillo calcular el jacobiano de las ecuaciones x = r cos ✓, y = r sen ✓, obteni´endose: ✓ ◆ cos ✓ r sen ✓ = r. det J (r, ✓) = det sen ✓ r cos ✓ Ciertamente tambi´en se puede calcular el jacobiano de la transformaci´on inversa calculando la derivadas parciales @@rx = p 2x2 2 , etc. y llegar´ıamos a 2

x +y

det J (x, y) = p

1 x 2 + y2

=

1 . r

Obs´ervese que estos c´alculos muestran que para realizar en una integral doble un cambio de variables a coordenadas polares, tendremos que poner: dx dy = | det J (r, ✓)| dr d✓ = r dr d✓, lo cual coincide con lo obtenido en la segunda clase. 4

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5 Ejemplo. Supongamos que queremos aplicar a la integral doble Z

0

1Z 1

x 2 y dx dy

0

el cambio de variables: u = x, v = x y. Primer paso: Elemento de a´ rea:

Segundo paso: Integrando:

du dv =

✓ @(u, v) 1 dx dy = det y @(x, y)

0 x

◆

dx dy = x dx dy.

x 2 y dx dy = v du dv.

Tercer paso: L´ımites de integraci´on: Vamos a plantear las integrales iteradas con la integral sobre u en el interior: ! Z ? Z ? v du dv. ?

?

Claramente, los valores m´ınimo y m´aximo de v = x y son respectivamente 0 y 1. Ahora suponemos dado un valor fijo de v. Esto significa que estamos sobre una curva x y = v y queremos saber para qu´e valores de u = x los puntos de esa curva est´an dentro de nuestra regi´on. Para que y sea menor que 1, la x tiene que ser mayor que v, pero al mismo tiempo la x tiene que ser menor que 1, luego el intervalo para u es: v  u  1 y el resultado final es: ! Z 1 Z 1 v du dv. 0

v

6 Resumen de los tres pasos para realizar un cambio de variable: Elemento de a´ rea, Integrando y L´ımites de integraci´on. Resumiendo lo visto hasta ahora, los pasos a seguir para realizar un cambio de variables en una integral doble ZZ f (x, y) dx dy R

son los siguientes:

Elemento de a´ rea: Expresar el elemento de a´ rea dx dy como | det J (u, v)| du dv. Integrando: Escribir el integrando f (x, y) en t´erminos de las nuevas variables. L´ımites de integraci´on: Describir la regi´on de integraci´on en t´erminos de las nuevas variables y hallar los nuevos l´ımites de integraci´on de las integrales iteradas.

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