Cálculo II

2.2-1

§2.2 Integrales de superficie La segunda forma de integral de campos es la integral extendida a una superficie S ⊂ 3. Las aplicaciones a la Física nos obligarán a distinguir entre campos escalares y campos vectoriales, como en las integrales de línea. Tendremos que completar la presentación de los campos vectoriales, viendo las bases vectoriales a que referir los campos en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. Y también tenemos que presentar la parametrización de superficies en el espacio antes de estudiar la definición, propiedades y cálculo de las integrales de superficie.

a) Preliminares sobre campos vectoriales en curvilíneas En la sección anterior se han presentado las curvas parametrizadas en el espacio 3 y eso nos permite a continuación añadir contenidos de mucho interés para manejar los campos vectoriales en los sistemas de coordenadas curvilíneas, en particular los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. Expresar un campo escalar en curvilíneas consiste simplemente en cambiar las coordenadas usando las relaciones de transformación. Pero expresar un campo vectorial exige no sólo cambiar las coordenadas, sino también cambiar la base de referencia en la que dar los vectores en cada punto.

a1) Base natural de un sistema de coordenadas curvilíneas generales Si (u,v,w) son un sistema de coordenadas del espacio introducidas mediante unas relaciones de transformación {x = f1(u,v,w), y = f2(u,v,w), z = f3(u,v,w)}, podemos expresar en función de (u,v,w) el vector de posición r(x,y,z) en la base cartesiana {_i, _j, _ k } ≡ {e1, e2 , e3}: r(u,v,w) = x(u,v,w)_i + y(u,v,w)_j + z(u,v,w)_ k = f1(u,v,w)e1 + f2(u,v,w)e2 + f3(u,v,w)e3

(2.2-1)

La exigencia de unicidad de coordenadas se obtiene con la condición del jacobiano

∂ ( x, y , z ) ∂ ( x, y , z ) = det ≠0 ∂ (u , v, w) ∂ (u , v, w)  

(2.2-2)

:= J (u ,v , w)

y llamaremos regulares a los puntos (u,v,w) que la cumplan. Definición: Sea (u0,v0,w0) un punto genérico regular. Definimos las líneas coordenadas del sistema como las 3 curvas que pasan por (u0,v0,w0) en las que sólo varía una de las 3 coordenadas curvilíneas; su ecuación vectorial es sencilla a partir de (2.2-1): línea coordenada u: Cu(u0,v0,w0) ≡ {r(u) = r(u,v0,w0) = x(u,v0,w0)_i + y(u,v0,w0)_j + z(u,v0,w0)_ k, línea coordenada v: Cv(u0,v0,w0) ≡ {r(v) = r(u0,v,w0) = x(u0,v,w0)_i + y(u0,v,w0)_j + z(u0,v,w0)_k , línea coordenada w: Cw(u0,v0,w0) ≡ {r(w) = r(u0,v0,w) = x(u0,v0,w)_i + y(u0,v0,w)_j + z(u0,v0,w)_ k. Los vectores velocidad de estas curvas en el punto (u0,v0,w0) se denotan gu(u0,v0,w0) := _

∂r (u , v , w ) ∂u 0 0 0

, _gv(u0, v0, w0) :=

∂r (u , v , w ) , ∂v 0 0 0

gw(u0,v0,w0) := _

∂r (u , v , w ) ∂w 0 0 0

(2.2-3)

y forman una base tridimensional, llamada base natural del sistema. Si esta base es ortogonal, el sistema de coordenadas se dice sistema de coordenadas ortogonales. En tal caso la base normalizada de la base natural es una base ortonormal que se llama base física del sistema. La independencia lineal de los tres vectores naturales (2.2-3) está garantizada en los puntos regulares, por la condición del jacobiano (2.2-2), ya que la matriz jacobiana, J(u,v,w), tiene por columnas las componentes cartesianas de los tres vectores en la base canónica {e1, e2, e3} ≡ {_i, _j, k}, en la que se han obtenido las derivadas, a partir de expresión canónica del vector de posición, (2.2-1). Expresar un campo vectorial F = F(x,y,z) en el sistema curvilíneo (u, v, w) no es sólo cambiar las coordenadas, sino cambiar también la base. El proceso comienza cambiando, sí, las coordenadas, obteniendo F en función de (u, v, w) pero todavía en la base {_i, _j, k}, y pasando finalmente a la base natural {g _u, g _v, g_w}. Esquemáticamente sería:

2.2-2

Cálculo II c.de base: J −1

(2.2 −1)

→ Fx(u,v,w)_i+Fy(u,v,w) j +Fz(u,v,w)k_  → F(u,v,w) = Fu_gu + Fvg_v + Fw_gw F = Fx(x,y,z)_i+Fy_j+Fzk _  _ E

A

EA

A

E

A

A

E

A

A

EA

EA

EA

EA

En el último paso se logra expresar el campo vectorial F en el sistema curvilíneo de un modo completo. Definición: superficies coordenadas Otros lugares geométricos de interés, asociados a los sistemas de coordenadas son las llamadas superficies coordenadas. Son las superficies determinadas por tener constante una sóla de las coordenadas curvilíneas y permitir variar a ls otras dos en toda su extensión. Son estas superficies las que dan nombre al sistema de coordenadas: en las cilíndricas la primera superficie coordenada sería determinada por {ρ = ρ0 = cte.}, que es una superficie cilíndrica ilimitada de radio ρ0. Las líneas coordenadas y la base natural son elementos fundamentales de cualquier sistema de coordenadas curvilíneas. Observemos que los vectores de la base natural son, por definición, tangentes a las líneas coordenadas en cada punto en que se consideren.

a2) Bases naturales cilíndrica y esférica Los sistemas de coordenadas clásicos del espacio, cilíndricas y esféricas, son ahora ejemplos especialmente usados de lo presentado en el caso general. Comenzamos concretándolo para el sistema cilíndrico:

g_r g_z

g_θ

g_θ g_ρ g_ϕ

figura 2.2- 1

 gρ = cos θ i + sen θ j   −ρ sen θ i + ρ cos θ j → figura (2.2-1a) ρ cos θ 0 ⇒  gθ =  g = k 0 1   z Por su parte, en el sistema esférico, los elementos vistos se concretan así:  cos θ sen θ ρ cos θ i + ρ sen θ j + zk ⇒ J (ρ,θ, z ) = r=   0

−ρ sen θ

sen φ cos θ φk ⇒ J sen φ sen θ r r sen φ cos θ i + r sen φ sen θ j + r cos= =  cos φ 

0

 gr = sen φ cos θ i + sen φ sen θ j + cos φk  ⇒  gφ = r cos φcosθ i + r cos φ sen θ j − r sen φk     gθ = − r sen φsenθ i + r sen φ cos θ j

r cos φ cos θ − r sen φ sen θ  r cos φ sen θ r sen φ cos θ 0 − r sen φ

lo que se ilustra en la figura (2.2-1b). Ejercicio: Identificar las superficies coordenadas de los sistemas cilíndrico y esférico del espacio. Ejemplo 2.2-1: Expresar en los sistemas cilíndrico y esférico el vector de posición r = x_i + y_j + z_ k. A

 cos θ Solución: i) En cilíndricas: r = ρcosθ_i + ρsenθ_j+z_k ; J = sen θ  0 A

E

A

A

E

A

 rρ 

ρ cos θ 

ρ 

 z 



 

A

EA

0

−ρ sen θ ρ cos θ

‒1  0 ⇒J =  1 

0

E

A

A

E

A

 cos θ  − sen θ  ρ  0 

A

EA

sen θ

0

cos θ ρ

0

0

1

 

0  ⇒ r(ρ,θ,z) = ρ_ J −1 ⋅ ρ sen θ  = gρ + z_ gz . Y ahora cambiamos la base:  rθ  =  z  z r A



EA

A

EA

ii) En esféricas: como ejercicio realizar el mismo proceso para deducir que r(r, ϕ,θ) = r g _r A

= w Ejemplo 2.2-2: Expresar en el sistema de coordenadas cilíndrico el campo

−y x2 + y 2

i+

#.

EA

x x2 + y 2

j

Cálculo II

2.2-3

Solución: Como ejercicio, comprobar que w =

1 ρ2

gθ

#.

b) Preliminares sobre superficies en el espacio En esencia, una superficie en el espacio es la deformación de una región (bidimensional) del plano. Vamos a estudiar su expresión analítica como lugar geométrico parametrizado en función de 2 parámetros, (u,v), y también cómo definir y expresar el elemento diferencial de superficie, dS, para realizar integraciones sobre ellas. Matemáticamente una definición formal de superficie es:

D

figura 2.2- 2

Definición: Una superficie regular S ⊂ 3 es la imagen en 3 de una aplicación regular e inyectiva de la forma σ: D ⊂ 2 → S ⊂ 3 / (u,v) → σ(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (2.2-4)  Suele abreviarse σ escribiendo r(u,v) ≡ Oσ(u , v) , de modo que la expresión r = r(u,v) = x(u,v)_i + y(u,v)_j + z(u,v)_ k , (u,v)∈D

(2.2-5)

se conoce como ecuación vectorial de la superficie S. Si se separa la ecuación por componentes se tienen las llamadas ecuaciones paramétricas de S: S ≡ {x = x(u,v) = σ1(u,v), y = y(u,v) = σ2(u,v), z = z(u,v) = σ3(u,v); (u,v)∈D} (2.2-6) ∂ ( x, y , z ) La inyectividad de σ se garantiza exigiendo que la matriz jacobiana  ∂ (u ,v ) (u , v)  tenga rango 2.  

(2.2-7)

El par (σ,D) se llama una parametrización de S. El conjunto D se llama el dominio de la parametrización. Las variables u, v se llaman los parámetros de la parametrización y varían en un espacio 2 abstracto, en que se suponen unos ejes UV de las variables u y v (figura 2.2-2), normalmente omitido en 3. La regularidad de la parametrización se mide por el número de derivadas sucesivas continuas que tiene σ, o sea, la clase de la función. Al igual que con las curvas, las superficies admiten infinitas parametrizaciones. Porque si (σ,D) es una parametrización dada de S y φ : D∗ → D es una biyección regular entre subconjuntos de 2, tal que (u,v) = φ(α,β), entonces, llamando τ a la función compuesta, τ := σ◦φ , resulta que (τ,D*) es otra parametrización de la misma superficie S con parámetros α y β. Habitualmente se entiende que la parametrización (τ,D*) se obtiene a partir de la dada (σ,D) mediante un cambio de parámetros determinado por la biyección φ. Ejemplo 2.2-3: Parametrización a partir de ecuaciones cartesianas explícitas (o de Monge): La ecuación {z = x2+y2, 0≤|x|≤2, 0≤|y|≤2} determina una superficie S en el espacio, que ya se conoce por ser la gráfica de la función f(x,y) = x2+y2, un paraboloide figura 2.2- 3 de revolución (figura 2.2-3). Una parametrización inmediata de S se obtiene al utilizar como parámetros las propias coordenadas cartesianas: {x = u , y = v , z = u2 + v2 }

2.2-4

Cálculo II En este caso, además:

D = {(u,v) ∈ R2 : 0≤|u|≤2, 0≤|v|≤2} , σ(u,v) = (u, v, u2 + v2) r(u,v) = u _i + v _j + (u2 + v2) k _

#.

El mismo procedimiento del ejemplo se puede aplicar con cualquier superficie que venga dada por una ecuación cartesiana explícita de la forma z = f(x, y) (y similares con otras variables y = f(x, z), etc…) Ejemplo 2.2-4: Obtener una parametrización de una superficie esférica de radio R, utilizando como parámetros las coordenadas u = colatitud esférica = ángulo complementario de la latitud esférica, v = longitud esférica. Solución: Una parametrización cartesiana {x = Rsenu cosv, y = Rsenu senv , z = Rcosu ; u∈]0, π[, v∈[0, 2π[}. Una parametrización esférica sería: {r = R, ϕ = u, θ = v; u∈]0, π[, v∈[0, 2π[}, como 1ª superficie coordenada del sistema esférico. #. Ejemplo 2.2-5: Parametrizar una superficie cónica de radio R y altura 3 R, tomando origen en el vértice del cono y colocándolo en posición invertida (el vértice debajo de la base) con su altura contenida en el eje Z. Solución: Como ejercicio, parametrizar previamente sus coordenadas esféricas y pasar luego a cartesianas. Ejemplo 2.2-6: Parametrizar el paraboloide {z = x2+y2; x2+y2 ≤ 4} tomando parámetros (u,v) de las coordenadas cilíndricas. Solución: Se trata de una superficie de revolución alrededor del eje Z, y su ecuación en cilíndricas relaciona z con ρ directamente: z = ρ2, de manera que la parametrización pedida, en cilíndricas, es: {ρ = u , θ = v , z = u2; u∈]0,2], v∈[0,2π[}. Y en cartesianas: { x = ucosv, y = usenv, z = u2; u∈]0, 2], v∈[0, 2π[ } La figura (2.2-4) está elaborada en MatLab con el siguiente M-file: clear all syms u v x=u*cos(v); y=u*sin(v);z=u^2; ezmesh(x,y,z,[0,2],[0,2*pi]) axis equal El comando “syms” introduce variables reales “u” y “v”: los parámetros de la parametrización. En la línea siguiente se introduce la parametrización expresando las coordenadas cartesianas en función de (u, v), directamente. El comando “ezmesh” dibuja la superficie parametrizada introducida, figura 2.2- 4 con los dominios de los parámetros que se le indique entre corchetes, para u y para v, respectivamente. Observamos que es la misma superficie del ejemplo 2.2-3 (figura 2.2-3), pero allí se usó la parametrización cartesiana (o de Monge) en el dominio [−2, 2]×[-2, 2]. Ejemplo 2.2-7: Parametrizar una cúpula semiesférica de radio 1 con su ecuador en el plano XY y origen en el centro de su base. Solución: Como ejercicio: i) parametrizarla usando coordenadas esféricas (ver ejemplo 2.2-4). ii) usando coordenadas cilíndricas. iii) parametrización de Monge. Ejemplo 2.2-8: Cada punto del segmento C1 : {x = t, y = 0, z = 1; tÎ[−1, 1]} se une mediante otro segmento con el punto del segmento C2 : {x = 0, y = t, z = ‒1; tÎ[−1, 1]} con el mismo valor de t. Se determina así una superficie reglada, S. Se pide parametrizarla escogiendo parámetros (u, v) de modo que u permita fijar los puntos que quedan unidos de los segmentos C1 y C2, y v determine el punto del segmento que se apoya en los dos. Solución: Como ejercicio. Como indicación: una superficie se llama reglada si está generada por rectas o segmentos de recta, que se apoyan en una curva directriz, X(u), en una dirección dada para cada punto de la directriz, _g(u), la generatriz; la ecuación vectorial de la superficie es, entonces, r(u,v) = X(u) + v_g(u). Se observa que la superficie de la figura (2.2-2) es una superficie reglada cuya directriz es una circunferencia y cuyas generatrices son rectas oblicuas al plano de la circunferencia.

Cálculo II

2.2-5

b1) Líneas coordenadas, base natural, vector normal y orientación de una parametrización Si S ≡ (σ,D) es una superficie parametrizada con ecuación vectorial (2.2-5), observamos que todas las figuras presentadas hasta ahora de una superficie están trazadas a base de líneas que forman parte de la superficie y, de hecho, permiten construir un entramado reticular que da la forma de S. Estas curvas dependen esencialmente de la parametrización, como muestran las figuras (2.2-3) y (2.2-4), y forman un elemento importante de cada superficie parametrizada, de un modo tan sistemático, que debe formularse como una definición: Definición: Se llaman líneas coordenadas de una superficie parametrizada a las curvas en el espacio y sobre la superficie que resultan de dejar variar una y sólo una de las variables u ó v manteniendo constante la otra. Si (u0, v0) es un punto concreto de S tendremos dos líneas coordenadas que pasan por él: La línea coordenada u, es la curva de ecuación vectorial de parámetro u dada por Lu ≡ r = r(u, v0) y la línea coordenada v, curva de ecuación vectorial de parámetro v dada por Lv ≡ r = r(u0, v). Estas líneas forman un entramado de curvas sobre la superficie que la estructuran en función de la parametrización. También pueden denotarse Lv0 y Lu0 respectivamente, si se destaca el parámetro que permanece constante en cada una. Definición: La base natural de superficie se define de modo análogo a las bases naturales de los sistemas de coordenadas curvilíneos del espacio. El vector

d du

( r (u, v0 ) ) u =u

es la velocidad de Lu y, por tanto, tangente a la línea

0

gv = ∂∂vr (u0 , v0 ) , tangente a la línea coordenada. En cada punto coincide con _gu = ∂∂ur (u0 , v0 ) y lo mismo puede decirse de _ coordenada Lv. Ambos vectores son linealmente independientes, por la condición (2.2-7) de rango 2 de la matriz jacobiana, y forman una base bidimensional del plano tangente a S en cada punto, {_ gu, _ gv}, que es conocida como base de superficie o base natural de superficie. Con la base natural de superficie {g_u, g_v} sólo podemos describir vectores tangentes a la superficie. Para referir un campo vectorial cualquiera en los puntos de S, necesitamos un tercer vector para completar una base tridimensional. El vector que se toma es el unitario normal a la base natural, llamado el vector normal a S en cada punto: N (u , v) :=

gu × gv gu × gv

(2.2-8)

La base tridimensional {_gu(u,v), _gv(u,v), N(u,v)} se conoce como el triedro de superficie y ya permite referir a ella cualquier campo vectorial del espacio que se particularice sobre la superficie S. El vector N(u, v) determina lo que llamamos orientación de la superficie: es decir, permite considerar un "encima" y un "debajo" de la superficie y, en las superficies cerradas, un "interior" y un "exterior". Para ello es preciso que la superficie sea orientable, lo que quiere decir que al variar N continuamente a lo largo y/o ancho de la superficie y regresar al punto de partida, el vector N conserva la orientación. Existen superficies no orientables (como la cinta de Moebius), pero sólo consideraremos el caso de superficies orientables, es decir con dos caras. Si se hace una reparametrización de S mediante un cambio de parámetros habrá que cuidar el detalle de si el cambio de parámetros conserva o cambia la orientación de la superficie. Si (u*, v*) = ψ(u, v) es el cambio de parámetros, el signo del jacobiano Jψ = det   negativo, cambia.

∂ ( u *, v*)  ∂ (u ,v ) 

es el factor decisivo en este sentido: si es positivo la orientación se conserva y si es

En lo que sigue consideraremos superficies regulares, al menos de clase C (1, y globalmente orientables. También admitimos superficies regulares a trozos que comprenden poliedros o cilindros cerrados con sus tapas circulares, etc… Ejemplo 2.2-9: En una superficie esférica con la parametrización estándar {r = R, ϕ = u, θ = v} como superficie coordenada el sistema de coordenadas esféricas, las líneas coordenadas también coinciden con las del sistema esférico. Es decir, las líneas Lu son las semicircunferencias de los meridianos de cada punto de la esfera, salvo los polos; las líneas Lv son las circunferencias de los paralelos de cada punto, salvo de nuevo los polos. 2 2 El vector normal N es el unitario de g_ϕ por g _r _θ , es decir, de _gu×g _v, que es r senϕ _gr , o sea, el unitario de R senu g que es el propio g_r, pues éste es unitario. Así, la orientación inducida por la parametrización estándar de la superficie esférica es exterior.

2.2-6

Cálculo II

c) Integral de superficie de un campo c1) Elemento diferencial de superficie, dS Hemos visto que las líneas coordenadas de una superficie parametrizada cuadriculan la misma, como se ha apreciado en todas las figuras hasta el momento. El elemento dS es el área de una cuadrícula genérica, comprendida entre las líneas coordenadas de σ(u, v) y de σ(u+du, v+dv). Podemos expresar aproximadamente el área de tal cuadrícula si aproximamos mediante vectores infinitesimales la longitud de cada lado de los que concurren en (u, v), o sea, el lado de la línea Lu, se aproxima con el vector secante r(u+du, v) ‒ r(u, v), y el lado de la línea Lv, se aproxima con el vector secante r(u, v+dv) ‒ r(u, v). Siendo σ de clase C(1, resulta que los vectores g _udu y _gvdv aproximan esos vectores secantes. Como sabemos, el producto vectorial de dos vectores tiene la dirección normal a ambos (según la ley de la mano derecha) y su módulo es el área del paralelogramo determinado por los dos vectores. De este modo definimos el vector dS como: dS := g _v dudv _u×g

(2.2-9)

dS = |g _u×g _v|dudv

(2.2-10)

cuyo módulo es el escalar dS:

Usaremos ambos en las integrales de superficie. Observamos que el vector dS tiene la orientación de S en cada punto mientras que el escalar dS es independiente de ella. De hecho, se cumple: dS = N dS

(2.2-11)

Área de una superficie parametrizada El área o superficie lateral de una superficie parametrizada la obtenemos como una integral doble del elemento escalar dS extendida a todo el dominio de los parámetros (u,v). Concretamente, si S ≡ (σ, Ω): Área(S) =

∫∫D | gu × gv |dudv

(2.2-11)

Ejemplo 2.2-10: Determinar la superficie lateral de una esfera de radio R. Solución: La parametrización más sencilla de la esfera es la de superficie coordenada del sistema esférico, es decir, {r = R, ϕ = u, θ = v; u ∈]0, π[, v ∈[0, 2π[} ⇔ {x = Rsenucosv, y = Renusenv, z = Rcosu}. Luego tenemos: r(u,v) = Rsenucosv_i + Rsenusenv_j + Rcosu_ k k ; _gv = ‒ Rsenusenv_i + Rsenucosv_j _gu = Rcosucosv_i + Rcosusenv_j ‒ Rsenu_ i

g_u×_gv =

R cos u cos v

j

k

R cos u sen v − R sen u

− R sen u sen v R sen u cos v

= R2senu(senucosv_i + senusenv_j + cosu _k)

0

|g_u×g_u| = R2senu ⇒ dS = R2senududv Finalmente, integramos: Área (S) =

π

2π

∫∫Ω gu × gv dudv =∫0 ∫0

π

(

π

)

R 2 sen ududv =2πR 2 ∫ sen udu =2πR 2 − cos u 0 =4πR 2 0

#.

Ejemplo 2.2-12: Calcular la superficie lateral de un cono de radio r y altura h. Solución: Como ejercicio. Resulta πRL, siendo L la longitud de la generatriz, L =

R2 + h2

#.

c2) Integral de superficie de un campo escalar Definición Dado un campo escalar U = f(x,y,z), definido en su región de influencia Ω ⊂ 3, y dada una superficie S ⊂ Ω, parametrizada mediante (σ,D), definimos la integral de superficie del campo U sobre la superficie S,

Cálculo II

denotada

2.2-7

∫∫S f ( x, y, z )dS , mediante la integral doble: = ∫∫ f ( x, y, z )dS :

∫∫D f ( x(u, v), y(u, v), z (u, v)) | gu × gv | dudv

S

∫∫S f ( x, y, z )dS

donde simplemente se ha entendido cada elemento de

(2.2-12)

sobre la superficie parametrizada, de

modo similar a las integrales de línea de 1ª especie. Observamos que el área de S que se ha definido no es más que ∫∫ dS entendida según esta definición con f(x,y,z) = 1. S

1 sobre S ≡ {z = x2+y2; 0 ≤ z ≤ 1}, el paraboloide. x2 + y 2

Ejemplo 2.2-13: Calcular la integral de U =

Solución: i) Parametrizamos la superficie usando como parámetros las coordenadas cilíndricas: {ρ = u, θ = v, z = u2} ⇔ {x = u cosv, y = u senv, z = u2; 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π} ii) Obtenemos la base natural y el dS: ∂r ∂r k;g _v = ∂v = ‒u senv _i + u cosv _j _gu = ∂u = cosv _i + senv _j + 2u _

Observando que los dos vectores son ortogonales, no es preciso efectuar el producto vectorial para calcular el dS, pues el módulo de su producto vectorial es lo que interesa y será el producto de los dos módulos. O sea: π

2 2 |g_u × g_v| = |g_u|·|g_v|·sen( 2 ) = |g _u|·|g _v| = u 1 + 4u ⇒ dS = u 1 + 4u du dv EA

iii) Finalmente, la integral queda:

∫∫S

1 x +y 2

2

dS = ∫∫

1 Du

(

1

2 u 1 + 4u 2 dudv = ∫ 1 + 4u du 0

A

EA

)( ∫ dv ) =2π∫ 2π

1

0

0

1 + 4u 2 du

La última integral la resolvemos por cambio de variables: 1

∫0 =

 2u = Sh t ⇒ du = 1 Ch tdt  2 argSh 2 argSh 2 argSh 2   2 u = 0 ⇒ t = 0; u = 1 ⇒ t = arg Sh(2) 1 + 4u du =  = ∫0 12 Ch tdt =12 ∫0 1+Ch2 2t dt =12 ( 2t + Sh42t ) 0 =  1 + 4u 2 =  Ch t   2

argSh 2 4

+ 12

(

2Sh t Ch t argSh 2 4 0

)=

argSh 2 4

+ 2·2· 81+ 2 = 2

∫∫S

Luego la integral pedida es:

argSh 2 4

+

5 2

1 = dS π( 2 2 x +y

.

argSh 2 + 5) 2

#.

Ejemplo 2.2-14: Calcular la integral de U = 1 + x2 + y2 sobre el helicoide {ρ = u, θ = v, z = v; ρ∈[0, 1], θ∈[0, 2π]} parametrizado en coordenadas cilíndricas. A

Solución: Como ejercicio. Resulta

8 3

EA

π

#.

Propiedades de la integral de superficie de campos escalares Las propiedades son prácticamente las mismas que las de la integral de línea de 1ª especie: • 1) Linealidad respecto del integrando y propiedad triangular, como la integral de línea de 1ª especie. • 2) Aditividad respecto a las superficies, lo que permite considerar superficies regulares "a trozos". • 3) Propiedad de monotonía: la integral sobre la misma superficie conserva la relación de orden entre los integrandos. • 4) Propiedad triangular:

{ f ( x, y, z ) }·Área(S ) ∫∫S f ( x, y, z )dS ≤ ∫∫S | f ( x, y, z ) |dS ≤ ( xmáx , y , z )∈S

• 5) Teorema del valor medio: Si el campo escalar U = f(x,y,z) es continuo y la superficie S es medible, existe un punto P0 de S tal que f(x0, y0, z0)·Área(S) =

∫∫S f(x,y,z)dS .

• 6) Invariancia de la integral de superficie respecto de la parametrización. Aunque no la probaremos es esta propiedad la que permite denotar la integral indicando S, la superficie, en lugar de σ(D). La demostración es un resultado de cambio de variables mediante cambio de parametrización.

2.2-8

Cálculo II

c3) Integral de superficie de un campo vectorial: flujo Definición: Dado un campo vectorial w = w(x,y,z) = w1(x,y,z)_i + w2(x,y,z)_j + w3(x,y,z)_k , definido en su región de A

E

A

A

E

A

A

EA

influencia Ω⊂ , y dada una superficie S⊂Ω. regular y parametrizada mediante una parametrización (σ, D), la integral de superficie de w sobre S se define como una integral del escalar que resulta de proyectar w sobre el vector normal N de S en cada punto, lo que produce una magnitud escalar que se llama flujo del campo w a través de S, y se denota Φ(w, S), de manera que 3

Φ ( w, S ) =:

∫∫S w ⋅ dS= ∫∫S w ⋅ NdS

(2.2-13)

Cálculo: Por las definiciones (2.2-8 á 11) de los elementos N, dS y dS y la de integral de 1ª especie, se comprende que el desarrollo de la integral de 2ª especie (2.2-13) es como sigue: Φ(w, S) =

udv ∫∫ w(u , v)·( gu × g v ) dudv ∫∫D w( x(u, v), y(u, v) z (u, v))·|gu ×gv | gu × gv d= D gu × gv

es decir, el escalar que se integra en la integral del campo vectorial w es el producto mixto de w con los vectores de la base natural: Φ ( w, S ) = ∫∫ w ⋅ dS = ∫∫  w(u , v), gu (u , v), g v (u , v)  dudv S D

(2.2-14)

Este producto mixto, que resulta en el integrando, puede especificarse más si se tiene en cuanta la definición de los vectores de la base natural de superficie, porque es el determinante siguiente: w1 (u , v) w2 (u , v) w3 (u , v) x = (u , v) ∂∂uy (u , v) ∂∂uz (u , v) ... w(u , v), gu (u , v), g v (u , v)  ∂∂= u ∂x (u , v) ∂∂yv (u , v) ∂∂vz (u , v) ∂v

por lo que, desarrollando por la primera fila y teniendo en cuenta la notación jacobiano, se tiene w1 (u , v) ∂∂((uy ,,vz )) − w2 (u , v) ∂∂ ((ux ,,vz )) + w3 (u , v) ∂∂((ux ,,vy)) = w1 (u , v) ∂∂((uy ,,vz )) + w2 (u , v) ∂∂ ((uz ,,vx )) + w3 (u , v) ∂∂((ux ,,vy))

Así pues, también puede escribirse:

(

)

∂( y,z ) ∂( z, x) ∂ ( x, y ) Φ ( w, S ) = ∫∫ w ⋅ dS = ∫∫ w1 (u, v) ∂ (u ,v) + w2 (u, v) ∂ (u ,v) + w3 (u, v) ∂ (u ,v) dudv D

S

(2.2-15)

La orientación concreta que tenga la parametrización de S permite especificar el sentido del flujo del campo al "atravesar" la superficie: flujo ascendente o hacia arriba, descendente o hacia abajo y, en superficies cerradas, flujo hacia el exterior o saliente y hacia el interior o entrante. Si interesa un sentido particular, debe verificarse si el que proporciona la parametrización coincide o no con el de interés. De no coincidir,, bastará cambiar el signo del flujo obtenido. Es costumbre denotar

 ∫∫ S

el flujo sobre superficies cerradas, como con las circulaciones.

Numerosas leyes de la Física se formulan en términos de flujos de campos vectoriales significativos, ya sea en Termodinámica (el flujo del gradiente de temperaturas regula la transmisión del calor), en Electricidad (la ley de Faraday y el flujo del campo eléctrico relacionado con la corriente que circula en el borde de la superficie atravesada o la ley de Gauss, que relaciona el flujo del campo eléctrico al exterior de una superficie cerrada con la carga eléctrica acumulada en el interior de la superficie), etc… Ejemplo 2.2-15: Hallar el flujo del campo vectorial w = r = x _i + y _j + z _k al exterior de la esfera unidad, S. A

Solución: Se pide

 ∫∫ S r ⋅ Next dS

E

A

A

E

A

A

EA

y procedemos sistemáticamente:

• i) Parametrización de S: ya la hemos hecho para la esfera de radio R. Basta particularizar R = 1 y se tiene la parametrización como superficie coordenada de las coordenadas esféricas, que implica la parametrización cartesiana: {r = 1, ϕ = u, θ = v; u∈]0, π[ , v∈[0, 2π[ } ⇒ {x = senu cosv, y = senu senv, z = cosu} luego r(u,v) = senu cosv _i + senu senv _j + cosu _k A

E

A

A

E

A

A

EA

Cálculo II

2.2-9

• ii) El campo integrando en la superficie, w(u, v), coincide con la ecuación vectorial de S, pues da r(u, v). • iii) Obtenemos la base natural de la parametrización: g_u = cosu cosv_i + cosu senv_j ‒ senu _ k;g _v = ‒senu senv_i + senu cosv_j A

EA

A

E

A

A

E

A

A

EA

A

EA

A

E

A

A

E

A

y su producto vectorial, observando que los vectores son ortogonales (porque son los vectores g _ϕ y _gθ del sistema A

EA

A

EA

de coordenadas esféricas, sólo que para r = 1), será de la dirección de g _r y de módulo el producto de sus módulos, luego es: gu×_ gv = |_gu|·|_gv| _gr = 1·senu·(senu cosv_i + senu senv_j + cosu _ k) = sen2u cosv _i + sen2u senv _j + senu cosu _ k _ A

A

EA

A

EA

A

EA

A

EA

A

EA

A

E

A

A

E

A

A

EA

EA

A

E

A

A

E

A

A

EA

gu, _gv] = w · (_gu×_ gv) resulta: • iv) A continuación el producto mixto [w, _ A

3

EA

A

3

EA

A

EA

A

2

EA

A

EA

gu, _gv] = sen u cos v + sen usen v + senu cos u = sen3u(cos2v + sen2v) + senu cos2u = senu [w, _ A

2

2

EA

• v) Finalmente la integración, para lo que observamos previamente si nuestro vector _gu×g _v señala hacia el exterior como queremos. Pero hemos visto que su dirección es la del vector _gr de las coordenadas esféricas, es decir, efectivamente, es saliente. Así, planteamos: A

A

π

2π

 ∫∫ S r ⋅ Next dS = ∫0 ∫0

(

π

sen ududv = ∫ sen udu 0

EA

A

EA

EA

)( ∫ dv ) =2π ( − cos u ) =4π 2π

π 0

o

#.

Propiedades de la integral de superficie de campos veetoriales Son completamente análogas a las de la integral de línea de segunda especie respecto a las de primera. Se conservan todas las propiedades (también la propiedad triangular de un flujo acota su valor absoluto con una integral de 1ª especie, como pasaba con las integrales de línea). También el signo de la integral de superficie de un campo vectorial depende del sentido de la normal que induzca la parametrización en la superficie S. No insistiremos en estas ideas por su semejanza con las de 1ª especie y las de integrales de línea. Ejemplo 2.2-16: Calcular el flujo saliente del campo w = ρg _ρ + g _θ + _gz, dado en el sistema de coordenadas A

EA

A

EA

A

EA

cilíndricas, a través de la superficie cerrada del cilindro V = {x2 + y2 ≤ 4; 0 ≤ z ≤ 2}. Solución: Como ejercicio, aplicando la aditividad para las tres caras de la superficie cerrada. Resulta Φ = 8π. #.

d) Los teoremas fundamentales de la integración de campos en el espacio El teorema fundamental de la integración de campos en el plano es el teorema de Green, que vimos en la sección anterior. Nos resta presentar los dos teoremas fundamentales de la integración en el espacio, que son aún más relevantes que aquél, por tener el contexto tridimensional ordinario de la Física.

d1) El teorema de Stokes Relaciona una integral de línea con una integral de superficie. Es una extensión directa del Teorema de Green a tres dimensiones. Una porción de superficie regular, limitada por una curva cerrada simple que le sirve como borde, se llama un casquete de superficie. Si, además, el casquete no tiene agujeros, se dice simplemente conexo (en el mismo sentido que las regiones del plano a las que aplicamos el teorema de Green, como sugiere la figura 2.2-5). Es exactamente lo figura 2.2- 5 mismo que en el plano, pero ocurre de un modo deformado en el espacio tridimensional. Así podemos enunciar: N

Teorema de Stokes o del rotacional Sea w : Ω ⊂

3

→

3

un campo vectorial al menos de clase C (1. Y sea S un casquete de superficie regular,

simplemente conexo y limitado por una curva regular C = ∂S, cerrada y simple. Entonces, la circulación del campo w a lo largo del ∂S,

∫ ∂S w ⋅ d r , es igual al flujo de su rotacional a través del casquete S, ∫∫S ∇ × w ⋅ dS , siempre que el

sentido de recorrido del borde y el de la normal N sean coherentes según la ley de la mano derecha. Es decir:

2.2-10

Cálculo II

∫ ∂S w ⋅ d=r ∫∫S ∇ × w ⋅ dS= ∫∫S ∇ × w ⋅ NdS

(2.2-16)

Demostración: En la asignatura Teoría de Campos del tercer cuatrimestre.

Observemos que el Teorema de Green es un caso particular del Teorema de Stokes cuando tanto la curva como el casquete de superficie se encuentran "aplastados" en un plano, sobre el que está definido el campo plano w = P_i + Q_j. Ejemplo 2.2-17: Verificar el teorema de Stokes calculando por separado los dos miembros de la igualdad, siendo: el campo w = xy r, definido en 3, y S la semiesfera positiva con borde la circunferencia unidad del plano XY. Solución: Se observa, en primer lugar, que el campo u es regular, de clase C∞, al ser funciones polinómicas sus componentes cartesianas, (x2y, xy2, xyz); además w está definido en todo el espacio, o sea Ω = 3. El casquete esférico S es una superficie regular con borde regular y es simplemente conexo (sin agujeros). Luego, cuidando la orientación de S y el sentido de ∂S, se puede aplicar el Teorema de Stokes. • i) Se tienen las parametrizaciones siguientes: π

S ≡ {x = senucosv, y = senusenv, z = cosu; 0≤u≤2 , 0≤v≤2π} ⇒ N = _gr = r (como ya hemos visto) NOTA: en la superficie esférica considerada r es unitario y dS = |g _u×_gv|dudv = senu du dv (la parametrización π

de S es regular si 00) Además particularizamos el rotacional sobre S: k ∇×w(u, v) = ‒v_i ‒ (1‒u2)_j ‒ u_ iii) Finalmente obtenemos el producto mixto [∇×w(u, v), g_u(u, v), g_v(u, v)] = ∇×w·(_gu×g _v) = ‒2uv ‒ u = ‒u(2v + 1) iv) Y con lo ya obtenido, podemos efectuar la integral aplicando el teorema de Stokes:

∫ ∂S

w ⋅ dr =

(

)(

∫∫S ( ∇ × w) ⋅ ( gu × gv ) dudv = ∫0 ∫−2 −u (2v + 1)dudv = − ∫0 udu ∫−2 (2v + 1)dv 1 2

1

−1 (4 + 2) − (4 − 2) ) = = −2 2 (

2

)

 2 1  =  − u2   v 2 + v 0  

(

)

2



−2  

=

El problema de las hojas pide hacer la integral también directamente, parametrizando la curva, lo que puede hacerse como ejercicio. #. Ejemplo 2.2-19: Calcular el flujo del rotacional del campo w = 2

ascendente el casquete de elipsoide S ≡ { x 2 + a

y2 b2

+

z2 c2

y i + x2 j + z2 k al atravesar en sentido a2 b c

1, z ≥ 0} (ver ejercicio nº 5 de la hoja de problemas de =

exámenes del primer parcial pasados). Solución: Como ejercicio. Resulta π ( ba − ba )

#.

e) Teorema de Gauss El tercer teorema fundamental de la integración de campos relaciona una integral de superficie de un campo vectorial con una integral de volumen. Al enunciarlo hay que extender la condición de “sin agujeros” (o simplemente conexo) de los conjuntos bidimensionales, a la condición de “sin burbujas” o retráctiles para los conjuntos tridimensionales. Concretamente: Entendemos que una región tridimensional V es retráctil si toda superficie cerrada contenida en V puede contraerse de un modo continuo hasta cualquier punto que encierre sin abandonar el conjunto V en ningún momento mientras se retrae. Intuitivamente puede decirse que V es "sin burbujas".

2.2-12

Cálculo II

Teorema de Gauss o de la divergencia Sea w : Ω ⊂ 3 → 3 un campo vectorial al menos de clase C(1 definido en su región de influencia. Sea V ⊂ Ω una región del espacio acotada y retráctil, encerrada en una superficie regular (o regular a trozos) S que constituye su borde bidimensional, ∂V. Entonces se verifica que el flujo del campo w al exterior de V a través de S es igual a la acumulación de la divergencia del campo, ∇·w, en todo el volumen V. O sea:

S ∫∫∫ ∇ ⋅ w d= V ∫∫∫ ( ∂x  ∫∫ ∂V w ⋅ Next d= V V

∂w1

+

∂w2 ∂y

+

∂w3 ∂z

) dxdydz

(2.2-17)

demostración: El teorema se puede comprobar sobre un paralelepípedo [a1, a2]×[b1, b2]×[c1, c2], de un modo similar a como se comprobó el teorema de Green sobre un rectángulo, pero dejamos la demostración para la asignatura de Teoría de Campos. #.

Así, los dos operadores diferenciales clásicos, el rotacional ∇× y la divergencia ∇·, están involucrados en los teoremas fundamentales de la integración de campos en el espacio. Aplicaciones del Teorema de Gauss 1) La primera (y la que se exige este curso de Cálculo II) es la sustitución de integrales. Para calcular cualquiera de las dos integrales presentes en (2.2-17) puede efectuarse la que resulte más sencilla de las dos. y eso dependerá de cada caso. 2) Existe una fórmula para calcular volúmenes mediante flujos al exterior de la superficie que bordee el cuerpo a medir. Basta tener en cuenta que la divergencia del vector posición, r, es ∇·r = 3 para deducir: Volumen(V) =

∫∫∫V dV = 13 ∫∫∫V ∇·r dV = 13  ∫∫ ∂V r ⋅ Next dS

siempre que V sea regular y retráctil y su borde, regular o regular a trozos. 3) Se puede cerrar una superficie S, que no sea cerrada, añadiéndole una superficie auxiliar S1 que le sirva como "tapa" y aplicar al volumen encerrado V entre ambas el Teorema de Gauss. En este caso ∂V = S  S1 será una superficie cerrada regular a trozos, aplicándosele la aditividad al plantear la integral. Esto nos da la posibilidad de usar el Teorema para sustitución de superficies, de modo similar al uso del Teorema de Green para sustituir curvas. 4) Resulta especialmente relevante el caso en que el campo w tenga divergencia nula (se dice campo adivergente): estos campos darán flujos nulos al exterior de cualquier superficie cerrada. Los campos que cumplen esta última propiedad se llaman solenoidales y todo campo adivergente, en una región sin singularidades, será solenoidal. También hay un potencial-vector para los campos solenoidales, otro campo vectorial X que verifica ∇×X = w. Pero esto es materia de la Teoría de Campos del tercer cuatrimestre. Ejemplo 2.2-20: Calcular el flujo del campo w = ‒x2_i + 5y_j + 3z2_ k al exterior de la esfera de centro O y radio 3 E

A

A

E

A

EA

(ver ejercicio nº 10 de la hoja de problemas del capítulo). Solución: Se pide

 ∫∫ S w ⋅ Next dS

y se observa que el campo es regular, de clase C (∞ por sus componentes

polinómicas, luego su dominio es 3, retráctil. La esfera es una región retráctil de 3 y su borde es la superficie esférica, superficie cerrada, orientable y simplemente conexa. Se puede, pues, aplicar el Teorema de Gauss y plantear: S ∫∫∫ ∇ ⋅ w dV ∫∫ S w ⋅ Next d=  V

Vamos a calcular la segunda integral, describiendo V en esféricas:

= V

{(r , φ,θ) : 0 < r ≤ 3, 0 < φ < π, 0 ≤ θ ≤ 2π}

Calculamos, pues, y expresamos ∇·w en esféricas:

⇒ dV =

∂ ( x, y, z ) ∂ ( r ,φ,θ)

drdφdθ = r 2 sen φdrdφdθ

∇·w = ‒2x + 5 + 6z. ∇·w(r,ϕ,θ) = ‒2rsenϕ cosθ + 5 + 6rcosϕ

E integramos:

Cálculo II

2.2-13 π

2π

∇ ⋅ w dS ∫ ∫ ∫ ( −2r sen φ cos θ + 5 + 6r cos φ ) r 2 senφdrdφdθ = ∫∫∫V = 0 0 0 3

=

3 2 3 V ∫ ∫ ∫ ( −2r 3 sen 2 φ cos θ ) drdφdθ + ∫0 ∫0 ∫0 ( −2r sen φ cos θ + 6r sen φ cos φ ) drdφdθ + 5= 0 0 0 π

3

+∫

3

2π

3

2π

( ∫ −2r dr )( ∫ sen φdφ) ( ∫ + ( ∫ 3r dr ) ( ∫ 2sen φ cos φdφ ) ( ∫ dθ ) = 180π

3 3 ∫ ∫0 ( 6r sen φ cos φ ) drdφdθ +5·43 π·3 = π

π

2π

0 0

3

π

3

0

2

0

π

2π

0

0

3

0

3

180π +

2π

0

)

cos θdθ + #.

Si desea hacerse el flujo directamente, se indican los pasos preliminares: Parametrización estándar de S = ∂V, se tiene: S ≡ {x = 3senu cosv, y = 3senu senv, z = 3cosu; u ∈ ]0, π[, v ∈ [0, 2π[} gu | = 3 k ⇒ |_ de donde: _gu = 3cosu cosv_i + 3cosu senv_j ‒ 3senu_ A

EA

A

E

A

A

E

A

A

EA

A

EA

g_v = ‒3senu senv _i + 3senu cosv _j ⇒ |g _v| = 3senu A

EA

A

E

A

A

E

A

A

EA

π

Next dS = (_gu×g_v)dudv = |g _u| |_gv| sen 2 g _r du dv = 9senu _gr du dv A

EA

A

EA

A

EA

A

EA

A

E

A

E

dS = |_ gu×_ gv|dudv = 9 senu du dv Particularizaríamos el campo escalar w en la superficie para integrar… Se deja el resto como ejercicio, convencidos de que se ha elegido la integral más corta.

#.

Ejemplo 2.2-21: Sea V un sólido de volumen 13 unidades, limitado por una superficie cerrada σ. Sea w el campo vectorial definido por el vector posición r = x_i + y_j + z_ k. Calcular

∫∫σ w ⋅ dS , suponiendo la orientación de σ al

exterior. Solución: Como ejercicio. Resulta 39.

#.

{

}

Ejemplo 2.2-22: Sea V el cuerpo acotado determinado por 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 . Hallar el 2

2 2

flujo sobre la superficie que limita V del campo F = (y, 2x yz, y z ) (del ejercicio nº 4 de la hoja de enunciados de examen del primer parcial de cursos pasados). π

Solución: Ejercicio. Resulta 3

__________________________________________________

#.