F. Bellot Rosado Divisibilidad
DIVISIBILIDAD: Resultados
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Se enumeran a continuaci´on, como referencia, ciertos resultados sobre divisibilidad. 1.1 Definici´on. Dados los enteros a y b, se dice que a divide a b (Notaci´on: a | b) si existe un entero q tal que aq = b. Si a no divide a b, entonces existen enteros q, r tales que b = aq + r, con 0 ≤ r < a,
q y r u´ nicos.
1.2 Todo n´umero es divisor de s´ı mismo ; 1 es divisor de cualquier n´umero ; 0 es divisible por cualquier n´umero. 1.3 Todo n´umero compuesto tiene al menos un divisor primo ( en efecto, si N es compuesto, tiene un divisor n, distinto de N y de 1, que no es mayor que cualquier otro divisor. Este divisor debe ser primo, porque de lo contrario, tendr´ıa un divisor menor que e´ l mismo y mayor que 1 que tambi´en ser´ıa divisor de N, y esto es imposible por la manera como se ha elegido n ).
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1.4 La sucesi´on de n´umeros primos es ilimitada (Primer teorema de Euclides) En efecto, dado cualquier n´umero primo p, constru´ımos el n´umero siguiente, multiplicando todos los n´umeros primos hasta p, inclusive, y sumando 1 al producto:
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N = 2 · 3 · 5 · 7 · ··· · p + 1 Este n´umero, o bien es primo, en cuyo caso hemos terminado, o en caso contrario admite un divisor primo, que es mayor que p porque N da resto 1 al ser dividido por todos los n´umeros primos 2,3,· · · , p. 1.5 La descomposici´on de un n´umero en producto de potencias de factores primos es u´ nica. 1.6 (Segundo teorema de Euclides) Si un n´umero divide a un producto de dos factores y es primo con uno de ellos, entonces divide al otro factor.
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1.7 Propiedades del m´aximo com´un divisor y del m´ınimo com´un m´ultiplo : Notaci´on : m.c.d., (a,b) ; m.c.m., [a, b]. (a, a) = a [a, a] = a (a, b) = (b, a) [a, b] = [b, a] (a, (b, c)) = ((a, b) , c) [a, [b, c]] = [[a, b] , c] [(a, b) , a] = a ([a, b] , a) = a k · (a, b) = (ka, kb) k · [a, b] = [ka, kb] [(a, b) , c] = ([a, c] , [a, c]) ([a, b] , c) = [(a, b) , (a, c)] El producto de dos n´umeros es igual al de su m.c.d. por su m.c.m.
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ab = (a, b) · [a, b]
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Si se dividen dos n´umeros por su m.c.d., los cocientes obtenidos son primos entre s´ı. Todo divisor de 2 o´ varios n´umeros es divisor de su m.c.d. Todo m´ultiplo de 2 o´ varios n´umeros lo es de su m.c.m. Para todo entero x, (a, b) = (a, b + ax) Si (a, m) = (b, m) = 1, entonces (ab, m) = 1. Para todos a, k enteros no simult´aneamente nulos, (a, a + k) | k.
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´ Algoritmo de Euclides para calcular el m.c.d. de dos numeros. Sean a > b los enteros cuyo m.c.d. se desea determinar. Entonces a = bq1 + r1 ; b > r1 b = r 1 q2 + r 2 ; r 1 > r 2 r 1 = r 2 q3 + r 3 ; r 2 > r 3 ··· La sucesi´on decreciente de enteros positivos b > r1 > r2 > r3 > · · · ≥ 0 tiene que ser finita; aparecer´a un resto igual a 0; entonces si rn+1 = 0 el proceso termina con
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rn−2 = rn−1 qn + rn ; rn−1 = rn qn+1 . ´ Pagina 5 de 9
y el m´aximo com´un divisor de a y b es rn (el u´ ltimo resto distinto de cero); cuando rn = 1, a y b son primos entre s´ı. 1.8 Teorema de B´ezout Si a y b son primos entre s´ı, existen enteros x, y tales que ax + by = 1
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(Basta sustituir hacia atr´as en las igualdades que dan el algoritmo de Euclides) Una observaci´on menos obvia de lo que parece: Dos n´umeros enteros consecutivos son primos entre s´ı. 1.9. La funci´on parte entera Si x ∈ R , la parte entera de x (N otaciones : [x] , bxc, E (x)) es el mayor entero que es menor o igual que x. Si x, y son enteros, con x = qy + r, 0 ≤ r < y, entonces [x/y] = q. Propiedades de la parte entera : i) Para x ∈ R , son equivalentes : [x] x−1 0 −x − 1
≤ < ≤
