Sebastian Thomas

RWTH Aachen, WS 2016/17 01.12.2016–07.12.2016

Diskrete Strukturen Vorlesungen 13 und 14

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Kongruenzen und Restklassenringe

In diesem Abschnitt wollen wir eine ganze Serie von neuen Ringen konstruieren, sogenannte Restklassenringen. Hierzu betrachten wir Äquivalenzrelationen auf dem Ring der ganzen Zahlen Z bzw. auf dem Polynomring K[X] für einen Körper K, welche verträglich mit der jeweiligen Ringstruktur sind, und dadurch die Definition einer Ringstruktur auf der jeweiligen Quotientenmenge zulassen. Einige dieser Restklassenringe werden de facto Körper sein, und wir werden ein Kriterium herleiten, welches diesen Fall charakterisiert.

Kongruenzen Wir beginnen mit der Einführung gewisser Äquivalenzrelationenen auf Z bzw. auf K[X] für einen Körper K. (11.1) Definition (Kongruenz). Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R gegeben. Für a, b ∈ R sagen wir, dass a kongruent b modulo m ist, geschrieben a ≡m b, wenn m | a − b gilt, und sonst, dass a inkongruent b modulo m ist, geschrieben a 6≡m b. (11.2) Beispiel. (a) In Z ist 7 ≡7 0, 1 ≡7 8, 1 ≡7 −6, 3 ≡7 10, 2 ≡7 9, 2 ≡7 16, 2 ≡7 −5, 16 ≡7 −5. (b) In Q[X] ist X 2 − 1 ≡X 2 −1 0, X 2 ≡X 2 −1 1, X 4 − X 2 + 1 ≡X 2 −1 1. Beweis. (a) Es gilt 7 | 7 = 7 − 0, also 7 ≡7 0. Es gilt 7 | −7 = 1 − 8, also 1 ≡7 8. Es gilt 7 | −7 = 3 − 10, also 3 ≡7 10. Es gilt 7 | 7 = 1 − (−6), also 1 ≡7 −6. Es gilt 7 | −7 = 2 − 9, also 2 ≡7 9. Es gilt 7 | −14 = 2 − 16, also 2 ≡7 16. Es gilt 7 | 7 = 2 − (−5), also 2 ≡7 −5. Es gilt 7 | 21 = 16 − (−5), also 16 ≡7 −5. (b) Es gilt X 2 − 1 | X 2 − 1 = X 2 − 1 − 0, also X 2 − 1 ≡X 2 −1 0. Es gilt X 2 − 1 | X 2 − 1, also X 2 ≡X 2 −1 1. Es gilt X 2 − 1 | X 4 − X 2 = X 4 − X 2 + 1 − 1, also X 4 − X 2 + 1 ≡X 2 −1 1. Wir beginnen mit dem Nachweis, dass Kongruenz modulo einem Element eine Äquivalenzrelation ist. (11.3) Proposition. Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R gegeben. Dann ist ≡m eine Äquivalenzrelation auf R. Beweis. Es seien a, b, c ∈ R mit a ≡m b und b ≡m c gegeben, so dass m | a − b und m | b − c gilt. Dann gilt jedoch auch m | (a − b) + (b − c) = a − c nach Proposition (10.9)(a), d.h. a ≡m c. Folglich ist ≡m transitiv. Für alle a ∈ R gilt m | 0 = a − a nach Proposition (10.9)(b), also a ≡m a. Folglich ist ≡m reflexiv. Es seien a, b ∈ R mit a ≡m b gegeben, so dass m | a − b gilt. Dann gilt auch m | b − a = −(a − b) nach Proposition (10.9)(c), d.h. b ≡m a. Folglich ist ≡m symmetrisch. Insgesamt ist ≡m eine Äquivalenzrelation auf R. Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R gegeben. Da ≡m nach Proposition (11.3) eine Äquivalenzrelation ist, können wir die Quotientenmenge R/≡m = {[x] | x ∈ R} betrachten. (11.4) Beispiel. (a) In Z/≡7 ist [7] = [0], [1] = [8] = [−6], [3] = [10], [2] = [9] = [16] = [−5]. (b) In Q[X]/≡X 2 −1 ist [X 2 − 1] = [0], [X 2 ] = [1], [X 4 − X 2 + 1] = [1]. 1

Beweis. (a) Dies folgt aus Beispiel (11.2)(a). (b) Dies folgt aus Beispiel (11.2)(b). Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R gegeben. Wir wollen auf R/≡m eine Ringstruktur konstruieren, und zwar so, dass wir repräsentantenweise rechnen können. Für die Addition wollen wir also etwa, dass in R/≡m die Gleichung [x] + [y] = [x + y] für x, y ∈ R gilt. Analog für die Multiplikation. Um [x] + [y] = [x + y] in R/≡m für x, y ∈ R zu erreichen, muss für (x, y), (˜ x, y˜) ∈ R × R mit ([x], [y]) = ([˜ x], [˜ y ]) in R/≡m × R/≡m stets [x + y] = [˜ x + y˜] in R/≡m gelten. Nun ist aber genau dann [x] = [˜ x] in R/≡m , wenn x ≡m x ˜ gilt, es ist genau dann [y] = [˜ y ] in R/≡m , wenn y ≡m y˜ gilt, und es ist genau dann [x + y] = [˜ x + y˜] in R/≡m , wenn x+y ≡m x ˜ + y˜ gilt. Folglich muss notwendigerweise aus x ≡m x ˜ und y ≡m y˜ stets x+y ≡m x ˜ + y˜ folgen. Analog für die Multiplikation. (11.5) Proposition. Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R gegeben. Für a, a ˜, b, ˜b ∈ R mit a ≡m a ˜ und b ≡m ˜b gilt auch a + b ≡m a ˜ + ˜b und ab ≡m a ˜˜b. Beweis. Es seien a, a ˜, b, ˜b ∈ R mit a ≡m a ˜ und b ≡m ˜b gegeben, so dass m | a − a ˜ und m | b − ˜b gilt. Nach Proposition (10.9)(a), (c) gilt dann auch m | (a − a ˜) + (b − ˜b) = (a + b) − (˜ a + ˜b), m | (a − a ˜)b + a ˜(b − ˜b) = ab − a ˜b + a ˜b − a ˜˜b = ab − a ˜˜b, also a + b ≡m a ˜ + ˜b und ab ≡n a ˜˜b. Proposition (11.5) lässt sich benutzen, um Polynome bzgl. Kongruenz zu „reduzieren“ und so einfachere Repräsentanten der zugehörigen Äquivalenzklasse zu berechnen: (11.6) Beispiel. In Q[X] ist X 5 − 3X 4 + 2X 3 − X 2 + 2 ≡X 2 −1 3X − 2 und in Q[X]/≡X 2 −1 ist [X 5 − 3X 4 + 2X 3 − X 2 + 2] = [3X − 2]. Beweis. In Q[X] ist X 2 ≡X 2 −1 1, also X 3 = X · X 2 ≡X 2 −1 X · 1 = X, X 4 = X · X 3 ≡X 2 −1 X · X = X 2 ≡X 2 −1 1, X 5 = X · X 4 ≡X 2 −1 X · 1 = X und damit X 5 − 3X 4 + 2X 3 − X 2 + 2 ≡X 2 −1 X − 3 · 1 + 2X − 1 + 2 = 3X − 2. Folglich gilt [X 5 − 3X 4 + 2X 3 − X 2 + 2] = [3X − 2] in Q[X]/≡X 2 −1 .

Konstruktion der Restklassenringe Da wir nach Proposition (11.5) wissen, dass Kongruenzrelationen im Sinne von Definition (11.1) mit der Addition und der Multiplikation auf Z bzw. auf K[X] für einen Körper K verträglich sind, können wir nun eine Ringstruktur auf der Quotientenmenge konstruieren: (11.7) Proposition. Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R gegeben. Die Menge R/≡m wird ein kommutativer Ring mit Addition und Multiplikation gegeben durch [x] +R/≡m [y] = [x +R y], [x] ·R/≡m [y] = [x ·R y] 2

für x, y ∈ R. Die Null und die Eins von R/≡m sind gegeben durch 0R/≡m = [0R ], 1R/≡m = [1R ]. Für x ∈ R ist das Negative von [x] in R/≡m gegeben durch (−[x])R/≡m = [(−x)R ]. Beweis. Um zu zeigen, dass die beschriebene Addition und die beschriebene Multiplikation wohldefiniert sind, seien x, x ˜, y, y˜ ∈ R mit [x] = [˜ x] und [y] = [˜ y ] gegeben. Dann gilt x ≡m x ˜ und y ≡m y˜, also auch x + y ≡m x ˜ + y˜ und xy ≡m x ˜y˜ nach Proprosition (11.5) und damit [x + y] = [˜ x + y˜] und [xy] = [˜ xy˜] in R/≡m . Somit erhalten wir eine wohldefinierte Verknüpfungen + : R/≡m × R/≡m → R/≡m , ([x], [y]) 7→ [x +R y], · : R/≡m × R/≡m → R/≡m , ([x], [y]) 7→ [x ·R y]. Wir wollen zeigen, dass R/≡m ein kommutativer Ring mit Addition + und Multiplikation · wird. Hierzu verifizieren wir die Ringaxiome. • Assoziativität der Addition. Für x, y, z ∈ R gilt [x] + ([y] + [z]) = [x] + [y + z] = [x + (y + z)] = [(x + y) + z] = [x + y] + [z] = ([x] + [y]) + [z]. Folglich ist + assoziativ. • Kommutativität der Addition. Für x, y ∈ R gilt [x] + [y] = [x + y] = [y + x] = [y] + [x]. Folglich ist + kommutativ. • Existenz der Null. Für x ∈ R gilt [0] + [x] = [0 + x] = [x]. Wegen der Kommutativität von + ist [0] ein neutrales Element in R/≡m bzgl. +. • Existenz der Negativen. Für x ∈ R gilt [−x] + [x] = [(−x) + x] = [0]. Wegen der Kommutativität von + ist [−x] ein zu [x] inverses Element bzgl. +. • Assoziativität der Multiplikation. Für x, y, z ∈ R gilt [x]([y][z]) = [x][yz] = [x(yz)] = [(xy)z] = [xy][z] = ([x][y])[z]. Folglich ist · assoziativ. • Kommutativität der Multiplikation. Für x, y ∈ R gilt [x][y] = [xy] = [yx] = [y][x]. Folglich ist · kommutativ. • Existenz der Eins. Für x ∈ R gilt [1][x] = [1x] = [x]. Wegen der Kommutativität von · ist [1] ein neutrales Element in R/≡m bzgl. ·. 3

• Distributivität. Für x, y, z ∈ R gilt [x]([y] + [z]) = [x][y + z] = [x(y + z)] = [xy + xz] = [xy] + [xz] = [x][y] + [x][z], ([x] + [y])[z] = [x + y][z] = [(x + y)z] = [xz + yz] = [xz] + [yz] = [x][z] + [y][z]. Insgesamt wird R/≡m ein kommutativer Ring mit Addition und Multiplikation gegeben durch [x] + [y] = [x + y] und [x][y] = [xy] für x, y ∈ R, Null 0 = [0], Eins 1 = [1] und Negativen −[x] = [−x] für x ∈ R. (11.8) Definition (Restklassenring). Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R gegeben. Der kommutative Ring R/m := R/≡m mit Addition und Multiplikation gegeben wie in Proposition (11.7) heißt Restklassenring von R modulo m. Für x ∈ R wird die Äquivalenzklasse [x]m := [x]≡m auch die Restklasse von x modulo m genannt. Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R gegeben. Der Restklassenring R/m wird in der Literatur oft auch als R/mR = R/Rm oder als R/(m) bezeichnet und über die Menge der Vielfachen (m) = mR = Rm = {qm | q ∈ R} konstruiert. (11.9) Beispiel. (a) In Z/7 ist [5] + [4] = [2], [3] · [4] = [5], [13] · [13] = [1]. (b) In Q[X]/(X 2 − 1) ist [X 5 − X 3 − 3][X 4 − X 2 + 2] = −[6] und [X − 1][X + 1] = [0]. Beweis. (a) In Z/7 ist [5] + [4] = [9] = [2], [3] · [4] = [12] = [5], [13] · [13] = [−1] · [−1] = [1]. (b) In Q[X]/(X 2 − 1) ist [X 5 − X 3 − 3][X 4 − X 2 + 2] = [−3][2] = [−6] = −[6], [X − 1][X + 1] = [X 2 − 1] = [0]. Es sei ein Ring R gegeben. Nach Notation (8.14) schreiben wir k = k R = k · 1R für k ∈ Z. Es ist also etwa 2R = 2 · 1R = 1R + 1R , 3R = 3 · 1R = 1R + 1R + 1R , usw. in R. In Restklassenringen von Z erhalten wir folgenden Zusammenhang: (11.10) Bemerkung. Es sei n ∈ Z gegeben. Für k ∈ Z gilt k Z/n = [k Z ]. Beweis. Für k ∈ N0 gilt k Z/n = k · 1Z/n =

X i∈[1,k]

1Z/n =

X i∈[1,k]

[1Z ] = [

X

1Z ] = [k Z ]

i∈[1,k]

und (−k)Z/n = −k Z/n = −[k Z ] = [−k Z ]. Es sei n ∈ Z gegeben. Im Folgenden schreiben wir für x ∈ Z daher unter Missbrauch der Notation manchmal kurz x statt [x]n für die Restklasse von x modulo n, und sagen dann immer dazu, sobald x als Element von Z/n anzusehen ist. Für x, y ∈ Z gilt also genau dann x = y in Z/n, wenn x ≡n y in Z gilt.

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Im Fall von Restklassenringen kann man K in K[X]/f wie folgt „einbetten“: (11.11) Proposition. Es seien ein Körper K und f ∈ K[X] gegeben. Ferner sei ι : K → K[X]/f , a 7→ [a]. Dann gilt: • Verträglichkeit mit den Additionen. Für a, a0 ∈ K ist ι(a + a0 ) = ι(a) + ι(a0 ). • Verträglichkeit der Nullen. Es ist ι(0) = 0. • Verträglichkeit der Negative. Für a ∈ K ist ι(−a) = −ι(a). • Verträglichkeit mit den Multiplikationen. Für a, a0 ∈ K ist ι(aa0 ) = ι(a) ι(a0 ). • Verträglichkeit der Einselemente. Es ist ι(1) = 1. • Verträglichkeit der Inversen. Für a ∈ K × ist ι(a) ∈ (K[X]/f )

×

mit ι(a−1 ) = (ι(a))−1 .

Wenn f ∈ / K × ist, dann ist ι injektiv. Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen. (11.12) Konvention. Es seien ein Körper K und f ∈ K[X] \ K × gegeben. Von jetzt an identifizieren wir K mit dem Bild der injektiven Abbildung ι : K → K[X]/f , a 7→ [a] aus obiger Proposition (11.11). Das heißt, unter Missbrauch der Notationen schreiben wir K anstatt Im ι, und für a ∈ K notieren wir das Bild ι(a) = [a] von a auch durch a. Unter Benutzung von Konvention (11.12) sind die Elemente von K[X]/f für einen Körper K und ein f ∈ K[X] also wieder „polynomielle Ausdrücke“, nur diesmal in [X] statt X: Für a ∈ K (N0 ) gilt X X X X [ ai X i ] = [ai X i ] = [ai ] [X]i = ai [X]i . i∈N0

i∈N0

i∈N0

i∈N0

Hierbei sind in K[X]/f solche Ausdrücke gleich, für welche die entsprechenden Elemente in K[X] kongruent modulo f sind. Insbesondere können unterschiedliche Elemente in K[X], also unterschiedliche Polynome, gleiche Elemente in K[X]/f induzieren. (11.13) Beispiel. (a) In Z/7 ist 7 = 0, 1 = 8 = −6, 3 = 10, 2 = 9 = 16 = −5. (b) In Q[X]/(X 2 − 1) ist [X]2 = [1], [X]4 − [X]2 + 1 = 1, [X]5 − 3[X]4 + 2[X]3 − [X]2 + 2 = 3[X] − 2. Beweis. (a) Dies folgt aus Beispiel (11.4)(a). (b) Dies folgt aus Beispiel (11.4)(b) und Beispiel (11.6). In der nachfolgenden Bemerkung leiten wir eine konkrete Beschreibung der Äquivalenzklassen her. Zugleich betonen wir, dass die „Beschaffenheit“ der Äquivalenzklassen für das Rechnen im Quotientenring vollkommen irrelevant ist: da die Rechnung repräsentantenweise geschieht, genügt es, stets einen Repräsentanten zu kennen, ein Überblick über alle Elemente der Restklasse ist zum Rechnen nicht notwendig. (11.14) Bemerkung. Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R gegeben. Für a ∈ R ist [a]m = a + Rm. Beweis. Für a ∈ R ist [a] = {˜ a∈R|a ˜ ≡m a} = {˜ a ∈ R | es gibt ein q ∈ R mit a ˜ = qm + a} = {a + qm | q ∈ R} = a + Rm. 5

Kongruenzen und Division mit Rest Die Bezeichnung Restklasse bzw. Restklassenring kommt daher, dass jedes Element im Restklassenring, also jede Restklasse modulo einem Element, durch den Rest eines beliebigen Repräsentanten bei Division mit Rest durch dieses Element repräsentiert wird, wie wir nun sehen werden. (11.15) Proposition. Es sei R = Z oder R = K[X] für einen Körper K. Ferner sei m ∈ R \ {0} gegeben. (a) Für a ∈ R ist a ≡m a mod m in R und [a] = [a mod m] in R/m. (b) Es seien a, b ∈ R gegeben. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) Es ist [a] = [b] in R/m. (ii) Es ist a ≡m b in R. (iii) Es ist a mod m = b mod m in R. Beweis. (a) Für a ∈ R gilt a = (a div m)m + (a mod m) nach dem Satz über die Division mit Rest (10.2), also a ≡m a mod m in R und damit [a] = [a mod m] in R/m nach Proposition (5.6)(b). (b) Zunächst sind Bedingung (i) und Bedingung (ii) äquivalent nach Proposition (5.6)(b). Somit genügt es, die Äquivalenz von Bedingung (ii) und Bedingung (iii) zu zeigen. Nach (a) gilt a ≡m a mod m sowie b ≡m b mod m. Folglich gilt genau dann a ≡m b, wenn a mod m ≡m b mod m ist. Dies wiederum ist äquivalent zu m | (a mod m) − (b mod m). Nach Definition (10.3) gilt a mod m ∈ [0, |m| − 1] und b mod m ∈ [0, |m| − 1] im Fall R = Z sowie a mod m ∈ K[X]